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第 06 讲 直角三角形（2 个知识点+8 大题型+18 道强化训练）
课程标准 学习目标
1. 掌握直角三角形的概念、性质；
1.直角三角形的概念、性质；
2. 掌握直角三角形的斜边中线定理；
2.斜边的中线定理；
3. 掌握含 30°的直角三角形，30°所对的直角边等于斜
3.30°角所对的直角边等于斜边一半；
边的一半；
知识点 01：直角三角形
角——直角三角形两锐角互余；
边——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
边——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）。a2+b2=c2
30°角所对的直角边等于斜边的一半。
【即学即练 1】如图，在VABC 中， C = 50°， B = 30°，AE 平分 BAC ，点F 为 AE 上一点，FD ^ BC
于点D，则 EFD 的度数为（ ）
A．5° B．10° C．12° D． 20°
【即学即练 2】Rt△ABC 中， C = 90°， A : B = 2 : 3，则 A =（ ）
A．66° B．36° C．56° D．46°
知识点 02：直角三角形的判定
角——有一个角是直角的三角形是直角三角形；
角——有两个角互余的三角形是直角三角形；
边——较小两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形。
边——一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，(但不能直接拿来
判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。)
【即学即练 3 已知：如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，BE 平分 ABC ，ED垂直平分 AB ，D为垂足，若
AC =12，则CE的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【即学即练 4】如图，在VABC 中， C = 90°， AB = 8cm，点 D 为 AB 的中点，则CD =（ ）
A．3cm B． 4cm C．5cm D． 6cm
题型 01 直角三角形的两个锐角互余
1．已知 AB∥CD，点E 在直线 AB 上，点F ,G 在直线CD上，EG ^ EF 于点E, AEF = 40°，则 EGF 的
度数是（ ）
A． 40° B． 45° C．50° D．60°
2．如图，在VABC 中， AE 是角平分线， AD ^ BC ，垂足为 D，点 D 在点 E 的左侧， B=60°，
C = 40°，则 DAE 的度数为（ ）
A．10° B．15° C．30° D． 40°
3．如图，在Rt△ABC 中， A = 90°，点E ，F 分别为 AB ， AC 上一点，将VABC 沿直线EF 翻折至同一
平面内，点A 落在点 A 处， EA ，FA 分别交BC 边于点M ， N ．若 BEA = 80°，则 CFA 的度数为 ．
4．在VABC 中，∠ABC = ACB ，BD是高， ABD = 20°，则 ACB 的度数为 ．
5．如图， AD 是VABC 边BC 上的高， BE 平分 ABC 交 AD 于点 E，若 C = 65°, BED = 68°，求 ABC
和 BAC 的度数．
题型 02 根据 30 度角的直角三角形求角度
1．如图，在VABC 中， ACB = 45°，点M 为边BC 上的动点，当 2AM + CM 最小时，则 CAM 的度数为
（ ）
A．60° B． 45° C．30° D．15°
2．如图，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交 于点
E、D，则 DCE 的值为（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．30°
1
3．在Rt△ABC 中， C = 90°, B = 2 A，点 P 是直线 AB 上一点，且BP = AB，连接CP，则 BPC 的大
2
小是 ．
4．如图，在VABC 中， ACB = 90°， B = 30°，D 为线段 AB 的中点，则 ADC 的度数为 ．
5．如图，在等腰VABC 中， AC = BC ，∠ACB = 4∠B ，点 D是 AC 边的中点， DE ^ AC ，交 AB 于点 E ，
连接CE．
(1)求 BCE 的度数；
(2)求证： AB = 3CE ．
题型 03 根据 30 度角的直角三角形求长度
1
1．如图，在VABC 中， C = 90°， B = 15°， AC = 2，分别以点 A，B 为圆心，大 AB长为半径画弧，
2
两弧相交于点 M，N，作直线MN 交BC 于点D，连接 AD ，则BD的长为（ ）
A． 2 5 B． 2 3 C．4 D．0.5
2．如图，在VABC 中， ABC = 60°，以 AC 为边在VABC 外作等边VACD，过点 D 作DE ^ BC ，垂足为
E，若 AB=5,CE =3，则BC 的长为（　　）
9
A．4 B． C．5 D．
2 3 2
3．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，点 D 在线段BC 上，且 B = 30°， ADC = 60°，CD = 3，则BC 的
长度为 ．
4．如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若 AO = BO = 50cm，CO = DO = 30cm ．现将桌子放
平，两条桌腿需要叉开的角度 AOB应为120°，则 AB 距离地面CD的高为 cm．
5．如图，在VABC 中， AC = BC ， ACB = 120o ，CD是边 AB 上的中线，BD的垂直平分线EF 交BC 于点
E ，交 AB 于点F ，点G 是 AC 上一点，且 CDG =15o．
(1)求证： AG = BD ；
(2)若EF =1，求 AC 的长．
题型 04 含 30 度角的直角三角形的相关题型
1．如图，VABC 中， B=60°，BA = 3， BC = 5 ，点E 在BA的延长线上，点D在BC 边上，且
ED = EC ．若 AE = 4，则BD的边长为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．2 D． 3 +1
2．如图， AOB = 60°，OC 平分 AOB，点 P 是射线OC 上一点，OP = 10，PM ^ OB 于点M ，点 N 是射
线OA上的一个动点，则PN 的长度的最小值是（　　　）
A．5 B．6 C．7 D．4
1
3．如图，在VABC 中， B = 90°， C = 30°，分别以点A ，C 为圆心，大于 AC 为半径作弧，两弧相交
2
于点M ， N ，作直线MN 分别交 AC ，BC 于点D，E ，若BE = 4，则CE = ．
4．如图所示，已知VABC ≌VEBD, ACB = EDB = 90°，点 D 在 AB 上，连接CD并延长交 AE 于点 F．且
过点 E 作EG ^ CB，垂足为点 G．当 ABC 的大小发生变化，其它条件不变时，若
EBG = BAE, BC =12，则 AB = ．
5．如图，在VABC 中， C = 90°， B = 30°．请解答下列问题：
作图一：作 CAB 的角平分线 AD 交BC 于点 D；
作图二：作边 AB 的垂直平分线DE ，分别交BC ， AB 于点 D，E．
(1)选择其中一种作图用尺规完成．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，△ABD 与VACD的面积有什么关系？试说明理由．
题型 05 利用斜边的中线等于斜边的一半求角度
1．如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，D 是斜边 AB 的中点，若∠B = 32°，则 ADC 的度数为（ ）
A．32° B．64° C．58° D．54°
2．如图，一块直角三角板的 60° 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线FD、GH 上，若斜边 AB 与
直线GH 交于 AB 的中点 E ，则 EAD 的大小为（ ）
A．60° B．55° C． 45° D．30°
3．如图，在Rt△ABC 中， CAB = 90o，AD ^ BC ，点 E 是 BC 的中点， EAB = 35o，则 CAD的度数
为 ．
4．如图，在Rt△ABC 中， BAC = 90°， 是BC 边上的中线，若 B = 25°，则 ADB的度数为 °．
5．在VABC 中， AD 是BC
1
边上的高，E 、F 分别为 AC 、 BE 边上的中点，且 BD = AC ．
2
(1)求证：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度数．
题型 06 利用斜边的中线等于斜边的一半求长度
1．如图，三位同学分别站在一个直角三角形 ABC 的三个顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边 AC 的中点O
处，已知 AC = 8m ，则点 B 到目标物的距离是（ ）
A．3m B． 4m C．5m D． 6m
2．如图，公路 AC、BC 互相垂直，公路 AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得 AB 的长为5.6km，则M、C
两点间的距离为（ ）
A． 2.8km B．3.6km C． 4.6km D．5.6km
3．如图，在VABC 中， ABC = 90°，D是 AC 的中点，若 AC = 4，则BD的长为 ．
4．如图，VABC 中， AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点．若 AB =11，AC =10，则四边形 AEDF 的周
长为 ．
1
5．如图，DE 是VABC 的中位线，延长CB 至点 F，使BF = BC ，连接 BE 和DF ．
2
(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形．
(2)若 ABC = 90°，DF = 3，求 AC 的长．
题型 07 斜边的中线等于斜边的一半综合应用
1．如图，在等腰直角三角形 ABC 中， ABC = 90°， D为 AC 边上中点，过 D点作DE ^ DF ，交 AB 于 E ，
交BC 于F ，若 AE = 4，FC = 3，则BF 的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在Rt△ABC 中，BC 的中垂线与BC 交于点D，与 AC 交于点E ，连接 BE ，F 为 BE 的中点，若
DF = 2，则 AE 的长为（ ）
A．8 B．5 C． 4 D．3
3．如图，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BC 的中垂线与BC 交于点 D，与 AC 交于点 E，连接 BE ，F 为 BE
的中点，若DF = 2，则 AE 的长为 ．
4．如图，在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 60°，BD平分 ABC ，点 P 是BD的中点，若CP = 4，则 AD
的长为 ．
5．如图，在VABC 中，CF ^ AB于点F ，BE ^ AC 于点E ，M 为BC 的中点，若EF = 4，BC =10，求△EFM
的周长．
