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专题强化　匀变速直线运动的位移差公式　逐差法求加速度
[学习目标]　1.理解位移差公式并能解决相关问题(重点)。2.理解逐差法的意义并会用逐差法进行数据处理求加速度(重难点)。3.能够理解偶然误差及系统误差的产生原因,并会按要求保留有效数字(重点)。 4.会解决用现代技术测量加速度的有关问题。
一、位移差公式
1.如图所示,一物体做加速度为a的匀变速直线运动,取任意两个连续相等的时间T,它们的位移分别为x1、x2,通过A、B、C时的速度分别为v0、v1、v2,试推导x2-x1=aT2。
答案　v1=v0+aT
x1=v0T+aT2
x2=v1T+aT2
x2与x1的位移差:
Δx=x2-x1=(v1-v0)T=aT2
2.对于加速度大小恒定的匀变速直线运动,若已知连续相等的时间内通过的位移分别为x1、x2、x3、x4,则x4-x1=　　　　。
答案　方法一　
如图所示
设初速度为v0,第四段位移的初速度为v3,则
v3=v0+3aT
x1=v0T+aT2
x4=v3T+aT2
x4-x1=(v3-v0)T=3aT2。
方法二　由x2-x1=aT2
x3-x2=aT2
x4-x3=aT2
得x4-x1=3aT2。
位移差公式:Δx=aT2
1.内容:做匀变速直线运动的物体,在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定,即Δx=aT2。
2.推论:对于不连续的相等时间内的位移差,xm-xn=(m-n)aT2,其中m>n。
例1　(多选)(2024·襄阳市高一期中)一质点做匀加速直线运动,第3 s内的位移为12 m,第5 s内的位移为20 m,则该质点运动过程中 (　　)
A.第4 s内位移为16 m
B.加速度大小为4 m/s2
C.第1 s初的速度大小为零
D.前5 s内的位移为50 m
答案　AB
解析　根据连续相等时间内发生的位移差和加速度的关系可知x4-x3=aT2,x5-x4=aT2,联立解得x4=16 m,a=4 m/s2,故A、B正确;由中间时刻速度与平均速度关系可知,2.5 s时的瞬时速度满足v2.5=== m/s=12 m/s,第1 s初即初始时刻,此时的速度满足v2.5=v0+at2.5,解得v0=2 m/s,故C错误;前5 s内的位移满足x=v0t5+a=(2×5+×4×52) m=60 m,故D错误。
例2　(2024·厦门市双十中学月考)某自动化设备从固定斜面的顶端O点每隔0.1 s静止释放一个同样的小球,释放后小球做匀加速直线运动。在连续释放多个小球后,某时刻设备监测人员发现斜面上A、B、C三点刚好各有一个小球,而OA之间因为有障碍物遮挡导致看不到小球(障碍物不影响小球在斜面上的运动)。已知xAB=15 cm,xBC=20 cm。求:
(1)小球的加速度大小;
(2)小球在C点的速度大小;
(3)该时刻斜面上A点上方还有几个小球
答案　(1)5 m/s2　(2)2.25 m/s　(3)2个球
解析　(1)由推论Δx=aT2
小球的加速度为a== m/s2=5 m/s2
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻,可知
vB== m/s=1.75 m/s
小球在C点的速度为vC=vB+aT
代入数据得vC=2.25 m/s
(3)由vA=vB-aT
得小球在A点的速度为vA=1.25 m/s
则小球从静止释放到运动到A点所需时间tA==0.25 s
由于=2.5
故A点上方还有2个球。
二、逐差法求加速度
一物体做匀加速直线运动,已知连续相等时间T内的六段位移如图所示。某同学计算物体加速度时,选取纸带上任意两段位移,利用公式x2-x1=aT2计算物体的加速度,你认为这种方法有何不妥
答案　偶然误差较大,没有充分利用实验数据。
纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6,将它们分为三组,由xm-xn=(m-n)aT2得,a1=,a2=,
a3=,a=
=。
此式把各段位移都利用上,有效地减小了仅有两次位移测量所带来的偶然误差,这种方法称为逐差法。
技巧:此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1=x1+x2+x3,s2=x4+x5+x6,时间间隔Δt=3T,即a==。
1.如图所示,类比写出已知连续4个相同时间T内的位移,利用逐差法求加速度公式。
答案　a=。
2.若n为大于4的奇数段,应怎么处理
答案　舍去位移最小的一段或中间一段
假设n=5,若相邻各段间的位移逐渐增大,第一段读数的误差相对较大,可以舍去第一段,则
a=,
同理,若相邻各段间的位移逐渐减小,可以舍去最后一段或舍去中间一段,则
a==。
两种情况下,在保留有效数字位数相同时,计算结果一般相同。
例3　(2024·黔西市高一月考)在做“研究匀变速直线运动”实验中,打点计时器打出的一条纸带(部分)如图所示,若A、B、C…计数点间的时间间隔均为0.10 s,由图可知,小车做　　　　　　运动,从图中给定的数据,可求出小车的加速度大小是　　　　 m/s2,打下C点时小车的速度大小是　　　　 m/s。(均保留两位有效数字)
答案　匀变速直线　2.0　0.70
解析　由题图可知Δx=BC-AB=CD-BC=DE-CD=2 cm
且计数点时间间隔相同,故小车做匀变速直线运动;
由于每相邻的计数点间的时间间隔T=0.10 s,
根据匀变速直线运动的推论公式Δx=aT2
可以求出加速度的大小为
a==×10-2 m/s2=2.0 m/s2
根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于该过程的平均速度,可以求出打纸带上C点时小车的瞬时速度大小为vC==×10-2 m/s=0.70 m/s。
例4　在做“研究匀变速直线运动”的实验时,某同学得到一条用打点计时器打下的纸带如图所示,并在其上取了A、B、C、D、E、F、G等7个计数点,每相邻两个计数点之间还有4个点(图中没有画出),打点计时器接周期为T=0.02 s的交流电源,经过测量得:d1=3.62 cm,d2=8.00 cm,d3=13.20 cm,d4=19.19 cm,d5=25.99 cm,d6=33.61 cm。(结果均保留两位有效数字)
