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3.2.1 双曲线及其标准方程 7 题型分类
一、双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点 F1，F2.
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
二、双曲线标准方程
焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
x2 y2 y2 x2
标准方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2
（一）
双曲线定义的应用
1、双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨
迹．
（2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
2、双曲线定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一
焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公
式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
题型 1：双曲线的定义及应用
1-1．（2024 高二下·四川德阳·阶段练习）已知点M - 5,0 ，N 5,0 ，动点 P 满足条件 PM - PN = 4．则
动点 P 的轨迹方程为（ ）
2 2
A x． - y2 =1(x 2) B x． - y2 =（1 x - 2）
2 2
2 2
C x． - y2 =1(x 2) D x． - y2 =1(x -2)
4 4
2 2
1-2 x y．（2024 高三上·辽宁锦州·期末）双曲线C ： 2 - =1的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为a 12
3x + y = 0，若点M 在双曲线C 上，且 MF1 = 5，则 MF2 =（ ）
A．7 B．9 C．1 或 9 D．3 或 7
1-3．（2024 高二上·山东青岛· P x, y x - 3 2 + y2 - x + 3 2期末）若动点 满足关系式 + y2 = 4，则点 P 的
轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支
2 2
1-4．（2024 · x y高二下 安徽滁州·开学考试）若双曲线E : - =1 的左、右焦点分别为F1，F2 ，点 P 在双曲线9 16
E 上，且 PF1 = 5 ，则 PF2 =（ ）
A．11 B．8 C．1或11 D． 2或8
（二）
求双曲线的标准方程
1、待定系数法求双曲线标准方程的方法：
2、求双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况
讨论求解．
x2 y2
(2)当 mn<0 时，方程 ＋ ＝1 表示双曲线．
m n
题型 2：求双曲线的标准方程
2 2
2-1．（2024 高二下·
x y
河南洛阳·阶段练习）已知双曲线 C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，a b
F1F2 = 4 5 ，点 P 在双曲线的右支上，若 PF1 - PF2 = b， 则双曲线 C 的方程为（ ）
y2 x2 y2A． x2 - =1 B． - = 1
4 16 4
x2 y2 2 2C． - =1 D x y． - =1
16 64 4 16
2-2．（2024 高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
x2 y2(1)以椭圆 + =1短轴的两个端点为焦点，且过点 A(4,-5)；
16 9
(2)经过点P(-3,2 7)和Q(-6 2, -7) ．
2-3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）2023 年 3 月 27 日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被
网友称为“村 BA”.从某个角度观察篮球（如图 1），可以得到一个对称的平面图形，如图 2 所示，篮球的外轮
形状为圆 O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O
的周长八等分， AB = BC = CD = 2，视 AD 所在直线为 x 轴，则双曲线的方程为（ ）
2
A x2 7y 1 B 2x2 - y2 =1 C x2 9y
2 3y2
． - = ． ． - =1 D． x2 - =1
9 7 4
2-4．（2024 高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点 -2,0 ，且与椭圆 4x2 + 9y2 = 36有公共焦点，则双曲线
的标准方程是（ ）
2 2
A y． - x2 x=1 B． - y2 =1
4 4
2 2
C． x2 y- =1 D． y2 x- =1
4 4
2-5．（2024 高三下·贵州·阶段练习）已知双曲线E 的焦点为F1 -1,0 ，F2 1,0 ，过F1的直线 l1与E 的左支相
交于 A, B两点，过F2的直线 l2与E 的右支相交于C ，D两点，若四边形 ABCD为平行四边形，以 AD 为直径
的圆过F1， DF1 = AF1 ，则E 的方程为（ ）
2
A． 2x2 - 2y2 =1 B．3x2 3y- =1
2
C 4y
2 2 2
． 4x2 - =1 D 5x 5y． - =1
3 2 3
题型 3：由双曲线的标准方程求参数
2 2
3-1．（2024 高二上·全国· x y课后作业）“ m >1”是“方程 - =1表示双曲线”的（ ）
m m -1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
2 2
3-2．（2024 x y高二下·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知曲线: - =1是双曲线，则实数 k 的取值范围是
k + 2 6 - 2k
（ ）
A． (-3,2) B． (-2,3)
C． (- , -3) U (2, + ) D． (- , -2) (3,+ )
2 2
3-3．（2024 x y高三下·湖南岳阳·开学考试）已知 k R ，则“ -2 < k < 3 ”是“方程 - =1表示双曲线”的
2 - k 2 + k
（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（三）
双曲线的焦点三角形问题
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1）①根据双曲线的定义求出 PF1 - PF2 = 2a .