题型 08 锐角互余的三角形是直角三角形
1．如图，在VABC 中， A + B = 90o , D 为 AB 边的中点，若 AB = 8，则CD =（　　）
24
A．3 B．4 C．5 D．
5
2．在下列条件中不能判定VABC 为直角三角形的是（ ）
A． A = 90° - C B． A = B - C
C． A = 2 B = 3 C D． A
1
= B = C
2
3．在一个支架的横杆点O处用一根绳悬挂一个小球A ，小球A 可以摆动，如图，OA表示小球静止时的位
置，当小球从OA摆到OB 位置时，过点 B 作BD ^ OA于点D，当小球摆到OC 位置时，OB 与OC 恰好垂直，
过点C 作CE ^ OA于点E ，测得CE = 24cm,OA = 30cm，则 AD 的长为 cm．
4．如图，在VABC 中， ACB = 90°， A = 28° ，点D在边 AB 上，将VABC 沿CD折叠，使得点 B 落在 AC
边上的点B 处，则 ADB 的度数为 ．
5．如图，点 O 是等边VABC 内一点， AOB =110°， BOC = a ．以OC 为一边作等边三角形OCD，连接
AC 、 AD ．
(1)当a =150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(2)探究：当a 为多少度时，△AOD是等腰三角形？
1．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°， B = 30°， 平分 BAC ，若BC =12，则点D到 的距离是（ ）
A． 2 B．3 C．3.5 D． 4
2．如图，在VABC 中， C = 90°, B = 30°，边 AB 的垂直平分线DE 交 AB 于点 E，交BC 于点 D，
CD = 3，则BC 的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．如图，在VABC中， ACB = 90°，以点C 为圆心， 长为半径作弧交 于点D，分别以 B 、D为圆心，
1
大于 DB ，两弧相交于点E ，作射线 交 于点F ， CAB = 39°，则 BCF = （
2 ）
A．38° B．39° C． 40° D．51°
4．如图，在VABC 中， C = 90°， B = 30°，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB，AC 于点 M 和
1
N，再分别以M，N为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，连接 AP 并延长交BC 于点D，若BD = 4，
2
则CD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．Rt△ABC 中， C = 90°，AC =12，BC = 6，线段PQ = AB，P、Q两点分别在线段 AC 和射线 AX 上移动，
且PQ ^ AB ．若VABC 与△QPA全等，则 AP 的长度为（ ）
A．6 B．12 C．6 或 12 D．以上答案都不对
6．如图，在DABC中， AB = BC ， ABC =120° ，过点 B 作 BD ^ BC ，交 AC 于点D，若 AD =1，则CD的
长度为（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
7．如图， AOB = 15°，点 P 是OA上一点，点Q与点 P 关于OB 对称，QM ^ OA于点M ，若OP = 6，则QM
的长为 ．
8．如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开．若测得 AM 的长为1km，则 M，C
两点间的距离为 km．
9．如图，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°， AB 的垂直平分线交 AB 和 AC 于点 D，E．若CE = 3，则
线段 AE 的长度等于 ．
10．一把直尺和一块直角三角尺（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边BC、AC
分别交于点 D、点 E，直尺的另一边过 A 点且与三角尺的直角边BC 交于点 F，若 CAF = 42°，则 CDE
度数为 ．
11．如图，在等边VABC中， AB = 8， E 是 BA延长线上一点，且 EA = 3， D是 BC 上一点，且 DE = EC ，
则BD的长为 ．
12．如图，在四边形 ABCD中 ABC = ADC = 90°，E 为对角线 AC 的中点，连接 BE 、ED、BD，若
BAD = 56°，则 BED的度数为 ．
13．如图，在VABC中， ABC = 60°．BE平分 ABC ． 为BC 边上的高．若 BEC = 75°，求 DAC
的度数．
14．如图，AD 是VABC 边BC 上的高，BE 平分 ABC 交 AD 于点 E，若 C = 65°, BED = 68°，求 ABC
和 BAC 的度数．
15．如图，Rt△ABC 中， BAC = 90°，点E 是BC 上一点，AB = BE，连接 AE ，BD是 ABC 的角平分线，
交 AE 于点F ，交 AC 于点D，连接DE ．
(1)若 C = 50°，求 CAE 的度数；
(2)求证：DE = AD．
16 1．在VABC 中， AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为 AC 、 BE 边上的中点，且 BD = AC ．
2
(1)求证：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度数．
17．如图， AD ^ BC ，EF ^ BC ， CEF = ADG ．
(1)说明 AC∥GD的理由；
(2)若 BDG = 40° ，求 AEF 的度数．
18．已知，VABC 中， A + 2 B = 180°．
(1)如图①，求证： AB = AC ；
(2)如图②，D是VABC 外一点，连接 AD 、BD，且 AB = AD ，作 CAD的平分线交BD于点E ，若
BAC = 60°，则∠AED = ________；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接CD交 AE 于点F ，若 AF = 2 ，BE = 3，求DE 的长．第 06 讲 直角三角形（2 个知识点+8 大题型+18 道强化训练）
课程标准 学习目标
1. 掌握直角三角形的概念、性质；
1.直角三角形的概念、性质；
2. 掌握直角三角形的斜边中线定理；
2.斜边的中线定理；
3. 掌握含 30°的直角三角形，30°所对的直角边等于斜
3.30°角所对的直角边等于斜边一半；
边的一半；
知识点 01：直角三角形
角——直角三角形两锐角互余；
边——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
边——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）。a2+b2=c2
30°角所对的直角边等于斜边的一半。
【即学即练 1】如图，在VABC 中， C = 50°， B = 30°，AE 平分 BAC ，点F 为 AE 上一点，FD ^ BC
于点D，则 EFD 的度数为（ ）
A．5° B．10° C．12° D． 20°
【答案】B
【分析】先求出 BAE = 50°，由外角的性质求出 FED = 80°，然后根据直角三角形两锐角互余即可求出
EFD 的度数．
【详解】∵ C = 50°， B = 30°，
∴ BAC =180° - C - A =180° - 50° - 30° =100°，
∵ AE 是 BAC 的平分线，
∴ BAE = 50°，
∴ FED = 50° + 30° = 80°，
又∵DF ^ BC ，
∴ FED + EFD = 90°，
∴ EFD = 90° -80° =10°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和等于180°，直角三角形中两个锐角互余，三角形外角的性质，角平分线
的定义，以及垂直的定义，正确识图是解答本题的关键．
【即学即练 2】Rt△ABC 中， C = 90°， A : B = 2 : 3，则 A =（ ）
A．66° B．36° C．56° D．46°
【答案】B
【分析】设 A = 2x°，利用直角三角形的两锐角互余列方程解题即可．
【详解】解：设 A = 2x°，则 B = 3x° ，根据直角三角形的两锐角互余可得：
2x + 3x = 90，
解得 x =18，
∴ A = 2x° = 36°，
故选 B．
【点睛】本题考查直角三角形的两锐角互余，掌握运用方程解比例式的题目是解题的关键．
知识点 02：直角三角形的判定
角——有一个角是直角的三角形是直角三角形；
角——有两个角互余的三角形是直角三角形；
边——较小两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形。
边——一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，(但不能直接拿来
判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。)
【即学即练 3 已知：如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，BE 平分 ABC ，ED垂直平分 AB ，D为垂足，若
AC =12，则CE的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得
AE = BE, ABE = CBE = A，再根据三角形的内角和定理可得 CBE = 30°，设 AE = BE = x，则CE =12 - x ，
在RtVBCE 中，根据含 30 度角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：QBE 平分 ABC ，
\ ABE = CBE，
QED 垂直平分 AB ，
\ AE = BE ，
\ ABE = A，
\ ABE = CBE = A，
又Q C = 90° ，
\ ABE + CBE + A = 90°，
解得 CBE = 30°，
设 AE = BE = x，则CE = AC - AE =12 - x ，
Q在RtVBCE 中， C = 90°， CBE = 30°，
\BE = 2CE ，即 x = 2 12 - x ，
解得 x = 8，即 AE = 8，
\CE = AC - AE = 4．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含 30 度角的直角三角形的性质等知识点，
熟练掌握含 30 度角的直角三角形的性质是解题关键．
【即学即练 4】如图，在VABC 中， C = 90°， AB = 8cm，点 D 为 AB 的中点，则CD =（ ）
A．3cm B． 4cm C．5cm D． 6cm
【答案】B
1
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD = AB ，再代入求出答案即可．
2
【详解】解：Q C = 90° ， AB = 8cm，点D是 AB 的中点，
1
\CD = AB 1= 8 = 4(cm)
2 2 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解
此题的关键．
题型 01 直角三角形的两个锐角互余
1．已知 AB∥CD，点E 在直线 AB 上，点F ,G 在直线CD上，EG ^ EF 于点E, AEF = 40°，则 EGF 的
