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3.1.1　函数的概念(一)
[学习目标]　1.理解函数的概念,了解构成函数的要素.(重点)2.能正确使用区间表示数集.3.会求函数的定义域与函数值.(难点)
导语
请同学们阅读课本75页《阅读与思考》(大约3分钟),大家通过阅读函数概念的发展历程可以发现:函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关,而且随着研究的深入,函数概念不断得到严谨化、精确化的表达,这与我们学习函数的过程是一样的.也就是说函数并不是很神秘、很可怕的东西,它只是一个名称,它就在我们身边,比如路程随时间的变化而变化;一天中温度随时间的变化而变化,可以说这种变量关系无处不在,而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美.
一、函数的概念
问题1　阅读课本本节的问题1和问题2,并思考它们有什么异同点
提示　它们有相同的解析式,也就是对应关系.但它们有不同的实际背景,变量的取值范围也不同.
问题2　请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4,它们分别是函数吗 如果是,请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别.
提示　是函数.由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象.
问题3　通过对课本中的4个问题的分析,你能说出它们有什么不同点和共同点吗
提示　不同点:课本中的问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系,问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系,问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系.共同点:①都包含两个非空数集,分别用A,B来表示;②都有一个对应关系;③对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
知识梳理
1.函数的概念
概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y=f(x),x∈A
定义域 x的取值范围A
值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}
2.已学函数的定义域和值域
(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R,值域为R.
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R,值域是B,当a>0时,B=;当a<0时,B=.
(3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}.
注意点:
(1)A,B是非空的实数集,定义域是A,值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性.
(3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象或表格,或其他的对应关系.
(4)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数.
(5)函数三要素:定义域、对应关系与值域.
例1　(1)(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是 (　　)
A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方
B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方
C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数
D.A=R,B={x|x≥0},f:A中的数取绝对值
答案　AD
解析　按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中,集合A中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求;选项A和D符合函数的定义.
(2)下列图象能够作为函数y=f(x)的图象的有 (　　)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
答案　A
解析　由函数的定义可知(1)(5)可作为函数图象,(2)(3)(4)对于x的值,可能有多个y值与之对应,所以不是函数图象.
反思感悟　(1)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)判断图形是否为函数关系的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l;
②在定义域内平行移动直线l;
③若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
跟踪训练1　下列不能表示从集合A={-2,0,1}到集合B={-1,0,1,2,4}的函数关系的是 (　　)
A.y=-x B.y=|x|
C.y=-2x D.y=x2
答案　C
解析　对于C,在y=-2x中,当x=-2,0,1时,对应的函数值为4,0,-2,
所以x=1时,集合B中没有元素和它对应.
二、区间的概念
知识梳理
设a,b∈R,且a定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a}
[a,+∞)
{x|x>a}
(a,+∞)
{x|x≤b}
(-∞,b]
{x|x(-∞,b)
特别地:实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.
注意点:
(1)区间只能表示连续的数集,开闭不能混淆.
(2)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别.
(3)区间是实数集的一种表示形式,集合的运算仍然成立.
(4)“∞”是一个符号,而不是一个数.
例2　把下列数集用区间表示:
(1){x|x≥-1};
(2){x|x<0};
(3){x|-1(4){x|0解　(1){x|x≥-1}=[-1,+∞).
(2){x|x<0}=(-∞,0).
(3){x|-1(4){x|0反思感悟　用区间表示数集的注意点
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“,”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号.
(4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号.
跟踪训练2　(1)集合{x|-2答案　(-2,0)∪(0,2]
(2)已知区间(a2+a+1,7],则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(-3,2)
解析　由题意可知a2+a+1<7,即a2+a-6<0,
解得-3所以实数a的取值范围是(-3,2).
三、求函数的定义域与值
例3　(1)函数f(x)=-的定义域为　　　　.
答案　[1,+∞)
解析　要使f(x)有意义,则
解得x≥1,
所以f(x)的定义域为[1,+∞).
(2)已知函数f(x)=x+,则f(2)=　　　;当a≠-1时,f(a+1)=　　　　　　.
答案　　a+1+
解析　f(2)=2+=.当a≠-1时,a+1≠0,
所以f(a+1)=a+1+.
反思感悟　(1)求函数的定义域应关注三点
①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有:(ⅰ)分式的分母不为0;(ⅱ)偶次根式的被开方数非负;(ⅲ)y=x0要求x≠0.
