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第 10 讲 特殊三角形 72 道压轴题型专项训练（12 大题型）
【题型目录】
压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题
压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题
压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题
压轴题型四 等腰三角形中的动点问题
压轴题型五 等边三角形中的动点问题
压轴题型六 直角三角形压轴问题（30 度角、斜边中线）
压轴题型七 直角三角形中的动点问题
压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题
压轴题型九 用勾股定理解三角形
压轴题型十 勾股定理与折叠问题
压轴题型十一 勾股定理的应用
压轴题型十二 勾股定理中的最短路径问题
【压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题】
1．在三角形纸片 ABC 中， A = 90°， C = 22°，点 D 为 AC 边上靠近点 C 处一定点，点 E 为BC 边上一动点，
沿DE 折叠三角形纸片，点 C 落在点C 处．有以下四个结论：
①如图 1，当点C 落在 BC 边上时， ADC = 44°；
②如图 2，当点C 落在△ABC 内部时， ADC + BEC = 44°；
③如图 3，当点C 落在△ABC 上方时， BEC - ADC = 44°；
④当C E∥AB时， CDE = 34°或 CDE =124°，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握折叠的性质是
解题的关键．由折叠的性质及三角形外角的性质、三角形内角和可判断①②③；分点C 落在△ABC 上方与
下方两种情况，由平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质与三角形内角和即可判断④．
【详解】解：当点C 落在 BC 边上时，
由折叠性质得：CD = C D ，
则 DC C = C = 22°，
\ ADC = DC C + C = 44°，
故①正确；
当点C 落在△ABC 内部时，
由折叠性质得： CDE = C DE， CED = C ED ，
又 CDE + CED =180° - C ，
Q ADC =180°- C DE - CDE =180°- 2 CDE ，
BEC =180°- C ED - CED =180°- 2 CED，
\ ADC + BEC =180°- 2 CDE +180°- 2 CED
= 360° - 2( CDE + CED)
= 360°- 2(180°- C)
= 2 C
= 44°；
故②正确；
当点C 落在△ABC 上方时，
由折叠性质得： CDE = C DE， CED = C ED ，
又 CDE + CED =180° - C ，
Q ADC = C DE + CDE -180°= 2 CDE -180°，
BEC =180°- C ED - CED =180°- 2 CED，
\ BEC - ADC =180°- 2 CED +180°- 2 CDE
= 360°- 2( CED + CDE)
= 360°- 2(180°- C)
= 2 C
= 44°；
即 BEC - ADC = 44°；
故③正确；
当C E∥AB时，
若点C 在 AC 下方，如图，
QC E P AB ，
\ C EB = B = 90°- C = 68°；
由折叠性质得： C ED = CED，
即 C EB + DEB =180°- C - CDE ；
而 DEB = C + CDE ，
\ C EB + C + CDE =180°- C - CDE ，
\ C EB =180°- 2 C - 2 CDE ，
即 CDE = 34°；
若点C 在 AC 上方，如图，
QC E P AB ，
\ C EC = B = 90°- C = 68°；
由折叠性质得： C ED = CED，
\ CED = 1 C ED = 34°
2 ，
\ CDE =180°- C - CED =124°
综上， CDE = 34°或 CDE =124°；
故④正确．
故选：D．
2．如图，在VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于点D，点M ，N 分别是线段BD、BC 上一动点，AB > BD
且 S△ABC =10， AB = 5，则CM + MN 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查轴对称-最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点 N 关于BD的对称点
N ，连接MN ，过点C 作CH ^ ABy 于点 H ．证明MN = MN ，再根据MN + MC = MN + MC CH ，求出CH ，
可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题．
【详解】解：作点 N 关于BD的对称点 N ，连接MN ，过点C 作CH ^ AB于点 H ．
Q BD平分 ABC ，
\点 N 关于BD的对称点在BA上，
\MN = MN ，
QMN + MC = MN + MC CH ，
QSVABC =10， AB = 5，
\ 1 5 CH = 10
2 ，
\CH = 4，
\MN + MC 4 ，
\ MN + MC 的最小值为 4．
故答案为：4．
3．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片 ABCD，如图 1，点E 在边 AD 上，点F ，G 分别在
边 AB ，CD上，分别沿EF ，EG 把 A， D向内折叠并压平，点A ，D分别落在点 A 和点 D 处．
小明同学的操作如图 2，点 D 在线段 EA 上；
小红同学的操作如图 3，点 A 在EG 上，点 D 在EF 上．
(1)在图 1 中，若 FEG = 110°，求 A ED 的度数；
(2)直接写出图 2 和图 3 中 FEG 的度数；
(3)若折叠后 A ED = n°(n 0)， 求 FEG 的度数(用含 n 的代数式表示)．
【答案】(1) 40°
(2)图 2 中， FEG = 90°；图 3 中， FEG = 60°
180° + n° 180° - n°
(3) 或
2 2
【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关
键．
（1）根据折叠的性质可得 AEF + DEG = A EF + D EG ，即可求解．
（2）图 2 根据折叠的性质得 AEF = A EF ， DEG = D EG ，从而可得 2( A EF + D EG) =180°，即
可求解；图 3 根据折叠的性质可得 AEF = A ED = DEG ，再由 AEF + A ED + DEG =180° ，即可
求解；
（3）分两种情况：先表示出 AEF + DEG 的度数，再根据 AEF + DEG + A EF + D EG + A ED =180°
和 FEG = A EF + D EG + A ED 进行求解即可．
【详解】（1）解：Q FEG =110°，
\ AEF + DEG =180° - FEG =180° -110° = 70°，
由折叠的性质得： AEF = A EF ， DEG = D EG
\ AEF + DEG = A EF + D EG = 70°，
\ A ED = FEG - ( A EF + D EG) =110° - 70° = 40°；
（2）解：图 2 中，由折叠的性质得： AEF = A EF ， DEG = D EG ，
\ AEF + DEG = A EF + D EG ，
Q AEF + DEG + A EF + D EG =180°，
\2 A EF + D EG =180°，
即 A EF + D EG = 90°，
\ FEG = A EF + D EG = 90°；
图 3 中，由折叠的性质得： AEF = A ED ， DEG = A ED ，
\ AEF = A ED = DEG ，
Q AEF + A ED + DEG =180°，
\ A ED = 60°，
即 FEG = 60°；
（3）解：分两种情况进行讨论：
①当△A EF 与VD EG 不重叠时，如图 1 所示：
由折叠的性质得： AEF = A EF ， DEG = D EG ，
\ AEF + DEG = A EF + D EG ，
Q AEF + DEG + A EF + D EG + A ED =180°，
即 2( A EF + D EG) + n° =180°，
A EF + D EG 180° - n°= ，
2
FEG A EF D EG A ED 180° - n° n 180° + n°\ = + + = + ° = ；
2 2
②当△A EF 与VD EG 重叠时，如图 4 所示：
由折叠的性质得： AEF = A EF ， DEG = D EG ，
\ AEF + DEG = A EF + D EG = FEG + A ED ，
又Q AEF + DEG + FEG =180°，
\ FEG + A ED + FEG =180° ，
即 2 FEG =180° - A ED =180° - n°，
FEG 180° - n°\ = ．
2
180° + n° 180° - n°
综上所述： FEG 的度数为 或 ．
2 2
4．如图，将长方形纸片 ABCD沿EF 折叠后，点C 、D分别落在点C 、D 的位置，C D 交BC 于点G ，再
将△C FG沿 FG 折叠，点C 落在C 的位置（C 在折痕EF 的左侧）．
(1)如果 FED = 65°，求 EFC 的度数；
(2)如果 AED = 40°，则 EFC = ________ ° ；
(3)探究 EFC 与 AED 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)115°
(2)30
EFC 3(3) + AED = 90°，见解析
2
【分析】（1）根据折叠的性质求出 DEF ，然后根据平行线的性质求解即可；
（2）先求出 DEF 的度数，然后利用平行线的性质求出 CFE 的度数，进而求出EFG 的度数，根据折叠
可求出 EFC 的度数，由角的和差关系求出 C FG 的度数，再根据折叠求出 C FG的度数，最后根据角
的和差关系求解即可；
（3）设 AED = a ，然后类似（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解∶根据题意，得 AD∥BC ，
∴ DEF + EFC =180°，
∵折叠， FED = 65o，
∴ DEF = D EF = 65°，
∴ EFC =180° - DEF =115°；
（2）解：∵ AED = 40°，
∴∠DED = 180° - AED = 140°，
由（1）知： DEF = D EF ，
1
∴ DEF = D EF = DED = 70°，
2
∵ AD∥BC ，
∴ EFC =180° - DEF =110°，
∵折叠，
∴ EFC = EFC =110°，
∵ EFC =110° ，
∴ EFG =180° - EFC = 70°，
∴ C FG = EFC - EFG = 40°，
∵折叠，
∴ C FG = C FG = 40°，
∴ EFC = EFG - GFC = 30°，
故答案为：30；
3
（3）解： EFC + AED = 90°
2
理由：设 AED = a ，
∴ DED =180° - AED =180° - α ，
由（1）知： DEF = D EF ，
DEF D EF 1 DED 180° - α∴ = = = ，
2 2
∵ AD∥BC ，
EFC 180 DEF 90 1∴ = ° - = ° + α ，
2
∵折叠，
∴ EFC = EFC
1
= 90° + α，
2
∵ EFC = 90
1
° + α ，
2
∴ EFG
1
=180° - EFC = 90° - α ，
2
∴ C FG = EFC - EFG = α ，
∵折叠，
∴ C FG = C FG = α，
∴ EFC = EFG - GFC = 90
3
° - α，
2
∴ EFC = 90
3
° - AED ，
2
∴ EFC
3
+ AED = 90°．
2
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，明确题意，利用平行线的性质探究出角之间的关
系是解题的关键．
5．东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图 1 所示折叠，点 F 在边BC 上，点 E，G
在其它三边上，FE和FG 为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现
B FC 随着点 E，G 的位置变化而变化，为了研究方便，把 BFE记为a ， CFG记为 b ．
(1)如图 1，当a = 30°, b = 40°时，求 B FC 的度数．
(2)如图 2，当点 F，B ，C 在同一直线上（即 B FC = 0°）时，探究a 和 b 的数量关系，并说明理由．
(3)在 EFG和 B FC 中，当其中一个角是另一个角的 3 倍时，求a + b 的度数．
【答案】(1) 40°
(2)a + b = 90°
720
(3)72°或 ÷°7 或144°è
【分析】本题考查折叠的性质，角的和差，一元一次方程的应用，掌握分类讨论是解题的关键．
（1）根据折叠的性质解题即可；
（2）根据折叠的性质计算即可解题；
（3）分三种情况分别画图，列方程进行计算解题．
【详解】（1）解：由折叠可得： B FB = 2 BFE = 2a = 60o ， C FC = 2 CFG = 2b = 80o，
∴ B FC =180o - B FB - CFC =180o - 60o -80o = 40o；
（2）解：a + b = 90°，理由为：
由折叠可得： B FB = 2 BFE = 2a ， C FC = 2 CFG = 2b ，
∴ B FC =180o - B FB - CFC =180o - 2a - 2b = 0o ，
∴a + b = 90°；
（3）如图 1 所示，由折叠可得： B FB = 2 BFE = 2a ， C FC = 2 CFG = 2b ，
∴ B FC =180o - B FB - CFC =180o - 2a - 2b
EFG =180° - BFE - CFG =180° -a - b ，
当 EFG = 3 B FC 时，180° -a - b = 3 180° - 2a - 2b ，
解得a + b = 72°；
如图 3， B FC = B FB + CFC -180o = 2a + 2b -180o ，
当 EFG = 3 B FC 时，180° -a - b = 3 2a + 2b -180° ，
a b 720 解得： + = ÷°；
è 7
如图 4 所示， B FC = B FB + CFC -180o = 2a + 2b -180o ，
当 B FC = 3 EFG 时，3 180° -a - b = 2a + 2b -180°，
解得：a + b =144°；
综上所述，a b
720+ 的度数为72°或 ÷°7 或144°时，
EFG和 B FC 中，当其中一个角是另一个角的 3 倍时．
è
6．数学兴趣小组利用直角三角形纸片开展了如下的连续探究活动，请帮助他们完成相关的计算和证明．
【探究一】如图 1，在Rt△ABC 中， C = 90°，沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上的
点 E 处，折痕为 BD．同学们发现，若CD = 3cm， AB + BC = 16cm，借助 S△ABC = S△ABD + S△BCD ，可以计算
出VABC 的面积．请你完成填空： SVABC = __________ cm2 ；
【探究二】在“图 1”的基础上，过点 E 作 BED的平分线交 BD 于点 P，连接 AP，如图 2．同学们发现，沿
直线 AP 折叠这个三角形， BAP与 CAP 重合，即 AP 是 CAB 的角平分线．请你证明：AP 平分 CAB ；
【探究三】在“图 2”的基础上，过点 P 作PH ^ AB 于点 H，如图 3．同学们通过测量发现，AH 与 BH 的积
1
是 AC 与 BC 的积的一半．请你证明： AH × BH = AC × BC ．
2
【答案】[探究一] 24；[探究二]见解析；[探究三]见解析
【分析】[探究一]根据已知条件可得 S△ABC = S△ABD + S△BCD ，从而可以计算得解；
[探究二]过点 P 分别作 AB 、ED、 AC 边的垂线，垂足分别为点F 、 H 、M ，利用全等性质，通过等量代
换即可得到PF = PM ，通过角平分线性质即可得证；
[探究三]过点 P 分别作BC 、 AC 边的垂线，垂足分别为点G 、M ，连接PC ，通过条件可证得
1 S 1 1VABC = SVBGP + SVAHP + SVMCP ，然后将 SV ABC = AC × BC = (BG + GC) × (AM + MC)2 2 整理化简，最后等量代换即可2
得证．
【详解】[探究一]解：由题可知，△BED≌△BCD， BED = C = 90°，CD = ED = 3cm，
\S 1VABC = SVABD + SVBCD = AB × DE
1
+ BC ×CD 1= AB + BC ×CD 1= 16 3 = 24cm2，
2 2 2 2
故答案为：24；
[探究二]证明：如图，过点 P 分别作 AB 、ED、 AC 边的垂线垂足分别为点F 、 H 、M ，
由题可知，△BED≌△BCD，∠BDC =∠BDE，
\PH = PM ，
QEP 平分 BED，
\ PF = PH ，
\PF = PM ，
\ PAC = PAB，
则 AP 平分 CAB ；
[探究三]证明：如图，过点 P 分别作BC 、 AC 边的垂线，垂足分别为点G 、M ，连接PC ，
由（2）可知，PH = PM = PG，
QPH ^ AB，PG ^ BC ，PM ^ AC ，
\RtVAHP≌RtVAMP(HL) ，RtVBHP≌RtVBGP(HL)，RtVCGP≌RtVCMP(HL)，四边形CGPM 是正方形，
1
\ AH = AM ， BH = BG ，CG = CM ，PH = PM = PG = CM = CG ， SVABC = S2 VBGP
+ SVAHP + SVMCP ，
QS 1 1DABC = AC × BC = (BG + GC) × (AM + MC)2 2
1
= BG × AM 1+ BG × MC 1+ GC 1× AM + GC × MC
2 2 2 2
1 AH BH 1 BG 1 1= × + ×GP + PH × AH + MP × MC
2 2 2 2
1
= AH × BH + SVBGP + S2 VAHP
+ SVMCP
1
= AH 1× BH + S
2 2 VABC
\ 1 S 1VABC = AH × BH ，2 2
\SVABC = AH × BH ，
AH 1即 × BH = AC × BC ，
2
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采
用等量代换的方法是解题关键．
【压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题】
1．如图，在VABC 中， AB = AC ， AD ， BE 是VABC 的两条中线， AD = 5，BE = 6， P 是 AD 上的一个动
点，连接PE，PC ，则PC + PE 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】如图连接 PB，只要证明 PB=PC，即可推出 PC+PE=PB+PE，由 PE+PB≥BE，可得 P、B、E 共线
时，PB+PE 的值最小，最小值为 BE 的长度．
【详解】解：如下图，连接 PB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E 共线时，PB+PE 的值最小，最小值为 BE 的长度，
∵BE=6，
∴CP+EP 的最小值是 6，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形两边
之和大于第三边，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．VABC 中，若过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为
直角三角形，则称这条直线为VABC 的关于点 B 的二分割线．例如：如图 1，VABC 中， A = 90°，
C = 20°，若过顶点 B 的一条直线BD交 AC 于点 D，且 DBC = 20°，则直线BD是VABC 的关于点 B 的
二分割线．如图 2，VABC 中， C =18°，钝角VABC 同时满足：① C 为最小角；②存在关于点 B 的二分
割线，则 BAC 的度数为 ．
【答案】36°或 45°或54°
【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“VABC 的关于点 B 的二分割线”是解题
的关键．
根据关于点 B 的二分割线的定义即可得到结论．
【详解】解：如图 2 所示：Q AD = BD，
\ A = ABD, ADB = C + 90° =108°
\ BAC = 36°，
如图 3 所示：Q AD = BD，
\ A = ABD, ADB = 90°，
\ BAC = 45°，
如图 4 所示，QCD = BD ，
\ C = CBD =18°, ABD = 90°, ADB = C + CBD = 36°，
\ A = 54°
故答案为：36°或 45°或54°．
3．如图，在VABC 中，AD = BC， B = 40°，D、E 为边 AB 上的两点，且CD = CE ， BCD = 60°，△ADF
是等边三角形．
(1)求证：CE = BE ；
(2)求 CAD的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)30°
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角
形内角和定理：
（1）先由三角形内角和定理得到 BDC = 80°，由等边对等角得到 BDC = CED = 80° ，进而利用三角形
内角和定理得到 DCE = 20°，则可证明 BCE = 40° = B ，据此可得CE = BE ；
（2）由等边三角形的性质得到 AB = AD = DF， ADF = AFD = FAD = 60°，证明VECB≌VCDF SAS 得
1
到CF = BE = CE = CD ，再证明VACF≌VACD SSS ，可得 CAF = CAD = FAD = 30°．
2
【详解】（1）证明：∵ B = 40°， BCD = 60° ，
∴ BDC = 180° - B - BCD = 80°，
∵CD = CE ，
∴ BDC = CED = 80° ，
∴ DCE = 180° - 80° - 80° = 20°，
∴ BCE = BCD - DCE = 40° = B，
∴CE = BE ；
（2）解：∵△ADF 是等边三角形，
∴ AB = AD = DF， ADF = AFD = FAD = 60°，
∴ CDF = 180° - ADF - BDC = 40° = BCE ，
∵ AD = BC，AD = DF ，
∴ BC = DF ，
在VECB 和VCDF 中，
ì CE = DC

