资源简介

习题课　反比例函数、对勾函数
[学习目标]　1.掌握反比例函数和对勾函数的图象和性质.(重难点)2.会利用对勾函数解决一些综合问题.(难点)
一、反比例函数的图象和性质
问题1　反比例函数的一般形式是什么
提示　y=,其中x为自变量且x≠0,k为常数.
问题2　反比例函数的图象会过坐标原点吗
提示　不会,因为x≠0.
例1　画出反比例函数y=的图象.
(1)求函数的定义域和值域;
(2)判断函数的单调性和奇偶性.
解　
(1)函数的定义域为{x|x≠0},函数的值域为{y|y≠0}.
(2)令y=f(x),当k>0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调递增区间,证明如下:
当x>0时, x1,x2∈(0,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=-=,
∵k>0,x1>0,x2>0,x1∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减;
同理当x<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减.
当k<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调递减区间(证明略).
f(x)为奇函数.
反思感悟　研究反比例函数的几个方面
(1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到.
(2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性,但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法.
(3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性.
(4)函数图象关于(0,0)中心对称.
跟踪训练1　作出y=(-2≤x<1且x≠0)的图象,并指出其值域和单调区间.
解　由题意知函数y=(-2≤x<1且x≠0)的图象为反比例函数图象的一部分,
当x=-2时,y==-1;当x=1时,y==2;
所以该函数图象如图.
由图象可知,函数y=(-2≤x<1且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪(2,+∞).
单调递减区间为[-2,0)和(0,1),没有单调递增区间.
二、对勾函数的图象和性质
问题3　观察函数y=x+解析式的特点,你想到了什么
提示　学习了幂函数,类比实数的加、减、乘、除运算,我们对幂函数也进行相关的运算,得到了新的函数y=x+.
问题4　大家讨论一下,如何作出该函数的图象
提示　借助计算机软件,我们绘制出它的图象.
问题5　观察函数图象,你能发现函数图象有什么特点吗
提示　发现该函数图象介于y=x和y轴之间,且图象无限接近y=x和y轴,函数图象像两个勾子一样,故称此类函数为“对勾函数”.
问题6　结合函数的解析式和函数图象,你能得出f(x)=x+的哪些性质
提示　(1)定义域:∵x≠0,
∴函数f(x)=x+的定义域为{x|x≠0};
(2)值域:函数f(x)=x+的值域为
(-∞,-2]∪[2,+∞);
(3)奇偶性:∵f(-x)=-x-=-=-f(x),
∴函数f(x)=x+为奇函数;
(4)单调性:由函数f(x)=x+的图象可知,函数f(x)=x+在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,0),(0,1)上单调递减.
(5)最大值、最小值:由函数的值域可知,函数无最大、最小值,但是当x>0时,函数有最小值为2,当x<0时,函数有最大值为-2.
(6)对称性:由函数的奇偶性可知,函数图象关于(0,0)成中心对称.
例2　探究函数f(x)=x+(a>0)的性质,并画出它的简图(单调性需证明,其余性质列出即可).
解　(1)定义域:{x|x≠0};
(2)值域:(-∞,-2]∪[2,+∞);
(3)奇偶性:奇函数;
(4)单调性:函数f(x)=x+(a>0)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减,证明如下:
任取x1,x2∈(0,],且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·.
因为0所以x1-x2<0,0所以>1,所以1-<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(0,]上单调递减.
任取x1,x2∈(,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=(x1-x2).
因为x1-x2<0,x1x2>a,
所以<1,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x1)所以f(x)在(,+∞)上单调递增.
同理,f(x)在(-∞,-)上单调递增,在(-,0)上单调递减.
其图象如图所示.
延伸探究　当a<0时,探究该函数的性质,并画出函数的简图(单调性需证明,其余性质列出即可).
解　(1)定义域:{x|x≠0};
(2)值域:R;
(3)奇偶性:奇函数;
(4)函数f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-
=(x1-x2),
因为0所以x1-x2<0,
又a<0,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
同理可知,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.
其简图如图所示.
反思感悟　函数f(x)=x+(a≠0)的单调性
当a>0时,在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减;
当a<0时,在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增.
跟踪训练2　函数f(x)=x+.
(1)x∈[1,3],f(x)的最小值是　　　　;
(2)x∈,f(x)的值域为　　　　;
(3)x∈∪(0,3],f(x)的值域为　　　　.
答案　(1)2　(2)　(3)∪[2,+∞)
解析　(1)∵f(x)在[1,3]上单调递增,
∴f(x)的最小值为f(1)=2.
(2)∵f(x)在上单调递减,在[1,3]上单调递增,
∴最小值为f(1)=2,
∵f=<=f(3),∴最大值为f(3),
∴f(x)在上的值域为.
