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第 01 讲 图形的轴对称（1 个知识点+7 大题型+18 道强化训练）
课程标准 学习目标
1.图形的轴对称概念； 1、通过学习轴对称图形和关于直线对称，进一步认识
2.生活中的轴对称现象； 几何图形的本质特征。
2、通过学习轴对称图形和关于直线对称的区别和联系，
进一步发展学生抽象概括能力。
知识点 01：轴对称图形相关概念
1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，
这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条
直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系：
区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状 的图形；轴对称说的是两个图形的一种
特殊位置关系。
②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。
联系：①都沿某条直线对折，图形重合。
②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的
两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。
轴对称和轴对称图形的性质
轴对称的性质：
垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
① 由一个平面图形可以得到它关于一条直线 L 成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大
小完全相同）
② 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线 L 的对称点。
③ 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
A'
H
I
D D'
J B'
K C'
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
【即学即练 1】下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的
图形叫做轴对称图形，逐一判断即可．
【详解】解：A 选项图形是轴对称图形，故不符合题意；
B 选项图形是轴对称图形，故不符合题意；
C 选项图形是轴对称图形，故不符合题意；
D 选项图形不是轴对称图形，故符合题意．
故选 D．
【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题关键．
【即学即练 2】如图，VABC 与VA B C 关于直线 l 对称，且 A = 78°， C = 48°，则 C 的度数是（　　）
A． 48° B．54° C．74° D．78°
【答案】A
【分析】根据成轴对称的个图形对应角相等的性质，即可进行解答．
【详解】解：∵VABC 与VA B C 关于直线 l 对称， C = 48°，
∴ C = C = 48°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，解题的关键是掌握成轴对称的两个图形对应角相等．
题型 01 轴对称图形的识别
1．下列图形中，是轴对称图形，并且只有 3 条对称轴的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全
重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【详解】解：A． 圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意；
B． 正方形有 4 条对称轴，故此选项不符合题意；
C． 梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有 1 条对称轴，故此选项不符合题意；
D．等边三角形有 3 条对称轴，故此选项符合题意．
故选：D．
2．下列五种图形：①线段 ②角 ③平行四边形 ④正方形 ⑤等腰三角形，是轴对称图形的有 ．（填
序号）
【答案】①②④⑤
【分析】该题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称
图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：线段、角、正方形、等腰三角形是轴对称图形；平行四边形不
是轴对称图形．
故是轴对称图形的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
3．习近平主席提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．如图有关环
保的四个图形中，不是轴对称图形的是 ，（填序号）
　 　　 　　
【答案】①③④
【分析】根据轴对称图形的定义，即可进行解答．
【详解】解：①不是轴对称图形，符合题意；
②是轴对称图形，不符合题意；
③不是轴对称图形，符合题意；
④不是轴对称图形，符合题意；
综上：不是轴对称图形的有①③④；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合的图形．
4．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的．
(1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？
(2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
(3)请你推断，按此规律下去，第 n 个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
【答案】(1)图案是轴对称图形，有 4 条对称轴
(2)图②是轴对称图形，都有 2 条对称轴；图③是轴对称图形，有 2 条对称轴
(3)第 n 个图案是轴对称图形，有 2 条对称轴
【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】（1）图案是轴对称图形，有 4 条对称轴；
（2）图②是轴对称图形，都有 2 条对称轴；图③是轴对称图形，有 2 条对称轴．
（3）第 n 个图案是轴对称图形，有 2 条对称轴．
题型 02 成轴对称的两个图形的识别
1．下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是关键，根据轴对称的定义：“如果两个平面图形
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称”，进行逐一判断即可．
【详解】解：②③是轴对称，①④不是轴对称，
故选：B．
2．下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称直接判断即可得到答案；
【详解】解：由图形可得，
A 选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
B 选项图形中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到，
C 选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
D 选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
故选：B；
【点睛】本题考查轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称．
3．下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：
（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有 个．
【答案】2
【分析】根据轴对称图形性质来判断，如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，即可得出答案．
【详解】（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形，轴对称图形对应线段相等，对应角相等，说法正确；
（2）成轴对称的两个图形的对称轴可能在图形中间，说法不正确；
（3）等边三角形三边相等，角相等，是轴对称图形且有三条对称轴，说法正确，
故答案为：2
【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的性质，对称轴数量的判断是解题关键．
4．把一个图形沿着 折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形 关于这条直
线 ．这条直线叫做 ．折叠后重合的点叫对应点，也叫 ．
【答案】 某一条直线 成轴对称 成轴对称 对称轴 对称点
5．如图，与图形 A 成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴．
A． B． C．
D．
【答案】图形 B，对称轴见解析
【分析】根据成轴对称的概念可作答．
