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第 02 讲 定义、命题与证明（2 个知识点+5 大题型+18 道强化
训练）
课程标准 学习目标
1.理解定义与命题的概念；
2.分清命题的条件和结论，会把命题改 1.理解定义与命题的概念；
写成“如果……那么……”的形式，并能 2.分清命题的条件和结论，会把命题改写成“如
判断命题的真假； 果……那么……”的形式，并能判断命题的真假；
3.会用反例说明一个命 3.会用反例说明一个命题是假命题。
题是假命题。
知识点 01：定义与命题
1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
2.命题：定义：判断某一件事情的句子
结构：由条件和结论两部分组成。
句式改写：如果……那么……
分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的
假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例)
3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理
每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。
【即学即练 1】
1．（23-24 七年级下·山东日照·期末）下列命题中真命题是（ ）
A．同旁内角互补
B．相等的角是对顶角
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．平移前后图形的对应点所连线段一定平行
【答案】C
【分析】本题考查了判断真假命题，根据平行线的性质，对顶角相等，平移的性质逐项分析判断，即可求
解．
【详解】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，不符合题意；
B. 相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意；
C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；
D. 平移前后图形的对应点所连线段一定平行（或在同一直线上），故原命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
知识点 02：证明
证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得
结论成立的推理过程。
证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知
中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。
在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画
成虚线。
【即学即练 2】
2．（22-23 七年级下·江苏无锡·阶段练习）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有 2、
3、4、5、6 五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更
大，甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：
我也不知道谁手中的数更大。假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．不能确定
【答案】B
【分析】先分析甲手中的数，根据甲不知道谁手中的数更大，推出甲手中的数不可能为 2 和 6，再根据乙也
不知道谁手中的数更大，即可推出乙手中的数不可能为 3 和 5，即可得出答案
【详解】五张纸牌上分别写有 2、3、4、5、6 五个数字，
∵甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大，
∴甲手中的数可能为 3，4，5，
∵乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．
∴乙手中的数不可能是 3，5，只能是 4．
故选：B．
【点睛】本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理，根据题目意思分析判断是解题的关键．
题型 01 判断是否是命题
1．（23-24 七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（ ）
A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交
C．连接 A，B 两点 D．对顶角相等
【答案】C
【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命
题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．两点之间线段最短，是命题；
B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题；
C．连接 A，B 两点，为描述性语言，不是命题；
D．对顶角相等，是命题．
故选：C．
2．（23-24 七年级下·辽宁鞍山·期中）下面的语句中，哪个不是命题（ ）
A．任何一个三角形一定有一个角是直角
B．对顶角相等
C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．过直线 m 外一点 A 作 m 的平行线 AB
【答案】D
【分析】本题考查了命题的定义，根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题由题设和结论两部分组成，
题设是已知事项，结论是由题设事项推出的事项，逐一判断即可．
【详解】解：A、如果一个图形是三角形，那么一定有一个角是直角，是一个假命题，故不符合题意；
B、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是一个真命题，故不符合题意；
C、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是一个真命题，故不符合题意；
D、过直线 m 外一点 A 作 m 的平行线 AB ，这不是命题，故符合题意；
故选：D．
3．（19-20 八年级上·广东清远·期末）命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间
线段最短．其中真命题是 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】根据邻补角互补，对顶角相等的性质，线段的性质对各小题分析判断后即可求解．
【详解】解：①邻补角互补，正确；
②对顶角相等，正确；
③被截线不平行则同旁内角不互补，故本小题错误；
④两点之间线段最短，是线段的性质，正确；
正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，是对基础知识的综合考查，熟记概念与性质是解题的关键．
4．（21-22 七年级下·全国·课前预习）下列语句在表述形式上，有什么共同特点？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（3）对顶角相等；
（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
你的发现：这些语句都是对一件事情作出了 ．
像这样判断一件事情的语句，叫作 ．
注意：①只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是 ．
②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就 命题．
【答案】 判断 命题 命题 不是
5．（22-23 八年级上·全国·课后作业）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
(1)将 27 开立方．
(2)任意三角形的三条中线相交于一点吗？
(3)锐角小于直角．
(4) a < 0 （a 为实数）．
【答案】(1)不是命题
(2)不是命题
(3)是命题
(4)是命题
【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可．
【详解】（1）解：将 27 开立方不是命题；
（2）解：任意三角形的三条中线相交于一点吗？不是命题；
（3）解：锐角小于直角是命题；
（4）解： a < 0 （a 为实数）是命题．
