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一、不等式及其性质
1.不等式及其性质贯穿整个高中数学教学,只要是涉及范围的问题,都和不等式有关,在高中数学中有着很高的地位.
2.掌握不等式的运算性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养.
例1　(1)若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是 (　　)
A.A≤B B.A≥B
C.AB D.A>B
答案　B
解析　∵A-B=a2+3ab-(4ab-b2)
=+b2≥0,
∴A≥B.
(2)若a>b,x>y,则下列不等式正确的是 (　　)
A.a+xB.ax>by
C.|a|x≥|a|y
D.(a-b)x<(a-b)y
答案　C
解析　当a≠0时,|a|>0,由x>y,不等式两边同乘以一个大于零的数,不等号方向不变,
即|a|x>|a|y;
当a=0时,|a|x=|a|y,
故|a|x≥|a|y,C正确.
反思感悟　不等式及其性质的两个关注点
(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法.
(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式,但一定要注意应用条件;当判断不等式是否成立时,常常选择特殊值法.
跟踪训练1　若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为　　　　　　　　.
答案　-1≤a-b≤6
解析　∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,
又1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6.
二、利用基本不等式求最值
1.基本不等式:≤(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
2.熟练掌握基本不等式的应用,重点提升数学抽象和数学运算素养.
例2　(1)若0A.2 B.
C.1 D.
答案　C
解析　因为0所以2-x>0,x(2-x)≤=1,
当且仅当x=2-x,即x=1时,等号成立.
所以x(2-x)的最大值为1.
(2)已知a,b,c均为正实数,若++=1,则a+b+c的最小值为　　　　.
答案　6
解析　a+b+c=a+(b+2)+(c+1)-3=[a+(b+2)+(c+1)]·-3
=-3≥3+2+2+2-3=6,
当且仅当a=b+2=c+1=3,即a=3,b=1,c=2时等号成立,
故a+b+c的最小值为6.
反思感悟　基本不等式的关注点
(1)前提:“一正”、“二定”、“三相等”.
(2)拼凑:要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.
(3)方法:一是消元法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;三是配凑法.
跟踪训练2　已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a=　　　　,b=　　　　　　.
答案　2　1
解析　y=x-4+=(x+1)+-5,
因为x>-1,所以x+1>0,
所以y≥2-5=2×3-5=1,
当且仅当x+1=,
即x=2时,等号成立,
此时a=2,b=1.
三、一元二次不等式的解法
1.掌握一元二次不等式及分式不等式的解法.
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.
3.掌握不等式的解法,重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例3　若不等式ax2+5x-2>0的解集是.
(1)求a的值;
(2)求不等式>a+5的解集.
解　(1)依题意,可得方程ax2+5x-2=0的两个实数根为和2,且a<0.
由根与系数的关系,得解得a=-2.
(2)将a=-2代入不等式,得>3,
即-3>0,
整理得>0,即(x+1)(x+2)<0,
解得-2则不等式的解集为{x|-2反思感悟　(1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式),首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后分解因式变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集.
(2)一元二次不等式解集的端点值就是对应二次函数的零点,也是一元二次方程的根.
跟踪训练3　解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
解　①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,
解得x>1;
②当a<0时,原不等式化为(x-1)>0,
解得x<或x>1;
③当a>0时,原不等式化为(x-1)<0.
若=1,即a=1时,不等式无解;
若<1,即a>1时,解得若>1,即0综上可知,当a<0时,不等式的解集为;
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};
当0当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,不等式的解集为.
四、不等式恒成立问题
1.熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件,理解不等式恒成立与最值的关系,对于含参的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.
2.掌握不等式恒成立的条件,重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例4　已知函数y=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,y≥a恒成立,求a的取值范围;
(2)当4≤a≤6时,y≥0恒成立,求x的取值范围.
解　(1)由题意知,当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
则Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
解得-6≤a≤2,
故a的取值范围为{a|-6≤a≤2}.
(2)将y=xa+x2+3看作关于a的一次函数,
当4≤a≤6时,y≥0恒成立,只需在a=4和a=6时y≥0即可,
即
解得x≤-3-或x≥-3+,
故x的取值范围是{x|x≤-3-或x≥-3+}.
反思感悟　解决不等式恒成立问题的方法
(1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合.
(2)分离参数法.
(3)转化为最大(小)值问题.
跟踪训练4　已知x>0,y>0,且+=2,若x+2y>m2-3m-1恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.{m|m≤-1或m≥4}
B.{m|m≤-4或m≥1}
C.{m|-1D.{m|-4答案　C
解析　由+=2得2y+x+1=2(x+1)y,所以x+1=2xy,所以2y=1+,
所以x+2y=x++1≥2+1=3,当且仅当x=1,y=1时,等号成立,
所以(x+2y)min=3,
所以x+2y>m2-3m-1恒成立,
可化为3>m2-3m-1,即m2-3m-4<0,
解得-1所以实数m的取值范围是{m|-1五、通过构造数学模型解决生活中的问题
1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键.
