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2.3 直线的交点坐标与距离公式 14 题型分类
一、两条直线的交点
1．两直线的交点
已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点 A(a，b)．
(1)若点 A 在直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 上，则有 A1a＋B1b＋C1＝0.
(2) A l l {A1a＋B若点 是直线 与 的交点，则有 1b＋C1＝0，1 2 A2a＋B2b＋C2＝0.
2．两直线的位置关系
{A1x＋B1y＋C1＝0，方程组 A2x 的解 一组 无数组 无解＋B2y＋C2＝0
直线 l1与 l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线 l1与 l2的位置关系 相交 重合 平行
二、两点间的距离公式
1．两点间的距离公式：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.特别
提醒：此公式与两点的先后顺序无关．
2．原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
三、点到直线的距离、两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在平行直线间公垂线段的长
图示
点 P(x0，y0)到直线 平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与
l：Ax＋By＋C＝0 的距离 l2：Ax＋By＋C2＝0 之间的距离
公式
|Ax0＋By0＋C| |C1－C2|
d＝ d＝
A2＋B2 A2＋B2
（一）
求相交直线的交点坐标
1、两直线的交点：已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，联立方程即可求解.
2、求两相交直线的交点坐标．
(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．
(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．
题型 1：求相交直线的交点
1-1．（24-25 高二上·全国·课后作业）直线3x + 2y -18 = 0和-2x + 5y - 7 = 0的交点坐标为（ ）
A． -4, -3 B． 4,3 C． -4,3 D． 3,4
【答案】B
【分析】解二元一次方程组即得交点坐标.
ì3x + 2y =18 ìx = 4
【详解】解方程组 í 2x 5y 7，得 íy 3， - + = =
所以所求交点坐标为 (4,3) .
故选：B
1-2．（2024 高二·江苏·假期作业）直线 x + 2y - 4 = 0与直线 2x - y + 2 = 0的交点坐标是（ ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)
【答案】C
ìx + 2y - 4 = 0
【分析】解方程组 í2x y 2 0即可得解
.
- + =
ìx + 2y - 4 = 0 ìx = 0
【详解】解方程组 í
2x - y + 2 = 0
得 í ，
y = 2
即直线 x + 2y - 4 = 0与直线 2x - y + 2 = 0的交点坐标是(0,2)．
故选：C.
1-3．（2024 高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
(1) l1 : y = 2x + 3， l2 : 2x - y + 5 = 0；
(2) l1 : y = 2x +1， l2 : x - 2y = 0；
(3) l1 : x = 3， l2 : x =10；
(4) l1 : y = 2x +1， l2 : 2x - y +1 = 0 ．
【答案】(1) l1//l2
2 1
(2)相交，交点为 (- , - )
3 3
(3) l1//l2
(4)重合
【分析】根据两直线的斜率关系，以及截距，即可结合两直线的位置关系求解.
【详解】（1）设两直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2 ，在 y 轴上的截距分别为b1，b2．
因为k1 = k2 = 2，b1 = 3，b2 = 5，b1 b2 ，所以 l1//l2．
k = 2 k 1（2）因为 1 ， 2 = ， k1 k2 ，所以 l1与 l2相交．2
ì 2
ì y = 2x +1 x = - 3 2 1
íx 2y 0 ，解得 í ，所以交点为
(- , - ) .
- = y 1= - 3 3
3
（3）由两直线的方程可知， l1 / / y轴， l2 / / y 轴，且两直线在 x 轴上的截距不相等，所以 l1//l2．
（4） l2 : y = 2x +1，因为k1 = k2 = 2，b1 = b2 =1，所以 l1与 l2重合．
题型 2：求过两条直线的交点的直线方程
2-1．（2024 高二上·天津·期末）过直线 x + y +1 = 0和 x - 2y + 4 = 0的交点，且与直线 x + 2y - 3 = 0垂直的直线
方程是（ ）．
A． 2x - y + 3 = 0 B． 2x - y + 5 = 0
C． x + 2y - 4 = 0 D． 2x - y - 3 = 0
【答案】B
【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 x + 2y - 3 = 0 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解.
ì x + y +1 = 0 ìx = -2
【详解】联立方程 í x 2y 4 0 ，解得- + = í
，所以交点坐标为 -2,1 ；
y =1
1
直线 x + 2y - 3 = 0
1 - 1 = 2 的斜率为- ，所以所求直线方程的斜率为 ，
2 - 2
由点斜式直线方程得：所求直线方程为 y -1 = 2 x + 2 ，即 2x - y + 5 = 0 ；
故选：B.
2-2．（2024 高二下·河北张家口·开学考试）过直线 x - 2y +1 = 0与3x - y - 2 = 0的交点，且垂直于直线
x - y +1 = 0 的直线方程是 ．
【答案】 x + y - 2 = 0
【分析】首先利用二元一次方程组求出交点的坐标，进一步利用直线垂直的充要条件求出直线的方程．
【详解】过直线 x - 2y +1 = 0与3x - y - 2 = 0的交点，
ì x - 2y +1 = 0 ìx =1
故 í (1,1)
3x y 2 0
，解得 íy 1，故交点坐标为 ；- - = =
故过点 (1,1) 且与直线 x - y +1 = 0 垂直的直线方程为 y - 1 = -(x - 1) ，整理得 x + y - 2 = 0．
故答案为： x + y - 2 = 0．
2-3．（2024 高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知直线 l 经过直线3x - y - 7 = 0和 4x + y -14 = 0的交点，且直线 l
在坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程是 .
2
【答案】 y = x或 x + y = 5
3
【分析】求出给定的两条直线交点坐标，再按直线 l是否过原点分类求解即可.
ì3x - y - 7 = 0 ì x = 3
【详解】由 í ，解得 í ，即直线 l过点 (3, 2)4x y 14 0 y 2 ， + - = =
2
当直线 l过原点时，直线 l的方程为 y = x，
3
x y 3 2
当直线 l不过原点时，设直线 l的方程为 + =1，则 + =1，解得 a = 5，方程为 x + y = 5，
a a a a
2
所以直线 l的方程为 y = x或 x + y = 5 .
3
2
故答案为： y = x或 x + y = 5
3
题型 3：由两条直线交点的个数或位置求参数
3-1．（广东省广州市第一一三中学 2023-2024 学年高二上学期第一阶段考数学试题）直线
3x - (k + 2) y + k + 5 = 0与直线 kx + (2k - 3) y + 2 = 0相交，则实数 k 的值为（ ）
A． k 1或 k 9 B． k 1或 k -9 C． k 1或 k 9 D． k 1且 k -9
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.
【详解】因直线3x - (k + 2) y + k + 5 = 0与直线 kx + (2k - 3) y + 2 = 0相交，则3(2k - 3) - k[-(k + 2)] 0，
即 (k + 9)(k -1) 0 ，解得 k 1且 k -9，
所以实数 k 的值为 k 1且 k -9 .
故选：D
ì4x + 6y =1
3-2．（2024·上海崇明·一模）若关于 x 、 y 的方程组 í a =
ax - 3y = 2
无解，则实数
【答案】-2
【解析】先由方程无解判断平面内对应的两条直线平行，再利用平行关系列行列式计算参数即可.
ì4x + 6y =1
【详解】由题意关于 x 、 y 的方程组 í 无解，即直线 4x + 6y =1和直线 ax - 3y = 2
ax - 3y
平行，故
= 2
4 6
D = = -12 - 6a = 0
a 3 ，所以
a = -2 ，
-
此时直线 ax - 3y = 2即 4x + 6y = -4，确实与 4x + 6y =1平行，故满足题意，所以实数 a = -2 .
故答案为：-2.
3-3．（2024 高二·全国·课后作业）若直线 kx - y = k -1与直线 ky - x = 2k 相交且交点在第二象限内，则 k 的取
值范围为（ ）
1 1
A． k >1 B． k < C． 0 < k 1< D2 ． < k <12 2
【答案】C
【分析】先根据直线相交求 k 的取值范围，再联立方程求出交点坐标列式求解即可.
【详解】若直线 kx - y = k -1与直线 ky - x = 2k 平行或重合，则 k 2 -1 = 0，解得 k = ±1，
若直线 kx - y = k -1与直线 ky - x = 2k 相交，可得 k 1且 k -1，则有：
ì k
ìkx - y = k -1 x = k -1 k 2k -1
联立方程 íky x 2k ，解得 í ，即交点坐标
, ÷ ，
- = y 2k -1= è k -1 k -1
k -1
ì k
< 0 k -1 1
由题意可得： í2k ，解得
0 < k < ；
-1 2> 0
k -1
1
综上所述：k 的取值范围为 0, 2 ÷
.
è
故选：C.
3-4．（2024 高二上·全国·课后作业）若直线5x + 4y = 2m +1与直线 2x + 3y = m的交点在第四象限，则 m 的取
值范围是（ ）
3
A． (- ,2) B． , + 2 ÷è
3 3
C． - , - ÷ D． - , 22 2 ÷è è
【答案】D
2m + 3 m - 2
【分析】联立方程组求得两直线的交点为 ( , )，根据题意列出不等式组，即可求解.
7 7
ì5x + 4y = 2m +1 2m + 3
【详解】由方程组 í ，解得 x = , y
m - 2
=
2x + 3y = m
，
7 7
(2m + 3 , m - 2即两直线的交点坐标为 )，
7 7
2m + 3 m - 2 3
因为两直线的交点位于第四象限，可得 > 07 且
< 0
7 ，解得
- < m < 2，
2
即实数m
3
的取值范围为 (- , 2) .
2
故选：D.
题型 4：三条直线能否构成三角形问题
4-1．（2024 高二上·浙江宁波·期末）若三条直线3x - y +1 = 0, x + y + 3 = 0与 kx - y + 2 = 0能围成一个直角三
角形，则 k = ．
1
【答案】- 或 1
3
【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为-1，求解即可.
【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0 有交点，
若3x - y +1 = 0与 kx - y + 2 = 0
1
垂直，则3k = -1 k = - ；
3
若 x + y + 3 = 0
1
与 kx - y + 2 = 0垂直，则-k = -1 k =1．所以 k = - 或 1．
3
1
故答案为：- 或 1
3
4-2．（2024 高二·江苏·假期作业）若三条直线 l1 : ax + y +1 = 0 ， l2 : x + ay +1 = 0， l3 : x + y + a = 0能构成三角
形，求 a 应满足的条件．
【答案】 a ±1且 a -2
【分析】由题意可分直线 l1 //l2、l2 //l3、l1 //l3 、直线 l1, l2 , l3 经过同一点讨论，不能构成三角形从而可求出 a的
值再求其补集可得答案.
【详解】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若 l1 //l2，则由a a -1 1 = 0，得 a = ±1；
②若 l2 //l3，则由1 1- a 1 = 0 ，得 a =1；
③若 l1 //l3 ，则由a 1-1 1 = 0 ，得 a =1，
当 a =1时， l1, l2 与 l3 三线重合，当 a = -1时， l1, l2 平行．
ìx + ay +1 = 0 ìx = -a -1
④若三条直线交于一点，由 íx y a ，解得 ， + + = 0
í
y =1
将 l2 ,l3 的交点 -a -1,1 的坐标代入 l1的方程，
解得 a =1 (舍去)，或 a = -2 ，
所以要使三条直线能构成三角形，需 a ±1且 a -2．
4-3．（2024 高二上·全国·课后作业）使三条直线 4x + y - 4 = 0,mx + y = 0,2x - 3my - 4 = 0不能围成三角形的实
数 m 的值最多有几个（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
【答案】B
【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应 m 值，进而验证是否满足
题设，即可得答案.
【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若 4x + y - 4 = 0,mx + y = 0
4 1
平行，则 = ，即m = 4 ；
m 1
若mx + y = 0,2x - 3my - 4 = 0
m 1
平行，则 = ，即无解；
2 -3m
若 4x + y - 4 = 0,2x - 3my - 4 = 0
4 1 1
平行，则 = ，即m = - ；
2 -3m 6
ì4x + y - 4 = 0

若三条直线交于一点， ímx + y = 0
2
，可得m = 或m = -1；
3
2x - 3my - 4 = 0
1 2
经检验知：m {-1, - , , 4}均满足三条直线不能围成三角形，故 m 最多有 4 个.
6 3
故选：B
（二）
两点间的距离
1、两点间的距离公式：
(1)点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
(2)原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
2、计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
题型 5：求两点间的距离
5-1．（2024 高二·江苏·假期作业）直线 l1 : 3ax - y - 2 = 0和直线 l2 : 2a -1 x + 5ay -1 = 0分别过定点A 和 B ，
则 AB = | ．
13
【答案】
5
【分析】求出直线 l1、 l2所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得 AB 的值.
ì3x = 0 x = 0
【详解】将直线 l
ì
1的方程变形为3ax - y + 2 = 0，由 í ，可得 í ，即点 A 0, -2
y + 2 = 0 y = -2
，
将直线 l2的方程变形为 a 2x + 5y - x +1 = 0 ，
2x + 5y = 0 ìx = -1ì 2
由 íx 1 0 ，可得 ，即点
B -1, ，
+ =
í
y
2
= è 5 ÷
5
2
AB 0 1 2 2 13所以， = + + -2 - ÷ = .
è 5 5
13
故答案为： .
5
5-2．（2024 高二上·全国·课后作业）已知 A(-1,2), B(0,4)，点 C 在 x 轴上，且 AC = BC ，则点 C 的坐标为
（ ）
11 11 11 11
A． - ,0÷ B． 0, - ÷ C． 0,2 2 2 ÷
D． ,02 ÷è è è è
【答案】D
【分析】设C a,0 ，因为 AC = BC ，由两点间的距离公式求解即可.
【详解】因为点 C 在 x 轴上，设点C a,0 ，则 AC = BC ，
所以 a +1 2 + 22 = a2 + 42 ，
11 11
化简可得： a = ，所以C ,0÷ .2 è 2
故选：D.
