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2.5.1 直线与圆的位置关系 6 题型分类
一、直线 Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 个 1 个 0 个
几何法：
设圆心到直线的距离
dr
|Aa＋Bb＋C|
d＝
判 A2＋B2
断 代数法：
方 由
法
{Ax＋By＋C＝0， Δ>0 Δ＝0 Δ<0 x－a 2＋ y－b 2＝r2，
消元得到一元二次方程，
可得方程的判别式 Δ
二、直线与圆相交时的弦长求法：
圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l，
几何法 l
利用 r2＝d2＋( )2解题.2
代数法 若交点坐标易求出，求出交点坐标后，
直接用两点间距离公式计算弦长.
l：y＝kx＋b 与圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，
弦长公式法 弦长 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2].
三、求过某一点的圆的切线方程：
(1)点(x0，y0)在圆上．
1
①先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为－ ，由点斜式可得切线方
k
程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y＝y0或 x＝x0.
(2)点(x0，y0)在圆外．
①设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得 k，也就
得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存
在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
（一）
直线与圆的位置关系的判断
直线与圆的位置关系
1．几何法判断直线与圆的位置关系：
2 2 Aa + Bb + C
直线 Ax + By + C = 0与圆 x - a + y - b = r 2 ，圆心到直线的距离 d =
A2 + B 2
(1) d > r 直线与圆相离 无交点；
(2) d = r 直线与圆相切 只有一个交点；
(3) d < r 直线与圆相交 有两个交点.
2．代数法判断直线与圆的位置关系：
Ax + By + C = 0
联立直线方程与圆的方程，得到 ，通过解的个数来判断：2
x + y
2 + Dx + Ey + F = 0
(1)当 > 0时，直线与圆有 2 个交点，，直线与圆相交.
(2)当 = 0时，直线与圆有 1 个交点，直线与圆相切.
(3)当 < 0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离.
3.直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关
系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
题型 1：判断直线与圆的位置关系
1-1．（2024 高二下·北京海淀·期中）直线 ax - y + 2a = 0 a R 与圆 x2 + y2 = 5的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】C
【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.
【详解】由题知，圆心坐标 0，0 ，半径 5 ，
将直线 ax - y + 2a = 0化为点斜式得 y = a x + 2 ，
知该直线过定点 -2,0 ，
又 -2 2 + 02 < 5，故该定点在圆内，
所以该直线与圆 x2 + y2 = 5必相交.
故选：C
1-2．（2024·四川成都·一模）圆C ： (x -1)2 2
x y
+ (y -1) = 1与直线 l： + =1的位置关系为（ ）
4 3
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断.
【详解】圆C ： (x -1)2 + (y -1)2 = 1的圆心为C 1,1 ，半径 r =1，
x y 3+ 4 -12
直线 l： + =1即3x + 4y -12 = 0，则圆心到直线的距离 d = =1 = r ，
4 3 32 + 42
所以直线 l与圆C 相切.
故选：A
1-3．（2024·安徽蚌埠·三模）直线 l : x + my +1- m = 0与圆C : x -1 2 + y - 2 2 = 9的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【分析】判断出直线的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系.
【详解】已知直线 l : x + my +1- m = 0过定点 -1,1 ，
将点 -1,1 代入圆的方程可得 -1-1 2 + 1- 2 2 < 9，
可知点 -1,1 在圆内，
2 2
所以直线 l : x + my +1- m = 0与圆C : x -1 + y - 2 = 9相交.
故选：A.
1-4．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知圆C : x2 + y2 + 2x - 4 y = 0 ，直线 l : 2x - y -1 = 0，则圆 C 与直线 l
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆 C 的圆心
【答案】B
【分析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断．
【详解】由 x2 + y2 + 2x - 4y = 0可得 x +1 2 + y - 2 2 = 5，
故圆心C(-1,2) ，半径 r = 5 ，
| -2 - 2 -1| 5
则圆心到直线 l : 2x - y -1 = 0的距离 d = = = 5 = r
22
，
+1 5
故直线与圆 C 相切．
故选：B
题型 2：根据直线与圆的位置关系求参数
2-1．（2024 高二下·上海静安·期末）过点 0,1 的直线 l与圆 x2 + y2 + 4x + 3 = 0 相切，则直线 l的斜率为 .
4
【答案】 或0
3
【分析】设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率即可.
【详解】圆 x2 + y2 + 4x + 3 = 0 化为标准方程为 (x + 2)2 + y2 =1，圆心 (-2,0) ，半径为 1，
当直线 l的斜率不存在时，直线 l： x = 0，此时直线 l与圆 x2 + y2 + 4x + 3 = 0 不相切，不合题意；
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y = kx +1，即 kx - y +1 = 0，
-2k +1
圆心 (-2,0) 到直线 l的距离为 d = 2 ，由题意 d = r =1，1+ k
-2k +1 4
所以 =1，平方化简得3k 2 - 4k = 0 ，解得 k = 或 k = 0 .
1+ k 2 3
4
故答案为： 或0 .
3
2-2．（2024 · · C x - 2 2 2高三 全国 专题练习）已知圆 ： + y -1 = r2 r > 0 ，直线 l : ax + y - 2a +1 = 0，若直线 l
与圆 C 总有交点，则 r 的取值范围为
【答案】[2, + )
【分析】直线 l 与圆 C 总有交点，则直线所过定点在圆内或圆上，列出不等式求解.
【详解】由 l 方程知 y = a(2 - x) -1，则 l 过定点M (2, -1)，
若 l 与圆 C 总有交点，则点 M 在圆内或圆上.
又因为圆 C 的圆心坐标为C(2,1) ，半径为 r，
则 MC = 2 r ，即 r 的取值范围为[2, + ) .
故答案为：[2, + )
2-3．（2024 高二下·上海宝山·期末）若直线 y = kx -1与曲线 y = -x2 + 4x - 3 恰有两个公共点，则实数 k 的取
值范围是（ ）
4 ,+ é1, 4 é1, 4 ù 4 A． 3 ÷
B． ê 3 ÷
C． ê ú D． 0,3 3 ÷è è
【答案】B
【分析】根据题意得： y = kx -1为恒过定点 A(0, -1)的直线，曲线表示圆心为 (2,0)，半径为1的上半圆，由
此利用数形结合思想能求出 k 的取值范围．
【详解】根据题意得 y = kx -1为恒过定点 A(0, -1)的直线，
由曲线 y = -x2 + 4x - 3 ，可得 (x - 2)2 + y2 =1(y 0)，
所以曲线表示圆心为C(2,0) ，半径为1的上半圆，如图所示，
2k -1
当直线与圆C 相切时，有 =1，解得 k = 0（舍去）或 k
4
= ，
k 2 +1 3
把B(1,0)代入 y = kx -1得 k -1 = 0，解得 k =1，
因为直线 y = kx -1与曲线 y = -x2 + 4x - 3 恰有两个公共点，
4 4
由图可得1 k < ，即 k é的取值范围是 ê1,

．
3 3 ÷
故选：B．
题型 3：根据直线与圆的位置关系求距离的最值
3-1．（2024·广西·模拟预测）已知直线 l : mx + 5 - 2m y - 2 = 0 m R 和圆O : x2 + y2 = 4 ，则圆心 O 到直线 l
的距离的最大值为（ ）
6 2 5 2 3 3A． B． C． D．
5 5 3 2
【答案】B
4 2
【分析】把直线方程化为m(x - 2y) + 5y - 2 = 0，求得直线 l过定点P( , ) ，结合圆的几何性质，即可求解.
5 5
【详解】由题意，直线mx + 5 - 2m y - 2 = 0 可化为m(x - 2y) + 5y - 2 = 0，
x - 2y = 0 4 2 4 2
联立方程组 5y 2 0 ，解得
x = , y = ，即直线 l过定点P( , ) ，
- = 5 5 5 5
4 2 2
2
又由 ÷ +

÷ < 4 ，可得定点 P 在圆内，
è 5 è 5
4 2 2 2 2 5
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离 d | OP |= ÷ + = ．
è 5 ÷ è 5 5
故选：B.
3-2．（2024 高二下·河南南阳·期末）已知直线 l： x + y + 2 = 0与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点，动直线 l1：
y = -mx m R 和 l2：my - x - 4m + 2 = 0交于点 P，则△MNP的面积的最小值为（ ）
A． 10 B．5 - 10 C． 2 2 D． 2 10 - 3
【答案】B
【分析】根据 l1, l2 所过定点和位置关系可得点 P 轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离公
式可得面积最小值.
【详解】根据题意可知，动直线 l1 : mx + y = 0过定点O 0,0 ，动直线 l2：my - x - 4m + 2 = 0，即
m y - 4 + 2 - x = 0过定点B 2,4 ，
因为m (-1) +1 m = 0，所以无论 m 取何值，都有 l1 ^ l2，
1
所以点 P 在以 OB 为直径的圆上，且圆心坐标为 1,2 ，半径为 OB = 5 ，
2
设P x, y 2 2，则点 P 的轨迹方程为 x -1 + y - 2 = 5，
1+ 2 + 2
l 5 2= P l 5 2圆心到直线 的距离为 ，则 到直线 的距离的最小值为 - 5 ．
2 2 2
由题可知M -2,0 ， N 0, -2 ，则 MN = 2 2 ，
1 5 2
所以△MNP的面积的最小值为 2 2 - 5 ÷÷ = 5 - 10 ．2 è 2
故选：B
3-3．（2024 高三下·云南昆明·阶段练习）已知点 P 是直线2x + y - 3 = 0上的动点，过点 P 作圆 O： x2 + y2 =1
5 1
的两条切线，切点分别为 A, B，则点Q( , )到直线 AB 的距离的最大值为 .
3 3
【答案】1
【分析】设P x0 , y0 ，利用圆的方程可求出直线 AB 的方程为 x0x + y0 y =1，再结合 P 是直线2x + y - 3 = 0
2 1
上的动点，可求得直线 AB 过定点M ,
è 3 3 ÷
，即可确定当 Q 与 M 的连线垂直于直线 AB 时，点 Q 到直线 AB

的距离最大，即得答案.
【详解】设P x0 , y0 ，过点 P 作圆 O： x2 + y2 =1的两条切线，切点分别为 A, B，
2 2
则 A, B在以OP x y x + y为直径的圆上，该圆的方程为 (x - 0 )2 + (y - 0 )2 = 0 0 ，
2 2 4
2 2
将 x2 + y2 =1和 (x x- 0 )2 (y y0 )2 x0 + y+ - = 0 相减得： x x + y y =1，
2 2 4 0 0
即得到直线 AB 的方程为 x0x + y0 y =1，
又因为点 P 是直线2x + y - 3 = 0，故 y0 = 3- 2x0，
则直线 AB 的方程为 x0x + 3- 2x0 y -1 = 0，即3y -1+ x0 x - 2y = 0，
当3y -1 = 0且 x - 2y = 0，即 x
2 1
= ， y = 时该方程恒成立，
3 3
2 1
所以直线 AB 过定点M , ÷ ，
è 3 3
当 Q 与 M 的连线垂直于直线 AB 时，点 Q 到直线 AB 的距离最大，
5 2 1 1
此时最大值即为 Q，M 之间的距离，而 QM = ( - )2 + ( - )2 =1，
3 3 3 3
Q 5 1 即点 , ÷到直线 AB3 3 的距离的最大值为
1，
è
故答案为：1
（二）
圆的弦长问题
直线与圆相交时的弦长求法：
2
1 l ．几何法：利用圆的半径 r ，圆心到直线的距离 d ，弦长 l之间的关系 r 2 = d 2 + ÷ ，整理出
è 2
弦长公式为： l = 2 r 2 - d 2 .
2．代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦
长.
3．弦长公式法：设直线 l : y = kx + b 与圆的交点为 x1, y1 ， x2 , y2 ，将直线方程代入圆的方程，
消元后利用根与系数的关系得到弦长 l = 1+ k 2 x1 - x
2
2 = 1+ k é x1 + x2
2 - 4x1x ù2 .
题型 4：圆的弦长问题
4-1．（2024·河北邯郸·二模）已知直线 l : x - y + 5 = 0与圆C : x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0交于 A， B 两点，若M 是
圆上的一动点，则△MAB 面积的最大值是 .
【答案】 2 2 + 3 / 3+ 2 2
【分析】求出圆 C 圆心到弦 AB 的长度 d，求出弦 AB 的长度，M 到弦 AB 的最大距离为 d＋r(r 为圆 C 半
径)，根据三角形面积公式即可求出答案．
【详解】C : (x -1)2 + ( y - 2)2 = 9，则圆 C 的圆心为C 1,2 ，半径为 r = 3，
1- 2 + 5
圆心 C 到直线 l（弦 AB）的距离为 d = = 2 2 ，
2
则 AB = 2 r 2 - d 2 = 2 9 -8 = 2，
则M 到弦 AB 的距离的最大值为 d + r = 2 2 + 3，
则△MAB
1
面积的最大值是 × AB 2 2 + 3 = 2 2 + 3 .2
故答案为： 2 2 + 3
4-2．（2024 高二下·四川凉山·期末）已知圆C : x2 + y2 - 2ay = 0，过圆C 内一点 A 2,1 的直线被圆C 所截得
的最短弦的长度为 2，则 a =（ ）
1
A．2 B． 2 2 C． D．32
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，由几何关系得到当过圆C 内一点 A 2,1 的直线与 AC 垂直时，被圆C 所截得的弦
长最短，由垂径定理列出方程，求出答案.
【详解】C : x2 + y2 - 2ay = 0整理得 x2 + y - a 2 = a2 ，故圆心为 0,a ，半径为 a ，
当过圆C 内一点 A 2,1 的直线与 AC 垂直时，被圆C 所截得的弦长最短，
其中 AC = 4 + a -1 2 ，
2
由垂径定理得 AC +12 = a2 ，即 4 + a -1 2 +1 = a2 ，解得 a = 3，
故选：D
4-3．（2024 高二上·四川凉山·期末）过点 1,1 的直线 l 被圆C : x2 + y2 = 4 截得的弦长最短，则直线 l 的斜率
是（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【答案】D
【分析】根据圆的性质得到过点 A 1,1 与圆心C 垂直时，此时弦长最短，求得 kAC =1，即可求得直线 l的斜
率.
【详解】由圆 x2 + y2 = 4，可得圆心坐标为C(0,0)，
根据圆的性质，可得当过点 A 1,1 与圆心C 垂直时，此时弦长最短，
因为 kAC =1，所以直线 l的斜率为 k = -1 .
故选：D.
4-4．（2024 高二下·浙江·阶段练习）圆C 经过点 A(2,-1)，和直线 x + y =1相切，且圆心在直线 y = -2x 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)求圆C 在 y 轴截得的弦长．
2
【答案】(1) x -1 + y+2 2 = 2
(2) 2
【分析】（1）设出圆心坐标，用几何法求解圆的方程即可；
（2）利用直线与圆相交的弦长公式求解即可.
【详解】（1）设圆心的坐标为C a,-2a ,
2 a - 2a -1则 a - 2 + -2a +1 2 = .
2
化简得 a2 - 2a +1 = 0 ，解得 a =1 ,
所以C 点坐标为 1, -2 ，
半径 r = AC = 1- 2 2 + -2 +1 2 = 2 ，
故圆C 的方程为 x -1 2 + y+2 2 = 2 .
（2）圆心C 1, -2 到 y 轴的距离为1，
2
所以圆C 在 y 轴截得的弦长为 2 2 -12 = 2 .
1
4-5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知圆C : x2 + y2 - 6x + 5 = 0 ，直线 y = x +1 与圆 C 相交于 M，N 两点，则
3
MN = ．
4 15 4
【答案】 / 15
5 5
【分析】先求出圆的圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦
长.
2
【详解】由 x2 + y2 - 6x + 5 = 0，得 x - 3 + y2 = 4，则圆的圆心为 (3,0)，半径 r = 2，
3 - 0 +1
所以圆心 (3,0)到直线 x - 3y +1 = 0的距离为 d
4
= =
12 + 32 10
1
所以 MN = r 2 - d 2 4 16= - 4 15，解得 MN = ．
2 10 5
4 15
故答案为：
5
4-6．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系上，圆C : x2 + y -1 2 =1，直线 y = a x +1 与圆C 交于 A, B两点，
a 0,1 ，则当VABC 的面积最大时， a =（ ）
A 2
1
． B． 3 -1 C． 2 - 3 D．
2 2
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离 d ，并由 a的范围确定 d 的范围；利用垂径定理表示
1 2 2
出 AB ，由 SVABC = AB ×d = d 1- d ，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结果.2
【详解】由圆的方程知：圆心C 0,1 ，半径 r =1，
a -1 a -1 2 2a 2
则圆心C 到直线 y = a x +1 的距离 d = = = 1- = 1-a2 2+1 a +1 a2 +1 1 ，a +
a
Qa 0,1 ，\a 1+ > 2 ，\d 0,1 ，
a
Q AB = 2 r 2 - d 2 = 2 1- d 2 ，
1 2 2
2