【详解】解：根据轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合，则图形 B
与它构成轴对称；
对称轴如图：
【点睛】考查了轴对称的概念，注意轴对称和轴对称图形的区别：轴对称指的是两个图形；轴对称图形指
的是一个图形．
题型 03 根据成轴对称图形的特征进行判断
1．下列说法错误的是（ ）
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B．轴对称图形至少有一条对称轴
C．全等三角形一定能关于某条直线对称 D．角是关于它的平分线对称的图形
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的定义和性质逐一分析四个选项的正误，由此即可得出结
论．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：A、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，正确，故本选项不符合题意；
B、轴对称图形至少有一条对称轴，正确，故本选项不符合题意；
C、两全等三角形不一定关于某条直线对称，错误，故本选项符合题意；
D、角是关于它的平分线对称的图形，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．如图，VABC 与VA B C 关于直线MN 对称，BB 交MN 于点O，则下列结论不一定正确的是（　　）
A． AC = A C B．BO = B O C． AA ^ MN D． AB∥B C
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，
对称轴垂直平分对应点连接的线段，据此即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：∵VABC 与VA B C 关于直线MN 对称，
∴ AC = A C ， AA ^ MN ，BO = B O， AB 与B C 不一定平行，
故A，B，C项一定正确，D 项不一定正确，
故选：D ．
3．已知点A 与点 A ，点 B 与点B 都关于直线 l成轴对称，并且点A 、 B 所在的直线与点 A 、B 所在的直线
相交于点 P ，连接 AA ，判断下列结论：① AB = A B ；②点 P 在直线 l上；③直线 l ^ AA ；④PA = PA，其
中正确的结论有 （只填写序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了轴对称的性质，解题关键是熟记对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线以及
轴对称的对应线段或对应线段的延长线相交，交点在对称轴上．
【详解】解：由题意可知， AB 与 A B 关于直线 l成轴对称，
\ AB = A B ，点 P 在直线 l上，直线 l ^ AA ，PA = PA，
即正确的结论有①②③④，
故答案为：①②③④．
4．如图， A = 20° ， C = 60°，VABC 与VA B C 关于直线 l对称，则 B = ．
【答案】100°/100 度
【分析】先根据轴对称的性质得出△ABC≌△A B C ，由全等三角形的性质可知 C = C ，再由三角形内
角和定理可得出 B 的度数．
【详解】解：QVABC 与VA B C 关于直线 l对称，
∴△ABC≌△A B C ，
\ C = C = 60°，
Q A = 20° ，
\ B =180° - A - C =180° - 20° - 60° =100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质及
三角形内角和定理是解答此题的关键．
5．如图，已知VABC 的三个顶点在格点上．
(1)画出△A1B1C1， 使它与VABC 关于直线MN 对称；
(2)在直线MN 上找出一点 D， 使得 BDM = CDN ，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，对顶角相等，掌握轴对称图形的性质，是解答本题的
关键．
（1）先画出点 A、B、C 关于直线MN 对称点 A1、B1、C1，再依次连接即可；
（2）连接BC1交直线MN 与点 D，点 D 即为所求．
【详解】（1）解：如图所示：△A1B1C1如图所示：
（2）解：如图所示，点 D 即为所求，
由轴对称的性质可知， CDN = C1DN ，
∵ BDM = C1DN ，
∴ BDM = CDN ．
题型 04 根据成轴对称图形的特征进行求解
1．如图，四边形 ABCD中，AB = AD ，点 B 关于 AC 的对称点 B’恰好落在CD上，若 BAD =100°，则 ACB
的度数为（ ）
A．30° B． 40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解题时注意：如果两
个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接 BE ，过 A 作 AF ^ CD
1
于 F，得到 AD = AE ，依据 CAB = CAE ， DAF = EAF ，即可得出 CAF = BAD = 50°，再根据直
2
角三角形两锐角互余，即可得到 ACB = ACD = 40°．
【详解】解：如图，连接 BE ，过 A 作 AF ^ CD 于 F，
∵点 B 关于 AC 的对称点 E 恰好落在CD上，
∴ AC 垂直平分 BE ，
∴ AB = AE ，
∴ CAB = CAE ，
∵ AB = AD ，
∴ AE = AD，
又∵ AF ^ CD ，
∴ DAF = EAF ，
CAF 1∴ = BAD = 50°，
2
又∵ AFC = 90°，
∴ ACB = ACD = 40°，
故选：B．
2．如图，在五边形 ABCDE 中， BAE = 142°， B = E = 90°， AB = BC ， AE = DE ．在BC ，DE 上分别
找一点M ， N ，使得VAMN 的周长最小时，则 AMN + ANM 的度数为（　　）
A．76° B．84° C．96° D．109°
【答案】A
【分析】本题考查了最短路线问题．延长 AB 至 A ，使 A B = AB，延长 AE 至 A ，使 A E = AE，则BC 垂
直平分 AA ，DE 垂直平分 AA ，所以 AM = A M ， A N = AN ，VABC 的周长为 AM + MN + AN ，要使其周
长最小，即使 A M + MN + A N 最小，设 MAA = x，则 AMN = 2x，设 NAA = y ，则 ANM = 2y ，在△AA A
中，利用三角形内角和定理，可以求出 x + y = 38°，进一步可以求出 AMN + ANM 的值．
【详解】解：如图，延长 AB 至 A ，使 A B = AB，
延长 AE 至 A ，使 A E = AE，
则BC 垂直平分 AA ，DE 垂直平分 AA ，
\ AM = A M ， AN = A N ，
根据两点之间，线段最短，
当 A ，M ， N ， A 四点在一条直线时， A M + MN + NA 最小，
则 AM + MN + AN 的值最小，
即VAMN 的周长最小，
Q AM = A M ， AN = A N ，
\可设 MAA = MA A = x ， NAA = NA A = y ，
在△AA A 中， x + y = 180° - BAE = 180° -142° = 38°，
Q AMN = MAA + MA A = 2x ， ANM = 2y ，
\ AMN + ANM = 2x + 2y = 76°，
故选：A．
3．如图，三条边分别是 6 厘米、8 厘米、10 厘米的直角三角形，将它的直角边对折到斜边上去，与斜边相
重合，则图中阴影部分的面积是( )平方厘米．
【答案】9
【分析】此题主要根据等高的两个三角形的面积比等于底的长度的比，由此求面积的比．此题很明显，原
直角三角形被分成了三部分，因它们都是直角三角形，依据题目条件可以先找出它们的面积比，再根据总
1
面积是： SVABC = 6 8 = 24平方厘米，然后求解即可．2
1
【详解】解：由题意可以知道： SVABC = 6 8 = 24（平方厘米）2
SVAEC = SVADE ， SVADE 和 S△BDE 等高，
所以， SVBDE :SV ADE = BD:AD = 10 - 6 :6 = 2:3
所以， SVBDE : SVADE : SVACE = 2 : 3: 3；
SVADE = 24 2 + 3+ 3 3 = 9（平方厘米）
答：图中阴影部分面积是 9 平方厘米．
故答案为：9
4．如图，△APT 与△CPT 关于直线PT 对称， A = APT ，延长 AT 交PC 于点 F，当 A = °时，
FTC = C ．
【答案】36
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明
APF = AFP = 2 A，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
【详解】解：QVAPT 与△CPT 关于直线PT 对称，
\ A = C，TA = TC， APT = CPT ，
Q A = APT ，
\ A = C = APT = CPT ，
Q FTC = C，
\ AFP = C + FTC = 2 C = 2 A，
Q A + APF + AFP =180°，
\5 A =180°，
\ A = 36°，
故答案为：36．
5．如图，在正方形网格上有一个VABC ．