【点睛】本题主要考查了命题的定义， 一般地，在数学中把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的
陈述句叫做命题．
题型 02 判断命题的真假
1．（23-24 七年级下·辽宁营口·期末）下列语句中是真命题的是（ ）
A．如果 | a |=| b |，那么 a = b B．任何一个正数的平方都大于这个数
C．内错角相等，两直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条线互相垂直
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定，绝对值，平方的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
根据平行线的判定、绝对值、平方的性质直接进行判断即可．
【详解】解：A、如果 | a |=| b |，那么 a = b或 a = -b ，原命题是假命题；
B、一个正数的平方不一定大于这个正数，如0.1，原命题是假命题；
C、内错角相等，两直线平行，是真命题；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两条线互相平行，原命题是假命题；
故选：C．
2．（23-24 七年级下·湖南株洲·期末）下列命题中，①同旁内角互补；②对顶角相等；③过直线外一点有且
只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．真命题的个
数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，对顶角，以及垂线段最短等知识，逐一进行判断
即可．
【详解】解：两直线平行，同旁内角互补；故①为假命题；
对顶角相等，故②为真命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③为真命题；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故④为真命题；
故选 C．
3．（24-25 八年级上·江苏·假期作业）在同一平面内，有三条直线 a，b，c，下列说法：①若 a 与 b 相交，b
r r
与 c 相交，则 a 与 c 相交；②若 a P b ，b P c ，则 a P c；③若 a ^ b，b ^ c，则 a ^ c ．其中正确命题
是 ．（填序号）
【答案】②
【分析】此题主要考查了平行公理和推论，命题的真假．熟练掌握同一平面内两条直线的位置关系是解题
的关键．
根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直
线也互相平行，对各选项进行判断即可．
【详解】解：在同一平面内，有三条直线 a，b，c，
①若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 不一定相交，故原命题不正确；
②若 a P b ，b P c ，则 a P c；，故原命题正确；
r r
③若 a ^ b，b ^ c，则 a P c，故原命题不正确．
故答案为：②．
4．（23-24 七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有 ．（填序号）
r r
①如果 a ^ b， c ^ b ，则 a ^ c ；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同位角相等；
④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；
⑤互补的两个角是邻补角；
⑥过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条；
⑦有理数和数轴上的点一一对应．
【答案】④
【分析】本题考查真假命题的判断，涉及垂直性质、平行线的判定与性质、有理数与数轴、邻补角定义、
角平分线的定义等性质，根据相关知识逐个判断即可．
r r
【详解】解：①如果 a ^ b，c ^ b ，未添加条件“在同一平面内”，无法判断 a 与 c 的关系，故①中命题是假
命题；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②中命题是假命题；
③两直线平行，同位角相等，故③中命题是假命题；
④如图， AMN + BNM = 180°，MP 平分 AMN， NP 平分 BNM ，
∴ PMN
1
= AMN ， PNM
1
= BNM ，
2 2
∴ PMN + PNM
1
= AMN + BNM = 90°，
2
∴ P =180° - PMN + PNM = 90°，即MP ^ NP，
∴同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，故④中命题是真命题；
⑤互补的两个角不一定是邻补角，故⑤中命题是假命题；
⑥在同一平面内，过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条，故⑥中命题是假命题；
⑦有理数和数轴上的点不是一一对应，故⑦中命题是假命题．
故答案为：④．
5．（23-24 七年级下·河北邢台·阶段练习）命题：绝对值相等的两个数相等．
(1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论；
(2)判断这个命题是真命题还是假命题．
【答案】(1)见解析；
(2)假命题．
【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的
部分是结论解答；
（ 2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可；
【详解】（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；是假命题，
反例： 6 = -6 ，但6 -6，假命题．
题型 03 举例说明假（真）命题
1．（23-24 七年级下·江苏泰州·期末）判断命题“如果 x2 > 0， 那么 x > 0 ” 是假命题，只需举出一个反例，
则所举反例中 x 的值可以为（ ）
A．15 B．0.8 C．-2 D．0
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一
个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的 x
满足 x < 0 ，使 x2 > 0，从而对各选项进行判断．
【详解】解：当 x = -2时，满足 x < 0 ，但 x2 = 4 > 0，
所以判断命题“如果 x2 > 0， 那么 x > 0 ”是假命题，举出 x = -2．
故选：C．
2．（23-24 七年级下·甘肃陇南·阶段练习）下列选项可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是
（　　）
A． A = 30°, B = 40° B． A = 30°, B = 80°
C． A = 30°, B = 90° D． A = 30°, B =100°
【答案】A
【分析】本题考查说明一个命题是假命题．比较简单，只需要条件符合，结论不符即可．说明是假命题只
要举出两个锐角的和不是钝角即可．
【详解】解：A． A = 30°, B = 40°，则 A + B = 70°，能说明；
B． A = 30°, B = 80°，则 A + B = 110°，不能说明；
C． A = 30°, B = 90°， B不是锐角，不可以说明；
D． A = 30°, B =100° ， B不是锐角，不能说明；
故选：A．
3．（23-24 七年级下·浙江台州·期末）能说明命题“若 a > b，则 a2 > b2 ”是假命题的一个反例可以是：
a = ，b = ．
【答案】 a =1（答案不唯一） b = -2（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要
推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结
论求解即可．
【详解】解：证明命题“若 a > b，则 a2 > b2 ”是假命题的一个反例可以是： a =1，b = -2，
故答案为： a =1，b = -2（答案不唯一）．
4．（23-24 七年级下·北京门头沟·期末）可以用一个 a 的值说明命题“如果 a2 > 4，那么 a > 2 ”是假命题，这
个值可以是a = ．
【答案】-10（答案不唯一）．
【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要
