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第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
[学习目标]　1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系.(重点)2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.(重难点)3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(重点)
导语
同学们,我国历史上有很多杰出的数学家,比如祖冲之、秦九韶等,我们古代的数学重点在于“算”.既然要算,那么对于“二次方程”必然有所涉猎!比如我们所熟悉的《九章算术》,但是《九章算术》的一贯作风是给个问题,配个答案,剩下的自己去想,至于如何解方程,这就需要大家来解决了.实际上,对于求解一元二次方程的方法有很多,比如我们所熟悉的求根公式、配方法,而比较好用的还是十字相乘法.
一、一元二次不等式的概念
问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的边长要满足什么条件
提示　设这个矩形的一条边长为x m,则另一条边长为(12-x)m.
由题意,得(12-x)x>20,其中x∈{x|0整理得x2-12x+20<0,x∈{x|0知识梳理
定义 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式
一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0
例1　下列不等式中是一元二次不等式的为 (　　)
A.ax2+2x+1>0 B.x2-y>0
C.-x2-3x<0 D.>0
答案　C
解析　由一元二次不等式定义可知,C正确.
反思感悟　一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式,有时我们把含多个字母的不等式中指明未知数,其余字母看成相关的参数.
跟踪训练1　若把ab≠0,a2b+2ab2+9>0看成关于a的一元二次不等式,则a的二次项系数为　　　　.
答案　b
解析　由ab≠0知,b≠0且a≠0,
a2b+2ab2+9>0可化为ba2+2b2a+9>0,
故a的二次项系数为b.
二、一元二次不等式的解法
问题2　如课本51页图2.3-1,二次函数y=x2-12x+20的图象与x轴有两个交点,这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系
提示　函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根.
问题3　你能从二次函数y=x2-12x+20的图象上找到x2-12x+20<0的解集吗
提示　从图象上看,位于x轴上方的函数值大于零,位于x轴下方的函数值小于零,故x2-12x+20<0的解集为{x|2知识梳理
1.一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1注意点:
(1)零点不是点,而是函数的图象与x轴交点的横坐标.
(2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(3)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集.
例2　解下列不等式:
(1)-2x2+x-6<0;
(2)-x2+6x-9≥0;
(3)x2-2x-3>0.
解　(1)原不等式可化为2x2-x+6>0.
因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0,所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图所示).结合图象可得,原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2-6x+9≤0,即(x-3)2≤0,函数y=(x-3)2的图象如图所示,
结合图象可得,原不等式的解集为{x|x=3}.
(3)方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1,x2=3.
函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0),如图所示.结合图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}.
反思感悟　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.结合图象写出不等式的解集.
跟踪训练2　解下列不等式:
(1)x2-5x-6>0;
(2)(2-x)(x+3)<0.
解　(1)方程x2-5x-6=0的两根为
x1=-1,x2=6.
结合二次函数y=x2-5x-6的图象知,原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0.
方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3.
结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.
三、含参的一元二次不等式的解法
例3　解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R,a≥0).
解　原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,
解得x≥或x≤-1.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为.
延伸探究　若把本例中的“a≥0”改为“a<0”,求该不等式的解集.
解　当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0.
当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;
当=-1,即a=-2时,解得x=-1;
当<-1,即-2综上所述,当-2当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为.
反思感悟　在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两不同实根(Δ>0),两相同实根(Δ=0),无根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1跟踪训练3　解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.
解　原不等式可化为(x+1)(x-a)<0,
方程x2+(1-a)x-a=0的两根为
x1=-1,x2=a.
又函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,
则当a<-1时,原不等式的解集为{x|a当a=-1时,原不等式的解集为 ;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.知识清单:
(1)一元二次不等式的概念及解法.
(2)含参的一元二次不等式的解法.
2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区:解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准.
1.函数y=x2-4x+4的零点是 (　　)
A.(2,0) B.(0,4)
C.±2 D.2
答案　D
2.不等式3x2-2x+1>0的解集为 (　　)
A.
B.
C.
D.R
答案　D
解析　因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0,
所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R.