(1)画VABC 关于直线MN 的对称图形（不写画法）；
(2)若网格上的每个小正方形的边长为 1，求VABC 的面积．
(3)在直线MN 上求作一点 P，使PA + PB 最小．
【答案】(1)见解析
(2)8.5
(3)见解析
【分析】本题考查了作图—轴对称变化、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
（1）先找出点A 、点 B 、点C 关于直线MN 的对称点，再依次连接对称点即可．
（2）先求出VABC 所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减
去三个直角三角形的面积即可．
（3）先找出点A 关于直线MN 的对称点 A ，连接BA 与直线MN 相交于点 P ，即PA + PB 的最小值就是线段
BA 的长度．
【详解】（1）解：如图，VA B C 即为所求；
1
（2）解：VABC 的面积 = 4 5 - 1 4
1
- 1 1 4 - 3 5 = 20 - 2 - 2 - 7.5 = 8.5
2 2 2 ．
（3）解：如图，点 P 即为所求．
PA + PB = PA + PB A B，故PA + PB 最小为 A B．
题型 05 台球桌面上的轴对称问题
1．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的
方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　）
A．1 号袋 B．2 号袋 C．3 号袋 D．4 号袋
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性
质作出球的运动路线，即可进行判断．
【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
\ 该球最后落入 2 号袋．
故选：B．
2．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示， 1 = 2，若 3 = 35°，
为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证 1为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】C
【分析】根据图形得出 2的度数，即可求出 1的度数．
【详解】解：Q 2 + 3 = 90°， 3 = 35°，
\ 2 = 55°，
Q 1 = 2，
\ 1 = 55° ，
故选：C．
【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
3．如图，桌球的桌面上有 M，N 两个球，若要将 M 球射向桌面的一边，反弹一次后击中 N 球，则 A，B，
C，D，4 个点中，可以反弹击中 N 球的是 点．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下．
【详解】解：如图，
可以瞄准点D击球．
故答案为：D．
4．如图，在 8×4 的长方形 ABCD 网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于 AB 边上格点 P 处，将
发光电子沿 PR 方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的 BC 边时发生反弹，设定此时为发光电子第 1
次与长方形的边碰撞（点 R 为第 1 次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长
方形的边共碰撞了 2021 次，则它与 AB 边碰撞次数是
【答案】673
【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过 6 次反射后，发光
电子回到起始的位置，即可求解．
【详解】解：如图，
根据图形可以得到：每 6 次反弹为一个循环组依次循环，
经过 6 次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与 AB 边的碰撞有 2 次，
∵2021÷6=336…5，
当点 P 第 2021 次碰到长方形的边时为第 336 个循环组后的第 5 次反弹，
∴它与 AB 边的碰撞次数是=336×2+1=673 次，
故答案为：673．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每 6 次反弹为一个循环组依次循环是解题的关
键．
5．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书 39 页的做一做的内容
如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，
2 + 3 = 90°, 1 = 2．
（1）若 l = 60°，则 3 = _____ °；
（2） ADE 的余角是_________；
【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON 叫做法线，入射光线与法线的夹角 i叫做入射角，反射
光线与法线的夹角 r 叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射
光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反
射定律（rfectionlaw）．
【数学推理】
（3）如图 1，有两块平面镜OM ,ON ，且OM ^ ON ，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线CD．由
以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：
1 = 2, 3 = 4．在这样的条件下，求证： AB∥CD．
【尝试探究】
（4）两块平面镜OM ,ON ，且 MON = ，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线CD．如图 2，光线
AB 与CD相交于点E ，则 BEC = _________；（用含有字母 的式子表示）
【答案】（1）30；（2） ADE 的余角是： ADC, 3；（3）见解析（4）180° - 2 ；
【分析】（1）根据轴对称性质求解即可；
（2）根据余角的定义求解即可；
（3）根据反射定律得 1 = 2， 3= 4，又∠2 +∠3 = 90°，得出 DCB + ABC =180°，由平行线的判定
即可得出结论；
（4）根据 1 = 2， 3= 4， 2 + 3 =180° - ，得出 1+ 4 =180° - ，根据
1+ 2 + ABC + 3 + 4 + DCB =180° +180° = 360°，证得 ABC + DCB = 2 ，根据三角形内角和定理求
解即可．
【详解】解：（1）由题意得： 2 = 1 = 60°，CD ^ EF ，
∴ CDF = 2 + 3 = 90°，
∴ 3 = 90° - 2 = 90° - 60° = 30°．
（2）证明：∵CD ^ EF
∴ CDE = ADE + ADC = 90°， CDF = 2 + 3 = 90°，
∵ ADE = 2
∴ ADE + 3 = 90°
∴ ADE 的余角是 ADC ， 3．
（3）QOM ^ ON ，
∴ MON = 90°，
∴∠2 +∠3 = 90°，
由反射定律得： 1 = 2， 3= 4，
∴ 1+ 2 + 3 + 4 = 2( 2 + 3) =180°，
∵ 1+ ABC + 2 + 3 + BCD + 4 = 180° +180° = 360°，
∴ ABC + BCD =180°，
∴ AB∥CD ；
（4）Q 1 = 2， 3= 4， 2 + 3 =180° - ，
\ 1+ 4 =180° - ，
Q 1+ 2 + ABC + 3 + 4 + DCB = 180° +180° = 360°，
\ ABC + DCB = 2 ，
Q BEC + ABC + DCB = 180°，
\ BEC = 180° - 2 ．
【点睛】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌
握余角的定义：两角的和等于 90 度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键．
题型 06 轴对称中的光线反射问题
1．如图，两条平行直线 a，b，从点光源 M 射出的光线射到直线 a 上的 A 点，入射角为15°，然后反射光线
射到直线 b 上的 B 点，当这束光线继续从 B 点反射出去后，反射光线与直线 b 所夹锐角的度数为（　　）
A．30° B． 25° C． 20° D．15°
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的
夹角相等”得到 =15°，由平行线的性质可得 ABC = 15°，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题
的关键．
【详解】解：如图，
∵从点光源M 射出的光线射到直线 a上的 A 点，入射角为15°，然后反射光线射到直线b 上的 B 点，
∴ =15°，
∵ a∥b，
∴ ABC = =15° ，
∴当这束光线继续从 B 点反射出去后，反射光线与直线b 的夹角度数为15°．
故选：D