(1)物体在B点的瞬时速度大小vB=　　　　m/s;
(2)物体的加速度大小a=　　　　m/s2;
(3)如果当时电源频率是f=51 Hz,而做实验的同学并不知道,那么加速度的测量值与实际值相比　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
答案　(1)0.40　(2)0.80　(3)偏小
解析　(1)每相邻两个计数点之间还有4个点,打点计时器接周期为T=0.02 s的交变电源,则计数点间的时间间隔为
T'=5T=0.10 s,打点计时器打B点时,物体的速度vB== m/s=0.40 m/s
(2)物体的加速度为
a==
= m/s2≈0.80 m/s2
(3)如果当时电源中交变电流的频率是f=51 Hz,而做实验的同学并不知道,那么实际打点周期小于测量的打点周期;据Δx=aT2得,真实的加速度大于测量的加速度,即加速度的测量值与实际值相比偏小。
专题强化练　[分值:60分]
1~4题每题4分,5题8分,共24分
1.(2024·绵阳市高一月考)利用打点计时器测定物体做匀变速直线运动的加速度时,在纸带上所打的一系列点,如图所示,各相邻的计数点的距离分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ…,各相邻的计数点的时间间隔为T,则下面各关系式中不正确的是 (　　)
A.xⅡ-xⅠ=aT2 B.xⅢ-xⅠ=2aT2
C.xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ D.xⅢ-xⅡ=
答案　D
解析　对于匀变速直线运动,连续相等时间内的位移之差是恒量,即Δx=aT2,对应于该题有xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=aT2,而xⅢ-xⅠ=xⅢ-xⅡ+xⅡ-xⅠ=2aT2,A、B、C正确,D错误。
2.(2024·宁波市镇海中学高一期中)校运会时,高空无人机在完成拍摄任务后返回地面,某一段过程可视为做匀加速直线运动。该过程中,前0.5 s内的位移为3.5 m,前1 s内的位移为8 m,则其加速度的大小为 (　　)
A.3.5 m/s2 B.4 m/s2
C.7 m/s2 D.条件不足,无法求解
答案　B
解析　根据题意可知0.5~1 s内的位移为x2=8 m-3.5 m=4.5 m,根据匀变速直线运动规律Δx=aT2可知加速度为a= m/s2=4 m/s2。故选B。
3.(2023·南京师大附中高一期中)一辆长为0.6 m的电动小车沿水平面向右做匀变速直线运动,监测系统每隔2 s拍摄一次,得到一张频闪照片,用刻度尺测量照片上的长度,如图所示,则小车的加速度大小为 (　　)
A.0.01 m/s2 B.0.5 m/s2
C.1.0 m/s2 D.1.75 m/s2
答案　B
解析　小车在照片上前2 s运动的长度为3 cm,后2 s在照片上运动的长度为7 cm,根据小车在照片上的长度为1.2 cm可得前、后2 s实际运动的距离为x前=×3×10-2 m=1.5 m,x后=×7×10-2 m=3.5 m,根据匀变速直线运动推论有a== m/s2=0.5 m/s2。故选B。
4.(2024·淄博市第一中学高一期中)一小球(可视为质点)沿固定斜面匀加速滑下,依次经过 A、B、C 三点,如图所示,已知AB=18 m,BC=30 m,小球经过AB和BC两段所用的时间均为 2 s,则小球在经过A、C两点时的速度大小分别是 (　　)
A.6 m/s　12 m/s B.6 m/s　18 m/s
C.3 m/s　5 m/s D.3 m/s　7 m/s
答案　B
解析　小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s,根据位移差公式有Δx=at2 ,代入数据解得a== m/s2=3 m/s2,小球经过B点的速度vB= m/s=12 m/s,所以经过A点的速度大小vA=vB-at=6 m/s,经过C点的速度大小vC=vB+at=18 m/s。故选B。
5.(8分)(2024·福州市高一期中)某实验小组同学在做“测定匀变速直线运动加速度”的实验,装置如图甲所示:
(1)(2分)图甲中的电火花计时器使用的交流电源电压为　　　　 V;
(2)(6分)交流电源的频率为50赫兹,实验中得到的纸带如图乙所示,图中的点为计数点,在每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出,则打下A点到E点的时间间隔为　　　　 s;打下B点时,小车的瞬时速度为　　　　 m/s;小车运动的加速度为　　　　 m/s2(后两空结果保留两位有效数字)。
答案　(1)220　(2)0.4　0.16　0.81
解析　(1)题图甲中的电火花计时器接电压为220 V的交流电源;
(2)每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出,则打下A点到E点的时间间隔为t=4×5×=0.4 s
打下B点时,小车的瞬时速度为vB==×10-2 m/s≈0.16 m/s
小车运动的加速度为a==×10-2 m/s2≈0.81 m/s2
6、7题每题6分,8题10分,共22分
6.(多选)(2024·台山市第一中学高一期中)物体从静止开始做匀加速直线运动,已知第3 s内和第2 s内的位移之差为6 m,则可知 (　　)
A.第1 s内的位移是3 m
B.第2 s末的速度是6 m/s
C.物体运动过程中的加速度为2 m/s2
D.物体在前2 s内的平均速度是6 m/s
答案　AD
解析　根据Δx=aT2,可得物体运动过程中的加速度为a== m/s2=6 m/s2,故C错误;第1 s内的位移为x1=a=3 m,故A正确;物体第2 s末的速度为v2=at2=12 m/s,物体在前2 s内的平均速度为v==6 m/s,故B错误,D正确。
7.(多选)(2024·沈阳铁路实验中学高一期中)如图所示,物体自O点由静止开始做匀加速直线运动,A、B、C、D为其运动轨迹上的四点,测得AB=2 m,BC=3 m。且物体通过AB、BC、CD所用时间相等,A、B、C各点的瞬时速度表示为vA、vB、vC,则下列说法正确的是 (　　)