度数是（ ）
A． 40° B． 45° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形
两锐角互余是解题关键．根据平行线的性质得 AEF = EFG = 40°，然后由直角三角形两锐角互余计算即
可．
【详解】解：∵ AB∥CD，
∴ AEF = EFG = 40°，
∵EG ^ EF ，
∴ EGF = 90° - EFG = 50°，
故选：C．
2．如图，在VABC 中， AE 是角平分线， AD ^ BC ，垂足为 D，点 D 在点 E 的左侧， B=60°，
C = 40°，则 DAE 的度数为（ ）
A．10° B．15° C．30° D． 40°
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内
角和定理是解题的关键．利用三角形内角和定理可得 BAC = 80°，结合 AE 是角平分线，可得
BAE = CAE 1= BAC = 40°，再利用直角三角形的两锐角互余，可求得 BAD = 30°，由此可求 DAE
2
的度数．
【详解】解：Q B=60°， C = 40°，
\ BAC =180° - 60° - 40° = 80°，
Q AE 是角平分线，
\ BAE = CAE
1
= BAC = 40°，
2
又Q AD ^ BC ，
\ BAD = 90° - B = 30°，
\ DAE = BAE - BAD = 40° - 30° =10° ．
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC 中， A = 90°，点E ，F 分别为 AB ， AC 上一点，将VABC 沿直线EF 翻折至同一
平面内，点A 落在点 A 处， EA ，FA 分别交BC 边于点M ， N ．若 BEA = 80°，则 CFA 的度数为 ．
【答案】100° /100 度
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）．先根据平角定义可得 AEA = 100°，然后利用折叠的性质可得：
1
AFA = 2 AFE ， AEF = A EF = AEA = 50°2 ，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得
AFE = 90° = 40° ，
进而可得 AFA = 80°，最后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：Q BEA = 80°，
\ AEA = 180° - BEA = 100°，
1
由折叠得： AFA = 2 AFE ， AEF = A EF = AEA = 50°2 ，
Q A = 90°，
\ AFE = 90° - AEF = 40°，
\ AFA = 2 AFE = 80°，
\ CFA = 180° - AFA = 100°，
故答案为：100°．
4．在VABC 中，∠ABC = ACB ，BD是高， ABD = 20°，则 ACB 的度数为 ．
【答案】55°或35°
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．分两种情况：当点 D
在CA的延长线上时；当点 D 在CA边上时，结合三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵如图，当点 D 在CA的延长线上时， ADB = 90°，
∵ ABD = 20°，
∴ BAD = 90° - ABD = 70°，
∵∠ABC = ACB ， BAD = ABC + ACB，
ACB 1∴ = BAD = 35°；
2
如图，当点 D 在CA边上时， ADB = 90°，
∵ ABD = 20°，
∴ BAD = 90° - ABD = 70°，
∵∠ABC = ACB ， BAD + ABC + ACB =180°，
1
∴ ACB = 180° - BAD = 55°；
2
综上所述， ACB 的度数为55°或35°．
故答案为：55°或35°
5．如图， AD 是VABC 边BC 上的高， BE 平分 ABC 交 AD 于点 E，若 C = 65°, BED = 68°，求 ABC
和 BAC 的度数．
【答案】 ABC = 44°， BAC = 71°
【分析】此题考查了三角形内角和定理，利用角平分线和直角三角形的性质．根据 AD 是VABC 边BC 上的
高，可得 EBD = 22°，再由角平分线的定义，可得 ABC = 2 EBD = 44°，然后根据三角形内角和定理，
即可求解．
【详解】解：∵ AD 是VABC 边BC 上的高，
∴ ADB = ADC = 90°，
∴ BED + EBD = 90°，
∵ BED = 68°，
∴ EBD = 22°，
∵ BE 平分 ABC ，
∴ ABC = 2 EBD = 44°，
∵ ABC + BAC + C =180°，
∵∠C = 65°，
∴ BAC = 71°．
题型 02 根据 30 度角的直角三角形求角度
1．如图，在VABC 中， ACB = 45°，点M 为边BC 上的动点，当 2AM + CM 最小时，则 CAM 的度数为
（ ）
A．60° B． 45° C．30° D．15°
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出
辅助线，熟练掌握相关的性质．在BC 下方作 BCN = 30°，过点 A 作 AF ^ CN 于点 F，过点 M 作ME ^ CN
1
于点 E，根据含 30 度角的直角三角形的性质得出ME = CM2 ，根据
2AM + CM = 2 AM
1
+ CM ÷ = 2 AM + ME ，两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当A 、M、E 三点
è 2
共线，且 AE ^ CN 时， AM + ME 最小，即 2AM + CM 最小，求出此时 CAM 的度数即可．
【详解】解：在BC 下方作 BCN = 30°，过点 A 作 AF ^ CN 于点 F，过点 M 作ME ^ CN 于点 E，如图所
示：
则ME
1
= CM
2 ，
2AM CM 2 AM 1∴ + = + CM

÷ = 2 AM + ME ，
è 2
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当A 、M、E 三点共线，且 AE ^ CN 时， AM + ME 最小，即 2AM + CM 最小，
∴当点 E 在点 F 时， 2AM + CM 最小，
∵ AFC = 90°， ACE = ACB + BCE = 45° + 30° = 75° ，
∴ CAF = 90° - 75° = 15°，
即此时 CAM =15°．
故选：D．
2．如图，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交 于点
E、D，则 DCE 的值为（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．30°
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，高的性质，根据三角形内角和定理可得
B = 60°，根据高的性质可得 BCD = 30°，根据角平分线的性质可得 BCE = 45°，根据
DCE = BCE - BCD 即可求解．
【详解】解：∵VABC中， ACB = 90°， A = 30°，
∴ B = 60°，
∵ E是 ACB 的角平分线， 是高，
∴ BCE
1
= ACB = 45°， BCD = 30°，
2
∵ DCE = BCE - BCD = 45° - 30° =15°，
∴ DCE的值为15°，
故选：A ．
3．在Rt△ABC 中， C = 90°, B = 2 A，点 P 是直线 AB 上一点，且BP
1
= AB，连接CP，则 BPC 的大
2
小是 ．
【答案】60°或30°/30°或60°
【分析】本题考查了含 30 度直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，利用了分类讨论的思想，
分两种情况考虑：当点 P 在线段 AB 上时，如图 1 所示，当点 P 在 AB 延长线上时，如图 2 所示，求出所求
角度数即可，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
【详解】∵ C = 90°, B = 2 A，
A 180° - 90°∴ = = 30°，
1+ 2
当点 P 在线段 AB 上时，如图 1 所示：
1
在Rt△ABC 中， A = 30°，BP = AB
2
∴BC
1
= AB,CP 1= AB ，即BC = BP = CP ，
2 2
∴VBCP 为等边三角形，此时 BPC = 60°；
当点 P 在 AB 延长线上时，如图 2 所示，
同理可得BC = BP ，
∵ ABC = 60°，
∴ BCP = BPC = 30° ，
综上， BPC = 30°或60°，
故答案为：30°或60°．
4．如图，在VABC 中， ACB = 90°， B = 30°，D 为线段 AB 的中点，则 ADC 的度数为 ．
【答案】60°/60 度
【分析】先根据三角形内角和定理得出 A = 60°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得出 AC
1
= AB，
2
1
根据中点得出 AD = AB，推出 AD = AC ，得出VACD是等边三角形，即可得出答案．
2
【详解】解：∵ ACB = 90°， B = 30°，
1
∴ A = 60°， AC = AB，
2
∵D 为线段 AB 的中点，
∴ AD
1
= AB，
2
∴ AD = AC ，
∴VACD是等边三角形，
∴ ADC = 60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，30 度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解题意是解题
的关键．
5．如图，在等腰VABC 中， AC = BC ，∠ACB = 4∠B ，点 D是 AC 边的中点， DE ^ AC ，交 AB 于点 E ，
连接CE．
(1)求 BCE 的度数；
(2)求证： AB = 3CE ．
【答案】(1) BCE = 90° ；
(2)证明见解析．
【分析】（1）证明VECD≌VEAD ，可得 A = ECD，设 B = x ，可得 BEC = 2x ，得出 x + 2x + 3x =180°，
解得 x = 30°，则 BCE 可求出；
（2）由直角三角形的性质可得 BE = 2CE ， AE = CE ，则结论可得出．
【详解】（1）解： Q点D是 AC 边的中点，DE ^ AC ，
\ EDC = EDA = 90°，DC = DA，
QED = ED ，
\VECD≌VEAD SAS ，
\ A = ECD ，
设 B = x ，
∵ AC = BC ，
\ B = A = x，
\ BEC = A + ECA = 2x，
Q ACB = 4 B，
\ BCE = 3x，
Q B + BEC + BCE = 180°，
\ x + 2x + 3x = 180°，解得 x = 30°，
\ BCE = 90°；
（2）解：Q B = 30°， BCE = 90°，
\BE = 2CE ，
QCE = AE ，
\ AB = BE + AE = 3CE ．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和
定理等知识．熟练掌握运用基础知识是解题的关键．
题型 03 根据 30 度角的直角三角形求长度