2．如图，在空心圆柱口放置一面平面镜EF ，EF 与水平线CD的夹角 EBC = 70°，入射光线 AB 经平面镜
反射后反射光线为 BM （点A ，B ，C ，D，E ，F ，M 在同一竖直平面内），已知 ABE = FBM ．若要
使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线 AB 与水平线CD的夹角 ABC 的度数调整为
（　　）
A．35° B． 40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，轴对称的性质；根据已知可得 CBM = 90°，进而求得 FBM ，
根据对称可得 ABE = 20°，进而即可求解．
【详解】解：由题意，知 CBM = 90°，
∴ FBM =180° - 70° - 90° = 20°．
∴ ABE = 20°．
∴ ABC = EBC - ABE = 70° - 20° = 50°，
故选：C．
3．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中 1叫做入射角， 2叫做反射角，如果每
次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．
【答案】C 号袋
【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案．
【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中C 号袋．
故答案为：C 号袋．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线．
4．如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB 、OA反射后，沿EF 方向射出，已知 AOB =120°，
CDB = 20°，则 AEF = ．
【答案】40°/40 度
【分析】根据入射角等于反射角，可得 CDB = EDO, DEO = AEF ，根据三角形内角和定理求得
OED = 40°，进而即可求解．
【详解】解：依题意， CDB = EDO, DEO = AEF ，
∵ AOB =120°， CDB = 20°，
\ CDB = EDO = 20°，
∴ OED =180 - ODE - AOB = 40°，
\ AEF = DEO = 40°．
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
5．如图所示，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB ，OA反射后，沿EF 方向射出．
(1)画出DE ，EF ．
(2)若 AOB =120°， CDB = 20°，则 AEF = ________．
【答案】(1)见解析
(2) 40°
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质即可作图；
（2）根据入射角等于反射角，可得 CDB = EDO， DEO = AEF ，根据三角形内角和定理求得 OED = 40°，
进而即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，DE ，EF 即为所求，
；
（2）解：由轴对称的性质可知 CDB = EDO = 20°．
在VOED 中， OED =180° - AOB - EDO =180° -120° - 20° = 40°．
由轴对称性质，得 AEF = OED = 40°．
故答案为： 40°．
题型 07 折叠问题
1．如图，把VABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 的外面时，此时测得 1 =112°， A = 40° ，
则 2的度数为（ ）
A．32° B．33° C．34° D．36°
【答案】A
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的
关键．
根据折叠的性质得出 A = A = 40°，根据三角形外角的性质得出 DOA = 1- A = 72°，再次利用三角形
外角的性质即可求出 2的度数．
【详解】解：如图，设 A D 与 AC 交于点O，
Q A = 40°，
\根据折叠的性质， A = A = 40°，
Q 1 = DOA + A， 1 =112°，
\ DOA = 1- A =112° - 40° = 72°，
Q DOA = A + 2，
\ 2 = DOA - A = 72° - 40° = 32°，
故选：A ．
2．如图，在长方形 ABCD中， AD =16 ， AB = 8，点M 、 N 分别在 AD 、BC 上，将长方形 ABCD沿MN
折叠，使点A ， B 分别落在长方形 ABCD外部的点 A ，B 处，则阴影部分的图形的周长为（ ）
A．12 B． 24 C． 48 D．56
【答案】C
【分析】此题考查的是求阴影部分的周长，掌握周长的定义和折叠的性质是解决此题的关键．根据周长的
定义和折叠的性质可得出阴影部分的周长即为长方形的周长，从而求出结论．
【详解】解：根据折叠的性质可得： AM = A M ， AB = A B ，BN = B N ，
则阴影部分图形的周长为长方形的周长，
∵在长方形 ABCD中， AD =16 ， AB = 8，
长方形的周长为 16 + 8 2 = 48．
故选 C．
3．如图，在VABC 中，将 B、 C 按如图所示的方式折叠，点 B、C 均落于边BC 上的点 Q 处，MN、EF
为折痕，若 A = 82°，则 MQE = ．
【答案】82° /82 度
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到 MQB + EQC 的度数．
由折叠的性质可知： B = MQB, C = EQC ，根据三角形的内角和为180°，可求出 B + C 的度数，进
而得到 MQB + EQC 的度数，问题得解．
【详解】解：∵线段MN 、EF 为折痕，
\ B = MQB, C = EQC ，
Q A = 82°，
\ B + C = 180° - 82° = 98° ，
\ MQB + EQC = B + C = 98°，
\ MQE =180° - MQB + EQC =180° - 98° = 82°，
故答案为：82°．
4．如图，将一张长方形纸片 ABCD沿对角线BD折叠后，点C 落在点 E 处，连接 BE 交 AD 于F ，再将三角
形DEF 沿DF 折叠后，点E 落在点G 处，若DG 刚好平分 ADB，那么 ADB的度数是 ．
【答案】36° /36 度
【分析】此题考查了角的运算，角平分线的定义，折叠的性质，根据折叠可得∠BDC =∠BDE，
EDF = GDF ，由角平分线的定义可得 BDA = GDF + BDG = 2 GDF ，然后根据长方形的性质及角
的运算可得答案，正确掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：由折叠可知，∠BDC =∠BDE， EDF = GDF ，
∵DG 平分 ADB，
∴ BDG = GDF ，
∴ EDF = BDG，
∴ BDE = EDF + GDF + BDG = 3 GDF ，
∴ BDC = BDE = 3 GDF， BDA = GDF + BDG = 2 GDF ，
∵ BDC + BDA = 90° = 3 GDF + 2 GDF = 5 GDF ，
∴ GDF =18°，
∴ ADB = 2 GDF = 2 18° = 36°，
故答案为：36°．
5．如图，在VABC 中， ∠C = 90o ， B = 20°，点 D 是 AB 边的中点，点 E 在BC 边上（不与点 B、C 重
合），连结DE ，将VDEB沿DE 翻折得到VDEF ，点 B 的对应点为点 F．
(1)当 BDE = 20°时， CEF 的大小为 度．
(2)当DF ^ AB 时，求 CEF 的大小．
(3)当DF∥ AC 时，直接写出 CEF 的大小．
【答案】(1)100
(2)50°
(3) CEF = 70°或110°
【分析】本题考查了轴对称，三角形的内角和定理与外角的性质，平行线的性质．
（1）由三角形的内角和定理求出 DEB，进而由翻折可求出 DEF ，根据三角形外角的性质即可求出 DEC ，
从而根据角的和差即可解答；
（2）当DF ^ AB 时， BDF = 90°，从而由折叠可得 BDE = FDE = 45°，由三角形的内角和定理与翻折
求出 DEF ，根据三角形外角的性质即可求出 DEC ，从而根据角的和差即可解答；
（3）分两种情况讨论，VBDE 向下翻折或向下翻折，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵ BDE = 20°， B = 20°，
∴ DEB =180° - BDE - B =180° - 20° - 20° =140°，
∵VDEB沿DE 翻折得到VDEF ，
∴ DEF = DEB =140° ，
∵ DEC = B + BDE = 20° + 20° = 40°
∴ CEF = DEF - DEC =140° - 40° =100°．
故答案为：100
（2）解：当DF ^ AB 时， BDF = 90°，
由折叠可得 BDE = FDE ，又 BDE + FDE = BDF = 90°
∴ BDE = 45°，
∴ BED =180° - B - BDE =180° - 20° - 45° =115° ，