A.可以求出物体加速度的大小
B.可以求得C、D两点间距离
C.可求得OA的距离为1.125 m
D.可以确定vC-vB=vB-vA
答案　BCD
解析　由匀变速直线运动位移差公式Δx=aT2=CD-BC=BC-AB=1 m,解得CD=4 m,a=,由于时间间隔不知道,故无法求出加速度的大小,故A错误,B正确;根据匀变速直线运动中间时刻瞬时速度等于该过程的平均速度,物体经过B点时的速度为vB==,再根据速度—位移公式有2a·OB=,解得OB=3.125 m,则有OA=OB-AB=1.125 m,故C正确;根据匀变速直线运动中间时刻瞬时速度等于该过程的平均速度,则有vB==,可得vC-vB=vB-vA,故D正确。
8.(10分)(2024·珠海市第四中学高一期中)做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验时,某同学得到一条点迹清晰的纸带,从比较清晰的点起,每五个点取一个计数点(每相邻两个计数点间有四个实验点未画出),分别标为0、1、2、3、4、5、6…,用刻度尺量得各计数点与计数点0之间的距离如图所示,已知打点计时器使用的电源的频率为50 Hz,则:
(1)(2分)打点计时器每隔　　　　 s打一次点。
(2)(4分)打点计时器打计数点1时,小车的速度v1=　　　　 m/s(结果保留两位有效数字);
(3)(4分)小车的加速度a=　　　　 m/s2(结果保留两位有效数字)。
答案　(1)0.02　(2)0.34　(3)0.88
解析　(1)打点计时器的打点时间间隔为
t== s=0.02 s
(2)相邻计数点的时间间隔为
T=5t=0.1 s
打计数点1时,小车的速度为
v1== m/s=0.34 m/s
(3)小车加速度为
a=
=×10-2 m/s2=0.88 m/s2
9.(14分)某探究小组为了研究小车在桌面上的直线运动,用自制“滴水计时器”计量时间。实验前,将该计时器固定在小车旁,如图甲所示。实验时,保持桌面水平,用手轻推一下小车。在小车运动过程中,滴水计时器等时间间隔地滴下小水滴,图乙记录了桌面上连续6个水滴的位置。(已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴)
(1)(4分)由图乙可知,小车在桌面上是　　　　(填“从右向左”或“从左向右”)运动的。
(2)(10分)该小组同学根据图乙的数据判断出小车做匀变速运动。小车运动到图乙中A点位置时的速度大小为　　　　 m/s,加速度大小为　　　　 m/s2。(结果均保留两位有效数字)
答案　(1)从右向左　(2)0.19　 0.038
解析　(1)小车在阻力的作用下,做减速运动,由题图乙知,从右向左相邻水滴间的距离逐渐减小,即速度减小,所以小车在桌面上是从右向左运动的。
(2)已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴,所以相邻两水滴间的时间间隔为T= s= s,所以A点位置的速度为vA== m/s≈0.19 m/s。根据逐差法可得加速度a=≈-0.038 m/s2,故加速度的大小为0.038 m/s2。(共51张PPT)
DIERZHANG
第二章
专题强化　匀变速直线运动的位移差
公式　逐差法求加速度
1.理解位移差公式并能解决相关问题(重点)。
2.理解逐差法的意义并会用逐差法进行数据处理求加速度(重难点)。
3.能够理解偶然误差及系统误差的产生原因,并会按要求保留有效数字(重点)。
4.会解决用现代技术测量加速度的有关问题。
学习目标
一、位移差公式
二、逐差法求加速度
专题强化练
内容索引
位移差公式
一
1.如图所示,一物体做加速度为a的匀变速直线运动,取任意两个连续相等的时间T,它们的位移分别为x1、x2,通过A、B、C时的速度分别为v0、v1、v2,试推导x2-x1=aT2。
答案　v1=v0+aT
x1=v0T+aT2
x2=v1T+aT2
x2与x1的位移差:
Δx=x2-x1=(v1-v0)T=aT2
2.对于加速度大小恒定的匀变速直线运动,若已知连续相等的时间内通过的位移分别为x1、x2、x3、x4,则x4-x1=　　　　。
答案　方法一　
如图所示
设初速度为v0,第四段位移的初速度为v3,则
v3=v0+3aT
x1=v0T+aT2
x4=v3T+aT2
x4-x1=(v3-v0)T=3aT2。
方法二　由x2-x1=aT2
x3-x2=aT2
x4-x3=aT2
得x4-x1=3aT2。
位移差公式:Δx=aT2
1.内容:做匀变速直线运动的物体,在任意两个连续相等的时间T内的位移差 ,即Δx= 。
2.推论:对于不连续的相等时间内的位移差,xm-xn= ,其中m>n。
提炼·总结
恒定
aT2
(m-n)aT2
(多选)(2024·襄阳市高一期中)一质点做匀加速直线运动,第3 s内的位移为12 m,第5 s内的位移为20 m,则该质点运动过程中
A.第4 s内位移为16 m
B.加速度大小为4 m/s2
C.第1 s初的速度大小为零
D.前5 s内的位移为50 m
例1
√
√
根据连续相等时间内发生的位移差和加速度的关系可知x4-x3=aT2,x5-x4=aT2,联立解得x4=16 m,a=4 m/s2,故A、B正确;
由中间时刻速度与平均速度关系可知,2.5 s时的瞬时速度满足v2.5==
= m/s=12 m/s,第1 s初即初始时刻,此时的速度满足v2.5=v0+at2.5,解得v0=2 m/s,故C错误;
前5 s内的位移满足x=v0t5+a=(2×5+×4×52) m=60 m,故D错误。
　(2024·厦门市双十中学月考)某自动化设备从固定斜面的顶端O点每隔0.1 s静止释放一个同样的小球,释放后小球做匀加速直线运动。在连续释放多个小球后,某时刻设备监测人员发现斜面上A、B、C三点刚好各有一个小球,而OA之间因为有障碍物遮挡导致看不到小球(障碍物不影响小球在斜面上的运动)。已知xAB=15 cm,xBC=20 cm。求:
(1)小球的加速度大小;
例2
答案　5 m/s2
由推论Δx=aT2
小球的加速度为a== m/s2=5 m/s2
(2)小球在C点的速度大小;
答案　2.25 m/s
由题意知B点对应AC段的中间时刻,可知
vB== m/s=1.75 m/s
小球在C点的速度为vC=vB+aT