3.不等式3+5x-2x2≤0的解集为 (　　)
A.
B.
C.
D.R
答案　C
解析　3+5x-2x2≤0可化为2x2-5x-3≥0,
即(x-3)(2x+1)≥0,解得x≥3或x≤-.
4.若0答案　
解析　∵01>m,
故原不等式的解集为.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共12分
1.下列不等式中是一元二次不等式的是 (　　)
A.ax2+bx+c>0 B.x3+5x-6>0
C.-x2-x≤5 D.mx2-5y<0
答案　C
2.(多选)函数y=x2-4x+3的零点为 (　　)
A.(1,0) B.1
C.(3,0) D.3
答案　BD
3.不等式9x2+6x+1≤0的解集是 (　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　原不等式可化为(3x+1)2≤0,
令3x+1=0,解得x=-.
故不等式的解集为.
4.不等式>0的解集是 (　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
5.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是 (　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　方法一　取x=1检验,满足,排除A;
取x=4检验,不满足,排除B,C.
方法二　原不等式可化为2x2+7x-9≤0,
即(x-1)(2x+9)≤0,解得-≤x≤1.
6.(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2-(2a-1)x-2>0,其中a<0,则该不等式的解集可能是 (　　)
A.
B.
C.
D.
答案　ABD
解析　不等式变形为(x-2)(ax+1)>0,
又a<0,所以(x-2)<0,
当a=-时,不等式的解集为 ;
当a<-时,解得-当-因此该不等式的解集可能为ABD.
7.(5分)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　　　　.
答案　{x|x<-2或x>3}
解析　根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图,如图.
由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是
{x|x<-2或x>3}.
8.(5分)若a<0,则关于x的不等式a(x+1)<0的解集为　　　　　　　　.
答案　
解析　因为a<0,所以原不等式等价于(x+1)·>0,方程(x+1)=0的两根为-1,-,显然->0>-1,所以原不等式的解集为.
9.(10分)解不等式:
(1)x2+x-6≤0;(5分)
(2)6-2x2-x<0.(5分)
解　(1)原不等式等价于(x+3)(x-2)≤0,
解得-3≤x≤2,
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于2x2+x-6>0,
即(2x-3)(x+2)>0,
解得x<-2或x>,
所以原不等式的解集为.
10.(11分)已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0.
(1)当a=2时,解上述不等式;(5分)
(2)当a∈R时,解上述关于x的不等式.(6分)
解　(1)当a=2时,x2-(a+1)x+a<0 x2-3x+2<0 (x-1)(x-2)<0,解得1则不等式的解集为{x|1(2)注意到x2-(a+1)x+a<0
(x-a)(x-1)<0,
①当a>1时,不等式的解集为{x|1②当a=1时,不等式的解集为 ;
③当a<1时,不等式的解集为{x|a11.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　)
A.{x|x<-n或x>m}
B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n}
D.{x|-m答案　B
解析　方程(m-x)(n+x)=0的两根为m,-n,
因为m+n>0,所以m>-n,
结合函数y=(m-x)(n+x)的图象(图略),
得不等式的解集是{x|-n12.设[x]表示不超过x的最大整数,如[4.1]=4,[-1.1]=-2,则不等式[x]2-[x]-6≤0的解集是 (　　)
A.{x|-3≤x≤4} B.{x|-3≤x<4}
C.{x|-2≤x≤4} D.{x|-2≤x<4}
答案　D
解析　解关于[x]的不等式[x]2-[x]-6≤0,得-2≤[x]≤3,
由于[x]表示不超过x的最大整数,可得-2≤x<4.
13.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 (　　)
A.{x|0B.{x|-2C.{x|x<-2或x>1}
D.{x|-1答案　B
解析　根据给出的定义得,
x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)
=x2+x-2=(x+2)(x-1),
又x☉(x-2)<0,即(x+2)(x-1)<0,
故实数x的取值范围为{x|-214.(5分)若关于x的不等式x2-mx<0恰有一个整数解1,则m的取值范围为　　　　.
