资源简介

习题课　不等式恒成立、能成立问题
[学习目标]　会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题.(重点)
一、在R上的恒成立问题
例1　已知 x∈R,不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围.
解　当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意;
当k≠0时,令y=kx2+2kx-(k+2),
∵y<0恒成立,∴其图象都在x轴的下方,
即开口向下,且与x轴无交点.
∴解得-1综上,实数k的取值范围是{k|-1反思感悟　转化为一元二次不等式解集为R的情况
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
提醒:若题目中未强调是一元二次不等式,且二次项系数含参,则一定要讨论二次项系数是否为0.
跟踪训练1　已知 x∈R,不等式x2+ax+3≥a恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.
答案　{a|-6≤a≤2}
解析　原不等式可化为x2+ax+3-a≥0,
∵函数y=x2+ax+3-a的图象开口向上,
∴Δ=a2-4(3-a)=a2+4a-12≤0,
即(a-2)(a+6)≤0,∴-6≤a≤2,
∴实数a的取值范围为{a|-6≤a≤2}.
二、在给定范围上的恒成立问题
例2　当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
解　令y=x2+mx+4,
∵y<0在1≤x≤2上恒成立,
∴y=0的根一个小于1,另一个大于2.
如图,可得
解得m<-5,
∴实数m的取值范围是{m|m<-5}.
反思感悟　在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
(2)当a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
跟踪训练2　命题“ x∈{x|1≤x≤2},x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 (　　)
A.a≥4 B.a≥5
C.a≤4 D.a≤5
答案　B
解析　因为命题“ x∈{x|1≤x≤2},x2-a≤0”是真命题,
所以当1≤x≤2时,a≥x2恒成立,
所以a≥4,
结合选项,该命题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
三、解决简单的能成立问题
例3　当10有解,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
答案　{m|m>-5}
解析　记y=x2+mx+4,则由二次函数的图象(图略)知,不等式x2+mx+4>0(10或2m+8>0,解得m>-5.
反思感悟　解决能成立问题的方法
(1)结合二次函数图象,将问题转化为端点值的问题解决.
(2)对一些简单的问题,可转化为m>ymin或m跟踪训练3　若存在x∈R,使得≥2成立,求实数m的取值范围.
解　∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
∴4x+m≥2(x2-2x+3)能成立,
∴m≥2x2-8x+6能成立,
又2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2,
∴m≥-2,
∴实数m的取值范围为{m|m≥-2}.
1.知识清单:
(1)在R上的恒成立问题.
(2)给定范围上的恒成立问题.
(3)解决简单的能成立问题.
2.方法归纳:等价转换法、数形结合法.
3.常见误区:要注意端点值的取舍.
1.若关于x的不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是 (　　)
A.{m|m≥2}
B.{m|m≤-2}
C.{m|m≤-2或m≥2}
D.{m|-2≤m≤2}
答案　D
解析　不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2,故实数m的取值范围是{m|-2≤m≤2}.
2.若对于任意x∈R,都有意义,则m的取值范围是 (　　)
A.{m|m≥2} B.{m|0C.{m|0≤m≤2} D.{m|0≤m≤4}
答案　C
解析　令y=,
当m=0时,函数y=,符合题意;
当m≠0时,mx2+2mx+2≥0恒成立,
则即解得0综上,实数m的取值范围是{m|0≤m≤2}.
3.若当1≤x≤2时,x2-ax>0恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
答案　D
解析　x2-ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x-a>0在1≤x≤2上恒成立,故1-a>0,即a<1.
4.若命题“ x∈R,x2-2mx+m+2<0”为真命题,则实数m的取值范围是　　　　.
