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3.1.1 椭圆及其标准方程 7 题型分类
一、椭圆的定义
1．定义：平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点 F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且 2a>|F1F2|.
二、椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
x2 y2 y2 x2
标准方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的关系 b2＝a2－c2
（一）
求椭圆的标准方程
1.椭圆的定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
x2 y2 y2 x2
标准方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的关系 b2＝a2－c2
题型 1：椭圆的定义及辨析
1-1．（2024 高二上·四川巴中·阶段练习）设 P(x, y) 满足： x2 + (y + 2)2 + x2 + (y - 2)2 = 5，则 P 点的轨迹为
（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在
【答案】B
【分析】根据椭圆定义分析判断.
【详解】∵ x2 + (y + 2)2 + x2 + (y - 2)2 = 5表示为 P(x, y) 到定点F1 0, -2 , F2 0,2 的距离之和为 5，即
PF1 + PF2 = 5 > F1F2 = 4，
∴ P 点的轨迹为椭圆.
故选：B.
1-2．（2024 高二·全国·课后作业）已知F1，F2是两个定点，且 F1F2 = 2a（ a是正常数），动点 P 满足
PF + PF = a21 2 +1，则动点 P 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【答案】C
【分析】讨论 a2 +1与 2a的大小关系，结合椭圆定义可知.
【详解】解：因为 a2 +1…2a （当且仅当 a =1 时，等号成立 ) ，所以 | PF1 | + | PF2 |… | F1F2 |，
当 a > 0 且 a 1 时， | PF1 | + | PF2 |>| F1F2 |，此时动点 P 的轨迹是椭圆；
当 a =1 时， | PF1 | + | PF2 |=| F1F2 |，此时动点 P 的轨迹是线段F1F2 ．
故选：C．
9 9 25
1-3．（2024 高二·全国·课后作业）已知动点 M 到定点 A - ,0÷ 与B ,0÷的距离的和是 ，则点 M 的轨迹
è 4 è 4 2
方程是 ．
x2 y2
+ =1
【答案】 625 34
16
【分析】根据椭圆的定义直接写出该曲线的方程.
9 9 25 9
【详解】因为 M 到顶点 A(- ,0) 和B( ,0) 的距离的和为 > AB = ，
4 4 2 2
x2 y2
所以 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，设方程为 + =1（ a > b > 0），
a2 b2
c 9 25 25则 = ， 2a = ，所以a = ，b2 = a2 - c2 = 34，
4 2 4
x2 y2
M 625 + =1的轨迹方程为 34 .
16
x2 y2
625 + =1故答案为： 34 .
16
题型 2：求椭圆的标准方程
2 3
2-1．（2024 高二上·江苏连云港·期末）经过M 2, - ÷÷、 N - 2,- ÷÷两点的椭圆的标准方程是 ．
è 2 è 2
x2
【答案】 + y2 =1
8
【分析】设所求椭圆的方程为mx2 + ny2 =1，将点M 、 N 的坐标代入椭圆方程，可得出关于m 、 n 的方程
组，解出这两个未知数的值，即可得出所求椭圆的标准方程.
【详解】设所求椭圆的方程为mx2 + ny2 =1，
ì
4m
1
+ n =1 ì 1

N 2
m =
将点M 、 的坐标代入椭圆方程可得 í ，解得 í 8 ，
2m 3+ n =1 n =1
4
x2
因此，所求椭圆的标准方程为 + y2 =1.
8
x2
故答案为： + y2 =1.
8
2 2
2-2．（2024 · x y高二下 江苏南京·阶段练习）已知椭圆C : + =1(a > b > 0) 的左、右焦点为F1(-1,0), F2 (1,0)，a2 b2
P 3 且过点 1, ÷ ,则椭圆标准方程为 ．
è 2
x2 y2
【答案】 + =1
4 3
【分析】待定系数法求椭圆的标准方程.
【详解】由题知： c =1，①

又椭圆经过点P 1,
3
÷，
è 2
9
所以 1 + 42 2 =1
，②
a b
又 a2 - b2 = c2 ，③
联立解得： a2 = 4,b2 = 3，
x2 y2
故椭圆的标准方程为： + =1.
4 3
x2 y2
故答案为： + =1.
4 3
2 2 3 10
2-3．（2024 高二上· x y福建龙岩·期中）已知椭圆 C: 2 + 2 = 1(a > b > 0) ,四点Pa b 1
1, ÷ , P2 0, 3 , P2 3 -1, ,è è 2 ÷÷

P4 1,
10
- ÷÷ 中恰有三点在椭圆C 上,则椭圆 C 的标准方程为（2 ）è
x2 y2 2 2 2A 1 B x y 1 C x y
2 2
1 D x y
2
． + = ． + = ． + = ． + = 1
4 3 9 3 8 3 6 3
【答案】D

【分析】根据椭圆的对称性可知P 1,
10 P 1, 103 - ÷÷ , 4 - ÷÷ 在椭圆上, P
1, 3
2 2 1 2 ÷
不在椭圆上, P2 0, 3 在椭圆上,
è è è
代入椭圆方程求出 a,b即可.

P 1, 10
10
【详解】根据椭圆的对称性可知 3 - ÷÷ , P4 1, - ÷÷ 在椭圆上, P1 1,
3
÷不在椭圆上, P2 2 2 2 0, 3 在椭圆è è è
上.
将P2 0, 3 , P3 -1,
10
÷÷ 代入椭圆方程得:
è 2
ì
3
2
b2
=1

í 2 10 , ÷
1
+ è
2
=1 a2 b2
ìa2 = 6
解得 í 2 ,
b = 3
2 2
椭圆 C x y的标准方程为 + = 1 .
6 3
故选:D.
2-4．（2024 高二上·全国·课后作业）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成
个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为 3，则这个椭圆的方程为（ ）
x2 2 2A y 1 B x y
2
1 x
2 y2
． + = ． + = 或 + =1
12 9 12 9 9 12
C x
2 y2
． + = 1 D．以上都不对
36 12
【答案】B
【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得b = 3c ，由焦点到椭圆上点的最短距离为a - c ，
结合 a2 = b2 + c2可得.
【详解】
x2 y2
由题意，当椭圆焦点在 x 轴上，设椭圆方程为：
a2
+ =1，
b2
由题意b = 3c ， a - c = 3，
所以 a = b2 + c2 = 4c2 = 2c ， c = 3 ， a = 2 3 ，b = 3，
x2 y2
所以椭圆方程为： + =1，
12 9
x2 y2
当椭圆焦点在 y 轴上时，同理可得： + =1，
9 12
故选：B
（二）
椭圆的定义及其应用
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的
定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题
时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知
1
∠F1PF2，可利用 S＝ absinC 把 |PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义 |PF1|＋ |PF2|＝2a 及余弦定理求出2
|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量．
焦点三角形的常用公式：
(1)焦点三角形的周长 L＝2a＋2c.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F 22| ＝|PF1|2＋|PF |22 －2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
1 ∠F1PF2
(3)设 P(xP，yP)，焦点三角形的面积 S△F ＝c|y |＝ |PF ||PF |·sin∠F PF ＝b2tan .1PF2 P 2 1 2 1 2 2
题型 3：椭圆的定义及其应用
2 2
3-1．（2024 x y高二·全国·课后作业）“1< k < 5 ”是方程“ + =1表示椭圆”的（ ）
k -1 5 - k
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条
【答案】B
ìk -1 > 0,

【分析】根据椭圆的标准方程可得 í5 - k > 0, ，解不等式组得出1< k < 5且 k 3，再利用必要不充分条件

k -1 5 - k,
定义即可求解.
ìk -1 > 0,

【详解】若方程表示椭圆，则有 í5 - k > 0,

k -1 5 - k,
因此1< k < 5且 k 3，
“1< k < 5 ” “ x
2 y2
故 是 方程 + =1表示椭圆”的必要不充分条件．
k -1 5 - k
故选：B
2 2
3-2 x y．（2024 高二上·江西南昌·期末）已知条件 p ：mn > 0，条件 q： + = 1表示一个椭圆，则 p 是 q的
m n
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.
2 2
【详解】由mn > 0 x y，若m = n > 0 ，则 + = 1表示一个圆，充分性不成立；
m n
x2 y 2
而 + = 1表示一个椭圆，则mn > 0成立，必要性成立.
m n
所以 p 是 q的必要不充分条件.
故选：B
x2 y23-3．（2024 高二上·宁夏·阶段练习）方程 + =1表示椭圆的充要条件是 ．
5 - k k
0, 5 5 【答案】 2 ÷
,5÷答案不唯一
è è 2
【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆.
x2 y2
【详解】方程 + =1表示椭圆,
5 - k k
ì5 - k > 0
5 5
则必有 í k > 0 解之得0 < k < 或 < k < 5
2 2
5 - k k

