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培优课　函数性质的综合问题
[学习目标]　1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.(重难点)2.掌握函数性质的综合应用问题.(重点)
一、函数图象的对称性
问题1　当函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称时,会满足怎样的条件呢
提示　如图所示,在x=a两边取对称的两个自变量的值,如a-x,a+x,由对称性知它们的函数值相等,即f(a-x)=f(a+x);反之,若对定义域内任意x都有f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
问题2　当函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称时,又会满足怎样的条件呢
提示　如图所示,在x=a两边取对称的两个自变量的值,如a-x,a+x,由对称性知它们的函数值互为相反数,即f(a-x)=-f(a+x);反之,若对定义域内任意x都有f(a-x)=-f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
知识梳理
1.函数图象关于直线对称
y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图 象的对称轴
f(a+x)=f(a-x) 直线x=a
f(x)=f(a-x) 直线x=
f(a+x)=f(b-x) 直线x=
2.函数图象关于点对称
y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图象 的对称中心
f(a-x)=-f(a+x) (a,0)
f(x)=-f(a-x)
f(a+x)=-f(b-x)
f(a+x)+f(b-x)=c
注意点:
(1)若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)关于x=a对称.
(2)若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)关于(a,0)对称.
例1　已知定义在R上的偶函数y=f(x),其图象关于点对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,则f等于 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.
答案　B
解析　∵y=f(x)的图象关于点对称,
∴f+f=0,
即f(1+x)+f(-x)=0.
又∵y=f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
∴f(1+x)+f(x)=0,
即f(1+x)=-f(x),
∴f=-f=0.
反思感悟　解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法
(1)图象法,根据题意,作出符合要求的草图,便可得出结论.
(2)性质法,根据对称性、单调性和奇偶性的性质,逐步推导解决求值和比较大小的问题.
注意:使用性质要规范,切不可自创性质!
跟踪训练1　若函数f(x)在(0,2)上单调递增,函数f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是 (　　)
A.f(1)B.fC.fD.f答案　B
解析　∵f(x+2)是偶函数,
∴f(2-x)=f(2+x).
故f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f=f,f=f,
又f(x)在(0,2)上单调递增,<1<,
∴f即f二、函数性质的综合应用
例2　已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
(1)解　根据题意得
即
解得经检验,当a=1,b=0时符合题意,
∴f(x)=,x∈(-1,1).
(2)证明　任取x1,x2∈(-1,1),且令x1f(x1)-f(x2)=-
=.
∵-1∴x1-x2<0,1+>0,1+>0,1-x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)解　f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴解得0∴不等式的解集为.
反思感悟　奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值,解题时,一定要特别注意函数的定义域.
跟踪训练2　已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,并且在定义域上是减函数,求不等式g(x)≤0的解集.
解　(1)由题意可知
所以解得故函数g(x)的定义域为.
(2)由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,
所以f(x-1)≤-f(3-2x).
因为f(x)为奇函数,
所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2,2)上是减函数,
所以解得所以不等式g(x)≤0的解集为.
1.知识清单:
(1)函数的对称轴和对称中心.
(2)函数性质的综合应用.
2.方法归纳:数形结合、等价转化.
3.常见误区:容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)=0.
1.下列各图中,表示以x为自变量,且有对称中心的函数是 (　　)
答案　B
2.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若x1<0且x1+x2>0,则 (　　)
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定
答案　A
解析　∵x1+x2>0,∴x2>-x1,
∵x1<0,∴-x1>0,
∴0<-x1∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴f(-x1)>f(x2),
∵f(x)是R上的偶函数,
∴f(-x2)=f(x2),即f(-x1)>f(-x2).
3.已知定义在R上的奇函数f(x),且当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是 (　　)
A.(-∞,1) B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(-∞,1]
答案　C
解析　因为函数f(x)是奇函数,所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等价于f(2x+1)≥f(-1).
又当x≥0时,函数f(x)单调递增,
所以函数f(x)在R上为增函数,
所以f(2x+1)≥f(-1)等价于2x+1≥-1,
解得x≥-1.
4.设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(2+x)=f(-x).若f(-3)=3,则f(-1)=　　　　.
答案　-3
解析　因为f(2+x)=f(-x),
所以f(-1)=f(3),
又因为f(x)是定义域为R的奇函数,
且f(-3)=3,
所以f(-1)=f(3)=-f(-3)=-3.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共18分
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则f(2)的值是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
答案　A
解析　由题意得f(0+2)=f(2)=f(0)=0.