答案　m<-1或m>2
解析　“ x∈R,x2-2mx+m+2<0”为真命题,
故Δ=4m2-4(m+2)>0,解得m<-1或m>2.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共50分
1.一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数的条件是 (　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数等价于二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴下方,需要开口向下,且与x轴无交点,故需要
2.若关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,则实数m的取值范围是 (　　)
A.{m|m≤-2或m≥2}
B.{m|-2≤m≤2}
C.{m|m<-2或m>2}
D.{m|-2答案　A
解析　因为关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,
所以Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.
3.已知关于x的不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是 (　　)
A.{a|-4≤a≤4}
B.{a|-4C.{a|a≤-4或a≥4}
D.{a|a<-4或a>4}
答案　A
解析　由题意得,Δ=a2-16≤0,解得-4≤a≤4.
4.若当1≤x≤4时,不等式x2-(m+1)x+9≤0有解,则实数m的最小值为 (　　)
A.9 B.5
C.6 D.
答案　B
解析　因为当1≤x≤4时,不等式x2-(m+1)x+9≤0有解,
所以m+1≥x+有解,
又因为x+≥2=6,
当且仅当x=,即x=3时取等号,
所以当1≤x≤4时,x+的最小值为6,
所以m+1≥6,即m≥5,故m的最小值为5.
5.若关于x的不等式ax2-2x+1<0有解,则实数a的取值范围为 (　　)
A.a<1 B.a≤1
C.a<2 D.a<0
答案　A
解析　因为ax2-2x+1<0有解,显然a≤0时恒成立;
又由解得0综上,a<1.
6.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+A.{m|-13}
C.{m|-44}
答案　D
解析　因为正实数x,y满足+=1,
所以x+==2++≥2+2=4,当且仅当x=2,y=8时,等号成立,x+取得最小值4.
由x+4,
解得m>4或m<-1.
7.(5分)若关于x的不等式x2+(m-3)x+m<0无解,则实数m的取值范围是　　　　.
答案　{m|1≤m≤9}
解析　由题意得Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9≤0,
解得1≤m≤9.
8.(5分)若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是　　　　　　　　.
答案　{k|-3解析　当k=1时,-1<0恒成立;
当k≠1时,由题意得
解得-3综上所述,实数k的取值范围为{k|-39.(10分)对于 x∈{x|2≤x≤3},不等式mx2-mx-1<0恒成立,求m的取值范围.
解　由不等式mx2-mx-1<0,得m(x2-x)<1,
因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2-x>0,
所以m(x2-x)<1可化为m<,
因为x2-x=-≤6,
所以≥,所以m<.
即m的取值范围是.
10.(12分)已知关于x的不等式2x2+bx+c<20的解集为{x|-4(1)求b,c的值;(6分)
(2)若当2解　(1)由题意知,2x2+bx+c-20<0的解集为{x|-4∴-4和1是方程2x2+bx+c-20=0的两个根,
由根与系数的关系可得解得
(2)∵当2∴m>2x++6有解,
当2∴m>4+6.
11.已知p:2a+3<0,且q: x∈R,x2-(2a-1)x+1<0为真命题,则p是q的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　2a+3<0 a<-,即p:a<-;
又由“ x∈R,x2-(2a-1)x+1<0”为真命题,得(2a-1)2-4>0,
即(2a+1)(2a-3)>0,解得a>或a<-,
即q:a>或a<-.
所以p是q的充分不必要条件.
12.若不等式(a-3)x2+2(a-2)x-4<0对于一切x∈R恒成立,则a的取值范围是 (　　)
A.{a|a≤2} B.{a|-2≤a≤2}
C.{a|-2答案　C
解析　当a-3=0,即a=3时,不等式化为2x-4<0,解得x<2,不满足题意;
当a≠3时,
需满足
解得
∴-2综上,实数a的取值范围是{a|-213.对任意x满足-1≤x≤2,不等式x2-2x+a<0恒成立的必要不充分条件是 (　　)
A.a<-3 B.a<-4
C.a<0 D.a>0
答案　C
解析　因为x2-2x+a<0,
所以a<-x2+2x,
又因为-1≤x≤2,
所以-x2+2x=-(x-1)2+1≥-3,
所以a<-3,
又因为求“对任意x满足-1≤x≤2,不等式x2-2x+a<0恒成立的必要不充分条件”.