2.利用不等式解决实际应用问题,重点提升数学建模素养和数学运算素养.
例5　某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成=10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价.
(1)设该商品一天的营业额为y元,试求出y与x(x≥0)之间的函数关系式;
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求x的取值范围.
解　(1)依题意得y=100·100.
又售价不能低于成本价,
所以100-80≥0,解得x≤2,
所以y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2).
(2)依题意得,40(10-x)(25+4x)≥10 260,
化简得8x2-30x+13≤0,解得≤x≤.
又0≤x≤2,
所以x的取值范围为.
反思感悟　解决实际问题的关注点
(1)审题要准,初步建模.
(2)设出变量,列出函数关系式.
(3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题.
跟踪训练5　某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定,池的外围周壁建造单价为每米400 元,中间的一条隔壁建造单价为每米100 元,池底建造单价为每平方米60 元,池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时,可使总造价最低
解　设水池的长为x m,则宽为 m.
总造价y=400+100·+200×60
=800+12 000
≥800×2+12 000=36 000,
当且仅当x=,即x=15时,等号成立,此时y取得最小值36 000.
所以当净水池的长为15 m时,可使总造价最低.(共38张PPT)
第二章
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一、不等式及其性质
二、利用基本不等式求最值
五、通过构造数学模型解决生活中的问题
三、一元二次不等式的解法
四、不等式恒成立问题
内容索引
不等式及其性质
一
1.不等式及其性质贯穿整个高中数学教学,只要是涉及范围的问题,都和不等式有关,在高中数学中有着很高的地位.
2.掌握不等式的运算性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养.
(1)若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是
A.A≤B B.A≥B
C.AB D.A>B
例 1
√
∵A-B=a2+3ab-(4ab-b2)
=+b2≥0,
∴A≥B.
∵A-B=a2+3ab-(4ab-b2)
=+b2≥0,
∴A≥B.
(2)若a>b,x>y,则下列不等式正确的是
A.a+xby
C.|a|x≥|a|y D.(a-b)x<(a-b)y
√
当a≠0时,|a|>0,由x>y,不等式两边同乘以一个大于零的数,不等号方向不变,
即|a|x>|a|y;
当a=0时,|a|x=|a|y,
故|a|x≥|a|y,C正确.
不等式及其性质的两个关注点
(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法.
(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式,但一定要注意应用条件;当判断不等式是否成立时,常常选择特殊值法.
反
思
感
悟
若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为　　　　　　.
跟踪训练 1
-1≤a-b≤6
∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,
又1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6.
二
利用基本不等式求最值
1.基本不等式:≤(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
2.熟练掌握基本不等式的应用,重点提升数学抽象和数学运算素养.
(1)若0A.2 B.
C.1 D.
例 2
√
因为0所以2-x>0,x(2-x)≤=1,
当且仅当x=2-x,即x=1时,等号成立.
所以x(2-x)的最大值为1.
(2)已知a,b,c均为正实数,若++=1,则a+b+c的最小值为　　　.
6
a+b+c=a+(b+2)+(c+1)-3=[a+(b+2)+(c+1)]·-3
=-3≥3+2+2+2-3=6,
当且仅当a=b+2=c+1=3,即a=3,b=1,c=2时等号成立,
故a+b+c的最小值为6.
反
思
感
悟
基本不等式的关注点
(1)前提:“一正”、“二定”、“三相等”.
(2)拼凑:要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.
(3)方法:一是消元法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;三是配凑法.
已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a=　　　，b=　　　　.
跟踪训练 2
2
1
y=x-4+=(x+1)+-5,
因为x>-1,所以x+1>0,
所以y≥2-5=2×3-5=1,
当且仅当x+1=,
即x=2时,等号成立,
此时a=2,b=1.
一元二次不等式的解法
三
1.掌握一元二次不等式及分式不等式的解法.
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.
3.掌握不等式的解法,重点提升逻辑推理和数学运算素养.
　若不等式ax2+5x-2>0的解集是.
(1)求a的值;
例 3
依题意,可得方程ax2+5x-2=0的两个实数根为和2,且a<0.
由根与系数的关系,得解得a=-2.
(2)求不等式>a+5的解集.
将a=-2代入不等式,得>3,
即-3>0,
整理得>0,即(x+1)(x+2)<0,
解得-2则不等式的解集为{x|-2反
思
感
悟
(1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式),首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后分解因式变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集.