2.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上 (　　)
A.单调递增 B.单调递减
C.有增有减 D.增减性不确定
答案　B
解析　由f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x),得m=0,所以f(x)=-x2+3,由函数f(x)=-x2+3的图象(图略)知,f(x)在区间(2,5)上单调递减.
3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)=f(4-x),当-2≤x<0时,f(x)=,则f等于 (　　)
A.-2 B.- C. D.2
答案　D
解析　∵f(x)=f(4-x),
∴f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f=f.
又∵函数f(x)为奇函数,
∴f=-f=-(-2)=2,即f=2.
4.已知函数f(x)在区间(0,2)上单调递减,且函数y=f(x+2)是偶函数,那么f(x) (　　)
A.在区间(2,4)上单调递减
B.在区间(2,4)上单调递增
C.在区间(-2,0)上单调递减
D.在区间(-2,0)上单调递增
答案　B
解析　∵函数y=f(x+2)是偶函数,
∴函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称,
即函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
∵函数f(x)在(0,2)上单调递减,
∴函数f(x)在(2,4)上单调递增.
5.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且图象经过点(-1,0)和(3,5),则当x∈[-3,-1]时,函数f(x)的值域是 (　　)
A.[0,5] B.[-1,5] C.[1,3] D.[3,5]
答案　A
解析　因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
则函数f(x)在[-3,-1]上单调递减,且f(-3)=f(3)=5,f(-1)=0,
故当x∈[-3,-1]时,函数f(x)的值域为[0,5].
6.(多选)若函数f(x)是定义域为R的偶函数,且该函数图象与x轴的交点有3个,则下列说法正确的是 (　　)
A.3个交点的横坐标之和为0
B.3个交点的横坐标之和不是定值,与函数解析式有关
C.f(0)=0
D.f(0)的值与函数解析式有关
答案　AC
解析　因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,
所以其图象关于y轴对称,
所以当函数图象与x轴的交点有3个时,则必有一个交点是原点,另两个交点关于y轴对称,
所以3个交点的横坐标之和为0,且f(0)=0,故A,C正确,B,D错误.
7.(5分)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　　　.
答案　(-4,-2)∪(0,2)
解析　设h(x)=f(x)g(x),
则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),
所以h(x)是奇函数,
由图象可知,当-40,g(x)<0,
即h(x)<0,
当00,即h(x)<0,
所以h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
8.(5分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=　　　　.
答案　0
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0.
又f(x)关于直线x=对称,
∴f=f. ①
在①式中,当x=时,f(0)=f(1)=0.
在①式中,以+x代替x,得
f=f,
即f(-x)=f(1+x).
∴f(2)=f(1+1)=f(-1)=-f(1)=0,
f(3)=f(1+2)=f(-2)=-f(2)=0,
同理,f(4)=f(5)=0.
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.
9.(10分)已知函数f(x)是奇函数,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若f(1)=0,求不等式f<0的解集.
解　∵f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,
∴f(-1)=-f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上单调递增,
∴不等式f<0可化为
或
即0解得∴原不等式的解集是.
10.(10分)已知函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,且f(1)=.
(1)求实数a和b的值;(3分)
(2)判断函数f(x)在(-3,3)上的单调性,并证明你的结论;(4分)
(3)若f(t2-1)+f(1-4t)<0,求t的取值范围.(3分)
解　(1)因为函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,
所以f(0)==0,解得b=0,
则f(x)=,
又因为f(1)=,则=,解得a=2,
经检验a=2,b=0时,f(x)是奇函数,
所以a=2,b=0.
(2)f(x)=,x∈(-3,3),函数f(x)在(-3,3)上单调递增.
证明:任取x1,x2∈(-3,3),x1所以f(x1)-f(x2)=-
=
=
=,
因为-3所以9->0,9->0,x1x2+9>0,x1-x2<0,
则<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函数f(x)在(-3,3)上单调递增.
(3)函数f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,且f(t2-1)+f(1-4t)<0,
则f(t2-1)<-f(1-4t)=f(4t-1),
因为函数f(x)在(-3,3)上单调递增,
所以则
解得0所以t的取值范围是011.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图,则下列函数中在(-2,0)上与f(x)的单调性不同的是 (　　)
A.y=x2+1 B.y=|x|+1
C.y= D.y=
答案　D
解析　易知f(x)在(-2,0)上单调递减,A,B,C选项中函数在(-∞,0)上单调递减,D选项中,函数在(-∞,0)上单调递增.