故答案为： 0,
5 5
2 ÷
,5÷ ,（答案不唯一，其他等价情况也对）
è è 2
x2 y23-4．（2024·安徽合肥·模拟预测）“ m < 2 ”是“方程 + =1表示椭圆”的（ ）
2 - m m +1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据方程表示椭圆的条件求解.
ì2 - m > 0
2 2 ì-1 < m < 2x y
【详解】方程 + =1表示椭圆 ím +1 > 0 ím 1
，
2 - m m +1
2 - m m +1 2
x2 y2
所以“ m < 2 ”是“方程 + =1表示椭圆”的必要不充分条件，
2 - m m +1
故选：B.
题型 4：椭圆的焦点三角形问题
2 2
4-1．（2024 x y高二下·安徽芜湖·期中）设 P 为椭圆 + =1上的一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且9 4
F1PF2 = 60°，则 PF1 × PF2 等于（ ）
8 16
A B C 4 3 D 8 3． ． ． ．
3 3 3 3
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理求得 PF1 × PF2 .
x2 y2
【详解】椭圆 + =1，则 a = 3,b = 2,c = 5 ，
9 4
F1F2 = 2c = 2 5, PF1 + PF2 = 2a = 6 ，
2 2
两边平方得 PF1 + PF2 + 2 PF1 × PF2 = 36 ①，
在VPF 2 2 21F2中，由余弦定理得 F1F2 = PF1 + PF2 - 2 PF1 × PF2 ×cos 60° ,
PF 2 + PF 2即 1 2 - PF1 × PF2 = 20 ②，
16
由①②得 PF1 × PF2 = .3
故选：B
4-2 2024 · · x
2 y2
．（ 高二下 江西赣州 阶段练习）已知椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点 P 在椭圆上，若 | PF1 |= 4，9 2
则 | PF2 |= ， F1PF2 的大小为 .
【答案】 2 120o
【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求 | PF2 |，在焦点三角形中应用余弦定理求 F1PF2 的余弦值，进而确
定其大小.
【详解】∵ a2 = 9，b2 = 2，
∴ c = a2 - b2 = 9 - 2 = 7 ，
∴ F1F2 = 2 7 ，又 | PF1 |= 4， | PF1 | + | PF2 |= 2a = 6，
2
∴ | PF |= 2 cos F PF 2 + 4
2 - (2 7)2 1
2 ，由余弦定理，得 1 2 = = - ，2 2 4 2
∴ F1PF2 =120
o .
故答案为：2，120o
2 2
4-3 2024 x y．（ 高二下·甘肃白银·期末）已知F1, F2 分别是椭圆C : + =1的左、右焦点， P 是椭圆C 在第一9 4
象限内的一点，若PF1 ^ PF2，则 tan PF1F2 = ．
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】
PF2
由椭圆方程可得 a,b,c的值，利用勾股定理和椭圆定义可构造方程求得 PF1 , PF2 ，根据 tan PF1F2 = PF 可1
求得结果.
【详解】
由椭圆方程得： a = 3，b = 2 ，\c = a2 - b2 = 5 ，\ F1F2 = 2c = 2 5 ；
设 PF1 = x，由椭圆定义知： PF2 = 2a - x = 6 - x，
QPF1 ^ PF
2
2 ，\ PF
2 + PF 2 = F F 21 2 1 2 ，即 x
2 + 6 - x = 20，
解得： x = 2或 x = 4；
QP为椭圆C 在第一象限内的点，\ PF1 > PF2 ，即 x > 6 - x，\ x > 3，\ x = 4；
PF
tan PF F 2 6 - 4 1\ 1 2 = = =PF 4 2 .1
1
故答案为： .
2
2 2
4-4．（2024 x y高二上·新疆喀什·期末）在椭圆 + =1上有一点 P，F1 F2是椭圆的左 右焦点，VF1PF2为直4 2
角三角形，这样的点 P 有（ ）
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
【答案】C
【分析】由VF1PF2为直角三角形，讨论直角顶点的位置，分三种情况，分别得出符合要求的点 P ，可得选
项.
【详解】当 PF1F2 为直角时，这样的点 P 有 2 个，如下图中的点P1, P2 ；
当 PF2F1 为直角时，这样的点 P 有 2 个，如下图中的点 P3 , P4 ；
2 2
当 F1PF
x y
2 为直角时，因为椭圆 + =1中 a = 2,b = 2 = c ，所以这样的点 P 有 2 个，如下图中的点P5 , P ，4 2 6
所以符合条件VF1PF2为直角三角形的点 P 有 6 个，
故选：C.
2 2
4-5．（2024 高二上·全国· x y课后作业）已知点 P 在椭圆 + =1上，F1，F2 是椭圆的焦点，且PF1 ^ PF2，求49 24
(1) PF1 × PF2
(2)VPF1F2的面积
【答案】(1)48
(2)24
【分析】
（1）根据椭圆定义结合勾股定理运算求解；
（2）结合（1）中结果运算求解即可.
【详解】（1）
x2 y2
因为椭圆方程为 + =1，则 a2 = 49,b2 = 24,c2 = 49 - 24 = 25，
49 24
即 a = 7,b = 2 6,c = 5，可得 F1F2 = 2c =10, PF1 + PF2 = 2a =14，
因为PF1 ^ PF
2
2，则 PF
2 2 2
1 + PF2 = PF1 + PF2 - 2 PF1 × PF2 = F1F2
142即 - 2 PF 21 × PF2 =10 ，所以 PF1 × PF2 = 48 .
（2）
由（1）得 PF1 × PF2 = 48，
因为PF1 ^ PF
1
2，所以 SVPF F = PF1 × PF1 2 2 2
= 24 .
2 2
4-6．（2024 高二上· x y安徽阜阳·阶段练习）已知F1, F1分别是双曲线C : 2 - = 1 a 0 的左右焦点， P 是Ca 9
上的一点，且 PF1 = 2 PF2 =16，则VPF1F2的周长是 ．
【答案】34
【分析】
由双曲线定义可得 a = 4，再利用 , , 之间的关系求得 c = 5，从而得到所求周长.
【详解】
因为 PF1 = 2 PF2 =16，所以 PF1 =16, PF2 = 8，
故 PF1 - PF2 =16 -8 = 8 = 2a ，则 a = 4，
又b2 = 9，故 c2 = a2 + b2 = 25，则 c = 5， F1F2 = 2c =10，
所以VPF1F2的周长为 PF1 + PF2 + F1F2 =16 + 8 +10 = 34 .
故答案为：34.
2 2
4-7 x y．（2024·河南开封·三模）已知点 P 是椭圆 + =1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F
25 9 2
，且
cos 1 F1PF2 = ，则VPF1F2的面积为（ ）3
A 9 2．6 B．12 C． D． 2 2
2
【答案】C
【分析】设 PF1 = m， PF2 = n
27
，由椭圆定义得m + n = 10 ，由余弦定理求出mn = ，从而利用三角形面积
2
公式求出答案.
x2 y2
【详解】由椭圆 + =1，得 a = 5，b = 3， c = 4 .
25 9
设 PF1 = m， PF2 = n ，
∴ m + n = 10 ，在VPF F 2 2 2 21 2中，由余弦定理可得： (2c) = m + n - 2mn ×cos F1PF2 = (m + n) - 2mn - 2mn
1
× ，
3
可得64 =100
8 27
- mn，得mn = ，
3 2
S 1 mn sin 1 27 1
2 9 2
故 △F PF = × F PF = 1-
= .
1 2 2 1 2 2 2 ֏ 3 2
故选：C.
4-8 2024 · · F , F E x
2 y2
．（ 高二 全国 专题练习）设 1 2分别是椭圆 ： 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点，过点F1 的直a b
线交椭圆E 于 A, B， AF1 = 3 BF1 ，若 AB = 4，△ABF2 的周长为 16，求 AF2 .
【答案】5
【分析】由已知可求得 AF1 = 3，然后根据已知结合椭圆的定义可推得 a = 4， AF1 + AF2 = 8，即可得出答
案.
【详解】
由已知 AF1 = 3 BF1 ， AB = 4，可得 AF1 = 3， F1B =1 .
因为△ABF2 的周长为 16，则 AB + AF2 + BF2 = AF1 + AF2 + BF1 + BF2 =16 .
根据椭圆定义可得， AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = 2a，
所以 4a =16， a = 4，
所以， AF1 + AF2 = 8，
所以， AF2 = 8 - AF1 = 8 - 3 = 5 .
2 2
4-9．（2024 x y高二下·四川内江·开学考试）已知 P 是椭圆 + =1上的点，F1 F2分别是椭圆的左 右焦点，25 9
uuur uuuur
PF1 × PF2 1
若 uuur uuuur = ，则VF1PFPF PF 2的面积为（ ）1 × 2 2
A．3 3 B． 2 3 C 3． 3 D．
3
【答案】A
【分析】由条件根据向量夹角公式求 F1PF2 ，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.
x2 y2
【详解】设椭圆 + =1的长半轴为 a，短半轴为b ，半焦距为 c，
25 9
则 a = 5,b = 3， c = a2 - b2 = 4，
即 F1F2 = 2c = 8 .
设 F1P = m, F2P = n，所以由椭圆的定义可得：m + n = 10 ①.
uuur uuuur
因为 u
PuuFr1 × PuuFu2ur 1=
PF PF 2 ，所以由数量积的公式可得：1 × 2
uuur uuuur 1 uuur uuuurcos PF1, PF2 = ，所以 PF , PF
π
= .
2 1 2 3
VF PF π在 1 2中 F1PF2 = ，3
2 2
所以由余弦定理可得：64 = m + n - 2mncos
π
②，
3
1 π
由①②可得：mn = 12 ，所以 SVF1PF 2 = mnsin = 3 3 .2 3
故选：A.
2 2
4-10．（2024 高二下·河南信阳· x y阶段练习）若 F 为椭圆 C： + = 1的右焦点，A，B 为 C 上两动点，则
25 16
△ABF 周长的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【答案】D
【分析】设F1为椭圆C 的左焦点，则由椭圆的定义可得： AF + BF + AB = 2a - AF1 + 2a - BF1 + AB ，当
A, B, F1 共线时，△ABF 周长取得最大值，从而可得出答案.
【详解】解：设F1为椭圆C 的左焦点，
则由椭圆的定义可得：
AF + BF + AB = 2a - AF1 + 2a - BF1 + AB
= 4a + AB - AF1 - BF1 = 20 + AB - AF1 - BF1 ，
当 A, B, F1 共线时， AB - AF1 - BF1 = 0，
当 A, B, F1 不共线时， AB - AF1 - BF1 < 0 ，
所以△ABF 周长的最大值为 20.
故选：D.
题型 5：椭圆上的点到焦点和定点距离的和、差最值
2 2
5-1．（2024 高二· · P x y 1 M N 2全国 课后作业）已知点 为椭圆 + = 上任意一点，点 、 分别为 x -1 + y2 =1和
4 3
x +1 2 + y2 =1上的点，则 PM + PN 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】求出两圆的圆心坐标 A, B，根据椭圆的性质可知 PA + PB 为定值，根据三角形两边之和大于第三
边可知 PM + PN 的最大值为 PA + PB 与两圆半径的和即可.
【详解】设圆 (x -1)2 + y2 =1和圆 (x +1)2 + y2 =1的圆心分别为 A, B ,半径分别为 r1, r2 .
x2 y2
则椭圆 + =1的焦点为 A -1,0 , B 1,0 .
4 3
又 PA + r1 PM , PB + r2 PN ， PA + PB = 2a = 4，
故 PM + PN PA + PB + r1 + r2 ，
当且仅当M , N 分别在PA, PB的延长线上时取等号.
此时 PM + PN 最大值为 PA + PB + r1 + r2 = 4 +1+1 = 6 .
故选：C.
2 2
5-2．（2024·甘肃定西· x y模拟预测）已知椭圆 C： + =1的左、右焦点分别为 F1， F2，A 是 C 上一点，9 5
B 2,1 ，则 AB + AF1 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【分析】
根据椭圆的定义可得 AB + AF1 = AB + 2a - AF2 ，利用 AB - AF2 BF2 可求 AB + AF1 的最大值.
【详解】
设椭圆的半焦距为 c，则F2 2,0 ， a = 3，
如图，连接 AF2 ，则 AB + AF1 = AB + 2a - AF2 = 6 + AB - AF2 ，
而 AB - AF2 BF2 =1，当且仅当 A, F2 , B共线且F2 在 A, B中间时等号成立，
故 AB + AF1 的最大值为7 .
故选：A.
2 2
5-3．（2024 高二上· · x y浙江台州 期中）已知椭圆 C： + =1的左 右焦点分别为F1 F2，M 为椭圆 C 上任意4 2
2
一点，N 为圆 E： x - 3 2 + y - 2 2 2 = 1上任意一点，则 MN - MF1 的取值范围为 .
【答案】 é -1,2 10 +1ù
【分析】根据椭圆的定义，结合椭圆和圆的几何性质进行求解即可.
【详解】如图，
由M 为椭圆C 上任意一点，则 MF1 + MF2 = 2 2 = 4，
2 2
又 N 为圆E : x - 3 2 + y - 2 2 =1上任意一点，则 MN ME -1（当且仅当 M、N、E 共线时取等号），
∴ MN - MF1 = MN - 4 - MF2 = MN + MF2 - 4 ME + MF2 - 5 EF2 - 5，
当且仅当 M、N、E、F2共线时等号成立.
∵ F2 ( 2,0)， E(3 2,2 2) ，则 | EF2 |= (3 2 - 2)
2 + (2 2 - 0)2 = 4，
∴ MN - MF1 的最小值为 4 - 5 = -1，
当M , F1, E, N 共线时， MN - MF1 最大，如下图所示：F1(- 2,0)，
最大值为 F1E +1 = (3 2 + 2)
2 + (2 2)2 = 2 10 +1，
所以 MN - MF1 的取值范围为 é -1,2 10 +1ù ，
故答案为： é-1,2 10 +1ù
【点睛】关键点睛：运用椭圆的定义和椭圆、圆的几何性质是解题的关键.
题型 6：椭圆上的点到坐标轴上点的距离（最值）问题
2 2
6-1．（2024 x y高二上·河南开封·期中）椭圆 + =1上任一点 P 到点Q 1,0 的距离的最小值为（ ）
9 5
A 15 2 5． 3 B． C．2 D．
2 3
【答案】B
2
【解析】设点 P 的坐标为 m, n 4 9 15，结合两点间的距离公式，化简得到 PQ = m - ÷ + ，即可求解.9 è 4 4
【详解】设点 P 的坐标为 m, n ，其中m [-3,3]，
m2 n2 5m2
由 + = 1，可得 n2 = 5 - ，
9 5 9
5 4 2
又由 PQ = (m -1)2 + n2 = (m -1)2 + 5 - m2 = m2 - 2m + 6 4= m
9 15-
9 9 9 4 ÷
+ ，
è 4
m 9当 = 15时， PQ 取得最小值，最小值为
4 PQ =
.
min 2
故选：B.
2 2
6-2．（2024 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点 A(0,4) x y，P 是椭圆E : + =1上的动点，则 | PA |的最大值
25 9
是 ．
【答案】5 2
【分析】设P x, y - 5 x 5, -3 y 3，利用两点间的距离公式求解.
【详解】解：设P x, y - 5 x 5, -3 y 3，
PA = x2 + y - 4 2 ，
16
= - y2 -8y + 41，
9
16 9 2
= - y +
9 4 ÷
+ 50 ，
è
9
当 y = - 时， | PA |取得最大值
4 5 2
，
故答案为： 5 2
2 2 x
6-3．（2024·
x y
江西上饶·模拟预测）点 P 为椭圆 + =1上一点，曲线 + y =1与坐标轴的交点为A ， B ，
8 4 2
C ，D，若 PA + PB + PC + PD = 8 2 ，则点 P 到 x 轴的距离为（ ）
A 2 2
8
B C 2 19
9
． ． ． D．
3 9 13 13
【答案】A
2 2
【分析】先求出A ， B ，C ，D x y的坐标，得到A ， B 为椭圆 + =1的焦点，得到 PA + PB = 4 2 ，从
8 4
x2 y2
而判断出 P 为椭圆 + =1上一点，联立方程组，即可求解.
7 8
x
【详解】由曲线 + y =1与坐标轴的交点为A ， B ，C ，D，
2
不妨设 A -2，0 ，B 2，0 ，C 0，-1 ，D 0，1 .
x2 y2 x2 y2
则A ， B 为椭圆 + =1的焦点，而 P 为椭圆 + =1上一点，
8 4 8 4
所以 PA + PB = 4 2 .
因为 PA + PB + PC + PD = 8 2 ，所以 PC + PD = 4 2 ，
又 PC + PD = 4 2 > CD = 2，
根据椭圆定义知点 P 的轨迹为以 C、D 为焦点的椭圆，
x2 y2
所以轨迹方程为 + =1，
7 8
ì x2 y2
+ =1
8 4
x2 y2
8
= y 2 2联立 í 2 2 ，消去 得 ，则 = ，
x y 9 3