1
1．如图，在VABC 中， C = 90°， B = 15°， AC = 2，分别以点 A，B 为圆心，大 AB长为半径画弧，
2
两弧相交于点 M，N，作直线MN 交BC 于点D，连接 AD ，则BD的长为（ ）
A． 2 5 B． 2 3 C．4 D．0.5
【答案】C
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质与作法得出 AD = BD ，再利用等腰三角形的性质以及直角三角形
的性质得出 AD 的长．
1
【详解】解：Q分别以点A 、B 为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 交
2
BC 于点D，
\MN 垂直平分 AB ，
\ AD = BD ，
\ DAB = B =15°，
\ ADC = 30°，
Q C = 90° ， AC = 2，
\ AD = 2AC = 4，
∴BD = 4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了基本作图，三角形的外角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确掌
握线段垂直平分线的性质是解题关键．
2．如图，在VABC 中， ABC = 60°，以 AC 为边在VABC 外作等边VACD，过点 D 作DE ^ BC ，垂足为
E，若 AB=5,CE =3，则BC 的长为（　　）
9
A．4 B． C．5 D．
2 3 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．根据
ABC = 60°以及VACD是等边三角形，可证得 CAB = DCE ，过点 C 作CP ^ AB于点 P，再证明
VDCE≌VCAP，可得CE=AP=3，从而得到BP = AB - AP = 2．在Rt△BPC 中，再由直角三角形的性质，即
可求解．
【详解】解：∵ ABC = 60°，
∴ CAB + ACB=120°．
∵VACD是等边三角形，
∴ AC = CD, ACD = 60°．
∴ ACB + DCE =120°．
∴ CAB = DCE ．
过点 C 作CP ^ AB于点 P，
∴ APC = BPC = 90° ．
∴ BCP = 30°，
∵DE ^ BC ，
∴ DEC = 90°．
在△DCE 和VCAP 中，
∵ DEC = CPA, CAP = DCE, DC = AC ，
∴VDCE≌VCAP AAS ．
∴CE=AP=3．
∵ AB = 5，
∴BP = AB - AP = 2．
在Rt△BPC 中， BCP = 30°，
∴BC=2BP=4 ．
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，点 D 在线段BC 上，且 B = 30°， ADC = 60°，CD = 3，则BC 的
长度为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，根据三角形
外角的性质可得∠BAD =∠B，从而得到BD = AD ，再求出 CAD = 30°，然后根据直角三角形的性质可得
BD = AD = 2CD = 6，进而求解即可．
【详解】解：∵ B = 30°， ADC = 60°，
∴ BAD = ADC - B = 30°，
∴∠BAD =∠B，
∴BD = AD ，
在RtVADC 中， C = 90°， ADC = 60°，
∴ CAD = 30°，
∴BD = AD = 2CD = 6，
∴BC = BD + CD = 9．
故答案为：9．
4．如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若 AO = BO = 50cm，CO = DO = 30cm ．现将桌子放
平，两条桌腿需要叉开的角度 AOB应为120°，则 AB 距离地面CD的高为 cm．
【答案】40
【分析】本题考查含 30 度角直角三角形的性质，30 度角所对的直角边长度等于斜边的一半，也考查了等腰
三角形的性质和三角形内角和定理，连接CD，过点 D 作DE ^ AB于点 E．先求出 AD ，根据三角形内角和
定理和等边对等角求出∠A =∠B = 30° ，由含 30 度角直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接CD，过点 D 作DE ^ AB于点 E．
∵ AO = BO = 50cm，CO = DO = 30cm ，
∴ AD = OA + OD = 50 + 30 = 80 cm ．
∵ AO = BO ， AOB =120°，
A B 180° -120°∴ = = = 30°．
2
1 1
∴在RtVADE 中，DE = AD = 80 = 40 cm ．
2 2
故答案为：40．
5．如图，在VABC 中， AC = BC ， ACB = 120o ，CD是边 AB 上的中线，BD的垂直平分线EF 交BC 于点
E ，交 AB 于点F ，点G 是 AC 上一点，且 CDG =15o．
(1)求证： AG = BD ；
(2)若EF =1，求 AC 的长．
【答案】(1)详见解析
(2) 4
【分析】（1）根据等腰三角形性质得 A = B = 30°,CD ^ AB, AD = BD， ACD = BCD = 60°，由此可得
ADG = AGD = 75°，进而得 AG = AD，据此可得出结论；
（2）根据线段垂直平分线性质得DE = BE, EF ^ BD，则 EDB = B = 30°，进而得 CED = 60°，从而得
VCDE为等边三角形，则CE = DE = BE ，在RtVBEF 中根据EF =1, B = 30°得BE = 2，由此得BC = 4，进
而可得 AC 的长．
【详解】（1）证明：在VABC中， AC = BC， ACB =120°
A B 1\ = = 180° - ACB = 30°
2
QCD 是边 上的中线
1
\CD ^ AB， AD = BD ， ACD = BCD = ACB = 60°
2
\ ADC = 90°
Q CDG =15°
\ ADG = ADC - CDG = 75°
\ AGD =180° - A + ADG =180° - 30° + 75° = 75°
\ ADG = AGD = 75°
\ AG = AD
\ AG = BD
（2）QEF 是线段 的垂直平分线
\DE = BE, EF ^ BD
\ EDB = B = 30°
\ CED = EDB + B = 60°
Q BCD = 60°
\VCDE 为等边三角形
\CE = DE
\CE = BE
在RtVBEF 中，EF =1， B = 30°
\BE = 2EF = 2
\CE = BE = 2
\BC = CE + BE = 4
\ AC = BC = 4
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及含30度角的直角三角形，
熟练掌握等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形是解决问题的关键．
题型 04 含 30 度角的直角三角形的相关题型
1．如图，VABC 中， B=60°，BA = 3， BC = 5 ，点E 在BA的延长线上，点D在BC 边上，且
ED = EC ．若 AE = 4，则BD的边长为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．2 D． 3 +1
【答案】C
【分析】本题考查了含 30 度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．过点E 作EF ^ BC 于F ．先在
Rt△BEF 中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BF
1
= BE = 3.5，于是CF = BC - BF =1.5，再根
2
据等腰三角形三线合一的性质得出DC = 2CF = 3，然后根据BD = BC - DC 即可求解．
【详解】解：过点E 作EF ^ BC 于F ．
在Rt△BEF 中，Q BFE = 90°， B=60°，
\ BEF = 30°，
∵ AE = 4，AB = 3，BE = AE + AB，
BF 1\ = BE = 3.5，
2
\CF = BC - BF = 5 - 3.5 =1.5．
QED = EC ，EF ^ BC 于F ，
\DC = 2CF = 3，
\ BD = BC - DC = 5 - 3 = 2．
故选：C．
2．如图， AOB = 60°，OC 平分 AOB，点 P 是射线OC 上一点，OP = 10，PM ^ OB 于点M ，点 N 是射
线OA上的一个动点，则PN 的长度的最小值是（　　　）
A．5 B．6 C．7 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了垂线段最短和角平分线性质，含 30 度直角三角形性质；根据垂线段最短得出当PN ^ OA
时，PN 的值最小，求出 MOP = 30° ，再求出PN = PM 的值即可．
【详解】当PN ^ OA时，PN 的值最小，根据垂线段最短，
∵ AOB = 60°，OC 平分 AOB，PM ^ OB
∴ MOP = 30° ，PN = PM ，
∵OP = 10，
∴PM
1
= OP = 5，
2
∴PN 的最小值是 5，
故选：A．
1
3．如图，在VABC 中， B = 90°， C = 30°，分别以点A ，C 为圆心，大于 AC 为半径作弧，两弧相交
2
于点M ， N ，作直线MN 分别交 AC ，BC 于点D，E ，若BE = 4，则CE = ．
【答案】8
【分析】直接利用基本作图方法结合线段垂直平分线的性质得出 AD = DC ，即可得出答案．
此题主要考查了基本作图，含 30 度角直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，正确得出DC
的长是解题关键．
【详解】解：如图，连接 AE ，
由基本作图方法得出：MN 垂直平分线段 AC ，
∴ AE = CE ，
\ C = CAE = 30° ，
在Rt△ABC 中，
Q B = 90°， C = 30°，
\ BAC = 60°，
\ BAE = 30°，
\CE = AE = 2BE = 8，
故答案为：8．
4．如图所示，已知VABC ≌VEBD, ACB = EDB = 90°，点 D 在 AB 上，连接CD并延长交 AE 于点 F．且
过点 E 作EG ^ CB，垂足为点 G．当 ABC 的大小发生变化，其它条件不变时，若
EBG = BAE, BC =12，则 AB = ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等．根据全等
三角形的性质，可得 AB = BE, BD = BC =12, ABC = EBD ，从而得到 BAE = AEB ，再由
EBG = BAE ，可得 EBG = BEA，从而得到 AE∥BC ，继而得到 ABC = 60°，可得到 BAC = 30°，
再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵△ABC ≌△EBD，
∴ AB = BE, BD = BC =12, ABC = EBD ，
∴ BAE = AEB ，
∵ EBG = BAE ，
∴ EBG = BEA，
∴ AE∥BC ，
∴ BAE = ABC ，
∵ EBG + ABC + ABE =180°，
∴ ABC = 60°，
∴ BAC = 30°，
∴ AB = 2BC = 24．
故答案为：24
5．如图，在VABC 中， C = 90°， B = 30°．请解答下列问题：