②利用余弦定理表示出 PF1 、 PF2 、 F1F2 之间满足的关系式.
③通过配方，利用整体的思想求出 PF1 × PF2 的值.
1
④利用公式 S = PF1 × PF2 sin F1PF2求得面积.2
1
（2）利用公式 S = F1F2 × yp 求得面积.2
2
（3 b）若双曲线中焦点三角形的顶角 F1PF2 = q ，则面积 S = .
tan q
2
题型 4：双曲线的焦点三角形问题
4-1．（2024 高二下·上海浦东新·期中）已知F1，F2为双曲线C : x2 - y2 = 1的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 上，
PF1 = 2 PF2 ，则 cos F1PF2 = ．
2
4-2 y．（2024 高二下·福建莆田·阶段练习）设F1，F2分别是双曲线C : x2 - 2 =1的左右焦点，过F2作 x 轴的垂b
线与C 交于A ， B 两点，若VABF1 为正三角形，则VABF1 的面积为（ ）
A． 4 3 B．4 C．3 3 D．3
2
4-3．（2024 高二下·四川资阳· y期末）已知双曲线C : x2 - 2 =1(m > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，直线 l经m
过F2且与C 的右支相交于 A，B 两点，若 AB = 2 ，则VABF1 的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2 2
4-4．（2024 x y高二下·江西宜春·期末）已知F1，F2分别为双曲线C ： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点，左a b
6 15
右顶点分别为 A1, A2 ，离心率为 2，点 P 为双曲线 C 上一点，直线 A1P，A2P 的斜率之和为 ，VPF1F2的
5
面积为 15 ，则 a =（ ）
A． 2 2 B． 2 C． 2 D．1
2 2
4-5．（2024· x y江西上饶·二模）已知双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1, F2 , P 为双曲线右支上一点，M4 5
uuuur uuuur
为VPF1F2的内切圆上一点，则F1M × F1F2 取值范围为（ ）
A． 18,42 B． 24,36
C． 30 - 6 5,30 + 6 5 D． 6 - 6 5,6 + 6 5
题型 5：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值
2 2
5-1．（2024 · x y高二上 北京丰台·期末）已知F1, F2 是双曲线 - =1的两个焦点，点 P 在双曲线上，若4 6
PF1 = 5 ，则 PF2 =（ ）
A．1 或 9 B．3 或 7 C．9 D．7
2 2
5-2．（2024 高二上·重庆渝中·期末）双曲线E : x y- =1的左 右焦点是F1、F2，点 P 在双曲线E 上，若4 3
PF1 = 4，则 PF2 =（ ）
A．8 B．6 C．6 或 2 D．8或0
2 2
5-3 x y．（2024 高二·全国·课后作业）已知双曲线 - =1在左支上一点 M 到右焦点F1的距离为 18，N 是线
25 9
段MF1 的中点，O 为坐标原点，则 ON 等于（ ）
2
A．4 B．2 C．1 D．
3
题型 6：双曲线的上的点到焦点和定点距离的和、差最值
2 2
6-1．（2024 高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知 A(6, 4) x y，双曲线 C： - =1的左焦点为 F，P 是双曲线 C
4 5
的右支上的动点，则 | PF | - | PA |的最大值是（ ）
A．-1 B． 2 C． 109 D．9
6-2 2024· · A 0,3 7 E : x
2 y2
．（ 江西赣州 一模）已知点 ，双曲线 - =1的左焦点为F ，点 P 在双曲线E 的右支
2 7
上运动.当VAPF 的周长最小时， AP + PF = （ ）
A． 6 2 B．7 2 C．8 2 D．9 2
2 2
6-3．（2024 高三下· x y河南许昌·开学考试）已知双曲线C : - =1的左焦点为F1，M 为双曲线 C 右支上任
4 5
意一点，D 点的坐标为 3,1 ，则 MD - MF1 的最大值为（ ）
A．3 B．1 C．-3 D．-2
2
6-4 2024 · · x y
2
2 2 2