+ =1
7 8
2 2
故点 P 到 x 轴的距离为 .
3
故选：A.
（三）
与椭圆有关的轨迹问题
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成 x，y 间的关系式；
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转
移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去．
题型 7：求椭圆的轨迹方程
2 2
7-1．（2024 x y高二上·全国·课后作业）设定点 A 6,2 , P是椭圆 + =1上的动点，求线段 AP 的中点M 的轨
25 9
迹方程．
(x - 3)2 (y -1)2 1
【答案】 + =
25 9 4
【分析】设M x, y , P x1, y1 ，然后由中点坐标公式可表示出 x1, y1，代入椭圆方程化简可得答案.
【详解】设M x, y , P x1, y1 ．
因为M 为线段 AP 的中点，所以 x1 = 2x - 6, y1 = 2y - 2，
x21 y
2 (x - 3)2 (y -1)2 1
因为 + 1 =1，所以点M 的轨迹方程为 + = ．
25 9 25 9 4
2
7-2．（2024 高三·全国·专题练习）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C: x + y2 =1上，过 M 作 x 轴的垂线，
2
uuur uuuur
垂足为 N，点 P 满足 NP = 2 NM .求点 P 的轨迹方程；
【答案】 x2 + y2 = 2；
【分析】首先设点 P 和M 的坐标，再根据向量间的关系，采用代入法求点 P 的轨迹.
【详解】
uuur uuuur
设P x, y ，M x0 , y0 ，则 N x0 ,0 ， NP = x - x0 , y ， NM = 0, y0
uuur uuuur 2 x2 y2
由 NP = 2 NM 得 x0 = x，y0 = y .因为M x0 , y0 在 C 上，所以 + = 1 .2 2 2
因此点 P 的轨迹为 x2 + y2 = 2 .
45
7-3．（2024 高三·全国· 2专题练习）在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 P 与圆C1 : x + y
2 + 2x - = 0内切，且与
4
x2 y2 2x 3圆C2 ： + - + = 0外切，记动圆 P 的圆心的轨迹为E .则轨迹E 的方程为 ；4
x2 y2
【答案】 + =1
4 3
【分析】先找出两圆的圆心和半径，根据圆与圆的位置关系建立等式，分析即可知动圆的圆心的轨迹方程.
【详解】设动圆的半径为 R ，由已知得：
2
C 2 7 圆 1可化为标准方程： x +1 + y2 = ÷ ，
è 2
即圆心C1 -1,0 r
7
，半径 1 = ，2
2
圆C
1
2 可化为标准方程： x -1 2 + y2 = ÷ ，
è 2
1
即圆心C2 1,0 ，半径 r2 = ， C1C2 2
= 2，
经分析可得，R < r R r
7
1 ，则 - 1 = - R .2
ì 7
PC1 = r - R = - R 1 2
由题意可知： í ，
PC2 = r
1
2 + R = + R 2
两式相加得， PC1 + PC2 = 4 > C1C2 = 2，
所以点 P 的轨迹为以C1,C2 为焦点的椭圆，
x2 y2
可设方程为 2 + 2 =1 a > b > 0 ，a b
则 2a = 4， a = 2， 2c = 2， c =1，b2 = a2 - c2 = 3，
x2 y2
所以轨迹E 的方程为 + =1.
4 3
x2 y2
故答案为： + =1
4 3
7-4．（2024 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点M 4,0 ， N 1,0 ，动点 P 满足
uuuur uuur uuur
MN × MP = 6 NP .记 P 的轨迹为T .求T 的方程；
x2 y2
【答案】 + =1.
4 3
【分析】
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
设P x, y ，则MN = -3,0 ，MP = x - 4, y ，NP = x -1, y ，根据题意MN × MP = 6 NP 列出等式，化简求
出结果即可；
【详解】
uuuur uuur uuur
设P x, y ，则MN = -3,0 ，MP = x - 4, y ， NP = x -1, y ，
uuuur uuur uuur
Q MN × MP = 6 NP ，\ -3 x - 4 = 6 x -1 2 + y2 .
\ x2 -8x +16 = 4 x2 - 2x +1 + 4y2 ，即3x2 + 4y2 =12，
\ x
2 y2
P 的轨迹为T 的方程为 + =1.
4 3
7-5 2024 · · C : x2．（ 高二上 全国 课后作业）已知定圆 1 + y
2 + 4x = 0 C : x2，圆 2 + y
2 - 4x - 60 = 0，动圆 M 和定
圆C1外切和圆C2 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
x2 y2
【答案】 + =1
25 21
【分析】由椭圆的定义直接求动点 M 的轨迹方程即可.
2 2 2 2
【详解】圆C1 : (x + 2) + y = 4，圆C2 : (x - 2) + y = 64
因为圆 M 与圆C1外切，所以 MC1 = r + 2，
因为圆 M 与圆C2 内切，所以， MC2 =| r -8 |= 8 - r ，
两式相加得 MC1 + MC2 =10 > C1C2 = 4，
x2 y2
所以 M 的轨迹是以C1,C2 为焦点的椭圆，故其方程为 + =1 .25 21
一、单选题
1（．2024 高二上·福建漳州·期末）点 P 在椭圆E : 4x2 + y2 =16上，F1、F2 是E 的两个焦点，若 PF1 = 3，则 PF2 =
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】首先得出椭圆得标准方程，计算出 a，再由由椭圆定义可知： PF2 + PF1 = 2a，代入 PF1 = 3即可
求得 PF2 .
2 2
【详解】椭圆E : 4x2 + y2 =16 x y，即 + =1, PF1 = 3，4 16
其中 a2 =16, a = 4
由椭圆定义可知： PF2 + PF1 = 2a = 8
得 PF2 = 8 - PF1 = 5，
故选：A.
2．（2024 2 2高二上·福建福州·期中）已知圆C1 : x +1 + y2 = 25，圆C2 : x -1 + y2 =1，动圆 M 与圆C2 外切，
同时与圆C1内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（ ）
A x
2 x2 y2
． + y2 =1 B． + =1
3 3 2
x2 2 2C． + y2 = 1 D x y． + =1
9 9 8
【答案】D
【分析】画图，分析出 C M + C 21 2M = 6 > 2 = C1C2 ，确定圆心 M 的轨迹为椭圆，求出 a = 3,b = 8，得到轨
迹方程.
【详解】如图，由题意得： C1M = 5 - MQ ， C2M =1+ MP ，其中 MQ = MP ，
所以 C1M + C2M = 5 - MQ +1+ MP = 6 > 2 = C1C2 ，
x2 y2
由椭圆定义可知：动圆圆心 M 的轨迹为以C1,C2 为焦点的椭圆，设 + =1，a2 b2
则 2a = 6,c =1，解得： a = 3,b2 = a2 - c2 = 9 -1 = 8，
x2 y2
故动圆圆心 M 的轨迹方程为 + =1.
9 8
故选：D
3．（2024 高二上·新疆伊犁·期末）如果点M x, y 在运动过程中，总满足关系式
x2 + y + 3 2 + x2 + y - 3 2 = 4 3 ，则点M 的轨迹是（ ）．
A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.
2
【详解】 x2 + y + 3 + x2 + y - 3 2 = 4 3 表示平面由点M x, y 到点 (0, -3), (0,3)的距离之和为 4 3 ，而
3- (-3) = 6 < 4 3 ，所以点M 的轨迹是椭圆，
故选：B
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知VABC 的周长为 20，且顶点B(0,-4),C(0,4)，则顶点A 的轨迹方程是
（　　）
x2 y2 x2 2 2 2 2 2A． + = 1(x 0) B y． + = 1(x 0) C x y． + = 1(x 0) D x y． + = 1
36 20 20 36 6 20 20 36
【答案】B
【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.
【详解】错解：
∵△ABC 的周长为 20，顶点B(0,-4),C(0,4)，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值，
∴点 A 的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
x2 y2∴椭圆的方程是 + = 1
20 36
故选：D.
错因：
忽略了 A、B、C 三点不共线这一隐含条件.
正解：
∵△ABC 的周长为 20，顶点B(0,-4),C(0,4)，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值，
∴点 A 的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
2 2
∴ x y椭圆的方程是 + = 1(x 0)
20 36
故选：B.
5．（2024 高二上·四川南充·期末）设定点F1 0, -2 ，F2 0,2 ，动点 P 满足条件 PF1 + PF2 = 5，则点 P 的轨
迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义可判断动点的轨迹.
【详解】因为F1 0, -2 ，F2 0,2 ，所以 F1F2 = 4，
所以 PF1 + PF2 = 5 > F1F2 ，所以点 P 的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆.
故选：A.
2 2
6．（2024· · x y 2陕西西安 一模）已知点M 在椭圆 + =1上运动，点 N 在圆 x2 + y -1 = 1上运动，则 MN 的最
18 9
大值为（ ）
A．1+ 19 B．1+ 2 5 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.
2
【详解】解：设圆 x2 + y -1 = 1的圆心为C 0,1 ，则 MN MC + r = MC +1，
2
M (x , y ) x0 y
2
设 00 0 ，则 + =1 x20 =18 - 2y
2
0 ，18 9
所以 MC = x2 + y -1 2 = x2 2 20 0 0 + y0 - 2y0 +1 = 18 - 2y0 + y20 - 2y0 +1
= -y2 - 2y +19 = - y +1 2 + 20 2 5 ，当且仅当 y0 = -10 0 0 时取得最大值，
所以 MN MC +1 2 5 +1．
故选：B．
7．（2024 高二上·全国·课后作业）已知点 F1，F2是椭圆 x2 + 2y2 = 2的左、右焦点，点 P 是该椭圆上的一个
uuur uuuur
动点，那么 PF1 + PF2 的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2 2
【答案】C
uuur uuuur
【分析】设P x0 , y0 ，由坐标表示PF1 + PF2 ，由向量模的平方结合椭圆的范围得最小值．
x2
【详解】椭圆 + y2 =1的左右焦点F1 -1,0 , F2 1,0 .2
uuur uuuur
设P x0 , y0 ，则PF1 = -1- x0 , -y0 ，PF2 = 1- x0 ,-y0 ，
uuur uuuur
∴ PF1 + PF2 = -2x0 , -2y0 ，
x2
又 0 + y2 20 = 1，则 x0 = 2 1- y20 .2
uuur uuuur
∴ PF1 + PF2 = -2x0
2 + -2y0
2 = 8 1- y2 + 4y2 20 0 = 2 2 - y0
∵点 P 2在椭圆上，∴ 0 y0 1，
uuur uuuur
∴当 y20 =1时， PF1 + PF2 取最小值 2．
故选：C．
8．（2024 高二上·河南信阳·期末）已知F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 为 C 上一点， PF1 = 2 PF2 ，若 C
7
的离心率为 ，则 F1PF2 =（ ）
3
A．150° B．120° C．90° D．60°
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.
4 2
【详解】解：记 r1 = PF1 ， r2 = PF2 ，由 r1 = 2r2 ，及 r1 + r2 = 2a，得 r1 = a ， r2 = a ，又由余弦定理知3 3
2 2
r 2 + r 2 - 2r r ×cos F PF = 4c2 20a 16a 21 2 1 2 1 2 ，得 - ×cos F9 9 1
PF2 = 4c .
c 7 7 2 2e = = c2 = a2
16a 1
由 ，得 ，从而 ×cos F1PF
8a
2 = - ，∴ cos F1PF2 = - .a 3 9 9 9 2
∵ 0° < F1PF2 <180°，∴ F1PF2 =120° .
故选:B
x29 y
2
．（2024 高二上·全国·课后作业）设F1, F2 分别为椭圆 + = 1的左右焦点，过F1的直线交椭圆于 A、B 两6 4
点，则△ABF2 的周长为（ ）
A．12 B．24 C． 2 6 D． 4 6
【答案】D
【分析】将三角形周长 | AB | + | AF2 | + | BF2 |整理并结合椭圆的定义，即可求得答案.
x2 y 2
【详解】由题意可得，对于椭圆 + = 1有长半轴长 a = 6 ，
6 4
又过F1的直线交椭圆于 A、B 两点，
故△ABF2 的周长 | AB | + | AF2 | + | BF2 |=| AF1 | + | AF2 | + | BF1 | + | BF2 |
= 4a = 4 6 ，
故选：D
2 2
10．（2024 高二下·河南开封·期末）直线mx + y = 0 m R x y与椭圆 + =1交于 A, B两点，则 A, B与椭圆的
16 25
两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能确定
【答案】C
【分析】由图形结合椭圆定义可得答案.
【详解】设椭圆两个焦点为F1, F2 ，由题可得 a = 5，则 A, B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为
AF1 + F1B + BF2 + F2 A = 4a = 20 .
故选：C
2 2
11．（2024·四川南充·一模）已知直线 kx - y + 2 = 0 x y与椭圆 + =1恒有公共点，则实数 m 的取值范围
9 m
（ ）
A． 4,9 B． 4, +
C． 4,9 9,+ D． 9, +
【答案】C
x2 y2
【分析】根据直线 kx - y + 2 = 0所过定点以及方程 + =1表示椭圆来求得m 的取值范围.
9 m
【详解】直线 kx - y + 2 = 0过定点 0,2 ，
0 22
所以 + 1，解得m 4 ①.
9 m
x2 y2
由于方程 + =1表示椭圆，所以m > 0且m 9 ②.
9 m
由①②得m 的取值范围是 4,9 9,+ .
故选：C
2 2
12．（2024 x y高二下·四川南充·阶段练习）方程 + = 1表示椭圆的一个充分不必要条件是（ ）
m 2m - 3
m 3A． > 且m 3 B．m > 4 C．m
3
> D．m > 0
2 2
【答案】B
【分析】根据方程表示椭圆，列出不等式组，求出m 的取值范围，然后根据充分不必要条件概念即可求解.
ìm > 0
x2 y2 3
【详解】若方程 + = 1表示椭圆，则有 í2m - 3 > 0 ，解得m > 且m 3，
m 2m - 3 2
m 2m - 3
3
因为{m | m > 4}是集合{m m 且m 3}的真子集，
2
2 2
所以“ m > 4 ” “ x y是 方程 + = 1表示椭圆”的充分不必要条件，
m 2m - 3
故选：B.
2 2
13．（2024 x y高二上·吉林松原·期末）已知 A 为椭圆 + = 1上一点，F 为椭圆一焦点， AF 的中点为 P ，O
25 16
为坐标原点，若 OP = 2 则 AF =（ ）
A．8 B．6 C． 4 D． 2
【答案】B
【分析】因为 AE 的中点为 P ，EF 的中点为O，得到 AE = 2 OP ，结合椭圆的定义，即可求解.
x2 y2
【详解】不妨设椭圆 + = 1左焦点为F ，右焦点为E ，
25 16
因为 AE 的中点为 P ，EF 的中点为O，所以 AE = 2 OP = 4，
又由 AE + AF = 2a =10 ，可得 AF =10 - 4 = 6 .
故选：B.
2
14．（2024 y高二上·山东威海·期末）已知椭圆mx2 + =1的焦距为 2，则实数 m＝（ ）
2
1 1 1 1 1
A． B． C． 或 D． 或 1
3 6 6 2 3
【答案】D
【分析】分焦点在 x 上和焦点在 y 上讨论，利用 a2 - b2 = c2 列方程求m .
【详解】焦距为 2，即 c =1 .
ì 1
> 2 m
当焦点在 x 上时， í ，得m
1
=
1 3； - 2 =1
m
ì 1
0 < < 2 m
当焦点在 y 上时， í ，得m =1
2 1
；
- =1
m
1
综合得m = 或m =1.3
故选：D.
15．（2024 高二上·吉林·期末）方程 x2 + ky2 = 2表示焦点在 x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（ ）
A． k > 0 B．1< k < 2 C． k >1 D．0 < k <1
【答案】B
【分析】将方程化为标准式，依题意求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
x2 y2
+ =1 2
【详解】方程 x2 + ky2 = 2可变形为 2 2 ，表示焦点在 x 轴上的椭圆，则有0 < < 2，解得 k >1.k