í BCE = CDF ，

BC = DF
∴VECB≌VCDF SAS ，
∴CF = BE = CE = CD ，
在△ACF 和VACD中，
ìAF = AD

íAC = AC ，

CF = CD
∴VACF≌VACD SSS ，
∴ CAF
1
= CAD = FAD = 30°．
2
4．我们知道：如果两个三角形全等，则它们的面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过
证明等底等高来说明它们的面积相等．已知VABC与VDEC 是等腰直角三角形， ACB = DCE = 90°，连
接 AD 、 BE ．
(1)如图 1，当 BCE = 90°时，求证： SVACD = SVBCE ．
(2)如图 2，当0° < BCE < 90°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请
说明理由．
(3)如图 3，在（2）的基础上，作CF ^ BE ，延长 FC 交 AD 于点G ，求证：点G 为 AD 的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，正确的作出
辅助线是解题的关键．
（1）根据VABC 与VDEC 是等腰直角三角形，得到 AC = BC ， DC = EC ， ACB = DCE 由 BCE = 90°，
证得 ACD = BCE ，推出VACD≌VBCE ，从而证得结论 SVACD = SVBCE ；
（2）作 AG 垂直DC 的延长线于点 G，作BH ^ CE ，垂足为 H，由于 ACB = GCE = 90°，得到
ACG = BCH ，推出VACG≌VBCH ，得出 AG = BH ，由于CD = CE ，于是得到结果即 S△ACE = S△BCE ；
（3）作 AM 垂直CG 的延长线于点 M，作DN ^ CG，垂足为 N，证得VACM≌VCBF ，得到 AM = CF ，同
理可证VDCN≌VCEF ，得到DN = CF ， AM = DN ，推出VAMG≌VDNG ，得到 AG = DG，即 G 为 AD 中
点．
【详解】（1）证明：∵VABC 与VDEC 是等腰直角三角形，
∴ AC = BC ，DC = EC ， ACB = DCE = 90°．
又∵ BCE = 90°，
∴ ACD = 90°．
∴ ACD = BCE ．
在VACD与VBCE 中，
ìAC = BC

∵ í ACD = BCE ，

DC = EC
∴VACD≌ VBCE ．
∴ SVACD = SVBCE ．
（2）解：如图 2，过点 A 作 AG 垂直DC 的延长线于点G ，作BH ^ CE ，垂足为 H ．
∵ ACB = GCE = 90°，
∴ ACG = BCH ．
在VACG 与VBCH中，
ì AC = BC

∵ í ACG = BCH ，

AGC = BHC = 90°
∴VACG ≌VBCH ．
∴ AG = BH ．
∵CD = CE ，
1 AG CD 1∴ × = BH ×CE ．
2 2
即 SVACD = SVBCE ．
（3）解：如图 3，过点 A 作 AM 垂直CG 的延长线于点M ，过点D作DN ^ CG，垂足为
N ．
∵ ACB = BFC = 90° ，
∴ ACM + BCF = 90°， CBF + BCF = 90°．
∴ ACM = CBF ．
在△ACM 与VCBF 中，
ì AC = BC

∵ í ACM = CBF ，

AMC = BFC = 90°
∴△ACM ≌VCBF ．
∴ AM = CF
同理可证VDCN≌△CEF ．
∴ DN = CF ．
∴ DN = AM ．
在VAGM 与△ DGN 中，
ì AM = DN

∵ í AGM = DGN ，

AMG = DNG = 90°
∴VAGM≌△ DGN ．
∴ AG = DG．即G 为 AD 的中点．
5．如图， AD 是VABC 的角平分线，DE ^ AC ，垂足为E, BF∥AC 交ED的延长线于点F ，若BC 恰好平
分 ABF ．
(1)求证：△CDE ≌△BDF ；
(2)若VABC 的面积是 18，DF = 3，求 AB 长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，证明三角形全
等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质，平行线的性质，可判断VABC是等腰三角形，再根据等腰三角形的“三线合一”
可得 是中线，由“ ASA ”可证△CDE ≌△BDF ；
（2）过点D作DG ^ AB于点G ，根据角平分线的性质可得DE = DG = DF = 3，根据中线的性质可得
S 1VABD = SVABC ，由三角形的面积公式可求解．2
【详解】（1）解：QBC 平分 ABF ,
\ ABC = FBC ，
QBF∥AC,，
\ ACB = FBC
\ ABC = ACB,
\ AB = AC ．
Q AD 是VABC 角平分线，
\DB = DC, AD ^ BC ．
在VCDE和VBDF 中，
ì C = DBF

í DC = DB ，

CDE = BDF
\VCDE≌VBDF ASA ．
（2）解：过点D作DG ^ AB 于点G ，
Q△CDE≌△BDF ，
\DE = DF = 3,CD = BD ，
Q AD 平分 CAB, DE ^ AC, DG ^ AB ，
\ DG = DE = 3，
QCD = BD ，
\S 1△ABD = S2 △ABC
= 9，
1
即 AB × DG = 9，
2
\ AB = 6．
6．△ABC 和△DBE 都是以点 B 为顶点的等腰直角三角形， ABC = DBE = 90°．
(1)如图 1，当VABC 和VDBE如图摆放，连接CD, AD,CE ，其中 与 相交于点 F．那么 与 之间存在
着怎样的位置关系，请说明理由；
(2)如图 2，当VABC 和VDBE如图摆放，F 为 AC 的中点，连接 AD,CE, FD，并在 FD的延长线上取一点 C，
连接CG ，使CG = CE ．求证： FDA = CGF ．
【答案】(1) AD ^ CE ，理由见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和，解题
的关键是证明VABD≌VCBE ；
（2）本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△DAB≌△CBE ．
【详解】（1）解：如下图 1 中，
Q ABC = DBE = 90°，
\ ABD = CBE ，
在△ABD 和△CBE 中，
ìBA = BC

í ABD = CBE ，

BD = BE
\VABD≌VCBE，
\ BAD = BCE ，
Q AOB = COF ，
\ ABO = CFO = 90°，
\ AD ^ CE ；
（2）如下图 2 中，延长DF 到 H，使得FH = DF ，
在△AFD和△CFH 中，
ìFA = FC

í AFD = CFH

FD = FH
\ VAFD≌VCFH ，
\ ADF = H ， AD = CH ，
Q△DAB≌△CBE ，
\ AD = CE ，
QCE = CG ，
\ AD = CG = CH ，
\ DGC = H ，
\ CGF = ADF ．
【压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题】
1．如图，点 A，B，C 在同一条直线上，△ABD ，VBCE 均为等边三角形，连接 AE 和CD， AE 分别交
CD、BD于点 M，P，CD交 BE 于点 Q，连接 PQ，BM ，下面结论：①VABE≌VDBC ；② DMA = 60°；③
VPBQ为等边三角形；④MB平分 AMC ；⑤ PEQ = 30°．其中结论正确的有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质即可证得VABE≌VDBC 故①正确；根据VABE≌VDBC 结合三角形外角性质
即可得出 DMA = BAE + BCD = BDC + BCD = 60°，故②正确；根据等边三角形的性质易证
△ABP≌△DBQ，得到BP = BQ 结合 PBQ = 60°即可得到VPBQ为等边三角形，故③正确；根据全等三角
形性质，得到点 B 到 AE ，CD的距离相等，，从而可得点 B 在 AMC 的角平分线上，故④正确；已有的条
件无法求 PEQ的度数，故⑤错误；从而解题．
【详解】解：QVABD、VBCE 为等边三角形，
\ AB = DB， ABD = CBE = 60°，BE = BC ，
\ ABE = DBC ， PBQ = 60°，
在VABE 和△DBC 中，
ìAB = DB

í ABE = DBC ，

BE = BC
\VABE≌VDBC SAS ，故①正确；
QVABE≌VDBC ，
\ BAE = BDC ，
Q BDC + BCD =180° - 60° - 60° = 60°，
\ DMA = BAE + BCD = BDC + BCD = 60°，故②正确；
在VABP和VDBQ中，
ì BAP = BDQ

íAB = DB ，

ABP = DBQ
\VABP≌VDBQ ASA ，
\BP = BQ，
\VBPQ为等边三角形，故③正确；
QVABE≌VDBC ，
\ AE = CD，SVABE =SVDBC
\点 B 到 AE ，CD的距离相等，即 AE、CD 边上的高相等，
\点 B 在 AMC 的角平分线上，
即MB平分 AMC ；故④正确；
已有的条件无法求 PEQ的度数，故⑤错误；
综上所述：正确的结论有 4 个；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆的性质，三角形外角
性质，角度的运算，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
2．如图，点C 在线段 AB 上（不与点A 、B 重合），在 AB 的上方分别作△ADC 和VBCE ，且 AC = DC ，BC = EC，
ACD = BCE = a 连接 AE ，BD交于点 P ，下列结论正确的是（填序号） ．
AE = BD ；② AD = BE ；③ APB =180o -a ；④PC 平分 DCE ；
【答案】①③/③①
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角的平分
线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等．根据SAS证明VACE≌VDCB 即
可求解①； AC = DC ，BC = EC， ACD = BCE = a ，VACD和VBCE 是顶角相等的等腰三角形，故②错
误；由①得VACE≌VDCB 从而得到 CAE = CDB ，从而求解③；借助三角形面积相等即可证明④．
【详解】解：①Q ACD = BCE ，
\ ACD + DCE = BCE + DCE ，
\ ACE = DCB，
在△ACE和△DCB中，
ì CA = CD

í ACE = DCB

CE = CB
\VACE≌VDCB SAS ，
\ AE = BD，故①正确；
②Q AC = DC ，BC = EC， ACD = BCE = a ，
\VACD 和VBCE 是顶角相等的等腰三角形，
因为 AC 不一定等于BC ，
所以 AD 不一定等于 BE ，故②错误；
③由①得VACE≌VDCB ，
\ CAE = CDB，
Q CAD + CDA =180° -a ，
\ PAD + PDA =180° -a ，
\ APD = a ，
\ APB =180o -a ，故③正确；
④如图，过C 作CG ^ AE 于G ，CH ^ BD 于 H ，
QVACE≌VDCB ，
\SVACE = SVDCB， AE = BD ，
1 1
\ AE ×CG = BD ×CH ，
2 2
\CG = CH ，
\PC 平分 APB，
\ APC = BPC ，
Q DPA = EPB ，
\ DPC = EPC ，
因为 CDP不一定等于 CEP ，
所以 DCP不一定等于 ECP ，
所以PC 不一定平分 DCE ，故④错误；
故答案为：①③．
3．如图，在等边三角形 ABC 中，点E 在 AB 上，点D在CB 的延长线上，且ED = EC ．
(1)如图 1，当E 为 AB 的中点时，则 AE ______ DB（填“ > ”“ < ”或“ = ”）．
(2)如图 2，当E 为 AB 边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图 3，当点E 在 AB 的延长线上时，若VABC 的边长为 2， AE = 3，求CD的长．
【答案】(1) =
(2)当E 为 AB 边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析
(3)5
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角
形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1
1
）由等腰三角形的性质得 D = ECD，再由等边三角形的性质得 ECD = ACB = 30°2 ，然后证
DEB = D，得DB = BE ，即可得出结论；
（2）过点E 作EF ∥ BC ，交 AC 于点F ，证△AEF 为等边三角形，得 AE = EF ，再证VDBE≌VEFC
（AAS），得DB = EF ，即可得出结论；
（3）过点E 作EF ∥ BC ，交 AC 的延长线于点F ，可证得△AEF 是等边三角形，VDEB≌VECF AAS ，
由DB = EF = 3，BC = 2，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，
∵VABC 是等边三角形，点E 是 AB 的中点，
∴ 平分 ACB ，CE ^ AB ， ACB = 60°， AE = BE ，
∴ BEC = 90°， BCE = 30°，
又∵ED = EC ，
∴ D = ECB = 30°，
∴ DEC = 120°，
∴ DEB =120° - 90° = 30°，
∴ D = DEB = 30°，
∴BD = BE = AE，
即 AE = DB ，
故答案为：=．
（2）解：当点E 为 AB 上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图 2， AE = DB ．理由如下：
如图 2，过E 作EF ∥ BC 交 AC 于F ，
∵VABC 是等边三角形，
∴∠ABC =∠ACB =∠A = 60°， AB = AC = BC ，
∵EF ∥ BC ，
∴ AEF = ABC = 60°， AFE = ACB = 60 ，即 AEF = AFE = A = 60°，
∴△AEF 是等边三角形，
∴ AE = EF = AF ，
∵ ABC = ACB = AFE = 60°，
∴ DBE = EFC = 120°， D + BED = FCE + ECD = 60° ，
∵DE = EC ，
∴ D = ECD，
∴ BED = ECF ，
在VDEB和△ECF 中，
ì DEB = ECF