∴由折叠可得 DEF =∠DEB = 115°，
∵ DEC = BDE + B = 45° + 20° = 65°，
∴ CEF = DEF - DEC =115° - 65° = 50°．
（3）解：∵ C = 90°， B = 20°，
∴ A =180° - B - C =180° - 20° - 90° = 70°．
①如图，若VBDE 向下翻折时，
当DF∥ AC 时，∠BDF = A = 70°，
由折叠可得 BDE = FDE ，又 BDE + FDE = BDF = 90°
∴ BDE = 35°，
∴ BED =180° - B - BDE =180° - 20° - 35° =125°，
∴由折叠可得 DEF = DEB =125°，
∵ DEC = BDE + B = 35° + 20° = 55°，
∴ CEF = DEF - DEC =125° - 55° = 70°；
②如图，若VBDE 向上翻折时，
当DF∥ AC 时， ADF = A = 70°，
∴ BDF =180° - ADF =180° - 70° =110°，
∴ BDE + FDE = 360° - BDF = 250°
由折叠可得 BDE = FDE ，
∴ BDE =125°，
∴ BED =180° - B - BDE =180° - 20° -125° = 35°，
∴由折叠可得 DEF = DEB = 35°，
∴ CEF =180° - DEF - DEB =180° - 35° - 35° =110°；
综上所述， CEF = 70°或110°．
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国救科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.下面四幅作品分别代
表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查轴对称图形的识别，解题关键在于识别图形，根据轴对称图形的概念如果一个图形沿一
条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，即可解答．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项 A 不符合题意．
B、不是轴对称图形，故选项 B 不符合题意．
C、不是轴对称图形，故选项 C 不符合题意．
D、是轴对称图形，故选项 D 符合题意．
故选：D．
2．如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若 2 = 40°，则 1的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．120°
【答案】A
【分析】本题考查了图形的翻折变换以及平行线的性质，根据图形得到角度之间的关系是解题的关键．先
根据图形的翻折变换的性质求出 ECF = 2 = 40°，再求出 BCD =180° - 40° - 40° =100°，最后由平行线
的性质即可得出结论．
【详解】解：延长DC ，如图所示，
根据折叠可知： ECF = 2 = 40°，
∴ BCD =180° - 40° - 40° =100°，
Q纸条的两边互相平行，即 AB∥CD ，
\ 1 =180° - BCD =180° -100° = 80°，
故选：A．
3．如图，在五边形 ABCDE 中， BAE = 142°， B = E = 90°， AB = BC ， AE = DE ．在BC ，DE 上分别
找一点M ， N ，使得VAMN 的周长最小时，则 AMN + ANM 的度数为（　　）
A．76° B．84° C．96° D．109°
【答案】A
【分析】本题考查了最短路线问题．延长 AB 至 A ，使 A B = AB，延长 AE 至 A ，使 A E = AE，则BC 垂
直平分 AA ，DE 垂直平分 AA ，所以 AM = A M ， A N = AN ，VABC 的周长为 AM + MN + AN ，要使其周
长最小，即使 A M + MN + A N 最小，设 MAA = x，则 AMN = 2x，设 NAA = y ，则 ANM = 2y ，在△AA A
中，利用三角形内角和定理，可以求出 x + y = 38°，进一步可以求出 AMN + ANM 的值．
【详解】解：如图，延长 AB 至 A ，使 A B = AB，
延长 AE 至 A ，使 A E = AE，
则BC 垂直平分 AA ，DE 垂直平分 AA ，
\ AM = A M ， AN = A N ，
根据两点之间，线段最短，
当 A ，M ， N ， A 四点在一条直线时， A M + MN + NA 最小，
则 AM + MN + AN 的值最小，
即VAMN 的周长最小，
Q AM = A M ， AN = A N ，
\可设 MAA = MA A = x ， NAA = NA A = y ，
在△AA A 中， x + y = 180° - BAE = 180° -142° = 38°，
Q AMN = MAA + MA A = 2x ， ANM = 2y ，
\ AMN + ANM = 2x + 2y = 76°，
故选：A．
4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN , EM 为折痕，折叠后点 A , B , E 在同一直线上，己知
BEM = 48°，求 A EN 的度数为（ ）
A．32° B．42° C．52° D．64°
【答案】B
【分析】本题主要考查了图形的折叠问题．根据折叠的性质可得 A EN = AEN , B EM = BEM = 48°，
即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得： A EN = AEN , B EM = BEM = 48°，
A EN 180° - 2 BEM∴ = = 42°．
2
故选：B
5．如图，在VABC 中， A = 20° ， C = 85°，点 D 在边 AC 上（如图 1），先将△ABD 沿着BD翻折，使
点 A 落在点 A 处，A B交 AC 于点 E（如图 2），再将VBCE 沿着 BE 翻折，点 C 恰好落在BD上的点C 处（如
图 3），则 BEC 的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．85°
【答案】B
【分析】本题考查翻折后对应角相等，三角形的内角和等于180°，根据翻折后对应角相等得到
ABD = DBE 1= CBE = ABC ，利用已知条件和三角形的内角和等于180°，建立等量关系可求的度数．
3
【详解】解：∵ A = 20° ， C = 85°，
∴ ABC =180° - A - C =180° - 20° -85° = 75°，
由折叠可得 ABD = DBE = CBE
1
= ABC = 25°，
3
∴ BEC = BEC =180° - CBE - C =180° - 25° -85° = 70° ，
故选 B．
6．将VABC 沿着平行于BC 的直线折叠，点 A 落到点 A ，若 C =120°， A = 26° ，则 A DB 的度数为
（ ）
A．108° B．72° C．112° D．120°
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，先由三角形内角和定理和平行
线的性质得到 ADE = B = 34° ，再由折叠的性质可得 A DE = ADE = 34°，据此根据平角的定义可得答
案．
【详解】解：∵ C =120°， A = 26° ，
∴ B =180° - A - C = 34°，
∵DE∥BC ，
∴ ADE = B = 34° ，
由折叠的性质可得 A DE = ADE = 34°，
∴ A DB =180° - A DE - ADE =112°，
故选：C．
7．如图，在VABC 中，AC = 4cm ，M 是 AB 的中点，MN ^ AB 交 AC 于点 N ，△BCN 的周长是7cm ，则BC
的长为 ．
【答案】3cm /3 厘米
【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，由M 是 AB 的中点，MN ^ AB
得MN 垂直平分 AB ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AN = BN ，由△BCN 的周长
= BN + NC + BC = AC + BC ，最后代入即可求解，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质及整体思想
的应用．
【详解】∵M 是 AB 的中点，MN ^ AB ，
∴MN 垂直平分 AB ，
∴ AN = BN ，
∵△BCN 的周长是7cm ，
∴BN + NC + BC = AC + BC = 7cm，
∵ AC = 4cm ，
∴BC = 3cm，
故答案为：3cm ．
8．将一个长方形按如图所示的方式折叠，BE、BD为折痕， ABE 比 CBD小30°，则 CBD = ．
【答案】60°/60 度
【分析】本题主要考查了翻折变换的应用，角平分线的定义，平角的定义，由BD、BE为折痕，则可得
A BE = ABE ， DBC = DBC ，再根据 A BE + ABE + DBC + DBC =180°，结合 CBD - ABE = 30°