(2)一元二次不等式解集的端点值就是对应二次函数的零点,也是一元二次方程的根.
解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
跟踪训练 3
①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,
解得x>1;
②当a<0时,原不等式化为(x-1)>0,
解得x<或x>1;
③当a>0时,原不等式化为(x-1)<0.
若=1,即a=1时,不等式无解;
若<1,即a>1时,解得若>1,即0综上可知,当a<0时,不等式的解集为;
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};
当0当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,不等式的解集为.
不等式恒成立问题
四
1.熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件,理解不等式恒成立与最值的关系,对于含参的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.
2.掌握不等式恒成立的条件,重点提升逻辑推理和数学运算素养.
已知函数y=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,y≥a恒成立,求a的取值范围;
例 4
由题意知,当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
则Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
解得-6≤a≤2,
故a的取值范围为{a|-6≤a≤2}.
(2)当4≤a≤6时,y≥0恒成立,求x的取值范围.
将y=xa+x2+3看作关于a的一次函数,
当4≤a≤6时,y≥0恒成立,只需在a=4和a=6时y≥0即可,
即
解得x≤-3-或x≥-3+,
故x的取值范围是{x|x≤-3-或x≥-3+}.
反
思
感
悟
解决不等式恒成立问题的方法
(1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合.
(2)分离参数法.
(3)转化为最大(小)值问题.
已知x>0,y>0,且+=2,若x+2y>m2-3m-1恒成立,则实数m的取值范围是
A.{m|m≤-1或m≥4} B.{m|m≤-4或m≥1}
C.{m|-1跟踪训练 4
√
由+=2得2y+x+1=2(x+1)y,所以x+1=2xy,所以2y=1+,
所以x+2y=x++1≥2+1=3,当且仅当x=1,y=1时,等号成立,
所以(x+2y)min=3,
所以x+2y>m2-3m-1恒成立,
可化为3>m2-3m-1,即m2-3m-4<0,
解得-1所以实数m的取值范围是{m|-1通过构造数学模型解决生活中的问题
五
1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键.
2.利用不等式解决实际应用问题,重点提升数学建模素养和数学运算素养.
某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成=10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价.
(1)设该商品一天的营业额为y元,试求出y与x(x≥0)之间的函数关系式;
例 5
依题意得y=100·100.
又售价不能低于成本价,
所以100-80≥0,解得x≤2,
所以y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2).
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求x的取值范围.
依题意得,40(10-x)(25+4x)≥10 260,
化简得8x2-30x+13≤0,解得≤x≤.
又0≤x≤2,
所以x的取值范围为.
反
思
感
悟
解决实际问题的关注点
(1)审题要准,初步建模.
(2)设出变量,列出函数关系式.
(3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题.
某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定,池的外围周壁建造单价为每米400 元,中间的一条隔壁建造单价为每米100 元,池底建造单价为每平方米60 元,池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时,可使总造价最低
跟踪训练 5
设水池的长为x m,则宽为 m.
总造价y=400+100·+200×60
=800+12 000
≥800×2+12 000=36 000,
当且仅当x=,即x=15时,等号成立,此时y取得最小值36 000.
所以当净水池的长为15 m时,可使总造价最低.一、不等式及其性质
1.不等式及其性质贯穿整个高中数学教学,只要是涉及范围的问题,都和不等式有关,在高中数学中有着很高的地位.
2.掌握不等式的运算性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养.
例1　(1)若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是 (　　)
A.A≤B B.A≥B
C.AB D.A>B
(2)若a>b,x>y,则下列不等式正确的是 (　　)
A.a+xB.ax>by
C.|a|x≥|a|y
D.(a-b)x<(a-b)y
反思感悟　不等式及其性质的两个关注点
(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法.
(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式,但一定要注意应用条件;当判断不等式是否成立时,常常选择特殊值法.
跟踪训练1　若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为　　　　　　　　.
二、利用基本不等式求最值
1.基本不等式:≤(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
2.熟练掌握基本不等式的应用,重点提升数学抽象和数学运算素养.
例2　(1)若0A.2 B.
C.1 D.
(2)已知a,b,c均为正实数,若++=1,则a+b+c的最小值为　　　　.
反思感悟　基本不等式的关注点
(1)前提:“一正”、“二定”、“三相等”.
(2)拼凑:要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.
(3)方法:一是消元法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;三是配凑法.
跟踪训练2　已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a=　　　　,b=　　　　　　.
三、一元二次不等式的解法
1.掌握一元二次不等式及分式不等式的解法.
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.
3.掌握不等式的解法,重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例3　若不等式ax2+5x-2>0的解集是.
(1)求a的值;
(2)求不等式>a+5的解集.