í DBE = EFC ，

DE = CE
∴VDEB≌VECF AAS ，
∴BD = EF = AE ，即 AE = BD ，
（3）解：过点E 作EF ∥ BC ，交 AC 的延长线于点F ，如图3所示：
∵VABC 是等边三角形，
∴∠ABC =∠ACB =∠A = 60°， AB = AC = BC ，
∴ AEF = ABC = 60°， AFE = ACB = 60 ，
即 AEF = AFE = A = 60°，
∴△AEF 是等边三角形，
∴ AE = EF = AF = 3，
∵ ABC = ACB = EFC = 60°，
∴ DBE = ABC = EFC = 60° ，
∵DE = EC ，
∴ D = ECD，
∵EF ∥ BC ，
∴ ECD = CEF ，
∴ D = CEF ，
在VDEB和△ECF 中，
ì D = CEF

í DBE = EFC ，

DE = CE
∴VDEB≌VECF AAS ，
∴DB = EF = 3，
∵BC = 2，
∴CD = BC + DB = 5．
4．如图 1，在VABC 中， AB = AC , D 为线段BC 上一动点（不与点 B、C 重合）．连接 AD ，作
DAE = BAC ，且 AD = AE ，连接CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE ．
(2)当CE平分 ACF 时，若 BAD = 32°，求 DEC 的度数．
(3)如图 2，设 BAC = a 90° < a <180° ，在点 D 运动过程中，当DE ^ BC 时， DEC = __________°．（用
含a 的式子表示）
【答案】(1)见详解
(2) 28°
(3)a - 90°
【分析】（1）先证 BAD = CAE ，再由SAS证△ABD≌△ACE 即可；
（2）证VABC 是等边三角形，得 BAC = DAE = 60°，再证VDAE是等边三角形，得 AED = 60°，然后
由三角形内角和定理即可得出结论
（3）由等腰三角形的性质得到 ABC = ACB 180° -a 1= = 90° - a ，再由全等三角形的性质得到
2 2
ACE = ABC = 90 1 1° - a ，求出 DCE = (90° - a ) 2 =180° -a ，然后由直角三角形的性质即可得到结论．
2 2
【详解】（1）证明Q DAE = BAC ，
∴ BAC - DAC = DAE - DAC
\ BAD = CAE
在△ABD 和△ACE中
ìAB = AC

í BAD = CAE

DA = EA
\VABD≌VACE SAS ；
（2）由(1)可知， BAD = CAE = 32°， △ABD≌△ACE ，
∴ B = ACE ，
∵CE平分 ACF ，
∴ ACE = FCE ，
∵ AB = AC ，
∴ B = ACB，
∴ B = ACB = ACE = FCE ，
∵ ACB + ACE + FCE =180°，
∴ ACB = 60°，
∴VABC 是等边三角形，
∴ BAC = DAE = 60°，
∴VDAE是等边三角形，
∴ AED = 60°，
∴在△ACE中， DEC =180° - 32° - 60° - 60° = 28°；
3 Q BAC a ABC ACB 180° -a 1（ ） = ， = = = 90° - a ，
2 2
Q DAE = BAC ，
\ BAD = CAE
在△ABD 和△ACE中
ìAB = AC

í BAD = CAE

DA = EA
\VABD≌VACE SAS ，
\ ACE = ABC 1= 90° - a ，
2
\ DCE = (90 1° - a ) 2 =180° -a ，
2
QDE ^ BC ，
\ EDC = 90°，
\ DEC =180° - 90° - ECD =180° - 90° - (180° -a ) = a - 90°，
故答案为：a - 90°．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定
与性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等三角形判定以
及性质是解题的关键．
5．如图，点O是等边VABC 内一点， D是VABC 外的一点， AOB =110°， BOC = a ，VBOC≌VADC ，
OCD = 60°，连接OD ．
(1)求证：VOCD是等边三角形；
(2)当a =150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)当a = _________时，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△ADO 是直角三角形，理由见解析
(3)110°或140°或125°
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握
以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得OC = DC ，结合 OCD = 60°，即可得证；
（2）由等边三角形的性质可得 CDO = 60°，由全等三角形的性质得出 BOC = ADC =150°，即可得出
ADO = 90°，从而得解；
（3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出 ADO 、 OAD 、 AOD ，再分三种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵VBOC≌VADC ，
∴OC = DC ，
∵ OCD = 60°，
∴VOCD是等边三角形；
（2）解：△ADO 是直角三角形，理由如下：
∵VOCD是等边三角形，
∴ CDO = 60°，
当a =150°时，
∵VBOC≌VADC ，
∴ BOC = ADC =150°，
∴ ADO = ADC - ODC = 90°，
∴△ADO 是直角三角形；
（3）解：∵VOCD是等边三角形，
∴ COD = ODC = 60°，
∵VBOC≌VADC ，
∴ ADC = BOC = a ，
∵ AOB =110°，
∴ AOD = 360° - AOB - BOC - COD = 360° -110° -a - 60° = 190° -a ， ADO = ADC - ODC = a - 60°，
∴ OAD = 180° - AOD - ADO = 180° - 190° -a - a - 60° = 50° ，
当 AOD = ADO 时，190° -a = a - 60°，
解得：a =125°；
当 AOD = OAD 时，190° -a = 50°，
解得：a =140°；
当 ADO = OAD 时，a - 60° = 50°，
解得：a =110°；
综上所述，当a =110°或140°或125°时，△AOD是等腰三角形．
6．如图，在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 30°，VCDE是等边三角形，点 D 在边 AB 上．
(1)如图 1，当点 E 在边BC 上时，求证DE = EB；
(2)如图 2，当点 E 在VABC 内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；
(3)如图 1，当点 E 在VABC 外部时，EH ^ AB 于点 H，过点 E 作GE P AB，交线段 AC 的延长线于点 G，
AG = 5CG ，BH =1．求CG 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ED = EB ，证明见解析；
2
(3)CG =
3
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得出 CED = 60°，从而得出 EDB = 30°，从而得出DE = BE ；
（2）取 AB 的中点O，连接CO、EO，根据△ACO 和VCDE为等边三角形，从而得出VACD和△OCE 全
等，然后得出VCOE和△ BOE 全等，从而得出答案；
（3）取 AB 的中点O，连接CO、EO、EB，根据题意得出VCOE和△ BOE 全等，然后得出VCEG和VDCO
全等，设CG = a ，则 AG = 5a，OD = a ，根据题意列出一元一次方程求出 a的值得出答案．
【详解】（1）∵VCDE是等边三角形，
∴ CED = 60°，
∴ EDB = 60° - B = 30°，
∴ EDB = B，
∴DE = EB；
（2）ED = EB ，理由如下：
取 AB 的中点O，连接CO、EO，
∵ ACB = 90°， ABC = 30°，
∴ A = 60°，OC = OA，
∴△ACO 为等边三角形，
∴CA = CO，
∵VCDE是等边三角形，
∴ ACD = OCE ，
∴△ACD≌△OCE ，
∴ COE = A = 60°，
∴ BOE = 60°，
∴△COE≌△BOE，
∴EC = EB ，
∴ED = EB ；
（3）解：如图：取 AB 的中点O，连接CO、EO、EB，
由（2）得△ACD≌△OCE ，
∴ COE = A = 60°，
∴ BOE = 60°，△COE≌△BOE，
∴EC = EB ，
∴ED = EB ，
∵EH ^ AB ，
∴DH = BH =1，
∵GE P AB，
∴ G =180° - A =120°，
∴△CEG≌△DCO ，
∴CG = OD ，
设CG = a ，则 AG = 5a，OD = a ，
∴ AC = OC = 4a，
∵OC = OB ，
∴ 4a = a +1+1，
2 2
解得： a = ，即CG = ．
3 3
【压轴题型四 等腰三角形中的动点问题】
1．如图是树枝的一部分，一只蚂蚁 M 以 2cm / s的速度从树枝的 A 点处出发沿树枝 方向向上爬行，另一
只蚂蚁N从O点出发，以1cm / s 的速度沿树枝OC 方向爬行，如果 AB，OC 足够长，OA =12cm， BOC = 60°，
且两只蚂蚁同时出发，用 t s 表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点 O 恰好构成等腰三角形时，t 的值是（ ）
A． 4s B．12s
C． 4s或12s D． 4s或12s或16s
【答案】C
【分析】分点 M 在 O 点下方或点 M 在 O 点上方两种情况，分别根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】
解：当点 M 在 O 点下方时，
∵ AOC =180° - BOC =120°，
∴当OM = ON 时，
∴12 - 2t = t ，
解得 t = 4，
当点 M 在点 A 上方时，
∵ BOC = 60°，
∴VOMN 是等边三角形，
∴OM = ON ，
∴ 2t -12 = t，
解得 t =12，
∴ t = 4或12，
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，一元一次方程，运用分类讨论思想是解题的关键．
2．如图，已知：在VABC 中， AC = BC = 8， ACB =120° ，将一块足够大的直角三角尺 PMN
（ M = 90°， MPN = 30°）按如图放置，顶点 P 在线段 AB 上滑动，三角尺的直角边 PM 始终经过点C ，
并且与CB 的夹角 PCB = a ，斜边PN 交 AC 于点D．点 P 在滑动时，a = 时，△PCD的形状是等腰
三角形．
【答案】 45° 或0°或90°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据
等腰三角形的定义分三种情况讨论，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理分别求解即可．
【详解】解：Q ACB =120°， PCB = a ，
\ ACP = 120° -a ，
①当PC = PD 时，此时 PCD = PDC = 120° -a ，
Q CPD + PCD + PDC = 180°，
\30° + 120° -a + 120° -a = 180°，
\a = 45°；
②当CD = CP 时，此时 CDP = CPD = 30°，
Q CPD + PCD + PDC = 180°，
\30° + 120° -a + 30° = 180° ，
\a = 0°，此时点 P 与点 B 重合；
③当CD = PD时，此时 PCD = CPD = 30° ，
\120° -a = 30°，
\a = 90°；
综上可知，点 P 在滑动时，a =45°或0°或90°时，△PCD的形状是等腰三角形，
故答案为： 45° 或0°或90°
3．如图，在VABC 中， ACB = 90°，已知 AC = 3, BC = 4, AB = 5，点D为 AB 边上一点，连结CD且
AD = CD ，动点 P 从A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 A - C - B 运动，到点 B 运动停止，当点 P 不与
VABC 的顶点重合时，设点 P 的运动时间是 t秒．
(1)用含有 t的代数式表示CP的长；
(2)求CD的长；
(3)当△CDP是以CD为腰的等腰三角形时，求 t的值；
(4)在点 P 的运动过程中，如果点 P 到VABC 的两条边距离相等，直接写出 t的值．
【答案】(1)CP = t - 3 ( 0 < t < 7且 t 3 )
(2) 2.5
(3) t的值是 0.5 或 5.5
5 9
(4) t的值为 或
3 2
【分析】本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元
一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键．
（1）分①当点 P 在 A、C 之间，即0 < t < 3时，②当点 P 在 B、C 之间，即3 < t < 7时两种情况讨论即可得
解；
（2）运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出 B = BCD ，继而得到
1 5
BD = CD，BD = AD = AB = ，从而得解；
2 2
（3）分当CD = DP时和当CD = CP 时两种情况讨论，前者点 P 与点 A 或点 B 重合排除，后者列方程求解
即可；
（4）分①当点 P 在 A、C 之间，即0 < t < 3时， ②当点 P 在 B、C 之间，即3 < t < 7时两种情况讨论，运
用等面积法列出方程求解即可．
【详解】（1）解：①当点 P 在 A、C 之间，即0 < t < 3时， AP = t ，
∴CP = AC - AP = 3 - t ，
②当点 P 在 B、C 之间，即3 < t < 7时， AC + CP = t ，
∴CP = t - AC = t - 3，
综上所述：CP = t - 3 ( 0 < t < 7且 t 3 )
（2）∵ AD = CD ，
∴ A = ACD，
又∵ ACB = 90°，
∴ A + B = ACD + BCD = 90°，
∴ B = BCD ，
∴BD = CD，
∴BD
1
= AD = AB = 2.5；
2
∴CD = 2.5；
（3）∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CD = DP或CD = CP ，
当CD = DP时，由（2）可知此时点 P 与点 A 或点 B 重合，不合题意，舍去；
当CD = CP 时，由（1）（2）可知CP = t - 3 = 2.5 ( 0 < t < 7且 t 3 )，
解得： t = 0.5或 5.5，
即 t的值是 0.5 或 5.5；
（4）①当点 P 在 A、C 之间，即0 < t < 3时，
作图如下，过点 P 作PQ ^ AB 于 Q，连接BP：
则CP = PQ = 3 - t ，
1 1 1
∵ SVABC = SVABP + SVBCP，即 AC × BC = AB × PQ + BC ×CP，且 AC = 3, BC = 4, AB = 52 2 2
1
∴ 3
1
4 = 5 3 1- t + 4 3 - t ，
2 2 2
5
解得： t = ；
3
②当点 P 在 B、C 之间，即3 < t < 7时，
作图如下，过点 P 作PQ ^ AB 于 Q，连接 AP ：
则CP = PQ = t - 3，
S 1 1 1∵ △ABC = S△ABP + S△ACP ，即 AC × BC = AB × PQ + AC ×CP ，且 AC = 3, BC = 4, AB = 52 2 2
1
∴ 3 4
1 1
= 5 t - 3 + 3 t - 3 ，
2 2 2
9
解得： t = ；
2
5 9
综上所述： t的值为 或 ．
3 2
4．如图，等边VABC 的边长为 4cm ，点 M 从点 B 出发沿 BC 运动，同时，点 N 从点 A 出发沿线段CA的延
长线运动，点 M，N 的速度均为1cm /秒，点 M 到达点 C 时，两点停止运动．作MD ^ AB于点 D，连接MN
交 AB 于点 E．设点 M，N 的运动时间为 t 秒．
(1)当△AEN 为等腰三角形时，求 t 的值；
(2)线段DE 的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由．
4
【答案】(1) t =
3
(2)是，线段 DE 的长度为 2cm
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质：
（1）由题意，得 AN = BM = t ，CM = 4 - t，CN = 4 + t ，根据△AEN 为等腰三角形可得CN = 2CM ，进而
列方程求解即可；
（2）线段DE 的长度是定值，过点M作MF∥ AC 交 AB 于点F，证明△EFM ≌△EAN ，得到EF = EA
1
= AF ，
2
从而求出 DE = 2cm
【详解】（1）解：由题意，得 AN = BM = t ．
Q等边VABC 的边长为 4，
\ C = BAC = 60°，CM = 4 - t，CN = 4 + t ．
当△AEN 为等腰三角形时，Q EAN =180° - 60° =120°，
\ AN = AE = t， ENA = 30°．
\ CMN =180° - 30° - 60° = 90°．
\CN = 2CM ．
即 2(4 - t) = 4 + t ．
解得 t 4= ．
3
（2）解：线段DE 的长度为定值．如图，过点 M 作MF∥ AC 交 AB 于点 F．
\ ANE = FME， BFM = BAC = 60°．
Q B = 60°，
\VBFM 为等边三角形．
\FM = BM = AN ．
QMD ^ AB ，
\BD = DF 1= BF ．
2
在△EFM 和VEAN 中， ANE = FME, FEM = AEN , FM = AN ，
\VEFM≌VEAN AAS ．
1
\EF = EA = AF ．
2
\DE = DF + EF 1= (BF AF ) 1+ = AB 1= 4 = 2．即线段DE 的长度为 2cm ．
2 2 2
5．已知VABC 是等腰三角形，且 AB = AC ，点 D 是射线BC 上的一动点，连接 AD ，以 AD 为腰在 AD 右侧
作等腰VADE ，使 AD = AE ， DAE = BAC ．
(1)如图 1，当点 D 在线段BC 上时，求证：BD = CE ；
(2)如图 2，当点 D 在射线BC 上运动时，取 AC 中点 M，连接ME ，且 DAE = BAC = 40°．当VMEC 为等
腰三角形时， CME 的度数为______；
(3)如图 3，当点 D 在线段BC 的延长线上， DAE = BAC = 60°时，在线段CA上截取CF ，使
CF = CD + AF ，并连接EF ．求证：EF ^ AC ．
【答案】(1)证明见解析
(2) 40°或55°或70°
(3)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出
辅助线和进行分类讨论是解题的关键．
（1）证明△ABD≌△ACE 即可解答；
（2）根据（1）可得 B = ACE = 70°，分类讨论即可解答；
（3）延长BD点G ，使得DG = AF ，证明VABC,VADE 为等边三角形，可得 ECG = 60°，再证明
VEFC≌VEGC SAS ，得到EF = EG, EFC = G ，最后证明VAEF≌VDEG SSS ，即可得到
AFE = EFC = 90°．
【详解】（1）证明：Q DAE = BAC ，
\ DAE - DAC = BAC - DAC ，
即 BAD = CAE ，
Q AB = AC, AD = AE ，
\VABD≌VACE SAS ，
\BD = CE ；
（2）解：根据（1）中可得VABD≌VACE SAS ，
B ACE 180° - BAC\ = = = 70°，
2
当ME = MC 时， MCE = MEC ，
\ CME =180° - 2 MCE = 40°；
当 EM = EC 时， MCE = CME = 70°；
当CM = CE 时， CME = CEM ，
CME CEM 180° - MCE = = = 55°，
2
综上， CME 的度数为 40°或55°或70°，
故答案为： 40°或55°或70°；
（3）证明：如图，延长BD点G ，使得DG = AF ，
Q DAE = BAC =60°，
\VABC,VADE 为等边三角形，
\ B = ACE = ACB = 60°，
\ ECG = 60° ，
Q CF = CD + AF ， AF = DG ，
\CF = CD + AF = CD + DG = CG，
QEC = EC ，
\VEFC≌VEGC SAS ，
\EF = EG, EFC = G，
Q AF = DG, AE = DE ，
\VAEF≌VDEG SSS ，
\ AFE = G = EFC ，
\ AFE = EFC = 90°，即EF ^ AC ．
6．如图，在VABC BC > AB 中， AB = AC = 5， B = 35°，点 D 在线段 BC 上运动（点 D 不与点 B，C 重
合），连接 AD，作 ADE = 35°，DE 交线段 AC 于点 E．
(1)当 BDA = 125°时， DEC = ______ °， DAE = ______ °．
(2)当线段 DC 的长度为何值时，△ABD≌△DCE ？请说明理由．
(3)在点 D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA 的度数；若不可以，
请说明理由．
【答案】(1)125，90；
(2)当DC = 5时，△ABD≌△DCE ，理由见解析；
(3)107.5°或70°，理由见解析．
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全
等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，得到答案；
（2）当DC = 5时，利用 DEC + EDC =145°， ADB + EDC =145°，得到 ADB = DEC ，即可求证；
（3）分DA = DE、AE = AD、EA = ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【详解】（1）解：∵ AB = AC ，
∴ C = B = 35° ，
∴ BAC =180° - B - C =180° - 35° - 35° =110°，
∵ ADE = 35°， BDA = 125°，
∴ BAD =180° - B - BDA =180° - 35° -125° = 20°，
∴ DAE = BAC - BAD =110° - 20° = 90°，
∵ ADE = 35°，
∴ DEC = ADE + DAC = 35° + 90° =125°．
（2）解：当DC = 5时， △ABD≌△DCE，理由如下：
∵ AB = 5, DC = 5，
∴ AB = DC ，
∵ C = 35°，
∴ DEC + EDC =180° - C =145°，
∵ ADE = 35°，
∴ ADB + EDC =180° - ADE =145°，
∴ ADB = DEC ，
在△ABD 和△DCE 中，
ì ADB = DEC