5-3．（2024 高二上·江苏南通·阶段练习）已知 A，B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x - y = 0和 x + ay = 0上，
10
且 AB 线段的中点为P 0, ÷ ，则线段 AB 的长为（a ）è
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
1
【分析】由题意可知， 2 - ÷ = -1，得 a = 2，可得线段 AB 的中点为 P(0,5) ，设 A(m, 2m), B(n,
1
- n)
a ，利è 2
ìm + n
= 0
2
用中点坐标公式可得 í 1 ，求出m, n，再利用两点间的距离公式可求得结果
2m - n
2 = 5
2
【详解】因为直线 2x - y = 0和 x + ay = 0互相垂直，
2 1所以 -

÷ = -1a ，解得
a = 2，
è
所以线段 AB 的中点为 P(0,5) ，
ìm + n
= 0
1 2 ìm = 4
所以设 A(m, 2m), B(n,- n)，则 í 1 ，解得2 í
，
2m - n n = -4
2 = 5
2
所以 A(4,8), B(-4,2) ，
所以 AB = 82 + 62 =10，
故选：B
题型 6：由两点间的距离求参数
6-1．（2024 高二上·新疆喀什·期末）已知点 A 3,3a + 3 与点B a,3 之间的距离为 5，则实数 a 的值
为 ．
8
【答案】-1或
5
【分析】代入两点间距离公式，即可求解.
【详解】 AB = 3 - a 2 + 3a + 3 - 3 2 = 5，
8
化简为5a2 - 3a -8 = 0，解得： a = -1或 a = .5
8
故答案为：-1或
5
6-2．（2024 高二下·全国·课后作业）已知点 A(4,12)，P 为 x 轴上的一点，且点 P 与点 A 的距离等于 13，则
点 P 的坐标为 ．
【答案】 (-1,0) 或 (9,0)
【分析】根据题意设P(x,0) ，再利用两点间的距离公式即可求出 x 的值，从而得到点 P 的坐标．
【详解】Q点 P 在 x 轴上，设P(x,0) ，
Q点 P 与点A 的距离等于 13，
\ (x - 4)2 + (0 -12)2 = 13，解得 x = 9 或-1，
\点 P 的坐标为 (9,0) 或 (-1,0) ，
故答案为： (-1,0) 或 (9,0) ．
6-3．（2024 高二下·全国·课后作业）已知 A(a,0), B(0,10)，且 | AB |= 17，则 a = ．
【答案】±3 21
【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解.
【详解】因为 A(a,0), B(0,10)且 | AB |= 17，所以 | AB |= a2 + 0 -10 2 =17，解得 a = ±3 21
故答案为：±3 21
题型 7：运用两点间的距离公式求最值
7-1．（2024 高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，
有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： x - a 2 + y - b 2 可以转化为点 x, y 到点 a,b 的距
离，则 x2 +1 + x2 - 4x + 8 的最小值为（ ）．
A．3 B． 2 2 +1 C． 2 3 D． 13
【答案】D
【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.
【详解】 x2 +1 + x2 - 4x + 8 = x - 0 2 + 0 -1 2 + x - 2 2 + 0 - 2 2 ,
可以看作点P x,0 到点 A 0,1 , B 2, 2 的距离之和，
作点A 关于 x 轴的对称点 A 0, -1 ，显然当B, P, A 三点共线时，取到最小值，
最小值为 B, A 间的距离 22 + 32 = 13 .
故选：D.
7-2．（2024 高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个
内角均小于 120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张
角相等且均为 120°.根据以上性质，.则F (x, y) = (x - 2 3)2 + y2 + (x +1- 3)2 + (y -1+ 3)2 + x2 + (y - 2)2
的最小值为（ ）
A．4 B．2 + 2 3 C．3+ 2 3 D． 4 + 2 3
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，证明出三角形 ABC 为等腰直角三角形，作出辅助线，找到费马点，求出最小
值.
【详解】由题意得：F (x, y) 的几何意义为点E 到点 A 2 3,0 , B 3 -1,1- 3 ,C 0,2 的距离之和的最小值，
2因为 AB = 3 +1 + 3 -1 2 2 2= 2 2 ， CB = 3 -1 + - 3 -1 = 2 2 ，
AC = 4 +12 = 4，
2 2 2
所以 AB + CB = AC ，故三角形 ABC 为等腰直角三角形，，
1
取 AC 的中点D，连接BD，与 AO 交于点E ，连接CE，故BD = AC = 2， AE = CE ，
2
CO 2 3
因为 = = ，所以 CAO = 30°，故 AEC =120° ，则 BEC = AEB =120°，
AO 2 3 3
故点E 到三角形三个顶点距离之和最小，即F (x, y) 取得最小值，
1
因为 AD = CD = AC = 2 AD 4 3 4 3 2 3，所以 AE = = ，同理得：2 CE =
，DE = ，
cos30° 3 3 3
BE BD DE 2 2 3= - = - ，
3
故F (x, y) AE CE BE 4 3 4 3的最小值为 + + = + + 2 2 3- = 2 + 2 3 .
3 3 3
故选：B
7-3．（2024 高二上·甘肃武威·期中）函数 f x = x2 + 2x + 5 + x2 - 6x +10 的最小值是 .
【答案】5
【分析】依题意可得 f x = x +1 2 + 0 - 2 2 + x - 3 2 + 0 -1 2 ，设 A -1,2 ，B 3,1 ，P x,0 ，则问题
转化为求点P x,0 到点 A -1,2 ，B 3,1 两点的距离之和的最小值，求出A 关于 x 轴的对称点 A 的坐标，则
PA + PB = PA + PB A B ，再根据距离公式求解即可.
【详解】解：因为 f x = x2 + 2x + 5 + x2 - 6x +10
= x +1 2 + 0 - 2 2 + x - 3 2 + 0 -1 2 ，
设 A -1,2 ，B 3,1 ，P x,0 ，则 f x 表示点P x,0 到点 A -1,2 ，B 3,1 两点的距离之和，即
PA + PB ，
点 P 是 x 轴上的点，则点A 关于 x 轴的对称点为 A -1, -2 ，则 PA = PA ，
所以 PA + PB = PA + PB A B = 3+1 2 + 1+ 2 2 = 5，所以 f x 的最小值是5 .
故答案为：5
（三）
运用坐标法解决平面几何问题
1、利用坐标法解平面几何问题：(1)建系；(2)坐标表示；(3)几何关系坐标化；(4)将数“翻译”为
形．
2、利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
题型 8：用坐标法解决平面几何问题
8-1．（2024 高二上·河南·阶段练习）已知直线 l : m - 2 x - m +1 y + 3m = 0 m R ，直线 l1 : 4x + y + 3 = 0和
l2 : 3x - 5y - 5 = 0．
(1)求证：直线 l 恒过定点；
(2)设（1）中的定点为 P ， l与 l1， l2的交点分别为A ， B ，若 P 恰为 AB 的中点，求m ．
【答案】(1)证明见解析.
m 1(2) = - .
4
【分析】（1）先分离参数，再令参数的系数等于0 ，求得 x 、 y 的值，可得直线 l 恒过定点；
（2）先设一个交点 A x0 , y0 ，再表示另一个交点B -2 - x0 , 4 - y0 ，接着联立方程求出交点坐标 A -2,5 ，
最后解出m 即可.
【详解】（1）解：由题 l : m - 2 x - m +1 y + 3m = 0 m R ，
可化为m x - y + 3 - 2x + y = 0，
由于m R ，令 x - y + 3 = 0，可得 2x + y = 0 ，
ìx - y + 3 = 0 ìx = -1
所以 í2x y 0 ，解得 íy 2 ， + = =
即直线 l 恒过定点 -1,2 ．
所以直线 l 恒过定点.
（2）由（1）知P -1, 2 ，不妨设 A x0 , y0 ，
由题意可知， P 恰为 AB 的中点，
所以B -2 - x0 , 4 - y0 ，
因为A ， B 分别在直线 l1 和直线 l2 上，
ì4x0 + y0 + 3 = 0
所以 í
3 -2 - x - 5 4 - y - 5 = 0
，
0 0
ìx0 = -2
解得 í ，所以 A -2,5 y 5 ， 0 =
将 A -2,5 1代入直线 l方程，解得m = - ．
4
1
所以m 的值为- .
4
8-2．（2024 高二上·安徽马鞍山·期中）已知VABC 的顶点 A 3,1 ， AB 边上的高所在的直线方程为
4x - y -13 = 0， AC 边上的中线所在的直线方程为5x - 2y -12 = 0．
(1)求直线 AB 的方程；
(2)求点 C 的坐标．
【答案】(1) x + 4y - 7 = 0
(2) C(5,7)
【分析】（1）由CE ^ AB 及已知直线CE的斜率可求直线 AB 的斜率，进而可求直线 AB 的方程；
（2）先设D(a,b)，进而表示C 的坐标，再由C 点在直线CE及中点坐标公式可求．
【详解】（1）设 AB 边上的高为CE，
QCE ^ AB，且直线CE的方程为 4x - y -13 = 0，故斜率为 4，
\ 1直线 AB 的斜率为- ，Q A(3,1)，
4
\ y 1 1直线 AB 的方程为 - = - (x - 3) ，即 x + 4y - 7 = 04 ；
（2）设D(a,b)，则C(2a - 3,2b -1)，
ì4 2a - 3 - (2b -1) -13 = 0
由题意得 í ，
5a - 2b -12 = 0
解得 a = 4，b = 4 ，\ C(5,7)．
8-3．（2024 高二上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系 xOy 中，O为坐标原点，已知直线 l1：2x - y - 2 = 0
和 l2： x + y + 3 = 0，
(1)求直线 l1与 l2的交点坐标；
uuur uuur
(2)过点 P(3,0)
1
作直线 l与直线 l1， l2分别交于点 A、B，且满足 AP = AB ，求直线 l的方程．2
1 8
【答案】(1) (- , - )
3 3
(2)8x - y - 24 = 0
【分析】（1）联立直线 l1和直线 l2，即可求解交点坐标；
（2）首先由题意可知，点 P 是线段 AB 的中点，利用对称和直线方程，即可求解.
ìx + y + 3 = 0 1 8
【详解】（1）由 í ，得 x = - ， y = -
2x - y 2 0
，
- = 3 3
1 8
所以直线 l1与 l2的交点坐标为 - ,-3 3 ÷；è
uuur uuur
（2）由 AP
1
= AB 可知，点 P 是线段 AB 的中点，
2
在直线 l2上任取一点M x0 ,-3- x0 ，
所以点M 关于P 3,0 的对称点 N 6 - x0 ,3 + x0 ,
点 N 在直线 l1上， 把点 N 6 - x0 ,3 + x0 代入 l1 方程 2x - y - 2 = 0，
2 6 - x0 - 3+ x0 - 2 = 0
7
，解得 x0 = 3
16
7 16 - - 0
所以M ,- ÷，\kl = 3 = 8，
è 3 3 7 - 3
3
即直线 l方程为： y = 8x - 24，即8x - y - 24 = 0 .
（四）
点到直线的距离
点到直线的距离的求解方法：
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求
解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线
的距离公式，也可以直接写成 d＝|x0－a|或 d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
题型 9：求点到直线的距离
9-1．（2024 高二·重庆·学业考试）点(1,1)到直线3x + 4y - 2 = 0的距离是（ ）
A．1 B．2 C． 5
【答案】A
【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.
3 + 4 - 2 5
【详解】 d = = =1
32 + 42 5
，
故选：A
9-2．（2024 高二上·全国·课后作业）已知 A(4,0)到直线 4x - 3y + a = 0的距离等于 3，则 a 的值为（ ）
A．-1 B．-13或 -19 C．-1或-31 D．-13
【答案】C
【分析】
由距离公式，解方程得出 a 的值.
4 4 - 3 0 + a
【详解】由距离公式可得， = 3，即 a +16 =15, 解得 a = -1或a = -31.
42 + 32
故选：C
9-3．（2024 高二下·辽宁·阶段练习）已知圆C 经过点M 1,2 , N 3,0 ，则点P 2, -1 到圆心C 的距离的最小
值为（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出圆心 C 的轨迹方程，再利用点到直线距离公式求解作答.
【详解】设C x, y ，依题意， CM = CN ，则 (x -1)2 + (y - 2)2 = (x - 3)2 + (y - 0)2 ，
2 +1-1
整理得 x - y -1 = 0，点P 2, -1 到 x - y -1 = 0的距离 d = = 2 ，
2
所以点P 2, -1 到圆心C 的距离的最小值 2 ．
故选：C
9-4.（2024 高二下·上海浦东新·期中）已知动点M a,b 在直线3x + 4y +10 = 0上，则 a2 + b2 的最小值
为 .
【答案】2
【分析】根据题意可知 a2 + b2 表示动点M a,b 到坐标原点O 0,0 ，利用点到直线的距离求最小值.
【详解】因为 a2 + b2 表示动点M a,b 到坐标原点O 0,0 ，
10
所以 a2 + b2 的最小值为O 0,0 到线3x + 4y +10 = 0的距离 d = = 2 .32 + 42
故答案为：2.
9-5．（2024 高二上·广东广州·期末）已知点P -2,1 到直线 l : 3x - 4y + m = 0的距离为 1，则m 的值为（ ）
A．-5 或-15 B．-5 或 15
C．5 或-15 D．5 或 15
【答案】D
【分析】根据条件,利用点到直线的距离公式建立关于m 的方程,再求出m 的值.
【详解】因为点P -2,1 到直线 l : 3x - 4y + m = 0的距离为 1，
| 3 (-2) - 4 1+ m |
所以 =12 2 ,解得m =15或 5.3 + (-4)
故选:D.
9-6．（2024·重庆·三模）已知直线 l : y = k(x - 2) +1(k R) 上存在一点 P，满足 | OP |=1，其中 O 为坐标原点.
则实数 k 的取值范围是（ ）
0, 1 é0, 3ù é 4ù 1 4A． ÷ B
é ù
．
è 2 ê 4 ú
C． ê0, D． 3ú ê
,
2 3 ú
【答案】C
【分析】由已知可得原点 O 到直线 l 的距离小于等于 1，利用点到直线的距离公式可得关于 k 的不等式，即
可求解 k 的范围.
【详解】因为直线 l : y = k(x - 2) +1(k R) 上存在一点 P，使得 | OP |=1，
-2k +1 4
所以原点 O 到直线 l 的距离小于等于 1，即 1，解得：0 k ，
k 2 +1 3
é
即 k 的取值范围是 ê0,
4ù
3ú
.

故选：C
题型 10：直线围成的图形面积问题
ur
10-1．（2024 高二上·江苏·专题练习）射线OA所在直线的方向向量为 d1 = 1, k k > 0 ，点 P 在 AOx内，
PM ^ OA于点M .
