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第 07 讲 探索勾股定理（第 1 课时）（2 个知识点+13 大题型+18
道强化训练）
课程标准 学习目标
1.勾股定理的真麻烦发； 1.掌握勾股定理的证明方法；
2.勾股定理的逆定理； 2.掌握勾股数的概念；
3.用勾股定理构造三角形证明； 3、学会用勾股定理构造图形解决问题；
4、勾股定理逆定理；
知识点 01：勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用 a ，b， c 分别表示直角三角形的两直
角边和斜边，那么 a2 b2 c2．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达
哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前 1000 多年就发现“勾三股四弦五”的结论。
2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个
条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的变式：
a 2 b2 c 2 a 2 c 2 b2 b2 c 2 a 2；c 2 (a b)2 2ab
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母 c表
示，只有当 C 900 时， a 2 b2 c 2 ，若 B 900 ，则 a 2 c 2 b2 。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
2.勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
　　　 图（1）中 ，所以 ．
　　　　　
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
　　　　 　　图（2）中 ，所以 ．
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以 ．
【即学即练 1】
1．若Rt△ABC 的两边长为5和12，则第三边长为（ ）
A．13 B． 26 C． 119 D．13或 119
【即学即练 2】
2．如图，在四边形 ABCD中， DAB BCD 90°，分别以四边形 ABCD的四条边为边向外作四个正方形，
面积分别为 a，b ， c，d ．若 a 2，b c 10，则d 为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．20
知识点 02：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为 , , ，且 2 + 2 = 2，那么这个三角形是直角
三角形．
勾股定理与其逆定理的区别与联系：
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即 2 +
2 = 2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足 2 + 2 = 2”为条件，进而得出这个三角形是直角
三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。
联系：（1）两者都与三角形三边关系 2 + 2 = 2有关；（2）两者都与直角三角形有关。
2. 勾股数
满足关系 2 + 2 = 2的三个正整数 , , 称为勾股数。
常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）
7,24,25；
【即学即练 3】
3．下列条件中，不能判定VABC 为直角三角形的是（ ）
A． A : B : C 7 : 3 :11 B． A+ B C
C． a : b : c 7 : 24 : 25 D．a2 9,b2 1,c 10
【即学即练 4】
4．已知VABC ， A， B， C 的对边分别是 a，b ， c，下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．若 A C B ，则VABC 为直角三角形
B．若 a : b : c 3: 4 : 5，则 C 90°
C．若VABC 为直角三角形，则 A : B : C 5 : 2 : 3
D 2．若 a b c b c ，则VABC 是直角三角形
题型 01 勾股定理的证明方法
1．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，
下列图形中可以证明勾股定理的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
2．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验
证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾
股定理得是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直
角边长为 a，较长的直角边长为b ，大正方形的边长是 41,b a 1，那么 ab ．
4．到目前为止，勾股定理的证明已超过 400 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形
如图摆放，已知RtDABC≌RtDDEF ，点 F 落在 AC 上，点 C 与点 E 重合，斜边 AB 与斜边CD交于点 M，
连接 AD ，BD，若 AC＝9，BC＝5，则四边形 ABCD的面积为 ．
5．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发
现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中 DAB 90°．求证： a2 b2 c2．
题型 02 以弦图为背景的计算题
1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中 AE 5，
BE 12，则EF 的值是( )
A．7 2 B． 13 C． 2 3 D．7
2．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为 49，小正方形的面积为
4，若 x ，y 表示直角三角形的两直角边长 (x > y)，给出以下四个结论：① x2 y2 49；② x y 2；③ 2xy 45；
④ x y 9，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④
3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长
分别为 3 和 5，则小正方形的面积为 ．
4．如图 1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在
注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图 1 中的直角三角形的长直角边为 5，大正方形的
面积为 29，连接图 2 中四条线段得到如图 3 的新图案，求图 3 中阴影部分的面积
5．我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在10 15
的正方形网格中，将弦图 ABCD放大，使点 A，B，C，D 的对应点分别为 A ，B ，C ， D ．
(1) A C 与 AC 的比值为 　 　；
(2)补全弦图 A B C D ．
题型 03 勾股定理与无理数
1．如图，在RtVOAB 中，OA 2， AB 1，OA在数轴上，以原点O为圆心，斜边OB 的长为半径画弧，交
负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A． 5 B． 5 C． 2 D． 2
2．如图，正方形OABC 的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半
轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．1 B．1.5 C． 3 D． 2
3．如图，已知OA OB, AC ^ OB 于点C，点C对应的数是 2, AC 1，那么数轴上点B所表示的数是 ．
4．如图，在数轴上作一个5 5的正方形网格，以原点O为圆心，阴影正方形的边长 AO 为半径画弧，交数
轴正半轴于点 B ，则点 B 在数轴上表示的数为 ．
5．我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小，某数学兴趣小组发现可
以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题．
(1)借助网格，并用尺规画出 5 与 13 ﹣1 在数轴上的位置；
(2)根据 5 与 13 1在数轴上的位置，可得 5 ______ 13 1；
(3)若 a 为 13 的小数部分，b 为 13 的整数部分，求 a b 13 ．
题型 04 用勾股定理构造图形解决问题
1．一个长方形抽屉长 20cm ，宽30cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以
是（ ）
A．30cm B．35cm C．36cm D．37cm
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅
仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A． 2m B．3m C．3.5m D． 4m
3．如图，长方体盒内长、宽、高分别是8cm 、6cm、 21cm ，盒内可放木棒最长的长度是 ．
4．一座城墙高12m，墙外有一条宽5m的护城河，那么一架云梯至少要 m 才能到达城墙的顶端．
5．如图，某自动感应门的正上方 A 处装着一个感应器，离地的高度 AB 为 2.5米，当人体进入感应器的感应
范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时 (BC =1.2
米），感应门自动打开， AD 为多少米？
题型 05 勾股数问题
1．下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A． 3， 4 ， 5 B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15
2．有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，
4，5 这三个数，因为32 9 ，42 16 ，52 25，可以计算得出32 42 52，所以 3，4，5 是勾股数．运用上
述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4
3．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，
12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为 1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与
股相差为 2 的一类勾股数，如 6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为 2m （m 3，m 为正整数），
则其股是 （结果用含 m 的式子表示）．
4．我们知道，以 3，4，5 为边长的三角形是直角三角形，称 3，4，5 为勾股数组，记为 3,4,5 ，可以看作
22 1,2 2,22 1 ；同时 8，6，10 也为勾股数组，记为 8,6,10 ，可以看作 32 1,3 2,32 1 ．类似的，依
次可以得到第三个勾股数组 15,8,17 ．请根据上述勾股数组规律，写出第 5 个勾股数组： ．
5．定义： , , 为正实数，若 c2 a2 b2，则称 c为“和谐勾股数”， a,b为 c的“兄弟勾股数”．如52 32 42，
则5是“和谐勾股数”，3，4是5的“兄弟勾股数”．
(1)数10______“和谐勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知VABC的三边 , , 满足 a2 b2 c2 2a 2b 2 2c 4 0 ．求证： c是“和谐勾股数”．
题型 06 勾股定理与网格问题
1．如图，4 4方格纸中小正方形的边长为 1．A ，B 两点在格点上，请在图中格点上找到点C ，使得VABC
的面积为 2．满足条件的点C 的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．如图，大正方形是由边长为 1 的小正方形拼成的，A，B，C，D 四个点是小正方形的顶点，以其中三个
点为顶点，可以构成等腰三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在一个由 4×4 个边长为 1 的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ．
4．如图，方格纸中小正方形的边长为 1，VABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，优秀同学在观察探究
ABC ABC 4时发现：①V 的形状是等腰三角形；②V 的周长是 2 10 2 ；③点 C 到 边的距离是 105 ．你
认为优秀同学观察的结论正确的序号是 ．
5．如图，网格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB ，CD的端点均在小正方形的顶点上：
(1)在图中画出以 AB 为斜边的等腰直角VABE ，点 E 在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出以CD为腰的等腰VCDF ，其VCDF 的面积为 4，点 F 在正方形的顶点上；
(3)连接EF ，请直写出线段 EF 的长．
题型 07 勾股定理与折叠问题
1．如图，长方形 ABCD中，AB 3cm ，AD 9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为EF ．则
VABE 的面积为 （ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
2． 在长方形 ABCD中， AB 8，BC 10，E 是CD边上一点，连接 BE ，把VBEC 沿 BE 翻折，点C 恰好
落在 AD 边上的F 处，延长EF ，与 ABF 的平分线交于点M ，BM 交 AD 于点 N ，则 NF 的长度为（　　）
10 15
A． 2 2 B． C．4 D．3 4
3． 如图，在三角形纸片 ABC 中， ACB 90°， BC 5 ， AB 12，点 E 在线段 AB 上，将VABC 沿着CE
折叠，CA的对应边CD刚好过点 B，则 BE 的长 ．
4．如图，有一个长方形纸片 ABCD，AB 6cm, BC 10cm，点 E 为CD上一点，将纸片沿 AE 折叠，BC 的
对应边B C 恰好经过点 D，则线段DE 的长为 cm．
5．如图，纸片 ABCD为长方形纸片，把纸片 ABCD折叠，使点 B 恰好落在CD边上的 E 处，折痕为 AF ．已
知 AB 10， AD 8．
(1)求DE 的长．
(2)求 BF 的长．
题型 08 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
1．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝3，则 AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
2．如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC 于 D，M 为 AD 上任一点，则 MC2－MB2等于（ ）
A．29 B．32 C．36 D．45
3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC，BD交
于点O，若 AD 3， BC 8，则 AB2 CD2 ．
4．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O．若 AC ^ BD ，AB 4，CD 5 ，则BC 2 AD2 ．
5．如图，在VABC 中， AD ^ BC ．
(1)求证： AB2 - AC 2 = BD2 -CD2；
(2)当 AB 8，BC 6， AC 2 13时，求 AD 的值．
题型 09 利用勾股定理证明线段平方关系
1．如图，在VABC 中， AB BC AC ， AE CD ， 与BE相交于点 P，BQ ^ AD 于 Q．则BP与BQ的
关系为（　　）
A．BP2 2BQ2 B．3BP2 4BQ2 C． 4BP2 3BQ2 D． 2BP2 3BQ2
2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC，BD交
于点O．若 AD 1，BC 4，则 AB2 CD2 等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D． 20
3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形 ABCD中，对角线 AC，BD 交于点
O，若 AD 7，BC 24，则 AB2 CD2 ．
4．如图，在四边形 ABCD中，对角线分别为 AC ， ，且 AC ^ BD 于点O，若 AD＝2，BC＝6，则
AB2 CD2＝ ．
5．如图，在VABC 中， AB AC ， AD ^ BC 于点 D， CBE 45°，BE 分别交 AC ， AD 于点 E、F，连接
CF ．