答案　1解析　由x2-mx<0可知x(x-m)<0,
∵x2-mx<0恰有一个整数解1,
∴0∴115.已知p:(x-m)2>3(x-m)是q:x2-3x-4≤0成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 (　　)
A.{m|m≤-4或m≥4} B.{m|m<-4或m>4}
C.{m|-4答案　B
解析　对于p,不等式(x-m)2>3(x-m)即(x-m)[x-(m+3)]>0,
则不等式的解集为P={x|xm+3};
又q:x2-3x-4≤0,
则不等式的解集为Q={x|-1≤x≤4},
又已知p是q成立的必要不充分条件,
则Q是P的真子集,
所以m>4或m+3<-1,即m>4或m<-4,
故实数m的取值范围为{m|m<-4或m>4}.
16.(12分)解关于x的不等式x2-2ax+2≤0.
解　因为Δ=4a2-8,所以当Δ<0,即-所以原不等式的解集为 ;
当Δ=0,即a=±时,原不等式对应的方程有两个相等实根,
当a=时,原不等式的解集为{x|x=},
当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-};
当Δ>0,即a>或a<-时,原不等式对应的方程有两个不等实根,分别为x1=a-,x2=a+,且x1综上所述,当-当a=时,原不等式的解集为{x|x=};
当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-};
当a>或a<-时,原不等式的解集为
{x|a-≤x≤a+}.(共60张PPT)
第1课时
第二章
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二次函数与一元二次方程、不等式
1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系.(重点)
2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.(重难点)
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(重点)
学习目标
同学们,我国历史上有很多杰出的数学家,比如祖冲之、秦九韶等,我们古代的数学重点在于“算”.既然要算,那么对于“二次方程”必然有所涉猎!比如我们所熟悉的《九章算术》,但是《九章算术》的一贯作风是给个问题,配个答案,剩下的自己去想,至于如何解方程,这就需要大家来解决了.实际上,对于求解一元二次方程的方法有很多,比如我们所熟悉的求根公式、配方法,而比较好用的还是十字相乘法.
导 语
一、一元二次不等式的概念
二、一元二次不等式的解法
课时对点练
三、含参的一元二次不等式的解法
随堂演练
内容索引
一元二次不等式的概念
一
提示　设这个矩形的一条边长为x m,则另一条边长为(12-x)m.
由题意,得(12-x)x>20,其中x∈{x|0整理得x2-12x+20<0,x∈{x|0园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的边长要满足什么条件
问题1
定义 一般地,我们把只含有一个　　　　,并且未知数的最高次数是__
的不等式,称为一元二次不等式
一般 形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0
未知数
2
下列不等式中是一元二次不等式的为
A.ax2+2x+1>0 B.x2-y>0
C.-x2-3x<0 D.>0
例 1
√
由一元二次不等式定义可知,C正确.
一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式,有时我们把含多个字母的不等式中指明未知数,其余字母看成相关的参数.
反
思
感
悟
若把ab≠0,a2b+2ab2+9>0看成关于a的一元二次不等式,则a的二次项系数为　　　　.
跟踪训练 1
b
由ab≠0知,b≠0且a≠0,
a2b+2ab2+9>0可化为ba2+2b2a+9>0,
故a的二次项系数为b.
二
一元二次不等式的解法
提示　函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根.
如课本51页图2.3-1,二次函数y=x2-12x+20的图象与x轴有两个交点,这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系
问题2
你能从二次函数y=x2-12x+20的图象上找到x2-12x+20<0的解集吗
问题3
提示　从图象上看,位于x轴上方的函数值大于零,位于x轴下方的函数值小于零,故x2-12x+20<0的解集为{x|21.一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使 的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的　　　.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
ax2+bx+c=0
零点
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ______________ ______________ ____
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 __________ ___ ___
{x|xx2}
R
{x|x1

(1)零点不是点,而是函数的图象与x轴交点的横坐标.
(2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(3)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集.
注 意 点
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解下列不等式:
(1)-2x2+x-6<0;
例 2
原不等式可化为2x2-x+6>0.