S AB d +1- d 1 2\ VABC = ×d = d 1- d
2 = d 2 1- d 2 ÷ = （当且仅当 d = 时取等号），2 è 2 2 2
a -1 2
则当VABC 的面积最大时， = ，又 a 0,1 ，解得：
2 a = 2 - 3
.
a2 +1
故选：C.
4-7．（2024 高二下·上海黄浦·期末）设直线 y = ax + 3与圆 x2 + y2 = 4相交所得弦长为 2 3 ，则 a = ；
【答案】±2 2
【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解.
【详解】因为圆 x2 + y2 = 4的圆心为 0,0 ，半径为 r = 2，
则圆心
0 - 0 + 3
0,0 3到直线 y = ax + 3，即 ax - y + 3 = 0 的距离 d = = ，
a2 +12 a2 +1
由圆的弦长公式 l = 2 r 2 - d 2 ，即 2 3 = 2 4 - d 2 ，得 d = 1，
3
所以 =12 ，解得 a = ±2 2 ，a +1
经检验， a = ±2 2 满足题意，所以 a = ±2 2 .
故答案为：±2 2 .
（三）
求圆的切线方程
求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上．
1
①先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为－ ，由点斜式可得切线方程．
k
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y＝y0或 x＝x0.
(2)点(x0，y0)在圆外．
①设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得 k，也就得
切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在
的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
题型 5：求圆的切线方程
5-1．（2024·天津南开·二模）若直线 kx - y - 2k + 3 = 0与圆 x2 + y +1 2 = 4 相切，则 k = .
3
【答案】 /0.75
4
【分析】由圆心到切线的距离等于半径求解．
【详解】由题意圆心为 (0, -1) ，半径为 2，
1- 2k + 3 3
所以 = 2，解得 k = ．
k 2 +1 4
3
故答案为： ．
4
5-2．（2024·北京通州·三模）过直线 y = x 2 2上的一点 P 作圆 x - 5 + y -1 = 2的两条切线 l1， l2，切点分别
为 A, B，当直线 l1， l2关于 y = x 对称时，线段PA的长为（ ）
A．4 B． 2 2 C． 6 D．2
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点 P 的连线垂直于直线 y = x ，利用这一关系即可得到切
线的长.
【详解】如图所示，圆心为C(5,1)，连接CP，
因为直线 l1， l2关于 y = x 对称，所以CP垂直于直线 y = x ，
5 -1
故 CP = = 2 2 ，而 AC = 2 ，
2
所以 PA = CP 2 - AC 2 = 6 .
故选：C
5-3．（2024·北京·模拟预测）经过点 1,0 且与圆 x2 + y2 - 4x - 2y + 3 = 0相切的直线方程为 ．
【答案】 x + y -1 = 0
【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离相等，分直线的斜率不存在和存在讨论求解.
【详解】解：圆 x2 + y2 - 4x - 2y + 3 = 0的标准方程为： x - 2 2 + y -1 2 = 2，
当直线的斜率不存在时，直线方程为 x =1，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为 y = k x -1 ，即 kx - y - k = 0 ，
因为直线与圆相切，
k -1
所以圆心到直线的距离相等，即d = = 2 ，
1+ k 2
化简得 k 2 + 2k +1 = 0，
解得 k = -1， x + y -1 = 0 ，
综上：直线方程为： x + y -1 = 0 ，
故答案为： x + y -1 = 0
5-4．（2024 高二上·福建福州·期末）过点P 1,1 作圆E ： x2 + y2 - 4x + 2y = 0的切线，则切线方程为（ ）
A． x + y - 2 = 0 B．2x + y - 3 = 0
C． x - 2y +1 = 0 D．2x - y -1 = 0
【答案】C
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断 P 点在圆上，再求出 kPE ，即可
得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得.
【详解】圆E ： x2 + y2 - 4x + 2y = 0，即 x - 2 2 + y +1 2 = 5，圆心为E 2, -1 ，半径 r = 5 ，
-1-1
又 PE = 2 -1 2 + -1-1 2 = 5 ，所以点 P 在圆上，且 kPE = = -2，2 -1
1 1
所以切线的斜率k = ，所以切线方程为 y -1 = x -1 ，即 x - 2y +1 = 0 .
2 2
故选：C
5-5．（2024·河北唐山·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P a,b 在直线 ax + by + 6a + 8 = 0上，则当
a，b 变化时，直线 OP 的斜率的取值范围是 .
2 2
【答案】[- , ]
4 4
【分析】
将点代入直线上得到 P 的轨迹圆，数形结合法求直线 OP 的斜率的取值范围.
【详解】由题设 a2 + b2 + 6a + 8 = (a + 3)2 + b2 -1 = 0，则 (a + 3)2 + b2 =1，
所以 P 在以 A(-3,0) 为圆心，1 为半径的圆上，
如图，当OP 与圆相切时，直线 OP 的斜率出现最值（最大、最小），
当与圆上方相切，则 sin AOP
| AP | 1
= = 2 2
| AO | 3 ，故 tan AOP = ，此时 OP 斜率为- ，4 4
2
结合圆的对称性，与圆下方相切，OP 斜率为 ，
4
2 2
由图知：直线 OP 的斜率的取值范围是[- , ] .
4 4
故答案为：[ 2- , 2 ]
4 4
5-6．（2024 高三下·湖北·阶段练习）过直线 x + 2y - 4 = 0上一点 P 作圆 x2 + y2 =1的两条切线PA, PB，切点分
别为A ， B ，则 AB 的最小值为 .
11 1
【答案】 / 11
2 2
【分析】设P(m, n) ，利用 P 与圆C 的关系，得到PA ^ CA，PB ^ CB ，进而得到点 A,B均在以PC 为直径的
圆M 上，进而得到圆M 的方程，则直线 AB 为两圆的公共弦，进而可求出直线 AB 以及该直线所过的定点，
即可求得 AB 的最小值
【详解】设P(m, n) ，则有m + 2n - 4 = 0 ①，
又由圆 x2 + y2 =1的圆心O为 (0,0) ，直线PA， PB是圆的两条切线， A,B为切点，则PA ^ OA，PB ^ OB，
则点 A,B均在以PO为直径的圆上，设PO的中点为M ，
m n 2 2
则圆M 的方程为 (x - )2 + (y - )2 m + n= ，
2 2 4
化简得 x(x - m) + y( y - n) = 0；
直线 AB 即为两圆的公共弦，所以对于 x2 + y2 =1和 x(x - m) + y( y - n) = 0，
两式相减可得直线 AB 的方程为 xm + yn =1，
由①可得， x 4 - 2n + ny =1，整理得 n(y - 2x) + 4x -1 = 0，
1
y - 2x = 0 x = 4
由
4x -1
得
= 0 y 1=
2
故直线过定点Q
1 , 1 4 2 ÷
，
è
2 2 1 1
因为 OQ = 1 1 5 ÷ + ÷ = <1，说明Q , ÷在圆 x
2 + y2 =1内，
è 4 è 2 4 è 4 2
2
AB ^ OQ AB 2 1 5 11当 时，此时 最小，为 - 4 ÷÷
=
è 2
11
故答案为：
2
（四）
直线与圆的实际应用
解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的元素．
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
题型 6：直线与圆的实际应用
6-1．（2024 高二上·广东佛山·期末）党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地
之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而
过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于
山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧
形洞门样式，如图所示，路宽 AB 为16米，洞门最高处距路面 4米.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧 AB 的方程.
(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了 2米宽的隔墙.某货车装
满货物后整体呈长方体状，宽 2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门 并说明理由.
【答案】(1) x2 + y + 6 2 =100 0 y 4
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）以点D为坐标原点， AB 、DC 所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心
在 y 轴上，设圆心坐标为 0,b ，设圆的半径为 r ，将点 B 、C 的坐标代入圆的方程，求出b 、 r 的值，结合
图形可得出圆弧 AB 的方程；
（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧 AB 的方程，可得出结论.
【详解】（1）解：以点D为坐标原点， AB 、DC 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标
系，
则点C 0,4 、B 8,0 ，由圆的对称性可知，圆心在 y 轴上，
设圆心坐标为 0,b ，设圆的半径为 r ，则圆弧 AB 所在圆的方程为 x2 + y - b 2 = r 2 ，
0 + 4 - b
2 = r2
因为点C 、 B 在圆上，则 ，解得b = -6， r =10。
8
2 + 0 - b 2 = r2
所以，圆弧 AB 所在圆的方程为 x2 + y + 6 2 =100，
2
因此，圆弧 AB 的方程为 x2 + y + 6 =100 0 y 4 .
（2）解：此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在 y 轴右侧1米，车宽 2米，车高3.6米，
所以货车右侧的最高点的坐标为 3,3.6 ，
因为32 + 3.6 + 6 2 >100，因此，该货车不能通过该路口.
6-2．（2024 高二上·四川绵阳·期中）如图，某海面上有 O、A、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在 O
岛的北偏东 45°方向距 O 岛 40 2 千米处，B 岛在 O 岛的正东方向距 O 岛 20 千米处以 O 为坐标原点，O 的
正东方向为 x 轴的正方向，1 千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆 C 经过 O、A、B 三点．
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)若圆 C 区域内有未知暗礁，现有一船 D 在 O 岛的南偏西30°方向距 O 岛 40 千米处，正沿着北偏东60°行
驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【答案】(1) x2 + y 2 - 20x - 60 y = 0
(2)该船没有触礁的危险
【分析】
（1）由图中坐标系得 A, B,O坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方
程；
（2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得．
【详解】（1）如图所示， A(40,40)、B(20,0)，
设过 O、A、B 三点的圆 C 的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，
F = 0