推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟知这些知识点是解题的关键．根据有
理数的乘方法则计算，判断即可得出结果．
【详解】解：当 a = -10 时，满足 a2 > 4，但不满足 a > 2，
所以 a = -10 可作为说明命题“如果 a2 > 4，那么 a > 2 ”是假命题的一个反例．
故答案为：-10（答案不唯一）．
5．（23-24 七年级下·河南周口·阶段练习）（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一
反例．
①两个锐角的和是锐角；
②0 既不是正数，也不是负数．
（2）如图，已知钝角 AOB ，点D在射线OB上，画直线DE ^ OB及DF ^ OA，垂足为F ．
【答案】（1）①假命题，见解析；②真命题；（2）见解析
【分析】本题考查的是真假命题的判断，画已知直线的垂线，掌握判断命题真假的方法与熟练的利用工具
画已知直线的垂线是解本题的关键．
（1）①举反例判断两个锐角的和是锐角是假命题即可，②根据 0 的特点可判断；
（2）利用三角板或其他含有直角的工具画图即可．
【详解】解：（1）①假命题，
反例： A = 40°, B = 60°，但 A + B =100° > 90°，是钝角，
②真命题．
（2）如图，DE ，DF 即为所求．
．
题型 04 写出命题的题设与结论
1．（2021 七年级下·全国·专题练习）命题“等角的余角相等”中的余角是（　　）
A．结论的一部分
B．题设的一部分
C．既不属于结论也不属于题设
D．同属于题设和结论部分
【答案】B
【分析】根据命题题设与结论的定义：题设是已知事项，结论是已知事项推出的事项，进行逐一判断即可．
【详解】解：“等角的余角相等”中题设是：两个等角的余角，结论是：相等，
故选 B．
【点睛】本题主要考查了命题的题设与结论，熟知定义是解题的关键．
2．（21-22 七年级下·河北邢台·期中）命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于
同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ）．
A．两条直线互相平行 B．两条直线互相垂直
C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
【答案】D
【分析】根据命题的概念解答即可．
【详解】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线，故 D 正确，
符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查命题的概念，熟记概念是关键．
3．（23-24 七年级下·山东德州·期中）请将“等角的补角相等”请改写成“如果，那么”的形式 ．
【答案】如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题的改写，根据题意，找出题设和结论，运用命题的结果进行改写即可求解，掌握
命题的组成元素是解题的关键．
【详解】解：等角的补角相等，题设是：等角的补角，结论是：补角相等，
∴改写的形式为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等 ．
4．（23-24 七年级下·甘肃定西·阶段练习）命题“邻补角互补”的题设是 ，结论是 ，它是一个
（填“真”或“假”）命题．
【答案】 两个角互为邻补角 这两个角互补 真
【分析】本题考查命题与定理、判断命题的真假，把命题改写成“如果…，那么…”的形式，然后根据如果的
后面是题设，那么的后面是结论写出即可．把命题改写成“如果…，那么…”的形式是解题的关键．
【详解】解：命题“邻补角互补”可以改写为：如果两个角互为邻补角，那么这两个角互补；
则题设是：两个角互为邻补角，结论是：这两个角互补.这是一个真命题，
故答案为：两个角互为邻补角；这两个角互补；真.
5．（23-24 七年级下·广西防城港·阶段练习）已知① 1 = 58°， ② 2 = 58°， ③ 3 =122° ， ④ a∥b， 请
选 2 个作为题设， 1 个作为结论，构成一个真命题，并证明．
题设： ___________， 结论___________．
证明：
【答案】题设：② ③， 结论：④；证明见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查了命题与定理的知识，平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质，结合所给条件
即可作出判断．
【详解】题设：② 2 = 58°， ③ 3 =122° ， 结论：④ a∥b，
证明：∵ 2 = 58°， 3 =122° ，
∴ 2 + 3 = 58° +122° =180°，
∴ a∥b．
题型 05 证明
1．（20-21 八年级·全国·假期作业）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四
人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四
人中最佳选手是（　　）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹
C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
【答案】D
【分析】根据题意，可以判断出其中的三个人年龄相同，再根据实际可知其中年龄相同的三个人是布鲁斯
先生的儿子、女儿和妹妹，从而可以得到最差选手和最佳选手，本题得以解决．
【详解】由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，因此一定是其中的三个人的年龄
相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹
妹，由此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以，布鲁斯先生的儿子或女儿是最佳
选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹，由①知，最佳选手的孪生同胞一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选
手就是布鲁斯先生的女儿．
故选：D．
【点睛】本题考查了推理和论证，解题的关键是明确题意，能够写出正确的推理过程．
2．（2019·重庆沙坪坝·二模）某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警
察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从
犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（　　）
A．嫌疑犯乙 B．嫌疑犯丙 C．嫌疑犯甲 D．嫌疑犯甲和丙
【答案】C
【分析】根据大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走和条件（3）可知，案犯显然不是乙；根据条件（1）可
知作案对象一定在甲、丙中间，或两人都是嫌犯．由（2）得，若丙作案，那么甲必作案，但是没有证据能
够直接证明丙一定作案，所以嫌疑犯必是甲．
【详解】解：由于“大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走”，根据条件（3）可知：乙肯定不是主犯；
根据（1）可知：嫌疑犯必在甲和丙之间；
由（2）知：若丙作案，则甲必作案；
由于没有直接证明丙作案的证据，因此根据（1）（2）可以确定的是甲一定是嫌疑犯．
故选 C．
【点睛】本题考查了推理与证明，解决问题的关键是读懂题意，能够运用排除法分析解决此类问题．
3．（2022·北京海淀·三模）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，
用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序
是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由
甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间 ( 单位：小时 )如下：
原料
时间 原料A 原料 B 原料C
工序
上漆 10 16 13
描绘花纹 15 8 12
则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时．
【答案】 47