．（ 高三 全国 专题练习）过双曲线 2 - =1的左焦点 F 作圆 x + y = a 2 a 3 的一条切线（切a 16
点为 T），交双曲线右支点于 P，点 M 为线段 FP 的中点，连接 MO，则 MO + MT 的最大值为 ．
（四）
双曲线的轨迹问题
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成 x，y 间的关系式；
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转
移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去．
题型 7：求双曲线的轨迹方程
7-1．（2024 高三·全国·专题练习）如图，动点M 与两定点 A(-1,0)、B(1,0)构成△MAB ，且直线MA、MB的
斜率之积为 4，设动点M 的轨迹为C ．求轨迹C 的方程；
7-2．（2024 高二·全国·课后作业）已知VABC 中的两个顶点是C 0,6 , B 0,-6 ， AB 边与 AC 边所在直线的
4
斜率之积是 ，求顶点A 的轨迹．
9
7-3．（2024 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动点M x, y 与定点F 5,0 的距离和M 到定直线
l : x 16 5= 的距离的比是常数 ，设动点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程；
5 4
7-4．（2024 高二上·广东广州·期末）动圆 P 过定点 M(0，2)，且与圆 N： x2 + y + 2 2 = 4 相内切，则动圆圆
心 P 的轨迹方程是（ ）
2 2
A． y2 x- =1 y < 0 B x． y2 - =1
3 3
2 2
C y． - x2 =1 y < 0 D． x2 y+ =1
3 3
2
7-5．（2024· y重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线 x2 - =1与直线 l : y = kx + m k ±2 有唯一的公共点M ，
4
过点M 且与 l垂直的直线分别交 x 轴、 y 轴于 A x,0 , B 0, y 两点．当点M 运动时，点P x, y 的轨迹方程
是（ ）
2
A x x
2
． + y2 =1 y 0 B． - y2 =1 y 0
4 4
x2 4y2C 1 y 0 D x
2 4y2
． + = ． - =1 y 0
25 25 25 25
一、单选题
2 2
1 x y．（2024 高二上·贵州毕节·阶段练习）若方程 + =1表示双曲线，则 k 的取值范围为（ ）
k - 2 k - 4
A． 0,2 B． 4, + C． 2,4 D． - , 2 4,+
x2 y22．（2024 高二上·全国·课后作业）若点M 在双曲线 - = 1上，双曲线的焦点为F1, F2 ，且16 4
MF1 = 3 MF2 ，则 MF2 等于（　　）
A．2 B．4 C．8 D．12
3．（2024 高二上·浙江杭州· C : x2 + y2 + 6x + 8 = 0 C : x2 2期末）已知圆 1 与圆 2 + y - 6x -16 = 0，动圆M 同时与
圆C1及C2 相外切，则动圆圆心M 的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．椭圆和一条直线
C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支
2 2
4．（2024·青海玉树· x y模拟预测）已知F1，F2为双曲线C : - =1的左、右焦点，点 P 是 C 的右支上的一4 2
PF 2
点，则 1 的最小值为（ ）
PF2
A．16 B．18 C．8 + 4 2 D 9 15 2． +
2
2 2
5．（2024 高二下· · y x福建南平 阶段练习）已知双曲线 - =1，直线 l 过其上焦点F2，交双曲线上支于 A，Bm 2
两点，且 AB = 4，F1为双曲线下焦点，VABF1 的周长为 18，则 m 值为（ ）
23 25
A．8 B． C．10 D．
4 4
2 2
6．（2024 · x y高二上 山西晋中·期末）已知双曲线C : - =1的左焦点为 F ，点 P 是双曲线C 右支上的一点，
4 4
点M 是圆E : x2 + (y - 2 2)2 =1上的一点，则 PF + PM 的最小值为（ ）
A．5 B．5 + 2 2 C．7 D．8
2 2
7．（2024 高二上·山东济南·