k
易知当1< k < 2时， k >1，当 k >1时未必有1< k < 2，
所以1< k < 2是 k >1的充分但不必要条件.
故选：B.
2 2
16 x y（．2024高二上·陕西宝鸡·期末）已知椭圆C： + 2 =1(b > 0)上的动点 P 到右焦点距离的最大值为3+ 2 2 ，9 b
则b =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 6
【答案】A
【分析】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最大值为 a + c，即可求出 c，再根据 c2 = a2 - b2 ，即
可得解；
【详解】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为 a + c，
即 a + c = 3+ 2 2 ，又 a = 3，所以 c = 2 2 ，
由 c2 = a2 - b2 ，所以b =1；
故选：A
17 2024 · · x
2 y2
．（ 高三 全国 专题练习）已知椭圆 + = 1上一点 P 到右准线的距离为10，则点 P 到它的左焦点
25 16
的距离为（ ）
A． 4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】根据圆锥曲线统一定义可求得 PF2 ，由椭圆定义可求得 PF1 .
【详解】设F1, F2 分别为椭圆的左、右焦点， P 到左准线的距离为 d1 ， P 到右准线的距离为 d2 =10，
PF2 c 3
由圆锥曲线的统一定义知： = = ，解得： PF2 = 6，d2 a 5
又 PF1 + PF2 = 2a =10，解得： PF1 = 4，\P到它的左焦点距离为 4．
故选：A.
x218 2024· · y y
2
．（ 四川南充 模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆 2 + =1的焦距等于 2，则实数m 的值为（ ）m 4
A．3或5 B．± 3 或± 5 C．3 D．± 3
【答案】D
【分析】由椭圆的焦点在 y 轴上确定m2 < 4 ，再根据 a2 = b2 + c2即可求.
【详解】因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以m2 < 4 ，根据题意可得 4 - m2 =1，解得m = ± 3 .
故选：D.
19．（2024 高二上·上海嘉定·期末）方程 x - 2 2 + y2 + x + 2 2 + y2 =12，化简的结果是（ ）
x2 y2 x2 y2A 1 B x
2 y2 y2 x2
． + = ． + =1 C． + =1 D． + =1
36 4 36 32 36 16 36 16
【答案】B
【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得.
【详解】由 x - 2 2 + y2 + x + 2 2 + y2 =12，可得点M x, y 到定点F1 2,0 ，F2 -2,0 的距离之和等于
12，
即 MF1 + MF2 =12 > F1F2 = 4，
2 2
所以动点M x, y x y的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆，设其方程为 2 + 2 = 1(a > b > 0) ，a b
则 2a =12， c = 2，
所以 a = 6，b = 4 2 ，
x2 y2
故方程为 + =1 .
36 32
故选：B.
x2 y2
20．（2024 高二上·山东·期中）已知椭圆 + 2 =1（m > 0）的一个焦点为F1 0, -4 ，则m =（ ）25 m
A． 41 B．3 C．41 D．9
【答案】A
【分析】根据椭圆中 a,b,c的关系运算求解，注意焦点所在的位置.
【详解】由题意可知：椭圆的焦点在 y 轴上，且 c = 4,b = 5, a = m，
则m = b2 + c2 = 41 .
故选：A.
2 2
21 2024 x y．（ 高二下·广东汕头·期末）已知椭圆方程 + =1, F 是其左焦点，点 A 1,1 是椭圆内一点，点 P
4 3
是椭圆上任意一点，若 PA + PF 的最大值为Dmax ，最小值为Dmin ，那么Dmax + Dmin =（ ）
A． 4 3 B．4 C．8 D．8 3
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义转化为 PA - PF 的最值问题，数形结合即可求解.
【详解】由题意，设椭圆的右焦点为F (1,0) ，连接 PF ，
则 PA + PF = PA + 4 - PF = 4 + PA - PF ，
如图：
当点 P 在位置 M 时， PA - PF 取到最大值 AF ，
当点 P 在位置 N 时， PA - PF 取到最小值- AF ，
所以 PA - PF 的取值范围是 é - AF , AF ù，即[-1,1]，
所以 | PA | + | PF |的最大值Dmax = 5， | PA | + | PF |最小值Dmin = 3，
所以Dmax + Dmin = 8 .
故选：C.
2 2
22．（2024·辽宁沈阳·三模）已知动点P x, y x y在椭圆C : + =1上，F 为椭圆 C 的右焦点，若点 M 满足
25 16
uuur uuur uuur uuuur
MF =1且MP × MF = 0，则 PM 的最大值为（ ）
A． 3 B．3 7 C．8 D．63
【答案】B
【分析】依题意知，该椭圆的焦点F 3,0 ，点 M 在以F 3,0 为圆心，1 为半径的圆上，当 PF 最长时，切
线长 PM 最大，作出图形，即可得到答案．
uuur
【详解】因为 MF =1，所以点 M 在以F 3,0 为圆心，1 为半径的圆上，
uuur uuur
又因为MP × MF = 0，所以PM ^ MF ，PM 为圆的切线，
PM = PF 2 -12 ，所以当 PF 最长时，切线长 PM 最大．
当点 P 与椭圆的左顶点 -5,0 重合时， PF 最大，最大值为5 + 3 = 8．
uuuur
此时 PM 的最大值为 82 -12 = 3 7 ．
故选：B．
2 2
23 x y．（2024 高三·广西钦州·开学考试）设椭圆 C： 2 + 2 =1(a>0，b>0)的左 右焦点分别为F1，F2，离心率a b
3
为 .P 是 C 上一点，且F1P ⊥ F2P .若VPF1F2的面积为 4，则 a=
2
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义，勾股定理和面积公式进行整理计算即可得到答案.
c 3
【详解】Q = ，\3a2 = 4c2 ，由椭圆定义， PF1 + PF2 = 2a，
a 2
F P ⊥ F P | PF |2 + PF 2由 1 2 得 1 2 = 2c
2
，
VPF 11F2的面积为 4，则 | PF1 | × PF2 = 4 ，即 | PF2 1
| × PF2 = 8，
2\ PF1 + PF2 - 2 PF1 × PF2 = 4c2 ，即 4a2 -16 = 3a2 ,解得 a 2 = 16 ，即 a = 4，
故选：C.
【点睛】本题考查椭圆的定义，离心率以及勾股定理的应用，考查学生分析推理能力，属于基础题.
2 2
24．（2024 高二上·河北唐山· x y期末）已知F1, F2 是椭圆C : + =1的左 右焦点，点 P 在椭圆C 上.当 F1PF4 3 2
最大时，求 S△PF =1F2 （ ）
1
A． B 3． C． 3 D 2 3．
2 3 3
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得 PF1 = PF2 时 F1PF2 最大，利用三角形的面积公式即得.
x2 y2
【详解】由椭圆C : + =1的方程可得 a2 = 4，b2 = 3， c =1，则 PF1 + PF2 = 2a = 4，4 3
2 2
PF 21 + PF
2 2
2 - F1F2 PF1 + PF2 - 2 PF1 × PF2 - F1F所以 cos F1PF2 = = 22 PF1 × PF2 2 PF1 × PF2
12 1 6 1 1= - 2 - =2 PF1 × PF2 PF1 + PF2 2 ，
÷
è 2
当且仅当则 PF1 = PF2 时等号成立，即 P 为椭圆短轴端点时 F1PF2 最大，
1
此时， SVPF F = 2 3 = 3 .1 2 2
故选：C.
2 2 2
25．（2024 x y b高二下·四川德阳·阶段练习）椭圆C : F , F
a2
+ 2 =1(a > b > 0) 的左，右焦点为 1 2 ，且 F1F2 = ，b 2a
点 P 是椭圆 C 上异于左、右端点的一点，若 M 是VPF1F2的内心，且 S△MPF = mS△MF F - S△MPF ，则实数m =1 1 2 2
（ ）
A． 5 + 2 B． 5 - 2
C．- 5 - 2 D． - 5 + 2
【答案】A
【分析】设VPF1F2的内切圆半径为 r ，由 S△MPF = mS△MF F - S△MPF 可得 PF1 1 2 2 1 + PF2 = m F1F2 ，进而得到
2
m a= b，由 F1F2 = 可得 a2 2c - c = 4ac
，同除以 c2 即可求解.
2a
【详解】
设VPF1F2的内切圆半径为 r ，
1 1 1
则 SVMPF = PF1 × r ， SVMPF = PF2 × r ， SVMF F = F1F2 × r ，1 2 2 2 1 2 2
QS△MPF = mS△MF F - S1 1 2 △MPF2
1
\ PF1 × r = m
1
× F1F2 × r
1
- PF × r
2 2 2 2
可得 PF1 + PF2 = m F1F2 .
\2a = m × 2c，解得m
a
= .
c
F F b
2 b2
又因为 1 2 = ，所以 2c = ，即b
2 = 4ac，
2a 2a
a 22 a a所以 a - c2 = 4ac ，即 ÷ - 4 × -1 = 0，解得 = 2 + 5 （舍去负值），
è c c c
所以m = 2 + 5 .
故选：A
2 2
26．（2024 x y高二上·广东广州·期末）椭圆 + = 1的一个焦点是 F，过原点 O 作直线(不经过焦点)与椭圆相
25 16
交于 A，B 两点，则△ABF 的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
【答案】C
【分析】不妨取F 为左焦点，F1为右焦点，连接 AF1，BF1，则 AFBF1为平行四边形，△ABF 的周长大于等
于 2a + 2b，计算得到答案.
【详解】如图所示：不妨取F 为左焦点，F1为右焦点，连接 AF1，BF1，
则 AFBF1为平行四边形，
△ABF 的周长为 AF + BF + AB = AF + AF1 + AB = 2a + AB 2a + 2b =18，
当A ， B 为椭圆上下顶点时等号成立.
故选：C
2 2
27 2024 x y．（ 高二上·江苏·期中）已知椭圆 + =1的右焦点为F , A是椭圆上一点，点M 0,4 ，则VAMF 的
16 7
周长最大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】设椭圆的左焦点为 F ，由题可知 MF = MF = 5， AF + AF = 2a = 8，利用 AM - AF MF ，
即可得出．
【详解】如图所示设椭圆的左焦点为F ，则F (3,0), F (-3,0)
MF = 32 + 42 = 5 = MF ，
则 AF + AF = 8，
Q AM - AF MF ，
\△APF 的周长= AF + AM + MF = AM + MF + 8 - AF 5 + 8 + 5 =18，当且仅当三点 M，F ，A 共线时
取等号．
\△APF 的周长最大值等于 18．
故选：C．
2 2
28．（2024 x y 2 2高二上·河北石家庄·期中）设 P 是椭圆 + = 1上一点，M ，N 分别是圆C : (x + 3) + y = 1和
25 16 1
C2 : (x - 3)
2 + y2 = 4上的点，则 PM + PN 的最大值为（ ）
A．13 B．10 C．8 D．7
【答案】A
【分析】结合题意画出图形，对VPMF1，由三角形三边关系可得 PF1 -1 PM PF1 +1①，同理对
VPNF2 ，可得 PF2 - 2 PN PF2 + 2 ②，两式作和，结合椭圆第一定义即可求解.
【详解】根据题意作出如图所示的图象，其中F1、F2是椭圆的左，右焦点，在VPMF1中可得：
PF1 -1 PM PF1 +1①，
当且仅当 P 、M 、F1三点共线时，等号成立，
在VPNF2 中可得： PF2 - 2 PN PF2 + 2 ②，
当且仅当 P 、 N 、F2三点共线时，等号成立，
由① + ②得： PF1 + PF2 - 3 PM + PN PF1 + PF2 + 3，
x2 y2
由椭圆方程 + = 1可得： a2 = 25，即 a = 5，
25 16
由椭圆定义可得： PF1 + PF2 = 2a =10，
所以，7 PM + PN 13 .
故选：A.
二、多选题
29．（2024 高二上·山东济南·期中）已知曲线C : mx2 + ny2 =1（ ）
A．若m > n > 0 ，则C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B．若m > n > 0 ，则C 是椭圆，其焦点在 x 轴上
C．若m = n > 0 ，则C 是圆，其半径为 n
D．若m = 0， n > 0，则C 是两条直线
【答案】AD
【解析】结合选项进行逐项分析求解，m > n > 0 时表示椭圆，m = n > 0 时表示圆，m = 0, n > 0 时表示两条
直线.
x2 y2
【详解】对于 A，若m > n > 0 + =1
1 1
，则mx2 + ny2 =1可化为 1 1 ，因为m > n > 0 ，所以 < ，即曲线C
m n
m n
表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 A 正确，故 B 错误；
2 2 1 n
对于 C，若m = n > 0 ，则mx2 + ny2 =1可化为 x + y = ，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为 的圆，
n n
故 C 不正确；
D m = 0, n > 0 mx2 + ny2 =1 y2 1 n对于 ，若 ，则 可化为 = ， y = ± ，此时曲线C 表示平行于 x 轴的两条直线，n n
故 D 正确；
故选：AD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算
的核心素养.
2 2
30．（2024 · x y高三 北京·强基计划）已知点 A(1,1),Q(1,0)，P 为椭圆 + =1上的动点，则 | PA | + | PQ |的
4 3
（ ）
A．最大值为 4 + 3 B．最大值为 4 + 5
C．最小值为 4 - 3 D．最小值为 4 - 5
【答案】BD
【分析】
利用椭圆的定义可求 | PA | + | PQ |的最值.
【详解】
注意到 Q 为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为Q (-1,0)，
则 | PA | + | PQ |=| PA | + 4 - PQ = 4 + | PA | - PQ ，
而 | PA | - PQ 的取值范围是 é - AQ , AQ ù，即[- 5, 5]，因此所求最大值为 4 + 5 ，最小值为 4 - 5 ．
故选：BD.
三、填空题
2 2
31 2024 · · x y．（ 高二上 全国 课后作业）椭圆 + =1上的一点M 到左焦点F1的距离为 2, N 是MF 的中点，则
16 9 1
ON 等于 .
【答案】3
【分析】设椭圆的右焦点F2，则根据椭圆有定义可求出 MF2 ，再利用三角形的中位线定理可求得答案.
【详解】设椭圆的右焦点F2，连接MF2 ，则由 MF1 + MF2 = 8，知 MF2 = 8 - 2 = 6 .
1
又点O为F1F2 的中点，点 N 为MF1 的中点，所以 ON = MF2 = 3 .2
故答案为：3
32．（2024 高二·全国·课后作业）下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(-1,0), F2 (1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝ 2 的点 P 的轨迹为椭圆；
②已知定点 F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4 的点 P 的轨迹为线段；
③到定点F1(-3,0), F2 (3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
【答案】②
【分析】根据椭圆的定义，以及垂直平分线的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】①中，因为F1(-1,0), F2 (1,0)，可得 F1F2 = 2，因为 2 < 2，所以点 P 的轨迹不存在；
②中，因为 PF1 + PF2 = F1F2 = 4 ，所以点 P 的轨迹是线段F1F2 ；
③中，由定点F1(-3,0), F2 (3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2 的垂直平分线，即 x = 0 .
故答案为：②
2 2
33．（天津市河西区 2023-2024 x y学年高二上学期期中数学试题）椭圆 + =1上一点 P 与它的一个焦点的
100 36
距离等于 6，那么点 P 与另一个焦点的距离等于 .
【答案】14
【分析】设左、右焦点为F1, F2 ,利用椭圆的定义即得解.
【详解】设左、右焦点为F1, F2 , 设 |PF1 |= 6，
由题得 a =10,
因为 |PF1 | + | PF2 |= 2a = 2 10=20，所以 |PF2 |=14 .
所以点 P 与另一个焦点的距离等于 14.
故答案为：14
34 y
2
．（2024·云南红河·模拟预测）已知F1, F 是椭圆 x22 + =1的两个焦点，点 P 在椭圆上，若2
PF1F2 = 135° ，则点 P 到焦点F2的距离为 ．
5 2 5
【答案】 / 2
3 3
【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】据题意a = 2,c = a2 - b2 = 2 -1 = 1，设 PF1 = n, PF2 = m，
ìm + n = 2 2