②不对解析式化简变形,以免定义域变化.
③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
(2)函数求值的方法
①已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
②已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
跟踪训练3　(1)若函数f(x)=,g(x)=,则f(g(a))的值为　　　　.
答案　
解析　由题意知g(a)=,
则f(g(a))=f()==.
(2)求下列函数的定义域:
①y=3-x;②y=;
③y=;④y=.
解　①函数y=3-x的定义域为R.
②由于0的零次幂无意义,故x+1≠0,即x≠-1.
又x+2>0,即x>-2,
所以函数y=的定义域为
{x|x>-2且x≠-1}.
③要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
解得x≤5且x≠±3,
所以函数y=的定义域为{x|x≤5且x≠±3}.
④要使函数有意义,则
即
解不等式组得-1≤x<1.
所以函数y=的定义域为
{x|-1≤x<1}.
1.知识清单:
(1)函数的概念与构成函数的要素.
(2)用区间表示数集.
(3)函数的定义域与函数值.
2.方法归纳:定义法、图象法.
3.常见误区:函数概念的理解.
1.下列对应或关系式中是A到B的函数的是 (　　)
A.A={x|-1≤x≤1},B={y|-1≤y≤1},x2+y2=1
B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:
C.A=R,B=R,f:x→y=
D.A=Z,B=Z,f:x→y=
答案　B
解析　A错误,x2+y2=1可化为y=±,显然存在x∈A,y值不唯一;B正确,符合函数的定义;C错误,2∈A,在B中找不到与之相对应的数;D错误,-1∈A,在B中找不到与之相对应的数.
2.已知区间[2a-1,11],则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,6) B.(6,+∞)
C.(1,6) D.(-1,6)
答案　A
解析　由题意可知,2a-1<11,解得a<6.
3.已知函数f(x)=,则f等于 (　　)
A. B.
C.a D.3a
答案　D
解析　f==3a.
4.函数y=的定义域是　　　　　　　.
答案　{x|x≥-1且x≠1}
解析　由题意可得
所以x≥-1且x≠1,
故函数y=的定义域为{x|x≥-1且x≠1}.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共6分
1.已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是 (　　)
A.f:x→y=x B.f:x→y=x
C.f:x→y=x D.f:x→y=x
答案　D
解析　根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,在集合B中没有元素与它对应,故不正确.
2.区间(0,1]等于 (　　)
A.{0,1} B.{(0,1]}
C.{x|0答案　C
3.下列图象中,不能作为y=f(x)的函数图象的是 (　　)
答案　D
解析　任作一条垂直于x轴的直线,移动直线此直线与函数图象至多有一个交点,选项D不满足函数图象的要求.
4.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是 (　　)
A.0 B.3a2-1
C.6a2-2 D.6a2
答案　A
解析　f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.
5.下列函数的值域为R的是 (　　)
A.y=x+1 B.y=x2
C.y=-x2+1 D.y=
答案　A
解析　选项A中,y=x+1的定义域为R,值域为R,故A正确;显然其余选项的值域均不为R.
6.(多选)下列四种说法中,正确的有 (　　)
A.函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只含有一个元素
答案　ACD
解析　由函数定义知,A,C,D正确,B不正确.
7.(5分)若函数f(x)的定义域为[2a-1,a+1],值域为[a+3,4a],则a的取值范围为　　　　.
答案　(1,2)
解析　由区间的定义知
解得18.(5分)已知函数f(x)=-1,且f(a)=3,则a=　　　　.
答案　16
解析　因为f(x)=-1,
所以f(a)=-1.
又因为f(a)=3,
所以-1=3,a=16.
9.(10分)已知f(x)=,g(x)=x2+1,x∈R.
(1)求f(2),g(2)的值;(5分)
(2)求f(g(3))的值.(5分)
解　(1)f(2)==,g(2)=22+1=5.
(2)f(g(3))=f(32+1)=f(10)==.
10.(12分)求下列函数的定义域:
(1)y=+;(6分)
(2)f(x)=.(6分)
解　(1)要使函数有意义,则即
所以x2=1,从而函数的定义域为{x|x=±1}={1,-1}.
(2)要使函数式有意义,必须满足
即解得
所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}.
11.已知集合A={1,2,k},B={4,7,10},x∈A,y∈B,使B中元素y和A中元素x一一对应,对应关系为y=3x+1,则k的值为 (　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
答案　C
解析　根据对应关系为y=3x+1,3×1+1=4,3×2+1=7,由题意可得3×k+1=3k+1=10,
所以k=3.