代入数据得vC=2.25 m/s
(3)该时刻斜面上A点上方还有几个小球
答案　2个球
由vA=vB-aT
得小球在A点的速度为vA=1.25 m/s
则小球从静止释放到运动到A点所需时间tA==0.25 s
由于=2.5
故A点上方还有2个球。
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逐差法求加速度
二
一物体做匀加速直线运动,已知连续相等时间T内的六段位移如图所示。某同学计算物体加速度时,选取纸带上任意两段位移,利用公式x2-x1=aT2计算物体的加速度,你认为这种方法有何不妥
答案　偶然误差较大,没有充分利用实验数据。
纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6,将它们分为三组,由xm-xn=(m-n)aT2得,a1=,a2=,a3=,a=
=。
此式把各段位移都利用上,有效地减小了仅有两次位移测量所带来的偶然误差,这种方法称为逐差法。
技巧:此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1=x1+x2+x3,s2=x4+x5+x6,时间间隔Δt=3T,即a==。
提炼·总结
1.如图所示,类比写出已知连续4个相同时间T内的位移,利用逐差法求加速度公式。
思考与讨论
答案　a=。
2.若n为大于4的奇数段,应怎么处理
答案　舍去位移最小的一段或中间一段
假设n=5,若相邻各段间的位移逐渐增大,第一段读数的误差相对较大,可以舍去第一段,则
a=,
同理,若相邻各段间的位移逐渐减小,可以舍去最后一段或舍去中间一段,则a==。
两种情况下,在保留有效数字位数相同时,计算结果一般相同。
　 (2024·黔西市高一月考)在做“研究匀变速直线运动”实验中,打点计时器打出的一条纸带(部分)如图所示,若A、B、C…计数点间的时间间隔均为0.10 s,由图可知,小车做　　　　　　运动,从图中给定的数据,可求出小车的加速度大小是　　　　 m/s2,打下C点时小车的速度大小是_________ m/s。(均保留两位有效数字)
例3
匀变速直线
2.0
0.70
由题图可知Δx=BC-AB=CD-BC=DE-CD=2 cm
且计数点时间间隔相同,故小车做匀变速直线运动;
由于每相邻的计数点间的时间间隔T=0.10 s,
根据匀变速直线运动的推论公式Δx=aT2
可以求出加速度的大小为
a==×10-2 m/s2=2.0 m/s2
根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于该过程的平均速度,可以求出打纸带上C点时小车的瞬时速度大小为vC==×10-2 m/s
=0.70 m/s。
在做“研究匀变速直线运动”的实验时,某同学得到一条用打点计时器打下的纸带如图所示,并在其上取了A、B、C、D、E、F、G等7个计数点,每相邻两个计数点之间还有4个点(图中没有画出),打点计时器接周期为T=
0.02 s的交流电源,经过测量得:d1=3.62 cm,d2=8.00 cm,d3=13.20 cm,d4=
19.19 cm,d5=25.99 cm,d6=33.61 cm。(结果均保留两位有效数字)
例4
(1)物体在B点的瞬时速度大小vB=　　　　m/s;
0.40
每相邻两个计数点之间还有4个点,打点计时器接周期为T=0.02 s的交流电源,则计数点间的时间间隔为T'=5T=0.10 s,打点计时器打B点时,物体的速度vB== m/s=0.40 m/s
(2)物体的加速度大小a=　　　　m/s2;
0.80
物体的加速度为a==
= m/s2≈0.80 m/s2
(3)如果当时电源频率是f=51 Hz,而做实验的同学并不知道,那么加速度的测量值与实际值相比　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
偏小
如果当时电源频率是f=51 Hz,而做实验的同学并不知道,那么实际打点周期小于测量的打点周期;据Δx=aT2得,真实的加速度大于测量的加速度,即加速度的测量值与实际值相比偏小。
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专题强化练
三
1.(2024·绵阳市高一月考)利用打点计时器测定物体做匀变速直线运动的加速度时,在纸带上所打的一系列点,如图所示,各相邻的计数点的距离分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ…,各相邻的计数点的时间间隔为T,则下面各关系式中不正确的是
A.xⅡ-xⅠ=aT2 B.xⅢ-xⅠ=2aT2
C.xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ D.xⅢ-xⅡ=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
基础强化练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
对于匀变速直线运动,连续相等时间内的位移之差是恒量,即Δx=aT2,对应于该题有xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=aT2,而xⅢ-xⅠ=xⅢ-xⅡ+xⅡ-xⅠ=2aT2,A、B、C正确,D错误。
2.(2024·宁波市镇海中学高一期中)校运会时,高空无人机在完成拍摄任务后返回地面,某一段过程可视为做匀加速直线运动。该过程中,前0.5 s内的位移为3.5 m,前1 s内的位移为8 m,则其加速度的大小为
A.3.5 m/s2 B.4 m/s2
C.7 m/s2 D.条件不足,无法求解
1
2
3
4
5
6
7
8
9
√
1
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3
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5
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9
根据题意可知0.5~1 s内的位移为x2=8 m-3.5 m=4.5 m,根据匀变速直线运动规律Δx=aT2可知加速度为a= m/s2=4 m/s2。故选B。