í B = C ,

AB = DC
∴VABD≌VDCE AAS ．
（3）解：当 BDA的度数为107.5°或70°时，VADE 的形状是等腰三角形，
①当DA = DE 时， DAE = DEA = 72.5°,
\ BDA = DAE + C = 72.5° + 35° =107.5°；
②当 AD = AE 时， AED = ADE = 35°,
∴ DAE =180° - AED - ADE =110°,
此时，点D与点 B 重合，不合题意；
③当EA = ED时， EAD = ADE = 35°,
∴ BDA = EAD + C = 35° + 35° = 70°
综上所述，当 BDA的度数为 107.5°或70°时，VADE 的形状是等腰三角形．
【压轴题型五 等边三角形中的动点问题】
1．在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 30°，VCDE是等边三角形．点 D在 AB 边上，点 E 在VABC 外部，
EH ^ AB 于点 H ，过点E 作GE∥ AB，交线段 AC 的延长线于点G ， AG = 5CG ，BH = 3，则CG 的长为
（ ）
A．1 B． 2 C． 2 D． 3
【答案】B
【分析】取 AB 的中点O，连接CO、EO、EB，根据题意得出VCOE和△ BOE 全等，然后得出VCEG和VDCO
全等，设CG = a ，则 AG = 5a，OD = a ，根据题意列出一元一次方程求出 a的值得出答案．
【详解】取 AB 的中点O，连接CO、EO、EB，
Q ACB = 90°， ABC = 30°，
\ A = 60°，OC = OA，
\VACO 为等边三角形，
\CA = CO ，
QVCDE 是等边三角形，
\ ACD = OCE，
\VACD≌VOCE ，
\ COE = A = 60°，
\ BOE = 60°，
∵OC = OD，DE = DE， BOE = COE = 60°
\△COE ≌△BOE ，
\EC = EB，
\ED = EB，
Q EH ^ AB ，
\ DH = BH = 3，
Q GE P AB，
\ G =180° - A =120°，
∵△ACO 为等边三角形，
∴ AOC = 60°，
∴ G = COD =180° - 60° =120°，
∵VCDE是等边三角形，
∴CD = CE ，
设 OCD = a ，则 GCE =180° - ACO - OCD - DCE = 60° -a ，
CDO = AOC - OCD = 60° -a ，
∴ CDO = GCE
在VCEG和VDCO中，
ì G = COD

í CDO = GCE

CD = CE
\VCEG≌VDCO，
\CG = OD，
设CG = a ，则 AG = 5a，OD = a ，
\ AC = OC = 4a，
Q OC = OB，
\4a = a + 3 + 3，
解得， a = 2，
即CG = 2 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握是解
题的关键．
2．已知正方形 ABCD，点E 是边 AD 上的动点，以 EC 为边作等边三角形ECF ，连接 BF ，交边DC 于点
G ，当 BF 最小时， CGF = ．
【答案】120° /120 度
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．以CD为边作等边三角形CDH ，
证明VECD≌VFCH SAS ，得到 CHF = CDE = 90°，则点F 在垂直于线段CH 的直线HF 上，当BF ^ HF
时， BF 取得最小值，据此求解即可．
【详解】解：以CD为边作等边三角形CDH ，如图，连接HF ，
∵等边三角形ECF ，
∴ ECD = 60° - HCF = FDH ，CE = CF ，CD = CH ，
∴VECD≌VFCH SAS ，
∴ CHF = CDE = 90°，
∴点F 在垂直于线段CH 的直线HF 上，
当BF ^ HF 时， BF 取得最小值，此时BF∥CH ，
∴ CGF =180° - DCH =120°，
故答案为：120°．
3．如图，在等边VABC 中， AB = AC = BC = 8cm，点M , N 分别从点 A, B同时出发，沿三角形的边运动，
当点 N 第一次返回到达点 B 时，M , N 同时停止运动．已知点M 的速度是1cm/s，点 N 的速度是 2cm/s．设
点 N 的运动时间为 ts ．
(1)当 t为何值时，M , N 两点重合？
(2)当 t为何值时，VAMN 为等边三角形？
(3)当点M , N 在BC 边上运动时，是否存在时间 t，使得VAMN 是以MN 为底边的等腰三角形，若存在，直
接写出 t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当 t 的值为 8 时，M , N 两点重合
8
(2)点 N 运动 s后，VAMN 为等边三角形
3
32
(3)存在， t =
3
【分析】（1）设点M , N 运动 ts 后，M , N 两点重合.由题意可得 t + 8 = 2t ，解方程即可．
（2）设运动 ts 时，VAMN 为等边三角形，根据题意，得 AM = t, BN = 2t ，结合等边 BAC = 60°，
AB = AC = BC = 8cm，得 AN = AB - BN = 8 - 2t cm ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得
AN = AM 即 t = 8 - 2t ，解答即可．
（3）当CM = BN 时，可证明VACM≌VABN SAS ，继而得到 AM = AN ,设运动 ts 时，CM = BN ，故
t -8 = 24 - 2t ，解答即可．本题考查了等边的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，
熟练掌握三角形全等的判定和性质，等边三角形的坡度和性质是解题的关键.
【详解】（1）设点M , N 运动 ts 后，M , N 两点重合.
由题意得 t + 8 = 2t ，
解得 t = 8 s ，
答：当 t 的值为8s 时，M , N 两点重合.
（2）设运动 ts 时，VAMN 为等边三角形，
根据题意，得 AM = t, BN = 2t ，
∵ BAC = 60°， AB = AC = BC = 8cm，
∴ AN = AB - BN = 8 - 2t cm ，
根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，
∴ AN = AM 即 t = 8 - 2t ，
解得 t
8
= s ．
3
（3）存在，当 t
32
= s时，点M , N 在BC 边上运动时，VAMN 是以MN 为底边的等腰三角形，理由如下：
3
∵VABC 等边三角形， AB = AC = BC = 8cm，
∴ BAC = ACN = ABN = 60°，
当CM = BN 时，
ìAC = AB

∵ í ACM = ABN ，

CM = BN
∴VACM≌VABN SAS ，
∴ AM = AN ,
故VAMN 是以MN 为底边的等腰三角形，
设运动 ts 时，CM = BN ，
故 t -8 = 24 - 2t ，
t 32解得 = s ，
3
∴当点M , N 在BC
32
边上运动时，存在VAMN 是以MN 为底边的等腰三角形，此时点 N 运动的时间为 s .
3
4．如图，VABC 中， AB = BC = AC =12cm ，M 、N 分别从点A 、点 B 同时出发，按顺时针方向沿三角形
的边运动．已知点M 的运动速度为1cm/s，点 N 的运动速度为 2cm/s．当点 N 第一次到达 B 点时，M 、 N
同时停止运动．设运动时间为 t(t > 0)．
(1)当 M、N 两点重合时，求 t 的值．
(2)当VAMN 为等边三角形时，求 t 的值．
(3)点 M、N 运动过程中，点 M、N 能否与VABC 中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间
t，若不能请说明理由．
【答案】(1) t =12s
(2)t 为 4 秒
(3)能，M、N 运动的时间为 4 秒或 8 秒或 16 秒
【分析】此题考查等边三角形性质与全等三角形的判定和性质，以及通过题目所给信息，合理设置未知数
建立方程，并求出对应的解．
（1）写出点M 与点 N 的运动距离公式，并写出两点重合的表达式，解出方程即可；
（2）因为VABC 为等边三角形，则 MAN 为60°，结合VAMN 为等边三角形的性质、列式计算，即可作答．
（3）结合等腰三角形的性质，进行分类讨论，即点M 、N 运动 4 秒后，可得到等边三角形 AMN ，即DAMN
是以MN 为底边的等腰三角形；当点M 、 N 在 AC 边上运动时，可以得到以MN 为底的等腰三角形；当点
M 、 N 在BC 边上运动时，也可以得到以MN 为底的等腰三角形，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：Q当点 N 第一次到达 B 点时，M 、 N 同时停止运动，且点 N 第一次到达 B 点需要运动
12 +12 +12 = 36 cm
\运动时间 t 36 2 =18 s ．
点M 的运动距离设为m ，
则m = t ；
设点 N 的运动距离为 n ，
则 n = 2t ．
M 、 N 两点重合，
可表示为：m +12 = n，即 t +12 = 2t
解得： t = 12 s ；
（2）解：设经过 t秒后，VAMN 为等边三角形
∵ MAN = 60°
∴当 AM = AN 时，VAMN 为等边三角形
Q AM = t ， AN = AB - BN =12 - 2t
\t =12 - 2t ，
解得： t = 4
即VAMN 为等边三角形时， t为 4 秒．
（3）解：由（2）得，点M 、 N 运动 4 秒后，可得到等边三角形 AMN ，即VAMN 是以MN 为底边的等腰
三角形；
当点M 、 N 在 AC 边上运动时，可以得到以MN 为底的等腰三角形．
假设VBMN 是等腰三角形，则BN = BM ， BMN = BNM
\ BMC = ANB ，
又QAB = BC = AC ，
\VACB是等边三角形， C = B = 60°，
在VBCM 和VABN 中，
Q C = A， BMC = ANB ，BC = AB
\VBCM≌VABN (AAS)
\CM = AN
QCM = 12 - t ， AN = 2t -12
\12 - t = 2t -12，
解得： t = 8，
即当 t为 8 秒，VBMN 为以MN 为底边的等腰三角形；
同理可得，当点M 、 N 在BC 边上运动时，也可以得到以MN 为底的等腰三角形，
此时 AN = AM ，△ABN≌△ACM ，可得：CM = BN
设当点M 、 N 在BC 边上运动时，M 、 N 运动的时间 y 秒时，VAMN 是等腰三角形，
QCM = y -12， NB = 36- 2y，
由题意得， y -12 = 36- 2y，
解得： y =16
综上所述，点M 、 N 能否与DABC中的某一顶点构成等腰三角形，M 、 N 运动的时间为 4 秒或 8 秒或 16
秒．
5．如图 1，以VABC 的两边 AB ，BC 为边向外作等边三角形 ABD，BCE ，连接CD， AE ．
(1)求证： AE = CD ；
(2)如图 2，CD与 AE 交于点M ，连接 BM ，探究 AMB 的大小；
(3)如图 3，若 AB = c， AC = b， BC = a，CD = d ，射线 BM 上是否存在一点 P ，使△ACP也是等边三角形，
若存在，试探究BP满足的条件；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) AMB = 60°
(3)存在，BP = d
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；
（1）根据等边三角形的性质，证明VDBC≌VABE ，即可得证；
（2）根据VDBC≌VABE 得出 BDC = BAE ，进而可得 DMA = ABD = 60° ，在MD 上截取MN = MA，
则VANM 是等边三角形，证明VADB≌VABM ，即可得出结论；
（3）假设△ACP是等边三角形，证明VACE≌VPCB 得出PC = AE ，根据 AE = CD ，得出BP = CD = d ，即
可求解．
【详解】（1）证明：∵VABC,VBCE 是等边三角形，
∴ ABD = CBE = 60°, BD = AB, BC = BE ，
∴ ABD + ABC = CBE + ABC ，
即 DBC = ABE ，
∴VDBC≌VABE ，
∴ AE = CD ，
（2）解： AMB = 60°
如图所示，设CD, AB 交于点F ，
∵VDBC≌VABE
∴ BDC = BAE
∵ AFD = BDC + ABD = BAE + DMA
∴ DMA = ABD = 60°
在MD 上截取MN = MA，则VANM 是等边三角形，
∴ AN = AM ， ANM = 60°，则 ADN =120°，
∵ AD = AB, DAB = NAM = 60°
∴ DAN + NAB = BAM + NAB
∴ DAN = BAM
∴VADB≌VABM
∴ AMB = AND =120°
（3）解：射线 BM 上存在一点 P ，使△ACP也是等边三角形，
∵△ACP是等边三角形，
∴ PC = AC ， ACP = 60°
∵VBCE 是等边三角形，
∴CB = CE ， BCE = 60°，
∴ ACP = BCE ，
∴ ACP + ACB = BCE + ACB 即 PCB = ACE ，
∴VACE≌VPCB ，
∴PC = AE ，
又∵ AE = CD ，
∴BP = CD = d ．
6．【初步感知】
(1)如图 1，已知DABC为等边三角形，点 D 为边BC 上一动点（点 D 不与点 B，点 C 重合）．以 AD 为边向
右侧作等边DADE，连接CE．求证：DABD≌DACE ；
【类比探究】
(2)如图 2，若点 D 在边BC 的延长线上，随着动点 D 的运动位置不同，猜想并证明：
① AB 与CE的位置关系为： ；
②线段 EC 、 AC 、CD之间的数量关系为： ；
【拓展应用】
(3)如图 3，在等边DABC中，AB = 3，点 P 是边 AC 上一定点且 AP =1，若点 D 为射线BC 上动点，以DP为
边向右侧作等边DDPE ，连接CE、BE ．请问：PE + BE 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没
有，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 平行 EC = AC + CD
(3)有最小值，5
【分析】（1）由DABC和DADE是等边三角形，推出 AB = AC ， AD = AE ， BAC = DAE = 60°，又因为
BAC = DAE ，则 BAC - DAC = DAE - DAC ，即 BAD = CAE ，从而利用“SAS ”证明
DABD≌DACE ；
（2）①由（1）得DABD≌DACE（SAS），得出 B = ACE = 60°，CE＝BD，∠BAC =∠ACE ，则
AB∥CE ；
②因为CE = BD， AC = BC ，所以CE = BD = BC + CD = AC + CD；
（3）在BC 上取一点M ，使得DM = PC ，连接EM ，可证DEPC ≌DEDM（SAS），EC = EM ，求得 CEM = 60°，
得出 DCEM 是等边三角形，则 ECD＝60°，即点 E 在 ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP = CP，
当点 E 与点 C 重合时，BE + PE = BE + P E BP ＝5，进而解答此题．
【详解】（1）证明：∵DABC和DADE是等边三角形，
∴ AB = AC ， AD = AE ，
BAC = DAE = 60°，
∵ BAC = DAE ，
∴ BAC - DAC = DAE - DAC
即 BAD = CAE
在DABD 和DACE中，
ìAB = AC