12.已知函数f(x)=+bx-3,且f(-1)=-1,则f(1)的值为 (　　)
A.-5 B.-3 C.-1 D.1
答案　A
解析　因为 f(-1)=-a-b-3=-1,
所以 a+b=-2,
所以f(1)=a+b-3=-2-3=-5.
13.(5分)已知集合A=B={0,1,2,3},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域的不同情况有　　　　种.
答案　15
解析　由函数的定义知,此函数可分为四类:
若函数是四对一对应,则值域有{0},{1},{2},{3},共4种情况;
若函数是三对一对应,则值域有{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3},共6种情况;
若函数是二对一对应,则值域有{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},共4种情况;
若函数是一对一对应,则值域为{0,1,2,3},共1种情况.
综上,该函数的值域的不同情况有4+6+4+1=15(种).
14.(5分)函数y=的定义域为R,则a的取值范围为　　　　.
答案　[0,4]
解析　当a=0时,1≥0恒成立,所以a=0符合题意;
当a≠0时,由题意知 0所以a的取值范围为[0,4].
15.(5分)已知函数f(x)的定义域为A={1,2,3,4},值域为B={7,8,9},且对任意的x答案　3
解析　由题意知,当1,2对应7时,3对应8,4对应9;
当1对应7时,2,3对应8,4对应9;
当1对应7时,2对应8,3,4对应9,所以一共有3个.
16.(12分)已知函数f(x)对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.
(1)求f(1)的值;(4分)
(2)若f(2)=a,f(3)=b(a,b均为常数),求f(36)的值.(8分)
解　(1)令x=y=1,则f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
(2)令x=2,y=3,则f(6)=f(2)+f(3)=a+b,
令x=y=6,则f(36)=2f(6)=2(a+b),
∴f(36)=2(a+b).(共60张PPT)
3.1.1
第三章
<<<
函数的概念(一)
1.理解函数的概念,了解构成函数的要素.(重点)
2.能正确使用区间表示数集.
3.会求函数的定义域与函数值.(难点)
学习目标
请同学们阅读课本75页《阅读与思考》(大约3分钟),大家通过阅读函数概念的发展历程可以发现:函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关,而且随着研究的深入,函数概念不断得到严谨化、精确化的表达,这与我们学习函数的过程是一样的.也就是说函数并不是很神秘、很可怕的东西,它只是一个名称,它就在我们身边,比如路程随时间的变化而变化;一天中温度随时间的变化而变化,可以说这种变量关系无处不在,而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美.
导 语
一、函数的概念
二、区间的概念
课时对点练
三、求函数的定义域与值
随堂演练
内容索引
一
函数的概念
提示　它们有相同的解析式,也就是对应关系.但它们有不同的实际背景,变量的取值范围也不同.
阅读课本本节的问题1和问题2,并思考它们有什么异同点
问题1
提示　是函数.由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象.
请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4,它们分别是函数吗 如果是,请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别.
问题2
提示　不同点:课本中的问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系,问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系,问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系.
共同点:①都包含两个非空数集,分别用A,B来表示;
②都有一个对应关系;
③对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
通过对课本中的4个问题的分析,你能说出它们有什么不同点和共同点吗
问题3
1.函数的概念
概念 一般地,设A,B是非空的 ,如果对于集合A中的____
,按照某种 的对应关系f,在集合B中都有
的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y=f(x),x∈A
定义域 的取值范围A
值域 与x的值相对应的 值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意
一个数x
确定
唯一确定
x
y
2.已学函数的定义域和值域
(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为 ,值域为 .
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为 ,值域是B,当a>0时,
B= ;当a<0时,B= .
(3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为 ,值域为 .
R
R
R
{x|x≠0}
{y|y≠0}
(1)A,B是非空的实数集,定义域是A,值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性.
(3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象或表格,或其他的对应关系.
(4)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数.
(5)函数三要素:定义域、对应关系与值域.
注 意 点
<<<
(1)(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是
A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方
B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方
C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数
D.A=R,B={x|x≥0},f:A中的数取绝对值
例 1
√
√
按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;
选项C中,集合A中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求;
选项A和D符合函数的定义.
(2)下列图象能够作为函数y=f(x)的图象的有
A.2个　　　B.3个　　　C.4个　　　D.5个
√
由函数的定义可知(1)(5)可作为函数图象,(2)(3)(4)对于x的值,可能有多个y值与之对应,所以不是函数图象.