(1)判断VBCF 的形状，并说明理由；
(2)若 AF BC ，求证：BF 2 EF 2 AE2 ．
题型 10 以直角三角形三边为边长的图形面积
1．如图，在Rt△ABC 中， ACB 90°，以Rt△ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S ，S ，S
表示．若 S 10，S 3，则S 的值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．有一个面积为 1 的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图 1），其中，三
个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了 4 个正方形（如图 2），如果按此规律
继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了 2023 次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
3．在直线 L 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别 1、4、9，正放置
的四个正方形的面积依次为 S1， S2， S3 ， S4 ，则 S1 S2 S3 S4 的值是 ．
4．如图，在Rt△ABC 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 S1, S2 , S3 ，若
S3 S2 S1 18．则图中阴影部分的面积为
5．如图，在Rt△ABC 中， ABC 90°，分别以VABC 的三边为直径画半圆，
(1)若 AB 8， AC 10，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和．
(2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于VABC 的面积．
题型 11 用勾股定理解三角形
1．如图，在Rt△ABC 中， C 90°, D 为 AB 的中点，连接CD，若CD 5, AC 6，则BC 的长为（ ）
A．5 2 B．8 C．5 3 D．10
2．如图，在四边形 ABCD中，连接 AC ，已知 AD DC 4， AB 7 ， ABC 90°， AB∥CD，则BC
（ ）
A． 7 B．5 C． 33 D．2
3．把两块同样大小的含 45°角的三角尺，按如图方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶
点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上，若 AB 2 2 ，则CD ．
4．如图，在VABC 中， AB AC, BC 4,△DEF 的周长是 8， AF ^ BC 于点F , BE ^ AC 于点E ，且点D是
AB 的中点，则 AF 等于 ．
5．如图，在VABC 中， AB AC ，BD ^ AC 于点 D．
(1)若 A 42° ，求 DBC 的度数；
(2)若CD 1，BC 2 2 ，求BD，AB 的长．
题型 12 利用勾股定理的逆定理求解
1．如图，已知VABC 中， AB 的垂直平分线交BC 于点 D， AC 的垂直平分线交BC 于点 E，点 M，N 为垂
足，若BD
3
，DE 2 5， EC 2 ，则 AC 的长为（ ）2
A 3 10． B 3 6 3 5． C． D．3 2
2 2 2
2．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：AB 3米，BC 4
米， AD 12 米，CD 13米，且 AB ^ CB．则这块草坪的面积是（ ）
A．36m2 B． 26m2 C．30m2 D． 40m2
3．如图，在VABC 中， AB 3, AC 5， AD 是边BC 上的中线， AD 2，则△ACB的面积是 ．
4．如图，在四边形 ABCD中， AB 3，BC 13，CD 12， AD 4，且 A 90°，则四边形 ABCD的面积
是 ．
5．如图，VABC 中， AB AC ，BC 长为 10，点D是 AC 上的一点，BD 8，CD 6．
(1)求证：BD ^ AC ；
(2)求线段 AB 的长．
题型 13 勾股定理逆定理的实际应用
1．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中
小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为 5，
12，13，问该沙田的面积为（ ）
A．60 B．75 C．30 D．78
2．小数同学向东走 5 米，沿另一个方向又走了 12 米，再沿着第三个方向走了 13 米回到原地，那么小数同
学向东走 5 米后所走的方向是（ ）
A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北
3．如图，在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某
方向以每小时15海里的速度前进， 2小时后甲船到M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距34海里，则乙船沿
方向航行．
4．如图，某港口C 在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、
慢两船每小时分别航行 12 海里和 5 海里，2 小时后两船分别位于点 A ， B 处，且相距 26 海里，如果知道
快船沿北偏西50°方向航行，那么乙船沿 方向航行．
5．台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟
花”中心沿东西方向 由A 向 B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线 上的两点A 、 B 的距离分别为
AC 300km，BC 400km，又 AB 500km ，经测量，距离台风中心 260km及以内的地区会受到影响．
(1)求 ACB 的度数；
(2)海港C 受台风影响吗？为什么？
(3)若台风中心的移动速度为 25 千米 / 时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
1．在Rt△ABC 中，斜边BC 4，则 AB2 AC 2 BC 2 的值为（ ）
A．32 B．28 C．8 D．4
2．已知VABC 的三边分别是 a、b、c，下列条件中不能判断VABC 为直角三角形的是（ ）
A． A+ B C B． A: B: C 1: 2: 3
C． a2 b2 c2 D． a2 5，b2 12，c2 13
3．已知RtVABC 的两条直角边分别为 6，8，现将RtVABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点 B 重合，则 BE
的长为（ ）
25 15 25 15
A． B． C． D．
2 2 4 4
4．如图，在VABC 中， AC 2， B 45°， C 30°，则BC 的长度为（　　）
A． 3 B．2 C．1 3 D．3
5．如图，在对角线互相垂直的四边形 ABCD中， ACD 60°， ABD 45°．A 到CD距离为 6，D 到 AB 距
离为 4，则四边形 ABCD面积等于（ ）
A．6 6 B．12 6 C．8 6 D．16 6
6．如图， BAC BDC 90°，点E 为BC 的中点，EF ^ AD 于点F ，若BC 10，AD 6，则△AED 的
面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．15
7．一直角三角形两边长为 a，b，且满足 a 1 b 2 0 ，则其第三边长为 ．
8．如图所示，在VABC中， C 90°，AC AB 10，BC 3，求 AC 的长度．在这个问题中，可求得 AC
的长度为 ．
9．如图，分别以VABC 各边为边在VABC 外作正方形，S1，S2，S3 分别表示这三个正方形的面积，已知 S1 81，
S2 144， S3 225，则VABC 是 三角形．
10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较
2
长直角边长为 a，较短直角边长为b ，若 a b 21，小正方形的面积为 6，则大正方形的面积为 ．
11．如图，在VABC 中，点 D 是BC 边上一点，连接 AD ，把△ABD 沿着 AD 翻折，得到VAB D，B D 与 AC
交于点 M，且 M 为DB 的中点，连接BB 交 AD 于点 N，若 AB 4 2 ， AN 4，SVAB M 7，则点 B 到DB
的距离为 ．
12．如图，边长为 2 的正VABC ，两顶点 A、B 分别在直角 MON 的两边上滑动，点 C 在 MON 的内部，
则OC 的长的最大值为 ；
13．若 a，b 是一直角三角形的两边长，且满足等式 2 2a 4 3 2 a b 5．
(1)求 a，b 的值；
(2)求第三边的长．
9
14．如图，在VABC中，CD ^ AB 于D， AC 4，BC 3，DB ，求 的长．
5
15．如图， AB AC,CD ^ AB, BE ^ AC ，垂足分别为 D，E．
(1)求证：VABE≌VACD ；
(2)若 AE 6,CD 8，求BD的长．
16．勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习
之余，他又对Rt△ABC （ ACB 90°）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面
的过程：
(1)填空：
①如图 1，将Rt△ABC 放置在边长都为 1 的正方形网格中，则 S1、S2、S3 之间的关系是______．
②如图 2，假设以Rt△ABC 的三边向形外作等边三角形为：△ACD、△BCF、△AEB ，若 AC 6, BC 8，则
S1、S2、S3 之间的关系是_______．
(2)如图 3，以Rt△ABC 的三边为直径向形外作半圆，若BC a, AC b, AB c，那么你在（1）中所发现的
S1、S2、S3 之间的关系是否还成立，并说明理由．
(3)如图 4，以Rt△ABC 的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为 8，则 SVABC ______．（直接填
写出结果）
17．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因
为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”．
(1)例如，如图 1，VABC 与VADE 都是等腰三角形，其中 BAC DAE ，则△ABD≌△________
（________）；
(2)类比：如图 2，已知VABC 与VADE 都是等腰三角形， AB AC ， AD AE ，且 BAC DAE ，求证：
BD CE ；
(3)拓展：如图 3， BAC DAE 90°， AB AC ， AD AE ，试探索线段CD，BD， AD 之间满足的等
量关系，并证明结论．
18．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】
（1）顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【巩固新知】
（2）已知VABC 是“准等边三角形”，其中 A 35°， C > 90°．求 B 的度数．
【解决问题】
（3）如图，在Rt△ABC 中， ACB 90°， A 30°，BC 1 3 ，点 D 在 AC 边上，若△BCD是“准等
边三角形”，直接写出BD的长．第 07 讲 探索勾股定理（第 1 课时）（2 个知识点+13 大题型+18
道强化训练）
课程标准 学习目标
1.勾股定理的真麻烦发； 1.掌握勾股定理的证明方法；
2.勾股定理的逆定理； 2.掌握勾股数的概念；
3.用勾股定理构造三角形证明； 3、学会用勾股定理构造图形解决问题；
4、勾股定理逆定理；
知识点 01：勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用 a ，b， c 分别表示直角三角形的两直
角边和斜边，那么 a2 b2 c2．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达
哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前 1000 多年就发现“勾三股四弦五”的结论。
2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个
条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的变式：
a 2 b2 c 2 a 2 c 2 b2 b2 c 2 a 2；c 2 (a b)2 2ab
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母 c表
示，只有当 C 900 时， a 2 b2 c 2 ，若 B 900 ，则 a 2 c 2 b2 。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
2.勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
　　　 图（1）中 ，所以 ．
　　　　　
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
　　　　 　　图（2）中 ，所以 ．
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以 ．
【即学即练 1】
1．若Rt△ABC 的两边长为5和12，则第三边长为（ ）
A．13 B． 26 C． 119 D．13或 119
【答案】D
【分析】分两种情况考虑：若12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，
即为第三边；若12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．
【详解】解：①若12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边，
根据勾股定理得第三边为 52 122 13；
②若12为斜边，5和第三边都为直角边，
根据勾股定理得第三边为 122 52 119 ，
则第三边长为13或 119 ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【即学即练 2】
2．如图，在四边形 ABCD中， DAB BCD 90°，分别以四边形 ABCD的四条边为边向外作四个正方形，
面积分别为 a，b ， c，d ．若 a 2，b c 10，则d 为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．20
【答案】A
【分析】连接BD，由勾股定理得BD2 AB2 AD2 BC 2 CD2 ，代入 a，b，c，d 整理可得答案．
【详解】解：如图，连接BD，
由题意可知： a AB2 ，b BC 2 ， c CD2 ， d AD2，
在Rt△ABD 和RtVBCD中，
∵BD2 AB2 AD2 BC 2 CD2 ，即 a d b c ，
∴ d 10 2 8，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
知识点 02：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为 , , ，且 2 + 2 = 2，那么这个三角形是直角
三角形．
勾股定理与其逆定理的区别与联系：
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即 2 +
2 = 2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足 2 + 2 = 2”为条件，进而得出这个三角形是直角
三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。
联系：（1）两者都与三角形三边关系 2 + 2 = 2有关；（2）两者都与直角三角形有关。
2. 勾股数
满足关系 2 + 2 = 2的三个正整数 , , 称为勾股数。
常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）
7,24,25；
【即学即练 3】
3．下列条件中，不能判定VABC 为直角三角形的是（ ）
A． A : B : C 7 : 3 :11 B． A+ B C
C． a : b : c 7 : 24 : 25 D．a2 9,b2 1,c 10
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即得答案.
【详解】解：A、∵ A : B : C 7 : 3 :11，
11 11
∴此三角形的最大角为 C 180° 180° > 90° ，
3 7 11 21
∴VABC 不是直角三角形；
B、∵ A+ B C ， A B C 180°，
∴ 2 C 180°，即 C 90°，
∴VABC 为直角三角形；
C、∵ a : b : c 7 : 24 : 25，
∴设 a 7k,b 24k,c 25k ，
a2 b2 7k 2∵ 24k 2 25k 2 c2，
∴VABC 为直角三角形；
D、∵a2 9,b2 1,c 10 ，
2
∴ a2 b2 1 9 10 10 c2 ，
∴VABC 为直角三角形；
故选：A.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，属于常考题型，熟练掌握勾股定理的逆定
理是解题的关键.