则 í 2 2 2 ，得 (2 2 - n)
2 = 4 + n2 + 2 2n 2，解得n = ，
m = 4 + n - 2 × 2 × n × - 3
è 2
÷÷

2 5 2 5 2
所以m = 2 2 - = ，即 PF2 = ．3 3 3
5 2
故答案为：
3
x2 y2 uuur uuur35．（2024 高二下·上海静安·期中）已知 P 为椭圆 + =1上一动点，记原点为O，若OP = 2OQ，则点Q
16 12
的轨迹方程为 ．
x2 y2
【答案】 + =1
4 3
【分析】
uuur uuur
先设点Q(x, y) ，再由OP = 2OQ应用相关点法求轨迹方程即可.
uuur uuur x2 y2
【详解】设点Q(x, y) ，由OP = 2OQ得点P(2x, 2y)，而点 P 为椭圆 + =1上的任意一点，
16 12
(2x)2 (2y)2 1 x
2 y2
所以 + = ，整理得 + =1，
16 12 4 3
x2 y2
所以点Q的轨迹方程是 + =1.
4 3
x2 y2
故答案为： + =1
4 3
2 2
36．（2024· x y上海普陀·二模）设椭圆G : + =1的左、右两焦点分别为F1，F2，P 是G上的点，则使得VPF1F8 4 2
是直角三角形的点 P 的个数为 .
【答案】6
【分析】根据椭圆的性质判断 P 为G上下顶点时 F1PF2 的大小判断直角三角形个数，再加上PF1 ^ F1F2 、
PF2 ^ F1F2 对应直角三角形个数，即可得结果.
【详解】由椭圆性质知：当 P 为G上下顶点时 F1PF2 最大，此时 | PF1 |=| PF2 |= 2 2 ， | F1F2 |= 4，
所以 cos F PF
8 + 8 -16
1 2 = = 0，故焦点三角形中 F1PF2 最大为90°，故有 2 个；2 2 2 2 2
又PF1 ^ F1F2 、PF2 ^ F1F2 对应的直角三角形各有 2 个；
综上，使得VPF1F2是直角三角形的点 P 的个数为 6 个.
故答案为：6
2
37．（2024 高二上· x陕西宝鸡·期末）已知F1，F2是椭圆C : + y2 =1的两个焦点，点M 在C 上，则 MF1 × MF4 2
的最大值为 ．
【答案】4
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为点M 在C 上，
所以有 MF1 + MF2 = 2 2 = 4，
2
MF1 + MF
2
MF × MF 2 = 4 由 1 2 2 ÷ ÷
= 4 ，当且仅当 MF
2 1
= MF2 = 2时取等号，
è è
故答案为：4
38．（2024 高二下·上海黄浦·期中）设F1和F2为椭圆 4x2 + 2y2 =1的两个焦点，点 P 在椭圆上，且满足
OP 1= ，则VF1PF2的面积是 .2
1
【答案】 / 0.25
4
1
【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出 a、b 、 c，由 OP = ，可得点 P 为短轴顶点，最后由面积公
2
式计算可得.
y2 x2 1
4x2 + 2y2 =1 1 + 1 =1 a 2= b = c = a2 2
1
【详解】椭圆 ，即 ，所以 ， ， - b = ，
2 2 22 4
OP 1 S 1 2c b 1 1 1 1因为 = ，所以点 P 为短轴顶点，所以 VF PF = = 2 = .2 1 2 2 2 2 2 4
1
故答案为： 4
2 2
39．（2024 x y高二下·江西·开学考试）椭圆 + = 1的左右焦点分别为F1，F2， P 为椭圆上一点，则VPF25 16 1
F2
面积与VPF1F2周长的比值的最大值为 .
3
【答案】 /0.75
4
【分析】根据椭圆方程求 a,b,c，结合椭圆的定义求VPF1F2的周长，结合三角形面积公式求其面积最大值，
由此可得结论.
x2 y2
【详解】设椭圆 + = 1的长半轴为 a，短半轴为b ，半焦距为 c，
25 16
则 a = 5,b = 4,c = 3，
因为 F1F2 = 2c = 6， PF1 + PF2 = 2a =10，
所以VPF1F2的周长为 16，
由椭圆的几何性质知，当点 P 为椭圆的短轴端点时，VPF1F2的面积最大，
VPF F 1所以 1 2面积的最大值为 F2 1
F2 b = bc =12，
3
所以VPF1F2面积与VPF1F2周长的比值的最大值为 .4
3
故答案为： ．
4
2 2
40．（2024· x y河南开封·模拟预测）已知椭圆 + =1的左焦点为 F，P 是椭圆上一点，若点 A 1, -1 ，则
9 5
PA + PF 的最小值为 ．
【答案】6 - 2 / - 2 + 6
【分析】根据椭圆定义可知 | PA | + | PF |=| PA | +2a- | PF2 |，进而可得 | PA | + | PF |的最小值.
【详解】根据椭圆的定义： | PA | + | PF |=| PA | +2a- | PF2 |，
\| PA | + | PF |取得最小值时，
即 | PA | - | PF2 |最小，
如图所示： PA + PF 2a - AF2 = 6 - 2 ，当 P ，A ，F2共线时取得最小值．
\| PA | + | PF |的最小值为：6 - 2 ﹒
故答案为：6 - 2 .
2 2
41．（2024 x y高二上·天津和平·期中）椭圆 + = 1的左、右焦点为 F1 F2，点 P 在椭圆上，若 RtV F1PF2，则
25 16
点 P 到 x 轴的距离为 .
16 16
【答案】 或
5 3
【解析】点 P(x, y) ，易得点 P 到 x 轴的距离为 | y |，然后分 PF1F2 = 90°或 PF2F1 = 90°， F1PF2 = 90°，三
种情况结合椭圆的定义求解.
【详解】设点 P(x, y) ，则到 x 轴的距离为 | y |，
因为 a = 5，b = 4 ，
\c = 3，
当 PF1F2 = 90°或 PF2F1 = 90°时，
2
则 x = ±3，得 y2 = 16(1 9- ) 16= ，
25 25
| y | 16
16
\ = ，即 P x5 到 轴的距离为 ．5
当 F1PF2 = 90°时，
ì PF1 + PF2 =10
则 í
PF |2 + PF 2 2
，
1 2 | = 6
\| PF1 || PF2 |
1
= (102 - 62 ) = 32
2 ，
Q 1 | PF1 || PF |
1
2 = | F1F2 || y |2 2 ，
| y | 16\ =
3 ，
16 16
由（1）（2）知： P 到 x 轴的距离为 或 ，
5 3
16 16
故答案为： 或 ．
5 3
x2 y242．（2024 高二上·北京朝阳·期中）如图，把椭圆 + =1的长轴 AB 八等分，过每个分点作 x 轴的垂线交
16 9
椭圆的上半部分于P1，P2，L，P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则 P1F + P2F + P3F +L+ P7F 的值
为 ．
【答案】28
【详解】设椭圆的另一个焦点为F' 由椭圆的几何性质可知： P7F = P1F’|，\ P1F | + P7F = P1F | + P1F’|=2a ，
同理可得 P1F + P7F = P2F + P6F = P3F + P5F = 2 P4F = 2a，且 a = 4，故
P1F + P2F + P3F +L+ P7F = 7a = 28 ,故答案为 28 .
2 2
43（．2024高二上· x y吉林白城·期中）若方程 2 + =1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 .a a + 2
【答案】 -2, -1 2,+
【分析】由题意建立不等式，即可求得实数 a 的取值范围．
x2 y2
【详解】∵方程 2 + =1表示焦点在 x 轴上的椭圆，a a + 2
∴ a2 > a + 2 > 0，解得-2 < a < -1或 a > 2，
∴实数 a 的取值范围是 -2, -1 2,+ ．
故答案为： -2, -1 2,+ ．
44．（2024·上海静安·二模）已知 A(1, 2)，B 3, -1 两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程
为 .
y2 x2
【答案】 11 + 11 =1
2 3
【分析】讨论焦点在 x 轴和在 y 轴上两种情况，设出椭圆的标准方程，再利用条件建立方程组，求出 a,b，
即可得到结果.
2 2
【详解】当焦点在 x x y轴上时，设椭圆的标准方程为 2 + 2 = 1(a > b > 0) ，a b
ì 1 4
2 + 2 =1
又因 A(1, 2)，B 3, -1 a b 2 11 2 11在椭圆上，所以 í ，解得 a = ，b =3 1 ，
2 +
3 2
a b2
=1
此时， a < b ，故舍弃.
y2 x2
当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a > b > 0)，a b
ì 4 1
2 + 2 =1
又因 A(1, 2)，B 3, -1 a b 2 11 2 11在椭圆上，所以 í 1 3 ，解得 a = ，b = ，所以椭圆的标准方程为
2 + 2 =1
2 3
a b
y2 x2
11 + 11 =1 .
2 3
y2 x2
故答案为： 11 + 11 =1 .
2 3
2 2
45．（2024 高二·全国·课后作业）“1< m < 7 ” “ x y是 方程 + =1表示的曲线为椭圆”的 条件．
7 - m m -1
【答案】必要不充分
【分析】由充分、必要性的定义，结合圆锥曲线的性质判断题设条件的推出关系，即可确定答案.
【详解】当m = 4 时表示圆，当1 < m < 7且m 4时表示椭圆，充分性不成立；
ì7 - m > 0
x2 y2
当 + =1为椭圆，则 ím -1 > 0 ，可得1< m < 7且m 4，必要性成立；
7 - m m -1
7 - m m -1
2 2
综上，“1< m < 7 ” “ x y是 方程 + =1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
7 - m m -1
故答案为：必要不充分
46．（2024 高二· 2 2全国·课后作业）设方程① x - 3 + y2 + x + 3 + y2 = 8；②
x -1 2 + y2 + x +1 2 + y2 = 2．其中表示椭圆的方程是 ．
【答案】①
【分析】根据椭圆的定义和方程表示的几何意义分析判断即可.
2
【详解】对于①，方程 x - 3 + y2 + x + 3 2 + y2 = 8表示平面内的动点 (x, y)到
定点 (3,0)与 (-3,0)的距离之和等于 8 的点的轨迹，因为 (3,0)与 (-3,0)之间的距离为 6，且6 < 8，
所以动点 (x, y)的轨迹是椭圆，所以方程①表示椭圆的方程，
对于②，方程 x -1 2 + y2 + x +1 2 + y2 = 2表示平面内的动点 (x, y)到
定点 (1,0)与 (-1,0) 的距离之和等于 2 的点的轨迹，由于 (1,0)与 (-1,0) 之间的距离为 2，
所以动点 (x, y)的轨迹是一条线段，所以方程②表示的不是椭圆方程，
故答案为：①
2 2
47．（2024 高二上· x y天津和平·期中）已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F1，F2，点 P 为椭圆上一点，4 3