因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0,所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图所示).
结合图象可得,原不等式的解集为R.
(2)-x2+6x-9≥0;
原不等式可化为x2-6x+9≤0,即(x-3)2≤0,函数y=(x-3)2的图象如图所示,
结合图象可得,原不等式的解集为{x|x=3}.
(3)x2-2x-3>0.
方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1,x2=3.
函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0),如图所示.
结合图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}.
反
思
感
悟
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.结合图象写出不等式的解集.
解下列不等式:
(1)x2-5x-6>0;
跟踪训练 2
方程x2-5x-6=0的两根为
x1=-1,x2=6.
结合二次函数y=x2-5x-6的图象知,原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}.
(2)(2-x)(x+3)<0.
原不等式可化为(x-2)(x+3)>0.
方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3.
结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.
含参的一元二次不等式的解法
三
解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R,a≥0).
例 3
原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,
解得x≥或x≤-1.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为.
若把本例中的“a≥0”改为“a<0”,求该不等式的解集.
延伸探究
当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0.
当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;
当=-1,即a=-2时,解得x=-1;
当<-1,即-2综上所述,当-2当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为.
反
思
感
悟
在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两不同实根(Δ>0),两相同实根(Δ=0),无根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.
跟踪训练 3
原不等式可化为(x+1)(x-a)<0,
方程x2+(1-a)x-a=0的两根为
x1=-1,x2=a.
又函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,
则当a<-1时,原不等式的解集为{x|a当a=-1时,原不等式的解集为 ;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.知识清单:
(1)一元二次不等式的概念及解法.
(2)含参的一元二次不等式的解法.
2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区:解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准.
随堂演练
四
1.函数y=x2-4x+4的零点是
A.(2,0) B.(0,4)
C.±2 D.2
√
1
2
3
4
2.不等式3x2-2x+1>0的解集为
A. B.
C. D.R
因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0,
所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R.
√
1
2
3
4
3.不等式3+5x-2x2≤0的解集为
A.
B.
C.
D.R
1
2
3
4
√
1
2
3
4
3+5x-2x2≤0可化为2x2-5x-3≥0,
即(x-3)(2x+1)≥0,解得x≥3或x≤-.
4.若01
2
3
4
∵01>m,
故原不等式的解集为.
课时对点练
五
1.下列不等式中是一元二次不等式的是
A.ax2+bx+c>0 B.x3+5x-6>0
C.-x2-x≤5 D.mx2-5y<0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
√
2.(多选)函数y=x2-4x+3的零点为
A.(1,0) B.1
C.(3,0) D.3
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3.不等式9x2+6x+1≤0的解集是
A.
B.
C.
D.
1
2
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√
原不等式可化为(3x+1)2≤0,
令3x+1=0,解得x=-.
故不等式的解集为.
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4.不等式>0的解集是
A. B.
C. D.
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5.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是
A.
B.
C.
D.
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√
方法一　取x=1检验,满足,排除A;
取x=4检验,不满足,排除B,C.
方法二　原不等式可化为2x2+7x-9≤0,
即(x-1)(2x+9)≤0,解得-≤x≤1.
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6.(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2-(2a-1)x-2>0,其中a<0,则该不等式的解集可能是
A.
B.
C.
D.
√
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√
√
不等式变形为(x-2)(ax+1)>0,
又a<0,所以(x-2)<0,
当a=-时,不等式的解集为 ;
当a<-时,解得-当-因此该不等式的解集可能为ABD.
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7.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
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x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　　　　.
{x|x<-2或x>3}
根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图,如图.
由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是
{x|x<-2或x>3}.
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8.若a<0,则关于x的不等式a(x+1)<0的解集为　　　　　　　　 .
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因为a<0,所以原不等式等价于(x+1)·>0,方程(x+1)=0的两根为-1,-,显然->0>-1,
所以原不等式的解集为.
9.解不等式:
(1)x2+x-6≤0;
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原不等式等价于(x+3)(x-2)≤0,
解得-3≤x≤2,
所以原不等式的解集为.