所以C正确.
14.(5分)关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
答案　
解析　当a2-1=0时,a=1或a=-1,
若a=1,不等式为-1≤0,恒成立;
若a=-1,不等式为2x-1≤0,
解得x≤,不符合题意.
当a2-1≠0时,
若要不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R,
则a2-1<0,且Δ=(a-1)2+4(a2-1)≤0,
解得-≤a<1.
综上可得,实数a的取值范围是.
15.如果不等式<1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.R
B.{m|m<3}
C.{m|m<1或m>2}
D.{m|1答案　D
解析　∵4x2+6x+3=4+
=4+>0,
∴2x2+2mx+m<4x2+6x+3,
即2x2+(6-2m)x+3-m>0对 x∈R恒成立,
Δ=(6-2m)2-4×2(3-m)=4m2-24m+36-24+8m=4m2-16m+12<0,
∴1故m的取值范围为{m|116.(13分)已知函数y=mx2-mx-6+m,若对于1≤m≤3,y<0恒成立,求实数x的取值范围.
解　由题意得y=mx2-mx-6+m<0,
即(x2-x+1)m-6<0.
∵1≤m≤3,
∴x2-x+1<恒成立,
∴x2-x+1<,即x2-x-1<0,
解得∴实数x的取值范围为.(共48张PPT)
习题课
第二章
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不等式恒成立、能成立问题
会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题.(重点)
学习目标
一、在R上的恒成立问题
二、在给定范围上的恒成立问题
课时对点练
三、解决简单的能成立问题
随堂演练
内容索引
在R上的恒成立问题
一
已知 x∈R,不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围.
例 1
当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意;
当k≠0时,令y=kx2+2kx-(k+2),
∵y<0恒成立,∴其图象都在x轴的下方,
即开口向下,且与x轴无交点.
∴解得-1综上,实数k的取值范围是{k|-1转化为一元二次不等式解集为R的情况
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
提醒:若题目中未强调是一元二次不等式,且二次项系数含参,则一定要讨论二次项系数是否为0.
反
思
感
悟
已知 x∈R,不等式x2+ax+3≥a恒成立,则实数a的取值范围为　　　　 .
跟踪训练 1
{a|-6≤a≤2}
原不等式可化为x2+ax+3-a≥0,
∵函数y=x2+ax+3-a的图象开口向上,
∴Δ=a2-4(3-a)=a2+4a-12≤0,
即(a-2)(a+6)≤0,∴-6≤a≤2,
∴实数a的取值范围为{a|-6≤a≤2}.
二
在给定范围上的恒成立问题
当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
例 2
令y=x2+mx+4,
∵y<0在1≤x≤2上恒成立,
∴y=0的根一个小于1,另一个大于2.
如图,可得
解得m<-5,
∴实数m的取值范围是{m|m<-5}.
反
思
感
悟
在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
(2)当a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
命题“ x∈{x|1≤x≤2},x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是
A.a≥4 B.a≥5
C.a≤4 D.a≤5
跟踪训练 2
√
因为命题“ x∈{x|1≤x≤2},x2-a≤0”是真命题,
所以当1≤x≤2时,a≥x2恒成立,
所以a≥4,
结合选项,该命题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
解决简单的能成立问题
三
当10有解,则实数m的取值范围为　　　　　.
例 3
{m|m>-5}
记y=x2+mx+4,则由二次函数的图象(图略)知,不等式x2+mx+4>0(10或2m+8>0,解得m>-5.
反
思
感
悟
解决能成立问题的方法
(1)结合二次函数图象,将问题转化为端点值的问题解决.
(2)对一些简单的问题,可转化为m>ymin或m若存在x∈R,使得≥2成立,求实数m的取值范围.