点 A(-4,4)，则 | PA | - PF2 的最小值为 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件结合椭圆的定义即可计算作答.
x2 y2
【详解】依题意，椭圆 + =1的左焦点F1(-1,0)，右焦点F2 (1,0) ，点 P 为椭圆上一点，点 A 在此椭圆外，4 3
由椭圆的定义得 | PF2 |= 4- | PF1 |，因此， | PA | - PF2 =| PA | + PF1 - 4 | AF1 | -4
= [-4 - (-1)]2 + 42 - 4 =1，当且仅当点 P 是线段 AF1与椭圆的交点时取“=”，
所以 | PA | - PF2 的最小值为 1.
故答案为：1
2 2
48．（2024 x y高三·广西柳州·阶段练习）已知 F 是椭圆C : + =1的右焦点，P 为椭圆 C 上一点，
4 3
A(1, 2 2) ，则 | PA | + | PF |的最大值为 ．
【答案】 4 + 2 3 / 2 3 + 4
【分析】设椭圆的左焦点为F1 -1,0 ， | PA | + | PF | 4 + AF1 ，计算得到答案.
【详解】设椭圆的左焦点为F1 -1,0 ，
2
| PA | + | PF |=| PA | +2a- | PF1 |= 4+ | PA | - | PF | 4 + AF
2
1 1 = 4 + 2 + 2 2
= 4 + 2 3，当 A, P, F1 共线且F1在P, A中间时等号成立.
故答案为： 4 + 2 3
2 2
49．（2024 高二上·天津和平·期中）已知F1, F
y x
2 是椭圆 + =1的两个焦点，P 为椭圆上一点，且9 5
PF1 = F1F2 ，则点 P 到 y 轴的距离为 .
15
【答案】
2
【分析】先由椭圆的定义得到 PF1 = F1F2 = 4, PF2 = 2，再由余弦定理与同角平方关系求得 sin F1PF
15
2 = ，4
x 15从而利用三角面积公式可求得 0 = ，则可知点 P 到 y 轴的距离.2
y2 x2
【详解】如图，由椭圆 + =1可得 a2 = 9,b2 = 5,c2 = 4 ,
9 5
所以 PF1 + PF2 = 2a = 6, F1F2 = 2c = 4 , 则 PF1 = F1F2 = 4, PF2 = 2 ,
PF 2 + PF 2 - F F 2 42 + 22 - 42 1
所以在VPF1F2中， cos F1PF2 =
1 2 1 2 = = ，
2 PF1 PF2 2 4 2 4
2
因为 cos F PF + sin21 2 F1PF2 =1 , 且 sin F1PF > 0 , sin F PF
15
2 所以 1 2 = ,4
设 P 的坐标为 x0 , y
1 1
0 , S 1且 VF PF = F1F2 × x0 = PF2 × F1P sin F1PF2，即2 2 4 x
1
= 2 4 15 ，解得
1 2 2 0 2 4
x 150 = ，2
所以点 P 到 y 15轴的距离为 .
2
15
故答案为： .
2
50．（2024 高二上·全国·课后作业）已知VABC 的三边 a，b，c 成等差数列，且 a > b > c，A、C 两点的坐标
分别为 (-1,0),(1,0)，则顶点 B 的轨迹方程为 ．
x2 y2
【答案】 + =1(-2 < x < 0)
4 3
【分析】由VABC 的三边 a，b，c 成等差数列，可得点 B 的轨迹满足椭圆的定义，可求出椭圆方程，再结
合 a > b > c和 B、A、C 三点构成VABC ，可得顶点 B 的轨迹是此椭圆的部分，可得其轨迹方程.
【详解】因为VABC 的三边 a，b，c 成等差数列，A、C 两点的坐标分别为 (-1,0),(1,0)，
所以 a + c = 2b，即 BC + BA = 2 AC = 4 > 2，
所以点 B 的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以 A、C 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，
x2 y2
故椭圆方程为 + =1，
4 3
因为 a > b > c，所以 BC > BA ，所以 x < 0 ，
又因为 B、A、C 三点构成VABC ，所以 B、A、C 三点不能在一条直线上，所以 x -2 ，
x2 y2
所以顶点 B 的轨迹方程为 + =1(-2 < x < 0) .
4 3
x2 y2
故答案为： + =1(-2 < x < 0)
4 3
2 2
51．（2024 x y高二上·上海宝山·期末）已知 P 为椭圆 + = 1上的一点，若M N 分别是圆 (x + 3)2 + y2 = 3和
25 16
(x - 3)2 + y2 =1上的点，则 PM + PN 的最大值为 .
【答案】11+ 3 / 3 +11
【分析】设圆 (x + 3)2 + y2 = 2和圆 (x - 3)2 + y2 =1的圆心分别为 A, B，则根据椭圆的性质可知PA + PB 为定
值，再根据三角形两边之和大于第三边可知 PM + PN 的最大值为PA + PB 与两圆半径的和可得答案.
【详解】由题设圆 (x + 3)2 + y2 = 3和圆 (x - 3)2 + y2 =1的圆心分别为 A, B，
2 2
半径分别为 r1 = 3, r2 =1
x y
，则椭圆 + = 1的焦点为 A -3,0 , B 3,0 ，
25 16
PA + PB = 2 5 =10，
又 PA + r1 PM ， PB + r2 PN ，故 PM + PN PA + PB + r1 + r2 ，
当且仅当M , N 分别在PA, PB的延长线上时取等号，
此时最大值为 PA + PB + r1 + r2 =11+ 3 .
故答案为：11+ 3 .
四、解答题
52．（2024 高三·全国·专题练习）已知点F 2,0 ，动点M x, y 到直线 l : x = 2 2 的距离为 d ，且
d = 2 MF ，记M 的轨迹为曲线C ．求C 的方程；
x2 y2
【答案】 + =1
4 2
【分析】
根据已知条件可得出关于 x 、 y 的等式，化简后可得出曲线C 的方程；
【详解】动点M x, y 到直线 l : x = 2 2 的距离为 d ，且 d = 2 MF ，
2
由题意知 2 2 - x = 2 × x - 2 + y2 ，两边平方整即得 x2 + 2y2 = 4 ，
x2 y2
所以曲线C 的方程为 + =1 .
4 2
2 2
53．（2024 高二·全国· x y课后作业）已知 P 是椭圆 + =1上一点， A(0,5) ，求 | PA |的最小值与最大值．
4 36
14
【答案】最小值为 ，最大值为 11
4
x 2 y 2 8
【分析】设点 P 的坐标为 x , y ，则 00 0 + 0 = 1，由 PA = x0 - 0 2 + y0 - 5 2 = y 24 4 9 0 -10y0 + 29 ，利用二次
函数的性质求解.
x2 y2
【详解】因为 P 是椭圆 + =1上一点，
4 36
所以 a = 6,b = 2,c = 4 2 ，且椭圆焦点在 y 轴上，
点 P 是椭圆上任意一点，设点 P 的坐标为 x0 , y0 ，
x 2 2
则 0
y
+ 0 = 1，
4 36
2 2
所以 PA = x0 - 0 + y0 - 5 ，
8
= y 20 -10y0 + 29 ，9
8 45 2
= y - 7 0 ÷ + ，9 è 8 8
45
因为 -6,6 8 ，
y 45 7当 0 = 8 时，
zmin = 8 ，
14
所以 PA =min 4
当 y0 = -6 PA
8
= -6 2时， -10 -6 + 29 = 11max .9
54．（2024 高二·全国·课后作业）已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 -2,-4 ，求此椭
圆的标准方程．
x2 y2 y2 x2
【答案】 + =1或 + =1
68 17 32 8
【分析】分焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上设出椭圆方程，利用长轴长是短轴长的 2 倍以及过点 -2,-4 建立
方程组，求出参数即可.
2 2 ì2a = 2 2b
x x y
ìa2 = 68
【详解】当焦点在 轴上时，设椭圆方程 2 + 2 =1 a > b > 0 ，则 í 4 16 ，解得 ía b + =1 b2 ，故椭圆方 2 2 =17 a b
x2 y2
程为 + =1；
68 17
ì2m = 2 2n
y y
2 x2
ìm2 = 32
当焦点在 轴上时，设椭圆方程 2 + 2 =1 m > n > 0 ，则 í 16 4 ，解得 í 2 ，故椭圆方程为m n + =1 n = 8 m2 n2
y2 x2
+ =1；
32 8
x2 y2 y2 x2
综上，椭圆方程为 + =1或 + =1.
68 17 32 83.1.1 椭圆及其标准方程 7 题型分类
一、椭圆的定义
1．定义：平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点 F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且 2a>|F1F2|.
二、椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
x2 y2 y2 x2
标准方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的关系 b2＝a2－c2
（一）
求椭圆的标准方程
1.椭圆的定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
x2 y2 y2 x2
标准方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的关系 b2＝a2－c2
题型 1：椭圆的定义及辨析
1-1．（2024 高二上·四川巴中·阶段练习）设 P(x, y) 满足： x2 + (y + 2)2 + x2 + (y - 2)2 = 5，则 P 点的轨迹为
（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在
1-2．（2024 高二·全国·课后作业）已知F1，F2是两个定点，且 F1F2 = 2a（ a是正常数），动点 P 满足
PF1 + PF2 = a
2 +1，则动点 P 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
9 9 25
1-3．（2024 高二·全国·课后作业）已知动点 M 到定点 A - ,0 与B ,0 的距离的和是 ，则点 M 的轨迹
è 4 ÷ è 4 ÷ 2
方程是 ．
题型 2：求椭圆的标准方程
2 3
2-1．（2024 高二上·江苏连云港·期末）经过M 2, - ÷÷、 N - 2,-2 2 ÷÷
两点的椭圆的标准方程是 ．
è è
x2 y22-2．（2024 高二下·江苏南京·阶段练习）已知椭圆C : + =1(a > b > 0) 的左、右焦点为F1(-1,0), F2 (1,0)2 2 ，a b
3
且过点P 1, ÷ ,则椭圆标准方程为 ．
è 2
x2 y2 3 10 2-3．（2024 高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆 C: + = 1(a > b > 0) ,四点P1 1, ÷ , P2 0, 3 , P3 -1,2 ,a b2 è 2 è 2 ÷÷