【即学即练 4】
4．已知VABC ， A， B， C 的对边分别是 a，b ， c，下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．若 A C B ，则VABC 为直角三角形
B．若 a : b : c 3: 4 : 5，则 C 90°
C．若VABC 为直角三角形，则 A : B : C 5 : 2 : 3
D a2．若 b c b c ，则VABC 是直角三角形
【答案】C
【分析】先写出每个命题的逆命题，然后利用直角三角形的性质和判定方法分别判断得出答案．
【详解】解：A 选项的逆命题为：若VABC 为直角三角形，则 A C B ，不成立，不合题意；
B 选项的逆命题为：若 C 90°，则 a : b : c 3: 4 : 5，不成立，不合题意；
C 选项的逆命题为：若 A : B : C 5 : 2 : 3 ，则VABC 为直角三角形，
∵ A : B : C 5 : 2 : 3
∴ A 180
5
° 90°，故VABC 为直角三角形，
10
∴选项成立，符合题意；
D 2、选项的逆命题为：若VABC 是直角三角形，则 a b c b c ，不成立，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握直角三角形的性质和判定方法是解题关键．
题型 01 勾股定理的证明方法
1．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，
下列图形中可以证明勾股定理的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一
个图形的面积的不同表示方法进行验证即可．
S 1 a b 2 1 a2 2ab b2 1 1 1 1【详解】解：① 梯形 2 2， S梯形 ab ab c 2ab c ，2 2 2 2 2 2
1
∴ a2 2ab b2 1 2ab c2 ，2 2
整理得 a2 b2 c2，
故①满足题意；
②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意；
S c2 S 1 ab 4 b a 2 a2 b2③ 正方形 或 正方形 ，2
∴ a2 b2 c2，
故③符合题意；
2 1 2 2
④ S正方形 a b a2 2ab b2 或 S正方形 ab 4 c 2ab c ，2
∴ a2 2ab b2 2ab c2，
∴ a2 b2 c2，
故④满足题意；
故选：D
2．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验
证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾
股定理得是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的证明，根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论 a2 b2 c2，
找出不能证明的那个选项．
2 1 2
【详解】解：A、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式 a b 4 ab c ，可得 a2 b2 c2，可2
以证明勾股定理，不符合题意；
1
B 2、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式 c 4 ab b a 2 a2 b2 ，可得 a2 b22 c
2，可以证
明勾股定理，不符合题意；
C 2、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式 a b a2 2ab b2 ，不能证明勾股定理，符合题意；
D a b
2
、通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式 2 1 ab 1 c2 ，可得 a2 b2 c2，可以证明勾股定
2 2 2
理，不符合题意；
故选：C．
3．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直
角边长为 a，较长的直角边长为b ，大正方形的边长是 41,b a 1，那么 ab ．
【答案】20
【分析】由题意可知:大正方形的边长为 41，b a 1，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知
数据即可求 ab的长度．
【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为： 41，
直角三角形边长分别为 a，b
\根据勾股定理可得： a2 b2 41，
又Qb a 1，
可得： a 4，b 5，
\ab 5．
故答案为：20
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形．
4．到目前为止，勾股定理的证明已超过 400 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形
如图摆放，已知RtDABC≌RtDDEF ，点 F 落在 AC 上，点 C 与点 E 重合，斜边 AB 与斜边CD交于点 M，
连接 AD ，BD，若 AC＝9，BC＝5，则四边形 ABCD的面积为 ．
【答案】53
【分析】根据全等三角形的性质可得DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，再根据四边形 ABCD的面积等于DDAC 的
面积与DDBC 的面积的和，列出算式计算即可求解．
【详解】解：∵RtDABC≌RtDDEF ，
∴DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，
1 1
∴ S四边形ABCD SDDAC SDDBC = 9 9+ 5 5=53 ．2 2
故答案为：53．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，以及由图形得到四边形 ABCD
的面积等于DDAC 的面积与DDBC 的面积的和．
5．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发
现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中 DAB 90°．求证： a2 b2 c2．
【答案】见解析
【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，
用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整
理即可得到勾股定理表达式．
【详解】证明：如图（1），连接DB，过点D作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ．
QS 1 2 1四边形ADCB S△ACD S△ABC b ab，2 2
S S S 1 1ADCB VADB VDCB c
2 a b a
四边形 ，2 2
1 1 1 1
\ b2 ab c2 a b a ，
2 2 2 2
\a2 b2 c2 ．
题型 02 以弦图为背景的计算题
1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中 AE 5，
BE 12，则EF 的值是( )
A．7 2 B． 13 C． 2 3 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理；12和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长7 ，即可利用勾股定理得出
EF 的值．
【详解】解：Q AE 5，BE 12，即12和5为两条直角边长时，
小正方形的边长 12 5 7 ，
\EF 72 72 7 2
故选：A．
2．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为 49，小正方形的面积为
4，若 x ，y 表示直角三角形的两直角边长 (x > y)，给出以下四个结论：① x2 y2 49；② x y 2；③ 2xy 45；
④ x y 9，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，算术平方根的应用．本题利用算术平方根的含义可
判断②，再利用勾股定理可判断①，利用等面积法可判断③，结合完全平方公式可判断④，从而可得答案．
【详解】解：如图，
∴ x y CE 4 2，故②符合题意，
∵VABC 为直角三角形，
∴根据勾股定理： x2 y2 AB2 49，故①符合题意，
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
4 1可得： xy 4 49，
2
即 2xy 45；故③符合题意；
ì2xy 45
∵ íx2 y
2 49，
∴ x2 2xy y2 45 49 94，
整理得， x y 2 94，
∵ x y > 0，
∴ x y 94 ；故④不符合题意，
∴正确结论有①②③．
故选：A．
3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长
分别为 3 和 5，则小正方形的面积为 ．
【答案】1 或 4
【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质；分两种情况：①5 为斜边时，由勾股定理求出另一直角边长
为 4，小正方形的边长 4 3 1，即可得出小正方形的面积；②3 和 5 为两条直角边长时，求出小正方形的
边长 2，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．
【详解】解：分两种情况：
①5 为斜边时，
由勾股定理得：另一直角边长 52 32 4 ，
\小正方形的边长 4 3 1，
\小正方形的面积 12 1；
②3 和 5 为两条直角边长时，
小正方形的边长 5 3 2，
\小正方形的面积 22 4；
综上所述：小正方形的面积为 1 或 4；
故答案为：1 或 4．
4．如图 1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在
注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图 1 中的直角三角形的长直角边为 5，大正方形的
面积为 29，连接图 2 中四条线段得到如图 3 的新图案，求图 3 中阴影部分的面积
【答案】21
【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出 AB CD 2，从而得到
S△ADC 2，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：BC 5, AC 2 29， ABC 90°， AB CD，
∴ AB AC 2 BC 2 2，
∴CD 2，
S 1∴ VADC CD AB 2，2
∴阴影部分的面积为 29 4 2 21．
故答案为：21
5．我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在10 15
的正方形网格中，将弦图 ABCD放大，使点 A，B，C，D 的对应点分别为 A ，B ，C ， D ．
(1) A C 与 AC 的比值为 　 　；
(2)补全弦图 A B C D ．
【答案】(1)2
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理与网格，解题的关键是读懂题意，理解弦图证明勾股定理．
（1）观察正方形 ABCD和正方形 A B C D 的关系可得答案；
（2）按要求补全图形即可．
【详解】（1）解：∵ AB BC CD AD 12 22 5 ，
A B B C C D A D 22 42 2 5 ，
∴ A B 2AB，B C 2BC ，C D 2CD ， A D 2AD ，
∴正方形 ABCD放大为原来的 2 倍即得正方形 A B C D ，
∴ A C 与 AC 的比值为 2；
故答案为：2；
（2）解：补全弦图 A B C D 如下：
题型 03 勾股定理与无理数
1．如图，在RtVOAB 中，OA 2， AB 1，OA在数轴上，以原点O为圆心，斜边OB 的长为半径画弧，交
负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A． 5 B． 5 C． 2 D． 2
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键，先利用勾股定
理求出OB 的长度，再根据在数轴的正负半轴求解即可．
【详解】在RtVOAB 中，OA 2， AB 1，
∴OB AB2 OA2 5 ，
∵以原点O为圆心，斜边OB 的长为半径画弧，交负半轴于一点，
∴这个点表示的实数是 5 ，
故选：B．
2．如图，正方形OABC 的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半
轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．1 B．1.5 C． 3 D． 2
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出OB 即求解，掌握勾股定理的应用是解题的
关键．
【详解】解：∵四边形OABC 为正方形，
∴OA AB 1， OAB 90°，
∴OB = 12 +12 = 2 ，
∴这个点表示的实数是 2，
故选：D ．
3．如图，已知OA OB, AC ^ OB 于点C，点C对应的数是 2, AC 1，那么数轴上点B所表示的数是 ．
【答案】 5
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出OA的长，进而得到OB 的长，即可得出
结果．
【详解】解：由题意，得：OB OA OC 2 AC 2 5 ，
∴点 B 所表示的数是 5 ；
故答案为： 5 ．
4．如图，在数轴上作一个5 5的正方形网格，以原点O为圆心，阴影正方形的边长 AO 为半径画弧，交数
轴正半轴于点 B ，则点 B 在数轴上表示的数为 ．
【答案】 13
【分析】本题考查勾股定理、数轴上点表示无理数等知识，在网格中由勾股定理求出 AO 13，结合尺规
作图得到OB 13，即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长的求法及数轴上点表示的无理数是解决问
题的关键．
【详解】解：在5 5的正方形网格， AO 22 32 13 ，
Q以原点O为圆心，阴影正方形的边长 AO 为半径画弧，交数轴正半轴于点 B ，
\OB 13 ，即点 B 在数轴上表示的数为 13 ，
故答案为： 13 ．
5．我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小，某数学兴趣小组发现可
以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题．
(1)借助网格，并用尺规画出 5 与 13 ﹣1 在数轴上的位置；
