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专题强化　匀变速直线运动的平均速度公式　v-t图像看位移
[学习目标]　1.理解平均速度公式,并能用平均速度公式解决相关问题(难点)。2.会用v-t图像求位移并判定直线运动位移的大小(重点)。
一、平均速度公式
1.如图所示,一物体做匀变速直线运动,初速度为v0,末速度为v,这段时间中间时刻的瞬时速度为,试推导==。
答案　方法一　解析法
中间时刻的瞬时速度=v0+at,该段时间的末速度v=v0+at,由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式可得===v0+at=,又=v0+at===,即==。
方法二　图像法
0~t时间内的位移x=t
平均速度==
中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线与图像交点的纵坐标,故==。
2.==适合于所有的变速直线运动吗
答案　不适用。推导中所用v=v0+at,x=v0t+at2均来自匀变速直线运动中的公式,故==只适用于匀变速直线运动。
1.匀变速直线运动的平均速度公式:==
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度,还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度,选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式,即=,=。
2.三个平均速度公式的比较
=适用于任何运动;
=及=仅适用于匀变速直线运动。
若一物体做匀加速直线运动,初速度为v0,末速度为v,位移为x,这段位移中间位置的瞬时速度为。比较与的大小。
答案　
方法一　定性分析法
实际运动过程以匀加速直线运动为例,速度先慢后快,
前时间内的位移x1<,故<。
方法二　公式法
如图,-=2a
v2-=2a
得=
->0
故>
方法三　图像法
由图知>。
(1)中点位置的瞬时速度公式:=。
(2)适用条件:匀变速直线运动。
(3)对于任意一段匀变速直线运动,无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动,中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度,即>。
例1　测试中,我国国产大飞机C919做匀变速直线运动的初速度v0=2 m/s,4 s内位移为20 m,求:
(1)飞机4 s内的平均速度大小;
(2)飞机4 s末的速度大小;
(3)飞机2 s末的速度大小。
答案　(1)5 m/s　(2)8 m/s　(3)5 m/s
解析　(1)利用平均速度公式
== m/s=5 m/s
(2)因为=
则v=2-v0=8 m/s
(3)2 s末为0~4 s的中间时刻
==5 m/s。
例2　(2023·揭阳市高一期末)小张通过无人机来拍摄城镇的风景,携带摄像机的无人机质量m=2 kg,t=0时刻,无人机由静止起飞,沿竖直方向做匀加速直线运动,t1=6 s时无人机达到最大速度,此时距地面的高度为54 m,然后匀减速直线上升,t2=15 s时无人机的速度恰好减为0,悬停在空中拍摄取景。求:
(1)无人机上升过程中的最大速度;
(2)无人机悬停时距地面的高度。
答案　(1)18 m/s　(2)135 m
解析　(1)无人机做匀加速直线运动阶段有
h1=t1,
所以无人机上升过程中的最大速度为
vmax=18 m/s
(2)无人机做匀减速直线运动阶段有
h2=(t2-t1)=×9 m=81 m,
所以无人机悬停时距地面的高度为
h=h1+h2=54 m+81 m=135 m。
二、v-t图像看位移
某一做直线运动物体的v-t图像如图所示:
(1)物体在0~2t0时间内的位移为多少
(2)物体在0~2t0时间内的路程为多少
答案　(1)方法一　0~t0时间内的位移
x1=v0t0
t0~2t0时间内的位移x2=-v0t0
x总=x1+x2=0
方法二　x=·2t0=0
(2)s=|x1|+|x2|=v0t0。
1.对于任意形状的v-t图像,其与时间轴围成的“面积”表示物体的位移。
2.“面积”在时间轴上方表示位移为正,“面积”在时间轴下方表示位移为负(选填“正”或“负”)。
例3　(2024·惠州市高一期中)某一做直线运动的物体,其v-t图像如图所示,根据图像求:
(1)第1 s内物体的加速度大小;
(2)物体距出发点最远的距离;
(3)前4 s物体的位移大小。
答案　(1)4 m/s2　(2)6 m　(3)5 m
解析　(1)第1 s内物体的加速度为
a1== m/s2=4 m/s2
(2)由题图可知3 s末物体离出发点最远,
故物体距出发点最远的距离为x=×3×4 m=6 m
(3)因为v-t图像与t轴围成的面积表示位移,则前4 s物体的位移为
x'=×3×4 m-×1×2 m=5 m
例4　(多选)(2024·福州市高一期中)甲、乙两质点均做直线运动,其中甲的位移—时间图像如图(a)所示,乙的速度—时间图像如图(b)所示,根据图像可判断 (　　)
A.0~2 s内,甲质点做加速直线运动,乙质点做匀速直线运动
B.2~3 s内,甲质点静止不动,乙质点做匀速直线运动
C.3~5 s内,甲质点和乙质点均做减速直线运动
D.0~5 s内,甲质点的位移为-10 m,乙质点的位移为100 m
答案　BD
解析　x-t图像的斜率表示速度,v-t图像的斜率表示加速度,则0~2 s内甲质点的速度不变,做匀速直线运动,乙质点的加速度方向与初速度方向相同,做加速直线运动,A错误;2~3 s内,甲质点静止不动,乙质点做匀速直线运动,B正确;3~5 s内,甲质点的速度不变,做匀速直线运动,乙质点的速度减小,做减速直线运动,C错误;0~5 s内,甲质点的位移为x甲=(0-10) m=-10 m,乙质点的位移等于v-t图像与t轴所围成的面积,为100 m,D正确。
专题强化练　[分值:100分]
1~7题每题6分,共42分
1.如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动,达到起飞速度v所通过的位移为x,则该战机起飞前的运动时间为 (　　)