(3)∵x∈∪(0,3],且f(x)在上单调递减,
∴f(x)在上的值域是,
又f(x)在(0,3]上先单调递减,然后单调递增,在f(1)处取得最小值,
∴f(x)在(0,3]上的值域是[2,+∞),
∴f(x)在∪(0,3]上的值域为∪[2,+∞).
三、对勾函数的综合运用
例3　已知函数f(x)=.
(1)当a=4时,求函数f(x)在x∈(0,+∞)上的最小值;
(2)当a>0时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值.
解　(1)当a=4时,f(x)==x+-2,
当x∈(0,+∞)时,f(x)=x+-2≥2-2=2,
当且仅当x=,即x=2时等号成立,
∴f(x)的最小值为2.
(2)f(x)=x+-2,设0f(x1)-f(x2)=x1-x2+-
=(x1-x2)
=,
∵0∴x1x2∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,)上单调递减,同理可证f(x)在(,+∞)上单调递增,
当0f(x)min=f(2)=;
当a>4时,>2,函数f(x)在[2,)上单调递减,
在(,+∞)上单调递增,
f(x)min=f()=2-2.
设f(x)的最小值为g(a),
∴g(a)=
反思感悟　求对勾函数的最值问题,可以利用函数的单调性及其图象研究,也可以利用基本不等式.
跟踪训练3　函数f(x)=的值域是　　　　　.
答案　
解析　由f(x)=
=
==(x-1)++4,
令t=x-1∈,原函数记为y=t++4,
则函数y关于t在上单调递减,在[2,3]上单调递增,
当t=2时,函数y有最小值为8,
当t=时,y=,
当t=3时,y=<,
故函数y的最大值为,
即f(x)的值域为.
1.知识清单:
(1)反比例函数的图象和性质.
(2)对勾函数的图象和性质.
2.方法归纳:分类讨论、数形结合.
3.常见误区:研究函数的性质一定先确定函数的定义域.
1.函数y=,当x>0时,y随x的增大而增大,那么m的取值范围是 (　　)
A.m<3 B.m>3
C.m<-3 D.m>-3
答案　A
解析　在反比例函数y=中,若k>0,在x>0时,y随x的增大而减小,若k<0,在x>0时,y随x的增大而增大,所以由题意得m-3<0,m<3.
2.(多选)已知函数y=,下列结论中正确的是 (　　)
A.其图象经过点(3,1)
B.其图象分别位于第一、三象限
C.当x>0时,y随x的增大而减小
D.当x>1时,y>3
答案　ABC
解析　反比例函数y=,当x=3时,y=1,故A正确;
因为y=分子大于0,所以图象在第一、三象限,故B正确;
反比例函数在第一、三象限上都单调递减,故C正确;
因为在(0,+∞) 上,y=单调递减,所以当x>1时,03.函数y=x+(x≥2)的最小值为 (　　)
A.2 B.2 C.3 D.
答案　C
解析　由对勾函数的性质可知y=x+在[2,+∞)上单调递增,
所以ymin=2+=3.
4.已知对勾函数y=x+(a>0)在(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增,在(-a,0)和(0,a)上单调递减.若对勾函数f(x)=x+(t>0)在整数集合Z内单调递增,则实数t的取值范围为　　　　.
答案　(0,2)
解析　根据题意得f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,要使f(x)在整数集合Z内单调递增,则即
解得0∴实数t的取值范围为(0,2).
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.已知集合A=,B=,C=,则下列结论正确的是 (　　)
A.A=B B.A=C
C.B=C D.A=B=C
答案　A
解析　∵函数y=的定义域为A=={x|x≠0},值域为B=={y|y≠0},且集合A,B都是数集,C是点集,∴A=B.
2.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为 (　　)
A.p=96V B.p=-
C.p= D.p=
答案　D
解析　因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数,所以可设p=,由图象可知,点(1.5,64)在函数图象上,所以64=,解得k=96,
故p=.
3.函数f(x)=x+在区间[1,3]上的最大值是 (　　)
A.3 B.5
C.4 D.
答案　B
解析　由对勾函数的图象的特点可知,x=2时函数有最小值,x=1时,函数有最大值为5.
4.函数f(x)=x+(a>0,x∈R,x≠0)的奇偶性为 (　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.无法判断
答案　A
解析　f(-x)=-x-=-f(x),故f(x)为奇函数.
5.函数g(x)=x+的单调递减区间为 (　　)
A.(-3,0)∪(0,3) B.(-3,3)
C.(-3,0)和(0,3) D.(-∞,-3)和(3,+∞)
答案　C
6.(多选)下列函数中,满足对任意x1,x2∈(1,+∞),有<0的是 (　　)
A.f(x)=x+ B.f(x)=
C.f(x)=1+ D.f(x)=-x-
答案　CD
解析　对任意x1,x2∈(1,+∞),
有<0,
则函数在区间(1,+∞)上单调递减.