作图一：作 CAB 的角平分线 AD 交BC 于点 D；
作图二：作边 AB 的垂直平分线DE ，分别交BC ， AB 于点 D，E．
(1)选择其中一种作图用尺规完成．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，△ABD 与VACD的面积有什么关系？试说明理由．
【答案】(1)见解析
S 1(2) VACD = S2 VABD
；理由见解析
【分析】（1）根据尺规作一个内角平分线和垂直平分线的方法进行作图即可；
（2）根据垂直平分线的性质，角平分线的性质，结合三角形面积公式进行解答即可．
【详解】（1）解：作图一： AD 即为所求作的 CAB 的角平分线，如图所示：
作图二：DE 即为所求作的线段 AB 的垂直平分线，如图所示：
（2）解：∵在VABC 中， C = 90°， B = 30°，
∴ AB = 2AC ， BAC = 90° - 30° = 60°，
作图一：过点 D 作DE ^ AB与点 E，如图所示：
∵ AD 平分 BAC ， C = 90°，DE ^ AB，
∴CD = DE ，
S 1∵ VACD = AC ×CD ， S
1
VABD = AB × DE ，2 2
1
S AC ×CDVACD 2 AC 1∴ = 1 = = ，SVABD AB × DE AB 2
2
S 1∴ VACD = S ；2 VABD
作图二：连接 AD ，如图所示：
∵DE 垂直平分 AB ，
∴ AD = BD ，
∴ BAD = B = 30°，
∴ CAD = 60° - 30° = 30°，
∴ CAD = BAD ，
∴ AD 平分 BAC ，
∵ C = 90°，DE ^ AB，
∴CD = DE ，
∵ S
1 1
VACD = AC ×CD ， SVABD = AB × DE ，2 2
1
S AC ×CDVACD 2 AC 1∴ = = = ，
S 1VABD AB × DE AB 2
2
∴ S
1
VACD = S2 VABD
．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线和垂直平分线，角平分线的性质，垂直平分线的性质，角平分线
的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线性质和角平分线的性质．
题型 05 利用斜边的中线等于斜边的一半求角度
1．如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，D 是斜边 AB 的中点，若∠B = 32°，则 ADC 的度数为（ ）
A．32° B．64° C．58° D．54°
【答案】B
【分析】此题考查了直角三角的性质及三角形的外角性质，根据直角三角形的性质得CD = AD = BD，由等
腰三角形性质结合三角形外角性质可得答案．掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题的关键 ．
【详解】解：∵ ACB = 90°，D 是 AB 的中点，
∴CD = AD = BD，
∴ DCB = B = 32°，
∴ ADC = 2 B = 64°．
故选：B．
2．如图，一块直角三角板的 60° 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线FD、GH 上，若斜边 AB 与
直线GH 交于 AB 的中点 E ，则 EAD 的大小为（ ）
A．60° B．55° C． 45° D．30°
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，平行线的性质，先由直角三角形
1
斜边上的中线等于斜边的一半得到CE = AE = AB，进而证明VCAE 是等边三角形，得到 CEA = 60°，则
2
由平行线的性质可得∠EAD =∠AEC = 60°．
【详解】解：∵斜边 AB 与直线GH 交于 AB 的中点 E ，
CE AE 1∴ = = AB，
2
∵ CAE = 60°，
∴VCAE 是等边三角形，
∴ CEA = 60°，
∵ AD CE ，
∴∠EAD =∠AEC = 60°，
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC 中， CAB = 90o，AD ^ BC ，点 E 是 BC 的中点， EAB = 35o，则 CAD的度数
为 ．
【答案】35° /35 度
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 三角形内角和定理，由直角三角形斜边
的中线等于斜边的一半可得出 AE = BE ， 根据等边对等角可得出 B = EAB = 35°， 根据三角形内角和可
得出 C =180° - CAB - B = 55°，最后再利用三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：∵在Rt△ABC 中， CAB = 90o，E 是 BC 的中点，
∴ AE = BE ，
∴ B = EAB = 35°，
∴ C =180° - CAB - B = 55°，
∵ AD ^ BC，
∴ ADC = 90°，
∴ CAD =180° - C - ADC = 35°，
故答案为：35°
4．如图，在Rt△ABC 中， BAC = 90°， 是BC 边上的中线，若 B = 25°，则 ADB的度数为 °．
【答案】130
【分析】根据直角三角形的性质得到DA = DB ，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是直角三角
形的性质，三角形内角和定理的应用，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：在Rt△ABC 中， BAC = 90°， AD 是BC 边上的中线，
1
\ DA = DB = BC
2 ，
\ B = BAD ，
Q B = 25°，
\ BAD = B = 25°，
\ ADB = 180° - 25° - 25° = 130°．
故答案为：130．
5．在VABC 中， AD 是BC
1
边上的高，E 、F 分别为 AC 、 BE 边上的中点，且 BD = AC ．
2
(1)求证：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度数．
【答案】(1)详见解析
(2) 71°
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线
（1）连接DE ，根据垂直定义可得 ADC = 90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得
DE = CE 1= AC ，从而可得BD = DE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
2
（2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得 C = 38°，然后利用等腰三角形的性质可得 C = EDC = 38°，
从而利用平角定义可得 BDE = 142°，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）证明：连接DE ，
Q AD ^ BC ，
\ ADC = 90°，
QDE 是 AC 的中线，
\ DE = CE 1= AC
2 ，
QBD 1= AC ，
2
\BD = DE，
Q点F 是 BE 的中点，
\DF ^ BE ；
（2）解：Q ADC = 90°， DAC = 52°，
\ C = 90° - DAC = 90° - 52° = 38°，
QDE = EC ，
\ C = EDC = 38°，
\ BDE = 180° - EDC = 142°，
QBD = DE ，点F 是 BE 的中点，
\ BDF 1= BDE = 71°
2 ，
\ BDF 的度数为 71°．
题型 06 利用斜边的中线等于斜边的一半求长度
1．如图，三位同学分别站在一个直角三角形 ABC 的三个顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边 AC 的中点O
处，已知 AC = 8m ，则点 B 到目标物的距离是（ ）
A．3m B． 4m C．5m D． 6m
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．
【详解】解：由题意得： ABC = 90°，点O为 AC 中点，
OB 1\ = AC = 4m，
2
故选：B．
2．如图，公路 AC、BC 互相垂直，公路 AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得 AB 的长为5.6km，则M、C
两点间的距离为（ ）
A． 2.8km B．3.6km C． 4.6km D．5.6km
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．
【详解】解：由题意得： ACB = 90°，点M 为 AB 的中点，
1
\CM = AB = 2.8km ，
2
故选：A．
3．如图，在VABC 中， ABC = 90°，D是 AC 的中点，若 AC = 4，则BD的长为 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”进而可得答案．
【详解】解：∵ ABC = 90°，D是 AC 的中点，
∴ AC = 2BD ，
∵ AC = 4，
∴ BD = 2，
故答案为： 2．
4．如图，VABC 中， AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点．若 AB =11，AC =10，则四边形 AEDF 的周
长为 ．
【答案】21
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一
半是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DE 、DF ，根据线段中点的概念分别求出 AE 、AF ，进而求
出四边形 AEDF 的周长．
【详解】解：∵ AD 是VABC 的高，
∴ ADB = ADC = 90°，
∵E 、F 分别是 AB 、 AC 的中点，
DE 1 AB 11∴ = = , DF
1 1
= AC = 5, AE = AB 11 1= ， AF = AC = 5，
2 2 2 2 2 2
∴四边形 AEDF 的周长= AE + DE + DF + AF = 21，
故答案为：21．
1
5．如图，DE 是VABC 的中位线，延长CB 至点 F，使BF = BC ，连接 BE 和DF ．
2
(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形．
(2)若 ABC = 90°，DF = 3，求 AC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，直角三角形的性质等
AC=2BE=6．
1 1
（1）根据三角形中位线的性质得DE∥BC ，DE = BC ，再结合BF = BC ，可得 DE = BF ，然后根据“一
2 2
组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案；
（2）先根据平行四边形的性质得DF = BE = 3，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】（1）证明：∵DE 是VABC 的中位线，
1
∴DE∥BC ，DE = BC .