得： 402 + 402 + 40D + 40E + F = 0，解得D = -20, E = -60, F = 0，

20
2 + 20D + F = 0
故所以圆 C 的方程为 x2 + y 2 - 20x - 60 y = 0，
圆心为C(10,30)，半径 r = 10 10 ，
（2）该船初始位置为点 D，则 D(-20,-20 3)，
3
且该船航线所在直线 l 的斜率为 ,
3
故该船航行方向为直线 l : 3x - 3y - 40 3 = 0，
由于圆心 C 到直线 l 的距离d = 15( 3 +1) > 10 10 ，
故该船没有触礁的危险
6-3．（2024 高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为
8m 、 4m ）和圆弧构成，截面总高度为 6m，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖
直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度 AB = 6m .
(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
【答案】(1)答案见解析
(2) 4.5米
【分析】
uuur
（1）以抛物线的顶点O为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点 4, -2 在
圆上，求出 p 的等式，解之即可；
（2）将 x = 3的方程代入圆的方程，求出 y 值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度.
uuur
【详解】（1）解：以抛物线的顶点O为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐
标系，
故圆心在 y 轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为 x2 + y2 + Ey = 0,
易知，点 4, -2 在圆上，将 4, -2 的坐标代入圆的一般方程得16 + 4 - 2E = 0, E =10，
则该圆弧所在圆的一般方程为 x2 + y2 +10y = 0 .
（2）解：令 x = 3代入圆的方程得 y2 +10y + 9 = 0，得 y = -1或 y = -9（舍），
由于隧道的总高度为6 米，且6 -1- 0.5 = 4.5（米），
因此，车辆通过隧道的限制高度为 4.5米.
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）若直线 ax + by =1(a > 0,b > 0) ，与eO : x2 + y2 = 1相切，则a + 2b最大值为
（ ）
A． 3 B． 5 C．3 D．5
【答案】B
【分析】由条件可得 a2 + b2 =1，然后设 a = cosq ,b = sinq ，由三角函数的知识可得答案.
【详解】eO : x2 + y2 = 1的圆心为 0,0 ，半径为1，
因为直线 ax + by =1(a > 0,b > 0) ，与eO : x2 + y2 = 1相切，
1
所以 =12 2 ，即 a
2 + b2 =1，
a + b
所以可设 a = cosq ,b = sinq ，
所以 a + 2b = cosq + 2sinq = 5 sin q +j é- 5, 5ù 1 ，其中 tanj = 2 ，
故选：B
2．（2024 高二下·海南·学业考试）若直线 l：kx - y + 3- 2k = 0与圆C ： x2 + y2 - 6x - 4 y + 4 = 0交于 A，B 两
点，且直线 l不过圆心C ，则当VABC 的周长最小时，实数 k = （ ）
1
A．-1 B． C．1 D．2
2
【答案】C
【分析】先求出直线所过的定点，结合圆的性质可得 AB 最小时，周长最小，进而根据垂直关系可得答案.
【详解】直线 l： kx - y + 3- 2k = 0的方程可化为 k x - 2 - y + 3 = 0，∴直线 l过定点D 2,3 ，又∵
22 + 32 - 6 2 - 4 3 + 4 = -7 < 0，∴点 D 在圆 C 内．
由圆的性质可知当CD ^ l时， AB 最小，此时VABC 的周长最小，
又C 3,2 ，D 2,3 ，∴ kCD = -1，则 k =1．
故选：C.
3．（2024·河北·一模）直线 l : ax + by - 4 = 0与圆O : x2 + y2 = 4 相切，则 (a - 3)2 + (b - 4)2的最大值为（ ）
A．16 B．25 C．49 D．81
【答案】C
【分析】利用圆与直线的位置关系得出 a,b的方程，根据方程分析利用 (a - 3)2 + (b - 4)2表示的几何意义求解
即可.
【详解】由直线 l与圆O相切可得：
圆心O 0,0 到直线 l的距离等于圆的半径，
-4
即 = 2，
a2 + b2
故 a2 + b2 = 4，即点 (a , b ) 在圆 O 上，
(a - 3)2 + (b - 4)2的几何意义为圆上的点 (a , b ) 与点 (3, 4) 之间距离的平方，
由 a2 + b2 = 4圆心为 0,0 ，
因为32 + 42 > 4，
所以点 (3, 4) 在圆 a2 + b2 = 4外，
所以点 (a , b ) 到点 (3, 4) 的距离的最大值为圆心到 (3, 4) 的距离与圆半径之和，
即 d + r = 3- 0 2 + 4 - 0 2 + 2 = 7，
所以 (a - 3)2 + (b - 4)2的最大值为72 = 49 .
故选：C.
4．（2024 高二下·上海黄浦·期中）圆C : x2 + y2 + 2x + 4y - 3 = 0 上到直线 x + y +1 = 0距离为 2 的点有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．无数个
【答案】B
【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果.
【详解】因为 x2 + y2 + 2x + 4y - 3 = 0化为标准方程为 (x +1)2 + (y + 2)2 = 8，
所以圆心C(-1, -2)，圆的半径 r = 2 2 ，
d | -1- 2 +1|又因为圆心 C 到直线 x + y +1 = 0的距离为 = = 2 ，
2
所以 r - d = 2 ，
所以过圆心平行于直线 x + y +1 = 0的直线与圆有 2 个交点，另一条与直线 x + y +1 = 0的距离为 2 的平行线
与圆相切，只有 1 个交点，如图所示，
所以圆 C 上到直线 x + y +1 = 0的距离为 2 的点共有 3 个.
故选：B.
5．（2024 高二下·陕西安康·期末）坐标轴与圆C : x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先求出圆心和半径，再分别求出圆心到两坐标轴的距离与半径比较可得结论.
2 2
【详解】圆C : x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0，即圆C : x - 2 + y -1 = 4，
所以圆C(2,1) ，半径 r = 2，
因为圆心C(2,1) 到 x 轴的距离为 1，且1< 2，
所以圆与 x 轴相交，即与 x 轴有两个交点，
因为圆心C(2,1) 到 y 轴的距离为 2，且等于半径，
所以圆与 y 轴相切于点( 0, 1)，即与 y 轴有一个交点，
综上坐标轴与圆C : x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0有 3 个交点，
故选：C
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知直线 l : x + y - 3 = 0上的两点 A, B，且 AB =1，点 P 为圆
D : x2 + y2 + 2x - 3 = 0 上任一点，则VPAB 的面积的最大值为（ ）
A． 2 +1 B． 2 2 + 2 C． 2 -1 D． 2 2 - 2
【答案】A
【分析】
找到圆上的点到直线距离的最大值作为VPAB 的高，再由面积公式求解即可.
【详解】把圆D : x2 + y2 + 2x - 3 = 0 变形为 (x +1)2 + y2 = 4，
则圆心D -1,0 ，半径 r = 2，
1+ 3
圆心D到直线 l : x + y - 3 = 0的距离 d = = 2 2 ，
12 +12
则圆D上的点到直线 AB 的距离的最大值为 d + r = 2 2 + 2，又 AB =1，
1
∴VPAB 的面积的最大值为 2 2 + 2 1 = 2 +1．2
故选：A．
7．（2024·重庆·模拟预测）已知直线 l： 2x + y + m = 0上存在点 A，使得过点 A 可作两条直线与圆C ：
x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0分别切于点 M，N，且 MAN =120°，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． é - 5 - 2, 5 - 2ù B． é - 15 - 2 3, 15 - 2 3ù
C． é -2 5 - 4,2 5 - 4ù D． é 0, 15 - 2 3ù
【答案】C
【分析】根据题意求出 | AC |= 2，转化为直线上存在与 C 距离为 2 的点，利用点到直线距离建立不等式求解
即可.
【详解】由 x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0可得 (x -1)2 + (y - 2)2 = 3，
圆心C(1,2) ，半径 r = 3，
过点 A 可作两条直线与圆C ： x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0分别切于点 M，N，
连接 AC,CM ,CN ，如图，
由 MAN =120°知， MAC = 60°，又 | MC |= r = 3 ，
| MC |
所以 | AC |= = 2，
sin 60°
由题意，只需直线上存在与圆心距离为 2的点即可，
| 2 + 2 + m |
即圆心到直线的距离 d = 2
22
，
+12
解得-2 5 - 4 m 2 5 - 4，
故选：C
8．（北京市师大附属中学 2023 届高三适应性练习数学试题）已知圆O : x2 + y2 =1，直线3x + 4y -10 = 0上动
点 P ，过点 P 作圆O的一条切线，切点为A ，则 PA 的最小值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】C
【分析】首先得出切线长 PA 的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.
【详解】圆O： x2 + y2 =1中，圆心O(0,0) ，半径 r =1
设P(x0 , y0 )，则3x0 + 4y0 -10 = 0，
PA = PO 2 -12 = x2 2 1 2则 0 + y0 -1 = 25x0 - 60x0 + 84 ,4
当 x
30 6
0 = =
1
时， PA = 36 - 60 6 + 84 1= 48 = 3 ，
25 5 min 4 5 4
故选：C
9．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线 l : mx - y + m +1 = 0(m 0)与圆C : x2 + y2 - 4x + 2y + 4 = 0，过直线 l
上的任意一点 P 向圆C 引切线，设切点为 A, B，若线段 AB 长度的最小值为 3，则实数m 的值是（ ）
12 12 7 7
A．- B． C． D．-
5 5 5 5
【答案】A
【分析】设 ACP = q
0 π< q < ÷，则 | AB |= 2sinq ，可得 | PC |min = 2，而CP的最小值是圆心到直线的距离，
è 2
然后列方程可求出实数 m 的值.
π
C : (x 2)2 (y 【详解】圆 - + +1)2 =1，设 ACP = q 0 < q < 2 ÷，è
AB 2sinq π π则 = 3 ，则 sinq 3 ，\q [ , ) ，
2 3 2
PC 1则 = 2，所以圆心C 到直线 l的距离是 2，
cosq
2m +1+ m +1
\ = 2 12，得5m2 +12m = 0，Qm 0\m = - ．
m2 +1 5
故选：A．
10．（2024 高三下·湖南岳阳·开学考试）直线 2tx - y - 2t +1 = 0 t R 与圆 x2 + y2 = 4相交于 A，B 两点，则 AB
的最小值为（　　）
A． 2 B．2 C． 2 2 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点 P 1,1 ，即可得到当直线 l 与线段 CP 垂直时，弦 AB 的长最小，
再由勾股定理即可得到结果.
【详解】圆 C： x2 + y2 = 4的圆心C 0,0 ，半径为 2，
由直线 l： 2tx - y - 2t +1 = 0 t R 为 y -1 = 2t x -1 ，
∴直线 l 过定点P 1,1 ，
又12 +12 = 2 < 4，∴P 在圆 C 内部，
当直线 l 与线段 CP 垂直时，弦 AB 的长最小，
∵ CP = 0 -1 2 + 0 -1 2 = 2 ，
∴弦 AB 长的最小值为 2 4 - 2 = 2 2 .
故选：C.
11．（2024 高三上·安徽六安·阶段练习）若不等式 16 - x2 kx(k > 0) 的解集为区间[a,b]，且b - a = 2 ,则 k =
（ ）
A 3． B． 2 C． 3 D．2
3
【答案】C
【分析】将问题转化为半圆 y = 16 - x2 位于直线 y = kx(k > 0)下方的区间长度为 2，由此可得 a = 2,b = 4，
求出直线与半圆的交点坐标即可求得 k 的值.
【详解】解：如图所示：
因为 y = 16 - x2 表示以坐标原点为圆心，4 为半径位于 x 轴上方(含和 x 轴交点)的半圆，
y = kx(k > 0)表示过坐标原点及第一三象限内的直线，
又因为不等式 16 - x2 kx(k > 0) 的解集为区间[a,b]，且b - a = 2 ,
即半圆位于直线下方的区间长度为 2，
所以 a = 2,b = 4，
所以直线与半圆的交点 2,2 3 ，
k 2 3所以 = = 3 .
2
故选：C.
12．（2024·湖南益阳·三模）直线 y = x + b与曲线 x = 1- y2 恰有两个不同的公共点，则实数 b 的取值范围是
（ ）
A．-1 b 2 B．- 2 < b -1
C．-1 < b 1或b = - 2 D．- 2 < b <1
【答案】B
【分析】 y = x + b是斜率为1的直线，曲线 x = 1- y2 是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆，利用点到直线
距离公式，结合图形可得答案.
【详解】 y = x + b是斜率为1的直线，
曲线 x = 1- y2 是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象如图，
b
当直线与圆相切时， =1 b = - 2,b = 2 （舍去），
2
当直线过（1,0）时，b = -1,
由图可以看出：
当- 2 < b -1时，直线与半圆有两个公共点，
故选：B.
13．（2024 高二上·浙江嘉兴·期末）直线 2x + y - 2 = 0与曲线 x + y -1 x2 + y2 - 4 = 0的交点个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数.
【详解】因为曲线 x + y -1 x2 + y2 - 4 = 0就是 x + y -1 = 0 或 x2 + y2 = 4，表示一条直线与一个圆，
2x + y - 2 = 0 x =1
联立 ，解得 ，即直线 2x + y - 2 = 0与直线 x + y -1 = 0x y 1 0 y 0 有一个交点
1,0 ；此时， x2 + y2
+ - = =
- 4
没有意义.
8
2x + y - 2 = 0 x = 0 x = 5
联立 x2 y2 4 ，解得 y 2或 6 ，所以直线
2x + y - 2 = 0与 x2 + y2 = 4有两个交点.
+ = = y = -
5
所以直线 2x + y - 2 = 0与曲线 x + y -1 x2 + y2 - 4 = 0的交点个数为 2 个.
故选：B
二、多选题
14．（2024·全国·模拟预测）已知圆C : x2 + y2 - 2ay + a -1 = 0，直线 l： x - y = 0，则（ ）
A．存在 a R ，使得 l 与圆 C 相切
B．对任意 a R ，l 与圆 C 相交
C．存在 a R ，使得圆 C 截 l 所得弦长为 1
D．对任意 a R ，存在一条直线被圆 C 截，所得弦长为定值
【答案】BD
【分析】先求出圆的圆心及半径，求出圆心到直线 l的距离即可判断 AB；若C 截 l所得弦长为 1，则
r 2 d 2 1- = ，解关于 a的方程即可判断 C；圆C 的方程可变形为 x2 + y2 -1 + a 1- 2y = 0，令
4
x2 + y2 -1 = 0
，求出交点坐标，从而可判断 D．
1- 2y = 0
2 2
1 3 1 3
【详解】由题意得圆C : x2 + (y - a)2 = a - ÷ + ，所以圆心C 0, a ，半径 r = a - ÷ + ，è 2 4 è 2 4
a
对于 A，B：易知圆心C 到直线 l的距离 d = ，
2
2 2 1 2 1 2
所以 r - d = a - 2a + 22 =
é ù
2
a -1 +1 > 0 恒成立，
所以 d < r ，即对任意 a R ，l 与C 相交，故 A 错误，B 正确；
2 2 1
对于 C：若C 截 l所得弦长为 1，则 r - d = ，即 2a2 - 4a + 3 = 0，4
因为Δ = 42 - 4 2 3 = -8 < 0，所以关于 a的方程无实数解，
即不存在 a R ，使得圆C 截 l所得弦长为 1，故 C 错误；
对于 D：圆C 2的方程可变形为 x + y2 -1 + a 1- 2y = 0，
3
1- 2y = 0 x = ± 2 3 1 3 1
令 Cx2 y2 1 0，解得 ，所以圆 过定点
, ÷和 - , ÷，
+ - = y 1