(2)根据 5 与 13 1在数轴上的位置，可得 5 ______ 13 1；
(3)若 a 为 13 的小数部分，b 为 13 的整数部分，求 a b 13 ．
【答案】(1)见解析
(2)＜
(3)4
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，准确的用数轴上的点表示实数并用数轴比较大小及估算无理
数大小是本题解题关键．
（1）以 5 为斜边的直角三角形的直角边为 1 和 2，以 13 为斜边的直角三角形的直角边为 2 和 3，以此为
已知尺规作图即可；
（2）由（1）中数轴可直观比较；
（3）求出 13 的小数部分和整数部分，再代入计算即可．
【详解】（1）如图，点 A 为 5 ，点 B 为 13 1，
（2）∵数轴上右边的点大于左边的点，
∴由图得，为 5 < 13 1，
故答案为：＜；
（3）∵3 < 13 < 4，
∴ 13 的整数部分为 3，小数部分为 13 3，
∴ a 13 3，b 3，
∴ 13 3 3 13
13 9
4．
题型 04 用勾股定理构造图形解决问题
1．一个长方形抽屉长 20cm ，宽30cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以
是（ ）
A．30cm B．35cm C．36cm D．37cm
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：Q 202 302 1300，362 1296,372 1369，
\这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是36cm，
故选：C．
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅
仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A． 2m B．3m C．3.5m D． 4m
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为 AC BC AB是解本题的关键．利用勾股定理
求出 AB 的长，再根据少走的路长为 AC BC AB，计算即可．
【详解】解：Q ACB 90°， AC 5m，BC 12m ，
\ AB AC 2 BC 2 52 122 13 m ，
\少走的路长为 AC BC AB 5 12 13 4 m ，
故选：D．
3．如图，长方体盒内长、宽、高分别是8cm 、6cm、 21cm ，盒内可放木棒最长的长度是 ．
【答案】11cm /11 厘米
【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决．
【详解】解：长和宽组成的长方形的对角线长为 62 82 10cm．
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形．
盒内可放木棒最长的长度是 ( 21)2 102 11cm．
故答案为：11cm．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于理解最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形
的对角线长组成了直角三角形．
4．一座城墙高12m，墙外有一条宽5m的护城河，那么一架云梯至少要 m 才能到达城墙的顶端．
【答案】13
【分析】根据已知得出两条直角边，再利用勾股定理求出梯子的高度即可．
【详解】解：根据题意，
∵一座城墙高12m，墙外有一条宽5m的护城河，
由勾股定理，则
一架云梯至少要 122 52 13米；
故答案为：13
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键．
5．如图，某自动感应门的正上方 A 处装着一个感应器，离地的高度 AB 为 2.5米，当人体进入感应器的感应
范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时 (BC =1.2
米），感应门自动打开， AD 为多少米？
【答案】 2.5米
【分析】过点D作DE ^ AB于点E ，构造RtVADE ，利用勾股定理求得 AD 的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作DE ^ AB于点E ，
Q AB 2.5米，BE CD 1.6米，ED BC 1.2 米，
\ AE = AB - BE = 2.5-1.6 = 0.9（米）．
在RtVADE 中，由勾股定理得到： AD AE2 DE2 0.92 1.22 2.5（米），
答： AD 为 2.5米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线
段 AD 的长度．
题型 05 勾股数问题
1．下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A． 3， 4 ， 5 B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方．
根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】解：A、 ( 3)2 ( 4)2 ( 5)2，不能组成直角三角形，不符合题意；
B、62 72 82 ，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、1 2 3，不能组成三角形，不符合题意；
D、92 122 152，能组成直角三角形，符合题意；
故选：D．
2．有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，
4，5 这三个数，因为32 9 ，42 16 ，52 25，可以计算得出32 42 52，所以 3，4，5 是勾股数．运用上
述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4
【答案】B
【分析】本题考查勾股数，根据题意给出的勾股数的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、12 22 32 ，不符合题意；
B、62 82 102，符合题意；
C、32 52 72，不符合题意；
D、 22 22 42 ，不符合题意；
故选 B．
3．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，
12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为 1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与
股相差为 2 的一类勾股数，如 6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为 2m （m 3，m 为正整数），
则其股是 （结果用含 m 的式子表示）．
【答案】 a m2 1
【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足 a2 b2 c2的三个正整数称为勾股数；根据题意得 2m 为偶
数，设其股是 a，则玄为 a 2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：∵m 为正整数，
∴ 2m 为偶数，
设其股是 a，则弦为 a 2，
根据勾股定理得， (2m)2 a2 (a 2)2 ，
解得： a m2 1，
故答案为： a m2 1．
4．我们知道，以 3，4，5 为边长的三角形是直角三角形，称 3，4，5 为勾股数组，记为 3,4,5 ，可以看作
22 1,2 2,22 1 ；同时 8，6，10 2 2也为勾股数组，记为 8,6,10 ，可以看作 3 1,3 2,3 1 ．类似的，依
次可以得到第三个勾股数组 15,8,17 ．请根据上述勾股数组规律，写出第 5 个勾股数组： ．
【答案】 35,12,37
【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键．
根据给出的 3 组数以及勾股数的定义即可得出答案．
【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：32 42 52 ,62 82 102 ,82 152 172，
2 2 2即 n 1 2n 2 n2 1 ，
2 2 2∴ 6 1 2 6 2 62 1
所以第 5 个勾股数组为 35,12,37 ，
故答案为： 35,12,37 ．
5．定义： , , 为正实数，若 c2 a2 b2，则称 c为“和谐勾股数”， a,b为 c的“兄弟勾股数”．如52 32 42，
则5是“和谐勾股数”，3，4是5的“兄弟勾股数”．
(1)数10______“和谐勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知VABC的三边 , , 满足 a2 b2 c2 2a 2b 2 2c 4 0 ．求证： c是“和谐勾股数”．
【答案】(1)是
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，定义新运算，理解定义新运算的规则，掌握勾股定理的运用是解
题的关键．
（1）根据定义，运用勾股定理即可求解；
（2）运用完全平方公式，偶次幂的非负性，分别算出 a，b，c 的值，根据定义新运算的方法即可求解．
【详解】（1）解：∵102 62 82，
∴10是“和谐勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：已知 a2 b2 c2 2a 2b 2 2c 4 0 ，
∴ a2 2a 1 b2 2b 1 c2 2 2c 2 0，
2 2 2
∴ a 1 b 1 c 2 0，
2
∵ a 1 2 0， b 1 2 0 ， c 2 0 ，
∴a 1，b 1， c 2 ，都是正实数，
2
∵ a2 1，b2 1， c2 2 2 ，
∴ c2 a2 b2，
∴ c是“和谐勾股数”．
题型 06 勾股定理与网格问题
1．如图，4 4方格纸中小正方形的边长为 1．A ，B 两点在格点上，请在图中格点上找到点C ，使得VABC
的面积为 2．满足条件的点C 的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了网格与三角形面积，勾股定理，利用数形结合的思想解决问题是关键．由勾股定理可
知， AB 2 2 ，再根据三角形面积找出与 距离 2的格点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点有 6 个；
故选：D．
2．如图，大正方形是由边长为 1 的小正方形拼成的，A，B，C，D 四个点是小正方形的顶点，以其中三个
点为顶点，可以构成等腰三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此题综合考查了勾股定理及等腰三角形的定义．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平
方，再进一步利用等腰三角形的定义进行分析．
【详解】解：根据勾股定理，
得 AB 22 42 2 5, AC 1 22 5, AD 1 32 10, BC 5, BD 1 32 10,CD 32 42 5，
\ AD BD ，则△ABD 是等腰三角形，BC CD ，则△BCD是等腰三角形，
共 2 个等腰三角形．
故选：B．
3．如图，在一个由 4×4 个边长为 1 的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ．
【答案】10
【分析】此题考查了勾股定理及正方形的面积的计算．结合网格图，利用勾股定理求正方形边长是解此题
的关键．先利用勾股定理计算得EF 长，再利用正方形面积公式即可求得答案．
【详解】∵△AEF 为直角三角形，由勾股定理得：
EF AE2 AF 2 12 32 10 ，
故易知阴影为正方形，
故 S EF 2 ( 10)2阴影 10.
故答案为：10
4．如图，方格纸中小正方形的边长为 1，VABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，优秀同学在观察探究
时发现：①VABC
4
的形状是等腰三角形；②VABC 的周长是 2 10 2 ；③点 C 到 边的距离是 105 ．你
认为优秀同学观察的结论正确的序号是 ．
【答案】①③/③①
【分析】①结合图形及等腰三角形的判定进行分析即可；
②利用勾股定理求得各边的长度，从而可判断；
③求得VABC 的面积，再求点 C 到 边的距离即可判断．
本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
【详解】
解： 方格纸中小正方形的边长为 1，VABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，
∴ AB 12 32 10 ，
BC = 12 +32 = 10 ，
∴ AB BC ，
∴VABC 是等腰三角形，
故①结论正确；
∵ AC 22 22 2 2 ，
∴VABC 的周长为： AB BC AC 10 10 2 2 2 10 2 2 ，
故②的结论错误；
S 32 1∵ △ABC 1 3
1
2 2 1 1 3
2 2 2
9 3 3 2
2 2
4，
∴点 C 到 AB 边的距离为：2 4 10
4
10 ，
5
故③结论正确．
故答案为：①③．
5．如图，网格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB ，CD的端点均在小正方形的顶点上：
(1)在图中画出以 AB 为斜边的等腰直角VABE ，点 E 在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出以CD为腰的等腰VCDF ，其VCDF 的面积为 4，点 F 在正方形的顶点上；
(3)连接EF ，请直写出线段 EF 的长．
【答案】(1)如图所示
(2)如图所示
(3)5
【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟悉网格特点和等腰三角形的判定与性质是解答
的关键．
（1）根据网格特点和勾股定理及其逆定理，结合等腰三角形的判定作图即可；
（2）根据网格特点和勾股定理，结合等腰三角形的判定与性质作图即可；
（3）利用网格特点和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，VABE 即为所求：
证明： AB2 42 22 20 ，BE 2 AE 2 32 12 10，
∴ AE2 BE2 AB2 ， AE BE ，
∴VABE 是等腰直角三角形；
（2）解：如图，VCDF 即为所求：
理由：CD2 CF 2 42 12 17，
∴CD CF
1
，则VCDF 是等腰三角形， SVCDF 2 4 4 ．2
（3）解：EF 2 32 42 25，则 EF 5．
题型 07 勾股定理与折叠问题
1．如图，长方形 ABCD中，AB 3cm ，AD 9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为EF ．则