即可求解，灵活运用翻折变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵BD、BE为折痕，
∴BD、BE分别平分 CBC 、 ABA ，
∴ A BE = ABE ， DBC = DBC ，
∵ A BE + ABE + DBC + DBC =180°，
∴ ABE + CBD = 90°，
∵ CBD - ABE = 30°，
∴ CBD = 60°，
故答案为：60°．
9．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在
图中标有数字 的格子内．
【答案】3
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，所以阴影应
该涂在标有数字 3 的格子内．
【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，
∴根据题意，阴影应该涂在标有数字 3 的格子内；
故答案为：3．
10．如图，在VABC 中， B = C = 60°，点D、E 分别在边 AB 、BC 上，将DBDE 沿直线DE 翻折，使点
B 落在B1处，DB1、EB1分别交边 AC 于点F 、G ．若 ADF = 80°，则 GEC = °．
【答案】40
【分析】本题主要考查的是翻折变换，由 ADF = 80°，由邻补角的定义可知 BDB1 = 100°，然后由翻折的性
质可求得 BDE = 50°，VBDE 中由三角形的内角和定理可求得 BED = 70°，然后由翻折的性质可知
BEB1 = 140°，从而可求得 GEC = 40°．
【详解】
解：Q ADF = 80°，
∴ BDB1 = 100°，
由翻折的性质可知： BDE = B1DE ，
BDE 1 BDB 1\ = 1 = 100° = 50°2 2 ，
Q B = 60°
∴在VBDE 中， BED = 180° - 50° - 60° = 70°．
由翻折的性质可知： BEB1 = 2 70° = 140°
\ GEC = 180° -140° = 40°．
故答案为： 40°．
11．如图：点 P 为 AOB内一点，分别作出 P 点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2 交OA于 M，交OB
于 N，P1P2 = 27，则VPMN 的周长为 ．
【答案】27
【分析】本题考查轴对称的性质，学会用转化的思想思考问题．证明VPMN 的周长= P1P2 ，可得结论．
【详解】解：如图：连接OP1，OP2，OP，
∵P 点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2 交OA于 M，交OB 于 N，
\ NP = NP2 ，MP = MP1 ，
\△PMN 的周长 = PN + MN + MP = P2 N + NM + MP1 = P1P2 = 27，
故答案为：27．
12．如图，在VABC 中， C = 27°，点D在 AC 的垂直平分线上，将△ABD 沿 AD 翻折后，使点 B 落在点B1
处，线段B1D与 AC 相交于点E ，则 CED = ．
【答案】81°
【分析】本题主要考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟记折叠
的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出 C = DAC = 27°，根据三角
形外角性质求出 ADB = C + DAC = 54°，根据折叠的性质求出 ADB = ADB1 = 54°，根据平角定义求
出 CDE = 72°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵点 D 在 AC 的垂直平分线上，
∴ AD = CD ，
∴ C = DAC = 27°，
∴ ADB = C + DAC = 54°，
∵将△ABD 沿 AD 翻折后，使点 B 落在点B1处，
∴ ADB = ADB1 = 54°，
∵ ADB + ADB1 + CDE =180°，
∴ CDE = 72°，
∴ CED =180° - C - CDE = 81°．
故答案为：81°．
13．画出四边形EFGH 关于直线MN 的轴对称图形．
【答案】图见详解
【分析】本题考查作图—画轴对称图形，熟悉作法是解题关键．
找到四个点关于MN 的对称点，画出对应点，然后连接即可．
【详解】解：找对四个点E，F，G，H 关于MN 的对称点，然后依次连接即可，如图：
．
14．如图，DA、CB 是平面镜前同一发光点 S 发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点 S
的位置，并将光路图补充完整．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射
光线的交点处是点光源所在处．作出BC 和 AD 的入射光线，相交处即为点 S 所在位置．
【详解】解：如图所示：
15．如图，在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点 A、B、C 在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与VABC 关于直线 l 成轴对称的 VA B C
(2)线段CC 被直线 l ；
(3)VA B C 的面积为 ；
(4)在直线 l 上找一点 P， 使PB + PC 的长最短．
【答案】(1)图见解析
(2)垂直平分
(3)3
(4)图见解析
【分析】本题考查轴对称作图：
（1）利用轴对称的性质，画出VA B C 即可；
（2）利用轴对称的性质，作答即可；
（3）借助网格求面积即可；
（4）利用将军饮马模型，画出点 P 即可．
【详解】（1）解：如图，VA B C 即为所求；
（2）∵VABC 和VA B C 关于直线 l 成轴对称，
∴线段CC 被直线 l 垂直平分；
故答案为：垂直平分；
1 1 1
（3）由图可知：VA B C 的面积为 4 2 - 2 2 - 1 2 - 1 4 = 3；
2 2 2
（4）如图，点 P 即为所求；
16．如图，长方形台球桌 ABCD上有两个球 E，F．（保留作图痕迹，工具不限）
(1)请你设计一条路径，使得球 F 撞击台球桌边 AB 反射后，撞到球 E；
(2)请你设计一条路径，使得球 F 连续撞击台球桌边 AB 、BC 反射后，撞到球 E．
【答案】(1) F P E
(2) F M N E
【分析】本题考查轴对称，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型．
（1）作点 F 关于直线 AB 的对称点F ，连接EF 交 AB 于 P，连接FP，点 P 即为所求；
（2）作点 F 关于直线 AB 的对称点F ，点 E 关于BC 的对称点E ，连接E F 交 AB 于 M，交BC 于 N，连
接FM ，EN ，点 M，N 即为所求．
【详解】（1）解：如图 1 中，路径是F P E ．
（2）解：如图 2 中，路径是F M N E ．
17．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的．
(1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？
(2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
(3)请你推断，按此规律下去，第 n 个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
【答案】(1)图案是轴对称图形，有 4 条对称轴
(2)图②是轴对称图形，都有 2 条对称轴；图③是轴对称图形，有 2 条对称轴
(3)第 n 个图案是轴对称图形，有 2 条对称轴
【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】（1）图案是轴对称图形，有 4 条对称轴；
（2）图②是轴对称图形，都有 2 条对称轴；图③是轴对称图形，有 2 条对称轴．
（3）第 n 个图案是轴对称图形，有 2 条对称轴．
18．如图，长方形 ABCD中， BAD = B = D = C = 90°，AD∥BC ，E 为边BC 上一点，将长方形沿 AE
折叠（ AE 为折痕），使点 B 与点F 重合，EG 平分 CEF 交CD于点G ，过点G 作HG ^ EG 交 AD 于点
H ．
(1)请判断HG与 AE 的位置关系，并说明理由．
(2)若 CEG = 20°，求 DHG 的度数．
【答案】(1) HG∥ AE，理由见解析
(2) DHG = 70°．
【分析】此题考查了折叠问题及平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质得 AEB = AEF ，根据角平分线定义及垂直的定义得 AE ^ EG ，最后由平行的判定可
得结论；
（2）由余角的性质得 AEB = 70° ，然后根据平行线的性质可得答案．
【详解】（1）HG∥ AE，理由如下：
∵长方形沿 AE 折叠，
∴ AEB = AEF ，
∵EG 平分 CEF 交CD于点 G，
∴ FEG = CEG ，
∵ AEB + AEF + FEG + CEG =180°，
∴ AEG = AEF + FEG = 90°，
∴ AE ^ EG ，
∵HG ^ ED ，
∴HG∥ AE；
（2）解：∵ CEG = 20°，
∴ AEB = 70° ，
∵长方形 ABCD中， AD∥BC ，