(1)若 k =1，P
3 , 1 2 2 ÷
，求 OM 的值；
è
6
(2)若P 2,1 ，VOPM 的面积是 ，求 k 的值.
5
【答案】(1) 2
11
(2) 或 2
2
【分析】（1）求出| |以及直线OA，可求出点 P 到直线OA的距离，再利用勾股定理可求得 OM 的值；
（2）求出 OM 以及点 P 到直线OA的距离 d ，利用三角形的面积公式可求出 d 2 的值，可得出关于 k 的方程，
结合 k > 0 可求得 k 的值.
3 1 2 2 3 1 10
【详解】（1）解：因为P ,2 2 ÷ ，则 OP =è
+
2 ÷ 2 ÷
= ，
è è 2
uur
因为 k =1，则直线OA的一个方向向量为 d1 = 1,1 ，所以，直线OA的方程为 y = x ，
3 1
-
所以，点 P 到直线OA的距离为 d = 2 2 2= ，
2 2
2 2
2 2 10 2 所以， OM = OP - d = ÷÷ - ÷÷ = 2 .
è 2 è 2
uur
（2）解：因为直线OA的一个方向向量为 d1 = 1, k k > 0 ，
所以，直线OA的方程为 y = kx ，即 kx - y = 0 .
2k -1
点P 2,1 2到直线OA的距离为 d = 2 ， OM = OP - d 2 = 5 - d 2 ，k +1
S 1 OM d 1 d 5 d 2 6 2 9 16VOPM = × = - = ，可得 d = 5 或 ，2 2 5 5
2k -1 2 9 2k -1 2 16 11即 = 或 = ，因为 k > 0 ，解得 k = 或 k = 2 .
k 2 +1 5 k 2 +1 5 2
10-2．（2024 高二上·广东湛江·期中）已知直线 l： kx + y + k + 2＝（0 k R）．
(1)证明：直线 l一定经过第三象限；
(2)设直线 l与 x 轴， y 轴分别交于 A，B 点，当点P 1,0 离直线 l最远时，求VPAB 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
ìx +1 = 0
【分析】（1）直线 l 的方程可化为 x +1 k + y + 2＝0，由 íy 2 0即可求出直线 l 过定点 -1, -2 ，从而证得 + =
直线 l 一定经过第三象限．
（2）由（1）可知，直线 l 经过定点Q -1, -2 ，则当PQ ^ l时，点 P 离直线 l 最远，利用两点间距离公式
求出此时|PQ|的值，再根据两垂直直线的斜率关系求出 k 的值，得到直线 l 的方程，再求出点 A，B 的坐标，
从而求出△PAB 的面积．
【详解】（1）直线 l 方程 kx + y + k + 2＝0 ，可化为 x +1 k + y + 2＝0，
ìx +1 = 0 ìx = -1
令 íy 2 0，解得 íy ， + = = -2
则直线 l 经过定点Q -1, -2 ，
故直线 l 一定经过第三象限．
（2）由（1）可知，直线 l 经过定点Q -1, -2 ，则当PQ ^ l时，点 P 离直线 l 最远，且
PQ = -1-1 2 + -2 - 0 2 = 2 2 ，
k -2 - 0此时 PQ = =1，所以直线 l 的斜率为-1，-1-1
即 k＝1，则 l： x + y + 3＝0，
则 A -3,0 ，B 0, -3 2， AB = -3 + 32 = 3 2 ，
故VPAB 的面积为 S
1
= AB × PQ = 6 ．
2
10-3．（2024 高二下·全国·课堂例题）已知VABC 的顶点 ( 2,0)，B 2,2 ，C 1, -1 .求VABC 的面积.
【答案】5
【分析】求出直线的斜率，直接利用点斜式得到直线BC 的方程，然后求出点A 到直线BC 的距离和 BC ，
再结合三角形面积公式即可得结果.
BC k -1- 2【详解】直线 的斜率 = = 31 ，- 2
由直线方程的点斜式可得 y - 2 = 3(x - 2)，
化简可得3x - y - 4 = 0 .
3 (-2) - 0 - 4
所以点 A(-2,0)到直线BC 的距离 d = = 10
32
，
+ (-1)2
且 BC = 2 -1 2 + 2 +1 2 = 10 ，
S 1 1则 VABC = BC × d = 10 10 = 5 .2 2
题型 11：点到直线距离公式的应用
11-1．（2024 高二上·上海浦东新·阶段练习）已知点 A -1,2 , B 1,4 ，若直线 l 过点M -2,-3 ，且 A、B 到
直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程为 .
【答案】 x - y -1 = 0或3x - y + 3 = 0
【分析】根据直线 l过 AB 中点或与直线 AB 平行求得正确答案.
【详解】依题意， A, B到直线 l的距离相等.
AB 的中点为 0,3 ，
当 l过 0,3 以及M -2,-3 时，
-3 - 3
直线 l的方程为 y = x + 3 = 3x + 3,3x - y + 3 = 0 .
-2 - 0
2 - 4
直线 AB 的斜率为 =1，
-1-1
当直线 l过M -2,-3 并与 AB 平行时，
直线 l的方程为 y + 3 =1 x + 2 , x - y -1 = 0 .
综上所述，直线 l的方程为 x - y -1 = 0或3x - y + 3 = 0 .
故答案为： x - y -1 = 0或3x - y + 3 = 0
11-2．（2024·吉林·三模）已知 A(-2,0), B(4,a) 两点到直线 l : 3x - 4y +1 = 0的距离相等，则 a =（ ）
9 9
A．2 B． C．2 或-8 D．2 或
2 2
【答案】D
【分析】分 A(-2,0), B(4,a) 在 l : 3x - 4y +1 = 0的同侧和异侧分类讨论求解.
【详解】（1）若 A(-2,0), B(4,a) 在 l : 3x - 4y +1 = 0的同侧，
k k 3 a 3 9则 AB = l = ，所以 = ， a = ，4 6 4 2
（2）若 A(-2,0), B(4,a) 在 l : 3x - 4y +1 = 0的异侧，
则 A(-2,0), B(4,a) 的中点 1,
a
÷在直线 l : 3x - 4y +1 = 0上，
è 2
所以 4 - 2a = 0 解得 a = 2 ,
故选:D.
11-3．（2024 高二·全国·课后作业）已知点 P1 1,1 ，P2 5,4 到直线 l 的距离都等于 2，求直线 l 的方程．
【答案】
3x - 4y +11 = 0或3x - 4y - 9 = 0，7x + 24y -81 = 0， x = 3．
【分析】根据直线 l与直线P1P2 平行，过线段P1P2 的中点或斜率不存在分类讨论．
【详解】①当 l∥P1P2 时，因为直线P1P2 的方程为3x - 4y +1 = 0，所以可设直线 l 的方程为3x - 4y + m = 0．
m -1
由 d = = 2 m =11或m = -9，即直线 l 的方程为3x - 4y +11 = 0或3x - 4y - 9 = 0．
5
PP M 3, 5 y 5 5②当 l 过线段 1 2 的中点 ÷ 时，设 l 的方程为 - = k x - 3 ，即 kx - y + - 3k = 0．点P1到 l 的距离
è 2 2 2
3
- 2k
2 5 7d = = 2 7 k = - ，即 y - = - x - 3 7x + 24y -81 = 0 ．又当 l ^ x轴时，斜率不存在，此时 x = 3
2 24 2 24k +1
也符合题意．
综上直线 l的方程为：3x - 4y +11 = 0或3x - 4y - 9 = 0，7x + 24y -81 = 0， x = 3．
（五）
两平行线间的距离
求两条平行直线间距离的两种方法：
(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距
为点线距来求．
(2)公式法：设直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间
|C1－C2|
的距离 d＝ .
A2＋B2
题型 12：求两平行线间的距离
12-1．（2024 高二下·河南洛阳·阶段练习）两条平行线 l1 : 3x + 4y - 6 = 0， l2:9x +12y -10 = 0间的距离等于
（ ）
8 7 4 2
A． B． C． D．
15 15 15 15
【答案】A
【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可.
【详解】依题意，将直线 l1 : 3x + 4y - 6 = 0变为 l1:9x +12y -18 = 0，
又 l2:9x +12y -10 = 0，
-18 +10 8
所以两平行线间的距离为 d = = .
92 +122 15
故选：A.
12-2．（2024 高二上·全国·课后作业）两条平行直线 2x - 7y + 8 = 0与 2x - 7y - 6 = 0间的距离为（ ）
A 53． B 14 53．2 C．14 D．
14 53
【答案】D
【分析】由距离公式求解即可.
8 - -6 14 53
【详解】由距离公式可知，所求距离为 d = =
22 + -7 2 53
.
故选：D
12-3．（2024 高二上·福建宁德·期中）若两条平行直线 l1 : x - 2y + m = 0 m > 0 与 l2 : 2x + ny - 6 = 0 之间的距离是
2 5 ，则m + n = ．
【答案】3
【分析】由两直线平行列方程求出 n ，再由两平行线间的距离公式列方程可求出m 的值，从而可求出结果.
【详解】因为直线 l1 : x - 2y + m = 0 m > 0 与 l2 : 2x + ny - 6 = 0 平行，
2 n -6
所以 = ，解得 n = -4且m -3，
1 -2 m
所以直线 l2为2x - 4y - 6 = 0，
直线 l1 : x - 2y + m = 0 m > 0 化为 2x - 4y + 2m = 0 m > 0 ，
因为两平行线间的距离为 2 5 ，
2m - (-6)
所以 = 2 52 2 ，得 2m + 6 = 20，2 + (-4)
因为m > 0
所以 2m + 6 = 20，得m = 7 ，
所以m + n = 7 - 4 = 3，
故答案为：3
12-4．（2024 高二下·河南周口·阶段练习）已知两条直线 l1 : l + 2 x + 1- l y + 2l - 5 = 0，
l2 : k +1 x + 1- 2k y + k - 5 = 0，且 l1//l2，当两平行线距离最大时，l + k =（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
l + 2 k +1 1
【分析】求出 l1, l2 恒过的定点 A, B，故 l1， l2距离的最大值为 AB = 5 ，所以- = - = - = 21- l 1- 2k k ，AB
求解即得出答案.
【详解】 l1 : l x - y + 2
ìx - y + 2 = 0
+ 2x + y - 5 = 0，由 í ，
2x + y - 5 = 0
ìx =1
解得 í l A 1,3
y
，故 过定点 ．
= 3 1
x - 2y +1 = 0
l2 : k x
ì
- 2y +1 + x + y - 5 = 0，由 í ，
x + y - 5 = 0
ìx = 3
解得 íy ，故
l 过定点B 3,2 ，
= 2
2
故 l1， l2距离的最大值为 AB = 5 ．
l + 2 1
- = - = 2 k +1此时， 1- l k ，则l = 4，- = 2 ，AB 1- 2k
解得 k =1，故l + k = 5．
故选：C．
题型 13：距离公式的综合应用
13-1．【多选】（2024 高二上·福建南平·期末）已知直线 l1 : 4x - 3y - 3 = 0，直线
l2 : m + 2 x - m +1 y + m = 0 m R ，则（ ）
A．当m = -1时， l1 ^ l2 B．当m = 2 时， l1 / / l2
C．当 l1 / / l2时， l1与 l2之间的距离为 1 D．直线 l2过定点 2,1
【答案】BC
【分析】通过m 的取值结合选项验证可得 A,B,C 的正误，利用求直线过定点的方法可得 D 的正误.
【详解】对于 A，m = -1时， l2 : x -1 = 0 ，显然与 l1不垂直，A 不正确；
4 -3 -3
对于 B，m = 2 时， l2 : 4x - 3y + 2 = 0，因为 = ，所以 l1 / / l2，B 正确；4 -3 2
对于 C，当 l1 / / l2时， 4m + 4 = 3m + 6且3m -3m - 3，解得m = 2 ，
2 + 3
此时 l2 : 4x - 3y + 2 = 0， l d = =11与 l2之间的距离为 2 ，C 正确；4 + -3 2
ìx - y +1 = 0 ìx =1对于 D，m x - y +1 + 2x - y = 0 ，令 í2x y ，解得 ， - = 0
í
y = 2
所以直线 l2过定点 1,2 ，D 不正确.
故选：BC.
13-2．【多选】（2024 高二下·江苏南京·期末）已知动点 A, B分别在直线 l1 : 3x - 4y + 6 = 0与 l2 : 3x - 4y +10 = 0
上移动，则线段 AB 的中点 P 到坐标原点O的距离可能为（ ）
7
A． 2 B． C．5 3
D． 5
【答案】CD
【分析】根据直线平行可得 P 在直线 l : 3x - 4y + 8 = 0上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：Q动点 A, B分别在直线 l1：3x - 4y + 6 = 0与 l2：3x - 4y +10 = 0上移动，
又线段 AB 的中点为 P ， l2 / /l1，
\P在直线 l : 3x - 4y + 8 = 0上运动，
8 8
\O 到直线 l的距离 d = =
32 + 42 5
．
8
\P到坐标原点O的距离大于等于 ．
5
故选：CD．
13-3．【多选】（24-25 高二上·全国·单元测试）已知两条直线 l1， l2的方程分别为3x + 4y +12 = 0与
ax + 8y -11 = 0，下列结论正确的是（ ）
A．若 l1 //l2，则 a = 6 B．若 l1 //l
7
2，则两条平行直线之间的距离为 4
32
C．若 l1 ^ l2，则 a = D．若 a 6，则直线 l1， l2一定相交3
【答案】AD
【分析】根据两直线平行求出 a的值，可判断 A 选项；利用平行线间的距离公式可判断 B 选项；根据两直
线垂直求出 a的值，可判断 C 选项；根据两直线相交求出 a的范围，可判断 D 选项.
【详解】两条直线 l1， l2的方程分别为3x + 4y +12 = 0与 ax + 8y -11 = 0，它们不重合，
若 l1 //l2，则 4a = 3 8，得 a = 6，检验符合，故 A 选项正确；
若 l1 //l2，由 A 选项可知， l2：6x + 8y -11 = 0，直线 l1的方程可化为6x + 8y + 24 = 0，
11+ 24 7
故两条平行直线之间的距离为 = ，故 B 选项不正确；
36 + 64 2
若 l1 ^ l
32
2，则3a + 4 8 = 0 ，得 a = - ，故 C 选项不正确；3
由 A 选项知，当 a = 6时， l1 //l2，所以若 a 6，则直线 l1， l2一定相交，故 D 选项正确.