P 1, 10

4 - ÷÷ 中恰有三点在椭圆C 上,则椭圆 C 的标准方程为（2 ）è
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + = 1
4 3 9 3 8 3 6 3
2-4．（2024 高二上·全国·课后作业）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成
个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为 3，则这个椭圆的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2A． + =1 B． + =1或 + =1
12 9 12 9 9 12
2 2
C x y． + = 1 D．以上都不对
36 12
（二）
椭圆的定义及其应用
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的
定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题
时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知
1
∠F1PF2，可利用 S＝ absinC 把 |PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义 |PF1|＋ |PF2|＝2a 及余弦定理求出2
|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量．
焦点三角形的常用公式：
(1)焦点三角形的周长 L＝2a＋2c.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F 2 2 21F2| ＝|PF1| ＋|PF2| －2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
1 ∠F1PF2
(3)设 P(xP，yP)，焦点三角形的面积 S△F PF ＝c|yP|＝ |PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2tan .1 2 2 2
题型 3：椭圆的定义及其应用
2 2
3-1．（2024 x y高二·全国·课后作业）“1< k < 5 ”是方程“ + =1表示椭圆”的（ ）
k -1 5 - k
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条
2 2
3-2．（2024 高二上·江西南昌·期末）已知条件 p ：mn > 0，条件 q x y： + = 1表示一个椭圆，则 p 是 q的
m n
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2 2
3-3 x y．（2024 高二上·宁夏·阶段练习）方程 + =1表示椭圆的充要条件是 ．
5 - k k
2 2
3-4．（2024· x y安徽合肥·模拟预测）“ m < 2 ”是“方程 + =1表示椭圆”的（ ）
2 - m m +1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型 4：椭圆的焦点三角形问题
2 2
4-1．（2024 高二下· x y安徽芜湖·期中）设 P 为椭圆 + =1上的一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且9 4
F1PF2 = 60°，则 PF1 × PF2 等于（ ）
8 16
A． B 4 3． C． D 8 3．
3 3 3 3
2 2
4-2．（2024 · x y高二下 江西赣州·阶段练习）已知椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点 P 在椭圆上，若 | PF1 |= 4，9 2
则 | PF2 |= ， F1PF2 的大小为 .
2 2
4-3．（2024 高二下·甘肃白银·期末）已知F1, F2 分别是椭圆C :
x y
+ =1的左、右焦点， P 是椭圆C 在第一
9 4
象限内的一点，若PF1 ^ PF2，则 tan PF1F2 = ．
2 2
4-4．（2024 x y高二上·新疆喀什·期末）在椭圆 + =1上有一点 P，F1 F2是椭圆的左 右焦点，VF4 2 1
PF2为直
角三角形，这样的点 P 有（ ）
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
2 2
4-5．（2024 x y高二上·全国·课后作业）已知点 P 在椭圆 + =1上，F1，F2 是椭圆的焦点，且PF1 ^ PF ，求49 24 2
(1) PF1 × PF2
(2)VPF1F2的面积
2 2
4-6．（2024 · x y高二上 安徽阜阳·阶段练习）已知F1, F1分别是双曲线C : a2
- = 1 a 0 的左右焦点， P 是C
9
上的一点，且 PF1 = 2 PF2 =16，则VPF1F2的周长是 ．
2 2
4-7．（2024· · x y河南开封 三模）已知点 P 是椭圆 + =1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且25 9
cos F1PF
1
2 = ，则VPF1F2的面积为（ ）3
A．6 B．12 C 9 2． D． 2 2
2
2 2
4-8．（2024 高二·全国·专题练习）设F1 , F
x y
2分别是椭圆E ： 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点，过点Fa b 1
的直
线交椭圆E 于 A, B， AF1 = 3 BF1 ，若 AB = 4，△ABF2 的周长为 16，求 AF2 .
2 2
4-9．（2024 高二下· x y四川内江·开学考试）已知 P 是椭圆 + =1上的点，F1 F2分别是椭圆的左 右焦点，25 9
uuur uuuur
uPuuFr1 × PuuFu2ur = 1若 VF PFPF ，则 1 2的面积为（ ）1 × PF2 2
A．3 3 B． 2 3 C 3． 3 D．
3
2 2
4-10 x y．（2024 高二下·河南信阳·阶段练习）若 F 为椭圆 C： + = 1的右焦点，A，B 为 C 上两动点，则
25 16
△ABF 周长的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
题型 5：椭圆上的点到焦点和定点距离的和、差最值
2 2
5-1．（2024 · x y 2高二 全国·课后作业）已知点 P 为椭圆 + =1上任意一点，点 M、N 分别为 x -1 + y2 =1和
4 3
x +1 2 + y2 =1上的点，则 PM + PN 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2 2
5-2．（2024· x y甘肃定西·模拟预测）已知椭圆 C： + =1的左、右焦点分别为 F1， F2，A 是 C 上一点，9 5
B 2,1 ，则 AB + AF1 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
2 2
5-3．（2024 高二上·浙江台州· x y期中）已知椭圆 C： + =1的左 右焦点分别为F1 F2，M 为椭圆 C 上任意4 2
2 2一点，N 为圆 E： x - 3 2 + y - 2 2 = 1上任意一点，则 MN - MF1 的取值范围为 .
题型 6：椭圆上的点到坐标轴上点的距离（最值）问题
2 2
6-1 x y．（2024 高二上·河南开封·期中）椭圆 + =1上任一点 P 到点Q 1,0 的距离的最小值为（ ）
9 5
A 15． 3 B． C 2 D 2 5． ．
2 3
2 2
6-2 x y．（2024 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点 A(0,4) ，P 是椭圆E : + =1上的动点，则 | PA |的最大值
25 9
是 ．
2 2 x
6-3．（2024·江西上饶·
x y
模拟预测）点 P 为椭圆 + =1上一点，曲线 + y =1与坐标轴的交点为A ， B ，
8 4 2
C ，D，若 PA + PB + PC + PD = 8 2 ，则点 P 到 x 轴的距离为（ ）
8 9
A 2 2 B C 2 19． ． ． D．
3 9 13 13
（三）
与椭圆有关的轨迹问题
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成 x，y 间的关系式；
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转
移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去．
题型 7：求椭圆的轨迹方程
2 2
7-1．（2024 高二上·全国·课后作业）设定点 A 6,2 , P x y是椭圆 + =1上的动点，求线段 AP 的中点M 的轨
25 9
迹方程．
2
7-2．（2024 高三· x全国·专题练习）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C: + y2 =1上，过 M 作 x 轴的垂线，
2
uuur uuuur
垂足为 N，点 P 满足 NP = 2 NM .求点 P 的轨迹方程；
45
7-3．（2024 2 2高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 P 与圆C1 : x + y + 2x - = 0内切，且与4
x2 y2 2x 3圆C2 ： + - + = 0外切，记动圆 P 的圆心的轨迹为E .则轨迹E 的方程为 ；4
7-4．（2024 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点M 4,0 ， N 1,0 ，动点 P 满足
uuuur uuur uuur
MN × MP = 6 NP .记 P 的轨迹为T .求T 的方程；
7-5 2 2 2 2．（2024 高二上·全国·课后作业）已知定圆C1 : x + y + 4x = 0，圆C2 : x + y - 4x - 60 = 0，动圆 M 和定
圆C1外切和圆C2 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
一、单选题
1（．2024 高二上·福建漳州·期末）点 P 在椭圆E : 4x2 + y2 =16上，F1、F2 是E 的两个焦点，若 PF1 = 3，则 PF2 =
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024 2高二上·福建福州·期中）已知圆C1 : x +1 + y2 = 25，圆C2 : x -1
2 + y2 =1，动圆 M 与圆C2 外切，
同时与圆C1内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（ ）
x2A y2 1 B x
2 y2
． + = ． + =1
3 3 2
C x
2 x2 y2
． + y2 = 1 D． + =1
9 9 8
3．（2024 高二上·新疆伊犁·期末）如果点M x, y 在运动过程中，总满足关系式
x2 + y + 3 2 + x2 + y - 3 2 = 4 3 ，则点M 的轨迹是（ ）．
A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知VABC 的周长为 20，且顶点B(0,-4),C(0,4)，则顶点A 的轨迹方程是
（　　）
x2 y2 x2 y2 2 2 2 2A． + = 1(x 0) B． + = 1(x 0) C x y x y ． + = 1(x 0) D． + = 1
36 20 20 36 6 20 20 36
5．（2024 高二上·四川南充·期末）设定点F1 0, -2 ，F2 0,2 ，动点 P 满足条件 PF1 + PF2 = 5，则点 P 的轨
迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
2 2
6．（2024· x y陕西西安·一模）已知点M 在椭圆 + =1上运动，点 N 在圆 x2 + y -1 2 = 1上运动，则 MN 的最
18 9
大值为（ ）
A．1+ 19 B．1+ 2 5 C．5 D．6
7．（2024 高二上·全国·课后作业）已知点 F 2 21，F2是椭圆 x + 2y = 2的左、右焦点，点 P 是该椭圆上的一个
uuur uuuur
动点，那么 PF1 + PF2 的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2 2