2
∵BF
1
= BC ，
2
∴ DE = BF .
∵DE∥ BF ，
∴四边形BEDF 是平行四边形；
（2）∵四边形BEDF 是平行四边形，
∴DF = BE = 3 .
∵ ABC = 90°，点 E 是 AC 的中点，
∴ AC = 2BE = 6 ．
题型 07 斜边的中线等于斜边的一半综合应用
1．如图，在等腰直角三角形 ABC 中， ABC = 90°， D为 AC 边上中点，过 D点作DE ^ DF ，交 AB 于 E ，
交BC 于F ，若 AE = 4，FC = 3，则BF 的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练
掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键．
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明VEDB≌VFDC ，求出
BE = FC ，从而求出 AB, AC ，即可得出结果．
【详解】解：连接 ，如图所示：
等腰直角三角形VABC 中，D为 AC 边上中点，
∴BD ^ AC ，BD = CD = AD， ABD = 45°，
∴ C = 45°，
∴ ABD = C ，
又∵DE ^ DF ，
∴ FDC + BDF = EDB + BDF = 90°，
∴ FDC = EDB，
在△EDB 和△FDC 中，
ì EBD = C

í BD = CD ，

EDB = FDC
∴VEDB≌VFDC ASA ，
∴BE = FC = 3，
∴ AB = AE + BE = 7，则BC = 7，
∴BF = BC - CF = 4，
故选：B．
2．如图，在Rt△ABC 中，BC 的中垂线与BC 交于点D，与 AC 交于点E ，连接 BE ，F 为 BE 的中点，若
DF = 2，则 AE 的长为（ ）
A．8 B．5 C． 4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，
由线段垂直平分线的性质得BE = CE ， BDE = 90°，进而得 EBC = C ，由直角三角形斜边上的中线长等
于斜边的一半可得BE = 2DF = 4，再利用余角性质可得 ABE = A，即可得到 AE = BE = 4，掌握线段垂
直平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵DE 是BC 的中垂线，
∴BE = CE ， BDE = 90°，
∴ EBC = C ，
在Rt△BDE 中，F 为 BE 的中点，
∴BE = 2DF = 4，
∵ ABC = 90°，
∴ ABE + EBC = 90°， A + C = 90°，
∵ EBC = C ，
∴ ABE = A，
∴ AE = BE = 4，
故选：C ．
3．如图，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BC 的中垂线与BC 交于点 D，与 AC 交于点 E，连接 BE ，F 为 BE
的中点，若DF = 2，则 AE 的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据线
段垂直平分线的性质可得BE = CE, DE ^ BC ，再由直角三角形的性质，可得BE = 2DF = 4，然后根据
BE = CE ，可得 C = CBE ，结合 ABC = 90°，可得 A = ABE ，即可求解．
【详解】解：∵DE 垂直平分BC ，
∴BE = CE, DE ^ BC ，
∵F 为 BE 的中点，DF = 2，
∴BE = 2DF = 4，
∵BE = CE ，
∴ C = CBE ，
∵ ABC = 90°，
∴ A + C = 90°, CBE + ABE = 90°，
∴ A = ABE ，
∴ AE = BE = 4．
故答案为：4
4．如图，在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 60°，BD平分 ABC ，点 P 是BD的中点，若CP = 4，则 AD
的长为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据题意可得 ABD = A，从而得到
AD = BD ，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵ ACB = 90°， ABC = 60°，
∴ A = 30°，
∵BD平分 ABC ，
ABD 1∴ = ABC = 30°，
2
∴ ABD = A，
∴ AD = BD ，
∵点 P 是BD的中点，CP = 4，
∴ AD = BD = 2PC = 8．
故答案为：8
5．如图，在VABC 中，CF ^ AB于点F ，BE ^ AC 于点E ，M 为BC 的中点，若EF = 4，BC =10，求△EFM
的周长．
【答案】14
EM FM 1【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 = = BC ，然后根据三角形的周长的定
2
义解答；本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的质，熟记
性质是解题的关键．
【详解】解：QCF ^ AB，BE ^ AC ，M 为BC 的中点，
1
\EM = FM = BC ，
2
QEF = 4 ，BC =10，
∴EM = FM = 5，
∴△EFM 的周长= EF + EM + FM = 4 + 5 + 5 =14．
题型 08 锐角互余的三角形是直角三角形
1．如图，在VABC 中， A + B = 90o , D 为 AB 边的中点，若 AB = 8，则CD =（　　）
24
A．3 B．4 C．5 D．
5
【答案】B
【分析】首先可得VABC 是直角三角形，由直角三角形斜边上中线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵ A + B = 90o ，
∴ ACB = 90°，即VABC 是直角三角形，
∵D 为 AB 边的中点，且 AB = 8，
∴CD
1
= AB = 4；
2
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质，掌握这两个知识点是关键．
2．在下列条件中不能判定VABC 为直角三角形的是（ ）
A． A = 90° - C B． A = B - C
C． A
1
= 2 B = 3 C D． A = B = C
2
【答案】C
【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角
就不是直角三角形．
【详解】解：A、 A = 90° - C ， A + C = 90°，所以 B =180° - ( A + C) = 90°，即 B 是直角，能判
定三角形是直角三角形，不符合题意；
B、 A = B - C ，∠B =∠A +∠C , A + B + C = B + B =180°，所以 B 是直角，能判定三角形是
直角三角形，不符合题意；
3
C、 A = 2 B = 3 C ，可得 A = 3
3
C ， B = C ，所以 A + B + C = 3 C + C + C =180°，解得
2 2
360° 540° 1080°
C = ， B = ， A = ，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意；
11 11 11
1 1 1
D、 A = B = C ，可得 A = C ， B = C ，所以 A
1 1
+ B + C = C + C + C =180°，解
2 2 2 2 2
得 C = 90°，即 C 是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意
故答案为：C
【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键．
3．在一个支架的横杆点O处用一根绳悬挂一个小球A ，小球A 可以摆动，如图，OA表示小球静止时的位
置，当小球从OA摆到OB 位置时，过点 B 作BD ^ OA于点D，当小球摆到OC 位置时，OB 与OC 恰好垂直，
过点C 作CE ^ OA于点E ，测得CE = 24cm,OA = 30cm，则 AD 的长为 cm．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及AAS可得
VOBD≌VCOE ，进而可得OD = CE ，再根据 AD = OA - OD即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是
解题的关键．
【详解】解：Q OB 和OC 是由OA摆动得到，
\OB = CO ，
Q OB ^ OC ，
\ BOC = 90° ，
QBD ^ OA，CE ^ OA，
\ BDO = OEC = 90°，
\ BOD + OBD = 90°， BOD + EOC = 90°，
\ OBD = COE ，
在VOBD 和VCOE中，
ì BDO = OEC

í OBD = COE ，

OB = CO
\VOBD≌VCOE AAS ，
\OD = CE ，
QCE = 24cm,OA = 30cm，
\ AD = OA - OD = OA - CE = 6cm，
故答案为：6．
4．如图，在VABC 中， ACB = 90°， A = 28° ，点D在边 AB 上，将VABC 沿CD折叠，使得点 B 落在 AC
边上的点B 处，则 ADB 的度数为 ．
【答案】34° /34度
【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的特征及三角形外角的性质，根据直角三角形的特征得
B = 62°，再根据折叠的性质得 DB C = 62°，再根据三角形的外角的性质即可求解，熟练掌握基础知识是
解题的关键．
【详解】解：Q ACB = 90°， A = 28° ，
\ B = 90° - A = 62°，
Q △CDB 沿CD折叠得到VCDB ，
\ DB C = B = 62°，
Q DB C 是VADB 的一个外角，
\ ADB = DB C - A = 62° - 28° = 34° ，
故答案为：34°．
5．如图，点 O 是等边VABC 内一点， AOB =110°， BOC = a ．以OC 为一边作等边三角形OCD，连接
AC 、 AD ．
(1)当a =150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(2)探究：当a 为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【答案】(1)△AOD是直角三角形，理由见解析
(2)当a 为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形
【分析】（1）证VBOC≌VADC ，求出 ADO = 90o即可判断；
（2）首先根据题意表示出 AOD =190° -a ， ADO = a - 60°， OAD = 50°，然后分三种情况讨论，由等腰
三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵VOCD是等边三角形，
∴OC = CD， OCD = ODC = COD = 60°
而VABC 是等边三角形，
∴BC = AC ． ACB = OCD = 60°，
∴ BCO = ACD．
在VBOC 与△ADC 中，