跟踪训练 3
∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
∴4x+m≥2(x2-2x+3)能成立,
∴m≥2x2-8x+6能成立,
又2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2,
∴m≥-2,
∴实数m的取值范围为{m|m≥-2}.
1.知识清单:
(1)在R上的恒成立问题.
(2)给定范围上的恒成立问题.
(3)解决简单的能成立问题.
2.方法归纳:等价转换法、数形结合法.
3.常见误区:要注意端点值的取舍.
随堂演练
四
1.若关于x的不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是
A.{m|m≥2} B.{m|m≤-2}
C.{m|m≤-2或m≥2} D.{m|-2≤m≤2}
不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2,故实数m的取值范围是{m|-2≤m≤2}.
√
1
2
3
4
2.若对于任意x∈R,都有意义,则m的取值范围是
A.{m|m≥2} B.{m|0C.{m|0≤m≤2} D.{m|0≤m≤4}
令y=,
当m=0时,函数y=,符合题意;
当m≠0时,mx2+2mx+2≥0恒成立,
则解得0综上,实数m的取值范围是{m|0≤m≤2}.
√
1
2
3
4
3.若当1≤x≤2时,x2-ax>0恒成立,则实数a的取值范围是
A.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
x2-ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x-a>0在1≤x≤2上恒成立,故1-a>0,即a<1.
√
1
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4.若命题“ x∈R,x2-2mx+m+2<0”为真命题,则实数m的取值范围是　　　　 .
1
2
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4
m<-1或m>2
“ x∈R,x2-2mx+m+2<0”为真命题,
故Δ=4m2-4(m+2)>0,解得m<-1或m>2.
课时对点练
五
1.一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数的条件是
A. B.
C. D.
√
1
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9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数等价于二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴下方,需要开口向下,且与x轴无交点,故需要
1
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2.若关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,则实数m的取值范围是
A.{m|m≤-2或m≥2}
B.{m|-2≤m≤2}
C.{m|m<-2或m>2}
D.{m|-2因为关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,
所以Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.
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3.已知关于x的不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是
A.{a|-4≤a≤4} B.{a|-4C.{a|a≤-4或a≥4} D.{a|a<-4或a>4}
由题意得,Δ=a2-16≤0,解得-4≤a≤4.
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4.若当1≤x≤4时,不等式x2-(m+1)x+9≤0有解,则实数m的最小值为
A.9 B.5
C.6 D.
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因为当1≤x≤4时,不等式x2-(m+1)x+9≤0有解,
所以m+1≥x+有解,
又因为x+≥2=6,
当且仅当x=,即x=3时取等号,
所以当1≤x≤4时,x+的最小值为6,
所以m+1≥6,即m≥5,故m的最小值为5.
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5.若关于x的不等式ax2-2x+1<0有解,则实数a的取值范围为
A.a<1 B.a≤1
C.a<2 D.a<0
因为ax2-2x+1<0有解,显然a≤0时恒成立;
又由解得0综上,a<1.
√
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6.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+A.{m|-13}
C.{m|-44}
√
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因为正实数x,y满足+=1,
所以x+==2++≥2+2=4,当且仅当x=2,y=8时,等号成立,x+取得最小值4.
由x+4,
解得m>4或m<-1.
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7.若关于x的不等式x2+(m-3)x+m<0无解,则实数m的取值范围是　　　　 .
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16
{m|1≤m≤9}
由题意得Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9≤0,
解得1≤m≤9.
8.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是　　　　　　.
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{k|-3当k=1时,-1<0恒成立;
当k≠1时,由题意得
解得-3综上所述,实数k的取值范围为{k|-39.对于 x∈{x|2≤x≤3},不等式mx2-mx-1<0恒成立,求m的取值范围.
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由不等式mx2-mx-1<0,得m(x2-x)<1,
因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2-x>0,
所以m(x2-x)<1可化为m<,
因为x2-x=-≤6,
所以≥,所以m<.