è 2 2 ÷ 2 2 ÷
=
è
2
1
所以存在直线 y = 被圆C 截，所得弦长为定值 3，故 D 正确.2
故选：BD．
15．（2024 高一下·重庆沙坪坝·期末）已知直线 l： y = kx + 2k + 2(k R) 与圆C ： x2 + y2 - 2y -8 = 0．则下
列说法正确的是（ ）
A．直线 l过定点 (-2,2)
B．直线 l与圆C 相离
C．圆心C 到直线 l距离的最大值是 2 2
D．直线 l被圆C 截得的弦长最小值为 4
【答案】AD
【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.
【详解】对于 A，因为 l： y = kx + 2k + 2(k R) ，即 y = k x + 2 k + 2，
令 x + 2 = 0，即 x = -2，得 y = 2 ，所以直线 l过定点 (-2,2) ，故 A 正确；
2
对于 B，因为 -2 + 22 - 2 2 -8 < 0 ，
所以定点 (-2,2) 在圆C ： x2 + y2 - 2y -8 = 0内部，所以直线 l与圆C 相交，故 B 错误；
对于 C，因为圆C ： x2 + y2 - 2y -8 = 0，可化为 x2 + y -1 2 = 9，圆心C 0,1 ，
当圆心C 与定点 (-2,2) 的连线垂直于直线 l时，圆心C 到直线 l距离取得最大值，
2
此时其值为 -2 + 2 -1 2 = 5 ，故 C 错误；
对于 D，由弦长公式 AB = 2 r 2 - d 2 可知，当圆心C 到直线 l距离最大时，弦长取得最小值，
所以直线 l被圆C 截得的弦长的最小值为 2 9 - 5 = 4，故 D 正确.
故选：AD.
三、填空题
16．（2024· 2贵州贵阳·模拟预测）已知直线 l与圆C : x -1 + y2 =1有公共点M ，且与直线 2x - y + 3 = 0交于
点 N ，则 MN 的最小值是 ．
【答案】 5 -1
2
【分析】根据题意可知将问题转化为圆C : x -1 + y2 =1上一点M 到直线 2x - y + 3 = 0与圆交点的最小距离.
2
【详解】由题意可知，MN 的最小值即为圆C : x -1 + y2 =1上一点M 到直线 2x - y + 3 = 0与圆交点的最小
距离，
|2 - 0 + 3|
圆心C(1，0) ，半径 r =1，圆心C(1，0) 到直线 2x - y + 3 = 0的距离为 d = = 522 ( 1)2 ，+ -
由题意可知 |MN |min = d - r = 5 -1．
故答案为： 5 -1.
17．（2024·陕西西安·一模）直线 l : mx - y + 2 - 3m = 0 m R 与圆C : x2 + y2 - 2y -15 = 0 交于两点P Q，则
弦长 PQ 的最小值是 .
【答案】 2 6
【分析】先把圆C 的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发
现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值.
【详解】圆C : x2 + y2 - 2y -15 = 0 化成标准形式为圆C : x2 + (y -1)2 =16，
圆心C 0,1 ，半径 r = 4，
直线 l : mx - y + 2 - 3m = 0 m x - 3 - y + 2 = 0 过定点M 3,2 ，并在圆C 内，
\PQ 最短时，点M 3,2 为弦 PQ的中点，即CM ^ PQ时，
2
所以 PQ = 2 r 2 - CM = 2 6 .
故答案为： 2 6 .
18．（2024 高二上·浙江宁波·期末）如图 1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度 AB = 30m，
拱高OP = 5m ，建造时每间隔 6m需要用一根支柱支撑，则支柱 A1P1的高度等于 m（精确到
0.01m）．若建立如图 2 所示的平面直角坐标系 xOy ，则圆拱所在圆的标准方程是 ．
（可用参考数据： 616 = 24.82, 600 = 24.49, 599 = 24.47, 544 = 23.32, 525 = 22.91．）
【答案】 3.32 x2 + (y + 20)2 = 252
2 2
【分析】设拱形所在圆的圆心为 H，半径为 r，由题意圆心 H 在 y 轴上，由 HA = HO + AO 2 可求得
r = 25, HO = 20，圆心H (0, -9) ，可得圆的方程；由题意设P1(-9, y), y > 0，代入圆的方程可求支柱 A1P1的高
度．
【详解】设拱形所在圆的圆心为 H，半径为 r，由题意圆心 H 在 y 轴上，如图，
HA 2则 = HO 2 + AO 2 r 2 = (r - 5)2 +152 r = 25, HO = 20，
则圆的标准方程为： x2 + (y + 20)2 = 252．
由题意设P1(-9, y), y > 0，代入圆的方程得 (-9)2 + (y + 20)2 = 252 ，
解得 y = 544 - 20 = 23.32 - 20 = 3.32，即P1(-9,3.32)，则 A1P1 = 3.32 .
故答案为：3.32； x2 + (y + 20)2 = 252 .
19．（2024·江西·模拟预测）已知圆C 的方程为 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25，若直线 l : 3x + 4y - 5 = 0与圆C 相交于 A, B
两点，则VABC 的面积为 .
【答案】12
【分析】根据直线与圆相交弦长公式确定弦长 AB 及圆心到直线 AB 得距离，即可求VABC 的面积.
【详解】圆C ： (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25，得圆心为C 3,4 ，半径为 r = 5，
圆心到直线的距离 d = 4，因此 AB = 2 r 2 - d 2 = 2 25 -16 = 6，
S 1所以 VABC = AB
1
× d = 6 4 =12 .
2 2
故答案为：12 .
20．（2024
2
高二下·浙江·期末）若直线 l1 : y = kx +1截圆C2 : x - 2 + y2 = 5所得弦长 AB = 4，则 k 的值为 .
4
【答案】0 或-
3
【分析】根据直线截圆的弦长公式计算.
2k +1
【详解】圆心 2,0 到直线 l1 : y = kx +1的距离为 d = ，
1+ k 2
2
由 AB = 2 R2 - d 2 2k +1
4
得 4 2 5 = - ，解得 k = 0或 k = - ，
1+ k 2 3
4
故答案为：0 或-
3
21．（2024 2高二下·江苏南京·期末）已知直线 l : x + y -1 = 0：与圆C : x - 3 + y + 4 2 = 5交于 A, B两点，则
AB = .
【答案】 2 3
【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.
2 2
【详解】由圆C : x - 3 + y + 4 = 5，可得圆心坐标为C(3, -4) ，半径为 r = 5 ，
3- 4 -1
又由圆心C 到直线 l : x + y -1 = 0的距离为 d = = 2 ，
12 +12
根据圆的弦长公式，可得 AB = 2 r 2 - d 2 = 2 5 - ( 2)2 = 2 3 .
故答案为： 2 3 .
a a
22．（2024·天津·三模）已知直线 ax + y -1 = 0平分圆C : (x -1)2 + (y + 2)2 = 4 ，则圆C 中以点 ,- ÷为中点
è 3 3
的弦弦长为
【答案】 2 3
【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标和半径，由题意可知该直线经过圆心，求出 a，利用几何法求弦长即
可求解.
【详解】由 (x -1)2 + (y + 2)2 = 4，得C(1, -2), r = 2，
因为直线 ax + y -1 = 0平分圆 C，
所以该直线经过圆心 C，得 a - 2 -1 = 0 ，解得 a = 3 .
则 (
a , a- ) = (1,-1)，
3 3
当圆心 C 与该点 (1, -1) 的连线与弦垂直时，满足题意，
所以圆 C 以点 (1, -1) 为中点的弦弦长为 2 22 -12 = 2 3 .
故答案为： 2 3 .
23．（2024 高三上·广东·开学考试）过点 P(2, 2)作圆 x2 + y2 = 4的两条切线，切点分别为A 、 B ，则直线 AB
的方程为 ．
【答案】 x + y - 2 = 0
【分析】由题知 A 0,2 、B 2,0 ，进而求解方程即可.
【详解】解：方法 1：由题知，圆 x2 + y2 = 4的圆心为 0,0 ，半径为 r = 2，
所以过点 P(2, 2)作圆 x2 + y2 = 4的两条切线，切点分别为 A 0,2 、B 2,0 ，
所以 kAB = -1，
所以直线 AB 的方程为 y = -x + 2，即 x + y - 2 = 0；
x21 + y
2
1 = 4
方法 2：设 A x1, y1 ，B x2 , y

2 ，则由 y1 y1 - 2 ，可得 x. = -1 1 + y1 = 2，
x1 x1 - 2
同理可得 x2 + y2 = 2，
所以直线 AB 的方程为 x + y - 2 = 0 .
故答案为： x + y - 2 = 0
24．（2024 高二下·上海杨浦·期中）由直线 x + y + 6 = 0上一点 P 向圆C : x - 3 2 + y + 5 2 = 4引切线，则切线
长的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】设过点 P 的切线与圆C 相切于点E ，分析可知当PC 与直线 x + y + 6 = 0垂直时， PC 取最小值，再
利用勾股定理可求得切线长的最小值.
【详解】设过点 P 的切线与圆C 相切于点E ，连接CE，则PE ^ CE ，
圆C 的圆心为C 3, -5 2，半径为 r = 2，则 PE = PC - r 2 ，
3- 5 + 6
当PC 与直线 x + y + 6 = 0垂直时， PC 取最小值，且最小值为 = 2 2 ，
2
2
所以， PE = PC - r 2 8 - 4 = 2 ，即切线长的最小值为 2 .
故答案为： 2 .
25．（2024 高二下·贵州·阶段练习）已知圆O : x2 + y2 = 4 ，点 A 是直线3x + y +10 = 0上的一个动点，过点 A
作圆O的两条切线 AM , AN ，切点分别为M , N ，则四边形 AMON 的面积的最小值为 ；直线MN 过
定点 .
6 2
【答案】 2 6 (- , - )5 5
【分析】第一空，| OA |= d ，结合圆的几何性质推出 S 2AMON = 2 d - 4 ，即可知当OA垂直于直线3x + y +10 = 0
时，d 最小，即可求得答案；第二空，设 A(t, -3t -10），表示出以OA为直径的圆的方程，和圆O : x2 + y2 = 4
的方程相减，可得直线MN 的方程，分离参数，即可求得直线所过的定点坐标.
【详解】由题意过点 A 作圆O : x2 + y2 = 4 的两条切线 AM , AN ，切点分别为M , N ，
连接OM ,ON ,则OM ^ AM ,ON ^ AN ,
设 | OA |= d ，则 | AM |=| AN |= d 2 - 4 ,
1
故 SAMON = 2SVAMO = 2 d
2 - 4 2 = 2 d 2 - 4 ,
2
当OA垂直于直线3x + y +10 = 0时，d 最小，
10
所以 dmin = = 102 2 ，所以 SAMON = 2 10 - 4 = 2 6 ；3 +1 min
由于点 A 是直线3x + y +10 = 0上的一个动点，设点 A(t, -3t -10），
2
线段OA
t
的中点设为 P，则P( ,
-3t -10)，且 | OP |2 5t + 30t + 50= ，
2 2 2
t 3t +10 5t 2OA + 30t + 50所以以线段 为直径为圆的方程为 (x - )2 + (y + )2 = ，
2 2 2
即 x2 - tx + y2 + (3t +10)y = 0，
将方程 x2 - tx + y2 + (3t +10)y = 0与 x2 + y2 = 4作差可得 tx - (3t +10)y - 4 = 0，
即直线MN 的方程为 tx - (3t +10)y - 4 = 0，可得 t(x - 3y) -10y - 4 = 0 ，
6
x - 3y = 0 x = -
由于 t R , ,\ 5故
-10y
，
- 4 = 0 y 2= -
5
6 2
因此，直线MN 恒过定点 (- , - ) ，
5 5
6 2
故答案为： 2 6 ； (- , - )5 5
1 3
26．（2024 高二下·天津西青·阶段练习）过点 ,- ÷÷作圆C : x
2 + y2 =1的切线 l，则切线 l的方程为 .
è 2 2
【答案】 x - 3y - 2 = 0
1 3
【分析】根据题意可知点 ,- ÷÷在圆C 上，结合切线性质结合直线的点斜式运算求解.
è 2 2
【详解】圆C : x2 + y2 =1的圆心C 0,0 ，
2 2
1 3 1 3 1 3 ∵ ÷ + - ÷÷ =1，则点 ,- ÷÷在圆C 上，即点 ,- ÷为切点，è 2 2 2 2 2 2 ÷è è è
3
- - 0
则圆心到切点连线的斜率 k = 21 = - 3
3
，可得切线 l的斜率 kl = ，
- 0 3
2
3 3 1
故切线 l的方程 y + = x - ÷ ，即 x - 3y - 2 = 0 .2 3 è 2
故答案为： x - 3y - 2 = 0 .
27 2024 · · C : x - 3 2．（ 高三 全国 课后作业）已知圆 + y2 = 4，过点 A（2，0）的直线 l 交圆 C 于 M、N 两点，
uuuur uuur
且OM ×ON = 2，则直线 l 的方程是 .
【答案】 y = ± 3 x - 2
【分析】当直线 l的斜率不存在时，求出M , N 的坐标，经计算可知，不符合题意；所以直线 l的斜率存在，
设直线 l : y = k(x - 2)，联立直线与圆的方程，根据韦达定理得 x1 + x2 和 x1x2 ，再求出 y1y2，根据
uuuur uuur
OM ×ON = x1x2 + y1y2 = 2，解方程得 k ，即可求出直线 l的方程.
x = 2 x = 2 x = 2
【详解】当直线 l