反
思
感
悟
(1)判断一个对应关系是否为函数的方法
反
思
感
悟
(2)判断图形是否为函数关系的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l;
②在定义域内平行移动直线l;
③若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
下列不能表示从集合A={-2,0,1}到集合B={-1,0,1,2,4}的函数关系的是
A.y=-x B.y=|x|
C.y=-2x D.y=x2
跟踪训练 1
√
对于C,在y=-2x中,当x=-2,0,1时,对应的函数值为4,0,-2,
所以x=1时,集合B中没有元素和它对应.
二
区间的概念
设a,b∈R,且a定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 _____

{x|a
{x|a≤x
{x|a
[a,b]
(a,b)
[a,b)
(a,b]
定义 名称 区间 数轴表示
{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)

{x|x≤b} (-∞,b]

{x|x
特别地:实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.
(1)区间只能表示连续的数集,开闭不能混淆.
(2)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别.
(3)区间是实数集的一种表示形式,集合的运算仍然成立.
(4)“∞”是一个符号,而不是一个数.
注 意 点
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把下列数集用区间表示:
(1){x|x≥-1};
例 2
{x|x≥-1}=[-1,+∞).
(2){x|x<0};
{x|x<0}=(-∞,0).
(3){x|-1{x|-1(4){x|0{x|0反
思
感
悟
用区间表示数集的注意点
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“,”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号.
(4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号.
(1)集合{x|-2(2)已知区间(a2+a+1,7],则实数a的取值范围是　　　　.
跟踪训练 2
(-2,0)∪(0,2]
由题意可知a2+a+1<7,即a2+a-6<0,
解得-3所以实数a的取值范围是(-3,2).
(-3,2)
三
求函数的定义域与值
(1)函数f(x)=-的定义域为　　　　　.
例 3
[1,+∞)
要使f(x)有意义,则
解得x≥1,
所以f(x)的定义域为[1,+∞).
(2)已知函数f(x)=x+,则f(2)=　　;当a≠-1时,f(a+1)=　　　　　.
a+1+
f(2)=2+=.
当a≠-1时,a+1≠0,
所以f(a+1)=a+1+.
反
思
感
悟
(1)求函数的定义域应关注三点
①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有:(ⅰ)分式的分母不为0;(ⅱ)偶次根式的被开方数非负;(ⅲ)y=x0要求x≠0.
②不对解析式化简变形,以免定义域变化.
③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
反
思
感
悟
(2)函数求值的方法
①已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
②已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
(1)若函数f(x)=,g(x)=,则f(g(a))的值为　　　　.
跟踪训练 3
由题意知g(a)=,
则f(g(a))=f()==.
(2)求下列函数的定义域:
①y=3-x;
函数y=3-x的定义域为R.
②y=;
由于0的零次幂无意义,故x+1≠0,即x≠-1.
又x+2>0,即x>-2,
所以函数y=的定义域为{x|x>-2且x≠-1}.
③y=;
要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
解得x≤5且x≠±3,
所以函数y=的定义域为{x|x≤5且x≠±3}.
④y=.
要使函数有意义,则
即
解不等式组得-1≤x<1.
所以函数y=的定义域为{x|-1≤x<1}.
1.知识清单:
(1)函数的概念与构成函数的要素.
(2)用区间表示数集.
(3)函数的定义域与函数值.
2.方法归纳:定义法、图象法.
3.常见误区:函数概念的理解.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列对应或关系式中是A到B的函数的是
A.A={x|-1≤x≤1},B={y|-1≤y≤1},x2+y2=1
B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:
C.A=R,B=R,f:x→y=
D.A=Z,B=Z,f:x→y=
√
1
2
3
4
A错误,x2+y2=1可化为y=±,显然存在x∈A,y值不唯一;
B正确,符合函数的定义;
C错误,2∈A,在B中找不到与之相对应的数;
D错误,-1∈A,在B中找不到与之相对应的数.
2.已知区间[2a-1,11],则实数a的取值范围是
A.(-∞,6) B.(6,+∞)
C.(1,6) D.(-1,6)
√
由题意可知,2a-1<11,解得a<6.
1
2
3
4
3.已知函数f(x)=,则f 等于
A. B.
C.a D.3a
1
2
3
4
√
f = =3a.
4.函数y=的定义域是　　　　　　　.