x y
阶段练习）若点 P 是双曲线C ： - = 1上一点，F1，F2分别为C 的左、右焦4 21
点，则“ PF1 = 8”是“ PF2 = 4 ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2 2
8．（2024 x y高三·全国·对口高考）若曲线 + =1表示双曲线，那么实数 k 的取值范围是（ ）
3+ k 2 - k
A． -3,2 B． - , -3 2, +
C． -2,3 D． - , -2 3, +
2 2
9．（2024 高二上· x y北京石景山·期末）双曲线 - =1右支上一点 A 到右焦点F1的距离为 3，则点 A 到左焦
16 9
点F2的距离为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
2 2
10．（2024· x y四川达州·二模）设F1，F2是双曲线 C： - = 1的左、右焦点，过F2的直线与 C 的右支交于4 3
P，Q 两点，则 F1P + F1Q - | PQ |=（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
2 2
11．（2024 x y高二上·全国·课后作业）双曲线 - =1上的点 P 到一个焦点的距离为 11，则它到另一个焦点
25 24
的距离为（　　）
A．1 或 21 B．14 或 36 C．2 D．21
12．（2024 高二上·全国·课后作业）平面内到两个定点F1, F2 的距离之差的绝对值等于 F1F2 的点的轨迹是
（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
2
13．（2024· x河南郑州·一模）设F1，F2为双曲线 C： - y2 =1的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点 P3
（0，2）．当 QF1 + PQ 取最小值时， QF2 的值为（ ）
A． 3 - 2 B． 3 + 2 C． 6 - 2 D． 6 + 2
14 2024 · · A 0,4 x
2 y2
．（ 高二上 福建福州 期末）已知 ，双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1，F2，点 P 是双4 5
曲线左支上一点，则 PA + | PF2 |的最小值为（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
2 2
15．（2024·
x y
山东泰安·二模）已知双曲线C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，其一条渐近线方程为 x + 3y = 0，右顶a b
3
点为 A，左，右焦点分别为F1，F2，点 P 在其右支上，点B 3,1 ，三角形 F1AB的面积为1+ ，则当 PF1 - PB
2
取得最大值时点 P 的坐标为（ ）
6 6 6
A． 3- ,1- ÷÷ B． 3+ ,1
6
+
è 2 2 è 2 2 ÷
÷

3
C． 3 + ,1
3 6 + 5 78 ,10 + 78+ D．
è 2 10
÷÷
è 22 22
÷÷

16 2024 · x
2 y2
．（ 高二上 吉林辽源·期末）设 F1，F2是双曲线 - =1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且4 12
3 PF1 = 5 PF2 ，则DPF1F2 的面积等于（ ）
A．24 B．15 2 C．12 5 D．30
2 2
17．（2024 高二上· · x y 2四川成都 期中）若点 P 在曲线C1 : - =1上，点Q在曲线C2 : x - 5 + y2 =1上，点 R16 9
2
在曲线C3 : x + 5 + y2 =1上，则 PQ - PR 的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2 2
18．（2024 · x y高二下 甘肃金昌·期中） P 是双曲线 - =1 的右支上一点，M、N 分别是圆 (x + 5)2 + y2 =1和
9 16
(x - 5)2 + y2 =4 上的点，则 | PM | - | PN |的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题
2
19 x y
2
．（2024 高二上·新疆克拉玛依·期中）若方程 + =1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的