12.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是 (　　)
A.f(x)-1为奇函数 B.f(x)-1为偶函数
C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
答案　C
解析　∵对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,
令x1=x2=0,得f(0)=-1.
令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1.
∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1],
∴f(x)+1为奇函数.
13.(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,则下列不等式中成立的是 (　　)
A.f(b)-f(-a)B.f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)
C.f(a)+f(-b)D.f(a)+f(-b)>g(b)-g(-a)
答案　AC
解析　由题意得,函数f(x)为R上的奇函数,且为减函数,
偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合,
因为a>b>0,所以f(a)对于A,f(b)-f(-a)对于B,由A的分析可知B错误;
对于C,f(a)+f(-b)对于D,由C的分析可知D错误.
14.(5分)已知函数f(x)=若f(x-1)答案　(-∞,-2)∪(0,+∞)
解析　若x>0,则-x<0,
f(-x)=(-x)2+2x=x2+2x=f(x),
同理可得,当x<0时,f(-x)=f(x),
且当x=0时,f(0)=f(0),所以f(x)是偶函数.
因为当x>0时,函数f(x)单调递增,
所以不等式f(x-1)|x-1|<|2x+1|,
整理得x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.
15.(多选)函数f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数,下列函数有对称中心的是 (　　)
A.f(x)=x B.f(x)=x3-3x2
C.f(x)=x4+x2 D.f(x)=
答案　ABD
解析　∵函数y=f(x+a)-b为奇函数,
∴f(-x+a)-b=-f(x+a)+b,
即f(x+a)+f(-x+a)=2b.
对于A,由f(x+a)+f(-x+a)=2b得a=b,
∴对于任意的a=b,P(a,b)都是其对称中心,故A满足题意;
对于B,f(x)=x3-3x2=x2(x-3),
∵f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x-2)+(-x+1)2(-x-2)=-4,
∴当a=1,b=-2时,P(1,-2)即为其对称中心,故B满足题意;
对于C,∵f(x)=x4+x2是偶函数,图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减,其大致图象如图1所示.
故不可能找到一个点使它为中心对称图形,故C不满足题意;
对于D,f(x)=的大致图象如图2所示.其图象关于点(1,0)对称.
16.(12分)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)-f,且函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.
(1)求f(-1),并证明函数f(x)是偶函数;(6分)
(2)若f(2)=1,解不等式f-f≤1.(6分)
解　(1)令y=≠0,则f=f(x)-f(x),
即f(1)=f(x)-f(x)=0,
再令x=1,y=-1,可得f(-1)=f(1)-f(-1),
得2f(-1)=f(1)=0,
所以f(-1)=0,
令y=-1,可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x),
又该函数的定义域关于原点对称,
所以f(x)是偶函数.
(2)因为f(2)=1,函数f(x)为偶函数,
所以f(-2)=1.
因为函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
又f-f=f=f(2x-4),
所以f(|2x-4|)≤f(2),即
解得1≤x<2或2所以不等式f-f≤1的解集为[1,2)∪(2,3].(共66张PPT)
培优课
第三章
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函数性质的综合问题
1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.(重难点)
2.掌握函数性质的综合应用问题.(重点)
学习目标
一、函数图象的对称性
二、函数性质的综合应用
课时对点练
随堂演练
内容索引
一
函数图象的对称性
提示　如图所示,在x=a两边取对称的两个自变量的值,如a-x,a+x,由对称性知它们的函数值相等,即f(a-x)=f(a+x);反之,若对定义域内任意x都有f(a-x)=
f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
当函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称时,会满足怎样的条件呢
问题1
提示　如图所示,在x=a两边取对称的两个自变量的值,如a-x,a+x,由对称性知它们的函数值互为相反数,即f(a-x)=-f(a+x);反之,若对定义域内任意x都有f(a-x)=-f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
当函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称时,又会满足怎样的条件呢
问题2
1.函数图象关于直线对称
y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称轴
f(a+x)=f(a-x) 直线x=a
f(x)=f(a-x) 直线x=
f(a+x)=f(b-x) 直线x=
2.函数图象关于点对称
y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心
f(a-x)=-f(a+x) (a,0)
f(x)=-f(a-x)
f(a+x)=-f(b-x)
f(a+x)+f(b-x)=c
(1)若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)关于x=a对称.
(2)若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)关于(a,0)对称.
注 意 点
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已知定义在R上的偶函数y=f(x),其图象关于点对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,则f等于
A.-1 B.0
C.1 D.
例 1
√
∵y=f(x)的图象关于点对称,
∴f+f=0,
即f(1+x)+f(-x)=0.