ì OC = CD

∵ í BCO = ACD

BC = AC
∴VBOC≌VADC SAS ，
∴ BOC = ADC ，
而 BOC = a =150°， ODC = 60°，
∴ ADO =150° - 60° = 90°，
∴△AOD是直角三角形；
（2）解：由题意可得： COB = CDA = a ， AOD =190° -a ， ADO = a - 60°， OAD = 50°，
当OA = AD时，
∴ AOD = ADO ，即190° -a = a - 60°，
解得a =125°；
当OA = OD时，
∴ OAD = ODA，即a - 60° = 50°，
∴a =110°，
当OD = AD时，
∵ DOA = DAO，即190° -a = 50°，
∴解得a =140°
综上所述，当a 为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质以及等腰三角形的性
质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．
1．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°， B = 30°， 平分 BAC ，若BC =12，则点D到 的距离是（ ）
A． 2 B．3 C．3.5 D． 4
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质，可得 BAC 的度数， BD = 2ED，根据角平分线的性质，可得CD = DE ，
再根据 BC =12可求得答案．本题考查了含30°角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，
角平分线的性质是解本题的关键．
【详解】解：如图，作DE ^ AB于E ，
Q C = 90° ， B = 30°，
\ BAC = 90° - B = 90° - 30° = 60°，BD = 2ED，
Q AD 平分 BAC ，
\CD = ED ，
QBC = CD + BD = 3ED =12 ，
\ED = 4，
即点D到 的距离是 4．
故选：D．
2．如图，在VABC 中， C = 90°, B = 30°，边 AB 的垂直平分线DE 交 AB 于点 E，交BC 于点 D，
CD = 3，则BC 的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性
质．根据直角三角形的性质，可得 AB = 2AC, BAC = 60°，再由线段垂直平分线的性质，可得 AD = BD ，
AE = BE ，BD = 2DE ，根据等腰三角形的性质可得 BAD = B = 30°，从而得到 CAD = BAD ，然后根据
角平分线的性质可得DE = CD = 3，即可求解．
【详解】解：∵ C = 90°, B = 30°，
∴ AB = 2AC, BAC = 60°，
∵DE 垂直平分 AB ，
∴ AD = BD ， AE = BE ，BD = 2DE ，
∴ BAD = B = 30°，
∴ CAD = BAC - BAD = 30°，
∴ CAD = BAD ，
∵ C = 90°, DE ^ AB，
∴DE = CD = 3，
∴BD = 2DE = 6，
∴BC = BD + CD = 9．
故选：B
3．如图，在VABC中， ACB = 90°，以点C 为圆心， 长为半径作弧交 于点D，分别以 B 、D为圆心，
1
大于 DB ，两弧相交于点E ，作射线 交 于点F ， CAB = 39°，则 BCF = （ ）2
A．38° B．39° C． 40° D．51°
【答案】B
【分析】本题考查基本作图以及直角三角形的两锐角互余，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．由作图可知，CF ^ AB，根据同角的余角相等即可求得 BCF ．
【详解】解：由作图可知，CF ^ AB，
∴ AFC = BFC = 90°，
∵ ACB = 90°，
∴ BCF = CAB = 90° ACF ，
∵ CAB = 39°，
∴ BCF = 39°．
故选：B．
4．如图，在VABC 中， C = 90°， B = 30°，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB，AC 于点 M 和
1
N，再分别以M，N为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，连接 AP 并延长交BC 于点D，若BD = 4，
2
则CD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】作DE ^ AB于点E ，根据角平分线的性质得DE = CD，由 B = 30°知BD = 2DE = 4 ．本题主要考
查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质．
【详解】解：如图，作DE ^ AB于点E ，
Q AD 为 CAB 的平分线，
\DE = CD，
Q B = 30°，
则BD = 2DE = 4 ，
∴DE = CD = 2
故选：C．
5．Rt△ABC 中， C = 90°，AC =12，BC = 6，线段PQ = AB，P、Q两点分别在线段 AC 和射线 AX 上移动，
且PQ ^ AB ．若VABC 与△QPA全等，则 AP 的长度为（ ）
A．6 B．12 C．6 或 12 D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题
的关键．
由全等三角形对应边相等，即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵ C = 90°，PQ ^ AB ，
∴ 2 + B = 2 + 1 = 90°，
∴ 1 = B，
∵PQ ^ AB ，
∴ Q 90°，
而 AB = PQ
∴ PAQ = C = 90°时，VACB≌VQAP，
∴AP = BC = 6，
故选：A．
6．如图，在DABC中， AB = BC ， ABC =120° ，过点 B 作 BD ^ BC ，交 AC 于点D，若 AD =1，则CD的
长度为（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质．掌握含30°角的直角三角形中，
30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键．根据题意可求出 A = ABD = 30°，即推出
AD = BD =1．在Rt△BCD 中，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出 长．
【详解】解：∵ ABC =120° ， DBC = 90°，
∴ ABD = ABC - DBC =120° - 90° = 30° ．
∵ AB = BC ， ABC =120° ，
∴ A = C = 30°，
∴ A = ABD = 30°，
∴ AD = BD =1，
在Rt△BCD 中， DBC = 90°， C = 30°，BD =1．
∴CD = 2BD = 2 1 = 2．
故选：B．
7．如图， AOB = 15°，点 P 是OA上一点，点Q与点 P 关于OB 对称，QM ^ OA于点M ，若OP = 6，则QM
的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查轴对称的性质，直角三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造特殊三角形解决问题．如图，连接OQ ．构造特殊直角三角形解决问题即可．
【详解】解：如图，连接OQ ．
QP与Q关于OB 对称，
\ AOB = QOB = 15°，OQ = OP = 6，
\ AOQ = 30°，
QQM ^ OA，
\ OMQ = 90°，
\QM 1= OQ = 3
2 ．
故答案为：3．
8．如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开．若测得 AM 的长为1km，则 M，C
两点间的距离为 km．
【答案】1
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结
论．
【详解】解：∵公路 AC, BC 互相垂直，
∴ ACB = 90°，
∵点 M 是 AB 的中点，
1
∴CM = AB = AM =1km；
2
故答案为：1．
9．如图，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°， AB 的垂直平分线交 AB 和 AC 于点 D，E．若CE = 3，则
线段 AE 的长度等于 ．
【答案】6
【详解】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分
线的性质，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
连接 BE ，先求出 ABC = 60°，根据线段垂直平分线性质得 AE = BE ，则 A = ABE = 30°，进而得
CBE = 30°，由此得BE = 2CE = 6，据此可求出 AE 的长．
【解答】解：连接 BE ，如下图所示：
在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°，
\ ABC = 60° ，
QDE 是线段 AB 的垂直平分线，
\ AE = BE ，
\ A = ABE = 30° ，
\ CBE = ABC - ABE = 30°，
在Rt△CBE 中，CE = 3， CBE = 30°，
\ BE = 2CE = 6，
\ AE = BE = 6．
故答案为：6．
10．一把直尺和一块直角三角尺（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边BC、AC
分别交于点 D、点 E，直尺的另一边过 A 点且与三角尺的直角边BC 交于点 F，若 CAF = 42°，则 CDE
度数为 ．
【答案】 48° /48 度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质．根据题意可得 C = 90°, DE∥ AF ，从而得到
CED = 42°，即可求解．
【详解】解：根据题意得： C = 90°, DE∥ AF ，
∴ CED = CAF ，
∵ CAF = 42°，
∴ CED = 42°，
∴ CDE = 90° - CED = 48°．
故答案为： 48°
11．如图，在等边VABC中， AB = 8， E 是 BA延长线上一点，且 EA = 3， D是 BC 上一点，且 DE = EC ，
则BD的长为 ．
【答案】3
【分析】过点E 作EF ^ BC 于F ，先根据含30°的直角三角形的性质求出 BF ，再根据等腰三角形的三线合
一性质求出DF ，即可得出BD．本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角
形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点E 作EF ^ BC 于F ；如图所示：
则 BFE = 90°，
QVABC 是等边三角形，
\ B = 60°，BC = AB = 8，
\ FEB = 90° - 60° = 30° ，
QBE = AB + AE = 8 + 3 = 11，
1