【分析】根据分析，甲按A 、C 、 B 的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可．
【详解】甲按A 、C 、 B 的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要10 +13 +16 + 8 = 47（小时），
故答案为： 47．
【点睛】此题考查推理与论证，关键是得出工作顺序．
4．（20-21 七年级下·福建莆田·期末）现有一个三位数密码锁，已知以下 3 个条件，可以推断正确的密码
是 ．
① 只有一个号码正确且位置正确
② 只有两个号码正确且位置都不正确
③ 三个号码都不正确
【答案】520
【分析】根据题意分析分析推理即可，由①结合③可以确定第三位数字为 0，由②，③可以确定前两个数为
5,2，据此分析即可．
【详解】根据①，③可知正确的号码是 0，位置是第三位，由②，③可知正确的号码是 5,2，位置分别为第
一位和第二位，所以正确的密码是 520．
【点睛】本题考查了逻辑推理，根据题意结合所给信息推导出各位数字是解题的关键．
5．（22-23 八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在 VABC 中， C = 90°， B = 54°， ADC = 72°．求证：
AD 平分 BAC ．
【答案】见详解
【分析】根据三角形内角和定理以及外角的性质，求出 BAD =18°，∠DAC =18°，进而即可得到结论．
【详解】证明：∵在VABC 中， C = 90°， B = 54°， ADC = 72°，
∴∠BAD =∠ADC -∠B = 72° - 54° =18°，∠DAC =180° - 90° - 72° =18° ，
∴ BAD = CAD ，
∴ AD 平分 BAC ．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理
以及外角的性质，是关键．
A 夯实基础
1．（23-24 七年级下·四川广安·期末）对于命题“如果 a > b，那么 a2 > b2 ”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． a = 2，b =1 B． a = 3，b = -2
C． a = 2，b = -1 D． a = -1，b = -2
【答案】D
【分析】本题考查了举反例说明假命题，举的反例要满足命题的条件，但不满足命题结论，据此判断即可．
【详解】解：显然前三个选项中的例子既符合命题的条件，也符合命题的结论，不是举反例；选项 D 中例
子符合命题条件，即 a > b，但 a2 =1 < b2 = 4 ，不符合命题结论，故是反例；
故选：D．
2．（23-24 七年级下·湖北咸宁·期末）已知在同一平面内的三条直线 a，b，c，下列命题中错误的是（ ）
r r
A． a∥b，b∥c，那么 a∥c B．如果 a ^ b，b ^ c，那么 a ^ c
r r r r
C．如果 a ^ b，b ^ c，那么 a∥c D．如果 a ^ b， a∥c ，那么b ^ c
【答案】B
【分析】本题考查了平行公理推论的应用，如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行；同
一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行，故 A 正确，不符合题意；
∵同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故 B 错误，符合题意，C 正确，不符合题意；
∵如果一条直线垂直于另一条直线，则该直线垂直于这条直线的平行直线，故 D 正确，不符合题意；
故选： B．
3．（23-24 七年级下·北京昌平·期末）已知命题“同位角相等”，这个命题是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查了平行线的性质及真假命题的判断．正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．要
说明一个命题是真命题，必须一步一步有根有据的证明；要说明一个命题是假命题，只需要举一个反例即
可．掌握判断真假命题的方法是解题的关键，根据平行线的性质判断即可．
【详解】解：两直线平行时，同位角相等；两直线不平行时，同位角不相等．因此命题“同位角相等”不一定
成立，是假命题．
故答案为：假．
4．（23-24 七年级下·四川自贡·期中）将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写
为“如果…那么…”的形式，可写为 ．
【答案】如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题由题设和结论两部分组成；准确找出题设
和结论是解题关键．根据命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为这两条直线
互相平行得出即可．
【详解】解：因为命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为：这两条直线互相
平行；
所以“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：“如果，
在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”；
故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
5．（23-24 七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和
结论．
(1)有两个角为60°的三角形是等边三角形；
(2)两个连续偶数相差 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题内容即可.
（1）根据命题内容即可求解；
（2）根据命题内容即可求解；
【详解】（1）解：如果一个三角形中有两个角为60°，那么这个三角形是等边三角形．
题设：一个三角形中有两个角为60°；
结论：这个三角形是等边三角形．
（2）解：如果两个数是连续的偶数，那么这两个数相差 2．
题设：两个数是连续的偶数；
结论：这两个数相差 2．
6．（2023 七年级下·江苏·专题练习）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式．
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；
(3)等腰三角形的两底角相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查的是命题与定理，熟知命题写成“如果…，那么…”的形式，清楚命题的题设与结论是解答
此题的关键．
【详解】（1）解：如果两直线平行，那么内错角相等；
（2）解：如果一个角是三角形的外角，那么它等于它不相邻的两个内角的和；
（3）解：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等．
B 能力提升
1．（23-24 七年级下·河北沧州·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．和为180°的两个角是邻补角
C．相等的两个角是对顶角
D．在同一平面内，若 a∥b，b∥c，则 a∥c
【答案】D
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行公理的推论、邻补角的概念、对顶角的概念、平行线的性质判
断即可．
【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、和为180°的两个角不一定是邻补角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、相等的两个角不一定是对顶角，例如等腰直角三角形的两锐角相等，不是对顶角，故本选项说法是假命
题，不符合题意；
D、在同一平面内，若 a∥b，b∥c，则 a∥c ，是真命题，符合题意；
故选：D
2．（20-21 八年级上·浙江杭州·阶段练习）小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是
谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话：
小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．”
小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．”