A.　B.　C.　D.
答案　A
解析　由平均速度公式t=x可知t=,故A正确,B、C、D错误。
2.(2023·陕西榆林市高一期末)某汽车(视为质点)在平直的公路上做初速度为零的匀加速直线运动,运动一段时间后到达A点,从A点开始计时,汽车从A点运动到B点和从B点运动到C点的时间均为2 s,已知A、B两点间的距离和B、C两点间的距离分别是20 m、30 m,汽车在B点的速度大小为 (　　)
A.15 m/s B.12.5 m/s
C.8 m/s D.4 m/s
答案　B
解析　根据某段时间中点的瞬时速度等于该段时间内的平均速度,可得汽车在B点的速度大小为vB== m/s=12.5 m/s,故B正确。
3.(2023·广东广州执信中学高一期末)一滑雪运动员不借助滑雪杖,以10 m/s的速度由坡底冲上一足够长的斜坡,当他返回坡底时测得速度大小为8 m/s。已知上坡和下坡两个阶段运动员均沿同一直线做匀变速直线运动,则运动员上坡和下坡所用的时间之比为 (　　)
A.5∶4 B.4∶5
C.2∶3 D.3∶2
答案　B
解析　设运动员上坡的路程为x,上坡时所用时间为t1,下坡时所用时间为t2,则有x=(0+v0)t1=5t1 (m),x=(0+v)t2=4t2 (m),联立解得t1∶t2=4∶5,故选B。
4.(2023·成都市高一期末)如图,长100 m的列车匀加速通过长1 000 m的平直隧道,车头刚进隧道时速度是10 m/s,车尾刚出隧道时速度是12 m/s,则列车通过隧道所用的时间是 (　　)
A.81.8 s　B.90.9 s　C.100 s　D.109.1 s
答案　C
解析　列车通过隧道的位移为
x=1 000 m+100 m=1 100 m
设所用时间为t,
x=t,= m/s=11 m/s
解得t=100 s,故C正确。
5.(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发,沿平直公路开往乙地,汽车先做匀加速直线运动,接着做匀减速直线运动,开到乙地刚好停止,其速度—时间图像如图所示,那么0~t0和t0~3t0 两段时间内 (　　)
A.加速度大小之比为3∶1
B.位移大小之比为1∶2
C.平均速度大小之比为2∶1
D.平均速度大小之比为1∶1
答案　BD
解析　加速度a=,由题图知Δt1=t0,Δt2=2t0,则=,A项错误;位移大小之比等于v-t图线与t轴所围图形的面积之比,即=,B项正确;平均速度=,=1,C项错误,D项正确。
6.物体做匀减速直线运动,相继经过两段距离为24 m的路程,第一段用时2 s,第二段用时4 s,则物体的加速度是 (　　)
A.1 m/s2 B.-2 m/s2
C.6 m/s2 D.12 m/s2
答案　B
解析　第一段平均速度为v1== m/s=12 m/s,第二段平均速度为v2== m/s=6 m/s,根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知,两个中间时刻的时间间隔为Δt=1 s+2 s=3 s,加速度为a== m/s2=-2 m/s2,故选B。
7.(多选)某物体做直线运动的v-t图像如图所示,下列说法正确的是 (　　)
A.物体在前2 s内的位移大小为4 m
B.物体在前3 s内通过的路程为5 m
C.物体在前3 s内的平均速度大小为 m/s
D.物体在前3 s内做非匀变速直线运动
答案　AB
解析　v-t图像和时间轴所围成图形的面积表示位移,则前2 s内的位移大小x1=×4×2 m=4 m,A正确;物体在第3 s内位移大小x2=×2×1 m=1 m,物体在前3 s内通过的路程为s=x1+x2=5 m,B正确;物体在前3 s内的平均速度== m/s=1 m/s,C错误;v-t图像的斜率表示物体的加速度,图像在前3 s内是一条倾斜直线,斜率不变,物体做匀变速直线运动,D错误。
8~11题每题8分,12题16分,共48分
8.(多选)(2024·太原市高一期中)物体以加速度a1做初速度为零的匀加速直线运动,前进距离s1后立即以大小为a2的加速度做匀减速直线运动,又前进距离s2速度变为零。已知s1>s2,以下说法正确的是 (　　)
A.物体分别通过s1、s2两段路程的平均速度相等
B.物体分别通过s1、s2中点时的速度v1和v2相等
C.物体分别通过s1、s2两段路程所用时间t1与t2相等
D.两个加速度大小的关系是a1=a2
答案　AB
解析　设最大速度为v,则加速阶段的平均速度为==,减速阶段的平均速度为==,所以物体分别通过s1、s2两段路程的平均速度相等,故A正确;匀变速直线运动中,中间位置的速度与初、末速度关系式为=,所以加速阶段中点位置速度为v1=v,减速阶段中点位置速度为v2=v,所以v1=v2,即物体分别通过s1、s2中点时的速度v1和v2相等,故B正确;根据s=t可知,加速阶段与减速阶段的平均速度相等,而s1>s2,所以物体通过s1、s2两段路程所用时间不等,且加速阶段用时较长,故C错误;根据加速度定义式a=,加速阶段与减速阶段速度变化的大小相等,而加速阶段用时较长,所以加速阶段的加速度较小,即a19.(多选)(2024·三明市高一期中)如图甲为某高速公路ETC电子收费通道图。一汽车驶入通道O点开始匀减速运动,到M点时匀速通过MN区,汽车从O运动到N共用时10 s的v-t图像如图乙所示,取≈5.39,则下列说法正确的是 (　　)
A.OM段的加速度大小a=4 m/s2
B.OM段中间时刻的速度为11 m/s
C.ON段间的位移为116 m
D.ON段位移中点的速度为10.78 m/s
答案　AD
解析　OM段的加速度大小为a== m/s2=4 m/s2,故A正确;OM段中间时刻的速度等于平均速度,即= m/s=14 m/s,故B错误;根据v-t图线与t轴所围成的面积表示位移知,ON段间的位移为x= m+6×(10-4) m=92 m,故C错误;ON段中点的位移为46 m,处于匀减速运动阶段,由-2a·=v2-,得到ON段位移中点的速度为v≈10.78 m/s,故D正确。
10.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内,它们的v-t图像如图所示。在这段时间内 (　　)
A.汽车甲的平均速度比汽车乙的大
B.汽车乙的平均速度等于
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大
答案　A