的斜率不存在时， l : x = 2，联立 2 2 ，得 或 ，
x - 3 + y = 4 y = - 3 y = 3
uuuur uuur
不妨设M (2,- 3)， N (2, 3) ，则OM ×ON = 2 2 - 3 3 =1，不符合题意；
所以直线 l的斜率存在，设直线 l : y = k(x - 2)，
y = k x - 2
联立 ，消去 y 并整理得 (1+ k 2)x2 - (6 + 4k 2)x + 4k 2 x - 3 2 2
+ 5 = 0，
+ y = 4
= 6 + 4k 2 2 - 4(1+ k 2)(4k 2 + 5) =12k 2 +16 > 0 ，
设M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，
6 + 4k 2 4k 2 + 5
则 x1 + x2 = ， x1+ k 2 1
x2 = ，1+ k 2
2 2 2
则 y1y2 = k(x1 - 2) × k(x2 - 2) = k 2(x x - 2(x 2
4k + 5 12 + 8k 3k
1 2 1 + x2) + 4) = k ( 2 - 2 + 4) = - ，1+ k 1+ k 1+ k 2
uuuur uuur 2 2 2
所以OM ×ON = x x + y y 4k + 5 3k k + 51 2 1 2 = 2 - 2 = = 2 ,1+ k 1+ k 1+ k 2
解得 k 2 = 3， k = ± 3 ，
所以直线 l 的方程是 y = ± 3(x - 2) .
故答案为： y = ± 3(x - 2)
28．（2024
2 2
高二上·江苏盐城·期末）由直线 y = x 上的点向圆 x - 4 + y + 2 =1引切线，则切线长的最小值
为 .
【答案】 17
【分析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，
求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解.
【详解】圆 x - 4 2 + y + 2 2 =1的圆心为C 4, -2 , r =1，
在直线 y = x 上取一点 P，过 P 向圆引切线，设切点为 A．连接PC, AC ．
在Rt△PAC 中， CA = r = 1．要使 PA 最小，则 PC 应最小．
4 + 2
又当 PC 与直线垂直时， PC 最小，其最小值为 = 3 2 ．
2
故 PA
2
的最小值为 3 2 -12 = 17 ．
故答案为： 17 .
29．（2024·湖南长沙·一模）已知圆M : (x - 4)2 + y2 =16，过点 N 2,0 的直线 l与圆M 交于 A, B两点，D是 AB
的中点，则D点的轨迹方程为 .
2
【答案】 x - 3 + y2 =1
【分析】由圆的垂径定理可得MD ^ DN ，结合向量垂直的条件：数量积为 0，化简可得所求轨迹方程，即
可求得答案.
【详解】圆M : (x - 4)2 + y2 =16，
所以圆心为M 4,0 ，半径为 4，设D x, y ，
由线段 AB 的中点为 D，可得MD ^ DN ，
uuuur uuur
即有MD × ND = (x - 4, y) × (x - 2, y) = x - 4 x - 2 + y × y = 0，
x - 3 2即 + y2 =1，
所以点D的轨迹是以 3,0 为圆心，1 为半径的圆；
故答案为： x - 3 2 + y2 =1.
四、解答题
30．（2024 高二下·河北张家口·阶段练习）已知一圆C 的圆心为 2, -1 ，且该圆被直线 l : x - y -1 = 0截得的
弦长为 2 2 .
(1)求该圆的方程；
(2)求过点P 4,3 的该圆的切线方程.
(1) x - 2 2【答案】 + y +1 2 = 4
(2) x = 4或3x - 4y = 0
【分析】（1）假设圆的方程，利用垂径定理可构造方程求得圆的半径，由此可得圆的方程；
（2）分别在切线斜率不存在和存在的情况下，根据圆心到直线距离等于半径可求得切线方程.
【详解】（1）设圆C 的方程为 x - 2 2 + y +1 2 = r 2 r > 0 ，
2 +1-1
Q圆心到直线 x - y -1 = 0的距离为 d = = 2 ，
12 + -1 2
2 2
又圆被直线 l : x - y -1 = 0截得的弦长为 2 2 ，\r 2 = 2 + 2 = 4，
\ 2圆的方程为： x - 2 + y +1 2 = 4 .
（2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为： x = 4，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为 y - 3 = k x - 4 ，即 kx - y - 4k + 3 = 0，
2k +1- 4k + 3
由 = 2 得： k
3 3
=
2 ，\切线方程为 x - y = 0 ，即3x - 4y = 0，k +1 4 4
综上所述：过点P 4,3 的圆的切线方程为 x = 4或3x - 4y = 0 .
31．（2024 高二下·四川内江·开学考试）已知点P 0,2 ，设直线 l：y=kx+b（b， k R ）与圆C : x2 + y2 = 4
相交于异于点 P 的 A，B 两点.
(1)若PA ^ PB，求 b 的值；
(2)若 | AB |= 2 3 ，且直线 l 2 3与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求直线 l 的斜率 k 的值；
3
(3)当 | PA | × | PB |= 4时，是否存在一定圆 M，使得直线 l 与圆 M 相切 若存在，求出该圆的标准方程；若不存
在，请说明理由.
【答案】(1) 0
(2) k 3 k 3= ± 或 = ±
3
(3)存在，定圆M : x2 + (y - 2)2 = 1.
【分析】（1）根据PA ^ PB可知直线 l过圆 x2 + y2 = 4的圆心 (0,0)，可得b = 0；
（2）由 | AB |= 2 3 得原点O(0,0) 4 3到直线 l的距离为1，得b2 =1+ k 2，再根据面积得b2 = | k |，联立消去b2
3
可得 k 的值；
（3）联立直线与圆 x2 + y2 = 4，化为关于 x 的一元二次方程，设 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，根据韦达定理可得 y1 + y2
和 y1y2，利用 y1 + y2 和 y1y2，将 | PA | × | PB |= 4化为 k 2 = b2 - 4b + 3，利用 k 2 = b2 - 4b + 3求出点P(0, 2)到直线
y = kx + b的距离为1，由此可得结果.
【详解】（1）因为PA ^ PB，又P(0, 2)在圆 x2 + y2 = 4上，
所以直线 l过圆 x2 + y2 = 4的圆心 (0,0)，所以b = 0 .
（2）因为 | AB |= 2 3 ，圆 x2 + y2 = 4的半径为 2，
所以圆心 (0,0)到直线 l的距离d = 4 - ( 3)2 = 1，
由点到直线的距离公式可得 d
| b |
= =1
2 ，得b
2 =1+ k 2，
1+ k
当 k = 0时，直线 l与坐标轴不能围成三角形，故 k 0，
b
在 y = kx + b中，令 x = 0，得 y = b；令 y = 0 ，得 x = - ，
k
1
所以 | b | b 2 3× | - |= ，得b2 4 3= | k |，
2 k 3 3
所以1+ k 2 4 3= | k |，解得 | k |= 3 | k | 3或 = ，
3 3
k 3所以 = ± 3 或 k = ± .
3
x2 + y2 = 4
（3）联立 ，消去 y 并整理得 (k 2 +1)x2 + 2kbx + b2 - 4 = 0，
y = kx + b
= 4k 2b2 - 4(k 2 +1)(b2 - 4) > 0，即b2 < 4k 2 + 4，
设 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，
2kb b2 - 4
则 x1 + x2 = - 2 ， x1x2 = ，k +1 k 2 +1
2 2b
所以 y1 + y2 = k(x1 + x2) + 2b
2k b
= - 2 + 2b = ，k +1 k 2 +1
2 2 2 2
y y = (kx 21 2 1 + b)(kx2 + b) = k x1x2 + kb(x + x ) + b
2 k (b - 4) 2k b 2
1 2 = k 2
- + b
+1 k 2 +1
b2 - 4k 2
= 2 ，k +1
所以 | PA | × | PB | = x2 2 21 + (y1 - 2) × x2 + (y2 - 2)
2 = 4，
所以 é4 - y
2
1 + (y1 - 2)
2 ù × 2 é4 - y2 + (y2 - 2)
2 ù =16，
所以 (8 - 4y1)(8 - 4y2) =16，
所以 (2 - y1)(2 - y2) =1，
所以 y1y2 - 2(y1 + y2) + 3 = 0，
b2 - 4k 2 4b
所以 - + 3 = 0，即 k 2 = b22 2 - 4b + 3，k +1 k +1
| -2 + b | | b - 2 | | b - 2 |
所以点P(0, 2)到直线 y = kx + b的距离为 = = =1，
k 2 +1 b2 - 4b + 3 +1 (b - 2)2
所以直线 y = kx + b与以P(0, 2)为圆心，1为半径的圆相切，
所以存在一个定圆M : x2 + (y - 2)2 = 1，使得直线 l与圆M : x2 + (y - 2)2 = 1相切.
32．（2024 高二上·江西萍乡·期末）已知直线 l过点P 1, -1 ，且__________.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
r
①与圆 (x +1)2 + y2 = 5 5相切；②倾斜角的余弦值为 ；③直线 l的一个方向向量为 a = -2, -4 .
5
(1)求直线 l的一般式方程；
(2)若直线 l与曲线C : x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0相交于M , N 两点，求弦长 MN .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) 2x - y - 3 = 0
(2) 8 5
5
【分析】（1）选①，先得到点 P 在圆 (x +1)2 + y2 = 5上，从而根据垂直关系求出直线 l的斜率，得到直线 l
的一般式方程；选②，求出 tana = 2 ，从而得到直线 l的一般式方程；选③，根据直线 l的一个方向向量求
出 l的斜率，求出直线 l的一般式方程；
（2）求出圆心C 到直线 l的距离，利用垂径定理求出弦长.
2
【详解】（1）若选①：因为 (1+1)2 + -1 = 5，故点 P 在圆 (x +1)2 + y2 = 5上，
-1- 0 1
且圆心 -1,0 与 P 连线的斜率为 = -1- -1 2 ，
因为直线 l与圆 (x +1)2 + y2 = 5相切，所以直线 l的斜率为 2；
所以直线 l的一般式方程为 2x - y - 3 = 0；
若选②：设直线 l的倾斜角为a (0 a < π) cosa 5，由 = 得 tana = 2 ；
5
故直线 l的斜率 k = tana = 2；
所以直线 l的一般式方程为 2x - y - 3 = 0；
r -4
若选③：因为直线 l的一个方向向量为 a = -2, -4 ，所以 l的斜率 k = = 2 ；
-2
所以直线 l的一般式方程为 2x - y - 3 = 0;
（2）曲线C : x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0，即 (x - 3)2 + (y -1)2 = 4；
故C 为圆，圆心为C 3,1 ，半径为 r = 2；
6 -1- 3
则圆心C 到直线 l的距离为 d
2 5
= = ；
4 +1 5
所以弦长 MN = 2 r2 - d 2 8 5= .
5
33．（2024 高二上·福建宁德·期中）已知直线 l： y = k x + 2 2 与圆 O： x2 + y2 = 4相交于不重合的 A，B 两
点，O 是坐标原点，且 A，B，O 三点构成三角形．
(1)求 k 的取值范围；
(2)VABO 的面积为S ，求S 的最大值，并求取得最大值时 k 的值．
【答案】(1) -1,0 U 0,1
(2) S 3的最大值为 2，取得最大值时 k = ±
3
【分析】（1）解法一：通过圆心到直线的距离小于半径且 k 0列出不等式求解即可；解法二：联立方程，
令 ＞0得到不等式求解，结合 k 0即可得到答案；
（2）先求出高和弦长，通过三角形面积公式直接代入求解面积，通过换元，结合二次函数性质即可得到答
案.
【详解】（1）解法一：
2 2 k
由题意知：圆心到直线的距离 d = ，
k 2 +1
因为直线 l与圆 O 相交于不重合的 A，B 两点，且 A，B，O 三点构成三角形，
2 2 k k 2＜1
所以0＜ ＜2 ，得 ，解得 -1＜k＜1且 k 0，
k 2 +1 k 0
所以 k 的取值范围为 -1,0 U 0,1 .
解法二：
y = k x + 2 2 k 2 +1 x2联立 ，化简得： + 4 2k 2x + 8k 2 - 4 = 0
x
2 + y2 = 4
= 32k 4 - 4 k 2 +1 8k 2 - 4 =16 -16k 2 > 0，得 -1＜k＜1，
因为 A，B，O 三点构成三角形，所以 k 0
所以 k 的取值范围为 -1,0 U 0,1 .
（2）直线 l： y = k(x + 2 2) ，即 kx - y + 2 2k = 0，
2 2 k
点 O 到直线 l距离： d = ，
k 2 +1
2 2 k 2
所以 AB 2 22 d 2 2 4 2 4 1- k= - = -（ ） =
k 2 +1 1+ k 2
2 4 2 k 21 2 2 k 1- k 2 所以 S = AB × d 1 1- k= ×4 2 × = ，（ -1＜k＜1且 k 0）2 2 1+ k k 2 +1 1+ k 2
设 k 2 +1 = t t 1 ，则 k 2 = t -1，
-t 2 + 3t - 2 -t 2S 4 2 4 2 + 3t - 2
2
所以 = × = × 2 = 4 2 × -2
1 3 1
-

÷ + t t è t 4 8
1 3
所以当 = ，即 t 4= 3，即 k = ± 时， Smax = 2t 4 3 3
3
所以S 的最大值为 2，取得最大值时 k = ± .
3
34．（2024 高二下·上海嘉定·期中）已知过点 A -1,0 的直线 l与圆C : x2 + y - 3 2 = 4相交于 P 、Q两点，M
是弦 PQ的中点，且直线 l与直线m : x + 3y + 6 = 0 相交于点 N ．
(1)当直线 l与直线m 垂直时，求证：直线 l经过圆心C ；
(2)当弦长 PQ = 2 3时，求直线 l的方程；
uuuur uuur
(3)设 t = AM × AN ，试问 t是否为定值，若为定值，请求出 t的值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) x = -1或 4x - 3y + 4 = 0
(3) t为定值，且 t = -5
【分析】（1）利用垂直时 km × kl = -1求出 kl ，利用点斜式即可得出直线 l的方程，然后验证圆心C 在直线 l上
即可；
（2）讨论直线 l斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据CM =1即可得解；
uuuur uuur uuur uuur
（3）先转化 AM × AN = AC × AN ，根据直线斜率是否存在分别求出点 N 点坐标，计算后即可得解.
1 1
【详解】（1）解：Q直线 l与直线m 垂直，且 km = - ，\ kl = - = 3 .3 km
故直线 l方程为 y = 3 x +1 ，即3x - y + 3 = 0 .
圆心为C 0,3 ，且3 0 - 3 + 3 = 0 ，故当直线 l与直线m 垂直时，直线 l经过圆心C .
（2）解：①当直线 l与 x 轴垂直时，则直线 l的方程为 x=-1，圆心C 到直线 l的距离为1，
且 PQ = 2 22 -12 = 2 3，合乎题意；
②当直线 l与 x 轴不垂直时，设直线 l的方程为 y = k x +1 ，即 kx - y + k = 0，
Q PQ = 2 3，M 是 PQ中点，圆C 圆心为 0,3 ，半径为 2，
k - 3
\ CM 4= 4 - 3 =1，则由 CM = =1 k =
k 2
，得 ，
+1 3
4
此时，直线 l的方程为 y = x +1 ，即 4x - 3y + 4 = 0 .
3
综上所述，直线 l的方程为 x=-1或 4x - 3y + 4 = 0 .
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur（3）解：Q CM ^ NA，\ AM × AN = AC + CM × AN = AC × AN + CM × AN = AC × AN .
x = -1 x = -1
①当 l与 x 轴垂直时，直线 l的方程为 x=-1，联立 x 3y 6 0 可得 5 ， + + = y = - 3
uuur
即点 N -1,
5 5
-
3 ÷
，则 AN = 0, - ÷，
è è 3
uuur
uuuur uuur uuur uuur又 AC = 1,3 ，\ AM × AN = AC × AN = -5 .
1
②当 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y = k x +1 ，其中 k - ，
3
x -3k - 6 y = k x +1 = 3k +1 -3k - 6 -5k uuurN , AN -5= , -5k 则由 可得 ，即点 ，则 .
x 3y 6 0

+ + = ÷ ÷ y -5k è 1+ 3k 1+ 3k è1+ 3k 1+ 3k=
3k +1
uuuuv uuuv uuuv uuuv
\ AM -5 -15k× AN = AC × AN = + = -5 .
1+ 3k 1+ 3k
uuuur uuur uuuur uuur
综上所述， t = AM × AN 与直线 l的斜率无关，且 t = AM × AN = -5 .
35．（2024 高二下·湖北·阶段练习）已知圆C : x2 + y2 =16，直线 l : 2 + k x + 1+ k y + k = 0 .
(1)证明：直线 l和圆C 恒有两个交点；
(2)若直线 l和圆C 交于 A, B两点，求 AB 的最小值及此时直线 l的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2) AB 最小值为 2 11，此时直线 l方程为 x - 2y - 5 = 0
【分析】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证；
（2）根据直线垂直于 l ^ CP时， AB 有最小值可解.
【详解】（1）直线 2 + k x + 1+ k y + k = 0 ，即 k x + y +1 + 2x + y = 0 ，
x + y +1 = 0 x =1
联立 2x y 0 解得 y 2所以不论
k 取何值，直线 l必过定点P 1, -2 .
+ = = -
圆C : x2 + y2 =16，圆心坐标为C 0,0 ，半径 r = 4，
因为 PC = (1- 0)2 + (-2 - 0)2 = 5 < 4，所以点 P 在圆C 内部，
则直线 l与圆C 恒有两个交点.
（2）直线 l经过圆C 内定点P 1, -2 ，圆心C 0,0 ，
记圆心到直线 l的距离为 d.
因为 AB = 2 r 2 - d 2 ，所以当 d 最大时， AB 取得最小值，
所以当直线 l ^ CP时，被圆C 截得的弦 AB 最短，
此时 AB = 2 42 - | PC |2 = 2 42 - ( 5)2 = 2 11，
k -2 - 0
1
因为 CP = = -21 0 ，所以直线
l的斜率为 ，又直线 l过点P 1, -2 ，
- 2
所以当 AB
1
取得最小值时，直线 l的方程为 y + 2 = x -1 ，即 x - 2y - 5 = 0，
2
综上： AB 最小值为 2 11，此时直线 l方程为 x - 2y - 5 = 0 .
36．（2024 高三·全国·专题练习）（1）求函数 y = x - 4 + 15 - 3x 的最大值和最小值；
x - 3
（2）求函数 y = 的值域；
1+ x2
（3）求函数 y = x + 2x2 - 4x + 6 的值域；
（4）已知1 x2 + y2 2，求 z = x2 - xy + y2 的最值．
1
【答案】（1）最大值为 2，最小值为 1；（2）[-2,1)；（3）[ 2 +1,+ )；（4）最大值为 3，最小值
2
【分析】（1）利用三角换元法，令 x = 4 + sin2 a