即m的取值范围是.
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10.已知关于x的不等式2x2+bx+c<20的解集为{x|-4(1)求b,c的值;
1
2
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由题意知,2x2+bx+c-20<0的解集为{x|-4∴-4和1是方程2x2+bx+c-20=0的两个根,
由根与系数的关系可得
(2)若当21
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∵当2∴m>2x++6有解,
当2∴m>4+6.
11.已知p:2a+3<0,且q: x∈R,x2-(2a-1)x+1<0为真命题,则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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综合运用
√
2a+3<0 a<-,即p:a<-;
又由“ x∈R,x2-(2a-1)x+1<0”为真命题,得(2a-1)2-4>0,
即(2a+1)(2a-3)>0,解得a>或a<-,
即q:a>或a<-.
所以p是q的充分不必要条件.
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12.若不等式(a-3)x2+2(a-2)x-4<0对于一切x∈R恒成立,则a的取值范围是
A.{a|a≤2} B.{a|-2≤a≤2}
C.{a|-21
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√
当a-3=0,即a=3时,不等式化为2x-4<0,解得x<2,不满足题意;
当a≠3时,
需满足
解得
∴-2综上,实数a的取值范围是{a|-21
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13.对任意x满足-1≤x≤2,不等式x2-2x+a<0恒成立的必要不充分条件是
A.a<-3 B.a<-4
C.a<0 D.a>0
√
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因为x2-2x+a<0,
所以a<-x2+2x,
又因为-1≤x≤2,
所以-x2+2x=-(x-1)2+1≥-3,
所以a<-3,
又因为求“对任意x满足-1≤x≤2,不等式x2-2x+a<0恒成立的必要不充分条件”.
所以C正确.
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14.关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R,则实数a的取值范围
是　　　　　　　　.
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当a2-1=0时,a=1或a=-1,
若a=1,不等式为-1≤0,恒成立;
若a=-1,不等式为2x-1≤0,
解得x≤,不符合题意.
当a2-1≠0时,若要不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R,
则a2-1<0,且Δ=(a-1)2+4(a2-1)≤0,解得-≤a<1.
综上可得,实数a的取值范围是.
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拓广探究
15.如果不等式<1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是
A.R B.{m|m<3}
C.{m|m<1或m>2} D.{m|1√
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∵4x2+6x+3=4+
=4+>0,
∴2x2+2mx+m<4x2+6x+3,
即2x2+(6-2m)x+3-m>0对 x∈R恒成立,
Δ=(6-2m)2-4×2(3-m)=4m2-24m+36-24+8m=4m2-16m+12<0,
∴1故m的取值范围为{m|11
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16.已知函数y=mx2-mx-6+m,若对于1≤m≤3,y<0恒成立,求实数x的取值范围.
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由题意得y=mx2-mx-6+m<0,
即(x2-x+1)m-6<0.
∵1≤m≤3,
∴x2-x+1<恒成立,
∴x2-x+1<,即x2-x-1<0,
解得∴实数x的取值范围为.习题课　不等式恒成立、能成立问题
[学习目标]　会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题.(重点)
一、在R上的恒成立问题
例1　已知 x∈R,不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围.
反思感悟　转化为一元二次不等式解集为R的情况
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
提醒:若题目中未强调是一元二次不等式,且二次项系数含参,则一定要讨论二次项系数是否为0.
跟踪训练1　已知 x∈R,不等式x2+ax+3≥a恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.
二、在给定范围上的恒成立问题
例2　当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
反思感悟　在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
(2)当a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
跟踪训练2　命题“ x∈{x|1≤x≤2},x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 (　　)
A.a≥4 B.a≥5
C.a≤4 D.a≤5
三、解决简单的能成立问题
例3　当10有解,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
反思感悟　解决能成立问题的方法
(1)结合二次函数图象,将问题转化为端点值的问题解决.