解析　因为v-t图线与t轴所围的面积表示物体的位移,故在0~t1时间内,甲车的位移大于乙车的位移,故根据=可知,甲车的平均速度大于乙车的平均速度,选项A正确,C错误;因为乙车做变减速运动,故平均速度不等于,选项B错误;因为v-t图线的切线斜率的绝对值表示物体的加速度大小,故甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小,选项D错误。
11.我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验,从水面开始竖直下潜,最后返回水面,其v-t图像如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.0~4 min和6~10 min两时间段平均速度大小相等
B.全过程中的最大加速度大小为0.025 m/s2
C.3~4 min和6~8 min加速度方向相反
D.本次下潜的最大深度为6 m
答案　A
解析　根据v-t图像与横轴围成的面积表示位移,则0~4 min内的位移大小为x=×(120+240)×2.0 m=360 m,6~10 min内位移大小为x'=×3.0×240 m=360 m,可知0~4 min和6~10 min两时间段位移大小相等,所用时间相等,则平均速度大小相等,故A正确;v-t图像的斜率绝对值表示加速度的大小,0~1 min和3~4 min加速度最大,大小为a== m/s2≈0.033 m/s2,故B错误;v-t图像的斜率的正负表示加速度的方向,可知3~4 min和6~8 min加速度方向相同,故C错误;由题图可知t=4 min时“蛟龙号”下潜到最深处,最大深度为x=360 m,故D错误。
12.(16分)(2023·江苏扬州市高邮市期中)冰壶比赛是冬奥会的重要项目。比赛中冰壶在水平冰面上的运动可视为匀减速直线运动直至停止,已知一冰壶被运动员推出的初速度大小为3 m/s,其加速度大小为0.2 m/s2,求:
(1)(5分)冰壶整个过程平均速度的大小;
(2)(5分)冰壶10 s末的速度大小;
(3)(6分)冰壶在20 s内的位移大小。
答案　(1)1.5 m/s　(2)1 m/s　(3)22.5 m
解析　(1)冰壶整个过程平均速度== m/s=1.5 m/s。
(2)冰壶运动的总时间t2===15 s,10 s时冰壶未停止运动,10 s末的速度大小v1=v0+at1=3 m/s+(-0.2 m/s2)×10 s=1 m/s。
(3)冰壶在15 s末时已停下,所以在20 s内的位移等于前15 s内的位移,则x=t2=×15 s=22.5 m。
(10分)
13.(多选)(2023·济宁市高一期中)如图甲所示是高层建筑配备的救生缓降器材,由调速器、安全带、安全钩、缓降绳索等组成。发生火灾时,使用者先将安全钩挂在室内窗户、管道等可以承重的物体上,然后将安全带系在人体腰部,使用缓降器材安全着陆。如图乙所示是某学校的信息楼,在火灾逃生演练现场,某同学从25 m高处,利用缓降器材由静止开始以2 m/s2匀加速下滑3 s,当速度达到最大值时先做匀速运动后做匀减速运动,到达地面时速度恰好为2 m/s。整个过程的运动时间为6 s,则该同学 (　　)
A.匀速下降的距离为12 m
B.下滑过程中的最大速度为6 m/s
C.匀减速下滑过程中的加速度大小为3 m/s2
D.匀减速下降的位移大小为6 m
答案　AB
解析　下滑过程中,匀加速结束时的速度最大,则有vm=at1=2×3 m/s=6 m/s,故B正确;匀加速阶段的位移为x1=a=×2×32 m=9 m
设匀速阶段的时间为t2,则有
x2=vmt2
设匀减速阶段的时间为t3,则匀减速阶段的位移x3=t3
又x1+x2+x3=25 m,t1+t2+t3=6 s
联立解得
t2=2 s,t3=1 s,x2=12 m,x3=4 m
故A正确,D错误;
匀减速下滑过程中的加速度大小a'=||=|| m/s2=4 m/s2,故C错误。(共57张PPT)
DIERZHANG
第二章
专题强化　匀变速直线运动的平均速
度公式　v-t图像看位移
1.理解平均速度公式,并能用平均速度公式解决相关问题(难点)。
2.会用v-t图像求位移并判定直线运动位移的大小(重点)。
学习目标
一、平均速度公式
二、v-t图像看位移
专题强化练
内容索引
平均速度公式
一
1.如图所示,一物体做匀变速直线运动,初速度为v0,末速度为v,这段时间中间时刻的瞬时速度为,试推导==。
答案　方法一　解析法
中间时刻的瞬时速度=v0+at,该段时间的末速度v=v0+at,由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式可得===v0+at=,又=v0+at===,即==。
方法二　图像法
0~t时间内的位移x=t
平均速度==
中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线与图像交点的纵坐标,故==。
2.==适合于所有的变速直线运动吗
答案　不适用。推导中所用v=v0+at,x=v0t+at2均来自匀变速直线运动中的公式,故==只适用于匀变速直线运动。
1.匀变速直线运动的平均速度公式:==
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度,还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度,选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式,即=,=。
2.三个平均速度公式的比较
=适用于任何运动;
=及=仅适用于匀变速直线运动。
提炼·总结
思考与讨论
若一物体做匀加速直线运动,初速度为v0,末速度为v,位移为x,这段位移中间位置的瞬时速度为。比较与的大小。
答案　方法一　定性分析法
实际运动过程以匀加速直线运动为例,速度先慢后快,
前时间内的位移x1<,故<。
方法二　公式法
如图,-=2a
v2-=2a
得=
->0
故>
方法三　图像法
由图知>。
(1)中点位置的瞬时速度公式:=。
(2)适用条件:匀变速直线运动。
(3)对于任意一段匀变速直线运动,无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动,中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度,即>。
提炼·总结
测试中,我国国产大飞机C919做匀变速直线运动的初速度v0=2 m/s,4 s内位移为20 m,求:
(1)飞机4 s内的平均速度大小;
例1
答案　5 m/s
利用平均速度公式
== m/s=5 m/s
(2)飞机4 s末的速度大小;
答案　8 m/s