小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．”
已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（ ）
A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据题意对小陈说的两句话来假设真假，再对后面两人说的话逐一分析，得出矛盾的即假设不成
立，不矛盾的则符合条件．
【详解】解：1、假设小陈说“我没做这件事”是真话，则“小张也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好
事的就是小张；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事
的就是小陈，与小陈的假设矛盾；
2、假设小陈说“我没做这件事”是假话，则“小张也没做这件事”是真话，从这里可以得出做好事的就是小陈；
假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈；符
合；假设小张说“我没做这件事”是真话，则“也不知道谁做了这件事”是假话，符合；
∴做好事的是小陈，
故选 B．
【点睛】逻辑推理问题，用到的数学知识不多，主要依靠对已知条件的分析，寻找适当的突破口，常用枚
举、归谬等方法．
3．（22-23 八年级上·四川眉山·期末）用反证法证明“已知，a > b,b > c．求证：a > c ”．第一步应先假设 ．
【答案】 a c
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解： “已知， a > b,b > c．求证： a > c ”．第一步应先假设 a c．
故答案为： a c．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，
要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定．
4、（23-24 七年级下·江苏泰州·期末）命题“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命题是 命题．（选填“真”或
“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．先根据逆命题的概念
写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方、有理数的大小比较法则判断即可．
【详解】解：命题“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命题是如果 x2 1，那么 x 1，是假命题，
例如：当 x = -2时， (-2)2 >1，而-2 < 1，
故答案为：假．
5．（23-24 七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”．
(1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式；
(2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据．
如图，已知直线 AB P CD，直线 EF 截 AB ，CD 于点 M，N．
求证 AMN +　　=180°．
证明：∵ AB P CD（已知），
∴ AME = CNM （ 　　）．
∵ AME + 　　=180°（平角的定义），
∴ AMN +　　=180°（ 　　）．
【答案】(1)该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，改成“如果……那么……”的形式是：如
果两直线平行，那么同旁内角互补
(2) CNM ；两直线平行，同位角相等； AMN； CNM ；等量代换
【分析】本题考查了命题，平行线的性质等知识，
（1）确定题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，按要求表述即可；
（2）根据两直线平行，同位角相等可得 AME = CNM ，再结合平角的定义，即可证明．
【详解】（1）该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，
改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补；
（2）如图，已知直线 AB P CD，直线 EF 截 AB ，CD 于点 M，N．
求证 AMN + CNM =180° ．
证明：∵ AB P CD（已知），
∴ AME = CNM （两直线平行，同位角相等）．
∵ AME + AMN =180°（平角的定义），
∴ AMN + CNM =180° （等量代换）．
故答案为： CNM ；两直线平行，同位角相等； AMN； CNM ；等量代换．
70．（22-23 八年级上·全国·课后作业）已知：如图，VABC 的两条高线 BE 、CF 相交于点 O．求证：
BOC =180° - A．
证明：∵ BE 、CF 是VABC 的两条高线（　　），
\ OEC = BFC = 90°（　　）
Q ACF + A = BFC = 90°（　　），
\ ACF = 90° - A．
\ BOC = OEC + ACF = 90° + 90° - A =180° - A．
【答案】已知；三角形高的定义；三角形外角的性质
【分析】根据三角形高的定义得到 OEC = BFC = 90°，根据三角形外角的性质得到 ACF = 90° - A，
则 BOC = OEC + ACF = 90° + 90° - A = 180° - A．
【详解】证明：∵ BE 、CF 是VABC 的两条高线（已知），
∴ OEC = BFC = 90°（三角形高的定义）
∵ ACF + A = BFC = 90°（三角形外角的性质），
∴ ACF = 90° - A．
∴ BOC = OEC + ACF = 90° + 90° - A = 180° - A，
故答案为：已知；三角形高的定义；三角形外角的性质．
【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与其不相邻的
两个内角之和是解题的关键．
C 综合素养
1．（23-24 七年级下·河北石家庄·期末）下列命题中：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若 1 = 40°，
2的两边与 1的两边分别平行，则 2 = 40°或140°；④在同一平面内，若b ^ c， a ^ c ，则b∥a．其中
假命题的个数是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．0
【答案】C
【分析】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
根据平行线的性质及判定，逐个判断各个命题的真假即可．
【详解】①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；故该命题是假命题；
②在同一平面内，过直线外的点的直线才与已知直线平行．如果这一点不在直线外，不是相交就是重合．所
以过一点有且只有一条直线与已知直线平行是错误的．该命题是假命题；
③若 1 = 40°， 2的两边与 1的两边分别平行，则 2 = 40°或140°，如图所示，该是真命题；
，
④在同一平面内，若b ^ c， a ^ c ，则b∥a．垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；
综上所述：是真命题的有③④；
故选：C．
2．（23-24 七年级下·北京通州·期末）已知有理数 a，b，下列命题中是真命题的有（ ）
①如果 ab = 0，那么 a = 0或b = 0；
②如果 a2 = b2 ，那么 a = b；
③如果 a < b < 0，那么 ab > 0；
④如果 a > b ，那么 a + b 的符号与 a 的符号相同；
1 1
⑤如果a > b > 0，那么 > ．
a b
A．①②④ B．②③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】C
【分析】本题考查了命题真假的判定，解题的关键是掌握有理数加法、乘法、乘方法则，有理数大小的比
较，难度一般．
根据有理数加法、乘法、乘方法则，有理数大小的比较，逐个判断即可．
【详解】解：①如果 ab = 0，那么 a = 0或b = 0，正确，故①是真命题；
②如果 a2 = b2 ，那么 a = b或 a = -b ，原命题错误，故②假命题；