í BAD = CAE ，

AD = AE
∴DABD≌DACE（SAS）；
（2）平行，EC = AC + CD ，理由如下：
由（1）得DABD≌DACE（SAS），
∴ B = ACE = 60°，CE＝BD，
∴∠BAC =∠ACE ，
∴ AB∥CE ，
∵CE = BD， AC = BC ，
∴CE = BD = BC + CD = AC + CD；
（3）有最小值，理由如下：
如图，在射线BC 上取一点M ，使得DM = PC ，连接EM ，
∵DABC和DDPE 是等边三角形，
∴PE = ED， DEP = ACB = 60°，
∴ ACD = 180° - ACB = 180° - 60° = 120°，
∴ ACD + DEP =120° + 60° =180°，
由三角形内角和为180°，可知： PCE + CEP + EPC =180°， ECD + CDE + CED =180°，
∴ PCE + CEP + EPC + ECD + CDE + CED = 360°，
又∵ PCE + ECD + CEP + CED = ACD + DEP =180°，
∴ EPC + CDE = 360° -180° =180°，
∵ EDM + CDE =180°，
∴ EPC = EDM ，
在DEPC 和DEDM 中，
ìPE = ED

í EPC = EDM ，

PC = DM
DEPC ≌DEDM（SAS），
∴EC = EM ， PEC = DEM ，
∵ PEC + CED＝ DEP = 60°，
∴ CEM = DEM + CED = 60°，
∴DCEM 是等边三角形，
∴ ECD = 60°， ACE =180° - ECD - ACB = 180° - 60° - 60° = 60°，
即点 E 在 ACD的角平分线上运动，
在射线CD上截取CP = CP，连接EP ，
在DCEP和DCEP 中，
ìPC = P C

í PCE = P CE = 60° ，

CE = CE
DCEP≌DCEP（ SAS），
∴PE = P E ，
则BE + PE = BE + P E ，
由三角形三边关系可知，BE + P E BP ，
即当点 E 与点 C 重合，BE + P E = BP 时，PE + BE 有最小值BP ，
∵ BP = BE + CP = BC + CP = 3 + 2 = 5，
∴BE + PE = BE + P E BP = 5，
∴BE + PE 最小值为 5．
【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的
关键．
【压轴题型六 直角三角形压轴问题（30 度角、斜边中线）】
1．如图，在VABC 中， AC = BC ， ACB = 90°， AE 平分 BAC 交BC 于点E ，BD ^ AE 交 AE 延长线于
1
点D，DM ^ AC 交 AC 的延长线于点M ，连接CD．则下列结论：① ADC=45°；②BD = AE ；③
2
BC + CE = AB ；④ AC + AB = 2AM ；⑤BD = CD其中不正确的结论有（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】作 ACN = BCD ，EF ^ AB，DH ^ AB，垂足为F 、 H ，证明VACN≌VBCD ASA ，由全等
三角形的性质得出CN = CD， AN = BD，证明VDCN 为等腰直角三角形，可判断①正确；求出 AN = CN ，
可得CN 为RtVACE 的中线，进而可判断②；证明 AC = AF ， EC = BF ，进而可判断③；证明
VAMD≌VAHD AAS ，得出 AM = AH ，DM = DH ，求出DB = DC ，证明VCMD≌VBHD HL ，可判断④
⑤．
【详解】解：作 ACN = BCD ，EF ^ AB，DH ^ AB，垂足为F 、 H ，
根据等腰直角三角形的性质有： ABC = BAC = 45°，
∵ ACN = BCD ，
∴ ACN + NCE = BCD + NCE ，即 DCN = ECA = 90°，
∵ AE 平分 BAC ，
∴ CAE = BAD
1
= BAC = 22.5°，
2
Q ACE = ADB = 90°， AEC = BED ，
\ CAN = CBD ，
又Q ACN = BCD ， AC = BC ，
\ VACN≌VBCD ASA ，
\ CN = CD， AN = BD，
又Q DCN = ECA = 90°，
\ VDCN 为等腰直角三角形，
\ ADC=45°，①正确；
Q CND = 45° ， CAE = 22.5°，
\ ACN = 22.5°，
\ AN = CN ，
\ CN 为RtVACE 的中线，
\ BD = AN 1= AE ，②正确；
2
Q AE 平分 BAC ，EF ^ AB，EC ^ AC ，
\ EC = EF ， AC = AF ，
∵EF ^ AB， CBA = 45°，
∴△BEF 为等腰直角三角形，
\ BF = EF ，
\ EC = BF ，
\ AB = AF + FB = AC + CE = BC + CE ，③正确；
Q CAE = BAE ， AMD = AHD ， AD = AD，
\ VAMD≌VAHD AAS ，
\ AM = AH ，DM = DH ，
Q BD = AN ， AN = CN = CD，
\ DB = DC ，
Q M = DHB = 90°，
\在RtVCMD 和RtVBHD 中，
\ VCMD≌VBHD HL ，
\ CM = BH ，BD = CD，⑤正确；
\ AC + AB = AC + BH + AH = AC + CM + AM = 2AM ，④正确；
即不正确的为 0 个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，
全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用
这些性质进行推理是解此题的关键．
2．如图，点 A 是线段 BC 的垂直平分线上任意一点，连接 AB ， AC ，作 AB 的垂直平分线 EF 分别交 AB 、
1 25
BC 于点 G、H，若 S△BGH = S△ABC ，HC = ，则GH 的长为 ．6 6
25
【答案】
24
25 25
【分析】如图，连接 AH ，证明BH : CH =1: 2，而HC = ，可得BH = ，取 H 关于 AF 的对称点K ，连
6 12
接 AK ，则 AH = AK ，证明VAHK 是等边三角形，可得 B = BAH = 30°，而 BGH = 90°，可得
GH 1= BH 25= .
2 24
【详解】解：如图，连接 AH ，
∵GH 是 AB 的垂直平分线，
S 1∴ AG = BG ，BH = AH ，而 △BGH = S6 △ABC
，
S 1∴ △BGH = SVAGH = S ，6 △ABC
S 1∴ VAHB = S2 VACH
，
25
∴BH : CH =1: 2，而HC = ，
6
BH 25∴ = ，
12
取 H 关于 AF 的对称点K ，连接 AK ，则 AH = AK ，
∵ AB = AC ， AF 是BC 的垂直平分线，
1
∴由轴对称的性质可得： SVABH = SVACK = SVABC ，3
∴ SVAHK = SVABH = SVACK ，
∴BH = HK = CK ，
∴ AH = HK = AK ，
∴VAHK 是等边三角形，
∴ AHK = 60° ，
∵ AH = BH ，
∴ B = BAH = 30°，而 BGH = 90°，
1 25
∴GH = BH = ，
2 24
25
故答案为：
24
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三
角形的外角的性质，含 30 度角的直角三角形的性质等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键.
3．如图，VABC 为等边三角形， AE = CD ， AD 、 BE 相交于点 P ， BQ ^ AD 于Q．
(1)求证：VADC≌VBEA；
(2)若 PQ = 4，PE =1，求 AD 的长．
【答案】(1)见详解
(2) AD = 9
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含 30 度角的直角三角形．
（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理 SAS 证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得 BPQ = 60°；可得 PBQ = 30° ，所
以由“30 度角所对的直角边是斜边的一半”得到 2PQ = BP = 8，则易求BE = BP + PE = 9．
【详解】（1）证明：QVABC 为等边三角形，
\ AB = CA， BAE = C = 60°，
在△ADC 与△BEA中，
ìCA = AB

í C = BAE，

CD = AE
\VADC≌VBEA SAS ；
（2）解：由（1）知，VAEB≌VCDA，则 ABE = CAD ，
\ BAD + ABE = BAD + CAD = BAC = 60°，
\ BPQ = BAD + ABE = 60°；
QBQ ^ AD ，
\ PBQ=30°，
1
\ PQ = BP = 4
2 ，
\BP = 8，
又∵PE =1，
\BE = BP + PE = 9，即 AD = 9 ．
4．在VABC 中， BO ^ AC 于点O， AO = BO = 3，OC =1．
(1)如图①，过点 A 作 AH ^ BC 于点 H，交BO于点 P，连接OH ．
①求线段OP 的长度；
②求证： OHP = 45°；
(2)如图②，若 D 为 AB 的中点，点 M 为线段BO延长线上一动点，连接MD ，过点 D 作DN ^ DM 交线段CA
的延长线于点 N，则 S△ BDM - S△ ADN 的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该
式子的值．
【答案】(1)①1；②见解析
9
(2) S△ BDM - S△ ADN 的值不发生改变，等于 4
【分析】（1）①证 VOAP≌OBC(ASA)，即可得出OP = OC =1；
②过O分别作OM ^ CB 于M 点，作ON ^ HA于 N 点，证VCOM≌VPON (AAS) ，得出OM = ON ．得出HO
平分 CHA，即可得出结论；
（2）连接OD ，由等腰直角三角形的性质得出OD ^ AB， BOD = AOD = 45°，OD = DA = BD ，则
OAD = 45°，证出 DAN = MOD ．证 VODM≌VADN (ASA)，得 SVODM = SVADN ，进而得出答案．
【详解】（1）解：①QBO ^ AC ， AH ^ BC ，
\ AOP = BOC = AHC = 90°，
\ OAP + C = OBC + C = 90°，
\ OAP = OBC ，
ì AOP = BOC
在VOAP

和△OBC 中， íAO = BO ，

OAP = OBC
\VOAP≌VOBC(ASA)，
\OP = OC =1；
②过O分别作OM ^ CB 于M 点，作ON ^ HA于 N 点，如图 1 所示：
在四边形OMHN 中， MON = 360° - 3 90° = 90°，
\ COM = PON = 90° - MOP．
ì COM = PON
PON 在△COM 与△ 中， í OMC = ONP = 90°，

OC = OP
\VCOM≌VPON (AAS) ，
\OM = ON ．
QOM ^ CB ，ON ^ HA，
\HO平分 CHA，
1
\ OHP = AHC = 45°；
2
9
（2）解： S△ BDM - S△ ADN 的值不发生改变，等于 ．理由如下：4
连接OD ，如图 2 所示：
Q AOB = 90°，OA = OB，D为 AB 的中点，
\OD ^ AB ， BOD = AOD = 45°，OD = DA = BD
\ OAD = 45°， MOD = 90° + 45° = 135° ，
\ DAN =135° = DOM ．
QMD ^ ND ，
即 MDN = 90°，
\ MDO = NDA = 90° - MDA．
ì MDO = NDA
在△ODM

和△ADN 中， íOD = AD ，

DOM = DAN
\VODM ≌VADN (ASA)，
\SVODM = SVADN ，
\S△BDM - S△ADN = S△BDM - S
1 1 1 1 1 9
△ODM = S△BOD = S△AOB = AO × BO = 3 3 = ．2 2 2 2 2 4
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的
判定定理、直角三角形的性质、余角的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解
题的关键．
5．已知 AD 为等边VABC 的角平分线，动点E 在直线 AD 上（不与点A 重合），连接 BE ．以 BE 为一边在 BE
的下方作等边△BEF ，连接CF ．
(1)如图 1，若点E 在线段 AD 上，且DE = BD，则∠CBF = ______度．
(2)如图 2，若点E 在 AD 的反向延长线上，且直线 AE ，CF 交于点M ．
①求 AMC 的度数；
②若VABC 的边长为 4，P ，Q为直线CF 上的两个动点，且 PQ = 5．连接BP，BQ，判断VBPQ的面积是
否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)15；
(2)①∠AMC = 60°；②是，5
【分析】此题考查手拉手全等模型，和等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊
角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可．
（1）已知等边三角形，推论出等腰直角三角形，直接计算即可．
（2）①通过手拉手模型证明全等推出等角即可；②已知底边求面积，推出高的值即可，联系第①问中的角
度，直接推理出30°的直角三角形，代值计算即可．
【详解】（1）解：Q AD 为等边VABC 的角平分线
\ AD ^ BC
Q DE = BD ，
\ EBD = 45°，
QVBEF 是等边三角形，
\ EBF = 60°，
\ CBF = 60° - 45° =15°
（2）解：①QVABC 和△BEF 均为等边三角形，
\ AB = CB，EB = FB， EBF = ABC = 60°，
\ EBA = FBC ．
在VABE 和VCBF 中，
ì AB = CB

í ABE = CBF ，

EB = FB
\VABE≌VCBF SAS ，
\ AEB = CFB ，
又Q AEB + EBF = CFB + AMC
\ AMC = EBF = 60°
②过 B 作BN ^ CM 于点 N ，
由①可知，∠AMC = 60°，
\ DCM = 30°，
QBC = 4，
1
在Rt△BNC 中，BN = BC = 2 ，
2
QPQ = 5，
1
\SVBPQ = 2 5 = 5，2
\VBPQ的面积为定值，5
6．综合与实践：
(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图 1， ACB = 90o，
AC = BC ， AD ^ CD ，BE ^ CD，垂足分别为点D，E ．请证明： AD = CE ．
(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图 2， CDF = 90o ，CD = FD，点A 是DF
上一动点，连接 AC ，作 ACB = 90o且BC = AC ，连接 BF 交CD于点G ．若DG = 1，CG = 3，请证明：点
A 为DF 的中点．
(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图 3， CDF = 90o ，CD = FD，点A
是射线DF 上一动点，连接 AC ，作 ACB = 90o且BC = AC ，连接 BF 交射线CD于点G ．若FD = 4AF ，请
CG
直接写出 的值．
DG
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)9
【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，有关中点的相关计算，熟练掌握全等三角形的判定及性质，
添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用AAS证得VACD≌VCBE ，即可求证结论；
（2）过 B 作BH ^ CD 于 H ，由（1）得△ACD≌△CBH ，进而可得 AD = CH ,CD = BH ，再利用AAS可证
VDFG≌VHBG，则可证DG = GH ，根据数量关系可得 AD = 2， DF = 4，进而可求证结论；
（3）过点 B 作BH ^ CD 于 H ，由（2）得 AD = CH ，CD = BH = FD，HG = DG ，再根据数量关系即可求
解；
【详解】（1）证明：Q ACB = 90°，
\ ACD + BCD = 90°，
QBE ^ CD，
\ B + BCD = 90°，
\ B = ACD，
在VACD和△CBE 中，
ì ACD = B