3.(2023·南京师大附中高一期中)一辆长为0.6 m的电动小车沿水平面向右做匀变速直线运动,监测系统每隔2 s拍摄一次,得到一张频闪照片,用刻度尺测量照片上的长度,如图所示,则小车的加速度大小为
A.0.01 m/s2 B.0.5 m/s2
C.1.0 m/s2 D.1.75 m/s2
1
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√
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9
小车在照片上前2 s运动的长度为3 cm,
后2 s在照片上运动的长度为7 cm,根据
小车在照片上的长度为1.2 cm可得前、后2 s实际运动的距离为x前=
×3×10-2 m=1.5 m,x后=×7×10-2 m=3.5 m,根据匀变速直线运动推论有a== m/s2=0.5 m/s2。故选B。
4.(2024·淄博市第一中学高一期中)一小球(可视为质点)沿固定斜面匀加速滑下,依次经过A、B、C 三点,如图所示,已知AB=18 m,BC=30 m,小球经过AB和BC两段所用的时间均为 2 s,则小球在经过A、C两点时的速度大小分别是
A.6 m/s　12 m/s B.6 m/s　18 m/s
C.3 m/s　5 m/s D.3 m/s　7 m/s
1
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3
4
5
6
7
8
9
√
小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s,根据位移差
公式有Δx=at2 ,代入数据解得a== m/s2=3 m/s2,
小球经过B点的速度vB= m/s=12 m/s,所以经过A点的速度大小vA=vB-at=6 m/s,经过C点的速度大小vC=vB+at=18 m/s。故选B。
1
2
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5
6
7
8
9
5.(2024·福州市高一期中)某实验小组同学在做“测定匀变速直线运动加速度”的实验,装置如图甲所示:

(1)图甲中的电火花计时器使用的交流电源电压为　　　　 V;
1
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220
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题图甲中的电火花计时器接电压为220 V的交流电源;
(2)交流电源的频率为50赫兹,实验中得到的纸带如图乙所示,图中的点为计数点,在每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出,则打下A点到E点的时间间隔为　　　　 s;打下B点时,小车的瞬时速度为　　　　 m/s;小车运动的加速度为　　　　 m/s2(后两空结果保留两位有效数字)。
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2
3
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0.4
0.16
0.81
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8
9
每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出,则打下A点到E点的时间间隔为t=4×5×=0.4 s
打下B点时,小车的瞬时速度为vB==×10-2 m/s≈0.16 m/s
小车运动的加速度为a==×10-2 m/s2≈0.81 m/s2
6.(多选)(2024·台山市第一中学高一期中)物体从静止开始做匀加速直线运动,已知第3 s内和第2 s内的位移之差为6 m,则可知
A.第1 s内的位移是3 m
B.第2 s末的速度是6 m/s
C.物体运动过程中的加速度为2 m/s2
D.物体在前2 s内的平均速度是6 m/s
1
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9
能力综合练
√
√
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9
根据Δx=aT2,可得物体运动过程中的加速度为a== m/s2=6 m/s2,故C错误;
第1 s内的位移为x1=a=3 m,故A正确;
物体第2 s末的速度为v2=at2=12 m/s,物体在前2 s内的平均速度为v==6 m/s,故B错误,D正确。
7.(多选)(2024·沈阳铁路实验中学高一期中)如图所示,物体自O点由静止开始做匀加速直线运动,A、B、C、D为其运动轨迹上的四点,测得AB=2 m,
BC=3 m。且物体通过AB、BC、CD所用时间相等,A、B、C各点的瞬时速度表示为vA、vB、vC,则下列说法正确的是
A.可以求出物体加速度的大小
B.可以求得C、D两点间距离
C.可求得OA的距离为1.125 m
D.可以确定vC-vB=vB-vA
1
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√
√
√
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7
8
9
由匀变速直线运动位移差公式Δx=aT2=CD-BC=BC-AB=1 m,解得CD=4 m,
a=,由于时间间隔不知道,故无法求出加速度的大小,故A错误,B正确;
根据匀变速直线运动中间时刻瞬时速度等于该过程的平均速度,物体经过B点时的速度为vB==,再根据速度—位移公式有2a·OB=,解得OB=3.125 m,则有OA=OB-AB=1.125 m,故C正确;
根据匀变速直线运动中间时刻瞬时速度等于该过程的平均速度,则有vB==,可得vC-vB=vB-vA,故D正确。