③如果 a < b < 0，那么 ab > 0，正确，故③是真命题；
④如果 a > b ，那么 a + b 的符号与 a 的符号相同，正确，故④是真命题；
1 1
⑤如果 a > b >1，那么 < ，如果1 > a > b > 0 1 1，那么 a < b ，原命题错误，故⑤假命题；a b
∴是真命题的有①③④．
故选：C．
3．（23-24 七年级下·吉林四平·期末）给出下列 5 个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，
内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂
直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可）
【答案】①
【分析】本题考查了真命题，平行线的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握平行线的判定与性质及垂线段
最短是解题的关键．根据平行线的判定与性质及垂线段最短公理，即可判断答案．
【详解】①是公理,正确；
②忽略了两条直线必须是平行线，故②错误；
③举反例，两直线平行，同旁内角互补，显然这两个角不是邻补角，故③错误；
④“同旁内角互补，两直线平行”，故④不符合平行线的判定，是错误的；
⑤当同旁内角互补时，它们的角的平分线才互相垂直，故⑤错误；
所以真命题是①．
故答案为：①．
4．（23-24 七年级下·安徽阜阳·阶段练习）有下列说法：①内错角相等；②直线外一点到这条直线的垂线段，
叫做点到直线的距离；③数轴上的点与有理数一一对应；④ “画线段 AB = 3cm ”是命题．其中不正确的说法
的是 （. 把所有正确结论的序号都选上）
【答案】①②③④
【分析】本题考查了命题及真假判断，根据实数与数轴、平行线的性质、点到直线的距离的概念判断即可，
熟记正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟练掌握判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质
定理．
【详解】①两直线平行，内错角相等，原说法错误；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原说法错误；
③数轴上的点与实数一一对应，原说法错误；
④画线段“ AB = 3cm ”不是命题，原说法错误，
故答案为：①②③④．
5．（19-20 七年级下·山东滨州·阶段练习）在小学四年级我们学过三角形的内角和等于 180°；科学实验又证
明，平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．利用上述知
识进行下面的探究活动：
（一）探究：
（1）如图，一束光线 m 射到平面镜 a 上，被 a 反射到平面镜 b 上，又被平面镜 b 反射．若被平面镜 b 反射
出的光线 n 平行于 m，且∠1＝50°，则∠2＝________，∠3＝________．
（2）在（1）中，若∠1＝40°，则∠3＝________；若∠1＝55°，则∠3＝________．
（二）猜想：
（3）由（1）（2），请你猜想：当∠3＝________时，任何射到平面镜 a 上的光线 m 经过平面镜 a 和 b 的两
次反射后，入射光线 m 与反射光线 n 总是平行的．
（三）（4）证明：请证明你的上述猜想．
【答案】（1）100°；90°；（2）90°；90°；（3）90°；（4）见解析
【分析】（1）如图，根据入射角等于反射角可求得∠1=∠4，∠5=∠6，进而求得∠7=80°，再由 m∥n 求出
∠2=100°，进而求得∠5=40°，根据三角形内角和为 180°即可求得答案；
（2）结合（1）中过程可得∠3=90°；
（3）根据（1）（2）结论，猜想当∠3=90°时，m∥n；
（4）由∠3=90°证得∠2 与∠7 互补即可．
【详解】(一)(1)如图，∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠4，∠5=∠6，
∴∠7=180°-∠1-∠4=80°，
∵m∥n，
∴∠7+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠7=100°，
∴∠5=∠6=（180°-100°）÷2=40°
根据三角形的内角和为 180°，得:
∠3=180°-∠4-∠5=90°,
故答案为：100°,90°；
(2)由（1）可知∠3 的度数都是 90°，
故答案为：90°，90°；
(二)（3）由（1）（2）可猜想：当∠3=90°时，m∥n，
故答案为：90°；
(三)（4）证明：当∠3=90°时，.m∥n.
理由如下：
∵ ∠ 3=90°，
∴ ∠ 4+∠ 5=180° 90°=90°，
∵∠ 1=∠ 4，∠ 5=∠ 6，
∴ ∠ 1+∠ 4+∠ 5+∠ 6=2×90°=180°，
∴ ∠ 7+∠ 2=180° (∠ 1+∠ 4)+180° (∠ 5+∠ 6)=180°，
∴ m∥n．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，还涉及入射角等于反射角、平角定义、三角形的内角和定理等知
识，解答的关键是认真审题，掌握入射角等于反射角这一重要性质，利用平行线的性质得出∠3=90°，进而
利用特殊到一般，归纳与类比、猜想与证明的解题方法解决问题．
6．（23-24 七年级下·河南安阳·期中）如图，现有下面三个条件： AB ^ BC ，CD ^ BC ；BE P CF ；
1 = 2．
(1)请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果……那么……”的形式）
(2)对（1）中的命题进行求证．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了命题与定理，平行线的性质，垂直的性质等知识点，
(1)可以把前两个条件作为题设，第三个条件作为结论，即可得解；
(2)由于 AB ^ BC ，CD ^ BC 得到 ABC = DCB = 90°，利用平行线的性质得到 EBC = FCB，进而可得
到 ABC - EBC = DCB - FCB，即有 1 = 2；
熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】（1）如果 AB ^ BC ，CD ^ BC ，BE∥CF ，那么 1 = 2．
（2）证明：∵ AB ^ BC ，CD ^ BC ，
∴ ABC = DCB = 90°，
又∵BE∥CF ，
∴ EBC = FCB，
∴ ABC - EBC = DCB - FCB，
即 1 = 2．第 02 讲 定义、命题与证明（2 个知识点+5 大题型+18 道强化
训练）
课程标准 学习目标
1.理解定义与命题的概念；
2.分清命题的条件和结论，会把命题改 1.理解定义与命题的概念；
写成“如果……那么……”的形式，并能 2.分清命题的条件和结论，会把命题改写成“如
判断命题的真假； 果……那么……”的形式，并能判断命题的真假；
3.会用反例说明一个命 3.会用反例说明一个命题是假命题。
题是假命题。
知识点 01：定义与命题
1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
2.命题：定义：判断某一件事情的句子
结构：由条件和结论两部分组成。
句式改写：如果……那么……
分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的
假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例)
3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理
每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。
【即学即练 1】
1．（23-24 七年级下·山东日照·期末）下列命题中真命题是（ ）
A．同旁内角互补
B．相等的角是对顶角
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．平移前后图形的对应点所连线段一定平行
知识点 02：证明
证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得
结论成立的推理过程。
证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知
中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。
