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2024-2025学年四川省成都市蓉城名校联考高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设命题：，，则的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定：
行程在以内的含，车费元
行程在以上且不超过的，前车费元，以后每增加车费增加元不足的按计算
行程超过，则超过的部分每公里车费元不足的按计算．
小明某天乘坐该地的出租车，共花费元，那么他的行程大约为( )
A. B. C. D.
5.某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了个大型电影院，得到其宣传费用单位：十万元和销售额单位：十万元的数据如下：
十万元
十万元
由统计数据知与满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额的估计值为( )
A. B. C. D.
6.设，已知，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.某高中运动会设有个项目，甲、乙两名学生每人随机选取个项目，则至少选中个相同项目的报名情况有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知，不等式恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 与表示同一个函数
C. 关于的不等式的解集为，，若，则
D. 若，，则的取值范围为
10.已知，为正实数，，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 点是函数的一个对称中心
C. 当时，
D. 函数恰有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中第项为______．
13.若函数在上单调递增，则的取值范围为 ．
14.已知函数有两个零点，实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知公差不为的等差数列的首项为，且．
求数列的通项公式
若数列是公比为的等比数列，且，求数列的前项和．
16.本小题分
研究表明，人在点之前入睡最有益身体健康，熬夜通常会导致睡眠时间不足或规律作息被打乱某中学为研究熬夜与短期记忆力减退是否有关联，在高三年级随机抽取两个班共名学生调查，列表如下：
短期记忆力 熬夜 不熬夜 合计
较差
良好
合计
完善列联表，根据概率值的独立性检验，分析熬夜与短期记忆力减退是否有关联
从样本中熬夜的学生中随机选取人，其中短期记忆力较差的人数为随机变量，求的分布列与期望
以样本频率估计概率，从该校个熬夜的学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名短期记忆力较差的概率，求取最大值时的值．
附：参考公式：，其中．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面．
若，证明：平面；
若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知为曲线上一动点，动点到和的距离之和为定值，且点在曲线上．
求曲线的方程
若过点的直线交曲线于，两点，求面积的取值范围．
19.本小题分
已知．
求的定义域
若恒成立，求能够取得的最大整数值
证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
由题意可设数列的公差为，则，所以，解得，故数列的通项公式为；
令，则，因为，，所以，即，则，．
16.解：表格如下：
短期记忆力 熬夜 不熬夜 合计
较差
良好
合计
零假设为熬夜与短期记忆力减退无关，
，
依据的独立性检验，可以认为熬夜与短期记忆力减退有关联，该推断犯错误的概率不超过．
由题意可得的可能取值有：，，，
，，，
的分布列如下表所示，
由题意可得满足二项分布，∽，
，
若最大，则
或．
17.证明：在四棱锥中，由平面，
平面，得，
又，，，平面，则平面，
而平面，于是，由，得，
则，又平面，平面，
所以平面；
由知，过点作平面，则直线，，两两垂直，
以点为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
假设存在点满足条件，令，
，
设平面的一个法向量为，
则有，令，得，
由平面，得为平面的一个法向量，
由二面角的正弦值为，
得，
即，而，解得，
所以点是线段上靠近点的三等分点，使得二面角的正弦值为．
18.解：，
点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，
则，，，，
曲线的方程为
设，，
由题意可得直线斜率存在，
当直线斜率为时，，，
，
当直线斜率不为时，设直线的方程为，
将直线与椭圆联立得，
，
，，，
则
，
设点到直线的距离为，，
，
令，则，，
，，在上单调递减，
，则，
综上，面积的取值范围为．
19.解：要使函数有意义，需满足，记，，
令，，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，故的定义域为；
由恒成立得，
当时，不等式恒成立，下面说明当且为整数时不等式成立的情况：
当时，不等式显然成立，当时，不等式等价于恒成立，
此时有恒成立，令，则，
令得，当，时，且为整数时，无解，
从而在上单调递增，在上单调递减，若不等式恒成立则有恒成立，
令，，故单调递增，
从而，当且仅当时取等，此时恰有原不等式恒成立，
综上所述，能够取得的最大整数值是；
由可知当时，，
即，当时，，即，
令，有，
即，
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