故选：AD.
（六）
直线的对称问题
有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称：
①点 P(x，y)关于 O(a x′＝2a－x，，b)的对称点 P′(x′，y′)满足{y′＝2b－y.
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称：
n－b
×
－ ( A－ )＝－1，
①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点 A′(m m a B，n)，则有{ a＋m b＋nA· ＋B· ＋C＝0.2 2
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．　　　　
题型 14：直线的对称问题
14-1．（2024 高二上·河北张家口·期中）点P 2,0 关于直线 l : x - y + 3 = 0的对称点 Q 的坐标为（ ）．
A． -3,5 B． -1, -4 C． 4,1 D． 2,3
【答案】A
【分析】利用中点和斜率来求得Q点坐标.
【详解】设点P 2,0 关于直线 l : x - y + 3 = 0的对称点的坐标为 a,b ，
ìb - 0
1 = -1 a - 2 ìa = -3
则 í ，解得 ．
a + 2 b
íb = 5
- + 3 = 0
2 2
所以点 Q 的坐标为 -3,5 .
故选：A
14-2．（2024 高二上·湖南郴州·阶段练习）已知入射光线经过点M (-3，4) ，被直线 l： x - 3 = 0反射，反射光
线经过点 N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为 .
【答案】 2x + 7 y - 46 = 0
【分析】
根据对称性可求得M 关于直线 l 的对称点 P 的坐标，再利用直线的两点式方程即可求得结果.
【详解】由题意可知，反射光线经过点M (-3，4) 关于直线 l的对称点P(9, 4)，
如图所示：
直线PN 的方程即为反射光线所在的直线方程，
N (2 6) P(9, 4) k 6 - 4 2又 ， ， 可得 PN = = - ，2 - 9 7
2
根据直线的点斜式方程可得，反射光线所在直线方程为 y - 6 = - x - 2 ，
7
整理得 2x + 7 y - 46 = 0，即反射光线所在直线的方程为 2x + 7 y - 46 = 0 .
故答案为： 2x + 7 y - 46 = 0 .
14-3．（2024 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线 x - 2y + 3 = 0关于点 (1,1) 对称的直线方程为 .
【答案】 x - 2 y -1 = 0
【解析】在对称的直线方程上任取一点P x, y ，根据点对称性可得 2 - x, 2 - y 在直线 x - 2y + 3 = 0上，代
入即可求解.
【详解】设直线 x - 2y + 3 = 0关于点 (1,1) 对称的直线方程为 l ，
在 l 上任取一点P x, y ，
则点 P 关于点 (1,1) 对称的点P 的坐标为 2 - x, 2 - y ，
由题意可知点P 在直线 x - 2y + 3 = 0上，
故 2 - x - 2 2 - y + 3 = 0，整理可得 x - 2 y -1 = 0 .
故答案为： x - 2 y -1 = 0
【点睛】本题考查了直线关于点对称问题，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
14-4．（2024·上海静安·二模）设直线 l1 : x - 2y - 2 = 0与 l2关于直线 l : 2x - y - 4 = 0 对称，则直线 l2的方程是
（　　）
A．11x + 2y - 22 = 0 B．11x+ y +22 = 0
C．5x + y -11 = 0 D．10x+ y -22 = 0
【答案】A
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线 l2上一点，即可求解.
ìx - 2y - 2 = 0 ìx = 2
【详解】联立 í2x y 4 0，得 ， - - =
í
y = 0
取直线 l1 : x - 2y - 2 = 0上一点 0, -1 ，设点 0, -1 关于直线 l : 2x - y - 4 = 0 的对称点为 a,b ，则
ìb +1 1
= - a 2 12
í ，解得： a = ,b
11
= -
a b 1 ， 2 - - - 4 = 0 5 5
2 2
直线 l
11
2的斜率 k = - ，所以直线 l2的方程为 y
11
= - x - 2 ，
2 2
整理为：11x + 2y - 22 = 0 .
故选：A
一、单选题
1．（2024 高二·全国·课后作业）求直线 x＋2y－1＝0 关于直线 x＋2y＋1＝0 对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.
【详解】设对称直线方程为 x + 2y + c = 0 ，
1+1 c -1
= ，解得 c = 3或 c = -1（舍去）.
1+ 22 1+ 22
所以所求直线方程为 x + 2y + 3 = 0 .
故选：B
2．（2024 高二上·江苏连云港·期中）若三条直线 2x + ky + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 2x - y = 0交于一点，则 k 的值
为（ ）
1 1
A．-2 B．- C．3 D．
2 2
【答案】C
【分析】先求出直线 x - y -1 = 0和 2x - y = 0的交点，再把交点坐标代入 2x + ky + 8 = 0 即得解.
ì2x - y = 0 ìx = -1
【详解】解：联立 í .
x
得
- y -1 = 0 í y = -2
ìx = -1
把 í 代入 2x + ky + 8 = 0 得 k = 3 .
y = -2
故选：C
3．（2024 高二上·新疆·期中）直线 2x + 3y + 4 = 0 关于 y 轴对称的直线方程为（ ）
A． 2x + 3y - 4 = 0 B． 2x - 3y + 4 = 0
C． 2x - 3y - 4 = 0 D．3x + 2y - 4 = 0
【答案】C
【分析】利用对称性质可得原直线上的点关于 y 轴的对称点，代入对称点，即可得到答案.
【详解】设点P x, y 是所求直线上任意一点，则 P 关于 y 轴的对称点为P -x, y ，且在直线 2x + 3y + 4 = 0
上，代入可得-2x + 3y + 4 = 0，即 2x - 3y - 4 = 0 .
故选：C.
4．（2024 高二上·浙江·期中）已知点 (a, 2)(a > 0)到直线 l : x - y + 3 = 0的距离为1，则 a等于（ ）
A． 2 B． 2 - 2 C． 2 -1 D． 2 +1
【答案】C
【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.
| a - 2 + 3 |
【详解】解：由题意得 =1．
1+1
解得 a = -1+ 2 或 a = -1- 2 ．Qa > 0，\a = -1+ 2 ．
故选：C.
5．（2024 高二上·广东广州·期末）已知点P(-1,2) 到直线 l : 4x - 3y + m = 0的距离为 1，则 m 的值为（ ）
A．-5或-15 B．-5或 15 C．5 或-15 D．5 或 15
【答案】D
【分析】利用点到直线距离公式即可得出.
【详解】解：点P(-1,2) 到直线 l : 4x - 3y + m = 0的距离为 1，
| -1 4 - 3 2 + m |
\ =1,
42 + (-3)2
解得：m=15 或 5．
故选：D.
6．（2024 高二上·河北唐山·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
x2 + y2 3，若将军从点 A 3,1 处出发，河岸线所在直线方程为 x + y = 5，并假定将军只要到达军营所在区
域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． 10 - 3 B． 10 C． 2 5 - 3 D． 2 5
【答案】C
【解析】设点A 关于直线 x + y = 5的对称点 A a,b ，则 A O - 3为最短距离，根据垂直和中点坐标求出对
称点 A a,b 即可得解.
【详解】设点A 关于直线 x + y = 5的对称点 A a,b ．
根据题意， A O - 3为最短距离，先求出 A 的坐标．
a + 3 b +1
AA 的中点为 , ÷，直线 AA 的斜率为 1，
è 2 2
故直线 AA 的方程为 y -1 = x - 3，即 y = x - 2．
ìa + 3 b +1
+ = 5
由 í 2 2 ，联立得 a = 4，b = 2 ，
b = a - 2
\ A 4,2 ，则 A O = 42 + 22 = 2 5 ，
故 A O - 3 = 2 5 - 3 ，
则“将军饮马”的最短总路程为 2 5 - 3 ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：转化为点A 关于直线 x + y = 5的对称点 A 与原点O的距离求解是解题关键.
7．（2024 高二上·河南南阳·阶段练习）直线 l : 4x + 3y - 2 = 0关于点 A 1,1 对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
【答案】B
【分析】首先设对称直线上任意一点P x, y ，得到P x, y 关于 A 1,1 对称点为 2 - x, 2 - y ，再代入直线 l
即可得到答案。
【详解】设直线 l : 4x + 3y - 2 = 0关于点 A 1,1 对称的直线上任意一点P x, y ，
则P x, y 关于 A 1,1 对称点为 2 - x, 2 - y ，
又因为 2 - x, 2 - y 在 4x + 3y - 2 = 0上，
所以 4 2 - x + 3 2 - y - 2 = 0，即 4x + 3y -12 = 0。
故选：B
8．（2024 高二·全国·课后作业） x + y =1关于原点对称的直线是（ ）
A． x - y -1 = 0 B． x - y +1 = 0 C． x + y +1 = 0 D． x + y -1 = 0
【答案】C
【分析】将直线方程中的 x 换为-x， y 换为 -y，即可得到关于原点对称的直线方程.
【详解】解：对于直线 x + y =1，将 x 换为-x， y 换为 -y得到-x - y =1，即 x + y +1 = 0，
所以直线 x + y =1关于原点对称的直线是 x + y +1 = 0 .
故选：C
9．（2024 高二上·全国·课后作业）若直线 2x - y - 3 = 0与 4x - 2y + a = 0 之间的距离为 5 ，则 a 的值为（ ）
A．4 B． 5 - 6 C．4 或-16 D．8 或-16
【答案】C
【分析】将直线 2x - y - 3 = 0化为 4x - 2y - 6 = 0，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线 2x - y - 3 = 0化为 4x - 2y - 6 = 0，
| a - (-6) | | a + 6 |
则直线 2x - y - 3 = 0与直线 4x - 2y + a = 0 之间的距离 d = = ，
16 + 4 2 5
| a + 6 |
根据题意可得： = 5 ，即 | a + 6 |=10，解得 a = 4或 a = -16，
2 5
所以 a 的值为 a = 4或 a = -16 .
故选：C
10．（2024 高二下·河南南阳·阶段练习）若平面内两条平行线 l1： x + a -1 y + 2 = 0， l2：ax + 2y +1 = 0间的
3 2
距离为 ，则实数 a =（ ）
4
A．2 B．－2 或 1 C．－1 D．－1 或 2
【答案】A
【分析】根据直线平行，求得 a的值，结合两平行线的距离公式，即可求解.
【详解】因为两直线 l1： x + a -1 y + 2 = 0， l2： ax + 2y +1 = 0平行，
可得1 2 = (a -1) a且1 1 2a，解得 a = 2或 a = -1，
当 a = 2时， l1 : x + y + 2 = 0， l2 : 2x + 2y +1 = 0 ，即 l1 : 2x + 2y + 4 = 0，
4 -1 3 2
可两平行线间的距离为 d = = ，符合题意；
22 + 22 4
当 a = -1时， l1 : x - 2y + 2 = 0， l2 : -x + 2y +1 = 0 ，即 l2 : x - 2y -1 = 0，
2 - (-1) 3 5
可两平行线间的距离为 d = =2 2 5 ，不符合题意，舍去.1 + (-2)
故选：A.
11．（2024 高二上·河北石家庄·阶段练习）两直线 2x + 3y - k = 0和 x - ky +12 = 0 的交点在 y 轴上，则 k 的值
是（ ）
A．-24 B．6 C．±6 D．24
【答案】C
【解析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解 k 即可．
【详解】因为两条直线 2x + 3y - k = 0和 x - ky +12 = 0 的交点在 y 轴上，
所以设交点为 (0,b)，
ì3b - k = 0
所以 í ，消去b ，可得 k = ±6kb 12 0 ． - + =
故选：C ．
【点睛】本题考查两条直线的交点坐标的求法与应用，考查计算能力，属于基础题．
12．（2024 高二·全国·课后作业）若三条直线 2x + y - 4 = 0， x - y +1 = 0 与 ax - y + 2 = 0共有两个交点，则实
数 a的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1 或-2 D．-1
【答案】C
【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求.
【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，
∵直线 x - y +1 = 0 和直线 2x + y - 4 = 0不平行，
∴直线 x - y +1 = 0 和直线 ax - y + 2 = 0平行或直线 2x + y - 4 = 0和直线 ax - y + 2 = 0平行，
∵直线 x - y +1 = 0 的斜率为 1，直线 2x + y - 4 = 0的斜率为-2，直线 ax - y + 2 = 0的斜率为 a，
∴ a =1或 a = -2 .
故选：C.
13．（2024 高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为 l1 : 3x - 2y - 6 = 0 ， l2 : x - y - 2 = 0，则 l1关于 l2对称的
直线方程为（ ）
A．3x - 2y - 4 = 0 B． 2x + 3y - 6 = 0
C． 2x - 3y - 4 = 0 D．3x - 2y - 6 = 0
【答案】C
【分析】根据题意，设所求直线上任一点 M（x，y）且 M 关于直线 l2 : x - y - 2 = 0的对称点M (x1 ， y1)，利
用轴对称的性质列出方程组解出用 x 、 y 表示x1、 y1 的式子，再由点M 在直线3x - 2y - 6 = 0上代入，化简
即得所求对称直线方程；
【详解】设所求直线上任一点M (x, y)，M 关于直线 x - y - 2 = 0 的对称点M (x1 ， y1)，
ì y - y1
= -1 x - x ìx1 = y + 2
则 í 1 ，解出 í (*)
x + x y = x - 21 y + y- 1 - 2 = 0 1 2 2
Q点M 在直线3x - 2y - 6 = 0上， \将 (*)式代入，得3(y + 2) - 2(x - 2) - 6 = 0 ，
化简得 2x - 3y - 4 = 0，即为 l1关于 l2对称的直线方程．
故选：C
14．（2024·全国）如果直线 y = ax + 2与直线 y = 3x - b 关于直线 y = x 对称，那么（ ）
a 1
1
A． = ,b = 6 B． a = ,b = -6 C． a = 3,b = -2 D． a = 3,b = 63 3
【答案】A
【分析】由题意在 y = ax + 2上任取一点 (0,2)，其关于直线 y = x 的对称点在 y = 3x - b 上，代入可求出b ，然
后在 y = 3x - b 上任取一点，其关于直线 y = x 的对称点在 y = ax + 2上，代入可求出 a .