在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画
成虚线。
【即学即练 2】
2．（22-23 七年级下·江苏无锡·阶段练习）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有 2、
3、4、5、6 五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更
大，甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：
我也不知道谁手中的数更大。假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．不能确定
题型 01 判断是否是命题
1．（23-24 七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（ ）
A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交
C．连接 A，B 两点 D．对顶角相等
2．（23-24 七年级下·辽宁鞍山·期中）下面的语句中，哪个不是命题（ ）
A．任何一个三角形一定有一个角是直角
B．对顶角相等
C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．过直线 m 外一点 A 作 m 的平行线 AB
3．（19-20 八年级上·广东清远·期末）命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间
线段最短．其中真命题是 （填序号）．
4．（21-22 七年级下·全国·课前预习）下列语句在表述形式上，有什么共同特点？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（3）对顶角相等；
（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
你的发现：这些语句都是对一件事情作出了 ．
像这样判断一件事情的语句，叫作 ．
注意：①只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是 ．
②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就 命题．
5．（22-23 八年级上·全国·课后作业）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
(1)将 27 开立方．
(2)任意三角形的三条中线相交于一点吗？
(3)锐角小于直角．
(4) a < 0 （a 为实数）．
题型 02 判断命题的真假
1．（23-24 七年级下·辽宁营口·期末）下列语句中是真命题的是（ ）
A．如果 | a |=| b |，那么 a = b B．任何一个正数的平方都大于这个数
C．内错角相等，两直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条线互相垂直
2．（23-24 七年级下·湖南株洲·期末）下列命题中，①同旁内角互补；②对顶角相等；③过直线外一点有且
只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．真命题的个
数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．（24-25 八年级上·江苏·假期作业）在同一平面内，有三条直线 a，b，c，下列说法：①若 a 与 b 相交，b
r r
与 c 相交，则 a 与 c 相交；②若 a P b ，b P c ，则 a P c；③若 a ^ b，b ^ c，则 a ^ c ．其中正确命题
是 ．（填序号）
4．（23-24 七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有 ．（填序号）
r r
①如果 a ^ b， c ^ b ，则 a ^ c ；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同位角相等；
④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；
⑤互补的两个角是邻补角；
⑥过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条；
⑦有理数和数轴上的点一一对应．
5．（23-24 七年级下·河北邢台·阶段练习）命题：绝对值相等的两个数相等．
(1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论；
(2)判断这个命题是真命题还是假命题．
题型 03 举例说明假（真）命题
1．（23-24 七年级下·江苏泰州·期末）判断命题“如果 x2 > 0， 那么 x > 0 ” 是假命题，只需举出一个反例，
则所举反例中 x 的值可以为（ ）
A．15 B．0.8 C．-2 D．0
2．（23-24 七年级下·甘肃陇南·阶段练习）下列选项可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是
（　　）
A． A = 30°, B = 40° B． A = 30°, B = 80°
C． A = 30°, B = 90° D． A = 30°, B =100°
3．（23-24 七年级下·浙江台州·期末）能说明命题“若 a > b，则 a2 > b2 ”是假命题的一个反例可以是：
a = ，b = ．
4．（23-24 七年级下·北京门头沟·期末）可以用一个 a 的值说明命题“如果 a2 > 4，那么 a > 2 ”是假命题，这
个值可以是a = ．
5．（23-24 七年级下·河南周口·阶段练习）（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一
反例．
①两个锐角的和是锐角；
②0 既不是正数，也不是负数．
（2）如图，已知钝角 AOB ，点D在射线OB上，画直线DE ^ OB及DF ^ OA，垂足为F ．
题型 04 写出命题的题设与结论
1．（2021 七年级下·全国·专题练习）命题“等角的余角相等”中的余角是（　　）
A．结论的一部分
B．题设的一部分
C．既不属于结论也不属于题设
D．同属于题设和结论部分
2．（21-22 七年级下·河北邢台·期中）命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于
同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ）．
A．两条直线互相平行 B．两条直线互相垂直
C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
3．（23-24 七年级下·山东德州·期中）请将“等角的补角相等”请改写成“如果，那么”的形式 ．
4．（23-24 七年级下·甘肃定西·阶段练习）命题“邻补角互补”的题设是 ，结论是 ，它是一个
（填“真”或“假”）命题．
5．（23-24 七年级下·广西防城港·阶段练习）已知① 1 = 58°， ② 2 = 58°， ③ 3 =122° ， ④ a∥b， 请
选 2 个作为题设， 1 个作为结论，构成一个真命题，并证明．
题设： ___________， 结论___________．
证明：
题型 05 证明
1．（20-21 八年级·全国·假期作业）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四
人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四
人中最佳选手是（　　）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹
C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
2．（2019·重庆沙坪坝·二模）某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警
察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从
犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（　　）
A．嫌疑犯乙 B．嫌疑犯丙 C．嫌疑犯甲 D．嫌疑犯甲和丙
3．（2022·北京海淀·三模）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，
用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序