8.(2024·珠海市第四中学高一期中)做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验时,某同学得到一条点迹清晰的纸带,从比较清晰的点起,每五个点取一个计数点(每相邻两个计数点间有四个实验点未画出),分别标为0、1、2、3、4、5、6…,用刻度尺量得各计数点与计数点0之间的距离如图所示,已知打点计时器使用的电源的频率为50 Hz,则:
1
2
3
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7
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9
(1)打点计时器每隔　　　　 s打一次点。
1
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3
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9
0.02
打点计时器的打点时间间隔为
t== s=0.02 s
(2)打点计时器打计数点1时,小车的速度v1=　　　　 m/s(结果保留两位有效数字);
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.34
相邻计数点的时间间隔为T=5t=0.1 s
打计数点1时,小车的速度为v1== m/s=0.34 m/s
(3)小车的加速度a=　　　　 m/s2(结果保留两位有效数字)。
1
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3
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0.88
小车加速度为a=
=×10-2 m/s2=0.88 m/s2
9.某探究小组为了研究小车在桌面上的直线运动,用自制“滴水计时器”计量时间。实验前,将该计时器固定在小车旁,如图甲所示。实验时,保持桌面水平,用手轻推一下小车。在小车运动过程中,滴水计时器等时间间隔地滴下小水滴,图乙记录了桌面上连续6个水滴的位置。(已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴)
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尖子生选练
(1)由图乙可知,小车在桌面上是　　　　　　(填“从右向左”或“从左向右”)运动的。
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从右向左
小车在阻力的作用下,做减速运动,由题图乙知,从右向左相邻水滴间的距离逐渐减小,即速度减小,所以小车在桌面上是从右向左运动的。
(2)该小组同学根据图乙的数据判断出小车做匀变速运动。小车运动到图乙中A点位置时的速度大小为　　　　 m/s,加速度大小为　　　　 m/s2。(结果均保留两位有效数字)
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0.19
0.038
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已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴,
所以相邻两水滴间的时间间隔为T= s=
s,所以A点位置的速度为vA== m/s≈0.19 m/s。根据逐差法可得加速度a=≈-0.038 m/s2,故加速度的大小为0.038 m/s2。
返回专题强化　匀变速直线运动的位移差公式　逐差法求加速度
［学习目标］　1.理解位移差公式并能解决相关问题(重点)。2.理解逐差法的意义并会用逐差法进行数据处理求加速度(重难点)。3.能够理解偶然误差及系统误差的产生原因，并会按要求保留有效数字(重点)。 4.会解决用现代技术测量加速度的有关问题。
一、位移差公式
1.如图所示，一物体做加速度为a的匀变速直线运动，取任意两个连续相等的时间T，它们的位移分别为x1、x2，通过A、B、C时的速度分别为v0、v1、v2，试推导x2-x1=aT2。
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2.对于加速度大小恒定的匀变速直线运动，若已知连续相等的时间内通过的位移分别为x1、x2、x3、x4，则x4-x1=　　　　。
位移差公式：Δx=aT2
1.内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差　　　　，即Δx=　　　　。
2.推论：对于不连续的相等时间内的位移差，xm-xn=　　　　　　　　，其中m>n。
例1　(多选)(2024·襄阳市高一期中)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，则该质点运动过程中 (　　)
A.第4 s内位移为16 m
B.加速度大小为4 m/s2
C.第1 s初的速度大小为零
D.前5 s内的位移为50 m
例2　(2024·厦门市双十中学月考)某自动化设备从固定斜面的顶端O点每隔0.1 s静止释放一个同样的小球，释放后小球做匀加速直线运动。在连续释放多个小球后，某时刻设备监测人员发现斜面上A、B、C三点刚好各有一个小球，而OA之间因为有障碍物遮挡导致看不到小球(障碍物不影响小球在斜面上的运动)。已知xAB=15 cm，xBC=20 cm。求：
(1)小球的加速度大小；
(2)小球在C点的速度大小；
(3)该时刻斜面上A点上方还有几个小球？
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二、逐差法求加速度
一物体做匀加速直线运动，已知连续相等时间T内的六段位移如图所示。某同学计算物体加速度时，选取纸带上任意两段位移，利用公式x2-x1=aT2计算物体的加速度，你认为这种方法有何不妥？
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纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm-xn=(m-n)aT2得，a1=，a2=，
a3=，a=
=。
此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅有两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。