VABE 的面积为 （ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题根据折叠的性质，得到BE DE ，设 AE x，在Rt△BAE 中，利用
勾股定理求出 AE 的长，利用面积公式求出VABE 的面积即可．
【详解】解：∵四边形 ABCD为长方形，
∴ BAE 90°，
∵折叠，
∴BE DE ，
设 AE x，则： BE DE 9 x ，
在Rt 2△BAE 中，BE2 AE2 AB2 ，即： 9 x x2 32 ，
解得： x 4cm ；
即： AE 4cm ，
1 1
∴VABE 2的面积为 AB × AE 3 4 6cm ．
2 2
故选：A．
2． 在长方形 ABCD中， AB 8，BC 10，E 是CD边上一点，连接 BE ，把VBEC 沿 BE 翻折，点C 恰好
落在 AD 边上的F 处，延长EF ，与 ABF 的平分线交于点M ，BM 交 AD 于点 N ，则 NF 的长度为（　　）
10 15
A． 2 2 B． C．4 D．3 4
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点 N 作 NG ^ BF ，可得 AN NG ，设 AN NG x，
勾股定理求出 AF 的长，表示出FN 的长，等积法列出方程求出 x 的值即可．
【详解】解：过点 N 作 NG ^ BF ，
∵长方形 ABCD，
∴ A 90°，
∵ BM 平分 ABF ，
∴ NA NG，
由翻折可得BC BF 10，
由勾股定理，得： AF BF 2 AB2 6，
设 AN NG x，
∴FN AF AN 6 x，
1
∵ SVBNF FN × AB
1
BF × NG，
2 2
∴8 6 x 10x，
解得： x
8
，
3
∴FN 6
8 10
；
3 3
故选：B．
3． 如图，在三角形纸片 ABC 中， ACB 90°， BC 5 ， AB 12，点 E 在线段 AB 上，将VABC 沿着CE
折叠，CA的对应边CD刚好过点 B，则 BE 的长 ．
10 1
【答案】 /3
3 3
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理，用勾股定理列方程是解题的关键．先
根据勾股定理求出 AC 的长，再根据折叠的性质得CD AC 13，ED EA，设 BE 为 x，将ED用含 x 的代
数式表示出来，然后在VBDE 中根据勾股定理列方程即可求出 BE 的长．
【详解】解：∵在VABC 中 ACB 90°， BC 5 ， AB 12
\ AC AB2 BC 2 13，
根据折叠的性质得CD AC 13，ED EA，
∴BD CD BC 13 5 8，
设BE x ，则DE AE 12 x，
在 Rt Rt△BDE 中，根据勾股定理得BE2 BD2 DE2
\ x2 82 12 x 2 ，
x 10解得
3
10
故答案为： ．
3
4．如图，有一个长方形纸片 ABCD，AB 6cm, BC 10cm，点 E 为CD上一点，将纸片沿 AE 折叠，BC 的
对应边B C 恰好经过点 D，则线段DE 的长为 cm．
10 1
【答案】 /3
3 3
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．
根据折叠的性质可得 AB AB 6cm,CE C E, B C CB 10cm, B B 90°，然后在RtVAB D中，由勾
股定理求出 B D 的长，则可得出C D的长，再在RtVEC D 利用勾股定理进行计算即可求DE 的长．
【详解】解：∵四边形 ABCD是长方形，
∴ AD BC 10cm,CD AB 6cm, B C 90°，
根据折叠的性质，得 AB AB 6cm,CE C E, B C CB 10cm, B B 90°，
在RtVAB D中，由勾股定理，得B D AD2 AB 2 8cm ，
∴C D 10 8 2cm，
在RtVEC D 中， C E2 C D2 DE2，
∴ 6 DE 2 22 DE2，
10
解得DE ．
3
10
故答案是：
3
5．如图，纸片 ABCD为长方形纸片，把纸片 ABCD折叠，使点 B 恰好落在CD边上的 E 处，折痕为 AF ．已
知 AB 10， AD 8．
(1)求DE 的长．
(2)求 BF 的长．
【答案】(1)6
(2)5
【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键．
（1）根据长方形的性质和折叠性质得到 AE AB 10 ，EF BF ，在RtVADE 中，利用勾股定理求解即可；
（2）设BF x，则在Rt△CEF 中，EF x，CF BC BF 8 x ，CE CD DE 10 6 4，由勾股定理
列方程求解 x 值即可．
【详解】（1）解：由题意，CD AB 10，BC AD 8， ABC C D 90° ，
由折叠性质得 AE AB 10 ，EF BF ，
在RtVADE 中，DE2 AE2 AD2 102 82 36 ，
∴DE 6 ；
（2）解：设BF x，
在Rt△CEF 中，EF x，CF BC BF 8 x ，CE CD DE 10 6 4，
2
由勾股定理得CE2 CF 2 EF 2 ，则 42 8 x x2 ，
解得 x 5，
故BF 5．
题型 08 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
1．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝3，则 AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【分析】根据 C 90°，利用勾股定理可得 AB2 BC 2 AC 2 ，据此求解即可．
【详解】解：如图示， C 90°
∴在RtVABC 中， AB2 BC 2 AC 2
∴ AB2 BC 2 AC 2 AB2 AB2 2AB2 2 32 18，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长 a，b ， c满足 a2 b2 c2
是解题的关键．
2．如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC 于 D，M 为 AD 上任一点，则 MC2－MB2等于（ ）
A．29 B．32 C．36 D．45
【答案】D
【分析】在 Rt△ABD 及 Rt△ADC 中可分别表示出 BD2及 CD2，在 Rt△BDM 及 Rt△CDM 中分别将 BD2及
CD2的表示形式代入表示出 BM2和 MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】解：在 Rt△ABD 和 Rt△ADC 中，
BD2＝AB2 AD2，CD2＝AC2 AD2，
在 Rt△BDM 和 Rt△CDM 中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2 AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2 AD2＋MD2，
∴MC2 MB2＝（AC2 AD2＋MD2） （AB2 AD2＋MD2）
＝AC2 AB2
＝45．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两
次运用勾股定理求出 MC2和 MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．
3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC，BD交
于点O，若 AD 3， BC 8，则 AB2 CD2 ．
【答案】73
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在Rt△COB 和RtVAOB 中，根据勾股定理得BO2 CO2 CB2，OD2 OA2 AD2，进一步得
BO2 CO2 OD2 OA2 64 9 73，再根据 AB2 BO2 AO2，CD2 OC 2 OD2 ，然后根据等量代换即可
解答．
【详解】解：∵BD ^ AC ，
∴ COB AOB AOD COD 90°，
在Rt△COB 和RtVAOB 中，根据勾股定理得：BO2 CO2 CB2，OD2 OA2 AD2，
∴CB2 AD2 BO2 CO2 OD2 OA2 64 9 73，
∵ AB2 BO2 AO2，CD2 OC 2 OD2 ，
∴ AB2 CD2 BO2 AO2 OC 2 OD2 BO2 OD2 AO2 OC 2 CB2 AD2 73 .
故答案为：73．
4．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O．若 AC ^ BD ，AB 4，CD 5 ，则BC 2 AD2 ．
【答案】21
【分析】根据勾股定理即可解答．
【详解】解：Q AC ^ BD， AB 4，CD 5 ，
\在RtVAOB 中，OA2 +OB2 = AB2 = 42 =16 ，
2
\在RtVCOD 中，OC 2 +OD2 = CD2 = 5 = 5，
又Q在RtVAOD中，OA2 OD2 AD2，
在RtVBOC 中，OB2 OC 2 BC 2 ，
\BC 2 + AD2
= OB2 +OC 2 + OA2 +OD2
= OB2 +OA2 + OC 2 +OD2
AB2 CD2
16 5
21．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．
5．如图，在VABC 中， AD ^ BC ．
(1)求证： AB2 - AC 2 = BD2 -CD2；
(2)当 AB 8，BC 6， AC 2 13时，求 AD 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) AD 4 3；
【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股
定理是解决问题的关键．
（1）在Rt△ABD 和RtVADC 中，分别运用勾股定理可得 AB2 AD2 BD2， AC 2 AD2 CD2 ，利用 AD 边
相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出BD2 -CD2 的值，利用平方差公式，结合 BC BD CD 6 ，可求得
BD CD ，而BD CD 6 ，由此可求得BD、CD，由勾股定理即可求出 AD ．
【详解】（1）证明：Q AD ^ BC ，
\ 在Rt△ABD 和RtVADC 中，根据勾股定理得，
AB2 AD2 BD2， AC 2 AD2 CD2 ，
\ AB2 BD2 = AD2 = AC 2 CD2 ，
移项得： AB2 - AC 2 = BD2 -CD2．
故 AB2 - AC 2 = BD2 -CD2．
（2）解：Q AB2 - AC 2 = BD2 -CD2， AB 8， AC 2 13
\ BD2 -CD2 = AB2 - AC2 = 82 - (2 13)2 = 64 - 52 =12，
\ BD2 -CD2 = (BD +CD（) BD -CD) =12，
Q BC 6，即BD CD 6 ，
\ BD CD 2 ，
ìBD CD 6 ìBD 4
\ íBD CD 2，解得 í ， CD 2
\ AD2 AB2 BD2 82 42 64 16 48，
\ AD 4 3．
题型 09 利用勾股定理证明线段平方关系
1．如图，在VABC 中， AB BC AC ， AE CD ， 与BE相交于点 P，BQ ^ AD 于 Q．则BP与BQ的
关系为（　　）
A．BP2 2BQ2 B．3BP2 4BQ2 C． 4BP2 3BQ2 D． 2BP2 3BQ2
【答案】B
【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，
证明VADC ≌VBEA是解题的关键．
【详解】解：∵ AB BC AC ，
∴VABC 是等边三角形．
∴ BAC C 60°．
∵ AB AC，AE CD，
∴VADC ≌VBEA（SAS），
∴ ABE CAD ．
∵ CAD BAD 60°，
∴ ABE BAD 60°．
∴ BPQ 60°．
∵BQ ^ AD ，
∴ PBQ 30°．
∴BP 2PQ ，
∵ BQP 90°，
∴BP2 PQ2 BQ2 ，
2
∴BP2 1 BP

÷ BQ
2
è 2
∴3BP2 4BQ2
故选：B．
2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC，BD交
于点O．若 AD 1，BC 4，则 AB2 CD2 等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D． 20
【答案】C
【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定
理的计算是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 ABCD是“垂美”四边形，即 AC ^ BD ，
∴在RtVAOB 中， AB2 OA2 OB2 ，在RtVCOD 中，CD2 OC 2 OD2 ，
∴ AB2 CD2 OA2 OB2 OC 2 OD2 ，
在RtVAOD中， AD2 1 OA2 OD2 ，在RtVBOC 中，BC 2 42 OB2 OC 2 ，
∴ AD2 BC 2 OA2 OB2 OC 2 OD2，
∴ AB2 CD2 AD2 BC 2 1 42 17，
故选：C ．
3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形 ABCD中，对角线 AC，BD 交于点
O，若 AD 7，BC 24，则 AB2 CD2 ．
【答案】625
【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是
解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
【详解】解：由题意得： AC ^ BD ，
\ AOD AOB BOC COD 90°,
由勾股定理得， AB2 CD2 AO2 BO2 CO2 DO2 ,
\ AD2 BC 2 AO2 DO2 BO2 CO2 ,
\ AB2 CD2 AD2 BC 2 ,
Q AD 7，BC 24
\ AB2 CD2 72 242 625
故答案为：625．
4．如图，在四边形 ABCD中，对角线分别为 AC ， ，且 AC ^ BD 于点O，若 AD＝2，BC＝6，则
AB2 CD2＝ ．
【答案】40
【分析】 、 分别是两个直角三角形的斜边。
在RtDAOB中， AB2 OA2 OB2 ，
在RtDCOD中，CD2 OC 2 OD2 ，
AB2 CD2 OA2 OB2 OC 2 OD2 (OA2 OD2 ) (OB2 OC 2 ) AD2 BC 2
进而求解．
【详解】在RtDAOB中和RtDCOD中， AB2 OA2 OB2 ，CD2 OC 2 OD2 ，
AB2 CD2 OA2 OB2 OC 2 OD2
(OA2 OD2 ) (OB2 OC 2 )
AD2 BC 2
62 22
40
故答案为：40．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