【详解】在 y = ax + 2上取一点 (0,2)，
则由题意可得其关于直线 y = x 的对称点 (2,0)在 y = 3x - b 上，
所以0 = 6 - b ，得b = 6，
在 y = 3x - 6 上取一点 (0, -6) ，
则其关于直线 y = x 的对称点 (-6,0) 在 y = ax + 2上，
1
所以0 = -6a + 2，得 a = ，
3
1
综上 a = ,b = 63 ，
故选：A
15．（2024 高二下·贵州）若直线 ax + y - 4 = 0与直线 x - y - 2 = 0 的交点位于第一象限，则实数 a 的取值范围
是（ ）
A． a < -1或 a > 2 B． a > -1 C． a < 2 D．-1 < a < 2
【答案】D
【分析】先求得两直线的交点坐标，再根据题意列出不等式组，求解即可.
ì 6
ìax + y - 4 = 0 x = a +1
【详解】联立 í
x y
得 ，
- - 2 = 0 í y 4 - 2a=
a +1
因为直线 ax + y - 4 = 0与直线 x - y - 2 = 0 的交点位于第一象限，
ì 6

> 0
a +1
所以 í ，解得-1 < a < 2 .
4 - 2a > 0
a +1
故选：D
16．（2024 高二下·贵州黔东南·阶段练习）点 P 在直线3x - 4y - 5 = 0上，O为原点，则 OP 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C． 5 D． 2 5
【答案】A
【分析】利用垂线段的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
-5
【详解】原点O到直线3x - 4y - 5 = 0的距离为 =1
32
，
+ -4 2
根据垂线段的性质可知 OP 的最小值是1，
故选：A
17．（2024 高二上·广西河池·期末）已知直线 l1 : x + ay + 2 = 0 ，l2 : 2x + 4 y + 3 = 0 相互平行，则 l1、l2之间的距
离为（ ）
A 5 B 5 C 2 5 D 5． ． ． ．
10 5 5 2
【答案】A
【分析】根据两直线平行得到关于 a 的方程，求出 a的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.
【详解】因为直线 l1 : x + ay + 2 = 0 ， l2 : 2x + 4 y + 3 = 0 相互平行，
所以2a - 4 = 0 ，解得 a = 2，
所以 l1 : x + 2y + 2 = 0 ，即2x + 4 y + 4 = 0，
4 - 3
所以 l1、 l
5
2之间的距离 d = = .
22 + 42 10
故选：A.
18．（2024 高二上·江苏淮安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出
发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
B -2,0 ，若将军从山脚下的点 A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程为 x + y = 3，则“将军饮马”的最短总
路程为（ ）
A． 27 B．5 C． 15 D． 29
【答案】D
【分析】设B -2,0 关于 x + y = 3的对称点为 (x, y)，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮
马”的最短总路程.
【详解】由B -2,0 关于 x + y = 3的对称点为 (x, y)，
ì x - 2 y
+ = 3 2 2 ìx = 3
所以 í ，可得 í ，即对称点为 (3,5) ，又 A(1,0)
y =1 y = 5
x + 2
所以“将军饮马”的最短总路程为 (3 -1)2 + 52 = 29 .
故选：D
19．（2024 高一下·全国·课后作业）直线 l : x + 2y -1 = 0关于点 (1, -1) 对称的直线 l 的方程为（ ）
A． 2x - y - 5 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x + 2y + 3 = 0 D．2x - y -1 = 0
【答案】C
【分析】根据直线关于直线外一点 (1, -1) 的对称直线互相平行可知其斜率，再取 l上一点求其关于点 (1, -1) 的
对称点，即可求出 l 的方程.
【详解】由题意得 l / /l ，故设 l : x + 2y + c = 0 (c -1)，
在 l 上取点 A(1,0)，则点 A(1,0)关于点 (1, -1) 的对称点是 A (1,-2) ，
所以1 + 2 (-2) + c = 0 ，即 c = 3，
故直线 l 的方程为 x + 2y + 3 = 0 .
故选：C
20．（2024 高二上·四川遂宁·期末）已知点 A 与点B(2,1) 关于直线 x+y + 2 = 0对称，则点 A 的坐标为（ ）
A． (-1,4) B． (4,5)
C． (-3, -4) D． (-4,-3)
【答案】C
【分析】因点 A 与点 B 关于直线对称，则 AB 中点在直线 x+y + 2 = 0上且直线 AB 与直线 x+y + 2 = 0垂直.
【详解】设 A x, y ，因点 A 与点 B 关于直线对称，则 AB 中点在直线 x+y + 2 = 0上且直线 AB 与直线 x+y + 2 = 0
垂直，
ì x + 2 y +1
+ + 2 = 0 2 2 ìx = -3
则 í
y -1
í ，
1 y = -4=
x - 2
即点 A 坐标为 (-3, -4) .
故选：C
21．（2024 高二上·江苏连云港·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”
2 2
事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： x - a + y - b 可以转化为平面上点M x, y
与点 N a,b 的距离.结合上述观点，可得 f x = x2 +10x + 26 + x2 + 6x +13 的最小值为（ ）
A．5 B． 29 C． 13 D． 2 + 13
【答案】C
【分析】记点P x,0 、 A -5,1 、B -3, -2 ，可得出 f x = PA + PB ，数形结合可求得 f x 的最小值.
【详解】因为 f x = x + 5 2 +1 + x + 3 2 + 4 = x + 5 2 + 0 -1 2 + x + 3 2 + 0 + 2 2 ，
记点P x,0 、 A -5,1 B -3, -2 f x = PA + PB AB = -5 + 3 2、 ，则 + 1+ 2 2 = 13 ，
当且仅当点 P 为线段 AB 与 x 轴的交点时，等号成立，即 f x 的最小值为 13 .
故选：C.
22．（2024 高三下·河北石家庄·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角
形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三
2 2 2
边的张角相等均为120° .根据以上性质， z = x -1 + y2 + x +1 + y2 + x2 + y - 2 的最小值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 - 3 D． 2 + 3
【答案】D
【分析】易得 z 的几何意义为点M x, y 到点 A -1,0 , B 1,0 ,C 0,2 的距离之和的最小值.此时点M x, y 为
费马点,再根据 AMB = 120°求解M x, y 的坐标,进而求得最小值即可.
【详解】由题 z 的几何意义为点M x, y 到点 A -1,0 , B 1,0 ,C 0,2 的距离之和的最小值.
由题可知,此时 AMB = 120° ,且M x, y 在 y 轴上.
故OM AO 3= = . AM = BM = 2OM 2 3= , CM 2 3= - .
3 3 3 3
故 z 2 3 3的最小值为 2 + 2 - = 2 + 3
3 3
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据距离公式数形结合求解最小值的问题,需要根据题意画出坐标系,再结合所给费
马点的定义求解.属于中档题.
二、多选题
23．（2024 高二上·全国·课后作业）三条直线 x + y = 0， x - y = 0， x + ay = 3构成三角形，则 a的值不能为
（ ）
A．1 B． 2
C．-1 D．－2
【答案】AC
【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线 x + ay = 3不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不
平行.
【详解】直线 x + y = 0与 x - y = 0都经过原点，而无论 a为何值，直线 x + ay = 3总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线 x + ay = 3与另两条直线不平行，
所以 a ±1．
故选：AC.
三、填空题
24．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 y = 3x - 4关于点 P(1,1) 对称的直线方程为 ．
【答案】 y = 3x
【分析】根据点关于点对称的坐标关系，即可将 A x, y 关于点 P(1,1) 对称的点 A 2 - x,2 - y 代入已知直线
中求解.
【详解】在对称直线上任取一点 A x, y ,设 A x, y 关于点 P(1,1) 对称的点为 A 2 - x,2 - y ，由于
A 2 - x,2 - y 在直线 y = 3x - 4上，所以 2 - y = 3 2 - x - 4，即 y = 3x ，
故答案为： y = 3x
25．（2024 高三·全国·课后作业）若直线 y = ax + 2与 y = 3x - 6 关于直线 y = x 对称，则实数 a= .
1
【答案】
3
【分析】根据特殊点求得 a的值.
【详解】直线 y = 3x - 6 过点 0, -6 ，
点 0, -6 关于直线 y = x 对称点为 -6,0 ，
依题意可知点 -6,0 在直线 y = ax + 2上，
所以-6a + 2 = 0, a
1
= .
3
1
故答案为：
3
26．（2024 高二·江苏·假期作业）已知点M x,-4 与点 N 2,3 间的距离为7 2 ，则 x = ．
【答案】9 或-5
【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可.
【详解】由 MN = 7 2 ，
得 MN = (x - 2)2 + (-4 - 3)2 = 7 2 ，
即 x2 - 4x - 45 = 0，解得 x = 9 或-5．
故答案为：9 或-5 .
27．（2024 高二·全国·课后作业）直线 2x + 5y - 3 = 0关于点M (-1, 2)对称的直线方程是 ．
【答案】 2x + 5y -13 = 0
【分析】由直线 2x + 5y - 3 = 0关于点M (-1, 2)对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点
M (-1, 2)到两条直线的距离相等可解出答案.
【详解】设对称直线为 l : 2x + 5y + C0 = 0 ，
8 + C0 -2 + 5 2 - 3
则有 =2 2 2 2 ，2 + 5 2 + 5
解这个方程得C0 = -3（舍）或C0 = -13 .
所以对称直线 l 的方程中 2x + 5y -13 = 0
故答案为： 2x + 5y -13 = 0
28．（2024 高二·全国·课后作业）设直线 l经过 2x - 3y + 2 = 0和3x - 4y - 2 = 0的交点，且与两坐标轴围成等
腰直角三角形，则直线 l的方程为 .
【答案】 x - y - 4 = 0 或 x + y - 24 = 0
【分析】由题可求交点，结合条件即可求出；或设直线系方程，结合已知即求.
ì2x - 3y + 2 = 0 ìx =14
【详解】方法一：由 í3x 4y 2 0 ，得 - - =
í
y =10
，
所以两条直线的交点坐标为（14，10）,
由题意可得直线 l的斜率为 1 或-1，
所以直线 l的方程为 y -10 = x -14或 y -10 = - x -14 ，
即 x - y - 4 = 0 或 x + y - 24 = 0 .
方法二：设直线 l的方程为 2x - 3y + 2 + l 3x - 4y - 2 = 0，整理得 2 + 3l x - 4l + 3 y - 2l + 2 = 0，
2 + 3l
由题意，得 = ±1
5
，解得l = -1或l = - ，
3+ 4l 7
所以直线 l的方程为 x - y - 4 = 0 或 x + y - 24 = 0 .
故答案为： x - y - 4 = 0 或 x + y - 24 = 0 .
29．（2024 高二·全国·课后作业）如果直线 y = ax + 2与直线 y = 3x - b 关于直线 y = x 对称，那么 a = ，
b = ．
1
【答案】 6
3
【分析】根据特殊点求得 a、b 的值.
【详解】解：直线 y = ax + 2上的点M 0,2 关于 y = x 的对称点M 2,0 在 y = 3x - b 上，
所以3 2 - b = 0，解得b = 6，
直线 y = 3x - 6 上的点 N 0, -6 关于 y = x 的对称点 N -6,0 在 y = ax + 2上，
1
所以-6a + 2 = 0，解得 a = .
3
1
故答案为： ；6
3
30．（2024 高二·全国·课后作业）若直线 l1 : y = -x + b与直线 l2 : 5x + 3y - 31 = 0的交点在第一象限，则实数 b
的取值范围是 .
31
【答案】 ( ,
31)
5 3
31 31
【分析】求得直线 l2与坐标轴的交点坐标 A(0, ), B( ,0) ，代入 A, B的坐标，求得b 的值，结合题意，即3 5
可求解.
【详解】由题意，直线 l2 : 5x + 3y - 31 = 0，
31
令 x = 0，可得 y = ；令 y 0 y
31 31 31
= ，可得 = ，即 A(0, ), B( ,0) ，
3 5 3 5
如图所示，
当直线 l1 : y = -x + b
31
过点 A(0, ) b
31
，可得 = ；
3 3
当直线 l1 : y = -x + b B(
31
过点 ,0)
31
，可得b = ，
5 5
31 31
要使得直线 l1与直线 l2的交点在第一象限，则 < b < ，5 3
31 31
即实数b 的取值范围是 ( , ) .
5 3
31
故答案为： ( ,
31) .
5 3
31．（2024 高三·全国·专题练习）直线 2x - y + 3 = 0关于直线 x - y + 2 = 0 对称的直线方程是 .
【答案】 x - 2y + 3 = 0
ìx = y - 2
【分析】设点 P(x, y) 0，根据中点公式和斜率关系可得 íy ，代入
2x - y + 3 = 0即可.
0 = x + 2
【详解】设所求直线上任意一点 P(x, y) ，
点 P 关于 x - y + 2 = 0 的对称点为P (x0 , y0 ) ,
如图所示：
ì x + x0 y + y
-
0 + 2 = 0
2 2 ìx0 = y - 2,
则有 í ，得 í
x - x0 = -1 y0 = x + 2.
y - y0
∵点 P′(x0，y0)在直线 2x－y＋3＝0 上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即 x－2y＋3＝0.
故答案为： x - 2y + 3 = 0
32．（2024 高二·全国·课后作业）如果直线 l 与直线 x + y -1 = 0 关于 y 轴对称，那么直线 l 的方程是 ．
【答案】 x - y +1 = 0
【分析】若直线关于 y 轴对称，则斜率互为相反数，结合交点坐标即可求解.
【详解】解：∵直线 x + y -1 = 0 的斜率为-1，且与 y 轴交于（0，1）点，
又∵直线 l 与直线 x + y -1 = 0 关于 y 轴对称，
∴直线 l 的斜率为 1，且过（0，1）点，
则直线 l 的方程为 x - y +1 = 0 ，
故答案为： x - y +1 = 0
ì x + 2y = 4
33．（2024·上海奉贤·二模）若关于 x ， y 的方程组 í3x ay 6有唯一解，则实数 a 满足的条件是
.
+ =
【答案】 a 6 / a - 6 0
【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程 a - 6 y + 6 = 0有唯一解，进而得到实数 a 满足的条件
ì x + 2y = 4
【详解】由 í ，可得 a - 6 y + 6 = 03x ， + ay = 6
y ì x + 2y = 4由关于 x ， 的方程组 í3x 有唯一解， + ay = 6
可得方程 a - 6 y + 6 = 0有唯一解，则 a 6
故答案为： a 6
34．（2024 高三·全国·对口高考）过点P 0,1 且和 A 3,3 , B 5,-1 的距离相等的直线方程是 ．
【答案】 2x + y -1 = 0或 y =1
【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为 kx - y +1 = 0，利用点到直线的
距离公式，列出方程求得 k 的值，即可求解.