0 a
π
，结合辅助角公式及三角函数的性质求解；
è 2 ÷
q π , π （2）利用三角换元法，令 x = tanq ， - ÷，结合辅助角公式及三角函数的性质求解；
è 2 2
（3）解法一：利用三角换元法，设 x -1 = 2 tanq
|q | π< ÷，结合辅助角公式及三角函数的性质求解；
è 2
2 + sinq π π
解法二：由解法一得u = |q |<

÷ ，则u 为P(cosq ,sinq ) |q |< ÷ 与点 A(0, - 2)连线的斜率，数形cosq è 2 è 2
结合可求得结果；
（4）令 x = k cosq ， y = k sinq ，则1 k 2 2 ，结合三角函数的性质求解.
2 π
【详解】（1）由于 4 x 5，故可令 x = 4 + sin a 0 a ．
è 2 ÷
则原式变为 y = sina + 3 cosa = 2sin
π
a + ÷ ．
è 3
Q0 π a , π a π 5π\ + ，
2 3 3 6
a π= x 17当 ，即 = 4 时，
y 取得最大值 2；
6
a π当 = ，即 x = 5时， y 取得最小值1．
2
π π
（2）函数的定义域为R ，令 x = tanq ，q - ,2 2 ÷．è
y tanq - 3 sinq 3 cosq 2sin q π= 1 = - = -

则 è 3 ÷ ．
cosq
π q π 5π π π由于- < < ，\- < q - < ．
2 2 6 3 6
5π π π
而当- < q - < - 时， y 为减函数，此时-2 < y < -1，
6 3 2
π q π π当- - < 时， y 为增函数，此时-2 y <1．
2 3 6
故函数的值域为[-2,1)．
（3）解法一：
π
Q2x2 - 4x + 6 = 2(x -1)2 + 4，\可设 x -1 = 2 tanq |q |<

÷．
è 2
2 2 2 + sinq 则 y = 2 tanq +1+ = +1．
cosq cosq
2 + sinq π
设u = |q |< ，则u > 0，从而 ．
cos 2 ÷ u cosq - sinq = 2q è
u 1
\ u2 +1cos(q +j) = 2 （其中 cosj = ， sinj =2 2 ）．u +1 u +1
Qcos(q +j) 2= 1，\ u2 +1 2 ，u2 +1 2，u2 1且u > 0，\u 1，
u2 +1
\ y 2 +1，故函数的值域为[ 2 +1,+ )．
解法二：
u 2 + sinq= 由解法一得 |q |
π
< ，
cosq è 2 ÷
则u 为P(cosq ,sinq )

|q |
π
<
2 ÷
与点 A(0, - 2)连线的斜率．
è
设过点A 的直线方程为 y + 2 = kx，即 kx - y - 2 = 0，显然 k > 0 ，
P 点在半圆 x2 + y2 =1(0 < x 1,-1< y <1) 上，
2
当直线与半圆 x2 + y2 =1(0 < x 1， -1 < y < 1) 相切时， d = =1，解得 k =1，
k 2 +1
数形结合易得 k 1，即u≥1．\ y 2 +1．
故函数的值域为[ 2 +1,+ )．
（4）令 x = k cosq ， y = k sinq ，则1 k 2 2 ．
z = x2 - xy + y2 = k2 2又 -k sinq cosq = k2
1
1- sin2q

÷．
è 2
当 k 2 = 2， sin 2q = -1时， zmax = 3；
当 k 2
1
=1， sin 2q = 1时， zmin = ．2
37．（2024 高一下·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系中，圆C 过点 A(4,0)，B(2, 2) ，且圆心C 在 x + y - 2 = 0
上．
(1)求圆C 的方程；
(2)若已知点P(4, 2 3)，过点 P 作圆C 的切线，求切线的方程．
【答案】(1) (x - 2)2 + y2 = 4
(2) x - 3y + 2 = 0
【分析】（1）根据题意，求出 AB 的中垂线方程，与直线 2x - y - 4 = 0联立，可得圆心C 的坐标，求出圆的
半径，即可得答案；
（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．
【详解】（1）因为圆C 过 A(4,0), B(2,2)，则 AB 的中垂线过圆心C ，
设 AB 的中点为M ，则M (3,1) ，
k 4 - 2因为 AB = = -10 2 ，所以 AB 的中垂线方程为
y -1 = x - 3，即 y = x - 2，
-
又圆心在 x + y - 2 = 0，
x + y - 2 = 0 x = 2
联立
y = x - 2
，解得 ，
y = 0
因此圆心C(2,0) ，半径 r = OA = 2，
所以圆C 的方程为 (x - 2)2 + y2 = 4 .
.
2
（2）因为 (4 - 2)2 + 2 3 > 4，所以P(4, 2 3)在圆C 外，
过P(4, 2 3)作圆C 的切线，
若切线斜率不存在时，则切线方程为 x = 4，满足与圆C 相切，
若切线斜率存在时，设切线方程 y - 2 3 = k(x - 4)，即 kx - y - 4k + 2 3 = 0，
2 3 - 2k
则 = 2 k 3，解得2 = ，1+ k 3
3
所以切线方程为 x - y 3- 4 + 2 3 = 0 ，即 x - 3y + 2 = 0 .
3 3
综上：切线方程为 x = 4或 x - 3y + 2 = 0 .
38．（2024 高二上·全国·课后作业）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆与直线 x - 3y - 4 = 0相切
(1)求圆 O 的方程；
(2)若已知点P(3，2)，过点 P 作圆 O 的切线，求切线的方程．
【答案】(1) x2 + y2 = 4
(2)12x - 5y - 26 = 0或 y - 2 = 0 ．
【分析】（1）根据圆与直线 x - 3y - 4 = 0相切，可得圆心到直线的距离为半径，即可求得半径，可得答案；
（2）判断切线斜率存在，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可求得切线斜率，即得答案.
【详解】（1）由题意知以原点 O 为圆心的圆与直线 x - 3y - 4 = 0相切，
| -4 |
故圆的半径为 r = = 22 ，1 + (- 3)2
故圆的方程为 x2 + y2 = 4 .
（2）当过点P(3，2)的直线斜率不存在时，为 x = 3与圆 x2 + y2 = 4不相切；
故过点P(3，2)作圆 O 的切线，斜率一定存在，设方程为 y -2 = k(x -3)，
| -3k + 2 |
即 kx - y - 3k + 2 = 0，则 = 2
12
2 2 ，解得 k = 0或 k = 5 ，k +1
故切线方程为12x - 5y - 26 = 0或 y - 2 = 0 ．
39．（浙江省丽水市 2023-2024 学年高二上学期期末数学试题）已知圆C 经过点 A(1, 2)和B(5,-2) ，且圆C 关
于直线 2x + y = 0 对称．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点D(-3,1) 作直线 l与圆C 相切，求直线 l的方程．
【答案】(1) (x -1)2 + (y + 2)2 =16；
(2) x = -3和7x - 24y + 45 = 0 .
【分析】（1）由题意可知圆心为 AB 中垂线与 2x + y = 0 的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即
可；
（2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可.
【详解】（1）∵ A(1, 2)，B(5,-2)
-2 - 2
，故 AB 的中点坐标为 3,0 ， kAB = = -1，5 -1
y 0 1∴AB 的垂直平分线为： - = - x - 3 y = x - 3，
-1
y = x - 3
由 解得圆心C(1, -2)，半径 r = CA = CB = 4
2x + y = 0
故圆C 的方程为 (x -1)2 + (y + 2)2 =16；
（2）若直线 l的斜率存在，方程可设为 y -1 = k x + 3 ，即 kx - y + 3k +1 = 0
k + 2 + 3k +1 7
圆心C(1, -2)到直线 l的距离为 d = = r = 4，解得 k = ，
1+ k 2 24
所求的一条切线为7x - 24y + 45 = 0；
当直线 l的斜率不存在时，圆心C(1, -2)到 x = -3的距离为 4，即 x = -3与圆相切，
所以直线 l的方程为 x = -3和7x - 24y + 45 = 0．
40．（2024 高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知点 A 0,0 ，B 2,0 ，曲线 C 任意一点 P 满足 PB = 2 PA ．
(1)求曲线 C 的方程；
(2)设直线 x - y + m = 0 与圆 C 交于 A、B 两点，是否存在实数 m，使得以 AB 为直径的圆过原点，若存在，
求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) x2 + y2 + 4x - 4 = 0
(2)存在；m =1± 5
【分析】(1)设P x, y ，代入 PB = 2 PA 即可得到曲线 C 的方程.
uuur uuur
(2)由以 AB 为直径的圆过原点可以得到OA ×OB = 0 ，利用韦达定理法即可求解.
2
【详解】（1）设P x, y ，因为 PB = 2 PA ，故 x - 2 + y2 = 2 x2 + y2 ，
即 x - 2 2 + y2 = 2x2 + 2y2 ，整理可得 x2 + y2 + 4x - 4 = 0
所以曲线 C 的方程为 x2 + y2 + 4x - 4 = 0 .
（2）设 A(x1, y1), B( x2, y2)
x - y + m = 0
联立 2 2x2 + y2 整理得
2x + 2(m + 2)x + m - 4 = 0
+ 4x - 4 = 0
Δ = 4(m + 2)2 -（8 m2 - 4）> 0得-2 < m < 6 ①
2
x x m 2, x x m - 4根据韦达定理得： 1 + 2 = - - 1 2 = 2
uuur uuur
由以 AB 为直径的圆过原点，得到OA ×OB = 0
uuur uuur
所以OA ×OB = x1x2 + y1 y2 = x1x2 + (x1 + m)(x2 + m)
= 2x1x2 + m(x
2
1 + x2 ) + m
= m2 - 4 - m(m + 2) + m2 = m2 - 2m - 4 = 0
解得 m =1± 5 满足①式
所以存在实数m =1± 5 ，使得以 AB 为直径的圆过原点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 x1, y1 , x2 , y2 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x （或 y ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 x1 + x2 、 x1x2 （或 y1 + y2 、 y1y2）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
41．（2024 高二·全国·课后作业）已知 O 为原点，直线 x + 2y - 3 = 0与圆 x2 + y2 + x - 6y + m = 0交于 P、Q 两
点．
(1)若 PQ = 31，求 m 的值；
(2)若OP ^ OQ，求圆的面积．
1
【答案】(1) 4
25
(2) π
4
【分析】（1）求出圆的圆心与半径，再求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得出答案；
（2）设P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，联立方程，利用韦达定理求出 y1 + y2 , y1 y2 ，再根据OP ^ OQ，可得
uuur uuur
OP ×OQ = x1x2 + y1 y2 = 0，求出m ，从而可得圆的半径，即可得出答案.
1
【详解】（1）解：圆 x2 + y2 + x - 6y