(2)6-2x2-x<0.
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原不等式等价于2x2+x-6>0,
即(2x-3)(x+2)>0,
解得x<-2或x>,
所以原不等式的解集为.
10.已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0.
(1)当a=2时,解上述不等式;
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当a=2时,x2-(a+1)x+a<0 x2-3x+2<0 (x-1)(x-2)<0,解得1则不等式的解集为{x|1(2)当a∈R时,解上述关于x的不等式.
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注意到x2-(a+1)x+a<0
(x-a)(x-1)<0,
①当a>1时,不等式的解集为{x|1②当a=1时,不等式的解集为 ;
③当a<1时,不等式的解集为{x|a11.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是
A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m√
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综合运用
方程(m-x)(n+x)=0的两根为m,-n,
因为m+n>0,所以m>-n,
结合函数y=(m-x)(n+x)的图象(图略),
得不等式的解集是{x|-n12.设[x]表示不超过x的最大整数,如[4.1]=4,[-1.1]=-2,则不等式[x]2-[x]-6≤0的解集是
A.{x|-3≤x≤4} B.{x|-3≤x<4}
C.{x|-2≤x≤4} D.{x|-2≤x<4}
解关于[x]的不等式[x]2-[x]-6≤0,得-2≤[x]≤3,
由于[x]表示不超过x的最大整数,可得-2≤x<4.
√
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13.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为
A.{x|0C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1根据给出的定义得,
x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)
=x2+x-2=(x+2)(x-1),
又x☉(x-2)<0,即(x+2)(x-1)<0,
故实数x的取值范围为{x|-2√
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14.若关于x的不等式x2-mx<0恰有一个整数解1,则m的取值范围为　　　　 .
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1由x2-mx<0可知x(x-m)<0,
∵x2-mx<0恰有一个整数解1,
∴0∴1拓广探究
15.已知p:(x-m)2>3(x-m)是q:x2-3x-4≤0成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为
A.{m|m≤-4或m≥4} B.{m|m<-4或m>4}
C.{m|-4√
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对于p,不等式(x-m)2>3(x-m)即(x-m)[x-(m+3)]>0,
则不等式的解集为P={x|xm+3};
又q:x2-3x-4≤0,
则不等式的解集为Q={x|-1≤x≤4},
又已知p是q成立的必要不充分条件,
则Q是P的真子集,
所以m>4或m+3<-1,即m>4或m<-4,
故实数m的取值范围为{m|m<-4或m>4}.
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16.解关于x的不等式x2-2ax+2≤0.
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因为Δ=4a2-8,所以当Δ<0,即-时,原不等式对应的方程无实根,又二次函数y=x2-2ax+2的图象开口向上,
所以原不等式的解集为 ;
当Δ=0,即a=±时,原不等式对应的方程有两个相等实根,
当a=时,原不等式的解集为{x|x=},
当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-};
当Δ>0,即a>或a<-时,原不等式对应的方程有两个不等实根,
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分别为x1=a-,且x1所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.
综上所述,当-时,原不等式的解集为 ;
当a=时,原不等式的解集为{x|x=};
当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-};
当a>或a<-时,原不等式的解集为
{x|a-≤x≤a+}.
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16第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
[学习目标]　1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系.(重点)2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.(重难点)3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(重点)
一、一元二次不等式的概念
问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的边长要满足什么条件
知识梳理
定义 一般地,我们把只含有一个_________,并且未知数的最高次数是_________的不等式,称为一元二次不等式
一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0
例1　下列不等式中是一元二次不等式的为 (　　)
A.ax2+2x+1>0 B.x2-y>0
C.-x2-3x<0 D.>0
反思感悟　一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式,有时我们把含多个字母的不等式中指明未知数,其余字母看成相关的参数.
跟踪训练1　若把ab≠0,a2b+2ab2+9>0看成关于a的一元二次不等式,则a的二次项系数为　　　　.