∴ AEB = DAE = 70° ，
∵HG∥ AE，
∴ DHG = DAE = 70°．第 01 讲 图形的轴对称（1 个知识点+7 大题型+18 道强化训练）
课程标准 学习目标
1.图形的轴对称概念； 1、通过学习轴对称图形和关于直线对称，进一步认识
2.生活中的轴对称现象； 几何图形的本质特征。
2、通过学习轴对称图形和关于直线对称的区别和联系，
进一步发展学生抽象概括能力。
知识点 01：轴对称图形相关概念
1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，
这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条
直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系：
区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状 的图形；轴对称说的是两个图形的一种
特殊位置关系。
②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。
联系：①都沿某条直线对折，图形重合。
②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的
两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。
轴对称和轴对称图形的性质
轴对称的性质：
垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
① 由一个平面图形可以得到它关于一条直线 L 成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大
小完全相同）
② 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线 L 的对称点。
③ 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
A'
H
I
D D'
J B'
K C'
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
【即学即练 1】下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【即学即练 2】如图，VABC 与VA B C 关于直线 l 对称，且 A = 78°， C = 48°，则 C 的度数是（　　）
A． 48° B．54° C．74° D．78°
题型 01 轴对称图形的识别
1．下列图形中，是轴对称图形，并且只有 3 条对称轴的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形
2．下列五种图形：①线段 ②角 ③平行四边形 ④正方形 ⑤等腰三角形，是轴对称图形的有 ．（填
序号）
3．习近平主席提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．如图有关环
保的四个图形中，不是轴对称图形的是 ，（填序号）
　 　　 　　
4．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的．
(1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？
(2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
(3)请你推断，按此规律下去，第 n 个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
题型 02 成轴对称的两个图形的识别
1．下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
2．下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是
（ ）
A． B． C． D．
3．下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：
（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有 个．
4．把一个图形沿着 折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形 关于这条直
线 ．这条直线叫做 ．折叠后重合的点叫对应点，也叫 ．
5．如图，与图形 A 成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴．
A． B． C．
D．
题型 03 根据成轴对称图形的特征进行判断
1．下列说法错误的是（ ）
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B．轴对称图形至少有一条对称轴
C．全等三角形一定能关于某条直线对称 D．角是关于它的平分线对称的图形
2．如图，VABC 与VA B C 关于直线MN 对称，BB 交MN 于点O，则下列结论不一定正确的是（　　）
A． AC = A C B．BO = B O C． AA ^ MN D． AB∥B C
3．已知点A 与点 A ，点 B 与点B 都关于直线 l成轴对称，并且点A 、 B 所在的直线与点 A 、B 所在的直线
相交于点 P ，连接 AA ，判断下列结论：① AB = A B ；②点 P 在直线 l上；③直线 l ^ AA ；④PA = PA，其
中正确的结论有 （只填写序号）．
4．如图， A = 20° ， C = 60°，VABC 与VA B C 关于直线 l对称，则 B = ．
5．如图，已知VABC 的三个顶点在格点上．
(1)画出△A1B1C1， 使它与VABC 关于直线MN 对称；
(2)在直线MN 上找出一点 D， 使得 BDM = CDN ，并说明理由．
题型 04 根据成轴对称图形的特征进行求解
1．如图，四边形 ABCD中，AB = AD ，点 B 关于 AC 的对称点 B’恰好落在CD上，若 BAD =100°，则 ACB
的度数为（ ）
A．30° B． 40° C．50° D．60°
2．如图，在五边形 ABCDE 中， BAE = 142°， B = E = 90°， AB = BC ， AE = DE ．在BC ，DE 上分别
找一点M ， N ，使得VAMN 的周长最小时，则 AMN + ANM 的度数为（　　）
A．76° B．84° C．96° D．109°
3．如图，三条边分别是 6 厘米、8 厘米、10 厘米的直角三角形，将它的直角边对折到斜边上去，与斜边相
重合，则图中阴影部分的面积是( )平方厘米．
4．如图，△APT 与△CPT 关于直线PT 对称， A = APT ，延长 AT 交PC 于点 F，当 A = °时，
FTC = C ．
5．如图，在正方形网格上有一个VABC ．
(1)画VABC 关于直线MN 的对称图形（不写画法）；
(2)若网格上的每个小正方形的边长为 1，求VABC 的面积．
(3)在直线MN 上求作一点 P，使PA + PB 最小．
题型 05 台球桌面上的轴对称问题
1．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的
方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　）
A．1 号袋 B．2 号袋 C．3 号袋 D．4 号袋
2．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示， 1 = 2，若 3 = 35°，
为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证 1为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
3．如图，桌球的桌面上有 M，N 两个球，若要将 M 球射向桌面的一边，反弹一次后击中 N 球，则 A，B，
C，D，4 个点中，可以反弹击中 N 球的是 点．
4．如图，在 8×4 的长方形 ABCD 网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于 AB 边上格点 P 处，将
发光电子沿 PR 方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的 BC 边时发生反弹，设定此时为发光电子第 1
次与长方形的边碰撞（点 R 为第 1 次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长
方形的边共碰撞了 2021 次，则它与 AB 边碰撞次数是
5．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书 39 页的做一做的内容
如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，
2 + 3 = 90°, 1 = 2．
（1）若 l = 60°，则 3 = _____ °；
（2） ADE 的余角是_________；
【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON 叫做法线，入射光线与法线的夹角 i叫做入射角，反射