由题意可得
所以x≥-1且x≠1,
故函数y=的定义域为{x|x≥-1且x≠1}.
{x|x≥-1且x≠1}
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基础巩固
1.已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是
A.f:x→y=x B.f:x→y=x
C.f:x→y=x D.f:x→y=x
√
根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,在集合B中没有元素与它对应,故不正确.
2.区间(0,1]等于
A.{0,1} B.{(0,1]}
C.{x|01
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√
3.下列图象中,不能作为y=f(x)的函数图象的是
任作一条垂直于x轴的直线,移动直线此直线与函数图象至多有一个交点,选项D不满足函数图象的要求.
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4.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是
A.0 B.3a2-1
C.6a2-2 D.6a2
√
f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.
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5.下列函数的值域为R的是
A.y=x+1 B.y=x2
C.y=-x2+1 D.y=
√
选项A中,y=x+1的定义域为R,值域为R,故A正确;
显然其余选项的值域均不为R.
6.(多选)下列四种说法中,正确的有
A.函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只含有一个元素
√
√
由函数定义知,A,C,D正确,B不正确.
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7.若函数f(x)的定义域为[2a-1,a+1],值域为[a+3,4a],则a的取值范围为
　　　.
(1,2)
由区间的定义知
解得11
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8.已知函数f(x)=-1,且f(a)=3,则a=　　　.
16
因为f(x)=-1,
所以f(a)=-1.
又因为f(a)=3,
所以-1=3,a=16.
9.已知f(x)=,g(x)=x2+1,x∈R.
(1)求f(2),g(2)的值;
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f(2)==,g(2)=22+1=5.
(2)求f(g(3))的值.
f(g(3))=f(32+1)=f(10)==.
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10.求下列函数的定义域:
(1)y=+;
要使函数有意义,则
所以x2=1,从而函数的定义域为{x|x=±1}={1,-1}.
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(2)f(x)=.
要使函数式有意义,必须满足
即
所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}.
11.已知集合A={1,2,k},B={4,7,10},x∈A,y∈B,使B中元素y和A中元素x一一对应,对应关系为y=3x+1,则k的值为
A.5　　　B.4　　　C.3　　　D.2
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综合运用
√
根据对应关系为y=3x+1,3×1+1=4,3×2+1=7,
由题意可得3×k+1=3k+1=10,
所以k=3.
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12.已知函数f(x)=+bx-3,且f(-1)=-1,则f(1)的值为
A.-5　　　B.-3　　　C.-1　　　D.1
√
因为 f(-1)=-a-b-3=-1,
所以 a+b=-2,
所以f(1)=a+b-3=-2-3=-5.
13.已知集合A=B={0,1,2,3},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域的不同情况有　　　种.
由函数的定义知,此函数可分为四类:
若函数是四对一对应,则值域有{0},{1},{2},{3},共4种情况;
若函数是三对一对应,则值域有{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3},共6种情况;
若函数是二对一对应,则值域有{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},共4种情况;
若函数是一对一对应,则值域为{0,1,2,3},共1种情况.
综上,该函数的值域的不同情况有4+6+4+1=15(种).
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14.函数y=的定义域为R,则a的取值范围为　　　　.
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[0,4]
当a=0时,1≥0恒成立,所以a=0符合题意;
当a≠0时,由题意知 0所以a的取值范围为[0,4].
15.已知函数f(x)的定义域为A={1,2,3,4},值域为B={7,8,9},且对任意的x拓广探究
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由题意知,当1,2对应7时,3对应8,4对应9;
当1对应7时,2,3对应8,4对应9;
当1对应7时,2对应8,3,4对应9,所以一共有3个.
16.已知函数f(x)对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.
(1)求f(1)的值;
令x=y=1,则f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
(2)若f(2)=a,f(3)=b(a,b均为常数),求f(36)的值.
令x=2,y=3,则f(6)=f(2)+f(3)=a+b,
令x=y=6,则f(36)=2f(6)=2(a+b),
∴f(36)=2(a+b).
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163.1.1　函数的概念(一)
[学习目标]　1.理解函数的概念,了解构成函数的要素.(重点)2.能正确使用区间表示数集.3.会求函数的定义域与函数值.(难点)
一、函数的概念
问题1　阅读课本本节的问题1和问题2,并思考它们有什么异同点
问题2　请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4,它们分别是函数吗 如果是,请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别.