í ADC = CEB = 90°，

AC = BC
\VACD≌VCBE AAS ，
\ AD = CE ；
（2）证明：过 B 作BH ^ CD 于 H ，如图：
由（1）得：△ACD≌△CBH ，
\ AD = CH ,CD = BH ，
QDF = CD ，
\ DF = BH ，
在VDFG 和VHBG 中，
ì DGF = BGH

í ADH = DHB = 90°，

AD = BH
\VDFG≌VHBG AAS ，
QDG = 1，
\DG = GH =1，
QCG = 3，
\CH = CG = GH = 3 -1 = 2，CD = CH + DG = 4，
\ AD = 2 ， DF = 4，
\ A是DF 的中点；
（3）解：CG = 9DG ，理由如下：
过点 B 作BH ^ CD 于 H ，如图：
由（2）得： AD = CH ，CD = BH = FD，HG = DG ，
QFD = 4AF ，
\ AD = CH = 5AF ，CD = DF = 4AF ，
\DH = CH - CD = AF ，
DG 1 DH 1\ = = AF ，
2 2
\CG = CD + DG 9= AF ，
2
\CG = 9DG ．
CG
即 = 9．
DG
【压轴题型七 直角三角形中的动点问题】
1．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，AB = 8cm， B = 30°，若点 P 从点 B 出发以 2cm/s的速度向点A 运动，
点Q从点A 出发以1cm/s的速度向点C 运动，设 P 、Q分别从点 B 、A 同时出发，运动的时间为s时，△APQ
是直角三角形（ ）
A． 2或 2.3 B．3或 2.3 C． 2或3.2 D．3或3.2
【答案】C
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，分两种情况讨论是解题的关键．先利用含30度角的直角三角
形性质可得 A = 60°，AC = 4cm，然后设运动时间为 t秒，根据题意可得：BP = 2t cm ，AQ = t cm ，从
而可得 AP = 8 - 2t cm ，最后分两种情况：当 AQP = 90°时；当 APQ = 90°时；分别进行计算即可解答．
【详解】解：Q C = 90° ， B = 30°， AB = 8cm，
1
\ A = 90° - B = 60°， AC = AB = 4 cm ，
2
设运动时间为 t秒，
由题意得：BP = 2t cm ， AQ = t cm ，
\ AP = AB - BP = 8 - 2t cm，
分两种情况：
当 AQP = 90°时，如图：
\ APQ = 90° - A = 30°，
\ AP = 2AQ ，
\8 - 2t = 2t ，
解得： t = 2；
当 APQ = 90°时，如图：
\ AQP = 90° - A = 30°，
\ AQ = 2AP ，
\t = 2 8 - 2t
解得： t = 3.2；
综上所述：运动的时间为 2或3.2s时，△APQ 是直角三角形，
故选：C．
19．如图，在VABC 中， ABC = 60°, AB = 6，D 是边 AB 上的动点，过点 D 作DE∥BC 交 AC 于点 E，将
VADE 沿DE 折叠，点 A 的对应点为点 F，当VBDF 是直角三角形时， AD 的长为 ．
【答案】4 或 2/2 或 4
【分析】当VBDF 为直角三角形时，分两种情况 BFD = 90°和 DBF = 90°，然后根据 30 度角的直角三角
形的性质结合BD + AD = 6求解即可．本题考查了折叠的性质，平行线的性质，含 30 度角的直角三角形的
性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【详解】解：∵DE∥BC ， ABC = 60°，
∴ ADE = ABC = 60°．
∵将VADE 沿DE 翻折，点 A 的对应点为 F，
∴ EDF = ADE = 60°， AD = AF ，
∴ BDF = 60°，
∴当VBDF 为直角三角形时，分两种情况：
①当 BFD = 90°时，
∴ DBF = 30°，
∴BD = 2DF = 2AD ．
∵BD + AD = 6，
∴ 2AD + AD = 6，
∴ AD = 2．
②当 DBF = 90°时，如图，
则： DFB = 30°，
1
∴BD = DF
1
= AD，
2 2
∴ AD + BD = AD
1
+ AD = AB = 6 ，
2
∴ AD = 4；
综上： AD = 4或 2；
故答案为：4 或 2．
3．如图，VABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀
速移动．
(1)当点 P 的运动速度是1cm / s ，点 Q 的运动速度是2cm / s，当 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设
运动时间为 t（s），当 t = 2时，判断VBPQ的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是1cm / s ，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动，设点 P 的运动时间为 t（s），则当 t
为何值时，VPBQ是直角三角形？
【答案】(1)VBPQ是等边三角形，理由见解析
(2)当点 P 的运动时间为 2s 或 4s 时，VBQP是直角三角形
【分析】（1）分别求出BP、BQ的长可知BP = BQ ，再由等边三角形的性质得到 B=60°，即可证明VBPQ
是等边三角形；
（2）分当 PQB = 90° 时和当 BPQ = 90°时两种情况利用含 30 度角的直角三角形的性质求解即可，
本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含 30
度角的性质是关键．
【详解】（1）解：VBPQ是等边三角形，理由如下；
由题意得，当 t = 2时， AP = 2cm，BQ = 4cm，
∴BP = AB - AP = 4cm ，
∴BP = BQ ，
∵VABC 是等边三角形，
∴ B=60°，
∴VBPQ是等边三角形；
（2）解；∵运动时间为 ts ，
∴ AP = tcm，BQ = tcm ，
∴BP = AB - AP = 6 - t cm ，
如图 1 所示，当 PQB = 90° 时，
∵ B=60°，
∴∠BPQ = 90° -∠B = 30°，
∴BP = 2BQ ，
∴6 - t = 2t ，
解得 t = 2；
如图 2 所示，当 BPQ = 90°时，
同理可得 BQP = 30°，
∴BQ = 2BP ，
∴ 2 6 - t = t ，
解得 t = 4；
综上所述，当点 P 的运动时间为 2s 或 4s 时，VBQP是直角三角形．
4．如图1，点P、Q分别是边长为 4cm 的等边VABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点A ，点Q从顶点 B 同
时出发，且它们的速度都为1cm/s．
(1)连接 AQ、CP交于点M ，则在P、Q运动的过程中， CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则
求出它的度数；
(2)试求何时VPBQ是直角三角形？
(3)如图 2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP交点为M ，则 CMQ 变
化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】(1) 60°
4 8
(2)当 t为 s 或 s时；
3 3
(3)不变， CMQ =120°．
【分析】（1）根据VABC 是等边三角形得 AB = AC ， B = CAP = 60°，由题意得 AP = BQ ，从而证明
△ABQ≌△CAP SAS ，再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得
CMQ 的度数；
（ 2）设时间为 t，则 AP = BQ = t ，PB = 4 - t ，分别就①当 PQB = 90° 时；②当 BPQ = 90°时，利用直
角三角形的性质定理求得 t的值；
（3）首先利用边角边定理证得VPBC≌VQCA，再利用全等三角形的性质定理得到 BPC = MQC ，再运
用三角形角间的关系求得 CMQ 的度数；
本题考查了等边三角形的性质，30°所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点
的应用及学会用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】（1） CMQ = 60°不变，理由：
∵VABC 是等边三角形，
∴ AB = AC ， B = CAP = 60°，
由题意得： AP = BQ ，
在VABQ 和VCAP 中，
ìAB = AC

í B = CAP

AP = BQ
∴△ABQ≌△CAP SAS ，
∴ BAQ = ACP，
∴ CMQ = ACP + CAM = BAQ + CAM = BAC = 60°；
（2）设时间为 t，则 AP = BQ = t ，PB = 4 - t ，
①当 PQB = 90° 时，
∵ B=60°，
∴ BPQ = 30°，
∴PB = 2BQ ，得4 ― = 2
4
，解得： t = ；
3
②当 BPQ = 90°时，
∵ B=60°，
∴ BQP = 30°，
∴BQ = 2BP ，得 t = 2 4 - t 8，解得： t = ,
3
4 8
当第 或 秒或第一秒时，VPBQ为直角三角形；
3 3
（3） CMQ =120°不变，理由：
∵VABC 是等边三角形，
∴BC = AC ， ABC = ACB = 60°，
∴ PBC = ACQ =120°，
由题意得BP = CQ ，
在△PBC 和VQCA中，
ìBC = AC

í PBC = ACQ ，

BP = CQ
∴△PBC≌△QCA SAS ，
∴ BPC = MQC ，又 PCB = MCQ ，
∴ CMQ = PBC =180° - 60° =120°．
5．如图 1，VABC 是边长为 5 厘米的等边三角形，点 P、Q 分别从顶点 A、B 同时出发，沿线段 AB 、BC
运动，且它们的速度都为 1 厘米/秒，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动．设点 P 的运动时间为 t(s)．
(1)当运动时间为 t 秒时，BQ的长为______厘米，BP的长为______厘米；（用含 t 的式子表示）
(2)当VBPQ是直角三角形时，求 t 的值；
(3)如图 2，连接 AQ 、CP，相交于点 M，则点 P、Q 在运动的过程中， CMQ 会变化吗？若变化，则说明
理由；若不变，请求出它的度数．
【答案】(1) t， 5 - t ；
5 10
(2)t 的值为 或 ；
3 3
(3) CMQ 不会变化， CMQ = 60°
【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，
三角形内角和定理及外角的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）由等边三角形的性质可得 AB = BC = 5厘米，设点 P 的运动时间为 t(s)，则 AP = t 厘米， BQ = t 厘米，
再表示出BP的长度即可；
（2）由题意可知， AP = t 厘米，BQ = t 厘米，BP = 5 - t 厘米，当VBPQ是直角三角形时，分两种情况讨
论： BQP = 90°和 BPQ = 90°，根据 30 度角所对的直角边等于斜边一半列方程，求出 t 的值即可；
（3）根据等边三角形的性质，证明VABQ≌VCAP SAS ，得到 BAQ = ACP，推出 ACP + CAQ = 60°，
再根据三角形外角的性质，即可得出 CMQ 的度数．
【详解】（1）解：QVABC 是边长为 5 厘米的等边三角形，
\ AB = BC = 5厘米，
设点 P 的运动时间为 t(s)，
由题意可知， AP = t 厘米，BQ = t 厘米，
\BP = AB - AP = 5 - t 厘米，
故答案为： t， 5 - t ；
（2）解：QVABC 是边长为 5 厘米的等边三角形，
\ AB = BC = 5厘米， B=60°，
设点 P 的运动时间为 t(s)，
则 AP = t 厘米，BQ = t 厘米，BP = 5 - t 厘米，
当VBPQ是直角三角形时，
若 BQP = 90°，则 BPQ = 30°，
\BP = 2BQ ，
\5 - t = 2t ，
解得： t
5
= ；
3
若 BPQ = 90°，则 BQP = 30°，
\BQ = 2BP ，
\t = 2 5 - t ，
t 10解得： = ，
3
5 10
综上可知，当VBPQ是直角三角形时，t 的值为 或 ；
3 3
（3）解： CMQ 不会变化，理由如下：
QVABC 是等边三角形，
\ AB = AC ， B = BAC = 60°，
Q点 P、Q 分别从顶点 A、B 以相同速度同时出发，沿线段 AB 、BC 运动，
\ AP = BQ，
在VABQ 和VCAP 中，
ìAB = AC