光线与法线的夹角 r 叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射
光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反
射定律（rfectionlaw）．
【数学推理】
（3）如图 1，有两块平面镜OM ,ON ，且OM ^ ON ，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线CD．由
以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：
1 = 2, 3 = 4．在这样的条件下，求证： AB∥CD．
【尝试探究】
（4）两块平面镜OM ,ON ，且 MON = ，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线CD．如图 2，光线
AB 与CD相交于点E ，则 BEC = _________；（用含有字母 的式子表示）
题型 06 轴对称中的光线反射问题
1．如图，两条平行直线 a，b，从点光源 M 射出的光线射到直线 a 上的 A 点，入射角为15°，然后反射光线
射到直线 b 上的 B 点，当这束光线继续从 B 点反射出去后，反射光线与直线 b 所夹锐角的度数为（　　）
A．30° B． 25° C． 20° D．15°
2．如图，在空心圆柱口放置一面平面镜EF ，EF 与水平线CD的夹角 EBC = 70°，入射光线 AB 经平面镜
反射后反射光线为 BM （点A ，B ，C ，D，E ，F ，M 在同一竖直平面内），已知 ABE = FBM ．若要
使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线 AB 与水平线CD的夹角 ABC 的度数调整为
（　　）
A．35° B． 40° C．50° D．60°
3．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中 1叫做入射角， 2叫做反射角，如果每
次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．
4．如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB 、OA反射后，沿EF 方向射出，已知 AOB =120°，
CDB = 20°，则 AEF = ．
5．如图所示，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB ，OA反射后，沿EF 方向射出．
(1)画出DE ，EF ．
(2)若 AOB =120°， CDB = 20°，则 AEF = ________．
题型 07 折叠问题
1．如图，把VABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 的外面时，此时测得 1 =112°， A = 40° ，
则 2的度数为（ ）
A．32° B．33° C．34° D．36°
2．如图，在长方形 ABCD中， AD =16 ， AB = 8，点M 、 N 分别在 AD 、BC 上，将长方形 ABCD沿MN
折叠，使点A ， B 分别落在长方形 ABCD外部的点 A ，B 处，则阴影部分的图形的周长为（ ）
A．12 B． 24 C． 48 D．56
3．如图，在VABC 中，将 B、 C 按如图所示的方式折叠，点 B、C 均落于边BC 上的点 Q 处，MN、EF
为折痕，若 A = 82°，则 MQE = ．
4．如图，将一张长方形纸片 ABCD沿对角线BD折叠后，点C 落在点 E 处，连接 BE 交 AD 于F ，再将三角
形DEF 沿DF 折叠后，点E 落在点G 处，若DG 刚好平分 ADB，那么 ADB的度数是 ．
5．如图，在VABC 中， ∠C = 90o ， B = 20°，点 D 是 AB 边的中点，点 E 在BC 边上（不与点 B、C 重
合），连结DE ，将VDEB沿DE 翻折得到VDEF ，点 B 的对应点为点 F．
(1)当 BDE = 20°时， CEF 的大小为 度．
(2)当DF ^ AB 时，求 CEF 的大小．
(3)当DF∥ AC 时，直接写出 CEF 的大小．
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国救科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.下面四幅作品分别代
表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若 2 = 40°，则 1的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．120°
3．如图，在五边形 ABCDE 中， BAE = 142°， B = E = 90°， AB = BC ， AE = DE ．在BC ，DE 上分别
找一点M ， N ，使得VAMN 的周长最小时，则 AMN + ANM 的度数为（　　）
A．76° B．84° C．96° D．109°
4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN , EM 为折痕，折叠后点 A , B , E 在同一直线上，己知
BEM = 48°，求 A EN 的度数为（ ）
A．32° B．42° C．52° D．64°
5．如图，在VABC 中， A = 20° ， C = 85°，点 D 在边 AC 上（如图 1），先将△ABD 沿着BD翻折，使
点 A 落在点 A 处，A B交 AC 于点 E（如图 2），再将VBCE 沿着 BE 翻折，点 C 恰好落在BD上的点C 处（如
图 3），则 BEC 的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．85°
6．将VABC 沿着平行于BC 的直线折叠，点 A 落到点 A ，若 C =120°， A = 26° ，则 A DB 的度数为
（ ）
A．108° B．72° C．112° D．120°
7．如图，在VABC 中，AC = 4cm ，M 是 AB 的中点，MN ^ AB 交 AC 于点 N ，△BCN 的周长是7cm ，则BC
的长为 ．
8．将一个长方形按如图所示的方式折叠，BE、BD为折痕， ABE 比 CBD小30°，则 CBD = ．
9．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在
图中标有数字 的格子内．
10．如图，在VABC 中， B = C = 60°，点D、E 分别在边 AB 、BC 上，将DBDE 沿直线DE 翻折，使点
B 落在B1处，DB1、EB1分别交边 AC 于点F 、G ．若 ADF = 80°，则 GEC = °．
11．如图：点 P 为 AOB内一点，分别作出 P 点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2 交OA于 M，交OB
于 N，P1P2 = 27，则VPMN 的周长为 ．
12．如图，在VABC 中， C = 27°，点D在 AC 的垂直平分线上，将△ABD 沿 AD 翻折后，使点 B 落在点B1
处，线段B1D与 AC 相交于点E ，则 CED = ．
13．画出四边形EFGH 关于直线MN 的轴对称图形．
14．如图，DA、CB 是平面镜前同一发光点 S 发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点 S
的位置，并将光路图补充完整．
15．如图，在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点 A、B、C 在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与VABC 关于直线 l 成轴对称的 VA B C
(2)线段CC 被直线 l ；
(3)VA B C 的面积为 ；
(4)在直线 l 上找一点 P， 使PB + PC 的长最短．
16．如图，长方形台球桌 ABCD上有两个球 E，F．（保留作图痕迹，工具不限）
(1)请你设计一条路径，使得球 F 撞击台球桌边 AB 反射后，撞到球 E；
(2)请你设计一条路径，使得球 F 连续撞击台球桌边 AB 、BC 反射后，撞到球 E．
17．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的．
(1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？
(2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
(3)请你推断，按此规律下去，第 n 个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
18．如图，长方形 ABCD中， BAD = B = D = C = 90°，AD∥BC ，E 为边BC 上一点，将长方形沿 AE
折叠（ AE 为折痕），使点 B 与点F 重合，EG 平分 CEF 交CD于点G ，过点G 作HG ^ EG 交 AD 于点
H ．
(1)请判断HG与 AE 的位置关系，并说明理由．
(2)若 CEG = 20°，求 DHG 的度数．

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