又∵y=f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
∴f(1+x)+f(x)=0,
即f(1+x)=-f(x),
∴f=-f=0.
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法
(1)图象法,根据题意,作出符合要求的草图,便可得出结论.
(2)性质法,根据对称性、单调性和奇偶性的性质,逐步推导解决求值和比较大小的问题.
注意:使用性质要规范,切不可自创性质!
反
思
感
悟
若函数f(x)在(0,2)上单调递增,函数f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是
A.f(1)C.f跟踪训练 1
√
∵f(x+2)是偶函数,
∴f(2-x)=f(2+x).
故f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f=f,f=f,
又f(x)在(0,2)上单调递增,<1<,
∴f即f二
函数性质的综合应用
已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=.
(1)确定函数f(x)的解析式;
例 2
根据题意得即
解得经检验,当a=1,b=0时符合题意,
∴f(x)=,x∈(-1,1).
(2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
任取x1,x2∈(-1,1),且令x1f(x1)-f(x2)=-=.
∵-1∴x1-x2<0,1+>0,1+>0,1-x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴解得0∴不等式的解集为.
反
思
感
悟
奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值,解题时,一定要特别注意函数的定义域.
已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
跟踪训练 2
由题意可知
所以故函数g(x)的定义域为.
(2)若f(x)为奇函数,并且在定义域上是减函数,求不等式g(x)≤0的解集.
由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,所以f(x-1)≤-f(3-2x).
因为f(x)为奇函数,所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2,2)上是减函数,
所以所以不等式g(x)≤0的解集为.
1.知识清单:
(1)函数的对称轴和对称中心.
(2)函数性质的综合应用.
2.方法归纳:数形结合、等价转化.
3.常见误区:容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)=0.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.下列各图中,表示以x为自变量,且有对称中心的函数是
√
2.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若x1<0且x1+x2>0,则
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定
√
1
2
3
4
1
2
3
4
∵x1+x2>0,∴x2>-x1,
∵x1<0,∴-x1>0,
∴0<-x1∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴f(-x1)>f(x2),
∵f(x)是R上的偶函数,
∴f(-x2)=f(x2),即f(-x1)>f(-x2).
3.已知定义在R上的奇函数f(x),且当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是
A.(-∞,1) B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(-∞,1]
1
2
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√
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因为函数f(x)是奇函数,所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等价于f(2x+1)≥f(-1).
又当x≥0时,函数f(x)单调递增,
所以函数f(x)在R上为增函数,
所以f(2x+1)≥f(-1)等价于2x+1≥-1,
解得x≥-1.
4.设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(2+x)=f(-x).若f(-3)=3,则f(-1)=　　　.
因为f(2+x)=f(-x),
所以f(-1)=f(3),
又因为f(x)是定义域为R的奇函数,
且f(-3)=3,
所以f(-1)=f(3)=-f(-3)=-3.
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课时对点练
四
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基础巩固
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则f(2)的值是
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.4
由题意得f(0+2)=f(2)=f(0)=0.
√
2.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上
A.单调递增 B.单调递减
C.有增有减 D.增减性不确定
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由f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x),得m=0,所以f(x)=-x2+3,由函数f(x)=-x2+3的图象(图略)知,f(x)在区间(2,5)上单调递减.
3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)=f(4-x),当-2≤x<0时,f(x)=,则f等于
A.-2　　　B.- 　　　C.　　　D.2
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∵f(x)=f(4-x),
∴f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f=f.
又∵函数f(x)为奇函数,
∴f=-f=-(-2)=2,即f=2.
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4.已知函数f(x)在区间(0,2)上单调递减,且函数y=f(x+2)是偶函数,那么f(x)
A.在区间(2,4)上单调递减
B.在区间(2,4)上单调递增
C.在区间(-2,0)上单调递减
D.在区间(-2,0)上单调递增
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∵函数y=f(x+2)是偶函数,
∴函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称,
即函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
∵函数f(x)在(0,2)上单调递减,
∴函数f(x)在(2,4)上单调递增.
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5.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且图象经过点(-1,0)和(3,5),则当x∈[-3,-1]时,函数f(x)的值域是
A.[0,5]　　　B.[-1,5]　　　C.[1,3]　　　D.[3,5]
√
因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
则函数f(x)在[-3,-1]上单调递减,且f(-3)=f(3)=5,f(-1)=0,
故当x∈[-3,-1]时,函数f(x)的值域为[0,5].