【详解】若斜率不存在时，过点 P(0,1)的直线为 x = 0，此时不满足条件；
若斜率存在时，设过点 P(0,1)的直线 l : y -1 = kx ，即 kx - y +1 = 0．
| 3k - 3 +1| | 5k +1+1|
根据题意，可得 = ，解得 k = -2或 k = 0，
k 2 +1 k 2 1 1 2+
当 k1 = -2时，直线方程为 2x + y -1 = 0，
当 k2 = 0时，直线方程为 y =1
综上可得，直线方程为 2x + y -1 = 0或 y =1．
故答案为： 2x + y -1 = 0或 y =1
ì7x - by = 3
35．（2024 高二上·上海徐汇·期中）关于 x y 的二元一次方程组 í a b
ax + 5y = 2
有无穷多组解，则 与 的积
是 .
【答案】-35
ì7x - by = 3
【解析】由 x y 的二元一次方程组 í 7x - by = 3 ax + 5y = 2 .
ax + 5y
有无穷多组解，则直线 与直线 重合求解
= 2
ì7x - by = 3
【详解】因为 x y 的二元一次方程组 íax 有无穷多组解， + 5y = 2
所以直线7x - by = 3与直线 ax + 5y = 2 重合，
7 -b 3 a 14所以 = = ，解得 = ,b
15
= - ，
a 5 2 3 2
所以 ab = -35，
故答案为：-35
36．（2024 高三·全国·中职高考）点 A -1,0 关于直线 l : y = kx k 0 的对称点的坐标为 ．
k 2 -1, 2k

【答案】 2 -k +1 k 2è +1
÷

【分析】根据对称性直接列式求解即可.
【详解】设点 A -1,0 关于直线 l : y = kx k 0 的对称点的坐标为 a,b ，则
ìb k·a -1 ì
2
= a k -1 = 2 2 k 2 +1
í b ，解得 í ， k· = -1 b 2k= -
a +1 k 2 +1

2
即点 A
k -1 2k
-1,0 关于直线 l : y = kx k 0 的对称点的坐标为 ,- .
è k
2 +1 k 2 +1÷
k 2 -1 2k
故答案为： 2 ,- .
è k +1 k
2 +1÷
37．（2024 高二上·上海长宁·期末）已知 A -5,2 ，B 两点关于直线 x + y -10 = 0 对称，则点 B 的坐标为 .
【答案】 (8,15)
ìb - 2 × (-1) = -1
B(a,b)
a + 5
【分析】设点 ，由题意可得 í .
a - 5 b
，求解即可
+ 2
+ -10 = 0
2 2
【详解】解：设点B(a,b) ，
因为直线 x + y -10 = 0 的斜率为 k = -1，
ìb - 2
× (-1) = -1 a + 5
则有 í
a - 5 b + 2
，
+ -10 = 0
2 2
ìa = 8
解得： íb ， =15
所以点 B 的坐标为 (8,15) .
故答案为： (8,15)
38．（2024 高二·全国·单元测试）直线 2x - y + 3 = 0关于点 A 5,3 的对称直线方程是 ．
【答案】 2x - y -17 = 0
【分析】由直线 2x - y + 3 = 0关于点 A 5,3 对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点 A 5,3
到两条直线的距离相等可解出答案.
【详解】设对称直线为 l : 2x - y + C0 = 0，
2 5 - 3+ C0 5 2 - 3 + 3
则有 =2 2 2 2 ，即 7 + C0 =102 + -1 2 + -1
解这个方程得C0 = 3（舍）或C0 = -17 .
所以对称直线 l 的方程中 2x - y -17 = 0 .
故答案为： 2x - y -17 = 0 .
39．（2024 高二上·全国·课后作业）若点 A(a + 2,b + 2), B(b - 4,a - 6)关于直线 4x + 3y -11 = 0对称，则
a = ；b = ．
【答案】 4 2
【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答.
a - 6 - (b + 2) a - b -8 a + b - 2 b + a - 4
【详解】依题意，直线 AB 的斜率为 =b 4 (a 2) b a 6 ，线段- - + - - AB 的中点
( , )，
2 2
ì a - b -8 3
= b - a - 6 4 ìa - b = 2
于是 í ，整理得 í ，解得 a = 4,b = 2
4 a b
，
+ - 2
× + 3 b + a - 4× -11 0 a + b = 6=
2 2
所以 a = 4,b = 2 .
故答案为：4；2
40．（2024 高二上·云南曲靖·阶段练习）某同学在研究函数 f (x) = x2 +1+ | x -1|的性质时，联想到两点间的
距离公式，从而将函数变形为 f (x) = (x - 0)2 + (0 -1)2 + (x -1)2 + (0 - 0)2 ，求得 f (x) 的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】根据变形后函数表示的几何意义： (x,0)到两定点 (0,1), (1,0)的距离之和，即可知 f (x) 的最小值.
【详解】由变形所得函数知： f (x) 表示 x 轴上的动点 (x,0)到两定点 (0,1), (1,0)的距离之和，
∴当且仅当 (x,0)与 (1,0)重合时， f (x) 有最小值为 2 .
故答案为： 2
41．（2024 高二下·上海青浦·期末）点 2, -1 到直线 x - y + 3 = 0的距离为 ．
【答案】3 2
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求解.
2 +1+ 3
【详解】由点到直线的距离公式，可得点 2, -1 到直线 x - y + 3 = 0的距离为 = 3 22 2 .1 + (-1)
故答案为：3 2 .
42．（2024 高二下·上海闵行·阶段练习）函数 y = x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域为 .
【答案】 é 26,+
【分析】将其看作是动点 A x,0 到定点M 1,2 , N 2,3 的距离之和，利用两点之间线段最短即可求解最小
值.
【详解】原式为 y = x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 = x -1 2 + 0 - 2 2 + x - 2 2 + 0 - 3 2 ，即可看作是动点
A x,0 到定点M 1,2 , N 2,3 的距离之和，
设 N 2,3 关于 x 轴的对称点为 N 2, -3 ，连接MN 交 x 轴于A ，此时 AM + AN 最小，且最小值为
MN = 1- 2 2 + 2 + 3 2 = 26 ，故函数 y = x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域为 é 26,+ ，
故答案为： é 26,+
ì4x + my - m + 2 = 0
43（．2024高二上·上海·课后作业）若关于 x 的二元一次方程组 ímx 有无穷多组解，则
m = ．
+ y + m = 0
【答案】-2
【分析】根据两直线重合的条件，求得m 的值即可.
ì4x + my - m + 2 = 0
【详解】依题意二元一次方程组 ímx y m 0 有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由 + + =
4 1 = m m，解得m = 2 或m = -2 .
ì4x + 2y = 0 ì2x + y = 0
当m = 2 时，二元一次方程组为 í 2x y 2 0 í2x y 2 0，两直线不重合，不符合题意
.
+ + = + + =
ì4x - 2y + 4 = 0 ì2x - y + 2 = 0
当m = -2时，二元一次方程组为 í í .
-2x + y - 2 = 0 2x y 2 0
，两直线重合，符合题意
- + =
综上所述，m 的值为-2 .
故答案为：-2
44．（2024 高三·全国·专题练习）直线 y = 2x +1关于直线 y = 2x + 3对称的直线方程为
【答案】 y = 2x + 5
【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为 y = 2x + b ，由直线 y = 2x +1与直线 y = 2x + 3间的距离，求得
b 的值，得直线方程.
【详解】设所求直线方程为 y = 2x + b ，且b 1，
1- 3 2
直线 y = 2x +1与直线 y = 2x + 3间的距离为 = ，
22 + (-1)2 5
b - 3 2
则直线 y = 2x + b 与直线 y = 2x + 3间的距离为 =
22 + (-1)2 5
，又b 1，得b = 5，
所以所求直线方程为 y = 2x + 5，
故答案为： y = 2x + 5 .
四、解答题
45．（2024 高二·江苏·假期作业）分别判断下列直线 l1与 l2是否相交．如果相交，求出交点的坐标．
(1) l1 : x - y = 0 ， l2 : 3x + 3y -10 = 0；
(2) l1 : 3x - y +4 = 0， l2 : 6x - 2y -1 = 0；
(3) l1 : 3x + 4y - 5 = 0， l2 : 6x + 8y -10 = 0．
5 5
【答案】(1)相交，交点坐标为 ,3 3 ÷è
(2)不相交
(3)不相交
【分析】分别联立方程组，解方程求解即可判断.
ì
x - y = 0 x
5
=
ì 3
【详解】（1）解方程组 í
3x + 3y -10
，得 ，
= 0 í y 5=
3
l l 5 5 所以 1与 2相交，交点坐标为 ,3 3 ÷
．
è
ì3x - y + 4 = 0
（2）解方程组 í
6x
，方程组无解，
- 2y -1 = 0
所以 l1与 l2无公共点，即 l1与 l2不相交．
ì3x + 4y - 5 = 0
（3）解方程组 í ，
6x + 8y -10 = 0
因为方程6x + 8y -10 = 0可化为3x + 4y - 5 = 0，
所以方程组有无数组解，
所以 l1与 l2有无数个公共点，即 l1与 l2不相交．
46．（2024 高二·全国·课后作业）已知点 A（-3，5）和 B（2，15），在直线 l : 3x - 4y + 4 = 0上找一点 P，使 PA + PB
最小，并求这个最小值．
P 8 ,3 【答案】 ÷，最小值3 5 13è
【分析】求得A 关于直线 l的对称点，结合两点间的距离公式求得 PA + PB 的最小值.
【详解】设A 关于直线 l的对称点为C a,b ，
a - 3 b + 5
线段 AC

的中点为 ,2 2 ÷
，
è
ì a - 3
3 - 4
b + 5
+ 4 = 0

2 2
í b + 5所以 - 5 ，
2 3
a 3 = -1 -
+ 3
4
2
解得 a = 3,b = -3，即C 3, -3 ，
所以 PA + PB 的最小值为 BC = 12 +182 = 5 13，
y 3 -3 -15此时直线BC 的方程为 + = x - 3 , y = -18x + 51，
3- 2
ìy = -18x + 51 ìx 8 = 8
由 í3x 4y 4 0解得 í
3，所以P ,3 .
- + =
÷
è 3 y = 3
47．（2024 高二·全国·课后作业）三条直线 l1 : x + y +1 = 0 l2 : 2x - y + 8 = 0 l3 : ax + 3y - 5 = 0有且只有两个交
点，求实数 a的值.
【答案】 a = 3或 a = -6
【分析】首先确定 l1, l2 有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需 l3 //l1或 l3 //l2，由此可构造方程求得
结果.
ìx + y +1 = 0 ìx = -3
【详解】由 í 得： í ，即 l1, l2 有一个交点 -3,2 ，\l3 //l2x y 8 0 y 2 1 或 l3 //l2； - + = =
即1 3- a = 0或 2 3+ a = 0，解得： a = 3或 a = -6 .
48．（2024 高二·全国·课后作业）若点 A a + 2,b + 2 关于直线 4x + 3y +11 = 0对称的点是B b - a,a - b ，求
a、b 的值．
a 388 b 366【答案】 = - ， = - .
73 73
【分析】根据点关于线对称的性质，结合斜率公式、中点坐标公式进行求解即可.
【详解】因为点 A a + 2,b + 2 关于直线 4x + 3y +11 = 0对称的点是B b - a,a - b ，
ì4 a + 2 + b - a 3 b + 2 + a - b + +11 = 0 2 2 a 388 366所以有 í ，解得 = - ，b = - .
a - b - b - 2 3= 73 73
b - a - a - 2 4
49．（2024 高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)直线 l1 : 2x - 3y +10 = 0, l2 : 3x + 4y - 2 = 0；
(2)直线 l1 : nx - y = n -1, l2 : ny - x = 2n ．
【答案】(1)相交，交点是 (-2,2)
(2)答案见解析
【分析】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系；
（2）分类讨论 n ，解方程组可得答案.
ì2x - 3y +10 = 0 ìx = -2
【详解】（1）联立 í
3x + 4y - 2 0
，解得
= í
，
y = 2
所以两直线相交，交点坐标为 (-2,2) .
（2）当 n = -1时， l1 : x + y - 2 = 0， l2 : x + y - 2 = 0，
ìx + y - 2 = 0
联立 í
x y 2 0
，方程组有无数组解，故两直线重合，
+ - =
当 n =1时， l1 : x - y = 0 ， l2 : x - y + 2 = 0 ，
ìx - y = 0
联立 í ，方程组无解，故两直线平行，
x - y + 2 = 0
ì n
ìnx - y = n -1 x =
n ±1 n -1当 ，联立 í
ny - x = 2n
，解得 í
y 2n -1
，
=
n -1
n 2n -1
所以两直线相交，交点坐标为 ( , ) .
n -1 n -1
综上所述：当 n = -1时，两直线重合；当 n =1时，两直线平行；当 n ±1时，两直线相交，交点坐标为
( n , 2n -1) .
n -1 n -1
50．（2024 高二下·河南南阳·阶段练习）求满足下列条件的直线 l的一般式方程：
(1)经过直线 l1 : 2x - y + 9 = 0 , l2 : 3x + 2y + 3 = 0 的交点 P，且经过点 (2,4)；
(2)与直线 l3 : 3x - y = 0垂直，且点Q(2,-5)到直线 l的距离为 10 ．
【答案】(1) x - 5y +18 = 0
(2) x + 3y + 3 = 0或 x + 3y + 23 = 0 .
【分析】（1）解方程组得交点坐标，再根据两点式可求出结果；
（2）根据垂直得斜率，再根据点到直线的距离公式可求出结果.
ì2x - y + 9 = 0 ìx = -3
【详解】（1）联立 í ，得 P(-3,3)
3x + 2y + 3 = 0
í
y = 3
，即 ，
y - 3 x + 3
由两点式得 = ，即 x - 5y +18 = 0 .