í B = CAP ，

BQ = AP
\VABQ≌VCAP SAS ，
\ BAQ = ACP ，
Q BAC = BAQ + CAQ = 60°，
\ ACP + CAQ = 60°，
Q CMQ是△ACM 的外角，
\ CMQ = ACM + CAM = 60°，
即 CMQ 不会变化，度数为60°．
6．如图：等边三角形 ABC 中，D、E 分别是BC 、 AC 边上的点，BD = CE ， AD 与 BE 相交于点 P ，
AP = 6，Q是射线PE上的动点．
(1)求证：VABD≌VBCE ；
(2)求 APE的度数；
(3)若△APQ 为直角三角形，求 PQ的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 60°；
(3)3或12．
【分析】（1）由等边三角形可得 AB = BC ， ABD = C = 60°，即可由SAS证明VABD≌VBCE ；
（ 2）由全等三角形的性质可得 BAD = CBE ，再利用三角形外角性质即可求解；
（3）分 AQP = 90°和 PAQ = 90°两种情况，利用直角三角形的性质即可求解；
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，运用
分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵VABC 为等边三角形，
∴ AB = BC ， ABD = C = 60°，
∵BD = CE ，
∴VABD≌VBCE SAS ，
（2）解：∵VABD≌VBCE ，
∴ BAD = CBE ，
∴ APE = ABP + BAD = ABP + CBE = ABC = 60°；
（3）解：如图，
①当 AQP = 90°时，
∵ APE = 60°，
∴ PAQ = 90°-60° = 30°，
∵ AP = 6，
PQ 1 AP 1∴ = = 6 = 3；
2 2
②当 PAQ = 90°时，
∵ APE = 60°，
∴ AQP = 90° - 60° = 30°，
∴PQ = 2AP = 2 6 =12；
综上， PQ = 3或12．
【压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题】
AP
1．如图，VABC 的角平分线 AF , BE 相交于点 P，若 AB = AC = 13, BC = 10 ，则 的值为（ ）
PF
13 12 5
A． B． C． D．2
5 5 2
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．根据 AB = AC 第 10 讲 特殊三角形 72 道压轴题型专项训练（12 大题型）
【题型目录】
压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题
压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题
压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题
压轴题型四 等腰三角形中的动点问题
压轴题型五 等边三角形中的动点问题
压轴题型六 直角三角形压轴问题（30 度角、斜边中线）
压轴题型七 直角三角形中的动点问题
压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题
压轴题型九 用勾股定理解三角形
压轴题型十 勾股定理与折叠问题
压轴题型十一 勾股定理的应用
压轴题型十二 勾股定理中的最短路径问题
【压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题】
1．在三角形纸片 ABC 中， A = 90°， C = 22°，点 D 为 AC 边上靠近点 C 处一定点，点 E 为BC 边上一动点，
沿DE 折叠三角形纸片，点 C 落在点C 处．有以下四个结论：
①如图 1，当点C 落在 BC 边上时， ADC = 44°；
②如图 2，当点C 落在△ABC 内部时， ADC + BEC = 44°；
③如图 3，当点C 落在△ABC 上方时， BEC - ADC = 44°；
④当C E∥AB时， CDE = 34°或 CDE =124°，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．如图，在VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于点D，点M ，N 分别是线段BD、BC 上一动点，AB > BD
且 S△ABC =10， AB = 5，则CM + MN 的最小值为 ．
3．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片 ABCD，如图 1，点E 在边 AD 上，点F ，G 分别在
边 AB ，CD上，分别沿EF ，EG 把 A， D向内折叠并压平，点A ，D分别落在点 A 和点 D 处．
小明同学的操作如图 2，点 D 在线段 EA 上；
小红同学的操作如图 3，点 A 在EG 上，点 D 在EF 上．
(1)在图 1 中，若 FEG = 110°，求 A ED 的度数；
(2)直接写出图 2 和图 3 中 FEG 的度数；
(3)若折叠后 A ED = n°(n 0)， 求 FEG 的度数(用含 n 的代数式表示)．
4．如图，将长方形纸片 ABCD沿EF 折叠后，点C 、D分别落在点C 、D 的位置，C D 交BC 于点G ，再
将△C FG沿 FG 折叠，点C 落在C 的位置（C 在折痕EF 的左侧）．
(1)如果 FED = 65°，求 EFC 的度数；
(2)如果 AED = 40°，则 EFC = ________ ° ；
(3)探究 EFC 与 AED 的数量关系，并说明理由．
5．东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图 1 所示折叠，点 F 在边BC 上，点 E，G
在其它三边上，FE和FG 为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现
B FC 随着点 E，G 的位置变化而变化，为了研究方便，把 BFE记为a ， CFG记为 b ．
(1)如图 1，当a = 30°, b = 40°时，求 B FC 的度数．
(2)如图 2，当点 F，B ，C 在同一直线上（即 B FC = 0°）时，探究a 和 b 的数量关系，并说明理由．
(3)在 EFG和 B FC 中，当其中一个角是另一个角的 3 倍时，求a + b 的度数．
6．数学兴趣小组利用直角三角形纸片开展了如下的连续探究活动，请帮助他们完成相关的计算和证明．
【探究一】如图 1，在Rt△ABC 中， C = 90°，沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上的
点 E 处，折痕为 BD．同学们发现，若CD = 3cm， AB + BC = 16cm，借助 S△ABC = S△ABD + S△BCD ，可以计算
出VABC 的面积．请你完成填空： S 2VABC = __________ cm ；
【探究二】在“图 1”的基础上，过点 E 作 BED的平分线交 BD 于点 P，连接 AP，如图 2．同学们发现，沿
直线 AP 折叠这个三角形， BAP与 CAP 重合，即 AP 是 CAB 的角平分线．请你证明：AP 平分 CAB ；
【探究三】在“图 2”的基础上，过点 P 作PH ^ AB 于点 H，如图 3．同学们通过测量发现，AH 与 BH 的积
1
是 AC 与 BC 的积的一半．请你证明： AH × BH = AC × BC ．
2
【压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题】
1．如图，在VABC 中， AB = AC ， AD ， BE 是VABC 的两条中线， AD = 5，BE = 6， P 是 AD 上的一个动
点，连接PE，PC ，则PC + PE 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．VABC 中，若过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为
直角三角形，则称这条直线为VABC 的关于点 B 的二分割线．例如：如图 1，VABC 中， A = 90°，
C = 20°，若过顶点 B 的一条直线BD交 AC 于点 D，且 DBC = 20°，则直线BD是VABC 的关于点 B 的
二分割线．如图 2，VABC 中， C =18°，钝角VABC 同时满足：① C 为最小角；②存在关于点 B 的二分
割线，则 BAC 的度数为 ．
3．如图，在VABC 中，AD = BC， B = 40°，D、E 为边 AB 上的两点，且CD = CE ， BCD = 60°，△ADF
是等边三角形．
(1)求证：CE = BE ；
(2)求 CAD的度数．
4．我们知道：如果两个三角形全等，则它们的面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过
证明等底等高来说明它们的面积相等．已知VABC与VDEC 是等腰直角三角形， ACB = DCE = 90°，连
接 AD 、 BE ．
(1)如图 1，当 BCE = 90°时，求证： SVACD = SVBCE ．
(2)如图 2，当0° < BCE < 90°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请
说明理由．
(3)如图 3，在（2）的基础上，作CF ^ BE ，延长 FC 交 AD 于点G ，求证：点G 为 AD 的中点．
5．如图， AD 是VABC 的角平分线，DE ^ AC ，垂足为E, BF∥AC 交ED的延长线于点F ，若BC 恰好平
分 ABF ．
(1)求证：△CDE ≌△BDF ；
(2)若VABC 的面积是 18，DF = 3，求 AB 长．
6．△ABC 和△DBE 都是以点 B 为顶点的等腰直角三角形， ABC = DBE = 90°．
(1)如图 1，当VABC 和VDBE如图摆放，连接CD, AD,CE ，其中 与 相交于点 F．那么 与 之间存在
着怎样的位置关系，请说明理由；
(2)如图 2，当VABC 和VDBE如图摆放，F 为 AC 的中点，连接 AD,CE, FD，并在 FD的延长线上取一点 C，
连接CG ，使CG = CE ．求证： FDA = CGF ．
【压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题】
1．如图，点 A，B，C 在同一条直线上，△ABD ，VBCE 均为等边三角形，连接 AE 和CD， AE 分别交
CD、BD于点 M，P，CD交 BE 于点 Q，连接 PQ，BM ，下面结论：①VABE≌VDBC ；② DMA = 60°；③
VPBQ为等边三角形；④MB平分 AMC ；⑤ PEQ = 30°．其中结论正确的有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．如图，点C 在线段 AB 上（不与点A 、B 重合），在 AB 的上方分别作△ADC 和VBCE ，且 AC = DC ，BC = EC，
ACD = BCE = a 连接 AE ，BD交于点 P ，下列结论正确的是（填序号） ．
AE = BD ；② AD = BE ；③ APB =180o -a ；④PC 平分 DCE ；
3．如图，在等边三角形 ABC 中，点E 在 AB 上，点D在CB 的延长线上，且ED = EC ．
(1)如图 1，当E 为 AB 的中点时，则 AE ______ DB（填“ > ”“ < ”或“ = ”）．
(2)如图 2，当E 为 AB 边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图 3，当点E 在 AB 的延长线上时，若VABC 的边长为 2， AE = 3，求CD的长．
4．如图 1，在VABC 中， AB = AC , D 为线段BC 上一动点（不与点 B、C 重合）．连接 AD ，作
DAE = BAC ，且 AD = AE ，连接CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE ．
(2)当CE平分 ACF 时，若 BAD = 32°，求 DEC 的度数．
(3)如图 2，设 BAC = a 90° < a <180° ，在点 D 运动过程中，当DE ^ BC 时， DEC = __________°．（用
含a 的式子表示）
5．如图，点O是等边VABC 内一点， D是VABC 外的一点， AOB =110°， BOC = a ，VBOC≌VADC ，
OCD = 60°，连接OD ．
(1)求证：VOCD是等边三角形；
(2)当a =150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)当a = _________时，△AOD是等腰三角形．
6．如图，在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 30°，VCDE是等边三角形，点 D 在边 AB 上．
(1)如图 1，当点 E 在边BC 上时，求证DE = EB；
(2)如图 2，当点 E 在VABC 内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；
(3)如图 1，当点 E 在VABC 外部时，EH ^ AB 于点 H，过点 E 作GE P AB，交线段 AC 的延长线于点 G，
AG = 5CG ，BH =1．求CG 的长．
【压轴题型四 等腰三角形中的动点问题】
1．如图是树枝的一部分，一只蚂蚁 M 以 2cm / s的速度从树枝的 A 点处出发沿树枝 方向向上爬行，另一
只蚂蚁N从O点出发，以1cm / s 的速度沿树枝OC 方向爬行，如果 AB，OC 足够长，OA =12cm， BOC = 60°，
且两只蚂蚁同时出发，用 t s 表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点 O 恰好构成等腰三角形时，t 的值是（ ）
A． 4s B．12s
C． 4s或12s D． 4s或12s或16s
2．如图，已知：在VABC 中， AC = BC = 8， ACB =120° ，将一块足够大的直角三角尺 PMN
（ M = 90°， MPN = 30°）按如图放置，顶点 P 在线段 AB 上滑动，三角尺的直角边 PM 始终经过点C ，
并且与CB 的夹角 PCB = a ，斜边PN 交 AC 于点D．点 P 在滑动时，a = 时，△PCD的形状是等腰
三角形．
3．如图，在VABC 中， ACB = 90°，已知 AC = 3, BC = 4, AB = 5，点D为 AB 边上一点，连结CD且
AD = CD ，动点 P 从A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 A - C - B 运动，到点 B 运动停止，当点 P 不与
VABC 的顶点重合时，设点 P 的运动时间是 t秒．
(1)用含有 t的代数式表示CP的长；
(2)求CD的长；
(3)当△CDP是以CD为腰的等腰三角形时，求 t的值；
(4)在点 P 的运动过程中，如果点 P 到VABC 的两条边距离相等，直接写出 t的值．
4．如图，等边VABC 的边长为 4cm ，点 M 从点 B 出发沿 BC 运动，同时，点 N 从点 A 出发沿线段CA的延
长线运动，点 M，N 的速度均为1cm /秒，点 M 到达点 C 时，两点停止运动．作MD ^ AB于点 D，连接MN
交 AB 于点 E．设点 M，N 的运动时间为 t 秒．
(1)当△AEN 为等腰三角形时，求 t 的值；
(2)线段DE 的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由．
5．已知VABC 是等腰三角形，且 AB = AC ，点 D 是射线BC 上的一动点，连接 AD ，以 AD 为腰在 AD 右侧
作等腰VADE ，使 AD = AE ， DAE = BAC ．
(1)如图 1，当点 D 在线段BC 上时，求证：BD = CE ；
(2)如图 2，当点 D 在射线BC 上运动时，取 AC 中点 M，连接ME ，且 DAE = BAC = 40°．当VMEC 为等
腰三角形时， CME 的度数为______；
(3)如图 3，当点 D 在线段BC 的延长线上， DAE = BAC = 60°时，在线段CA上截取CF ，使
CF = CD + AF ，并连接EF ．求证：EF ^ AC ．
6．如图，在VABC BC > AB 中， AB = AC = 5， B = 35°，点 D 在线段 BC 上运动（点 D 不与点 B，C 重
合），连接 AD，作 ADE = 35°，DE 交线段 AC 于点 E．
(1)当 BDA = 125°时， DEC = ______ °， DAE = ______ °．
(2)当线段 DC 的长度为何值时，△ABD≌△DCE ？请说明理由．
(3)在点 D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA 的度数；若不可以，
请说明理由．
【压轴题型五 等边三角形中的动点问题】
1．在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 30°，VCDE是等边三角形．点 D在 AB 边上，点 E 在VABC 外部，
EH ^ AB 于点 H ，过点E 作GE∥ AB，交线段 AC 的延长线于点G ， AG = 5CG ，BH = 3，则CG 的长为
（ ）
A．1 B． 2 C． 2 D． 3
2．已知正方形 ABCD，点E 是边 AD 上的动点，以 EC 为边作等边三角形ECF ，连接 BF ，交边DC 于点
G ，当 BF 最小时， CGF = ．
3．如图，在等边VABC 中， AB = AC = BC = 8cm，点M , N 分别从点 A, B同时出发，沿三角形的边运动，
当点 N 第一次返回到达点 B 时，M , N 同时停止运动．已知点M 的速度是1cm/s，点 N 的速度是 2cm/s．设
点 N 的运动时间为 ts ．
(1)当 t为何值时，M , N 两点重合？
(2)当 t为何值时，VAMN 为等边三角形？
(3)当点M , N 在BC 边上运动时，是否存在时间 t，使得VAMN 是以MN 为底边的等腰三角形，若存在，直
接写出 t的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，VABC 中， AB = BC = AC =12cm ，M 、N 分别从点A 、点 B 同时出发，按顺时针方向沿三角形
的边运动．已知点M 的运动速度为1cm/s，点 N 的运动速度为 2cm/s．当点 N 第一次到达 B 点时，M 、 N
同时停止运动．设运动时间为 t(t > 0)．
(1)当 M、N 两点重合时，求 t 的值．
(2)当VAMN 为等边三角形时，求 t 的值．
(3)点 M、N 运动过程中，点 M、N 能否与VABC 中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间
t，若不能请说明理由．
5．如图 1，以VABC 的两边 AB ，BC 为边向外作等边三角形 ABD，BCE ，连接CD， AE ．
(1)求证： AE = CD ；
(2)如图 2，CD与 AE 交于点M ，连接 BM ，探究 AMB 的大小；
(3)如图 3，若 AB = c， AC = b， BC = a，CD = d ，射线 BM 上是否存在一点 P ，使△ACP也是等边三角形，
若存在，试探究BP满足的条件；若不存在，请说明理由．
6．【初步感知】
(1)如图 1，已知DABC为等边三角形，点 D 为边BC 上一动点（点 D 不与点 B，点 C 重合）．以 AD 为边向
右侧作等边DADE，连接CE．求证：DABD≌DACE ；
【类比探究】
(2)如图 2，若点 D 在边BC 的延长线上，随着动点 D 的运动位置不同，猜想并证明：
① AB 与CE的位置关系为： ；
②线段 EC 、 AC 、CD之间的数量关系为： ；
【拓展应用】
(3)如图 3，在等边DABC中，AB = 3，点 P 是边 AC 上一定点且 AP =1，若点 D 为射线BC 上动点，以DP为
边向右侧作等边DDPE ，连接CE、 BE ．请问：PE + BE 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没
有，请说明理由．
【压轴题型六 直角三角形压轴问题（30 度角、斜边中线）】
1．如图，在VABC 中， AC = BC ， ACB = 90°， AE 平分 BAC 交BC 于点E ，BD ^ AE 交 AE 延长线于
1
点D，DM ^ AC 交 AC 的延长线于点M ，连接CD．则下列结论：① ADC=45°；②BD = AE ；③
2
BC + CE = AB ；④ AC + AB = 2AM ；⑤BD = CD其中不正确的结论有（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．如图，点 A 是线段 BC 的垂直平分线上任意一点，连接 AB ， AC ，作 AB 的垂直平分线 EF 分别交 AB 、
1 25
BC 于点 G、H，若 S△BGH = S△ABC ，HC = ，则GH 的长为 ．6 6
3．如图，VABC 为等边三角形， AE = CD ， AD 、 BE 相交于点 P ， BQ ^ AD 于Q．
(1)求证：VADC≌VBEA；
(2)若 PQ = 4，PE =1，求 AD 的长．
4．在VABC 中， BO ^ AC 于点O， AO = BO = 3，OC =1．
(1)如图①，过点 A 作 AH ^ BC 于点 H，交BO于点 P，连接OH ．
①求线段OP 的长度；
②求证： OHP = 45°；
(2)如图②，若 D 为 AB 的中点，点 M 为线段BO延长线上一动点，连接MD ，过点 D 作DN ^ DM 交线段CA
的延长线于点 N，则 S△ BDM - S△ ADN 的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该
式子的值．
5．已知 AD 为等边VABC 的角平分线，动点E 在直线 AD 上（不与点A 重合），连接 BE ．以 BE 为一边在 BE
的下方作等边△BEF ，连接CF ．
(1)如图 1，若点E 在线段 AD 上，且DE = BD，则∠CBF = ______度．
(2)如图 2，若点E 在 AD 的反向延长线上，且直线 AE ，CF 交于点M ．
①求 AMC 的度数；
②若VABC 的边长为 4，P ，Q为直线CF 上的两个动点，且 PQ = 5．连接BP，BQ，判断VBPQ的面积是
否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
6．综合与实践：
(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图 1， ACB = 90o，
AC = BC ， AD ^ CD ，BE ^ CD，垂足分别为点D，E ．请证明： AD = CE ．
(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图 2， CDF = 90o ，CD = FD，点A 是DF
上一动点，连接 AC ，作 ACB = 90o且BC = AC ，连接 BF 交CD于点G ．若DG = 1，CG = 3，请证明：点
A 为DF 的中点．