是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由
甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间 ( 单位：小时 )如下：
原料
时间 原料A 原料 B 原料C
工序
上漆 10 16 13
描绘花纹 15 8 12
则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时．
4．（20-21 七年级下·福建莆田·期末）现有一个三位数密码锁，已知以下 3 个条件，可以推断正确的密码
是 ．
① 只有一个号码正确且位置正确
② 只有两个号码正确且位置都不正确
③ 三个号码都不正确
5．（22-23 八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在 VABC 中， C = 90°， B = 54°， ADC = 72°．求证：
AD 平分 BAC ．
A 夯实基础
1．（23-24 七年级下·四川广安·期末）对于命题“如果 a > b，那么 a2 > b2 ”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． a = 2，b =1 B． a = 3，b = -2
C． a = 2，b = -1 D． a = -1，b = -2
2．（23-24 七年级下·湖北咸宁·期末）已知在同一平面内的三条直线 a，b，c，下列命题中错误的是（ ）
r r
A． a∥b，b∥c，那么 a∥c B．如果 a ^ b，b ^ c，那么 a ^ c
r r r r
C．如果 a ^ b，b ^ c，那么 a∥c D．如果 a ^ b， a∥c ，那么b ^ c
3．（23-24 七年级下·北京昌平·期末）已知命题“同位角相等”，这个命题是 命题．（填“真”或“假”）
4．（23-24 七年级下·四川自贡·期中）将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写
为“如果…那么…”的形式，可写为 ．
5．（23-24 七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和
结论．
(1)有两个角为60°的三角形是等边三角形；
(2)两个连续偶数相差 2
6．（2023 七年级下·江苏·专题练习）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式．
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；
(3)等腰三角形的两底角相等．
B 能力提升
1．（23-24 七年级下·河北沧州·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．和为180°的两个角是邻补角
C．相等的两个角是对顶角
D．在同一平面内，若 a∥b，b∥c，则 a∥c
2．（20-21 八年级上·浙江杭州·阶段练习）小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是
谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话：
小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．”
小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．”
小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．”
已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（ ）
A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定
3．（22-23 八年级上·四川眉山·期末）用反证法证明“已知，a > b,b > c．求证：a > c ”．第一步应先假设 ．
4、（23-24 七年级下·江苏泰州·期末）命题“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命题是 命题．（选填“真”或
“假”）
5．（23-24 七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”．
(1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式；
(2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据．
如图，已知直线 AB P CD，直线 EF 截 AB ，CD 于点 M，N．
求证 AMN +　　=180°．
证明：∵ AB P CD（已知），
∴ AME = CNM （ 　　）．
∵ AME + 　　=180°（平角的定义），
∴ AMN +　　=180°（ 　　）．
6．（22-23 八年级上·全国·课后作业）已知：如图，VABC 的两条高线 BE 、CF 相交于点 O．求证：
BOC =180° - A．
证明：∵ BE 、CF 是VABC 的两条高线（　　），
\ OEC = BFC = 90°（　　）
Q ACF + A = BFC = 90°（　　），
\ ACF = 90° - A．
\ BOC = OEC + ACF = 90° + 90° - A =180° - A．
C 综合素养
1．（23-24 七年级下·河北石家庄·期末）下列命题中：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若 1 = 40°，
2的两边与 1的两边分别平行，则 2 = 40°或140°；④在同一平面内，若b ^ c， a ^ c ，则b∥a．其中
假命题的个数是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．0
2．（23-24 七年级下·北京通州·期末）已知有理数 a，b，下列命题中是真命题的有（ ）
①如果 ab = 0，那么 a = 0或b = 0；
②如果 a2 = b2 ，那么 a = b；
③如果 a < b < 0，那么 ab > 0；
④如果 a > b ，那么 a + b 的符号与 a 的符号相同；
1 1
⑤如果a > b > 0，那么 > ．
a b
A．①②④ B．②③⑤ C．①③④ D．①④⑤
3．（23-24 七年级下·吉林四平·期末）给出下列 5 个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，
内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂
直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可）
4．（23-24 七年级下·安徽阜阳·阶段练习）有下列说法：①内错角相等；②直线外一点到这条直线的垂线段，
叫做点到直线的距离；③数轴上的点与有理数一一对应；④ “画线段 AB = 3cm ”是命题．其中不正确的说法
的是 （. 把所有正确结论的序号都选上）
5．（19-20 七年级下·山东滨州·阶段练习）在小学四年级我们学过三角形的内角和等于 180°；科学实验又证
明，平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．利用上述知
识进行下面的探究活动：
（一）探究：
（1）如图，一束光线 m 射到平面镜 a 上，被 a 反射到平面镜 b 上，又被平面镜 b 反射．若被平面镜 b 反射
出的光线 n 平行于 m，且∠1＝50°，则∠2＝________，∠3＝________．
（2）在（1）中，若∠1＝40°，则∠3＝________；若∠1＝55°，则∠3＝________．
（二）猜想：
（3）由（1）（2），请你猜想：当∠3＝________时，任何射到平面镜 a 上的光线 m 经过平面镜 a 和 b 的两
次反射后，入射光线 m 与反射光线 n 总是平行的．
（三）（4）证明：请证明你的上述猜想．
6．（23-24 七年级下·河南安阳·期中）如图，现有下面三个条件： AB ^ BC ，CD ^ BC ；BE P CF ；
1 = 2．
(1)请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果……那么……”的形式）
(2)对（1）中的命题进行求证．

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