\ BF = BE = 5.5
2 ，
\CF = BC - BF = 2.5，
QED = EC ，EF ^ BC ，
\ DF = CF = 2.5，
\ BD = BF - DF = 3；
故答案为：3．
12．如图，在四边形 ABCD中 ABC = ADC = 90°，E 为对角线 AC 的中点，连接 BE 、ED、BD，若
BAD = 56°，则 BED的度数为 ．
【答案】112° /112度
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中
线的性质得到DE = BE = AE ，推出 DAE = ADE， BAE = ABE ，得到 ADE + ABE = BAD = 56°，由
三角形外角的性质得到 DEC = DAE + ADE ， BEC = BAE + ABE ，即可推出
BED = BAD + ADE + ABE = 56° + 56° =112°．
【详解】解：Q ABC = ADC = 90° ，E 是 AC 的中点，
\DE 1= AC BE 1， = AC，
2 2
\ DE = BE = AE ，
\ DAE = ADE ， BAE = ABE ，
\ ADE + ABE = DAE + BAE = BAD = 56°，
Q DEC = DAE + ADE ， BEC = BAE + ABE ，
\ DEC + BEC = DAE + ADE + BAE + ABE ，
\ BED = BAD + ADE + ABE = 56° + 56° =112°．
故答案为：112°．
13．如图，在VABC中， ABC = 60°．BE平分 ABC ． 为BC 边上的高．若 BEC = 75°，求 DAC
的度数．
【答案】15°
【分析】本题主要考查了角平分线定义、三角形的内角和定理以及直角三角形的两锐角互余，掌握三角形
的内角和定理是解题的关键，由角平分线得 ABE = EBC = 30°，再根据三角形的内角和可得
C =180° - EBC - BEC =180° - 30° - 75° = 75°，从而利用直角三角形的两锐角互余即可求解。
【详解】解：∵BE平分 ABC ， ABC = 60°，
∴ ABE = EBC = 30°，
∵ BEC = 75°，
∴ C =180° - EBC - BEC =180° - 30° - 75° = 75°，
∵ 为BC 边上的高，
∴ C + DAC = 90°，
∴ DAC = 90° - C = 90° - 75° =15°．
14．如图，AD 是VABC 边BC 上的高，BE 平分 ABC 交 AD 于点 E，若 C = 65°, BED = 68°，求 ABC
和 BAC 的度数．
【答案】 ABC = 44°， BAC = 71°
【分析】此题考查了三角形内角和定理，利用角平分线和直角三角形的性质．根据 AD 是VABC 边BC 上的
高，可得 EBD = 22°，再由角平分线的定义，可得 ABC = 2 EBD = 44°，然后根据三角形内角和定理，
即可求解．
【详解】解：∵ AD 是VABC 边BC 上的高，
∴ ADB = ADC = 90°，
∴ BED + EBD = 90°，
∵ BED = 68°，
∴ EBD = 22°，
∵ BE 平分 ABC ，
∴ ABC = 2 EBD = 44°，
∵ ABC + BAC + C =180°，
∵∠C = 65°，
∴ BAC = 71°．
15．如图，Rt△ABC 中， BAC = 90°，点E 是BC 上一点，AB = BE，连接 AE ，BD是 ABC 的角平分线，
交 AE 于点F ，交 AC 于点D，连接DE ．
(1)若 C = 50°，求 CAE 的度数；
(2)求证：DE = AD．
【答案】(1) 20°
(2)证明见解析
【分析】（1）根据角平分线定义和直角三角形两锐角互余即可解决问题；
（2）证明 VABD≌VEBD(SAS) ，即可解决问题．
【详解】（1）解：在Rt△ABC 中， BAC = 90°，
Q C = 50°，
\ ABC = 40°，
Q AB = BE ，BD是 ABC 的角平分线，
1
\BD ^ AE ， ABD = CBD = ABE = 20°2 ，
\ AFD = 90°， ADB = 90° - 20° = 70°，
\ CAE = 90° - 70° = 20°；
（2）证明：在△ABD 和△EBD中，
ìAB = EB

í ABD = EBD，

BD = BD
\VABD≌VEBD(SAS) ，
\ AD = ED．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键
是正确寻找全等三角形．
16．在VABC 1中， AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为 AC 、 BE 边上的中点，且 BD = AC ．
2
(1)求证：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度数．
【答案】(1)详见解析
(2) 71°
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线
（1）连接DE ，根据垂直定义可得 ADC = 90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得
DE CE 1= = AC ，从而可得BD = DE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
2
（2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得 C = 38°，然后利用等腰三角形的性质可得 C = EDC = 38°，
从而利用平角定义可得 BDE = 142°，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）证明：连接DE ，
Q AD ^ BC ，
\ ADC = 90°，
QDE 是 AC 的中线，
\ DE = CE 1= AC
2 ，
QBD 1= AC ，
2
\BD = DE，
Q点F 是 BE 的中点，
\DF ^ BE ；
（2）解：Q ADC = 90°， DAC = 52°，
\ C = 90° - DAC = 90° - 52° = 38°，
QDE = EC ，
\ C = EDC = 38°，
\ BDE = 180° - EDC = 142°，
QBD = DE ，点F 是 BE 的中点，
\ BDF 1= BDE = 71°
2 ，
\ BDF 的度数为 71°．
17．如图， AD ^ BC ，EF ^ BC ， CEF = ADG ．
(1)说明 AC∥GD的理由；
(2)若 BDG = 40° ，求 AEF 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) AEF =130°
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握平行线的判定
和性质是解题的关键．
（1）根据垂直的定义，由 AD ^ BC ，EF ^ BC 可得 EFC = ADC = 90°，根据同位角相等，两直线平行
可得EF∥ AD ，进而得到 CEF = CAD，结合已知 CEF = ADG ，可得 CAD = ADG，根据内错角
相等，两直线平行即可得证．
（2）根据 AC∥GD，可得 C = BDG = 40°，由EF ^ BC ，根据直角三角形两锐角互余，可得
CEF = 50°，由此可得 AEF 的度数．
【详解】（1）解：Q AD ^ BC ，EF ^ BC ，
\ EFC = ADC = 90°，
\ EF∥ AD ，
\ CEF = CAD，
Q CEF = ADG ，
\ CAD = ADG，
\ AC∥GD．
（2）解：Q AC∥GD，
\ C = BDG = 40°，
Q EF ^ BC ，
\ CEF = 50°，
\ AEF =180° - CEF =130°．
18．已知，VABC 中， A + 2 B = 180°．
(1)如图①，求证： AB = AC ；
(2)如图②，D是VABC 外一点，连接 AD 、BD，且 AB = AD ，作 CAD的平分线交BD于点E ，若
BAC = 60°，则∠AED = ________；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接CD交 AE 于点F ，若 AF = 2 ，BE = 3，求DE 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 60°
(3)10
【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明 B = C 即可；
（2）先说明VABC 为等边三角形，即 BAC = ABC = C = 60°，设 ABD = x ，则 D = ABD = x ，然后
根据四边形的内角和用 x 表示出 CAD，进而表示出 EAD ，最后根据三角形内角和即可解答；
（3）如图：作 AM ^ BD ，根据题意说明MD = MB ，进而说明 AE ^ CD ，根据 AED = 60°，得到
EDF = 30°， EAM = 30°，利用直角三角形30°的特征，设ME = y ，则MD = y + 3，然后根据线段的和
差列方程解答即可．
【详解】（1）证明：在VABC 中有 A + B + C =180°，
∵ A + 2 B = 180°，
\ A + B + C = A + 2 B ，
\ B = C ，
∴ AB = AC ；
（2）∵ BAC = 60°， AB = AD ，
∴VABC 是等边三角形，
\ BAC = ABC = C = 60°，
设 ABD = x ，则 D = ABD = x ，
在四边形 ACBD中有： C + DBC + D + DAC = 360°，
\ 60° + 60° + x + x + DAC = 360°，
\ DAC = 240° - 2x ，
∵ CAD的平分线交BD于点 E，
EAD 1\ = DAC =120° - x，
2
Q D + AED + EAD =180°，即 x + AED +120° - x =180°，
\ AED = 60°，
故答案为：60°；
（3）如图，作 AM ^ BD ，
Q AB = AD，
\MD = MB，
Q AC = AD ， AE 平分 CAD，
\ AE ^ CD ，
\ DFE = 90°，
由（2）得 AED = 60°，
\ EDF = 90° - AED = 30°，
\EF 1= DE ，
2
Q AM ^ BD ，
\ AME = 90°，
\ MAE = 90° - AED = 30°，
\ AE = 2ME ，
设ME = y ，
Q BE = 3，
∴MD = MB = y + 3， AE = 2y ，DE = 2EF = MD + ME = 2 y + 3，
\EF 2 y + 3= ，
2
Q AF = 2 ，
\ AE = EF + AF 2 y + 3= + 2 ，
2
2 y + 3
\ + 2 = 2 y ，
2
解得： 2y = 7 ，
\DE = 2 y + 3 = 10．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，
含30°的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．

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