5．如图，在VABC 中， AB AC ， AD ^ BC 于点 D， CBE 45°，BE 分别交 AC ， AD 于点 E、F，连接
CF ．
(1)判断VBCF 的形状，并说明理由；
(2)若 AF BC ，求证：BF 2 EF 2 AE2 ．
【答案】(1)VBCF 为等腰直角三角形，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，
第二问正确作出辅助线是关键．
（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD CD，得 AD 垂直平分BC ，则BF CF ，再利用 CBE 45°
即可证明；
（2）在 BF 上取一点 H，使 BH EF ，连接CH ，证明VCHB≌VAEF SAS ，得 AE CH ， AEF BHC ，
由等腰三角形三线合一的性质得EF FH ，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
【详解】（1）解：VBCF 为等腰直角三角形，理由如下：
∵ AB AC ， AD ^ BC
∴BD CD，
∴ AD 垂直平分BC ，
∴BF CF ，
∵ CBE 45°，
∴ BCF CBF 45°，
∴ CFB 180° 45° 45° 90°，
∴VBCF 为等腰直角三角形；
（2）解：在 BF 上取一点 H，使BH EF ，连接CH ，
∵VBCF 为等腰直角三角形， AD ^ BC ，
∴ CFB 90°， CFD BFD 45°，
∴ AFE 45°，
在VCHB 和△AEF 中，
ì BH EF

í CBH AFE 45°，

BC AF
∴VCHB≌VAEF SAS ，
∴ AE CH ， AEF BHC ，
∴ CEF CHE，
∴CE CH ，
又∵ CFB 90°，
∴EF FH ，
Rt△CFH 中，由勾股定理得：CF 2 FH 2 CH 2 ，
∴BF 2 EF 2 AE2 ．
题型 10 以直角三角形三边为边长的图形面积
1．如图，在Rt△ABC 中， ACB 90°，以Rt△ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S ，S ，S
表示．若 S 10，S 3，则S 的值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形面积，根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解
【详解】解：在Rt△ABC 中，由勾股定理得，BC 2 AB2 AC 2 ，
∵以Rt△ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S ，S ，S 表示．
∴ AB2 10, AC 2 3 ,
∴BC 2 10 3 7,
∴ S2 7 ,
故选：C
2．有一个面积为 1 的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图 1），其中，三
个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了 4 个正方形（如图 2），如果按此规律
继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了 2023 次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理．设第一个直角三角形的两条直角边是 a，b ，斜边是 c．则
a2 b2 c2 1，“生长”1 次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方
形的面积，“生长”2 次后，所有的正方形的面积和是3 1 3，从而得出规律．
【详解】解：设第一个直角三角形的两条直角边是 a，b ，斜边是 c．
根据勾股定理，得 a2 b2 c2 1，
由图 1 可知，“生长”1 次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形
的面积，
即所有正方形的面积和是 2 1 2，
由图 2 可知，“生长”2 次后，所有的正方形的面积和是3 1 3，
L
“生长”了 2023 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 2024 1 2024．
故选：D．
3．在直线 L 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别 1、4、9，正放置
的四个正方形的面积依次为 S1， S2， S3 ， S4 ，则 S1 S2 S3 S4 的值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明
AB2 DE 2 DE 2 CD2 CE 2 是解题的关键．
证△ABC ≌△CDE ，得 AB2 DE 2 DE 2 CD2 CE 2 ，同理FG2 LK 2 HL2，S1 S2 S3 S4 9 1 10．
【详解】解：如图所示，
在VABC 和VCDE中，
ìEC AC

í ECD CAB ，

ACB CED
\△ABC≌△CDE(ASA)，
\ AB CD ，BC DE ，
\ AB2 DE2 DE2 CD2 CE2 9，
同理可证FG2 LK 2 HL2 1，
\S1 S2 S
2 2
3 S4 CE HL 9 1 10．
故答案为：10．
4．如图，在Rt△ABC 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 S1, S2 , S3 ，若
S3 S2 S1 18．则图中阴影部分的面积为
9
【答案】
2
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出 S3 S1 S2 是解题的关键．
由勾股定理得出 S3 S1 S2 ，再根据 S3 S2 S1 18可得出 S2的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：BC 2 AC 2 AB2 ，
即 S3 S1 S2 ，
Q S3 S2 S1 18，
\S2 9，
1
由图形可知，阴影部分的面积为 S2 ，2
9
∴阴影部分的面积为 ，
2
9
故答案为： ．
2
5．如图，在Rt△ABC 中， ABC 90°，分别以VABC 的三边为直径画半圆，
(1)若 AB 8， AC 10，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和．
(2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于VABC 的面积．
【答案】(1) 24；
(2)证明见解析．
1
【分析】（1）根据勾股定理求出BC AC 2 AB2 6，可得 SVABC AB·BC 24，设以 AB、BC、AC 为直2
径的半圆分别为①、②、③，分别求出 S 、S 、S ，最后根据 S阴影 S S SVABC S① ② ③ ① ② ③ 即可求解；
（ 2）由勾股定理得 AB2 BC 2 AC 2 ，设以 AB、BC、AC 为直径的半圆分别为①、②、③，可得
S 1 AB
2 π π
π AB2 S BC 2 S
π
AC 2 S S π AB2 BC 2 π， AC 2
① 2 2 ÷ 8 ②
， ③ ，进而得到8 8 ① ② 8 ，即得è 8
S S S ，即可得 S阴影 S S SVABC S S① ② ③ ① ② ③ VABC ；
本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ABC 90°，
∴BC AC 2 AB2 102 82 6，
S 1 1∴ VABC AB·BC 8 6 24，2 2
设以 AB、BC、AC 为直径的半圆分别为①、②、③，
1
则 S π 8 1 2 2 8π ， S π 6 2 2 9 1 25 π ， S π 10 2 2 π① 2 ② 2 2 ③ ，2 2
S S S S S 8π 9 π 24 25∴ 阴影 VABC π 24① ② ③ ；2 2
（2）证明：∵ ABC 90°，
∴ AB2 BC 2 AC 2 ，
设以 AB、BC、AC 为直径的半圆分别为①、②、③，
S 1
2
π AB π则 2
① 2 2 ÷
AB ，
è 8
π 2 π 2
同理得， S BC ， S AC② 8 ③
，
8
π
∴ S S AB2 BC 2 π AC 2① ② ，8 8
∴ S S S① ② ③，
∴ S阴影 S S SVABC S S① ② ③ VABC ．
题型 11 用勾股定理解三角形
1．如图，在Rt△ABC 中， C 90°, D 为 AB 的中点，连接CD，若CD 5, AC 6，则BC 的长为（ ）
A．5 2 B．8 C．5 3 D．10
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边 的一半和勾股
定理是解题的关键．
先根据直角三角形的性质求得 AB 2CD 10，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC 中， C 90°，D 为 AB 的中点，CD 5，
∴ AB 2CD 10，
∴BC AB2 AC 2 102 62 8，
故选：B．
2．如图，在四边形 ABCD中，连接 AC ，已知 AD DC 4， AB 7 ， ABC 90°， AB∥CD，则BC
（ ）
A． 7 B．5 C． 33 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，过点 C
作CE ^ AD交 AD 的延长线于点 E，先由等边对等角和平行线的性质证明 BAC CAD ，即 AC 平分
BAD ．再由角平分线的性质得到BC CE ，则可证明VABC≌VAEC AAS 得到 AE AB 7 ，则
DE AE AD 7 4 3，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点 C 作CE ^ AD交 AD 的延长线于点 E．
∵ AD DC 4，
\ DAC ACD ．
∵ AB∥CD，
\ BAC ACD ，
\ BAC CAD ，即 AC 平分 BAD ．
∵ ABC 90°，即BC ^ AB，且CE ^ AD，
\ BC CE ．
∴VABC≌VAEC AAS
\ AE AB 7 ，
\ DE AE AD 7 4 3．
在Rt△DEC 中，由勾股定理得CE DC 2 DE2 42 32 7 ，
\ BC CE 7 ．
故选 A．
3．把两块同样大小的含 45°角的三角尺，按如图方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶
点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上，若 AB 2 2 ，则CD ．
【答案】 2 3 2 / 2 2 3
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理的综合应用，充分利用等腰直角三角形这一条件，
作边BC 的高，构造直角三角形RtVADF 是本题的重点．根据等腰三角形的判定，可知Rt△ABC 也是等腰
三角形，从而求出BC 的长，作BC 边上的高，求出 BF 和 AF ，再利用勾股定理求出DF ，最后利用
CD BF DF BC 计算即可．
【详解】解：过点 A 作 AF ^ BC 于 F，如下图所示，
在Rt△ABC 中， B 45°，
∴ AB AC ，
2
∴BC 2AB 4，BF AF AB 2，
2
又∵VABC 和VEAD是两个同样大小的含 45°角的三角尺，
∴ AD BC 4，
∴在RtVADF 中，根据勾股定理得，DF AD2 AF 2 2 3 ，
∴CD BF DF BC 2 2 3 4 2 3 2，
故答案为： 2 3 2．
4．如图，在VABC 中， AB AC, BC 4,△DEF 的周长是 8， AF ^ BC 于点F , BE ^ AC 于点E ，且点D是
AB 的中点，则 AF 等于 ．
【答案】4 2
【分析】根据直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质即可求出答案．本题考查勾股定理，直角三
角形斜边上的中线，解题的关键是熟练运用直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，本题属于中等
题型．
【详解】解：Q AB AC ， AF ^ BC ，
1
\ AF 是VABC 的中线，CF BF BC 2，
2
QD是 AB 的中点，
\DF 是VABC 的中位线，
设 AB AC 2x，
\DF x，
QBE ^ AC ，点D是 AB 的中点，点F 是BC 的中点，
1 1
\ DE AB x ，EF BC 22 ，2
QVDEF 的周长为 8，
\ x x 2 8，
\ x 3，
\ AC 6，
由勾股定理可知： AF AC 2 CF 2 62 22 4 2 ，
故答案为：4 2
5．如图，在VABC 中， AB AC ，BD ^ AC 于点 D．
(1)若 A 42° ，求 DBC 的度数；
(2)若CD 1，BC 2 2 ，求BD，AB 的长．
【答案】(1) 21°
(2) BD 7 ， AB 4
【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出 C 69°，再根据三角形外角的性质进行求解即
可；
（2）先利用勾股定理求出BD 7 ，设 AB AC x ，则 AD x 1，在Rt△ABD 中，由勾股定理得
x2 (x 1)2 ( 7)2，解方程即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设未知数构建方
程是解题的关键．
【详解】（1）解：∵在VABC 中， AB AC ， A 42° ，
180° A
∴ ABC C 69°，
2
∵BD ^ AC ，
即 ADB 90°，
∴ DBC 90° C 21°；
（2）解：∵在Rt△DBC 中， BDC=90° ，CD 1，BC 2 2 ，
∴BD2 BC 2 CD2 7．
设 AB AC x ，则 AD AC CD x 1，
在Rt△ABD 中，由勾股定理得： AB2 AD2 BD2，
∴ x2 x 1 2 7．
解得 x 4．
∴ AB 4．
题型 12 利用勾股定理的逆定理求解
1．如图，已知VABC 中， AB 的垂直平分线交BC 于点 D， AC 的垂直平分线交BC 于点 E，点 M，N 为垂
足，若BD
3
，DE 2， EC 5 2 ，则 AC 的长为（ ）2
A 3 10 B 3 6 3 5． ． C． D．3 2
2 2 2
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，
已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形．
根据线段垂直平分线的性质得出 AD ， AE 的长，利用勾股定理逆定理得出VADE 是直角三角形，进而利用
勾股定理解答即可．
【详解】解：连接 AD ， AE ，
∵ AB 的垂直平分线交BC 于点 D， AC 的垂直平分线交BC 于点 E，
3 5