(2)对一些简单的问题,可转化为m>ymin或m跟踪训练3　若存在x∈R,使得≥2成立,求实数m的取值范围.
1.知识清单:
(1)在R上的恒成立问题.
(2)给定范围上的恒成立问题.
(3)解决简单的能成立问题.
2.方法归纳:等价转换法、数形结合法.
3.常见误区:要注意端点值的取舍.
1.若关于x的不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是 (　　)
A.{m|m≥2}
B.{m|m≤-2}
C.{m|m≤-2或m≥2}
D.{m|-2≤m≤2}
2.若对于任意x∈R,都有意义,则m的取值范围是 (　　)
A.{m|m≥2} B.{m|0C.{m|0≤m≤2} D.{m|0≤m≤4}
3.若当1≤x≤2时,x2-ax>0恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
4.若命题“ x∈R,x2-2mx+m+2<0”为真命题,则实数m的取值范围是　　　　.
答案精析
例1　解　当k=0时，原不等式化为-2<0，显然符合题意；
当k≠0时，
令y=kx2+2kx-(k+2)，
∵y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方，
即开口向下，且与x轴无交点.
∴
解得-1综上，实数k的取值范围是
{k|-1跟踪训练1　{a|-6≤a≤2}
解析　原不等式可化为
x2+ax+3-a≥0，
∵函数y=x2+ax+3-a的图象开口向上，
∴Δ=a2-4(3-a)
=a2+4a-12≤0，
即(a-2)(a+6)≤0，∴-6≤a≤2，
∴实数a的取值范围为{a|-6≤a≤2}.
例2　解　令y=x2+mx+4，
∵y<0在1≤x≤2上恒成立，
∴y=0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，可得
解得m<-5，
∴实数m的取值范围是{m|m<-5}.
跟踪训练2　B　[因为命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≤0”是真命题，
所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，
所以a≥4，
结合选项，该命题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5.]
例3　{m|m>-5}
解析　记y=x2+mx+4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2+mx+4>0(10或2m+8>0，解得m>-5.
跟踪训练3　解　∵x2-2x+3
=(x-1)2+2>0，
∴4x+m≥2(x2-2x+3)能成立，
∴m≥2x2-8x+6能成立，
又2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2，
∴m≥-2，
∴实数m的取值范围为{m|m≥-2}.
随堂演练
1.D　[不等式x2+mx+1≥0的解集为R，则Δ=m2-4≤0，解得-2≤m≤2，故实数m的取值范围是
{m|-2≤m≤2}.]
2.C　[令y=，
当m=0时，函数y=，符合题意；
当m≠0时，mx2+2mx+2≥0恒成立，
则即
解得0综上，实数m的取值范围是
{m|0≤m≤2}.]
3.D　[x2-ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x-a>0在1≤x≤2上恒成立，故1-a>0，即a<1.]
4.m<-1或m>2
解析　“ x∈R，x2-2mx+m+2<0”为真命题，
故Δ=4m2-4(m+2)>0，
解得m<-1或m>2.作业16　不等式恒成立、能成立问题
单选题每小题5分,共50分
1.一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数的条件是 (　　)
A. B.
C. D.
2.若关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,则实数m的取值范围是 (　　)
A.{m|m≤-2或m≥2}
B.{m|-2≤m≤2}
C.{m|m<-2或m>2}
D.{m|-23.已知关于x的不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是 (　　)
A.{a|-4≤a≤4}
B.{a|-4C.{a|a≤-4或a≥4}
D.{a|a<-4或a>4}
4.若当1≤x≤4时,不等式x2-(m+1)x+9≤0有解,则实数m的最小值为 (　　)
A.9 B.5
C.6 D.
5.若关于x的不等式ax2-2x+1<0有解,则实数a的取值范围为 (　　)
A.a<1 B.a≤1
C.a<2 D.a<0
6.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+A.{m|-13}
C.{m|-44}
7.(5分)若关于x的不等式x2+(m-3)x+m<0无解,则实数m的取值范围是　　　　.