问题3　通过对课本中的4个问题的分析,你能说出它们有什么不同点和共同点吗
知识梳理
1.函数的概念
概念 一般地,设A,B是非空的 ,如果对于集合A中的 ,按照某种 的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y=f(x),x∈A
定义域 的取值范围A
值域 与x的值相对应的 值的集合{f(x)|x∈A}
2.已学函数的定义域和值域
(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为 ,值域为 .
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为 ,值域是B,当a>0时,B= ;当a<0时,B= .
(3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为 ,值域为 .
例1　(1)(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是 (　　)
A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方
B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方
C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数
D.A=R,B={x|x≥0},f:A中的数取绝对值
(2)下列图象能够作为函数y=f(x)的图象的有 (　　)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
反思感悟　(1)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)判断图形是否为函数关系的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l;
②在定义域内平行移动直线l;
③若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
跟踪训练1　下列不能表示从集合A={-2,0,1}到集合B={-1,0,1,2,4}的函数关系的是 (　　)
A.y=-x B.y=|x|
C.y=-2x D.y=x2
二、区间的概念
知识梳理
设a,b∈R,且a定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a}
(a,+∞)
{x|x≤b} (-∞,b]
{x|x特别地:实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.
例2　把下列数集用区间表示:
(1){x|x≥-1};
(2){x|x<0};
(3){x|-1(4){x|0反思感悟　用区间表示数集的注意点
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“,”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号.
(4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号.
跟踪训练2　(1)集合{x|-2(2)已知区间(a2+a+1,7],则实数a的取值范围是 .
三、求函数的定义域与值
例3　(1)函数f(x)=-的定义域为 .
(2)已知函数f(x)=x+,则f(2)= ;当a≠-1时,f(a+1)= .
反思感悟　(1)求函数的定义域应关注三点
①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有:(ⅰ)分式的分母不为0;(ⅱ)偶次根式的被开方数非负;(ⅲ)y=x0要求x≠0.
②不对解析式化简变形,以免定义域变化.
③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
(2)函数求值的方法
①已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
②已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
跟踪训练3　(1)若函数f(x)=,g(x)=,则f(g(a))的值为 .
(2)求下列函数的定义域:
①y=3-x;②y=;
③y=;④y=.
1.知识清单:
(1)函数的概念与构成函数的要素.
(2)用区间表示数集.
(3)函数的定义域与函数值.
2.方法归纳:定义法、图象法.
3.常见误区:函数概念的理解.
1.下列对应或关系式中是A到B的函数的是 (　　)
A.A={x|-1≤x≤1},B={y|-1≤y≤1},x2+y2=1
B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:
C.A=R,B=R,f:x→y=
D.A=Z,B=Z,f:x→y=
2.已知区间[2a-1,11],则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,6) B.(6,+∞)
C.(1,6) D.(-1,6)
3.已知函数f(x)=,则f等于 (　　)
A. B.
C.a D.3a
4.函数y=的定义域是 .
答案精析
问题1　它们有相同的解析式，也就是对应关系.但它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同.
问题2　是函数.由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象.
问题3　不同点：课本中的问题1，2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系.共同点：①都包含两个非空数集，分别用A，B来表示；②都有一个对应关系；③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
知识梳理
1.实数集　任意一个数x　确定
唯一确定　x　y
2.(1)R　R　(2)R
　
(3){x|x≠0}　{y|y≠0}
例1　(1)AD　［按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义.］
(2)A　［由函数的定义可知(1)(5)可作为函数图象，(2)(3)(4)对于x的值，可能有多个y值与之对应，所以不是函数图象.］
跟踪训练1　C
知识梳理
［a，b］　(a，b)　［a，b)　(a，b］
例2　解　(1){x|x≥-1}=［-1，+∞).
(2){x|x<0}=(-∞，0).
(3){x|-1(4){x|0=(0，1)∪［2，4］.
跟踪训练2　(1)(-2，0)∪(0，2］
(2)(-3，2)
例3　(1)［1，+∞)
解析　要使f(x)有意义，
则
解得x≥1，
所以f(x)的定义域为［1，+∞).
(2)　a+1+
解析　f(2)=2+=.
当a≠-1时，a+1≠0，
所以f(a+1)=a+1+.
跟踪训练3　(1)
解析　由题意知g(a)=，
则f(g(a))=f()=
=.
(2)解　①函数y=3-x的定义域为R.