3- t t -1
是（ ）
A．曲线C 可能是圆
B．若C 为椭圆，则1< t < 3
C．当 t > 2时曲线C 是焦点在 y 轴上的椭圆
D．当 t = 0时曲线C 不是椭圆
20．（2024 高二上·湖南邵阳·期末）已知曲线mx2 + y2 =1（ ）
A．m = -1表示两条直线 B．m =1表示圆
C．m < 0表示焦点在 y 轴上的双曲线 D．0 < m <1表示焦点在 x 轴上的椭圆
2 2
21．（2024 高二下·安徽安庆· x y开学考试）方程 + =1表示的曲线可以是（ ）
2a +1 a + 2
A．圆
B．焦点在 y 轴上的双曲线
C．焦点在 y 轴上的椭圆
D．焦点在 x 轴上的双曲线
22．（2024 高一下·云南曲靖·期末）已知平面直角坐标系中，点 A -1,0 、B 1,0 ，点 P 为平面内一动点，且
PA - PB = 2a a R ，则下列说法准确的是（ ）
A．当 a = 0时，点 P 的轨迹为一直线
B．当 a =1时，点 P 的轨迹为一射线
C．当 a = -1时，点 P 的轨迹不存在
a 1D．当 = 时，点 P 的轨迹是双曲线
2
2 2
23．（2024 高二上·浙江湖州· x y期末）已知曲线C 的方程为 + =1 m R ，则（ ）
m 2m + 5
A．曲线C 可以表示圆
B．曲线C 可以表示焦点在 x 轴上的椭圆
C．曲线C 可以表示焦点在 y 轴上的椭圆
D．曲线C 可以表示焦点在 y 轴上的双曲线
2 2
24．（2024 高二下·安徽· x y开学考试）对于曲线 C： - =1，则下列说法正确的有（ ）
4 - k k -1
A．曲线 C 可能为圆 B．曲线 C 不可能为焦点在 y 轴上的双曲线
C．若 k <1，则曲线 C 为椭圆 D．若1< k < 2，则曲线 C 为双曲线
25．（2024 高二上·山西晋中·期末）关于 x 、y 的方程 m -1 x2 + 3 - m y2 = m -1 3 - m m Z 表示的轨迹
可以是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线
三、填空题
2
26．（2024 x高二上·浙江金华·阶段练习）设 P 为双曲线 - y2 =1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的
4
中点，则点 M 的轨迹方程为 ．
2
27．（2024 高二上· x重庆北碚·阶段练习）已知双曲线 - y2 =1的左右焦点分别为F1 F
3 2
，P 为双曲线右支上
一点，点Q的坐标为 -2,3 ，则 PQ + PF1 的最小值为 .
2 2
28．（2024 · x y高二下 上海徐汇·期中）已知双曲线 - =1，F1、F2是其两个焦点，点 M 在双曲线上，若4 9
F1MF2 = 60°，则△F1MF2的面积为 ．
2 2
29．（2024 x y高二下·四川遂宁·期末）设双曲线 - = 1的左、右焦点分别为F1，F2，P 为双曲线右支上一点，4 3
且 | PF1 |= 3 | PF2 |，则 F1PF2 的大小为 ．
30．（2024 高二·全国·课后作业）到点F1 -4,0 ，F2 4,0 的距离的差的绝对值等于 6 的点的双曲线的标准方
程为 ．
31．（2024 高二上·山东临沂·期末）一动圆 P 过定点M -7,0 ，且与已知圆 N：(x - 7)2 + y2 = 36相内切，则
动圆圆心 P 的轨迹方程是 ．
32．（2024 高二上·全国·课后作业）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为F1, F2 ，直线 x + y = 6
过双曲线的一个焦点，P 为双曲线上一点，且 PF1 =10, PF2 = 4，则双曲线的方程为 ．
33．（2024 高二·全国·课后作业）动圆M 过点 A 2,0 ，且与圆C：x2 + y2 + 4x + 3 = 0外切，则动圆圆心M 的
轨迹方程是 ．
2 2
34 x y．（2024 高二上·浙江杭州·期末）已知点M 1,2 ，点 P 是双曲线C : - =1左支上的动点，F2为其右焦9 16
点，N 是圆D : x + 5 2 + y2 =1的动点，则 PM - PN 的最小值为 ．
2
35 x．（2024 高二下·上海松江·期末）已知F 、F 分别是双曲线C : - y21 2 = 1的左、右焦点，动点 P 在双曲线4
Q G:x2的左支上，点 为圆 +(y+2)2 =1上一动点，则 | PQ | + | PF2 |的最小值为 .