∴ AD BD ， AE EC ，
2 2
∵DE 2，
2 2
∴ AD2 DE2 3 2 25 5 2 2 ÷
2
4 2 ÷
AE ，
è è
∴VADE 是直角三角形，
∴ ADE 90°，
2 2
3 5 3 10
由勾股定理可得： AC AD2 DC 2 ÷ 2 ÷ ，
è 2 è 2 2
故选：A．
2．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：AB 3米，BC 4
米， AD 12 米，CD 13米，且 AB ^ CB．则这块草坪的面积是（ ）
A．36m2 B． 26m2 C．30m2 D． 40m2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定
理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意
图．体会数形结合的思想的应用．连接 AC ，根据勾股定理，求得 AC ，再根据勾股定理的逆定理，判断VACD
是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接 AC ，如图，
Q AB ^ BC ，
\ ABC 90°，
Q AB 3米，BC 4米，
\ AC 5米，
QCD 13米，DA 12 米，
\AC2 AD2 CD2 ，
\VACD 为直角三角形，
\这块草坪的面积 SVABC SVACD 3 4 2 5 12 2 6 30 36cm
2
，
故选：A．
3．如图，在VABC 中， AB 3, AC 5， AD 是边BC 上的中线， AD 2，则△ACB的面积是 ．
【答案】6
【分析】如图所示，延长 AD 至E ，使得 AD DE ，连接CE，可证VABD≌VECD(SAS) ，可得
S△ACB S△ACD S△ABD S△ACD S△CDE S△ACE ，根据勾股定理的逆定理可证△ACE是直角三角形，由此即可
求解．
【详解】解：如图所示，延长 AD 至E ，使得 AD DE ，连接CE，
∴ AE 2AD 2 2 4，
∵ AD 是边BC 上的中线，
∴BD CD，
在△ABD,△ECD 中，
∵ AD ED ， ADB EDC ，BD CD，
∴VABD≌VECD(SAS) ，
∴ AB CE 3，
∴ S△ACB S△ACD S△ABD S△ACD S△CDE S△ACE ，
在△ACE中， AC 5,CE 3, AE 4，
∴CE2 AE2 AC 2 ，即32 42 52，
∴△ACE是直角三角形，
S 1 1∴ △ACE CEgAE 3 4 6，即△ACB的面积是62 2
故答案为：6 ．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题
的关键．
4．如图，在四边形 ABCD中， AB 3，BC 13，CD 12， AD 4，且 A 90°，则四边形 ABCD的面积
是 ．
【答案】36
【分析】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．连接BD，知四边形的面积是
VADB和△BCD的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到△BCD是一个直角三角形．则四边
形面积可求．
【详解】解：连接BD，
则BD AB2 AD2 32 42 5，
Q52 122 132 ，即BD2 CD2 BC 2，
\△BCD 为直角三角形，
\ 1 1 1 1四边形的面积 SVADB SVBCD AD × AB BD ×CD 3 4 5 12 36，2 2 2 2
故答案为：36．
5．如图，VABC 中， AB AC ，BC 长为 10，点D是 AC 上的一点，BD 8，CD 6．
(1)求证：BD ^ AC ；
(2)求线段 AB 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 253
【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的
三边长 a，b ， c满足 a2 b2 c2，那么这个三角形就是直角三角形．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）设 AB x ，则 AB AC x ，得到 AD x 6，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】（1）证明：QBC 10 ，BD 8，CD 6，
\ BD2 CD2 82 62 102 BC 2 ，
\ BDC 90°，
\BD ^ AC ；
（2）解：设 AB x ，则 AB AC x ，
QCD 6，
\ AD x 6，
Q AB2 BD2 AD2 ，
\ x2 82 (x 6)2 ，
x 25解得： ，
3
AB 25\ ．
3
题型 13 勾股定理逆定理的实际应用
1．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中
小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为 5，
12，13，问该沙田的面积为（ ）
A．60 B．75 C．30 D．78
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明这块沙田是直角三角形，从而得出
直角边为 5，12，斜边为 13，最后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为 5，12，13，
∴52 122 169，132 169，
∴52 122 132 ，
∴这块沙田是直角三角形，
直角边为 5，12，斜边为 13，
1
∴这块沙田的面积为 5 12 30
2
故选：C．
2．小数同学向东走 5 米，沿另一个方向又走了 12 米，再沿着第三个方向走了 13 米回到原地，那么小数同
学向东走 5 米后所走的方向是（ ）
A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理应用，作出图形是解题的关键．根据题意画出图形，利用勾股定
理的逆定理即可得到答案．
【详解】解：如图， AB 5, BC BD 12, AC AD 13，
Q52 122 132 ，
\ ABC ABD 90°，
故小数同学向东走 5 米后所走的方向是向南或向北，
故选 D．
3．如图，在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某
方向以每小时15海里的速度前进， 2小时后甲船到M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距34海里，则乙船沿
方向航行．
【答案】南偏东30°
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形
的三边长 a，b，c 满足 a2 b2 c2，那么这个三角形就是直角三角形．
首先根据速度和时间计算 BM 、BP的路程，再根据勾股定理逆定理证明 AOB 90°，进而可得答案．
【详解】解：由题意得：甲船的路程：BM 8 2 16（海里），
乙船的路程：BP 15 2 30 （海里），
∵302 162 342 ，
∴ MBP 90°，
∵ BM 是北偏东60°方向，
∴BP是南偏东30°．
故答案为：南偏东30°．
4．如图，某港口C 在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、
慢两船每小时分别航行 12 海里和 5 海里，2 小时后两船分别位于点 A ， B 处，且相距 26 海里，如果知道
快船沿北偏西50°方向航行，那么乙船沿 方向航行．
【答案】南偏西 40°
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
根据勾股定理逆定理求出 APB 90°，进而可得 BCF 180° ACB ACN 40°，然后问题可求解．
【详解】解：如图所示，
由题意得： AC 2 12 24（海里），BC 2 5 10（海里）， ACN 50°， AB 26 海里，
∴ AC 2 BC 2 676 AB2 ，
∴ ACB 90°，
∴ BCF 180° ACB ACN 40°，
∴乙船沿南偏西 40°方向航行．
故答案为：南偏西 40°．
5．台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟
花”中心沿东西方向 由A 向 B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线 上的两点A 、 B 的距离分别为
AC 300km，BC 400km，又 AB 500km ，经测量，距离台风中心 260km及以内的地区会受到影响．
(1)求 ACB 的度数；
(2)海港C 受台风影响吗？为什么？
(3)若台风中心的移动速度为 25 千米 / 时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)90°
(2)受台风影响；理由见解析
(3)8 小时
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．
（1）利用勾股定理的逆定理得出VABC 是直角三角形，进而得出 ACB 的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C 是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）Q AC 300，BC 400， AB 500，
\ AC 2 BC 2 AB2 ，
VABC 是直角三角形， ACB 90°；
（2）海港C 受台风影响，理由：过点C 作CD ^ AB 于D，
∵VABC 是直角三角形，
\ AC BC CD AB，
\300 400 500 CD ，
\CD 240，
Q以台风中心为圆心周围 260以内为受影响区域，
\海港C 受台风影响；
（3）当EC 260，FC 260时，正好影响C 港口，
QED EC 2 CD2 2602 2402 100 ，
\EF 2ED 200，
Q台风的速度为 25 千米 / 小时，
\200 25 8（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为 8 小时．
1．在Rt△ABC 中，斜边BC 4，则 AB2 AC 2 BC 2 的值为（ ）
A．32 B．28 C．8 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理．直接根据勾股定理得出 BC 2 AB2 AC 2 16即可求解．
【详解】解：在Rt△ABC 中，斜边BC 4，
\ BC 2 AB2 AC 2 16 ，
\ AB2 AC 2 BC 2 16 16 32，
故选：A．
2．已知VABC 的三边分别是 a、b、c，下列条件中不能判断VABC 为直角三角形的是（ ）
A． A+ B C B． A: B: C 1: 2: 3
C． a2 b2 c2 D． a2 5，b2 12，c2 13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理；根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，
进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵ A B C 180°， A+ B C
∴ C C 180°
∴ C 90°，即VABC 为直角三角形，故该选项不符合题意；
B、∵ A B C 180°， A: B: C 1: 2: 3
∴ C 180
3
° 90°
1 2 3
即VABC 为直角三角形，故该选项不符合题意；
C、∵ a2 b2 c2
∴ a2 c2 b2 ，即VABC 为直角三角形，故该选项不符合题意；
D、∵ a2 5，b2 12，c2 13
∴ a2 b2 c2，
∴VABC 不是直角三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
3．已知RtVABC 的两条直角边分别为 6，8，现将RtVABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点 B 重合，则 BE
的长为（ ）
25 15 25 15
A． B． C． D．
2 2 4 4
【答案】C
【分析】本题考查了图形的翻折变换，勾股定理，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据
轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
根据图形翻折变换的性质可知， AE BE ，设 AE x，则BE x,CE 8 x ，再RtVBCE 中利用勾股定理即
可求出 BE 的长度．
【详解】解：∵VADE 翻折后与VBDE 完全重合，
\ AE BE ，
设 AE x，则BE x,CE 8 x ，
∵在RtVBCE 中，CE2 BC 2 BE2 ，
2
即 8 x 62 x2 ，
解得， x
25
，
4
\ BE 25
4 ，
故选：C．
4．如图，在VABC 中， AC 2， B 45°， C 30°，则BC 的长度为（　　）
A． 3 B．2 C．1 3 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形、30°角所对的直角边等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握“30°角所
对的直角边等于斜边的一半”．过A 作 AD ^ BC 于D，在RtVADC 与Rt△ADB 中结合30°角所对的直角边等
于斜边的一半及等腰直角三角形的性质求出CD、BD即可．
【详解】解：过A 作 AD ^ BC 于D，
\ ADB ADC 90°
在RtVADC 中， C 30°， AC 2，
1
\ AD AC 1，
2
\CD AC 2 AD2 22 12 3，
在Rt△ADB 中， B 45°， AD 1，
\BD AD 1，
\BC BD CD 1 3 ．
故选：C．
5．如图，在对角线互相垂直的四边形 ABCD中， ACD 60°， ABD 45°．A 到CD距离为 6，D 到 AB 距
离为 4，则四边形 ABCD面积等于（ ）
A．6 6 B．12 6 C．8 6 D．16 6
【答案】C
【分析】题目主要考查勾股定理解三角形，直角三角形的特征，四边形面积，根据题意，作出辅助线，得
出 AC 4 3，BD 4 2 是解题关键．
分别过点 A 和 D 作 和 边上的高 AE, DF ，利用勾股定理得出 AC 4 3，BD 4 2 ，然后求解即可．
【详解】解：如图，分别过点 A 和 D 作 和 边上的高 AE, DF ．
在RtVACE中， ACD 60°， AE 6，
∴ CAE 30°，
∴ AC 2CE ，
∴ 2CE 2 CE2 62，
解得：CE 2 3 ，
∴ AC 4 3．
在RtVBDF 中， ABD 45°， DF 4，
∴BF DF 4 ，
∴BD 42 42 4 2 ．
Q AC ^ BD，
1 1
∴四边形 ABCD面积 AC BD 4 3 4 2 8 6 .