因为=
则v=2-v0=8 m/s
(3)飞机2 s末的速度大小。
答案　5 m/s
2 s末为0~4 s的中间时刻
==5 m/s。
　(2023·揭阳市高一期末)小张通过无人机来拍摄城镇的风景,携带摄像机的无人机质量m=2 kg,t=0时刻,无人机由静止起飞,沿竖直方向做匀加速直线运动,t1=6 s时无人机达到最大速度,此时距地面的高度为54 m,然后匀减速直线上升,t2=15 s时无人机的速度恰好减为0,悬停在空中拍摄取景。求:
(1)无人机上升过程中的最大速度;
例2
答案　18 m/s
无人机做匀加速直线运动阶段有h1=t1,
所以无人机上升过程中的最大速度为vmax=18 m/s
(2)无人机悬停时距地面的高度。
答案　135 m
无人机做匀减速直线运动阶段有
h2=(t2-t1)=×9 m=81 m,
所以无人机悬停时距地面的高度为
h=h1+h2=54 m+81 m=135 m。
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v-t图像看位移
二
某一做直线运动物体的v-t图像如图所示:
答案　方法一　0~t0时间内的位移
x1=v0t0
t0~2t0时间内的位移x2=-v0t0
x总=x1+x2=0
方法二　x=·2t0=0
(1)物体在0~2t0时间内的位移为多少
(2)物体在0~2t0时间内的路程为多少
答案　s=|x1|+|x2|=v0t0。
1.对于任意形状的v-t图像,其与时间轴围成的“面积”表示物体的 。
2.“面积”在时间轴上方表示位移为 ,“面积”在时间轴下方表示位移为 (选填“正”或“负”)。
提炼·总结
位移
正
负
　 (2024·惠州市高一期中)某一做直线运动的物体,
其v-t图像如图所示,根据图像求:
(1)第1 s内物体的加速度大小;
例3
答案　4 m/s2
第1 s内物体的加速度为
a1== m/s2=4 m/s2
(2)物体距出发点最远的距离;
答案　6 m
由题图可知3 s末物体离出发点最远,
故物体距出发点最远的距离为x=×3×4 m=6 m
(3)前4 s物体的位移大小。
答案　5 m
因为v-t图像与t轴围成的面积表示位移,则前4 s物体的位移为
x'=×3×4 m-×1×2 m=5 m
(多选)(2024·福州市高一期中)甲、乙两质点均做直线运动,其中甲的位移—时间图像如图(a)所示,乙的速度—时间图像如图(b)所示,根据图像可判断
A.0~2 s内,甲质点做加速直线运动,乙质点做
匀速直线运动
B.2~3 s内,甲质点静止不动,乙质点做匀速直线运动
C.3~5 s内,甲质点和乙质点均做减速直线运动
D.0~5 s内,甲质点的位移为-10 m,乙质点的位移为100 m
例4
√
√
x-t图像的斜率表示速度,v-t图像的斜率表示
加速度,则0~2 s内甲质点的速度不变,做匀速
直线运动,乙质点的加速度方向与初速度方向相同,做加速直线运动,A错误;
2~3 s内,甲质点静止不动,乙质点做匀速直线运动,B正确;
3~5 s内,甲质点的速度不变,做匀速直线运动,乙质点的速度减小,做减速直线运动,C错误;
0~5 s内,甲质点的位移为x甲=(0-10) m=-10 m,乙质点的位移等于v-t图像与t轴所围成的面积,为100 m,D正确。
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专题强化练
三
1.如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动,达到起飞速度v所通过的位移为x,则该战机起飞前的运动时间为
A.　 B.　 C.　 D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
基础强化练
13
√
由平均速度公式t=x可知t=,故A正确,B、C、D错误。
2.(2023·陕西榆林市高一期末)某汽车(视为质点)在平直的公路上做初速度为零的匀加速直线运动,运动一段时间后到达A点,从A点开始计时,汽车从A点运动到B点和从B点运动到C点的时间均为2 s,已知A、B两点间的距离和B、C两点间的距离分别是20 m、30 m,汽车在B点的速度大小为
A.15 m/s B.12.5 m/s
C.8 m/s D.4 m/s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
根据某段时间中点的瞬时速度等于该段时间内的平均速度,可得汽车在B点的速度大小为vB== m/s=12.5 m/s,故B正确。
13
3.(2023·广东广州执信中学高一期末)一滑雪运动员不借助滑雪杖,以10 m/s的速度由坡底冲上一足够长的斜坡,当他返回坡底时测得速度大小为8 m/s。已知上坡和下坡两个阶段运动员均沿同一直线做匀变速直线运动,则运动员上坡和下坡所用的时间之比为
A.5∶4 B.4∶5
C.2∶3 D.3∶2
1
2
3
4
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6
7
8
9
10
11
12
13
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设运动员上坡的路程为x,上坡时所用时间为t1,下坡时所用时间为t2,则有x=(0+v0)t1=5t1 (m),x=(0+v)t2
=4t2 (m),联立解得t1∶t2=4∶5,故选B。
13
4.(2023·成都市高一期末)如图,长100 m的列车匀加速通过长1 000 m的平直隧道,车头刚进隧道时速度是10 m/s,车尾刚出隧道时速度是12 m/s,则列车通过隧道所用的时间是
A.81.8 s　 B.90.9 s　 C.100 s　 D.109.1 s
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√
列车通过隧道的位移为
x=1 000 m+100 m=1 100 m
设所用时间为t,
x=t,= m/s=11 m/s
解得t=100 s,故C正确。
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13
5.(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发,沿平直公路开往乙地,汽车先做匀加速直线运动,接着做匀减速直线运动,开到乙地刚好停止,其速度—时间图像如图所示,那么0~t0和t0~3t0 两段时间内
A.加速度大小之比为3∶1
B.位移大小之比为1∶2
C.平均速度大小之比为2∶1
D.平均速度大小之比为1∶1