二、一元二次不等式的解法
问题2　如课本51页图2.3-1,二次函数y=x2-12x+20的图象与x轴有两个交点,这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系
问题3　你能从二次函数y=x2-12x+20的图象上找到x2-12x+20<0的解集吗
知识梳理
1.一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使_________的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的_________.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
例2　解下列不等式:
(1)-2x2+x-6<0;
(2)-x2+6x-9≥0;
(3)x2-2x-3>0.
反思感悟　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.结合图象写出不等式的解集.
跟踪训练2　解下列不等式:
(1)x2-5x-6>0;
(2)(2-x)(x+3)<0.
三、含参的一元二次不等式的解法
例3　解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R,a≥0).
延伸探究　若把本例中的“a≥0”改为“a<0”,求该不等式的解集.
反思感悟　在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两不同实根(Δ>0),两相同实根(Δ=0),无根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1跟踪训练3　解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.
1.知识清单:
(1)一元二次不等式的概念及解法.
(2)含参的一元二次不等式的解法.
2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区:解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准.
1.函数y=x2-4x+4的零点是 (　　)
A.(2,0) B.(0,4)
C.±2 D.2
2.不等式3x2-2x+1>0的解集为 (　　)
A.
B.
C.
D.R
3.不等式3+5x-2x2≤0的解集为 (　　)
A.
B.
C.
D.R
4.若0答案精析
问题1　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12-x)m.
由题意，得(12-x)x>20，其中x∈{x|0整理得x2-12x+20<0，x∈{x|0知识梳理
未知数　2
例1　C
跟踪训练1　b
问题2　函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根.
问题3　从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2-12x+20<0的解集为{x|2知识梳理
1.ax2+bx+c=0　零点
2.{x|xx2}
　R
{x|x1例2　解　(1)原不等式可化为2x2-x+6>0.
因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0，所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示).结合图象可得，原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2-6x+9≤0，即(x-3)2≤0，函数y=(x-3)2的图象如图所示，
结合图象可得，原不等式的解集为{x|x=3}.
(3)方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1，x2=3.
函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(-1，0)和(3，0)，如图所示.结合图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}.
跟踪训练2　解　(1)方程x2-5x-6=0的两根为
x1=-1，x2=6.
结合二次函数y=x2-5x-6的图象知，原不等式的解集为
{x|x<-1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0.
方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2，x2=-3.
结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知，原不等式的解集为
{x|x<-3或x>2}.
例3　解　原不等式可化为
ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时，原不等式化为x+1≤0，解得x≤-1.
②当a>0时，原不等式化为(x+1)≥0，
解得x≥或x≤-1.
综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤-1}；
当a>0时，不等式的解集为.
延伸探究　解　当a<0时，原不等式化为(x+1)≤0.
当>-1，即a<-2时，
解得-1≤x≤；
当=-1，即a=-2时，
解得x=-1；
当<-1，即-2解得≤x≤-1.
综上所述，当-2当a=-2时，不等式的解集为{-1}；
当a<-2时，不等式的解集为.
跟踪训练3　解　原不等式可化为
(x+1)(x-a)<0，
方程x2+(1-a)x-a=0的两根为
x1=-1，x2=a.
又函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上，
则当a<-1时，原不等式的解集为{x|a当a=-1时，原不等式的解集为 ；
当a>-1时，原不等式的解集为
{x|-1随堂演练
1.D　2.D　3.C　4.作业14　二次函数与一元二次方程、不等式
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共12分
1.下列不等式中是一元二次不等式的是 (　　)
A.ax2+bx+c>0 B.x3+5x-6>0
C.-x2-x≤5 D.mx2-5y<0
2.(多选)函数y=x2-4x+3的零点为 (　　)
A.(1,0) B.1
C.(3,0) D.3
3.不等式9x2+6x+1≤0的解集是 (　　)
A.
B.
C.
D.
4.不等式>0的解集是 (　　)
A.
B.
C.
D.
5.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是 (　　)
A.
B.
C.
D.
6.(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2-(2a-1)x-2>0,其中a<0,则该不等式的解集可能是 (　　)
A.
B.
C.
D.
7.(5分)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　　　　.