4 - 3 2 + 3
（2）因为 l与直线 l3 : 3x - y = 0
1
垂直，所以直线 l的斜率为- ，
3
设直线 l : y
1
= - x + b ，即 x + 3y - 3b = 0 ，
3
| 2 - 3 5 - 3b |
依题意得 = 10
23
，解得b = -1或b = - ，
1+ 9 3
所以直线 l的方程为 x + 3y + 3 = 0或 x + 3y + 23 = 0 .
51．（2024 高一·全国·课后作业）已知三条直线 l1 : 4x + y - 4 = 0， l2 : mx + y = 0， l3 : 2x - 3my - 4 = 0 .
（1）若直线 l1， l2， l3 交于一点，求实数m 的值；
（2）若直线 l1， l2， l3 不能围成三角形，求实数m 的值.
2 2 1
【答案】（1）m = -1或 ；（2）m = -1或 或 4 或- .
3 3 6
【分析】（1）联立方程组即可求出；
（2）根据题意可知直线交于一点或有两条直线平行，则可求解.
【详解】（1）∵直线 l1， l2， l3 交于一点，
∴ l1与 l2不平行，∴ m 4，
ì 4
ì4x + y - 4 = 0 x = 4 - m
由 í
mx + y = 0
，得 í ，
y -4m=
4 - m
l l 4 , -4m 即 1与 2的交点为 ，
è 4 - m 4 - m ÷
8 -4m
代入 l3 的方程，得 - 3m × - 4 = 0，4 - m 4 - m
2
解得m = -1或 .
3
（2）若 l1， l
2
2， l3 交于一点，则m = -1或 ；3
若 l1 //l2，则m = 4 ；
1
若 l1 //l3 ，则m = - ；6
若 l2 //l3，则不存在满足条件的实数m .
2 1
综上，可得m = -1或 或 4 或- .
3 6
52．（2024 高二·全国·课后作业）求直线 l1 : 3x - 2y - 6 = 0 关于直线 l : 2x - 3y +1 = 0 对称的直线 l2的方程．
【答案】9x - 46y +102 = 0
【分析】联立方程求两条直线的交点 P，取直线 l1上一点 A，求其关于直线 l对称的对称点 A ，则过 P， A
的直线即为所求直线.
ì3x - 2y - 6 = 0 ìx = 4
【详解】联立两直线方程 í ，解得 P(4,3)
2x - 3y +1 = 0
í
y
，即两直线的交点为 ，
= 3
取直线 l1：3x - 2y - 6 = 0上一点 A(2,0)，设其关于直线 l： 2x - 3y +1 = 0的对称点 A (x0 , y0 )，
ì y0 - 0 2 = -1 ì x 6=
x - 2 3 00 13 A ( 6 30则 í ，解得 í ，即 , )，
x0 + 2 y0 + 0 y 30= 13 13
2 - 3 +1 = 0 2 2
0 13
y - 3 x - 4
因为所求直线过P(4,3)
6 30 =
， A ( , )，方程为 30 6 ，
13 13 - 3 - 413 13
即9x - 46y +102 = 0 .2.3 直线的交点坐标与距离公式 14 题型分类
一、两条直线的交点
1．两直线的交点
已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点 A(a，b)．
(1)若点 A 在直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 上，则有 A1a＋B1b＋C1＝0.
(2) A l l {A1a＋B若点 是直线 与 的交点，则有 1b＋C1＝0，1 2 A2a＋B2b＋C2＝0.
2．两直线的位置关系
{A1x＋B1y＋C1＝0，方程组 A2x 的解 一组 无数组 无解＋B2y＋C2＝0
直线 l1与 l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线 l1与 l2的位置关系 相交 重合 平行
二、两点间的距离公式
1．两点间的距离公式：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.特别
提醒：此公式与两点的先后顺序无关．
2．原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
三、点到直线的距离、两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在平行直线间公垂线段的长
图示
点 P(x0，y0)到直线 平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与
l：Ax＋By＋C＝0 的距离 l2：Ax＋By＋C2＝0 之间的距离
公式
|Ax0＋By0＋C| |C1－C2|
d＝ d＝
A2＋B2 A2＋B2
（一）
求相交直线的交点坐标
1、两直线的交点：已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，联立方程即可求解.
2、求两相交直线的交点坐标．
(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．
(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．
题型 1：求相交直线的交点
1-1．（24-25 高二上·全国·课后作业）直线3x + 2y -18 = 0和-2x + 5y - 7 = 0的交点坐标为（ ）
A． -4, -3 B． 4,3 C． -4,3 D． 3,4
1-2．（2024 高二·江苏·假期作业）直线 x + 2y - 4 = 0与直线 2x - y + 2 = 0的交点坐标是（ ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)
1-3．（2024 高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
(1) l1 : y = 2x + 3， l2 : 2x - y + 5 = 0；
(2) l1 : y = 2x +1， l2 : x - 2y = 0；
(3) l1 : x = 3， l2 : x =10；
(4) l1 : y = 2x +1， l2 : 2x - y +1 = 0 ．
题型 2：求过两条直线的交点的直线方程
2-1．（2024 高二上·天津·期末）过直线 x + y +1 = 0和 x - 2y + 4 = 0的交点，且与直线 x + 2y - 3 = 0垂直的直线
方程是（ ）．
A． 2x - y + 3 = 0 B． 2x - y + 5 = 0
C． x + 2y - 4 = 0 D． 2x - y - 3 = 0
2-2．（2024 高二下·河北张家口·开学考试）过直线 x - 2y +1 = 0与3x - y - 2 = 0的交点，且垂直于直线
x - y +1 = 0 的直线方程是 ．
2-3．（2024 高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知直线 l 经过直线3x - y - 7 = 0和 4x + y -14 = 0的交点，且直线 l
在坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程是 .
题型 3：由两条直线交点的个数或位置求参数
3-1．（广东省广州市第一一三中学 2023-2024 学年高二上学期第一阶段考数学试题）直线
3x - (k + 2) y + k + 5 = 0与直线 kx + (2k - 3) y + 2 = 0相交，则实数 k 的值为（ ）
A． k 1或 k 9 B． k 1或 k -9 C． k 1或 k 9 D． k 1且 k -9
ì4x + 6y =1
3-2．（2024·上海崇明·一模）若关于 x 、 y 的方程组 íax 3y 2无解，则实数
a =
- =
3-3．（2024 高二·全国·课后作业）若直线 kx - y = k -1与直线 ky - x = 2k 相交且交点在第二象限内，则 k 的取
值范围为（ ）
k 1 1 1A． k >1 B． < C． 0 < k < D． < k <1
2 2 2
3-4．（2024 高二上·全国·课后作业）若直线5x + 4y = 2m +1与直线 2x + 3y = m的交点在第四象限，则 m 的取
值范围是（ ）
3
A． (- ,2) B． , +
è 2 ÷
3 3
C． - , -

÷ D． - , 2
è 2 2 ÷ è
题型 4：三条直线能否构成三角形问题
4-1．（2024 高二上·浙江宁波·期末）若三条直线3x - y +1 = 0, x + y + 3 = 0与 kx - y + 2 = 0能围成一个直角三
角形，则 k = ．
4-2．（2024 高二·江苏·假期作业）若三条直线 l1 : ax + y +1 = 0 ， l2 : x + ay +1 = 0， l3 : x + y + a = 0能构成三角
形，求 a 应满足的条件．
4-3．（2024 高二上·全国·课后作业）使三条直线 4x + y - 4 = 0,mx + y = 0,2x - 3my - 4 = 0不能围成三角形的实
数 m 的值最多有几个（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
（二）
两点间的距离
1、两点间的距离公式：
(1)点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
(2)原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
2、计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
题型 5：求两点间的距离
5-1．（2024 高二·江苏·假期作业）直线 l1 : 3ax - y - 2 = 0和直线 l2 : 2a -1 x + 5ay -1 = 0分别过定点A 和 B ，
则 AB = | ．
5-2．（2024 高二上·全国·课后作业）已知 A(-1,2), B(0,4)，点 C 在 x 轴上，且 AC = BC ，则点 C 的坐标为
（ ）
11,0 0, 11 0,11 11 A． - 2 ÷
B． - 2 ÷
C． 2 ÷
D． ,0÷
è è è è 2
5-3．（2024 高二上·江苏南通·阶段练习）已知 A，B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x - y = 0和 x + ay = 0上，
10
且 AB 线段的中点为P 0, ÷ ，则线段 AB 的长为（a ）è
A．11 B．10 C．9 D．8
题型 6：由两点间的距离求参数
6-1．（2024 高二上·新疆喀什·期末）已知点 A 3,3a + 3 与点B a,3 之间的距离为 5，则实数 a 的值
为 ．
6-2．（2024 高二下·全国·课后作业）已知点 A(4,12)，P 为 x 轴上的一点，且点 P 与点 A 的距离等于 13，则
点 P 的坐标为 ．
6-3．（2024 高二下·全国·课后作业）已知 A(a,0), B(0,10)，且 | AB |= 17，则 a = ．
题型 7：运用两点间的距离公式求最值
7-1．（2024 高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，
2 2
有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： x - a + y - b 可以转化为点 x, y 到点 a,b 的距
离，则 x2 +1 + x2 - 4x + 8 的最小值为（ ）．
A．3 B． 2 2 +1 C． 2 3 D． 13
7-2．（2024 高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个
内角均小于 120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张
角相等且均为 120°.根据以上性质，.则F (x, y) = (x - 2 3)2 + y2 + (x +1- 3)2 + (y -1+ 3)2 + x2 + (y - 2)2
的最小值为（ ）
A．4 B．2 + 2 3 C．3+ 2 3 D． 4 + 2 3
7-3．（2024 高二上·甘肃武威·期中）函数 f x = x2 + 2x + 5 + x2 - 6x +10 的最小值是 .
（三）
运用坐标法解决平面几何问题
1、利用坐标法解平面几何问题：(1)建系；(2)坐标表示；(3)几何关系坐标化；(4)将数“翻译”为
形．
2、利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
题型 8：用坐标法解决平面几何问题
8-1．（2024 高二上·河南·阶段练习）已知直线 l : m - 2 x - m +1 y + 3m = 0 m R ，直线 l1 : 4x + y + 3 = 0和
l2 : 3x - 5y - 5 = 0．
(1)求证：直线 l 恒过定点；
(2)设（1）中的定点为 P ， l与 l1， l2的交点分别为A ， B ，若 P 恰为 AB 的中点，求m ．
8-2．（2024 高二上·安徽马鞍山·期中）已知VABC 的顶点 A 3,1 ， AB 边上的高所在的直线方程为
4x - y -13 = 0， AC 边上的中线所在的直线方程为5x - 2y -12 = 0．
(1)求直线 AB 的方程；
(2)求点 C 的坐标．
8-3．（2024 高二上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系 xOy 中，O为坐标原点，已知直线 l1：2x - y - 2 = 0
和 l2： x + y + 3 = 0，
(1)求直线 l1与 l2的交点坐标；
uuur uuur
(2)过点 P(3,0)
1
作直线 l与直线 l1， l2分别交于点 A、B，且满足 AP = AB ，求直线 l的方程．2
（四）
点到直线的距离
点到直线的距离的求解方法：
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求
解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线
的距离公式，也可以直接写成 d＝|x0－a|或 d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
题型 9：求点到直线的距离
9-1．（2024 高二·重庆·学业考试）点(1,1)到直线3x + 4y - 2 = 0的距离是（ ）
A．1 B．2 C． 5
9-2．（2024 高二上·全国·课后作业）已知 A(4,0)到直线 4x - 3y + a = 0的距离等于 3，则 a 的值为（ ）
A．-1 B．-13或 -19 C．-1或-31 D．-13
9-3．（2024 高二下·辽宁·阶段练习）已知圆C 经过点M 1,2 , N 3,0 ，则点P 2, -1 到圆心C 的距离的最小
值为（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
9-4.（2024 高二下·上海浦东新·期中）已知动点M a,b 在直线3x + 4y +10 = 0上，则 a2 + b2 的最小值
为 .
9-5．（2024 高二上·广东广州·期末）已知点P -2,1 到直线 l : 3x - 4y + m = 0的距离为 1，则m 的值为（ ）
A．-5 或-15 B．-5 或 15
C．5 或-15 D．5 或 15
9-6．（2024·重庆·三模）已知直线 l : y = k(x - 2) +1(k R) 上存在一点 P，满足 | OP |=1，其中 O 为坐标原点.
则实数 k 的取值范围是（ ）

A． 0,
1 é 3ù é 4ù 1 4
÷ B
é ù
． ê0, C． 0, D． ,è 2 4ú ê 3 ú ê2 3ú
题型 10：直线围成的图形面积问题
ur
10-1．（2024 高二上·江苏·专题练习）射线OA所在直线的方向向量为 d1 = 1, k k > 0 ，点 P 在 AOx内，
PM ^ OA于点M .
3 1
(1)若 k =1，P , ，求 OM 的值；
è 2 2 ÷
(2)若P 2,1 6，VOPM 的面积是 ，求 k 的值.
5
10-2．（2024 高二上·广东湛江·期中）已知直线 l： kx + y + k + 2＝（0 k R）．
(1)证明：直线 l一定经过第三象限；
(2)设直线 l与 x 轴， y 轴分别交于 A，B 点，当点P 1,0 离直线 l最远时，求VPAB 的面积．
10-3．（2024 高二下·全国·课堂例题）已知VABC 的顶点 ( 2,0)，B 2,2 ，C 1, -1 .求VABC 的面积.
题型 11：点到直线距离公式的应用
11-1．（2024 高二上·上海浦东新·阶段练习）已知点 A -1,2 , B 1,4 ，若直线 l 过点M -2,-3 ，且 A、B 到
直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程为 .
11-2．（2024·吉林·三模）已知 A(-2,0), B(4,a) 两点到直线 l : 3x - 4y +1 = 0的距离相等，则 a =（ ）
9 9
A．2 B． C．2 或-8 D．2 或
2 2
11-3．（2024 高二·全国·课后作业）已知点 P1 1,1 ，P2 5,4 到直线 l 的距离都等于 2，求直线 l 的方程．
（五）
两平行线间的距离
求两条平行直线间距离的两种方法：
(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距
为点线距来求．
(2)公式法：设直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间
|C1－C2|
的距离 d＝ .