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加速度a=,由题图知Δt1=t0,Δt2=2t0,则=,A项错误;
位移大小之比等于v-t图线与t轴所围图形的面积之比,
即=,B项正确;
平均速度=,=1,C项错误,D项正确。
13
6.物体做匀减速直线运动,相继经过两段距离为24 m的路程,第一段用时2 s,第二段用时4 s,则物体的加速度是
A.1 m/s2 B.-2 m/s2
C.6 m/s2 D.12 m/s2
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第一段平均速度为v1== m/s=12 m/s,第二段平均速度为v2== m/s=
6 m/s,根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知,两个
中间时刻的时间间隔为Δt=1 s+2 s=3 s,加速度为a== m/s2
=-2 m/s2,故选B。
13
7.(多选)某物体做直线运动的v-t图像如图所示,下列说法正确的是
A.物体在前2 s内的位移大小为4 m
B.物体在前3 s内通过的路程为5 m
C.物体在前3 s内的平均速度大小为 m/s
D.物体在前3 s内做非匀变速直线运动
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12
v-t图像和时间轴所围成图形的面积表示位移,则前
2 s内的位移大小x1=×4×2 m=4 m,A正确;
物体在第3 s内位移大小x2=×2×1 m=1 m,物体在
前3 s内通过的路程为s=x1+x2=5 m,B正确;
物体在前3 s内的平均速度== m/s=1 m/s,C错误;
v-t图像的斜率表示物体的加速度,图像在前3 s内是一条倾斜直线,斜率不变,物体做匀变速直线运动,D错误。
13
8.(多选)(2024·太原市高一期中)物体以加速度a1做初速度为零的匀加速直线运动,前进距离s1后立即以大小为a2的加速度做匀减速直线运动,又前进距离s2速度变为零。已知s1>s2,以下说法正确的是
A.物体分别通过s1、s2两段路程的平均速度相等
B.物体分别通过s1、s2中点时的速度v1和v2相等
C.物体分别通过s1、s2两段路程所用时间t1与t2相等
D.两个加速度大小的关系是a1=a2
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能力综合练
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设最大速度为v,则加速阶段的平均速度为==,减速阶段的平均速度为==,所以物体分别通过s1、s2两段路程的平均速度相等,故A正确;
匀变速直线运动中,中间位置的速度与初、末速度关系式为=,所以加速阶段中点位置速度为v1=v,减速阶段中点位置速度为v2=v,所以v1=v2,即物体分别通过s1、s2中点时的速度v1和v2相等,故B正确;
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根据s=t可知,加速阶段与减速阶段的平均速度相等,而s1>s2,所以物体通过s1、s2两段路程所用时间不等,且加速阶段用时较长,故C错误;
根据加速度定义式a=,加速阶段与减速阶段速度变化的大小相等,而加速阶段用时较长,所以加速阶段的加速度较小,即a113
9.(多选)(2024·三明市高一期中)如图甲为某高速公路ETC电子收费通道图。一汽车驶入通道O点开始匀减速运动,到M点时匀速通过MN区,汽车从O运动到N共用时10 s的v-t图像如图乙所示,取≈5.39,则下列说法正确的是
A.OM段的加速度大小a=4 m/s2
B.OM段中间时刻的速度为11 m/s
C.ON段间的位移为116 m
D.ON段位移中点的速度为10.78 m/s
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OM段的加速度大小为a== m/s2
=4 m/s2,故A正确;
OM段中间时刻的速度等于平均速度,即= m/s=14 m/s,故B错误;
根据v-t图线与t轴所围成的面积表示位移知,ON段间的位移为x= m
+6×(10-4) m=92 m,故C错误;
ON段中点的位移为46 m,处于匀减速运动阶段,由-2a·=v2-,得到ON段位移中点的速度为v≈10.78 m/s,故D正确。
13
10.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内,它们的v-t图像如图所示。在这段时间内
A.汽车甲的平均速度比汽车乙的大
B.汽车乙的平均速度等于
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大
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因为v-t图线与t轴所围的面积表示物体的位移,故在0~t1
时间内,甲车的位移大于乙车的位移,故根据=可知,甲
车的平均速度大于乙车的平均速度,选项A正确,C错误;
因为乙车做变减速运动,故平均速度不等于,选项B错误;
因为v-t图线的切线斜率的绝对值表示物体的加速度大小,故甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小,选项D错误。
13
11.我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验,从水面开始竖直下潜,最后返回水面,其v-t图像如图所示,则下列说法正确的是
A.0~4 min和6~10 min两时间段平均速度大小相等
B.全过程中的最大加速度大小为0.025 m/s2
C.3~4 min和6~8 min加速度方向相反
D.本次下潜的最大深度为6 m
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根据v-t图像与横轴围成的面积表示位移,则0~4 min内的位移大小为x=×(120+240)×2.0 m=360 m,
6~10 min内位移大小为x'=×3.0×240 m=360 m,
可知0~4 min和6~10 min两时间段位移大小相等,所用时间相等,则平均速度大小相等,故A正确;
v-t图像的斜率绝对值表示加速度的大小,0~1 min和3~4 min加速度最大,大小为a== m/s2≈0.033 m/s2,故B错误;