(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图 3， CDF = 90o ，CD = FD，点A
是射线DF 上一动点，连接 AC ，作 ACB = 90o且BC = AC ，连接 BF 交射线CD于点G ．若FD = 4AF ，请
CG
直接写出 的值．
DG
【压轴题型七 直角三角形中的动点问题】
1．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，AB = 8cm， B = 30°，若点 P 从点 B 出发以 2cm/s的速度向点A 运动，
点Q从点A 出发以1cm/s的速度向点C 运动，设 P 、Q分别从点 B 、A 同时出发，运动的时间为s时，△APQ
是直角三角形（ ）
A． 2或 2.3 B．3或 2.3 C． 2或3.2 D．3或3.2
2．如图，在VABC 中， ABC = 60°, AB = 6，D 是边 AB 上的动点，过点 D 作DE∥BC 交 AC 于点 E，将VADE
沿DE 折叠，点 A 的对应点为点 F，当VBDF 是直角三角形时， AD 的长为 ．
3．如图，VABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀
速移动．
(1)当点 P 的运动速度是1cm / s ，点 Q 的运动速度是2cm / s，当 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设
运动时间为 t（s），当 t = 2时，判断VBPQ的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是1cm / s ，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动，设点 P 的运动时间为 t（s），则当 t
为何值时，VPBQ是直角三角形？
4．如图1，点P、Q分别是边长为 4cm 的等边VABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点A ，点Q从顶点 B 同
时出发，且它们的速度都为1cm/s．
(1)连接 AQ、CP交于点M ，则在P、Q运动的过程中， CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则
求出它的度数；
(2)试求何时VPBQ是直角三角形？
(3)如图 2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP交点为M ，则 CMQ 变
化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
5．如图 1，VABC 是边长为 5 厘米的等边三角形，点 P、Q 分别从顶点 A、B 同时出发，沿线段 AB 、BC
运动，且它们的速度都为 1 厘米/秒，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动．设点 P 的运动时间为 t(s)．
(1)当运动时间为 t 秒时，BQ的长为______厘米，BP的长为______厘米；（用含 t 的式子表示）
(2)当VBPQ是直角三角形时，求 t 的值；
(3)如图 2，连接 AQ 、CP，相交于点 M，则点 P、Q 在运动的过程中， CMQ 会变化吗？若变化，则说明
理由；若不变，请求出它的度数．
6．如图：等边三角形 ABC 中，D、E 分别是BC 、 AC 边上的点，BD = CE ， AD 与 BE 相交于点 P ，
AP = 6，Q是射线PE上的动点．
(1)求证：VABD≌VBCE ；
(2)求 APE的度数；
(3)若△APQ 为直角三角形，求 PQ的值．
【压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题】
AP
1．如图，VABC 的角平分线 AF , BE 相交于点 P，若 AB = AC = 13, BC = 10 ，则 的值为（ ）
PF
13 12 5
A． B． C． D．2
5 5 2
2．如图，已知：四边形 ABCD中，对角线BD平分 ABC ， ACB = 72°， ABC = 50°，并且
BAD + CAD =180°，那么 BDC 的度数为
3．夯实基础：
（1）如图 1，点 P 是 ABC 的角平分线上BD的一点，PE ^ AB于点 E，PF ^ BC 与点 F，有以下结论：①
PE = PF ；②BE = BF ；③ BPE = BPF ，其中正确的是____________．
理解应用：
（2）图 2，点 D 是 EOF 的平分线OC 上一点，点 A，点 B 分别在边OE、OF 上，且
AOB + ADB = 180°，探究 AD 与DB之间有怎样的数量关系？并证明；
拓展延伸：
（3）如图 3，点 D 是 EOF 的平分线OC 上一点，点 A，点 B 分别在边OE、OF 上，DA = DB ，且
EOF =120°，探究OA，OB，OD之间有怎样的数量关系？并说明理由．
4．如图，在VABC 中，BD是 AC 边上的高线，已知 A = 2 CBD．
(1)如图 1，证明： AB = AC ；
(2)点E 是 AD 上一点， ABE = CBD ．
①若BD = DE, BD =1，如图 2，求CD的长；
②延长 AB 至点F ，使得CF = BE ，如图 3，证明： F = 3 CBD ．
5．如图1，已知VABC ， ACB = 90°， ABC = 45°，分别以 AB 、BC 为边向外作△ABD 与VBCE ，且DA = DB ，
EB = EC ， ADB = BEC = 90°，连接DE 交 AB 于点F ．
(1)探究： AF 与 BF 的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．
(2)如图 2，若 ABC = 30°， ADB = BEC = 60°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？
请写出你的猜想并加以证明；
(3)如图 3，若 ADB = BEC = m ABC ，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接
写出m 的值．
6．如图，在锐角三角形 ABC 中，AB < AC ， 是角平分线，DM，DN 分别是△ABD ，VACD的高，点 E
在DC 上，且DE = DB，动点 F 在边 AC 上（不包括两端点），连接FE，FD．
【问题感知】
(1)填空：DM DN （填“ > ”，“ = ”或“ < ”）；
【探究发现】
(2)若 FEB = B ，小杰经过探究，得到结论： AFD = EFD．请你帮小杰证明此结论；
【类比探究】
(3)若 FEB + B =180°，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【拓展提升】
(4)已知 AB = 5，BM =1，DM = 3，若点 E 关于 DF 的对称点E 落在边 AC 上，连接 DE ，请直接写出VAE D
的面积．
【压轴题型九 用勾股定理解三角形】
1．如图， AOB = 30°，点 M，N 分别是射线OA，OB 上的动点，OP 平分 AOB，且OP = 6，当VPMN 的
周长取最小值时，MN 的长为（　　）
A．6 B．12 3 -18 C．18 3 -18 D．12
2．如图，VABC 中， AB = 4， BC = 26 ， AC = 5 2 ，点 P 为 AC 边上的动点，当VABP是等腰三解形时，
AP 的长为 ．
3．在Rt△ABC 中，已知 BAC = 90°， AB > AC ，点D在射线BC 上，连接 AD ， ADB = 2 B．
(1)如图 1，若 AD 的垂直平分线经过点 B ，求 C 的度数；
(2)如图 2，当点D在边BC 上时，求证：BC = 2AD ；
(3)若 AC = 2， BD = 5CD ，请直接写出CD的长．
4．如图， Rt△ABC 中， ACB = 90°，D 为 AB 中点，点 E 在直线BC 上（点 E 不与点 B，C 重合），连接
DE ，过点 D 作DF ^ DE 交直线 AC 于点 F，连接EF ．
(1)如图 1，当点 F 与点 A 重合时，请直接写出线段EF 与 BE 的数量关系；
(2)如图 2，当点 F 不与点 A 重合时，请写山线段 AF ，EF ， BE 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若 AC =10，BC = 6，EC = 2，请直接写出线段 AF 的长．
5．在VABC 中， ACB = 90°，AC = BC ，过点C 作 AB 的平行线 l，点 P 是直线 l上异于点C 的动点，连接
AP ，过点 P 作 AP 的垂线交直线BC 于点D．
(1)如图 1，当点 P 在点C 的右侧时，
①求证：PA = PD；
②试判定线段CA，CD，CP之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；
(2)若 AC = 3 2, AP = 5，求线段BD的长．
6．综合与实践．
数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．
(1) 2002年世界数学家大会（ ICM 2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理
的“弦图”（如图 2），它由 4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出 a，b，c 满足的等量关系为
______，并利用图形的“等面积思想”加以证明．
(2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题．
已知线段 AB = 8，点C 在线段 AB 上， AC = x，BC = y ，求 x2 + 4 + y2 +16 的最小值，他们解决问题的
思路是，如图3，在线段 AB 的同侧构造了两个Rt△ACD 和RtVBCE， CAD = CBE = 90°，令
AD = 2，BE = 4，利用勾股定理，得出CD = x2 + 4，CE = y2 +16 ，从而将问题转化成求“CD + CE 最小
值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程．
(3)如图 4，在VABC 中， CAB = 30o，点D、E 分别为 AB、BC 上的动点，且
BD = CE，AC = 2 3，BC = 2，求 AE + CD的最小值．
【压轴题型十 勾股定理与折叠问题】
1．如图，已知在Rt△ABC 中， ABC = 90°， A = 30°，BC = 2，点 M，N 在 AC 边上，将△BCN 沿着BN
折叠，使点 C 的对应点C 恰好落在 AC 边上，将VABM 沿着 BM 折叠，使点 A 的对应点 A 恰好落在BC 的
BM
延长线上，则 的值为 （ ）A M
A． 3 B + 2 C 6 + 2． 3 ． D 6 + 3．
2 3
2．如图，在VABC 中， AB = 6 5 ， AC =12，BC = 6，将VABC 折叠，得到折痕DE ，且顶点 B 恰好与点
A 重合，点 C 落在点 F 处，则CE的长为 ．
3．在四边形 ABCD中， DAB = B = C = D = 90°, AB = CD =10, BC = AD = 8．
(1)若 P 为边BC 上一点，如图①将VABP沿直线 AP 翻折至△AEP 的位置，当点 B 落在CD边上点 E 处时，
求 PB的长；
(2)如图②，点 Q 为射线DC 上的一个动点，将△ADQ沿 AQ 翻折，点 D 恰好落在直线BQ上的点 D 处，求DQ
的长．
4．在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图 1，将Rt△ABC 纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点 A 与 B 重合，折痕为DE ．
（1）如果 AC = 5.5cm，BC = 6.5cm ，可得VACD的周长为______；
（2）如果 CAD : BAD =1: 2，可得 B 的度数为______；
操作二：如图 2，李同学拿出另一张Rt△ABC 纸片，将直角边 AC 沿直线CD折叠，使点 A 与点 E 重合，若
AB =10cm，BC = 8cm ，请求出 BE 的长．
5．如图、VABC 为一块直角三角形纸片，∠C = 90o ．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通
过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图 1，现将纸片沿直线 AD 折叠，使直角边 AC 落在斜边 AB 上，C 的对应点为E ，若
AC = 6cm, BC = 8cm ，求CD的长．
【学以致用】
（2）如图 2，若将直角 C 沿MN 折叠，点C 与 AB 中点 H 重合，点M , N 分别在 AC ，BC 上，则 AM , BN , MN
之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
6．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，
四个角都是直角）
【初步感知】
（1）如图 1，在三角形纸片 ABC 中， C = 90°， AC =18，BC =12，将其沿DE 折叠，使点 A 与点 B 重
合，折痕与 AC 交于点 E，求CE的长；
【深入探究】
（2）如图 2，将长方形纸片 ABCD沿着对角线BD折叠，使点 C 落在C 处，BC 交 AD 于 E，若 AB = 4，
BC = 6，求 AE 的长；
【拓展延伸】
（3）如图 3，在长方形纸片 ABCD中， AB =10， BC = 16，点 E 从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿
射线 AD 运动，把VABE 沿直线 BE 折叠，当点 A 的对应点 F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上时，直接写
出运动时间 t（秒）的值．
【压轴题型十一 勾股定理的应用】
1．如图，铁路MN 和公路 PQ在点O处交汇， QON = 30°．公路 PQ上A 处距O点 240 米，如果火车行驶
时，周围 200 米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以 20 米/秒的速度行驶时，A 处
受噪音影响的时间为（ ）
A．12 秒 B．16 秒 C．20 秒 D．30 秒
2．某渔船上的渔民在 A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向处，这艘渔船以每小时 40 海里的速度向正东方
向航行，1 小时后到达 B 处，在 B 处观测到灯塔M 在北偏东30°方向处．则 B 处与灯塔的距离 BM 是
海里．
3．如图，四边形 ABCD为某街心公园的平面图，经测量 AB = BC = AD = 100米，CD = 100 3 米，且
B = 90°．
（1）求 DAB 的度数；
（2）若BA为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来
监控道路BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的 100 米（包含 100 米），求被监控到
的道路长度为多少？
4．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水
深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽 AB =1丈，芦苇OC 生长在 AB 的中点 O 处，高出水面的部
分CD =1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC = OE ， 求水池的深度和芦苇的
长度(1 丈等于 10 尺)．
(1)求水池的深度OD ；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现
代符号语言可以表示为：若已知水池宽 AB = 2a， 芦苇高出水面的部分CD = n n < a ，则水池的深度OD
OD = b b a
2 - n2
可以通过公式 = 计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
2n
5．（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的
最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，
不能证明勾股定理的是 ；
A． B． C． D．
（2）【实践操作】如图 1，在数轴上找出表示 2的点A ，过点A 作直线 l垂直于OA，在 l上取点 B ，使
AB =1，以原点O为圆心，OB 长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C 表示的数是 ；
（3）【延伸应用】如图 2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出
2尺，斜放就恰好等于门的对角线（BD），已知门宽6 尺，求竹竿长．
6．如图，某区有 A，B，C，D 四个景点，景点 A，D，C 依次在东西方向的一条直线上，现有公路
AB，AD，BD，DC ，已知 AB = 20km ， AD =12km，BD = 16km，CD = 30km．
(1)通过计算说明公路BD是否与 AD 垂直；
(2)市政府准备在景点 B，C 之间修一条互通大道（即线段BC ），并在大道BC 上的 E 处修建一座凉亭方便游
客休息，同时 D，E 之间也修建一条互通大道（即线段DE ），且DE ^ BC ．若修建互通大道BC，DE的费
用均是每千米 17 万元，请求出修建互通大道BC，DE的总费用．
【压轴题型十二 勾股定理中的最短路径问题】
1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB = 9，BC = 6，BF = 5，点 M 在棱 AB 上，且 AM = 3，
点 N 是 FG 的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点 M 爬行到点 N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10 B． 106 C． 34 D．9
2．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 18 cm，底面周长为 12 cm，在容器内壁离容器底
部 7 cm的 A 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿 1 cm的点 B 处，则蚂蚁吃到饭粒需
爬行的最短路径长度是 cm．
3．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著
名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在 1994 年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图 1 放置，其三边长分别为 a、b、c．显然， DAB = B = 90°，
AC ^ DE ．请用 a、b、c 分别表示出梯形 ABCD、四边形 AECD、VEBC 的面积，再探究这三个图形面积
之间的关系，可得到勾股定理：
S ABCD =梯形 ______，
S△EBC = ______，
S
四边形AECD = ______，
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理 a2 + b2 = c2．
知识运用：
（1）如图 2，铁路上 A、B 两点（看作直线上的两点）相距 40 千米，C、D 为两个村庄（看作两个点），
AD ^ AB，BC ^ AB，垂足分别为 A、B， AD = 25千米， BC = 16千米，则两个村庄的距离为______千米
（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若 AB = 40 千米， AD = 24千米， BC = 16千米，要在 AB 上建造一个供应站 P，使
得PC = PD ，求出 AP 的距离．
2
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 x2 + 9 + 16 - x + 81的最小值 0 < x <16 ．
4．[提出问题]
如图 1，A，B 是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点 C，使得这个点到点 A，B 的距离的和最短？
[分析问题]
如图 2，若 A，D 两点在直线 l 的异侧，则连接 AD，与直线 l 交于一点，根据“两点之间线段最短”，可知该
点即为点 C，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点 B（或点 A）移到直线 l 的另一侧的点 D 处，且保
证DC = BC （或DC = AC ）即可．
[解决问题]：
(1)在图 1 中确定点 C 的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图 3，在菱形 ABCD中， AB = 4， ABC = 60°，E 是 BC 边的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则
PB + PE 的最小值为_____．
5．问题背景：
在VABC 中， AB 、BC 、 AC 三边的长分别为 5 、 10 、 13 ，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），然后在网格中画出格点
VABC （即VABC 三个顶点都在小正方形的顶点处， AB = 22 +12 = 5 ，BC = 10 ， AC = 13 ），如图①
所示．这样不需求VABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求VABC 面积的方法叫做构图法．
(1)请你将VABC 的面积直接填写在横线上：______．
(2)思维拓展：若VABC 三边的长分别为 5a 、 2 2a 、 17a a > 0 ，请利用图②的正方形网格（每个小正
方形的边长为 a）画出相应的VABC ，并求出它的面积．
(3)探索创新：若VABC 三边的长分别为 m2 +16n2 、 9m2 + 4n2 、 2 m2 + n2 （m > 0， n > 0，且m n），
求这个三角形的面积．
(4) 2直接写出当 x 为何值时，函数 y = x2 + 9 + 12 - x + 4 有最小值，最小值是多少？
6．如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B，D 作 AB⊥BD，ED⊥BD，连接 AC，EC．已知 AB＝2，DE
＝1，BD＝4，设 CD＝x．
(1)用含 x 的代数式表示 AC＋CE 的值；
(2)探究：当点 C 满足什么条件时，AC＋CE 的值最小？最小值是多少？
(3) 2根据（2）中的结论，请构造图形求代数式 x 2 + 4 + 12 - x + 9的最小值．

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