6.(多选)若函数f(x)是定义域为R的偶函数,且该函数图象与x轴的交点有3个,则下列说法正确的是
A.3个交点的横坐标之和为0
B.3个交点的横坐标之和不是定值,与函数解析式有关
C.f(0)=0
D.f(0)的值与函数解析式有关
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因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,
所以其图象关于y轴对称,
所以当函数图象与x轴的交点有3个时,则必有一个交点是原点,另两个交点关于y轴对称,
所以3个交点的横坐标之和为0,且f(0)=0,故A,C正确,B,D错误.
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7.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　　　　.
(-4,-2)∪(0,2)
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设h(x)=f(x)g(x),
则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),
所以h(x)是奇函数,
由图象可知,当-40,g(x)<0,
即h(x)<0,
当00,即h(x)<0,
所以h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
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8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=　　　.
0
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0.
又f(x)关于直线x=对称,
∴f=f. ①
在①式中,当x=时,f(0)=f(1)=0.
在①式中,以+x代替x,得f=f,
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即f(-x)=f(1+x).
∴f(2)=f(1+1)=f(-1)=-f(1)=0,
f(3)=f(1+2)=f(-2)=-f(2)=0,
同理,f(4)=f(5)=0.
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.
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9.已知函数f(x)是奇函数,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若f(1)=0,求不等式f<0的解集.
∵f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,
∴f(-1)=-f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上单调递增,
∴不等式f<0可化为
即0解得∴原不等式的解集是.
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10.已知函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,且f(1)=.
(1)求实数a和b的值;
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因为函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,
所以f(0)==0,解得b=0,
则f(x)=,
又因为f(1)=,则=,解得a=2,
经检验a=2,b=0时,f(x)是奇函数,
所以a=2,b=0.
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(2)判断函数f(x)在(-3,3)上的单调性,并证明你的结论;
f(x)=,x∈(-3,3),函数f(x)在(-3,3)上单调递增.
证明:任取x1,x2∈(-3,3),x1所以f(x1)-f(x2)=-
=
=
=,
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因为-3所以9->0,9->0,x1x2+9>0,x1-x2<0,
则<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函数f(x)在(-3,3)上单调递增.
(3)若f(t2-1)+f(1-4t)<0,求t的取值范围.
函数f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,且f(t2-1)+f(1-4t)<0,
则f(t2-1)<-f(1-4t)=f(4t-1),
因为函数f(x)在(-3,3)上单调递增,
所以
解得0所以t的取值范围是01
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11.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图,则下列函数中在(-2,0)上与f(x)的单调性不同的是
A.y=x2+1
B.y=|x|+1
C.y=
D.y=
综合运用
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易知f(x)在(-2,0)上单调递减,A,B,C选项中函数在(-∞,0)上单调递减,D选项中,函数在(-∞,0)上单调递增.
12.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是
A.f(x)-1为奇函数 B.f(x)-1为偶函数
C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
√
∵对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,令x1=x2=0,得f(0)=-1.
令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1.
∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1],
∴f(x)+1为奇函数.
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13.(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,则下列不等式中成立的是
A.f(b)-f(-a)B.f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)
C.f(a)+f(-b)D.f(a)+f(-b)>g(b)-g(-a)
√
√
由题意得,函数f(x)为R上的奇函数,且为减函数,
偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合,
因为a>b>0,所以f(a)对于A,f(b)-f(-a)对于B,由A的分析可知B错误;
对于C,f(a)+f(-b)符合,所以C正确;
对于D,由C的分析可知D错误.
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14.已知函数f(x)=若f(x-1)　　　　　　　　.
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若x>0,则-x<0,
f(-x)=(-x)2+2x=x2+2x=f(x),
同理可得,当x<0时,f(-x)=f(x),
且当x=0时,f(0)=f(0),所以f(x)是偶函数.
因为当x>0时,函数f(x)单调递增,
所以不等式f(x-1)整理得x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.
15.(多选)函数f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数,下列函数有对称中心的是
A.f(x)=x B.f(x)=x3-3x2
C.f(x)=x4+x2 D.f(x)=
拓广探究
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√
√
∵函数y=f(x+a)-b为奇函数,
∴f(-x+a)-b=-f(x+a)+b,
即f(x+a)+f(-x+a)=2b.
对于A,由f(x+a)+f(-x+a)=2b得a=b,
∴对于任意的a=b,P(a,b)都是其对称中心,故A满足题意;
对于B,f(x)=x3-3x2=x2(x-3),
∵f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x-2)+(-x+1)2(-x-2)=-4,
∴当a=1,b=-2时,P(1,-2)即为其对称中心,故B满足题意;
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对于C,∵f(x)=x4+x2是偶函数,图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减,其大致图象如图1所示.