2 2
36．（2024 高二上·全国· x y专题练习）设双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线 l交双曲16 12
线左支于A ， B 两点，则 AF2 + BF2 的最小值为 ．
37．（2024·北京西城·二模）已知两点 F1(-1,0), F2 (1,0) ．点 P(cosq ,sinq )满足 | PF1 | - | PF2 | = 2 ，则VPF1F2的面积
是 ；q 的一个取值为 ．
2 2
38 x y．（2024 高二上·河南南阳·阶段练习）已知双曲线方程为 - =1 m > 0 ，焦距为 8，左 右焦点分别为
m m
F1，F2，点 A 的坐标为 1,2 ，P 为双曲线右支上一动点，则 PF1 + PA 的最小值为 .
2
39．（2024 高二下·上海松江·期中）从双曲线 x2 y- =1的左焦点F 引圆 x2 + y2 =1的切线，切点为T ，延长FT
3
交双曲线右支于 P 点，若M 为线段FP的中点，O为坐标原点，则 MO - MT 的值是 .
2
40．（2024· x海南海口·模拟预测）已知点F1，F2分别是双曲线 - y2 =1的左右焦点，过F2的直线 l与该双曲4
线交于 P ，Q两点（点 P 位于第一象限），点M (x0 , y0 )是△ PF1F2内切圆的圆心，则 x0 = ；若 l的倾斜
p S
角为 ，△ PF1F2的内切圆面积为 S1，△ QF1F
1
2 的内切圆面积为 S3 2
，则 S 为 .2
2
41．（2024·湖北十堰· x二模）已知P x0 , y0 是双曲线E : - y2 =1上一点，F1、F2分别是双曲线E 的左、右4
焦点，VPF1F2的周长为12 + 2 5 ，则 cos F1PF2 = ，VPF1F2的面积为 ．
2 2
42．（2024 高三下· · x y上海虹口 期中）过原点的直线 l与双曲线C : 2 - 2 =1(a,b > 0)的左、右两支分别交于a b
uuuur uuur uuuur uuur
M ， N 两点，F 2,0 为C 的右焦点，若FM × FN = 0，且 FM + FN = 2 5 ，则双曲线C 的方程为 .
四、解答题
43．（2024 高二上·全国·课后作业）求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：
(1)与圆C 21 : x + y - 2
2 =1和圆C 22 : x + y + 2
2 = 4都内切；
(2) 2 2与圆C1 : x + 3 + y2 = 9内切，且与圆C2 : x - 3 + y2 =1外切；
(3)在VABC 中，B -3,0 ，C 3,0 16，直线 AB ， AC 的斜率之积为 A .9 ，求顶点 的轨迹方程
44．（2024 高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在 x 轴上，a = 2 5 ，经过点 A -5,2 ；
(2)经过 A -7, -6 2 、B 2 7,3 两点．
2 2
(3)过点P - 2, 2 x y，且与椭圆 + =1有相同焦点双曲线方程.
9 4
45．（2024 高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是 -5,0 , 5,0 ，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在 x 轴上，经过点P 4, -2 和点Q 2 6,2 2 ．
(3)经过点P(-3,2 7)和Q(-6 2, -7) ．
x2 y2 5 (4)已知与椭圆 + =1共焦点的双曲线过点P - , - 6 ÷
49 24 2 ֏
46．（2024 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点F1 - 17,0 ，
F2 17,0 , MF1 - MF2 = 2，点M 的轨迹为C .求C 的方程；
47．（2024 高三·全国·专题练习）已知圆A ：（x + 2）2 + y2 = 9，圆 B ：（x - 2）2 + y2 =1，圆C 与圆A 、圆 B 外
切，求圆心C 的轨迹方程 E;

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