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v-t图像的斜率的正负表示加速度的方向,可知3~4 min和6~8 min加速度方向相同,故C错误;
由题图可知t=4 min时“蛟龙号”下潜到最深处,最大深度为x=360 m,故D错误。
13
12.(2023·江苏扬州市高邮市期中)冰壶比赛是冬奥会的重要项目。比赛中冰壶在水平冰面上的运动可视为匀减速直线运动直至停止,已知一冰壶被运动员推出的初速度大小为3 m/s,其加速度大小为0.2 m/s2,求:
(1)冰壶整个过程平均速度的大小;
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答案　1.5 m/s
冰壶整个过程平均速度== m/s=1.5 m/s。
(2)冰壶10 s末的速度大小;
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答案　1 m/s
冰壶运动的总时间t2===15 s,10 s时冰壶未停止运动,10 s末的速度大小v1=v0+at1=3 m/s+(-0.2 m/s2)×10 s=1 m/s。
(3)冰壶在20 s内的位移大小。
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答案　22.5 m
冰壶在15 s末时已停下,所以在20 s内的位移等于前15 s内的位移,则x=t2=×15 s=22.5 m。
13.(多选)(2023·济宁市高一期中)如图甲所示是高层建筑配备的救生缓降器材,由调速器、安全带、安全钩、缓降绳索等组成。发生火灾时,使用者先将安全钩挂在室内窗户、管道等可以承重的物体上,然后将安全带系在人体腰部,使用缓降器材安全着陆。如图乙所示是某学校的信息楼,在火灾逃生演练现场,某同学从25 m高处,利用缓降器材由静止开始以2 m/s2匀加速下滑3 s,当速度达到最大值时先做匀速运动后做匀减速运动,到达地面时速度恰好为2 m/s。整个过程的运动时间为6 s,则该同学
A.匀速下降的距离为12 m
B.下滑过程中的最大速度为6 m/s
C.匀减速下滑过程中的加速度大小为3 m/s2
D.匀减速下降的位移大小为6 m
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尖子生选练
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√
下滑过程中,匀加速结束时的速度最大,则有vm=at1=2×3 m/s=6 m/s,故B正确;
匀加速阶段的位移为x1=a=×2×32 m=9 m
设匀速阶段的时间为t2,则有x2=vmt2
设匀减速阶段的时间为t3,则匀减速
阶段的位移x3=t3
又x1+x2+x3=25 m,t1+t2+t3=6 s
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返回
联立解得
t2=2 s,t3=1 s,x2=12 m,x3=4 m
故A正确,D错误;
匀减速下滑过程中的加速度大小
a'=||=|| m/s2=4 m/s2,故C错误。
12
13专题强化　匀变速直线运动的平均速度公式　v-t图像看位移
［学习目标］　1.理解平均速度公式，并能用平均速度公式解决相关问题(难点)。2.会用v-t图像求位移并判定直线运动位移的大小(重点)。
一、平均速度公式
1.如图所示，一物体做匀变速直线运动，初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为，试推导==。
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2.==适合于所有的变速直线运动吗？
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1.匀变速直线运动的平均速度公式：==
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即=，=。
2.三个平均速度公式的比较
=适用于任何运动；
=及=仅适用于匀变速直线运动。
若一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，末速度为v，位移为x，这段位移中间位置的瞬时速度为。比较与的大小。
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(1)中点位置的瞬时速度公式：=。
(2)适用条件：匀变速直线运动。
(3)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即>。
例1　测试中，我国国产大飞机C919做匀变速直线运动的初速度v0=2 m/s，4 s内位移为20 m，求：
(1)飞机4 s内的平均速度大小；
(2)飞机4 s末的速度大小；
(3)飞机2 s末的速度大小。
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例2　(2023·揭阳市高一期末)小张通过无人机来拍摄城镇的风景，携带摄像机的无人机质量m=2 kg，t=0时刻，无人机由静止起飞，沿竖直方向做匀加速直线运动，t1=6 s时无人机达到最大速度，此时距地面的高度为54 m，然后匀减速直线上升，t2=15 s时无人机的速度恰好减为0，悬停在空中拍摄取景。求：
(1)无人机上升过程中的最大速度；
(2)无人机悬停时距地面的高度。
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二、v-t图像看位移
某一做直线运动物体的v-t图像如图所示：
(1)物体在0~2t0时间内的位移为多少？
(2)物体在0~2t0时间内的路程为多少？
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1.对于任意形状的v-t图像，其与时间轴围成的“面积”表示物体的　　　　。
2.“面积”在时间轴上方表示位移为　　　　，“面积”在时间轴下方表示位移为　　　　(选填“正”或“负”)。
例3　(2024·惠州市高一期中)某一做直线运动的物体，其v-t图像如图所示，根据图像求：
(1)第1 s内物体的加速度大小；
(2)物体距出发点最远的距离；
(3)前4 s物体的位移大小。
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例4　(多选)(2024·福州市高一期中)甲、乙两质点均做直线运动，其中甲的位移—时间图像如图(a)所示，乙的速度—时间图像如图(b)所示，根据图像可判断 (　　)