②由于0的零次幂无意义，
故x+1≠0，即x≠-1.
又x+2>0，即x>-2，
所以函数y=的定义域为{x|x>-2且x≠-1}.
③要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5且x≠±3，
所以函数y=的定义域为{x|x≤5且x≠±3}.
④要使函数有意义，
则
即
解不等式组得-1≤x<1.
所以函数y=的定义域为{x|-1≤x<1}.
随堂演练
1.B　2.A　3.D
4.{x|x≥-1且x≠1}作业17　函数的概念(一)
(分值:100分)
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共6分
1.已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是 (　　)
A.f:x→y=x B.f:x→y=x
C.f:x→y=x D.f:x→y=x
2.区间(0,1]等于 (　　)
A.{0,1} B.{(0,1]}
C.{x|03.下列图象中,不能作为y=f(x)的函数图象的是 (　　)
4.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是 (　　)
A.0 B.3a2-1
C.6a2-2 D.6a2
5.下列函数的值域为R的是 (　　)
A.y=x+1 B.y=x2
C.y=-x2+1 D.y=
6.(多选)下列四种说法中,正确的有 (　　)
A.函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只含有一个元素
7.(5分)若函数f(x)的定义域为[2a-1,a+1],值域为[a+3,4a],则a的取值范围为　　　　.
8.(5分)已知函数f(x)=-1,且f(a)=3,则a=　　　　.
9.(10分)已知f(x)=,g(x)=x2+1,x∈R.
(1)求f(2),g(2)的值;(5分)
(2)求f(g(3))的值.(5分)
10.(12分)求下列函数的定义域:
(1)y=+;(6分)
(2)f(x)=.(6分)
11.已知集合A={1,2,k},B={4,7,10},x∈A,y∈B,使B中元素y和A中元素x一一对应,对应关系为y=3x+1,则k的值为 (　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
12.已知函数f(x)=+bx-3,且f(-1)=-1,则f(1)的值为 (　　)
A.-5 B.-3
C.-1 D.1
13.(5分)已知集合A=B={0,1,2,3},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域的不同情况有
　　　　种.
14.(5分)函数y=的定义域为R,则a的取值范围为　　　　.
15.(5分)已知函数f(x)的定义域为A={1,2,3,4},值域为B={7,8,9},且对任意的x16.(12分)已知函数f(x)对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.
(1)求f(1)的值;(4分)
(2)若f(2)=a,f(3)=b(a,b均为常数),求f(36)的值.(8分)
答案精析
1.D　2.C　3.D　4.A　5.A　6.ACD
7.(1，2)
8.16
解析　因为f(x)=-1，
所以f(a)=-1.
又因为f(a)=3，
所以-1=3，a=16.
9.解　(1)f(2)==，
g(2)=22+1=5.
(2)f(g(3))=f(32+1)=f(10)==.
10.解　(1)要使函数有意义，
则即
所以x2=1，从而函数的定义域为{x|x=±1}={1，-1}.
(2)要使函数式有意义，必须满足
即解得
所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}.
11.C　［根据对应关系为y=3x+1，3×1+1=4，3×2+1=7，
由题意可得3×k+1=3k+1=10，
所以k=3.］
12.A　［因为 f(-1)=-a-b-3
=-1，
所以 a+b=-2，
所以f(1)=a+b-3=-2-3
=-5.］
13.15
解析　由函数的定义知，此函数可分为四类：
若函数是四对一对应，则值域有{0}，{1}，{2}，{3}，共4种情况；
若函数是三对一对应，则值域有{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共6种情况；
若函数是二对一对应，则值域有{0，1，2}，{0，1，3}，{0，2，3}，{1，2，3}，共4种情况；
若函数是一对一对应，则值域为{0，1，2，3}，共1种情况.
综上，该函数的值域的不同情况有4+6+4+1=15(种).
14.［0，4］
解析　当a=0时，1≥0恒成立，
所以a=0符合题意；
当a≠0时，由题意知 0所以a的取值范围为［0，4］.
15.3
解析　由题意知，当1，2对应7时，3对应8，4对应9；
当1对应7时，2，3对应8，4对应9；
当1对应7时，2对应8，3，4对应9，所以一共有3个.
16.解　(1)令x=y=1，
则f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.
(2)令x=2，y=3，
则f(6)=f(2)+f(3)=a+b，
令x=y=6，
则f(36)=2f(6)=2(a+b)，
∴f(36)=2(a+b).

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