+ m = 0的圆心为 - ,3

2 ÷
，
è
r 37 - 4m
37
半径 = ，其中m < ，
2 4
1
1 - + 6 - 3
圆心 - ,3÷到直线 x + 2y - 3 = 0的距离 d 2 5= = ，è 2 1+ 4 2
1
PQ = 2 r 2 - d 2 2 37 - 4m 5= - = 31 ，解得m = ；
4 4 4
（2）解：设P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，
x + 2y - 3 = 0
联立 22 2 ，消 x 得5y - 20y +12 + m = 0
x y
，
+ + x - 6y + m = 0
= 400 - 20 12 + m > 0 ，
则 y1 + y2 = 4, y1y
12 + m
2 = ，5
又 x1 = -2y1 + 3, x2 = -2y2 + 3，
uuur uuur
因为OP ^ OQ，所以OP ×OQ = x1x2 + y1 y2 = 0，
即 -2y1 + 3 -2y2 + 3 + y1 y2 = 0 ，
即9 - 6 y1 + y2 + 5y1 y2 = 0，
9 6 4 5 12 + m所以 - + = 0，解得m = 3满足 > 0，
5
37 - 4m 5
此时圆的半径 r = = ，
2 2
2
5 25
所以圆的面积为 π 2 ÷
= π .
è 4
42．（2024 高二上·江苏盐城·期末）已知圆C : x2 + y2 - 4x - 6y + 4 = 0．
(1)若一直线被圆 C 所截得的弦的中点为M (3,2)，求该直线的方程；
(2)设不过圆心C 的直线 l : y = x + m与圆 C 交于 A，B 两点，把△CAB的面积 S 表示为 m 的函数，并求 S 的
最大值．
【答案】(1) y = x -1；
1 9
(2) S = -(m -1)4 +18(m -1)2 ，m 1- 3 2,1 1,1+ 3 2 ； .2 2
【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标，再利用圆的性质求解作答.
（2）利用点到直线的距离公式，求出△CAB边 AB 上的高，再求出弦 AB 长即可求解作答.
【详解】（1）圆C : (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9圆心C(2,3)，半径 r = 3，显然点M (3,2)在圆 C 内，
由圆的性质知，当M (3,2)为圆 C 弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线CM ，
2 - 3
直线CM 的斜率 kCM = = -1，则有所求直线斜率为 1，方程为： y - 2 = x - 3，即 y = x -1，3- 2
所以该直线的方程为 y = x -1 .
| 2 - 3 + m |
（2）直线 l : x - y + m = 0与圆C 相交时，圆心 C 到直线 l 的距离 d = < 3，解得
2
1- 3 2 < m <1+ 3 2 ，
又直线 l 不过圆心C(2,3)，即m 1，因此1- 3 2 < m <1+ 3 2 且m 1，
| AB |= 2 r 2 - d 2 2 32 (m -1= - )2 = -2(m -1)2 + 36 ，
2
1 1 | m -1| 1
△CAB的面积 S = | AB | ×d = -2(m -1)2 + 36 × = -(m -1)4 +18(m -1)22 2 2 ，2
9
因为1- 3 2 < m <1+ 3 2 且m 1，则0 < (m -1)2 <18，当 (m -1)2 = 9，即m = -2或m = 4 时， Smax = ，2
1
所以 S = -(m -1)4 +18(m 1)2
9
- ，m 1- 3 2,1 1,1+ 3 2 ，当m = -2或m = 4 时， S = .2 max 2
43．（2024 高二下·广西柳州·期中）已知圆C ： x2 + y -1 2 = 5，直线 l：mx - y +1- m = 0 .
(1)设直线 l与圆C 相交于 A, B两点，且 AB = 17 ，求直线 l的方程；
(2)设直线 l与圆C 相交于 A, B两点，求弦 AB 中点的轨迹方程.
【答案】(1) 3x - y +1- 3 = 0或 3x + y -1- 3 = 0；
2
(2) 1 2 1 x - ÷ + y -1 = .
è 2 4
【分析】（1）由弦长得圆心到直线 l的距离，利用点到直线的距离公式求出 m 的值，得直线方程；
（2）设动点M x, y ，由几何关系得动点满足的向量关系，求得轨迹方程.
【详解】（1）圆C 的圆心为C 0,1 ,半径为 5 ,
设圆心到直线 l的距离为 d，因为 AB = 17 3，则 2 5 - d 2 = 17 ，解得 d = ，
2
m 3
所以 = ，
2 m = ± 3
，
m2 +1
故直线 l方程为 3x - y +1- 3 = 0或 3x + y -1- 3 = 0 .
（2）直线 l： y = m(x -1) +1，过定点P 1,1 ，
uuuur uuuur
设弦 AB 的中点M x, y ，则PM ×CM = 0，
2
所以 (x -1)x + (y -1)2 = 0 1 2 1，即 x - 2 ÷
+ y -1 = ，
è 4
2
所以弦 AB 1 2 1的中点的轨迹方程为 x - ÷ + y -1 = .
è 2 4
44．（2024 高二上·山东滨州·期末）已知圆C 的圆心在直线 2x + y - 4 = 0上，且与 y 轴相切于点O 0,0 ．
(1)求圆C 的方程；
(2)已知过点P 1,3 的直线 l被圆C 截得的弦长为 2 3 ，求直线 l的方程．
【答案】(1) x - 2 2 + y2 = 4
(2) x =1或 4x + 3y -13 = 0
【分析】（1）分析可知圆心C 在直线 y = 0 上，将直线 2x + y - 4 = 0与直线 y = 0 的方程联立，可求得圆心的
坐标，进而可求得圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；
（2）求出圆心到直线 l的距离，对直线 l的斜率是否存在进行分类讨论，在直线 l的斜率不存在的情况下，
直接检验即可；在直线 l的斜率存在时，设出直线 l的方程，根据圆心到直线 l的距离求出直线 l的斜率，综
合可得出直线 l的方程.
【详解】（1）解：因为圆C 与 y 轴相切于点O 0,0 ，所以圆心C 在直线 y = 0 上，
又因为圆C 的圆心在直线 2x + y - 4 = 0上，
2x + y - 4 = 0 x = 2
由 y 0 ，解得
C 2,0 C
y 0，即 ，圆 的半径 r = OC = 2
2 + 02 = 2，
= =
2
所以，圆C 的方程为 x - 2 + y2 = 4．
2
2 C l d d r 2
2 3
（ ）解：设圆心 到直线 的距离为 ，则 = - ÷÷ = 2
2 - 3 =1，
è 2
当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x =1，此时 d = 1，满足条件；
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的斜率为 k ，则直线 l的方程为 y - 3 = k x -1 ，
即 kx - y + 3- k = 0 ．
2k + 3 - k k + 3
因为圆心为C 2,0 ，所以圆心C 到直线 l的距离为 d = = =1，
k 2 +1 k 2 +1
整理可得 k 2 + 6k + 9 = k 2 +1，解得 k
4
= - ，
3
所以，直线 l的方程为 4x + 3y -13 = 0．
综上所述，直线 l的方程为 x =1或 4x + 3y -13 = 0 .
45．（2024 高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆C 经过点 A 4,2 、B 6,0 ，圆心C 在直线 x + y - 4 = 0 上.
(1)求圆C 的方程；
(2)若直线 y = k x + 2 与圆C 相交于 P 、Q两点， PQ = 2 3，求实数 k 的值.
【答案】(1) x - 4 2 + y2 = 4
(2) k 35= ±
35
【分析】（1）求出直线 AB 的中垂线方程联立直线 x + y - 4 = 0 方程即可得圆心坐标，进而可求半径，即可
求出圆C 的方程；
（2）由 PQ = 2 3可得点C 4,0 到直线 y = k x + 2 的距离为 1，由点到直线的距离公式即可列方程求解.
【详解】（1） AB 的中点为M 5,1 ，斜率 k = -1，
则直线 AB 的中垂线为 y = x - 4
y = x - 4 x = 4
联立 ，解得 ，
y = 4 - x y = 0
即C 4,0 ， BC = 2
圆C 的方程为 x - 4 2 + y2 = 4 .
6 k
（2）由于 PQ = 2 3，点C 4,0 到直线 y = k x + 2 的距离 d = =12 ，k +1
35
即35k 2 =1，解得 k = ±
35
46．（2024 高二上·浙江杭州·期中）已知圆 P 过两点M (0, 2)， N ( 3,1) ，且圆心 P 在直线 y = x 上．
(1)求圆 P 的方程；
(2)过点Q(-1,2) 的直线交圆 P 于 A, B两点，当 AB = 2 3 时，求直线 AB 的方程．
【答案】(1) x2 + y2 = 4
(2) x=-1或3x + 4y - 5 = 0
【分析】（1）依题意可设圆 P 的方程为 (x - a)2 + (y - a)2 = r 2 (r > 0)，圆 P 过两点M (0, 2)， N ( 3,1) ，可列
方程组求解未知数，从而可得圆 P 的方程；
（2）由弦长 AB = 2 3 ，可得圆心P(0,0)到直线 AB 的距离为 1，当直线 AB 的斜率不存在时验证即可，当
直线 AB 的斜率存在时，设出直线 AB 的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解.
【详解】（1）依题意圆心 P 在直线 y = x 上，可设圆 P 的方程为 (x - a)2 + (y - a)2 = r 2 (r > 0)，
因为圆 P 过两点M (0, 2)， N ( 3,1) ，
(0 - a)2 + (2 - a)2 = r2 a = 0
所以 ，解得 2 ，
( 3 - a)2 + (1- a)
2 = r 2 r = 4
所以圆 P 的方程为 x2 + y2 = 4 .
（2）由（1）可知，圆心P(0,0)，半径 r = 2，
当直线 AB 的斜率不存在时，其方程为 x=-1，圆心P(0,0)到直线 AB 的距离为 1，
此时 AB = 2 r 2 -1 = 2 3 满足题意；
当直线 AB 的斜率存在时，
设直线 AB 的方程为 y - 2 = k(x +1) ，即 kx - y + k + 2 = 0 ，
当 AB = 2 3 时，圆心P(0,0)到直线 AB 的距离 d = r 2 - ( 3)2 =1，
k + 2
即有 d = =1
3
，解得 k = - ，
k 2 +1 4
3
此时直线 AB 的方程为 y - 2 = - (x +1)，即为3x + 4y - 5 = 0 .
4
综上，直线 AB 的方程为 x=-1或3x + 4y - 5 = 0 .2.5.1 直线与圆的位置关系 6 题型分类
一、直线 Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 个 1 个 0 个
几何法：
设圆心到直线的距离
dr
|Aa＋Bb＋C|
d＝
判 A2＋B2
断 代数法：
方 由
法
{Ax＋By＋C＝0， Δ>0 Δ＝0 Δ<0 x－a 2＋ y－b 2＝r2，
消元得到一元二次方程，
可得方程的判别式 Δ
二、直线与圆相交时的弦长求法：
圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l，
几何法 l
利用 r2＝d2＋( )2解题.2
代数法 若交点坐标易求出，求出交点坐标后，
直接用两点间距离公式计算弦长.
l：y＝kx＋b 与圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，
弦长公式法 弦长 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2].
三、求过某一点的圆的切线方程：
(1)点(x0，y0)在圆上．
1
①先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为－ ，由点斜式可得切线方
k
程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y＝y0或 x＝x0.
(2)点(x0，y0)在圆外．
①设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得 k，也就
得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存
在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
（一）
直线与圆的位置关系的判断
直线与圆的位置关系
1．几何法判断直线与圆的位置关系：
2 2 Aa + Bb + C
直线 Ax + By + C = 0与圆 x - a + y - b = r 2 ，圆心到直线的距离 d =
A2 + B 2
(1) d > r 直线与圆相离 无交点；
(2) d = r 直线与圆相切 只有一个交点；
(3) d < r 直线与圆相交 有两个交点.
2．代数法判断直线与圆的位置关系：
Ax + By + C = 0
联立直线方程与圆的方程，得到 ，通过解的个数来判断：x 2 + y
2 + Dx + Ey + F = 0
(1)当 > 0时，直线与圆有 2 个交点，，直线与圆相交.
(2)当 = 0时，直线与圆有 1 个交点，直线与圆相切.
(3)当 < 0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离.
3.直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关
系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
题型 1：判断直线与圆的位置关系
1-1．（2024 高二下·北京海淀·期中）直线 ax - y + 2a = 0 a R 与圆 x2 + y2 = 5的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
x y
1-2．（2024·四川成都·一模）圆C ： (x -1)2 + (y -1)2 = 1与直线 l： + =1的位置关系为（ ）
4 3
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
1-3．（2024·安徽蚌埠·三模）直线 l : x + my +1- m = 0与圆C : x -1 2 + y - 2 2 = 9的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
1-4．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知圆C : x2 + y2 + 2x - 4 y = 0 ，直线 l : 2x - y -1 = 0，则圆 C 与直线 l
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆 C 的圆心
题型 2：根据直线与圆的位置关系求参数
2-1．（2024 高二下·上海静安·期末）过点 0,1 的直线 l与圆 x2 + y2 + 4x + 3 = 0 相切，则直线 l的斜率为 .
2-2 2 2．（2024 高三·全国·专题练习）已知圆 C： x - 2 + y -1 = r2 r > 0 ，直线 l : ax + y - 2a +1 = 0，若直线 l
与圆 C 总有交点，则 r 的取值范围为
2-3．（2024 高二下·上海宝山·期末）若直线 y = kx -1与曲线 y = -x2 + 4x - 3 恰有两个公共点，则实数 k 的取
值范围是（ ）
4 ,+ éA． ÷ B． ê1,
4 é 4 ù 4
÷ C． 1, D． 0,3 ÷è 3 ê 3 ú è 3
题型 3：根据直线与圆的位置关系求距离的最值
3-1．（2024·广西·模拟预测）已知直线 l : mx + 5 - 2m y - 2 = 0 m R 和圆O : x2 + y2 = 4 ，则圆心 O 到直线 l
的距离的最大值为（ ）
6
A B 2 5 C 2 3
3
． ． ． D．
5 5 3 2
3-2．（2024 高二下·河南南阳·期末）已知直线 l： x + y + 2 = 0与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点，动直线 l1：
y = -mx m R 和 l2：my - x - 4m + 2 = 0交于点 P，则△MNP的面积的最小值为（ ）
A． 10 B．5 - 10 C． 2 2 D． 2 10 - 3
3-3．（2024 高三下·云南昆明·阶段练习）已知点 P 是直线2x + y - 3 = 0上的动点，过点 P 作圆 O：x2 + y2 =1
5 1
的两条切线，切点分别为 A, B，则点Q( , )到直线 AB 的距离的最大值为 .
3 3
（二）
圆的弦长问题
直线与圆相交时的弦长求法：
2
1 l ．几何法：利用圆的半径 r ，圆心到直线的距离 d ，弦长 l之间的关系 r 2 = d 2 + ，整理出
è 2 ÷
弦长公式为： l = 2 r 2 - d 2 .
2．代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦
长.
3．弦长公式法：设直线 l : y = kx + b 与圆的交点为 x1, y1 ， x2 , y2 ，将直线方程代入圆的方程，
消元后利用根与系数的关系得到弦长 l = 1+ k 2 x1 - x2 = 1+ k 2 é 2 ù x1 + x2 - 4x1x2 .
题型 4：圆的弦长问题
4-1．（2024·河北邯郸·二模）已知直线 l : x - y + 5 = 0与圆C : x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0交于 A， B 两点，若M 是
圆上的一动点，则△MAB 面积的最大值是 .
4-2．（2024 高二下·四川凉山·期末）已知圆C : x2 + y2 - 2ay = 0，过圆C 内一点 A 2,1 的直线被圆C 所截得
的最短弦的长度为 2，则 a =（ ）
1
A．2 B． 2 2 C． D．32
4-3．（2024 高二上·四川凉山·期末）过点 1,1 的直线 l 被圆C : x2 + y2 = 4 截得的弦长最短，则直线 l 的斜率
是（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
4-4．（2024 高二下·浙江·阶段练习）圆C 经过点 A(2,-1)，和直线 x + y =1相切，且圆心在直线 y = -2x 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)求圆C 在 y 轴截得的弦长．
1
4-5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知圆C : x2 + y2 - 6x + 5 = 0 ，直线 y = x +1 与圆 C 相交于 M，N 两点，则
3
MN = ．
4-6．（2024· 2浙江·三模）在平面直角坐标系上，圆C : x2 + y -1 =1，直线 y = a x +1 与圆C 交于 A, B两点，
a 0,1 ，则当VABC 的面积最大时， a =（ ）
1
A 2． B． 3 -1 C． 2 - 3 D．
2 2
4-7．（2024 高二下·上海黄浦·期末）设直线 y = ax + 3与圆 x2 + y2 = 4相交所得弦长为 2 3 ，则 a = ；
（三）
求圆的切线方程
求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上．
1
①先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为－ ，由点斜式可得切线方程．