A.0~2 s内，甲质点做加速直线运动，乙质点做匀速直线运动
B.2~3 s内，甲质点静止不动，乙质点做匀速直线运动
C.3~5 s内，甲质点和乙质点均做减速直线运动
D.0~5 s内，甲质点的位移为-10 m，乙质点的位移为100 m
答案精析
一、
1.方法一　解析法
中间时刻的瞬时速度=v0+at，该段时间的末速度v=v0+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式可得===v0+at=，
又=v0+at===，
即==。
方法二　图像法
0~t时间内的位移x=t
平均速度==
中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线与图像交点的纵坐标，故==。
2.不适用。推导中所用v=v0+at，x=v0t+at2均来自匀变速直线运动中的公式，故==只适用于匀变速直线运动。
思考与讨论
　方法一　定性分析法
实际运动过程以匀加速直线运动为例，速度先慢后快，
前时间内的位移x1<，
故<。
方法二　公式法
如图，-=2a
v2-=2a
得=
->0
故>
方法三　图像法
由图知>。
例1　（1）5 m/s　（2）8 m/s　（3）5 m/s
解析　（1）利用平均速度公式
== m/s=5 m/s
（2）因为=
则v=2-v0=8 m/s
（3）2 s末为0~4 s的中间时刻
==5 m/s。
例2　（1）18 m/s　（2）135 m
解析　（1）无人机做匀加速直线运动阶段有h1=t1，
所以无人机上升过程中的最大速度为
vmax=18 m/s
（2）无人机做匀减速直线运动阶段有
h2=（t2-t1）=×9 m=81 m，
所以无人机悬停时距地面的高度为
h=h1+h2=54 m+81 m=135 m。
二、（1）方法一　0~t0时间内的位移
x1=v0t0
t0~2t0时间内的位移x2=-v0t0
x总=x1+x2=0
方法二　x=·2t0=0
（2）s=|x1|+|x2|=v0t0。
提炼·总结
1.位移　2.正　负
例3　（1）4 m/s2　（2）6 m　（3）5 m
解析　（1）第1 s内物体的加速度为
a1== m/s2=4 m/s2
（2）由题图可知3 s末物体离出发点最远，
故物体距出发点最远的距离为
x=×3×4 m=6 m
（3）因为v-t图像与t轴围成的面积表示位移，则前4 s物体的位移为
x'=×3×4 m-×1×2 m=5 m
例4　BD　［x-t图像的斜率表示速度，v-t图像的斜率表示加速度，则0~2 s内甲质点的速度不变，做匀速直线运动，乙质点的加速度方向与初速度方向相同，做加速直线运动，A错误；2~3 s内，甲质点静止不动，乙质点做匀速直线运动，B正确；3~5 s内，甲质点的速度不变，做匀速直线运动，乙质点的速度减小，做减速直线运动，C错误；0~5 s内，甲质点的位移为x甲=（0-10） m=-10 m，乙质点的位移等于v-t图像与t轴所围成的面积，为100 m，D正确。］作业11 匀变速直线运动的平均速度公式　v-t图像看位移
1~7题每题6分,共42分
1.如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动,达到起飞速度v所通过的位移为x,则该战机起飞前的运动时间为 (　　)
A.　B.　C.　D.
2.(2023·陕西榆林市高一期末)某汽车(视为质点)在平直的公路上做初速度为零的匀加速直线运动,运动一段时间后到达A点,从A点开始计时,汽车从A点运动到B点和从B点运动到C点的时间均为2 s,已知A、B两点间的距离和B、C两点间的距离分别是20 m、30 m,汽车在B点的速度大小为 (　　)
A.15 m/s B.12.5 m/s
C.8 m/s D.4 m/s
3.(2023·广东广州执信中学高一期末)一滑雪运动员不借助滑雪杖,以10 m/s的速度由坡底冲上一足够长的斜坡,当他返回坡底时测得速度大小为8 m/s。已知上坡和下坡两个阶段运动员均沿同一直线做匀变速直线运动,则运动员上坡和下坡所用的时间之比为 (　　)
A.5∶4 B.4∶5
C.2∶3 D.3∶2
4.(2023·成都市高一期末)如图,长100 m的列车匀加速通过长1 000 m的平直隧道,车头刚进隧道时速度是10 m/s,车尾刚出隧道时速度是12 m/s,则列车通过隧道所用的时间是 (　　)
A.81.8 s　B.90.9 s　C.100 s　D.109.1 s
5.(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发,沿平直公路开往乙地,汽车先做匀加速直线运动,接着做匀减速直线运动,开到乙地刚好停止,其速度—时间图像如图所示,那么0~t0和t0~3t0 两段时间内 (　　)
A.加速度大小之比为3∶1
B.位移大小之比为1∶2
C.平均速度大小之比为2∶1
D.平均速度大小之比为1∶1
6.物体做匀减速直线运动,相继经过两段距离为24 m的路程,第一段用时2 s,第二段用时4 s,则物体的加速度是 (　　)
A.1 m/s2 B.-2 m/s2
C.6 m/s2 D.12 m/s2
7.(多选)某物体做直线运动的v-t图像如图所示,下列说法正确的是 (　　)
A.物体在前2 s内的位移大小为4 m
B.物体在前3 s内通过的路程为5 m
C.物体在前3 s内的平均速度大小为 m/s
D.物体在前3 s内做非匀变速直线运动
8~11题每题8分,12题16分,共48分
8.(多选)(2024·太原市高一期中)物体以加速度a1做初速度为零的匀加速直线运动,前进距离s1后立即以大小为a2的加速度做匀减速直线运动,又前进距离s2速度变为零。已知s1>s2,以下说法正确的是 (　　)
A.物体分别通过s1、s2两段路程的平均速度相等
B.物体分别通过s1、s2中点时的速度v1和v2相等
C.物体分别通过s1、s2两段路程所用时间t1与t2相等
D.两个加速度大小的关系是a1=a2
9.(多选)(2024·三明市高一期中)如图甲为某高速公路ETC电子收费通道图。一汽车驶入通道O点开始匀减速运动,到M点时匀速通过MN区,汽车从O运动到N共用时10 s的v-t图像如图乙所示,取≈5.39,则下列说法正确的是 (　　)
A.OM段的加速度大小a=4 m/s2
B.OM段中间时刻的速度为11 m/s
C.ON段间的位移为116 m
D.ON段位移中点的速度为10.78 m/s