8.(5分)若a<0,则关于x的不等式a(x+1)<0的解集为　　　　　　　　.
9.(10分)解不等式:
(1)x2+x-6≤0;(5分)
(2)6-2x2-x<0.(5分)
10.(11分)已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0.
(1)当a=2时,解上述不等式;(5分)
(2)当a∈R时,解上述关于x的不等式.(6分)
11.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　)
A.{x|x<-n或x>m}
B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n}
D.{x|-m12.设[x]表示不超过x的最大整数,如[4.1]=4,[-1.1]=-2,则不等式[x]2-[x]-6≤0的解集是 (　　)
A.{x|-3≤x≤4} B.{x|-3≤x<4}
C.{x|-2≤x≤4} D.{x|-2≤x<4}
13.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 (　　)
A.{x|0B.{x|-2C.{x|x<-2或x>1}
D.{x|-114.(5分)若关于x的不等式x2-mx<0恰有一个整数解1,则m的取值范围为　　　　.
15.已知p:(x-m)2>3(x-m)是q:x2-3x-4≤0成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 (　　)
A.{m|m≤-4或m≥4} B.{m|m<-4或m>4}
C.{m|-416.(12分)解关于x的不等式x2-2ax+2≤0.
答案精析
1.C　2.BD　3.D　4.D　5.D
6.ABD　[不等式变形为
(x-2)(ax+1)>0，
又a<0，所以(x-2)<0，
当a=-时，不等式的解集为 ；
当a<-时，解得-当-因此该不等式的解集可能为ABD.]
7.{x|x<-2或x>3}
8.
9.解　(1)原不等式等价于
(x+3)(x-2)≤0，
解得-3≤x≤2，
所以原不等式的解集为
.
(2)原不等式等价于2x2+x-6>0，
即(2x-3)(x+2)>0，
解得x<-2或x>，
所以原不等式的解集为
.
10.解　(1)当a=2时，x2-(a+1)x+a<0 x2-3x+2<0 (x-1)(x-2)<0，解得1则不等式的解集为{x|1(2)注意到x2-(a+1)x+a<0
(x-a)(x-1)<0，
①当a>1时，不等式的解集为
{x|1②当a=1时，不等式的解集为 ；
③当a<1时，不等式的解集为
{x|a11.B　[方程(m-x)(n+x)=0的两根为m，-n，
因为m+n>0，所以m>-n，
结合函数y=(m-x)(n+x)的图象(图略)，得不等式的解集是
{x|-n12.D　[解关于[x]的不等式[x]2-[x]-6≤0，得-2≤[x]≤3，
由于[x]表示不超过x的最大整数，可得-2≤x<4.]
13.B　[根据给出的定义得，
x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)
=x2+x-2=(x+2)(x-1)，
又x☉(x-2)<0，即(x+2)(x-1)<0，
故实数x的取值范围为
{x|-214.1解析　由x2-mx<0可知
x(x-m)<0，
∵x2-mx<0恰有一个整数解1，
∴0∴115.B　[对于p，不等式(x-m)2>3(x-m)即(x-m)[x-(m+3)]>0，
则不等式的解集为
P={x|xm+3}；
又q：x2-3x-4≤0，
则不等式的解集为
Q={x|-1≤x≤4}，
又已知p是q成立的必要不充分条件，
则Q是P的真子集，
所以m>4或m+3<-1，
即m>4或m<-4，
故实数m的取值范围为
{m|m<-4或m>4}.]
16.解　因为Δ=4a2-8，所以当Δ<0，即-所以原不等式的解集为 ；
当Δ=0，即a=±时，原不等式对应的方程有两个相等实根，
当a=时，原不等式的解集为
{x|x=}，
当a=-时，原不等式的解集为
{x|x=-}；
当Δ>0，即a>或a<-时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1=a-，x2=a+，且x1综上所述，当-当a=时，原不等式的解集为
{x|x=}；
当a=-时，原不等式的解集为
{x|x=-}；
当a>或a<-时，原不等式的解集为
{x|a-≤x≤a+}.

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