k
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y＝y0或 x＝x0.
(2)点(x0，y0)在圆外．
①设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得 k，也就得
切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在
的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
题型 5：求圆的切线方程
5-1．（2024·天津南开·二模）若直线 kx - y - 2k + 3 = 0 x2 + y +1 2与圆 = 4 相切，则 k = .
5-2．（2024·
2 2
北京通州·三模）过直线 y = x 上的一点 P 作圆 x - 5 + y -1 = 2的两条切线 l1， l2，切点分别
为 A, B，当直线 l1， l2关于 y = x 对称时，线段PA的长为（ ）
A．4 B． 2 2 C． 6 D．2
5-3．（2024·北京·模拟预测）经过点 1,0 且与圆 x2 + y2 - 4x - 2y + 3 = 0相切的直线方程为 ．
5-4．（2024 高二上·福建福州·期末）过点P 1,1 作圆E ： x2 + y2 - 4x + 2y = 0的切线，则切线方程为（ ）
A． x + y - 2 = 0 B．2x + y - 3 = 0
C． x - 2y +1 = 0 D．2x - y -1 = 0
5-5．（2024·河北唐山·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P a,b 在直线 ax + by + 6a + 8 = 0上，则当
a，b 变化时，直线 OP 的斜率的取值范围是 .
5-6．（2024 高三下·湖北·阶段练习）过直线 x + 2y - 4 = 0上一点 P 作圆 x2 + y2 =1的两条切线PA, PB，切点分
别为A ， B ，则 AB 的最小值为 .
（四）
直线与圆的实际应用
解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的元素．
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
题型 6：直线与圆的实际应用
6-1．（2024 高二上·广东佛山·期末）党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地
之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而
过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于
山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧
形洞门样式，如图所示，路宽 AB 为16米，洞门最高处距路面 4米.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧 AB 的方程.
(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了 2米宽的隔墙.某货车装
满货物后整体呈长方体状，宽 2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门 并说明理由.
6-2．（2024 高二上·四川绵阳·期中）如图，某海面上有 O、A、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在 O
岛的北偏东 45°方向距 O 岛 40 2 千米处，B 岛在 O 岛的正东方向距 O 岛 20 千米处以 O 为坐标原点，O 的
正东方向为 x 轴的正方向，1 千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆 C 经过 O、A、B 三点．
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)若圆 C 区域内有未知暗礁，现有一船 D 在 O 岛的南偏西30°方向距 O 岛 40 千米处，正沿着北偏东60°行
驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
6-3．（2024 高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为
8m 、 4m ）和圆弧构成，截面总高度为 6m，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖
直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度 AB = 6m .
(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）若直线 ax + by =1(a > 0,b > 0) ，与eO : x2 + y2 = 1相切，则a + 2b最大值为
（ ）
A． 3 B． 5 C．3 D．5
2．（2024 高二下·海南·学业考试）若直线 l：kx - y + 3- 2k = 0与圆C ： x2 + y2 - 6x - 4 y + 4 = 0交于 A，B 两
点，且直线 l不过圆心C ，则当VABC 的周长最小时，实数 k = （ ）
1
A．-1 B． C．1 D．2
2
3．（2024·河北·一模）直线 l : ax + by - 4 = 0与圆O : x2 + y2 = 4 相切，则 (a - 3)2 + (b - 4)2的最大值为（ ）
A．16 B．25 C．49 D．81
4．（2024 高二下·上海黄浦·期中）圆C : x2 + y2 + 2x + 4y - 3 = 0 上到直线 x + y +1 = 0距离为 2 的点有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．无数个
5．（2024 高二下·陕西安康·期末）坐标轴与圆C : x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知直线 l : x + y - 3 = 0上的两点 A, B，且 AB =1，点 P 为圆
D : x2 + y2 + 2x - 3 = 0 上任一点，则VPAB 的面积的最大值为（ ）
A． 2 +1 B． 2 2 + 2 C． 2 -1 D． 2 2 - 2
7．（2024·重庆·模拟预测）已知直线 l： 2x + y + m = 0上存在点 A，使得过点 A 可作两条直线与圆C ：
x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0分别切于点 M，N，且 MAN =120°，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． é - 5 - 2, 5 - 2ù B． é - 15 - 2 3, 15 - 2 3ù
C． é-2 5 - 4,2 5 - 4ù D． é0, 15 - 2 3ù
8．（北京市师大附属中学 2023 届高三适应性练习数学试题）已知圆O : x2 + y2 =1，直线3x + 4y -10 = 0上动
点 P ，过点 P 作圆O的一条切线，切点为A ，则 PA 的最小值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
9．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线 l : mx - y + m +1 = 0(m 0)与圆C : x2 + y2 - 4x + 2y + 4 = 0，过直线 l
上的任意一点 P 向圆C 引切线，设切点为 A, B，若线段 AB 长度的最小值为 3，则实数m 的值是（ ）
12 12 7 7
A．- B． C． D．-
5 5 5 5
10．（2024 高三下·湖南岳阳·开学考试）直线 2tx - y - 2t +1 = 0 t R 与圆 x2 + y2 = 4相交于 A，B 两点，则 AB
的最小值为（　　）
A． 2 B．2 C． 2 2 D．4
11．（2024 高三上·安徽六安·阶段练习）若不等式 16 - x2 kx(k > 0) 的解集为区间[a,b]，且b - a = 2 ,则 k =
（ ）
A 3． B． 2 C． 3 D．2
3
12．（2024·湖南益阳·三模）直线 y = x + b与曲线 x = 1- y2 恰有两个不同的公共点，则实数 b 的取值范围是
（ ）
A．-1 b 2 B．- 2 < b -1
C．-1 < b 1或b = - 2 D．- 2 < b <1
13．（2024 高二上·浙江嘉兴·期末）直线 2x + y - 2 = 0与曲线 x + y -1 x2 + y2 - 4 = 0的交点个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、多选题
14．（2024·全国·模拟预测）已知圆C : x2 + y2 - 2ay + a -1 = 0，直线 l： x - y = 0，则（ ）
A．存在 a R ，使得 l 与圆 C 相切
B．对任意 a R ，l 与圆 C 相交
C．存在 a R ，使得圆 C 截 l 所得弦长为 1
D．对任意 a R ，存在一条直线被圆 C 截，所得弦长为定值
15．（2024 高一下·重庆沙坪坝·期末）已知直线 l： y = kx + 2k + 2(k R) 与圆C ： x2 + y2 - 2y -8 = 0．则下
列说法正确的是（ ）
A．直线 l过定点 (-2,2)
B．直线 l与圆C 相离
C．圆心C 到直线 l距离的最大值是 2 2
D．直线 l被圆C 截得的弦长最小值为 4
三、填空题
16．（2024· 2贵州贵阳·模拟预测）已知直线 l与圆C : x -1 + y2 =1有公共点M ，且与直线 2x - y + 3 = 0交于
点 N ，则 MN 的最小值是 ．
17．（2024·陕西西安·一模）直线 l : mx - y + 2 - 3m = 0 m R 与圆C : x2 + y2 - 2y -15 = 0 交于两点P Q，则
弦长 PQ 的最小值是 .
18．（2024 高二上·浙江宁波·期末）如图 1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度 AB = 30m，
拱高OP = 5m ，建造时每间隔 6m需要用一根支柱支撑，则支柱 A1P1的高度等于 m（精确到
0.01m）．若建立如图 2 所示的平面直角坐标系 xOy ，则圆拱所在圆的标准方程是 ．
（可用参考数据： 616 = 24.82, 600 = 24.49, 599 = 24.47, 544 = 23.32, 525 = 22.91．）
19．（2024·江西·模拟预测）已知圆C 的方程为 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25，若直线 l : 3x + 4y - 5 = 0与圆C 相交于 A, B
两点，则VABC 的面积为 .
20 2024 · · l : y = kx +1 C : x - 2 2．（ 高二下 浙江 期末）若直线 21 截圆 2 + y = 5所得弦长 AB = 4，则 k 的值为 .
21．（2024 高二下· 2 2江苏南京·期末）已知直线 l : x + y -1 = 0：与圆C : x - 3 + y + 4 = 5交于 A, B两点，则
AB = .
22．（2024·天津·三模）已知直线 ax + y -1 = 0平分圆C : (x -1)2 + (y + 2)2 4
a
= ，则圆C 中以点 ,
a
-
3 3 ÷
为中点
è
的弦弦长为
23．（2024 高三上·广东·开学考试）过点 P(2, 2)作圆 x2 + y2 = 4的两条切线，切点分别为A 、 B ，则直线 AB
的方程为 ．
24 2024 · · x + y + 6 = 0 C : x - 3 2．（ 高二下 上海杨浦 期中）由直线 上一点 P 向圆 + y + 5 2 = 4引切线，则切线
长的最小值为 ．
25．（2024 高二下·贵州·阶段练习）已知圆O : x2 + y2 = 4 ，点 A 是直线3x + y +10 = 0上的一个动点，过点 A
作圆O的两条切线 AM , AN ，切点分别为M , N ，则四边形 AMON 的面积的最小值为 ；直线MN 过
定点 .
1 3
26．（2024 高二下·天津西青·阶段练习）过点 2 2 ,- ÷÷作圆C : x + y =1的切线 l，则切线 l的方程为 .
è 2 2
27 2．（2024 高三·全国·课后作业）已知圆C : x - 3 + y2 = 4，过点 A（2，0）的直线 l 交圆 C 于 M、N 两点，
uuuur uuur
且OM ×ON = 2，则直线 l 的方程是 .
28．（2024
2 2
高二上·江苏盐城·期末）由直线 y = x 上的点向圆 x - 4 + y + 2 =1引切线，则切线长的最小值
为 .
29．（2024·湖南长沙·一模）已知圆M : (x - 4)2 + y2 =16，过点 N 2,0 的直线 l与圆M 交于 A, B两点，D是 AB
的中点，则D点的轨迹方程为 .
四、解答题
30．（2024 高二下·河北张家口·阶段练习）已知一圆C 的圆心为 2, -1 ，且该圆被直线 l : x - y -1 = 0截得的
弦长为 2 2 .
(1)求该圆的方程；
(2)求过点P 4,3 的该圆的切线方程.
31．（2024 高二下·四川内江·开学考试）已知点P 0,2 ，设直线 l：y=kx+b（b， k R ）与圆C : x2 + y2 = 4
相交于异于点 P 的 A，B 两点.
(1)若PA ^ PB，求 b 的值；
(2)若 | AB |= 2 3 2 3，且直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求直线 l 的斜率 k 的值；
3
(3)当 | PA | × | PB |= 4时，是否存在一定圆 M，使得直线 l 与圆 M 相切 若存在，求出该圆的标准方程；若不存
在，请说明理由.
32．（2024 高二上·江西萍乡·期末）已知直线 l过点P 1, -1 ，且__________.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
r
①与圆 (x +1)2 + y2 = 5相切；② 5倾斜角的余弦值为 ；③直线 l的一个方向向量为 a = -2, -4 .
5
(1)求直线 l的一般式方程；
(2)若直线 l与曲线C : x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0相交于M , N 两点，求弦长 MN .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
33．（2024 高二上·福建宁德·期中）已知直线 l： y = k x + 2 2 与圆 O： x2 + y2 = 4相交于不重合的 A，B 两
点，O 是坐标原点，且 A，B，O 三点构成三角形．
(1)求 k 的取值范围；
(2)VABO 的面积为S ，求S 的最大值，并求取得最大值时 k 的值．
34．（2024 高二下·上海嘉定·期中）已知过点 A -1,0 的直线 l与圆C : x2 + y - 3 2 = 4相交于 P 、Q两点，M
是弦 PQ的中点，且直线 l与直线m : x + 3y + 6 = 0 相交于点 N ．
(1)当直线 l与直线m 垂直时，求证：直线 l经过圆心C ；
(2)当弦长 PQ = 2 3时，求直线 l的方程；
uuuur uuur
(3)设 t = AM × AN ，试问 t是否为定值，若为定值，请求出 t的值；若不为定值，请说明理由．
35．（2024 高二下·湖北·阶段练习）已知圆C : x2 + y2 =16，直线 l : 2 + k x + 1+ k y + k = 0 .
(1)证明：直线 l和圆C 恒有两个交点；
(2)若直线 l和圆C 交于 A, B两点，求 AB 的最小值及此时直线 l的方程.
36．（2024 高三·全国·专题练习）（1）求函数 y = x - 4 + 15 - 3x 的最大值和最小值；
y x - 3（2）求函数 = 的值域；
1+ x2
（3）求函数 y = x + 2x2 - 4x + 6 的值域；
（4）已知1 x2 + y2 2，求 z = x2 - xy + y2 的最值．
37．（2024 高一下·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系中，圆C 过点 A(4,0)，B(2, 2) ，且圆心C 在 x + y - 2 = 0
上．
(1)求圆C 的方程；
(2)若已知点P(4, 2 3)，过点 P 作圆C 的切线，求切线的方程．
38．（2024 高二上·全国·课后作业）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆与直线 x - 3y - 4 = 0相切
(1)求圆 O 的方程；
(2)若已知点P(3，2)，过点 P 作圆 O 的切线，求切线的方程．
浙江省丽水市 2023-2024 学年高二上学期期末数学试题）已知圆C 经过点 A(1, 2)和B(5,-2) ，且圆C 关于直
线 2x + y = 0 对称．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点D(-3,1) 作直线 l与圆C 相切，求直线 l的方程．
40．（2024 高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知点 A 0,0 ，B 2,0 ，曲线 C 任意一点 P 满足 PB = 2 PA ．
(1)求曲线 C 的方程；
(2)设直线 x - y + m = 0 与圆 C 交于 A、B 两点，是否存在实数 m，使得以 AB 为直径的圆过原点，若存在，
求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由．
41．（2024 高二·全国·课后作业）已知 O 为原点，直线 x + 2y - 3 = 0与圆 x2 + y2 + x - 6y + m = 0交于 P、Q 两
点．
(1)若 PQ = 31，求 m 的值；
(2)若OP ^ OQ，求圆的面积．
42．（2024 高二上·江苏盐城·期末）已知圆C : x2 + y2 - 4x - 6y + 4 = 0．
(1)若一直线被圆 C 所截得的弦的中点为M (3,2)，求该直线的方程；
(2)设不过圆心C 的直线 l : y = x + m与圆 C 交于 A，B 两点，把△CAB的面积 S 表示为 m 的函数，并求 S 的
最大值．
43．（2024 高二下·广西柳州·期中）已知圆C ： x2 + y -1 2 = 5，直线 l：mx - y +1- m = 0 .
(1)设直线 l与圆C 相交于 A, B两点，且 AB = 17 ，求直线 l的方程；
(2)设直线 l与圆C 相交于 A, B两点，求弦 AB 中点的轨迹方程.
44．（2024 高二上·山东滨州·期末）已知圆C 的圆心在直线 2x + y - 4 = 0上，且与 y 轴相切于点O 0,0 ．
(1)求圆C 的方程；
(2)已知过点P 1,3 的直线 l被圆C 截得的弦长为 2 3 ，求直线 l的方程．
45．（2024 高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆C 经过点 A 4,2 、B 6,0 ，圆心C 在直线 x + y - 4 = 0 上.
(1)求圆C 的方程；
(2)若直线 y = k x + 2 与圆C 相交于 P 、Q两点， PQ = 2 3，求实数 k 的值.
46．（2024 高二上·浙江杭州·期中）已知圆 P 过两点M (0, 2)， N ( 3,1) ，且圆心 P 在直线 y = x 上．
(1)求圆 P 的方程；
(2)过点Q(-1,2) 的直线交圆 P 于 A, B两点，当 AB = 2 3 时，求直线 AB 的方程．

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