10.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内,它们的v-t图像如图所示。在这段时间内 (　　)
A.汽车甲的平均速度比汽车乙的大
B.汽车乙的平均速度等于
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大
11.我国“蛟龙”号载人潜水器进行下潜试验,从水面开始竖直下潜,最后返回水面,其v-t图像如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.0~4 min和6~10 min两时间段平均速度大小相等
B.全过程中的最大加速度大小为0.025 m/s2
C.3~4 min和6~8 min加速度方向相反
D.本次下潜的最大深度为6 m
12.(16分)(2023·江苏扬州市高邮市期中)冰壶比赛是冬奥会的重要项目。比赛中冰壶在水平冰面上的运动可视为匀减速直线运动直至停止,已知一冰壶被运动员推出的初速度大小为3 m/s,其加速度大小为0.2 m/s2,求:
(1)(5分)冰壶整个过程平均速度的大小;
(2)(5分)冰壶10 s末的速度大小;
(3)(6分)冰壶在20 s内的位移大小。
(10分)
13.(多选)(2023·济宁市高一期中)如图甲所示是高层建筑配备的救生缓降器材,由调速器、安全带、安全钩、缓降绳索等组成。发生火灾时,使用者先将安全钩挂在室内窗户、管道等可以承重的物体上,然后将安全带系在人体腰部,使用缓降器材安全着陆。如图乙所示是某学校的信息楼,在火灾逃生演练现场,某同学从25 m高处,利用缓降器材由静止开始以2 m/s2匀加速下滑3 s,当速度达到最大值时先做匀速运动后做匀减速运动,到达地面时速度恰好为2 m/s。整个过程的运动时间为6 s,则该同学 (　　)
A.匀速下降的距离为12 m
B.下滑过程中的最大速度为6 m/s
C.匀减速下滑过程中的加速度大小为3 m/s2
D.匀减速下降的位移大小为6 m
答案精析
1.A　2.B　3.B　4.C
5.BD　［加速度a=，由题图知Δt1=t0，Δt2=2t0，则=，A项错误；位移大小之比等于v-t图线与t轴所围图形的面积之比，即=，B项正确；平均速度=，=1，C项错误，D项正确。］
6.B　［第一段平均速度为v1== m/s=12 m/s，第二段平均速度为v2== m/s=6 m/s，根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知，两个中间时刻的时间间隔为Δt=1 s+2 s=3 s，加速度为a== m/s2=-2 m/s2，故选B。］
7.AB　［v-t图像和时间轴所围成图形的面积表示位移，则前2 s内的位移大小x1=×4×2 m=4 m，A正确；物体在第3 s内位移大小x2=×2×1 m=1 m，物体在前3 s内通过的路程为s=x1+x2=5 m，B正确；物体在前3 s内的平均速度== m/s=1 m/s，C错误；v-t图像的斜率表示物体的加速度，图像在前3 s内是一条倾斜直线，斜率不变，物体做匀变速直线运动，D错误。］
8.AB　［设最大速度为v，则加速阶段的平均速度为==，减速阶段的平均速度为==，所以物体分别通过s1、s2两段路程的平均速度相等，故A正确；匀变速直线运动中，中间位置的速度与初、末速度关系式为=，所以加速阶段中点位置速度为v1=v，减速阶段中点位置速度为v2=v，所以v1=v2，即物体分别通过s1、s2中点时的速度v1和v2相等，故B正确；根据s=t可知，加速阶段与减速阶段的平均速度相等，而s1>s2，所以物体通过s1、s2两段路程所用时间不等，且加速阶段用时较长，故C错误；根据加速度定义式a=，加速阶段与减速阶段速度变化的大小相等，而加速阶段用时较长，所以加速阶段的加速度较小，即a19.AD　［OM段的加速度大小为a== m/s2=4 m/s2，故A正确；OM段中间时刻的速度等于平均速度，即= m/s=14 m/s，故B错误；根据v-t图线与t轴所围成的面积表示位移知，ON段间的位移为x= m+6×（10-4） m=92 m，故C错误；ON段中点的位移为46 m，处于匀减速运动阶段，由-2a·=v2-，得到ON段位移中点的速度为v≈10.78 m/s，故D正确。］
10.A　［因为v-t图线与t轴所围的面积表示物体的位移，故在0~t1时间内，甲车的位移大于乙车的位移，故根据=可知，甲车的平均速度大于乙车的平均速度，选项A正确，C错误；因为乙车做变减速运动，故平均速度不等于，选项B错误；因为v-t图线的切线斜率的绝对值表示物体的加速度大小，故甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小，选项D错误。］
11.A　［根据v-t图像与横轴围成的面积表示位移，则0~4 min内的位移大小为x=×（120+240）×2.0 m=360 m，6~10 min内位移大小为x'=×3.0×240 m=360 m，可知0~4 min和6~10 min两时间段位移大小相等，所用时间相等，则平均速度大小相等，故A正确；v-t图像的斜率绝对值表示加速度的大小，0~1 min和3~4 min加速度最大，大小为a== m/s2≈0.033 m/s2，故B错误；v-t图像的斜率的正负表示加速度的方向，可知3~4 min和6~8 min加速度方向相同，故C错误；由题图可知t=4 min时“蛟龙”号下潜到最深处，最大深度为x=360 m，故D错误。］
12.（1）1.5 m/s　（2）1 m/s　（3）22.5 m
解析　（1）冰壶整个过程平均速度== m/s=1.5 m/s。
（2）冰壶运动的总时间t2===15 s，10 s时冰壶未停止运动，10 s末的速度大小v1=v0+at1=3 m/s+（-0.2 m/s2）×10 s=1 m/s。
（3）冰壶在15 s末时已停下，所以在20 s内的位移等于前15 s内的位移，则x=t2=×15 s=22.5 m。
13.AB　［下滑过程中，匀加速结束时的速度最大，则有vm=at1=2×3 m/s=6 m/s，故B正确；匀加速阶段的位移为x1=a=×2×32 m=9 m
设匀速阶段的时间为t2，则有
x2=vmt2
设匀减速阶段的时间为t3，则匀减速阶段的位移x3=t3
又x1+x2+x3=25 m，t1+t2+t3=6 s
联立解得
t2=2 s，t3=1 s，x2=12 m，x3=4 m
故A正确，D错误；
匀减速下滑过程中的加速度大小a'=||=|| m/s2=4 m/s2，故C错误。］

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