8．（2024 高二上·河南信阳·期末）已知F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 为 C 上一点， PF1 = 2 PF2 ，若 C
7
的离心率为 ，则 F1PF2 =（ ）
3
A．150° B．120° C．90° D．60°
2 2
9 2024 x y．（ 高二上·全国·课后作业）设F1, F2 分别为椭圆 + = 1的左右焦点，过F1的直线交椭圆于 A、B 两6 4
点，则△ABF2 的周长为（ ）
A．12 B．24 C． 2 6 D． 4 6
2 2
10．（2024 高二下·河南开封·期末）直线mx + y = 0 m R x y与椭圆 + =1交于 A, B两点，则 A, B与椭圆的
16 25
两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能确定
2 2
11．（2024·四川南充· x y一模）已知直线 kx - y + 2 = 0与椭圆 + =1恒有公共点，则实数 m 的取值范围
9 m
（ ）
A． 4,9 B． 4, +
C． 4,9 9,+ D． 9, +
2 2
12 x y．（2024 高二下·四川南充·阶段练习）方程 + = 1表示椭圆的一个充分不必要条件是（ ）
m 2m - 3
3 3
A．m > 且m 3 B．m > 4 C．m > D．m > 0
2 2
2 2
13 x y．（2024 高二上·吉林松原·期末）已知 A 为椭圆 + = 1上一点，F 为椭圆一焦点， AF 的中点为 P ，O
25 16
为坐标原点，若 OP = 2 则 AF =（ ）
A．8 B．6 C． 4 D． 2
2
14．（2024 高二上·山东威海·期末）已知椭圆mx2 y+ =1的焦距为 2，则实数 m＝（ ）
2
1 1 1 1 1
A． B． C． 或 D． 或 1
3 6 6 2 3
15．（2024 高二上·吉林·期末）方程 x2 + ky2 = 2表示焦点在 x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（ ）
A． k > 0 B．1< k < 2 C． k >1 D．0 < k <1
x2 y216（．2024高二上·陕西宝鸡·期末）已知椭圆C： + 2 =1(b > 0)上的动点 P 到右焦点距离的最大值为3+ 2 2 ，9 b
则b =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 6
x2 y217．（2024 高三·全国·专题练习）已知椭圆 + = 1上一点 P 到右准线的距离为10，则点 P 到它的左焦点
25 16
的距离为（ ）
A． 4 B．6 C．8 D．10
2 2
18 x y．（2024·四川南充·模拟预测）已知焦点在 y 轴上的椭圆 m2 + =1的焦距等于 2，则实数 的值为（ ）m 4
A．3或5 B．± 3 或± 5 C．3 D．± 3
19．（2024 2 2高二上·上海嘉定·期末）方程 x - 2 + y2 + x + 2 + y2 =12，化简的结果是（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 2A 1 B 1 C x． + = ． + = ． + =1 D． + =1
36 4 36 32 36 16 36 16
x2 y2
20．（2024 高二上·山东·期中）已知椭圆 + =1（m > 0）的一个焦点为F1 0, -4 ，则m =（2 ）25 m
A． 41 B．3 C．41 D．9
2 2
21 2024 x y．（ 高二下·广东汕头·期末）已知椭圆方程 + =1, F 是其左焦点，点 A 1,1 是椭圆内一点，点 P
4 3
是椭圆上任意一点，若 PA + PF 的最大值为Dmax ，最小值为Dmin ，那么Dmax + Dmin =（ ）
A． 4 3 B．4 C．8 D．8 3
2 2
22．（2024·辽宁沈阳·三模）已知动点P x, y 在椭圆C : x y+ =1上，F 为椭圆 C 的右焦点，若点 M 满足
25 16
uuur uuur uuur uuuur
MF =1且MP × MF = 0，则 PM 的最大值为（ ）
A． 3 B．3 7 C．8 D．63
2 2
23．（2024 · x y高三 广西钦州·开学考试）设椭圆 C： 2 + 2 =1(a>0，b>0)的左 右焦点分别为F1，F2，离心率a b
3
为 .P 是 C 上一点，且F1P ⊥ F2P .若VPF1F2的面积为 4，则 a=
2
A．1 B．2 C．4 D．8
2 2
24．（2024 高二上·河北唐山·期末）已知F1, F2 是椭圆C :
x y
+ =1的左 右焦点，点 P 在椭圆C 上.当 F PF
4 3 1 2
最大时，求 S△PF =1F2 （ ）
1
A． B 3 2 3． C． 3 D．
2 3 3
x2 y2 225．（2024 高二下·四川德阳·阶段练习）椭圆C : + =1(a > b > 0) 的左，右焦点为 F , F b，且 F F = ，
a2 b2 1 2 1 2 2a
点 P 是椭圆 C 上异于左、右端点的一点，若 M 是VPF1F2的内心，且 S△MPF = mS - S m =1 △MF1F2 △MPF2 ，则实数
（ ）
A． 5 + 2 B． 5 - 2
C．- 5 - 2 D． - 5 + 2
2 2
26．（2024 x y高二上·广东广州·期末）椭圆 + = 1的一个焦点是 F，过原点 O 作直线(不经过焦点)与椭圆相
25 16
交于 A，B 两点，则△ABF 的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
2 2
27．（2024 x y高二上·江苏·期中）已知椭圆 + =1的右焦点为F , A是椭圆上一点，点M 0,4 ，则VAMF 的
16 7
周长最大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
2 2
28．（2024 x y高二上·河北石家庄·期中）设 P 是椭圆 + = 1上一点，M ，N 分别是圆C1 : (x + 3)
2 + y2 = 1和
25 16
C2 : (x - 3)
2 + y2 = 4上的点，则 PM + PN 的最大值为（ ）
A．13 B．10 C．8 D．7
二、多选题
29．（2024 高二上·山东济南·期中）已知曲线C : mx2 + ny2 =1（ ）
A．若m > n > 0 ，则C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B．若m > n > 0 ，则C 是椭圆，其焦点在 x 轴上
C．若m = n > 0 ，则C 是圆，其半径为 n
D．若m = 0， n > 0，则C 是两条直线
2 2
30．（2024 高三·北京·强基计划）已知点 A(1,1),Q(1,0) x y，P 为椭圆 + =1上的动点，则 | PA | + | PQ |的
4 3
（ ）
A．最大值为 4 + 3 B．最大值为 4 + 5
C．最小值为 4 - 3 D．最小值为 4 - 5
三、填空题
2 2
31．（2024 高二上· · x y全国 课后作业）椭圆 + =1上的一点M 到左焦点F1的距离为 2, N 是MF1 的中点，则16 9
ON 等于 .
32．（2024 高二·全国·课后作业）下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(-1,0), F2 (1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝ 2 的点 P 的轨迹为椭圆；
②已知定点 F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4 的点 P 的轨迹为线段；
③到定点F1(-3,0), F2 (3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
33 2023-2024 x
2 y2
．（天津市河西区 学年高二上学期期中数学试题）椭圆 + =1上一点 P 与它的一个焦点的
100 36
距离等于 6，那么点 P 与另一个焦点的距离等于 .
2
34．（2024· y云南红河·模拟预测）已知F1, F2 是椭圆 x2 + =1的两个焦点，点 P 在椭圆上，若2
PF1F2 = 135° ，则点 P 到焦点F2的距离为 ．
2 2 uuur uuur
35．（2024 x y高二下·上海静安·期中）已知 P 为椭圆 + =1上一动点，记原点为O，若OP = 2OQ，则点Q
16 12
的轨迹方程为 ．
2 2
36．（2024·上海普陀·二模）设椭圆G : x y+ =1的左、右两焦点分别为F1，F2， P 是G上的点，则使得VPF8 4 1
F2
是直角三角形的点 P 的个数为 .
2
37．（2024 高二上·陕西宝鸡·期末）已知F ，F x是椭圆C : + y21 2 =1的两个焦点，点M 在C 上，则 MF × MF4 1 2
的最大值为 ．
38．（2024 高二下·上海黄浦·期中）设F 和F 2 21 2为椭圆 4x + 2y =1的两个焦点，点 P 在椭圆上，且满足
OP 1= ，则VF1PF2的面积是 .2
2 2
39 2024 x y．（ 高二下·江西·开学考试）椭圆 + = 1的左右焦点分别为F1，F2， P 为椭圆上一点，则VPF25 16 1
F2
面积与VPF1F2周长的比值的最大值为 .
2 2
40．（2024·河南开封· x y模拟预测）已知椭圆 + =1的左焦点为 F，P 是椭圆上一点，若点 A 1, -1 ，则
9 5
PA + PF 的最小值为 ．
2 2
41．（2024 · · x y高二上 天津和平 期中）椭圆 + = 1的左、右焦点为 F1 F2，点 P 在椭圆上，若 RtV F1PF2，则
25 16
点 P 到 x 轴的距离为 .
2 2
42．（2024 高二上· x y北京朝阳·期中）如图，把椭圆 + =1的长轴 AB 八等分，过每个分点作 x 轴的垂线交
16 9
椭圆的上半部分于P1，P2，L，P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则 P1F + P2F + P3F +L+ P7F 的值
为 ．
2 2
43．（2024 · x y高二上 吉林白城·期中）若方程 2 + =1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 .a a + 2
44．（2024·上海静安·二模）已知 A(1, 2)，B 3, -1 两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程
为 .
2 2
45．（2024 高二·全国·课后作业）“1< m < 7 ” “ x y是 方程 + =1表示的曲线为椭圆”的 条件．
7 - m m -1
46．（2024 高二· 2全国·课后作业）设方程① x - 3 + y2 + x + 3 2 + y2 = 8；②
x -1 2 + y2 + x +1 2 + y2 = 2．其中表示椭圆的方程是 ．
x2 y247．（2024 高二上·天津和平·期中）已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F1，F2，点 P 为椭圆上一点，4 3
点 A(-4,4)，则 | PA | - PF2 的最小值为 ．
2 2
48．（2024 x y高三·广西柳州·阶段练习）已知 F 是椭圆C : + =1的右焦点，P 为椭圆 C 上一点，
4 3
A(1, 2 2) ，则 | PA | + | PF |的最大值为 ．
2 2
49．（2024 高二上· y x天津和平·期中）已知F1, F2 是椭圆 + =1的两个焦点，P 为椭圆上一点，且9 5
PF1 = F1F2 ，则点 P 到 y 轴的距离为 .
50．（2024 高二上·全国·课后作业）已知VABC 的三边 a，b，c 成等差数列，且 a > b > c，A、C 两点的坐标
分别为 (-1,0),(1,0)，则顶点 B 的轨迹方程为 ．
2 2
51．（2024 · x y高二上 上海宝山·期末）已知 P 为椭圆 + = 1上的一点，若M N 分别是圆 (x + 3)2 + y2 = 3和
25 16
(x - 3)2 + y2 =1上的点，则 PM + PN 的最大值为 .
52．（2024 高三·全国·专题练习）已知点F 2,0 ，动点M x, y 到直线 l : x = 2 2 的距离为 d ，且
d = 2 MF ，记M 的轨迹为曲线C ．求C 的方程；
2 2
53 2024 x y．（ 高二·全国·课后作业）已知 P 是椭圆 + =1上一点， A(0,5) ，求 | PA |的最小值与最大值．
4 36
54．（2024 高二·全国·课后作业）已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 -2,-4 ，求此椭
圆的标准方程．

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