8.(5分)若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是　　　　　　　　.
9.(10分)对于 x∈{x|2≤x≤3},不等式mx2-mx-1<0恒成立,求m的取值范围.
10.(12分)已知关于x的不等式2x2+bx+c<20的解集为{x|-4(1)求b,c的值;(6分)
(2)若当211.已知p:2a+3<0,且q: x∈R,x2-(2a-1)x+1<0为真命题,则p是q的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.若不等式(a-3)x2+2(a-2)x-4<0对于一切x∈R恒成立,则a的取值范围是 (　　)
A.{a|a≤2} B.{a|-2≤a≤2}
C.{a|-213.对任意x满足-1≤x≤2,不等式x2-2x+a<0恒成立的必要不充分条件是 (　　)
A.a<-3 B.a<-4
C.a<0 D.a>0
14.(5分)关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
15.如果不等式<1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.R
B.{m|m<3}
C.{m|m<1或m>2}
D.{m|116.(13分)已知函数y=mx2-mx-6+m,若对于1≤m≤3,y<0恒成立,求实数x的取值范围.
答案精析
1.D　2.A　3.A　4.B　5.A
6.D　[因为正实数x，y满足+=1，
所以x+==2++≥2+2=4，
当且仅当x=2，y=8时，等号成立，
x+取得最小值4.
由x+可得m2-3m>4，
解得m>4或m<-1.]
7.{m|1≤m≤9}　8.{k|-39.解　由不等式mx2-mx-1<0，
得m(x2-x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，
所以x2-x>0，
所以m(x2-x)<1可化为m<，
因为x2-x=-≤6，
所以≥，所以m<.
即m的取值范围是.
10.解　(1)由题意知，2x2+bx+c-20<0的解集为{x|-4∴-4和1是方程2x2+bx+c-20=0的两个根，
由根与系数的关系可得
解得
(2)∵当2∴m>2x++6有解，
当2当且仅当x=时，等号成立，
∴m>4+6.
11.A　[2a+3<0 a<-，
即p：a<-；
又由“ x∈R，x2-(2a-1)x+1<0”为真命题，得(2a-1)2-4>0，
即(2a+1)(2a-3)>0，
解得a>或a<-，
即q：a>或a<-.
所以p是q的充分不必要条件.]
12.C　[当a-3=0，即a=3时，不等式化为2x-4<0，解得x<2，不满足题意；
当a≠3时，
需满足
解得
∴-2综上，实数a的取值范围是
{a|-213.C　[因为x2-2x+a<0，
所以a<-x2+2x，
又因为-1≤x≤2，
所以-x2+2x=-(x-1)2+1
≥-3，
所以a<-3，
又因为求“对任意x满足-1≤x≤2，不等式x2-2x+a<0恒成立的必要不充分条件”.
所以C正确.]
14.
解析　当a2-1=0时，
a=1或a=-1，
若a=1，不等式为-1≤0，恒成立；
若a=-1，不等式为2x-1≤0，
解得x≤，不符合题意.
当a2-1≠0时，
若要不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R，
则a2-1<0，
且Δ=(a-1)2+4(a2-1)≤0，
解得-≤a<1.
综上可得，实数a的取值范围是.
15.D　[∵4x2+6x+3
=4+
=4+>0，
∴2x2+2mx+m<4x2+6x+3，
即2x2+(6-2m)x+3-m>0对 x∈R恒成立，
Δ=(6-2m)2-4×2(3-m)=4m2-24m+36-24+8m=4m2-16m+12<0，
∴1故m的取值范围为{m|116.解　由题意得
y=mx2-mx-6+m<0，
即(x2-x+1)m-6<0.
∵1≤m≤3，
∴x2-x+1<恒成立，
∴x2-x+1<，即x2-x-1<0，
解得∴实数x的取值范围为.

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