技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1=x1+x2+x3，s2=x4+x5+x6，时间间隔Δt=3T，即a==。
1.如图所示，类比写出已知连续4个相同时间T内的位移，利用逐差法求加速度公式。
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2.若n为大于4的奇数段，应怎么处理？


例3　(2024·黔西市高一月考)在做“研究匀变速直线运动”实验中，打点计时器打出的一条纸带(部分)如图所示，若A、B、C…计数点间的时间间隔均为0.10 s，由图可知，小车做　　　　　　运动，从图中给定的数据，可求出小车的加速度大小是　　　　 m/s2，打下C点时小车的速度大小是　　　　 m/s。(均保留两位有效数字)
例4　在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器打下的纸带如图所示，并在其上取了A、B、C、D、E、F、G等7个计数点，每相邻两个计数点之间还有4个点(图中没有画出)，打点计时器接周期为T=0.02 s的交流电源，经过测量得：d1=3.62 cm，d2=8.00 cm，d3=13.20 cm，d4=19.19 cm，d5=25.99 cm，d6=33.61 cm。(结果均保留两位有效数字)
(1)物体在B点的瞬时速度大小vB=　　　　　　 m/s；
(2)物体的加速度大小a=　　　　m/s2；
(3)如果当时电源频率是f=51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值与实际值相比　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
答案精析
一、
1.v1=v0+aT
x1=v0T+aT2
x2=v1T+aT2
x2与x1的位移差：
Δx=x2-x1=（v1-v0）T=aT2
2.方法一　如图所示
设初速度为v0，第四段位移的初速度为v3，则v3=v0+3aT
x1=v0T+aT2
x4=v3T+aT2
x4-x1=（v3-v0）T=3aT2。
方法二　由x2-x1=aT2
x3-x2=aT2
x4-x3=aT2
得x4-x1=3aT2。
提炼·总结
1.恒定　aT2　2.（m-n）aT2
例1　AB　［根据连续相等时间内发生的位移差和加速度的关系可知x4-x3=aT2，x5-x4=aT2，联立解得x4=16 m，a=4 m/s2，故A、B正确；由中间时刻速度与平均速度关系可知，2.5 s时的瞬时速度满足v2.5=== m/s=12 m/s，第1 s初即初始时刻，此时的速度满足v2.5=v0+at2.5，解得v0=2 m/s，故C错误；前5 s内的位移满足x=v0t5+a=（2×5+×4×52） m=60 m，故D错误。］
例2　（1）5 m/s2　（2）2.25 m/s
（3）2个球
解析　（1）由推论Δx=aT2
小球的加速度为a=
= m/s2=5 m/s2
（2）由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知
vB== m/s
=1.75 m/s
小球在C点的速度为vC=vB+aT
代入数据得vC=2.25 m/s
（3）由vA=vB-aT
得小球在A点的速度为vA=1.25 m/s
则小球从静止释放到运动到A点所需时间tA==0.25 s
由于=2.5
故A点上方还有2个球。
二、偶然误差较大，没有充分利用实验数据。
思考与讨论
1.a=。
2.舍去位移最小的一段或中间一段
假设n=5，若相邻各段间的位移逐渐增大，第一段读数的误差相对较大，可以舍去第一段，则
a=，
同理，若相邻各段间的位移逐渐减小，可以舍去最后一段或舍去中间一段，则
a=
=。
两种情况下，在保留有效数字位数相同时，计算结果一般相同。
例3　匀变速直线　2.0　0.70
解析　由题图可知Δx=BC-AB=CD-BC=DE-CD=2 cm
且计数点时间间隔相同，故小车做匀变速直线运动；
由于每相邻的计数点间的时间间隔
T=0.10 s，
根据匀变速直线运动的推论公式
Δx=aT2
可以求出加速度的大小为
a==
×10-2 m/s2
=2.0 m/s2
根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于该过程的平均速度，可以求出打纸带上C点时小车的瞬时速度大小为vC==×10-2 m/s=0.70 m/s。
例4　（1）0.40　（2）0.80　（3）偏小
解析　（1）每相邻两个计数点之间还有4个点，打点计时器接周期为T=0.02 s的交流电源，则计数点间的时间间隔为
T'=5T=0.10 s，打点计时器打B点时，物体的速度vB==
m/s=0.40 m/s
（2）物体的加速度为
a==
= m/s2
≈0.80 m/s2
（3）如果当时电源频率是f=51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么实际打点周期小于测量的打点周期；据Δx=aT2得，真实的加速度大于测量的加速度，即加速度的测量值与实际值相比偏小。作业12 匀变速直线运动的位移差公式　逐差法求加速度
1~4题每题4分,5题8分,共24分
1.(2024·绵阳市高一月考)利用打点计时器测定物体做匀变速直线运动的加速度时,在纸带上所打的一系列点,如图所示,各相邻的计数点的距离分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ…,各相邻的计数点的时间间隔为T,则下面各关系式中不正确的是 (　　)
A.xⅡ-xⅠ=aT2 B.xⅢ-xⅠ=2aT2
C.xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ D.xⅢ-xⅡ=
2.(2024·宁波市镇海中学高一期中)校运会时,高空无人机在完成拍摄任务后返回地面,某一段过程可视为做匀加速直线运动。该过程中,前0.5 s内的位移为3.5 m,前1 s内的位移为8 m,则其加速度的大小为 (　　)
A.3.5 m/s2 B.4 m/s2