A2＋B2
题型 12：求两平行线间的距离
12-1．（2024 高二下·河南洛阳·阶段练习）两条平行线 l1 : 3x + 4y - 6 = 0， l2:9x +12y -10 = 0间的距离等于
（ ）
8 7 4 2
A． B． C． D．
15 15 15 15
12-2．（2024 高二上·全国·课后作业）两条平行直线 2x - 7y + 8 = 0与 2x - 7y - 6 = 0间的距离为（ ）
A 53． B 14 53．2 C．14 D．
14 53
12-3．（2024 高二上·福建宁德·期中）若两条平行直线 l1 : x - 2y + m = 0 m > 0 与 l2 : 2x + ny - 6 = 0 之间的距离是
2 5 ，则m + n = ．
12-4．（2024 高二下·河南周口·阶段练习）已知两条直线 l1 : l + 2 x + 1- l y + 2l - 5 = 0，
l2 : k +1 x + 1- 2k y + k - 5 = 0，且 l1//l2，当两平行线距离最大时，l + k =（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型 13：距离公式的综合应用
13-1．【多选】（2024 高二上·福建南平·期末）已知直线 l1 : 4x - 3y - 3 = 0，直线
l2 : m + 2 x - m +1 y + m = 0 m R ，则（ ）
A．当m = -1时， l1 ^ l2 B．当m = 2 时， l1 / / l2
C．当 l1 / / l2时， l1与 l2之间的距离为 1 D．直线 l2过定点 2,1
13-2．【多选】（2024 高二下·江苏南京·期末）已知动点 A, B分别在直线 l1 : 3x - 4y + 6 = 0与 l2 : 3x - 4y +10 = 0
上移动，则线段 AB 的中点 P 到坐标原点O的距离可能为（ ）
7
A． 2 B． C． 3 D． 55
13-3．【多选】（24-25 高二上·全国·单元测试）已知两条直线 l1， l2的方程分别为3x + 4y +12 = 0与
ax + 8y -11 = 0，下列结论正确的是（ ）
l //l 7A．若 1 2，则 a = 6 B．若 l1 //l2，则两条平行直线之间的距离为 4
32
C．若 l1 ^ l2，则 a = D．若 a 6，则直线 l1， l2一定相交3
（六）
直线的对称问题
有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称：
①点 P(x，y)关于 O(a，b) P′(x′ y′) {x′＝2a－x，的对称点 ， 满足 y′＝2b－y.
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称：
n－b A
× － ＝－1，
－ ( )
①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0) m a B的对称点 A′(m，n)，则有{ a＋m b＋nA· ＋B· ＋C＝0.2 2
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．　　　　
题型 14：直线的对称问题
14-1．（2024 高二上·河北张家口·期中）点P 2,0 关于直线 l : x - y + 3 = 0的对称点 Q 的坐标为（ ）．
A． -3,5 B． -1, -4 C． 4,1 D． 2,3
14-2．（2024 高二上·湖南郴州·阶段练习）已知入射光线经过点M (-3，4) ，被直线 l： x - 3 = 0反射，反射光
线经过点 N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为 .
14-3．（2024 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线 x - 2y + 3 = 0关于点 (1,1) 对称的直线方程为 .
14-4．（2024·上海静安·二模）设直线 l1 : x - 2y - 2 = 0与 l2关于直线 l : 2x - y - 4 = 0 对称，则直线 l2的方程是
（　　）
A．11x + 2y - 22 = 0 B．11x+ y +22 = 0
C．5x + y -11 = 0 D．10x+ y -22 = 0
一、单选题
1．（2024 高二·全国·课后作业）求直线 x＋2y－1＝0 关于直线 x＋2y＋1＝0 对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
2．（2024 高二上·江苏连云港·期中）若三条直线 2x + ky + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 2x - y = 0交于一点，则 k 的值
为（ ）
1 1
A．-2 B．- C．3 D．
2 2
3．（2024 高二上·新疆·期中）直线 2x + 3y + 4 = 0 关于 y 轴对称的直线方程为（ ）
A． 2x + 3y - 4 = 0 B． 2x - 3y + 4 = 0
C． 2x - 3y - 4 = 0 D．3x + 2y - 4 = 0
4．（2024 高二上·浙江·期中）已知点 (a, 2)(a > 0)到直线 l : x - y + 3 = 0的距离为1，则 a等于（ ）
A． 2 B． 2 - 2 C． 2 -1 D． 2 +1
5．（2024 高二上·广东广州·期末）已知点P(-1,2) 到直线 l : 4x - 3y + m = 0的距离为 1，则 m 的值为（ ）
A．-5或-15 B．-5或 15 C．5 或-15 D．5 或 15
6．（2024 高二上·河北唐山·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
x2 + y2 3，若将军从点 A 3,1 处出发，河岸线所在直线方程为 x + y = 5，并假定将军只要到达军营所在区
域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． 10 - 3 B． 10 C． 2 5 - 3 D． 2 5
7．（2024 高二上·河南南阳·阶段练习）直线 l : 4x + 3y - 2 = 0关于点 A 1,1 对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
8．（2024 高二·全国·课后作业） x + y =1关于原点对称的直线是（ ）
A． x - y -1 = 0 B． x - y +1 = 0 C． x + y +1 = 0 D． x + y -1 = 0
9．（2024 高二上·全国·课后作业）若直线 2x - y - 3 = 0与 4x - 2y + a = 0 之间的距离为 5 ，则 a 的值为（ ）
A．4 B． 5 - 6 C．4 或-16 D．8 或-16
10．（2024 高二下·河南南阳·阶段练习）若平面内两条平行线 l1： x + a -1 y + 2 = 0， l2：ax + 2y +1 = 0间的
3 2
距离为 ，则实数 a =（ ）
4
A．2 B．－2 或 1 C．－1 D．－1 或 2
11．（2024 高二上·河北石家庄·阶段练习）两直线 2x + 3y - k = 0和 x - ky +12 = 0 的交点在 y 轴上，则 k 的值
是（ ）
A．-24 B．6 C．±6 D．24
12．（2024 高二·全国·课后作业）若三条直线 2x + y - 4 = 0， x - y +1 = 0 与 ax - y + 2 = 0共有两个交点，则实
数 a的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1 或-2 D．-1
13．（2024 高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为 l1 : 3x - 2y - 6 = 0 ， l2 : x - y - 2 = 0，则 l1关于 l2对称的
直线方程为（ ）
A．3x - 2y - 4 = 0 B． 2x + 3y - 6 = 0
C． 2x - 3y - 4 = 0 D．3x - 2y - 6 = 0
14．（2024·全国）如果直线 y = ax + 2与直线 y = 3x - b 关于直线 y = x 对称，那么（ ）
1 1
A． a = ,b = 6 B． a = ,b = -6 C． a = 3,b = -2 D． a = 3,b = 63 3
15．（2024 高二下·贵州）若直线 ax + y - 4 = 0与直线 x - y - 2 = 0 的交点位于第一象限，则实数 a 的取值范围
是（ ）
A． a < -1或 a > 2 B． a > -1 C． a < 2 D．-1 < a < 2
16．（2024 高二下·贵州黔东南·阶段练习）点 P 在直线3x - 4y - 5 = 0上，O为原点，则 OP 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C． 5 D． 2 5
17．（2024 高二上·广西河池·期末）已知直线 l1 : x + ay + 2 = 0 ，l2 : 2x + 4 y + 3 = 0 相互平行，则 l1、l2之间的距
离为（ ）
A 5 B 5 C 2 5 5． ． ． D．
10 5 5 2
18．（2024 高二上·江苏淮安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出
发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
B -2,0 ，若将军从山脚下的点 A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程为 x + y = 3，则“将军饮马”的最短总
路程为（ ）
A． 27 B．5 C． 15 D． 29
19．（2024 高一下·全国·课后作业）直线 l : x + 2y -1 = 0关于点 (1, -1) 对称的直线 l 的方程为（ ）
A． 2x - y - 5 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x + 2y + 3 = 0 D．2x - y -1 = 0
20．（2024 高二上·四川遂宁·期末）已知点 A 与点B(2,1) 关于直线 x+y + 2 = 0对称，则点 A 的坐标为（ ）
A． (-1,4) B． (4,5)
C． (-3, -4) D． (-4,-3)
21．（2024 高二上·江苏连云港·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”
2 2
事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： x - a + y - b 可以转化为平面上点M x, y
与点 N a,b 的距离.结合上述观点，可得 f x = x2 +10x + 26 + x2 + 6x +13 的最小值为（ ）
A．5 B． 29 C． 13 D． 2 + 13
22．（2024 高三下·河北石家庄·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角
形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三
2
边的张角相等均为120° .根据以上性质， z = x -1 + y2 + x +1 2 + y2 + x2 + y - 2 2 的最小值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 - 3 D． 2 + 3
二、多选题
23．（2024 高二上·全国·课后作业）三条直线 x + y = 0， x - y = 0， x + ay = 3构成三角形，则 a的值不能为
（ ）
A．1 B． 2
C．-1 D．－2
三、填空题
24．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 y = 3x - 4关于点 P(1,1) 对称的直线方程为 ．
25．（2024 高三·全国·课后作业）若直线 y = ax + 2与 y = 3x - 6 关于直线 y = x 对称，则实数 a= .
26．（2024 高二·江苏·假期作业）已知点M x,-4 与点 N 2,3 间的距离为7 2 ，则 x = ．
27．（2024 高二·全国·课后作业）直线 2x + 5y - 3 = 0关于点M (-1, 2)对称的直线方程是 ．
28．（2024 高二·全国·课后作业）设直线 l经过 2x - 3y + 2 = 0和3x - 4y - 2 = 0的交点，且与两坐标轴围成等
腰直角三角形，则直线 l的方程为 .
29．（2024 高二·全国·课后作业）如果直线 y = ax + 2与直线 y = 3x - b 关于直线 y = x 对称，那么 a = ，
b = ．
30．（2024 高二·全国·课后作业）若直线 l1 : y = -x + b与直线 l2 : 5x + 3y - 31 = 0的交点在第一象限，则实数 b
的取值范围是 .
31．（2024 高三·全国·专题练习）直线 2x - y + 3 = 0关于直线 x - y + 2 = 0 对称的直线方程是 .
32．（2024 高二·全国·课后作业）如果直线 l 与直线 x + y -1 = 0 关于 y 轴对称，那么直线 l 的方程是 ．
ì x + 2y = 4
33．（2024·上海奉贤·二模）若关于 x ， y 的方程组 í .
3x + ay 6
有唯一解，则实数 a 满足的条件是
=
34．（2024 高三·全国·对口高考）过点P 0,1 且和 A 3,3 , B 5,-1 的距离相等的直线方程是 ．
ì7x - by = 3
35．（2024 高二上·上海徐汇·期中）关于 x y 的二元一次方程组 íax 5y 2有无穷多组解，则
a 与 b 的积
+ =
是 .
36．（2024 高三·全国·中职高考）点 A -1,0 关于直线 l : y = kx k 0 的对称点的坐标为 ．
37．（2024 高二上·上海长宁·期末）已知 A -5,2 ，B 两点关于直线 x + y -10 = 0 对称，则点 B 的坐标为 .
38．（2024 高二·全国·单元测试）直线 2x - y + 3 = 0关于点 A 5,3 的对称直线方程是 ．
39．（2024 高二上·全国·课后作业）若点 A(a + 2,b + 2), B(b - 4,a - 6)关于直线 4x + 3y -11 = 0对称，则
a = ；b = ．
40．（2024 高二上·云南曲靖·阶段练习）某同学在研究函数 f (x) = x2 +1+ | x -1|的性质时，联想到两点间的
距离公式，从而将函数变形为 f (x) = (x - 0)2 + (0 -1)2 + (x -1)2 + (0 - 0)2 ，求得 f (x) 的最小值为 ．
41．（2024 高二下·上海青浦·期末）点 2, -1 到直线 x - y + 3 = 0的距离为 ．
42．（2024 高二下·上海闵行·阶段练习）函数 y = x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域为 .
ì4x + my - m + 2 = 0
43（．2024高二上·上海·课后作业）若关于 x 的二元一次方程组 í 有无穷多组解，则m =mx y m 0 ． + + =
44．（2024 高三·全国·专题练习）直线 y = 2x +1关于直线 y = 2x + 3对称的直线方程为
四、解答题
45．（2024 高二·江苏·假期作业）分别判断下列直线 l1与 l2是否相交．如果相交，求出交点的坐标．
(1) l1 : x - y = 0 ， l2 : 3x + 3y -10 = 0；
(2) l1 : 3x - y +4 = 0， l2 : 6x - 2y -1 = 0；
(3) l1 : 3x + 4y - 5 = 0， l2 : 6x + 8y -10 = 0．
46．（2024 高二·全国·课后作业）已知点 A（-3，5）和 B（2，15），在直线 l : 3x - 4y + 4 = 0上找一点 P，使 PA + PB
最小，并求这个最小值．
47．（2024 高二·全国·课后作业）三条直线 l1 : x + y +1 = 0 l2 : 2x - y + 8 = 0 l3 : ax + 3y - 5 = 0有且只有两个交
点，求实数 a的值.
48．（2024 高二·全国·课后作业）若点 A a + 2,b + 2 关于直线 4x + 3y +11 = 0对称的点是B b - a,a - b ，求
a、b 的值．
49．（2024 高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)直线 l1 : 2x - 3y +10 = 0, l2 : 3x + 4y - 2 = 0；
(2)直线 l1 : nx - y = n -1, l2 : ny - x = 2n ．
50．（2024 高二下·河南南阳·阶段练习）求满足下列条件的直线 l的一般式方程：
(1)经过直线 l1 : 2x - y + 9 = 0 , l2 : 3x + 2y + 3 = 0 的交点 P，且经过点 (2,4)；
(2)与直线 l3 : 3x - y = 0垂直，且点Q(2,-5)到直线 l的距离为 10 ．
51．（2024 高一·全国·课后作业）已知三条直线 l1 : 4x + y - 4 = 0， l2 : mx + y = 0， l3 : 2x - 3my - 4 = 0 .
（1）若直线 l1， l2， l3 交于一点，求实数m 的值；
（2）若直线 l1， l2， l3 不能围成三角形，求实数m 的值.
52．（2024 高二·全国·课后作业）求直线 l1 : 3x - 2y - 6 = 0 关于直线 l : 2x - 3y +1 = 0 对称的直线 l2的方程．

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