2 2
故选：C．
6．如图， BAC BDC 90°，点E 为BC 的中点，EF ^ AD 于点F ，若BC 10，AD 6，则△AED 的
面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，先利用直角三
1
角形斜边上的中线性质可得 AE DE BC 5，再利用等腰三角形的三线合一性质可得 AF 3，然后在
2
RtVAFE 中，利用勾股定理求出EF 的长，最后利用三角形的面积进行计算即可解答，熟练掌握直角三角形
斜边上的中线，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵ BAC BDC 90°，点E 为BC 的中点，BC 10，
∴ AE
1
BC 5 1，DE BC 5，
2 2
∴ AE DE 5，
∵EF ^ AD ，
1
∴ AF AD 3，
2
在RtVAFE 中，EF AE2 AF 2 52 32 4，
1
∴△AED 的面积 AD·EF
2
1
6 4
2
12 ，
故选：C ．
7．一直角三角形两边长为 a，b，且满足 a 1 b 2 0 ，则其第三边长为 ．
【答案】 3或 1
【分析】本题考查的是勾股定理、非负数的性质．根据非负数的性质求出 a、b ，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：当 a，b 是两直角边，
Q a 1 b 2 0 ，
\a 1 0，b 2 0，
解得， a 1，b 2 ，
当 a，b 都是直角边时，由勾股定理得，斜边 a2 b2 3 ，
当b 2 为斜边时，第三边 b2 a2 1，
故答案为： 3或 1．
8．如图所示，在VABC中， C 90°，AC AB 10，BC 3，求 AC 的长度．在这个问题中，可求得 AC
的长度为 ．
91
【答案】
20
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实
际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思
想的应用．
设 AC x，可知 AB 10 x，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：设 AC x，
∵ AC AB 10，
∴ AB 10 x．
∵在VABC中， C 90°，
2 2∴ AC BC 2 AB2 ，即 x2 32 10 x ．
91
解得： x
20
91
故答案为 ．
20
9．如图，分别以VABC 各边为边在VABC 外作正方形，S1，S2，S3 分别表示这三个正方形的面积，已知 S1 81，
S2 144， S3 225，则VABC 是 三角形．
【答案】直角
2 2 2
【分析】本题考查直角三角形的判定，正方形的面积 边长 边长，则 S1 AC 、S2 BC 、S3 AB ，由所
给数据可知 AC 2 BC 2 AB2 ，结合勾股定理逆定理的知识求解即可．
【详解】解：QS1 81， S2 144， S3 225，
\S1 S2 S3，
\ AC 2 BC 2 AB2 ，
\VABC 是直角三角形．
故答案为：直角．
10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较
2
长直角边长为 a，较短直角边长为b ，若 a b 21，小正方形的面积为 6，则大正方形的面积为 ．
27
【答案】
2
【分析】本题考查了勾股定理，由题意可知，中间小正方形的边长为 a b，根据勾股定理以及题目给出的
已知数据即可求出大正方形的面积为 a2 b2 ．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为 a b，
\ a b 2 6，即 a2 b2 2ab 6①，
a b 2∵ 21，
\a2 b2 2ab 21②，
2 2
① ②得 2 a b 27 ，
2 2 27
∴大正方形的面积 a b ，
2
27
故答案为： ．
2
11．如图，在VABC 中，点 D 是BC 边上一点，连接 AD ，把△ABD 沿着 AD 翻折，得到VAB D，B D 与 AC
交于点 M，且 M 为DB 的中点，连接BB 交 AD 于点 N，若 AB 4 2 ， AN 4，SVAB M 7，则点 B 到DB
的距离为 ．
24
【答案】
5
【分析】本题考查图形的折叠，勾股定理，由三角形中线求三角形面积，由M是DB 的中点，可知 SVAMB SVADM ，
再由折叠可知 SVABD SVAB D ，可求 SVAB D 14，再求出BN B N 4，BB 8，则 SVABN 8，SVBDN 6，可
求 ND 3，在Rt△BDN 中，BD 5，再由折叠可知B D BD 5，设 B 到 B D 的距离为 h，由
S 1 1VB BD BB DN B D h，即可求点 B 到DB 的距离．2 2
【详解】解：由折叠可知， AD ^ BB ，BN NB ，
QM 是DB 的中点，
\SVAMB SVADM ，
QS△AB M 7，
\SVADM 7，
\SVAB D 14，
由折叠可知， SVABD SVAB D ，
\SVABD 14，
Q ANB 90°，AB 4 2，AN 4，
\BN B N 4，
\BB 8，
\S 1VABN 4 4 8，2
\SVBDN 14 8 6，
6 1\ 4 ND，
2
\ ND 3，
在Rt△BDN 中，BD BN 2 ND2 42 32 5，
QB D BD，
\B D 5，
设 B 到 B D 的距离为 h，
S 1 1\ VB BD BB DN B D h，2 2
\8 3 5h，
24
\h ，
5
24
∴点 B 到DB 的距离为 ，
5
24
故答案为： ．
5
12．如图，边长为 2 的正VABC ，两顶点 A、B 分别在直角 MON 的两边上滑动，点 C 在 MON 的内部，
则OC 的长的最大值为 ；
【答案】 3 1 /1 3
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判定出当O、D、C 三
点共线时，OC 最长是解题的关键．取 AB 的中点D，连接CD，OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半求出OD 的长度，再根据等边三角形的性质求出CD的长，然后根据三角形任意两边之和大于第
三边可得OD CD > OC ，判定当O、D、C 三点共线时，OC 最长，然后求解即可．
【详解】解：如图，取 AB 的中点D，连接CD，OD ，
Q AOB 90°，点D为 AB 的中点，
\OD 1 AD BD 2 1
2 ，
Q等边三角形 ABC 的边长为 2，CD为中线，
\CD ^ AB，
2
\CD AC AD2 3 ，
在VODC 中，OD CD > OC ，
\当O、D、C 三点共线时，OC 最长，最大值为 3 1，
\OC 的最大值为： 3 1，
故答案为： 3 1
13．若 a，b 是一直角三角形的两边长，且满足等式 2 2a 4 3 2 a b 5．
(1)求 a，b 的值；
(2)求第三边的长．
【答案】(1) a 2,b 5
(2) 21或 29
【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，勾股定理：
（1）根据算术平方根的性质可得 2a 4 0,2 a 0，从而得到 a 2，即可求解；
（2）分两种情况：若第三边为斜边，若b 5为斜边，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 2 2a 4 3 2 a b 5，
∴ 2a 4 0,2 a 0，
∴ a 2，
∴b 5 0，
∴b 5；
（2）解：若第三边为斜边，第三边的长为 22 52 29 ；
若b 5为斜边，第三边的长为 52 22 21；
综上所述，第三边的长为 21或 29 ．
9
14．如图，在VABC中，CD ^ AB 于D， AC 4，BC 3，DB ，求 的长．
5
16
【答案】
5
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
根据CD ^ AB ，在RtVBCD 中运用勾股定理求出 的值，在RtVADC 中运用勾股定理即可求出 的值．
【详解】解：∵CD ^ AB ，
∴ ADC BDC 90° ，
2
在RtVBCD 中，CD BC 2 BD2 9 12 32 ÷ ，
è 5 5
2
在RtVADC 中， AD AC 2 CD2 12 42 16 ÷ ，
è 5 5
16
∴ 的长为 ．
5
15．如图， AB AC,CD ^ AB, BE ^ AC ，垂足分别为 D，E．
(1)求证：VABE≌VACD ；
(2)若 AE 6,CD 8，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2) 4
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）直接利用AAS证明VABE≌VACD ，即可；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵CD ^ AB, BE ^ AC ，
∴ ADC BEA 90° ，
又∵ A A, AB AC ，
∴VABE≌VACD AAS ；
（2）∵VABE≌VACD AAS ， AE 6,CD 8，
∴ AD AE 6，CD BE 8，
在RtVAEB 中，由勾股定理，得： AB AE2 BE2 10，
∴BD AB AD 10 6 4．
16．勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习
之余，他又对Rt△ABC （ ACB 90°）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面
的过程：
(1)填空：
①如图 1，将Rt△ABC 放置在边长都为 1 的正方形网格中，则 S1、S2、S3 之间的关系是______．
②如图 2，假设以Rt△ABC 的三边向形外作等边三角形为：△ACD、△BCF、△AEB ，若 AC 6, BC 8，则
S1、S2、S3 之间的关系是_______．
(2)如图 3，以Rt△ABC 的三边为直径向形外作半圆，若BC a, AC b, AB c，那么你在（1）中所发现的
S1、S2、S3 之间的关系是否还成立，并说明理由．
(3)如图 4，以Rt△ABC 的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为 8，则 SVABC ______．（直接填
写出结果）
【答案】(1)① S1 S2 S3 ；② S1 S2 S3
(2) S1 S2 S3 还成立，理由见解析
(3)8
【分析】（1）①根据正方形的面积公式、勾股定理，理由网格计算，得到答案；
②由勾股定理和等边三角形的面积公式可求解；
（2）由勾股定理和半圆的面积公式可求解；
（3）由面积的和差关系可求解．
【详解】（1）解：① S1 S2 S3 ，理由如下：
由网格可知： S1 2
2 32 13， S2 2
2 4 S 2， 3 3 9，
\S1、 S2、 S3 之间的关系是 S1 S2 S3 ，
故答案为： S1 S2 S3 ；
② S1 S2 S3 ，理由如下：
QS 31 AB
2 S 3 AC 2 S 3， 2 ， CB
2 ， AB2 AC 2 BC 2 ，
4 4 3 4
S 3 2 3\ 2 S3 AC BC
2 3 (AC 2 BC 2 ) 3 AB2 S ；
4 4 4 4 1
故答案为： S1 S2 S3 ；
（2）解： S1 S2 S3 还成立，理由如下：
1 AB 2 1 2 2QS p p AB2 S 1 p AC 1， p AC 2 S
1
p BC 11 ÷ 2 ， p BC
2 ， AB2 AC 2 BC 2 ，
2 è 2 8 2 ÷ 3 ÷è 2 8 2 è 2 8
\S2 S
1
3 p AC
2 1 p BC 2 1 1 p (AC 2 BC 2 ) p AB2 S
8 8 8 8 1；
\S1 S2 S3；
（3）解：Q
1 2 1 2 1 2
图中阴影部分的面积 S△ABC p AC p BC p AB8 8 8 ， AB
2 AC 2 BC 2 ，
\8 S△ABC ．
故答案为：8．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，
勾股定理等知识，利用勾股定理找到面积的数量关系是解题的关键．
17．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因
为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”．
(1)例如，如图 1，VABC 与VADE 都是等腰三角形，其中 BAC DAE ，则△ABD≌△________
（________）；
(2)类比：如图 2，已知VABC 与VADE 都是等腰三角形， AB AC ， AD AE ，且 BAC DAE ，求证：
BD CE ；
(3)拓展：如图 3， BAC DAE 90°， AB AC ， AD AE ，试探索线段CD，BD， AD 之间满足的等
量关系，并证明结论．
【答案】(1) ACE ，SAS
(2)见解析
(3) BD2 CD2 2AD2，见解析
【分析】（1）先证 BAD CAE ，再根据SAS即可证明△ABD≌△ACE ；
（2）先证 BAD CAE ，再根据SAS即可证明VBAD≌VCAE ；
（3）连接CE，先证VBAD≌VCAE ，则可得 B ACE 45° ，BD CE ，进而可得BD2 CD2 2AD2．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）解：∵VABC 与VADE 都是等腰三角形，
∴ AB AC ， AD AE
又∵ BAC DAE
∴ BAC CAD DAE CAD ，即 BAD CAE ，
ìAB AC
在VBAD和VCAE

中， í BAD CAE ，

AD AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
故答案为： ACE ， SAS
（2）证明：∵ BAC DAE ，
∴ BAC CAD DAE CAD，即 BAD CAE ，
ìAB AC
在VBAD和VCAE

中， í BAD CAE ，

AD AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD CE ；
（3）解：BD2 CD2 2AD2，理由如下：
连接CE，如图所示：
∵ BAC DAE 90°， AB AC ， AD AE ，
∴ BAC CAD DAE CAD ， B ACB 45°，DE 2AD，
∴ BAD CAE ，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴ B ACE 45° ，BD CE ，
∴ DCE 90°，
在RtVDCE中，由勾股定理得：CD2 CE2 DE2 ，
∴BD2 CD2 2AD2．
18．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】
（1）顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【巩固新知】
（2）已知VABC 是“准等边三角形”，其中 A 35°， C > 90°．求 B 的度数．
【解决问题】
（3）如图，在Rt△ABC 中， ACB 90°， A 30°，BC 1 3 ，点 D 在 AC 边上，若△BCD是“准等
边三角形”，直接写出BD的长．
【答案】（1）不是（2） B 的度数为50°或 42.5° 2 3 6（3）BD的长为 或 2 2
3
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解；
（2）分两种情况求解， C A 60°或 C B 60°，分别求解即可；
（3）△BCD是“准等边三角形”，分两种情况， C CBD 60°或 BDC CBD 60°，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°，
∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°，
∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；
（2）∵VABC 是“准等边三角形”， A 35°， C > 90°，
∴分两种情况：
当 C A 60°时，
∴ C A 60° 95°，
∴ B 180° C A 50°；
当 C B 60°时，
∵ A 35°，
∴ C B 180° A 145°，
∴ 2 B 85°，
∴ B 42.5°；
综上所述： B 的度数为50°或 42.5°；
3 BD 2 3 6（ ） 的长为 或 2 2 ．
3
∵ ACB 90°， A 30°，BC 1 3 ，
∴ ABC 90° A 60°， AB 2BC 2 2 3 ，
∵△BCD是“准等边三角形”，
∴分两种情况：
当 C CBD 60°时，
∴ CBD C 60° 30°，
∴BD 2CD，
∵CD2 BC 2 BD2，
2
∴CD2 1 3 2CD 2，
解得：CD 3 3 CD 3 3 或 （舍去），
3 3
BD 2CD 2 3 6∴ ；
3
当 BDC CBD 60°时，
过点 D 作DE ^ AB，垂足为 E，
∵ C 90°，
∴ BDC CBD 90°，
∴ 2 BDC 150°，
∴ BDC 75°，
∴ ABD BDC A 45°，
∴VBDE 是等腰直角三角形，
∴BE DE ，BD 2DE
设 DE BE x ，
在RtVADE 中， A 30°，
∴ AE 3DE 3x ，
∵BE AE AB ，
∴ x 3x 2 2 3，
解得： x 2，
∴BE DE 2 ，
∴BD 2DE 2 2 ；
BD 2 3 6综上所述： 的长为 或 2 2 ．
3
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含 30 度直角三角形的性质，勾股定理，
解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题．

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