故不可能找到一个点使它为中心对称图形,故C不满足题意;
对于D,f(x)=的大致图象如图2所示.其图象关于点(1,0)对称.
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16.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)-f,且函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.
(1)求f(-1),并证明函数f(x)是偶函数;
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令y=≠0,则f=f(x)-f(x),
即f(1)=f(x)-f(x)=0,
再令x=1,y=-1,可得f(-1)=f(1)-f(-1),得2f(-1)=f(1)=0,
所以f(-1)=0,
令y=-1,可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x),
又该函数的定义域关于原点对称,
所以f(x)是偶函数.
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(2)若f(2)=1,解不等式f-f≤1.
因为f(2)=1,函数f(x)为偶函数,所以f(-2)=1.
因为函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
又f-f=f=f(2x-4),
所以f(|2x-4|)≤f(2),即
解得1≤x<2或2所以不等式f-f≤1的解集为[1,2)∪(2,3].
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16培优课　函数性质的综合问题
[学习目标]　1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.(重难点)2.掌握函数性质的综合应用问题.(重点)
一、函数图象的对称性
问题1　当函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称时,会满足怎样的条件呢
问题2　当函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称时,又会满足怎样的条件呢
知识梳理
1.函数图象关于直线对称
y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图 象的对称轴
f(a+x)=f(a-x) 直线x=a
f(x)=f(a-x) 直线x=
f(a+x)=f(b-x) 直线x=
2.函数图象关于点对称
y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图象 的对称中心
f(a-x)=-f(a+x) (a,0)
f(x)=-f(a-x)
f(a+x)=-f(b-x)
f(a+x)+f(b-x)=c
例1　已知定义在R上的偶函数y=f(x),其图象关于点对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,则f等于 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.
跟踪训练1　若函数f(x)在(0,2)上单调递增,函数f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是 (　　)
A.f(1)B.fC.fD.f二、函数性质的综合应用
例2　已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
跟踪训练2　已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,并且在定义域上是减函数,求不等式g(x)≤0的解集.
1.知识清单:
(1)函数的对称轴和对称中心.
(2)函数性质的综合应用.
2.方法归纳:数形结合、等价转化.
3.常见误区:容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)=0.
1.下列各图中,表示以x为自变量,且有对称中心的函数是 (　　)
2.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若x1<0且x1+x2>0,则 (　　)
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定
3.已知定义在R上的奇函数f(x),且当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是 (　　)
A.(-∞,1) B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(-∞,1]
4.设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(2+x)=f(-x).若f(-3)=3,则f(-1)=　　　　.
答案精析
问题1　如图所示，在x=a两边取对称的两个自变量的值，如a-x，a+x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a-x)=f(a+x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
问题2　如图所示，在x=a两边取对称的两个自变量的值，如a-x，a+x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a-x)=-f(a+x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a-x)=-f(a+x)，则函数y=f(x)的图象关于点(a，0)对称.
例1　B　［∵y=f(x)的图象关于点对称，
∴f+f=0，
即f(1+x)+f(-x)=0.
又∵y=f(x)为偶函数，
∴f(-x)=f(x)，
∴f(1+x)+f(x)=0，
即f(1+x)=-f(x)，
∴f=-f=0.］
跟踪训练1　B　［∵f(x+2)是偶函数，
∴f(2-x)=f(2+x).
故f(x)的图象关于直线x=2对称，
∴f=f，
f=f，
又f(x)在(0，2)上单调递增，
<1<，
∴f即f例2　(1)解　根据题意得
即
解得经检验，
当a=1，b=0时符合题意，
∴f(x)=，x∈(-1，1).
(2)证明　任取x1，x2∈(-1，1)，
且令x1f(x1)-f(x2)=-
=.
∵-1∴x1-x2<0，1+>0，1+>0，
1-x1x2>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)在(-1，1)上是增函数.
(3)解　f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1，1)上是增函数，
∴解得0∴不等式的解集为.
跟踪训练2　解　(1)由题意可知
所以解得故函数g(x)的定义域为.
(2)由g(x)≤0，得f(x-1)+f(3-2x)≤0，
所以f(x-1)≤-f(3-2x).
因为f(x)为奇函数，
所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2，2)上是减函数，
所以解得所以不等式g(x)≤0的解集为.
随堂演练
1.B　2.A　3.C　4.-3

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