C.7 m/s2 D.条件不足,无法求解
3.(2023·南京师大附中高一期中)一辆长为0.6 m的电动小车沿水平面向右做匀变速直线运动,监测系统每隔2 s拍摄一次,得到一张频闪照片,用刻度尺测量照片上的长度,如图所示,则小车的加速度大小为 (　　)
A.0.01 m/s2 B.0.5 m/s2
C.1.0 m/s2 D.1.75 m/s2
4.(2024·淄博市第一中学高一期中)一小球(可视为质点)沿固定斜面匀加速滑下,依次经过 A、B、C 三点,如图所示,已知AB=18 m,BC=30 m,小球经过AB和BC两段所用的时间均为 2 s,则小球在经过A、C两点时的速度大小分别是 (　　)
A.6 m/s　12 m/s B.6 m/s　18 m/s
C.3 m/s　5 m/s D.3 m/s　7 m/s
5.(8分)(2024·福州市高一期中)某实验小组同学在做“测定匀变速直线运动加速度”的实验,装置如图甲所示:
(1)(2分)图甲中的电火花计时器使用的交流电源电压为　　　　 V;
(2)(6分)交流电源的频率为50赫兹,实验中得到的纸带如图乙所示,图中的点为计数点,在每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出,则打下A点到E点的时间间隔为　　　　 s;打下B点时,小车的瞬时速度为　　　　 m/s;小车运动的加速度为　　　　 m/s2(后两空结果保留两位有效数字)。
6、7题每题6分,8题10分,共22分
6.(多选)(2024·台山市第一中学高一期中)物体从静止开始做匀加速直线运动,已知第3 s内和第2 s内的位移之差为6 m,则可知 (　　)
A.第1 s内的位移是3 m
B.第2 s末的速度是6 m/s
C.物体运动过程中的加速度为2 m/s2
D.物体在前2 s内的平均速度是6 m/s
7.(多选)(2024·沈阳铁路实验中学高一期中)如图所示,物体自O点由静止开始做匀加速直线运动,A、B、C、D为其运动轨迹上的四点,测得AB=2 m,BC=3 m。且物体通过AB、BC、CD所用时间相等,A、B、C各点的瞬时速度表示为vA、vB、vC,则下列说法正确的是 (　　)
A.可以求出物体加速度的大小
B.可以求得C、D两点间距离
C.可求得OA的距离为1.125 m
D.可以确定vC-vB=vB-vA
8.(10分)(2024·珠海市第四中学高一期中)做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验时,某同学得到一条点迹清晰的纸带,从比较清晰的点起,每五个点取一个计数点(每相邻两个计数点间有四个实验点未画出),分别标为0、1、2、3、4、5、6…,用刻度尺量得各计数点与计数点0之间的距离如图所示,已知打点计时器使用的电源的频率为50 Hz,则:
(1)(2分)打点计时器每隔　　　　 s打一次点。
(2)(4分)打点计时器打计数点1时,小车的速度v1=　　　　 m/s(结果保留两位有效数字);
(3)(4分)小车的加速度a=　　　　 m/s2(结果保留两位有效数字)。
9.(14分)某探究小组为了研究小车在桌面上的直线运动,用自制“滴水计时器”计量时间。实验前,将该计时器固定在小车旁,如图甲所示。实验时,保持桌面水平,用手轻推一下小车。在小车运动过程中,滴水计时器等时间间隔地滴下小水滴,图乙记录了桌面上连续6个水滴的位置。(已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴)
(1)(4分)由图乙可知,小车在桌面上是　　　　(填“从右向左”或“从左向右”)运动的。
(2)(10分)该小组同学根据图乙的数据判断出小车做匀变速运动。小车运动到图乙中A点位置时的速度大小为　　　　 m/s,加速度大小为　　　　 m/s2。(结果均保留两位有效数字)
答案精析
1.D　2.B　3.B　4.B
5.（1）220　（2）0.4　0.16　0.81
解析　（1）题图甲中的电火花计时器接电压为220 V的交流电源；
（2）每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则打下A点到E点的时间间隔为t=4×5×=0.4 s
打下B点时，小车的瞬时速度为vB==×10-2 m/s≈0.16 m/s
小车运动的加速度为a==×10-2 m/s2≈0.81 m/s2
6.AD　［根据Δx=aT2，可得物体运动过程中的加速度为a== m/s2=6 m/s2，故C错误；第1 s内的位移为x1=a=3 m，故A正确；物体第2 s末的速度为v2=at2=12 m/s，物体在前2 s内的平均速度为v==6 m/s，故B错误，D正确。］
7.BCD　［由匀变速直线运动位移差公式Δx=aT2=CD-BC=BC-AB=1 m，解得CD=4 m，a=，由于时间间隔不知道，故无法求出加速度的大小，故A错误，B正确；根据匀变速直线运动中间时刻瞬时速度等于该过程的平均速度，物体经过B点时的速度为vB==，再根据速度—位移公式有2a·OB=，解得OB=3.125 m，则有OA=OB-AB=1.125 m，故C正确；根据匀变速直线运动中间时刻瞬时速度等于该过程的平均速度，则有vB==，可得vC-vB=vB-vA，故D正确。］
8.（1）0.02　（2）0.34　（3）0.88
解析　（1）打点计时器的打点时间间隔为t== s=0.02 s
（2）相邻计数点的时间间隔为
T=5t=0.1 s
打计数点1时，小车的速度为
v1== m/s
=0.34 m/s
（3）小车加速度为
a=
=×10-2 m/s2=0.88 m/s2
9.（1）从右向左　（2）0.19　 0.038
解析　（1）小车在阻力的作用下，做减速运动，由题图乙知，从右向左相邻水滴间的距离逐渐减小，即速度减小，所以小车在桌面上是从右向左运动的。
（2）已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴，所以相邻两水滴间的时间间隔为T= s= s，所以A点位置的速度为vA== m/s≈0.19 m/s。根据逐差法可得加速度a=
≈-0.038 m/s2，
故加速度的大小为0.038 m/s2。

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