反思感悟　(1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式),首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后分解因式变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集.
(2)一元二次不等式解集的端点值就是对应二次函数的零点,也是一元二次方程的根.
跟踪训练3　解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
四、不等式恒成立问题
1.熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件,理解不等式恒成立与最值的关系,对于含参的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.
2.掌握不等式恒成立的条件,重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例4　已知函数y=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,y≥a恒成立,求a的取值范围;
(2)当4≤a≤6时,y≥0恒成立,求x的取值范围.
反思感悟　解决不等式恒成立问题的方法
(1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合.
(2)分离参数法.
(3)转化为最大(小)值问题.
跟踪训练4　已知x>0,y>0,且+=2,若x+2y>m2-3m-1恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.{m|m≤-1或m≥4}
B.{m|m≤-4或m≥1}
C.{m|-1D.{m|-4五、通过构造数学模型解决生活中的问题
1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键.
2.利用不等式解决实际应用问题,重点提升数学建模素养和数学运算素养.
例5　某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成=10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价.
(1)设该商品一天的营业额为y元,试求出y与x(x≥0)之间的函数关系式;
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求x的取值范围.
反思感悟　解决实际问题的关注点
(1)审题要准,初步建模.
(2)设出变量,列出函数关系式.
(3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题.
跟踪训练5　某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定,池的外围周壁建造单价为每米400 元,中间的一条隔壁建造单价为每米100 元,池底建造单价为每平方米60 元,池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时,可使总造价最低
答案精析
例1　(1)B　[∵A-B=a2+3ab-(4ab-b2)
=+b2≥0，
∴A≥B.]
(2)C　[当a≠0时，|a|>0，由x>y，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变，
即|a|x>|a|y；
当a=0时，|a|x=|a|y，
故|a|x≥|a|y，C正确.]
跟踪训练1　-1≤a-b≤6
例2　(1)C　[因为0所以2-x>0，x(2-x)≤=1，
当且仅当x=2-x，即x=1时，等号成立.
所以x(2-x)的最大值为1.]
(2)6
解析　a+b+c=a+(b+2)+(c+1)-3=[a+(b+2)+(c+1)]·-3
=
-3≥3+2+2+2-3
=6，
当且仅当a=b+2=c+1=3，
即a=3，b=1，c=2时等号成立，
故a+b+c的最小值为6.
跟踪训练2　2　1
例3　解　(1)依题意，可得方程ax2+5x-2=0的两个实数根为和2，且a<0.
由根与系数的关系，
得解得a=-2.
(2)将a=-2代入不等式，
得>3，
即-3>0，
整理得>0，
即(x+1)(x+2)<0，
解得-2则不等式的解集为
{x|-2跟踪训练3　解　①当a=0时，原不等式即为-x+1<0，
解得x>1；
②当a<0时，原不等式化为(x-1)>0，
解得x<或x>1；
③当a>0时，原不等式化为(x-1)<0.
若=1，即a=1时，不等式无解；
若<1，即a>1时，解得若>1，即0解得1综上可知，当a<0时，不等式的解集为；
当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0；
当a=1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为
.
例4　解　(1)由题意知，当x∈R时，
x2+ax+3-a≥0恒成立，
则Δ=a2-4(3-a)≤0，
即a2+4a-12≤0，
解得-6≤a≤2，
故a的取值范围为{a|-6≤a≤2}.
(2)将y=xa+x2+3看作关于a的一次函数，
当4≤a≤6时，y≥0恒成立，只需在a=4和a=6时y≥0即可，
即
解得x≤-3-或x≥-3+，
故x的取值范围是
{x|x≤-3-或x≥-3+}.
跟踪训练4　C　[由+=2得2y+x+1=2(x+1)y，
所以x+1=2xy，所以2y=1+，
所以x+2y=x++1≥2+1=3，当且仅当x=1，y=1时，等号成立，
所以(x+2y)min=3，
所以x+2y>m2-3m-1恒成立，
可化为3>m2-3m-1，
即m2-3m-4<0，
解得-1所以实数m的取值范围是
{m|-1例5　解　(1)依题意得
y=100·100.
又售价不能低于成本价，
所以100-80≥0，解得x≤2，
所以y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2).
(2)依题意得，40(10-x)(25+4x)≥10 260，
化简得8x2-30x+13≤0，
解得≤x≤.
又0≤x≤2，
所以x的取值范围为
.
跟踪训练5　解　设水池的长为x m，则宽为 m.
总造价y=400+100·+200×60
=800+12 000
≥800×2+12 000
=36 000，
当且仅当x=，即x=15时，等号成立，此时y取得最小值36 000.
所以当净水池的长为15 m时，可使总造价最低.

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