对于A,f(x)=x+,由对勾函数的图象与性质可知不满足题意,故A不满足题意;
对于B,f(x)=,根据复合函数的单调性知,函数在区间(1,+∞)上单调递增,故B不满足题意;
对于C,f(x)=1+,函数在区间(1,+∞)上单调递减,故C满足题意;
对于D,f(x)=-x- ,显然函数在区间(1,+∞)上单调递减,故D满足题意.
7.(5分)函数f(x)=x-的单调递增区间为　　　　.
答案　(-∞,0)和(0,+∞)
解析　画出函数图象如图,可知函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).
8.(5分)在平面直角坐标系中,函数y=-x+a与函数y=的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是 　　　　　　.
答案　a<-2或a>2
解析　联立整理得x2-ax+1=0, ①
函数y=-x+a与反比例函数y=的图象有两个公共点,
则方程组有两个解,即方程①有两个不同的解,
Δ=a2-4>0,a<-2或a>2.
9.(10分)作出函数y=的图象,并写出函数的单调区间和值域.
解　y==1+,图象如图所示.
函数在(-∞,2)和(2,+∞)上单调递减.
因为≠0,
所以1+≠1.
故单调递减区间为(-∞,2)和(2,+∞),无单调递增区间.值域为(-∞,1)∪(1,+∞).
10.(12分)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与(4x+1)成正比;若在距离车站10 km处建仓库,则y1与y2分别为2万元和8.2万元.记两项费用之和为w.
(1)求w关于x的解析式;(7分)
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小 求出最小值.(5分)
解　(1)∵每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,
∴可设y1=,
∵每月库存货物费y2(单位:万元)与(4x+1)成正比,
∴可设y2=(4x+1)k2,
又∵在距离车站10 km处建仓库,则y1与y2分别为2万元和8.2万元,
∴k1=2×10=20,k2==0.2,
∴y1=,y2=(4x+1)×0.2=0.8x+0.2,
∴w=y1+y2=+0.8x+0.2(x>0).
(2)∵w=+0.8x+0.2≥2+0.2=8.2,当且仅当=0.8x,即x=5时等号成立,
∴这家公司应该把仓库建在距离车站5 km处,才能使两项费用之和最小,最小值为8.2万元.
11.函数f(x)=(x∈R)的值域是 (　　)
A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1) D.[0,1]
答案　B
解析　令t=1+x2,则t∈[1,+∞),又y=在t∈[1,+∞)上单调递减,所以f(x)=(x∈R)的值域为(0,1].
12.函数y=x2+-2(-1A.x≥2 B.y≥2
C.{y|y≥3} D.{y|y>3}
答案　D
解析　令t=x2∈(0,1),
所以y=x2+-2=t+-2,
因为对勾函数y=t+在(0,1)上单调递减,
所以y=x2+-2>5-2=3.
13.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度送往灾区,已知运送的路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 (　　)
A.5 h B.10 h C.15 h D.20 h
答案　B
解析　由已知得这批物资全部到达灾区的路程是第一辆车出发,到最后一辆车到灾区,总路程最小为400+25=400+,
设这批物资全部到达灾区的时间为t h,
则t==+≥2=10.
当且仅当=,即v=80时,等号成立.
∴这批物资全部到达灾区最少需要10 h.
14.(5分)函数y=的对称中心为　　　　.
答案　(-1,1)
解析　∵y===1-,
∴该函数是由y=-先向左平移1个单位长度.
再向上平移1个单位长度得到的,
∴对称中心为(-1,1).
15.(5分)已知函数f(x)=若存在0答案　(96,100)
解析　∵f(x)=
可得函数图象如图所示.
由图可知,当y∈(4,5)时,存在0不妨令此时y=a,则对于x1,x2满足方程x+=a,即x2-ax+4=0,所以x1x2=4;对于x3,x4满足方程-x2+10x-20=a,即-x2+10x-20-a=0,所以x3+x4=10,则有x4=10-x3,
∴x1x2x3x4=4x3x4=4x3(10-x3)=-4(x3-5)2+100,
其中x3∈(4,5),则-4(x3-5)2+100∈(96,100),
即x1x2x3x4∈(96,100).
16.(12分)已知函数y=x+有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增.
(1)已知f(x)=2x+-7,x∈[0,1],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域;(6分)
(2)利用上述函数性质,当方程t2-(8+a)t+4=0在[2,3]上有解时,求实数a的取值范围.(6分)
解　(1)设t=2x+1,则f(x)=u(t)=t+-8,
因为x∈[0,1],则t=2x+1∈[1,3].
由已知性质可知u(t)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增.
所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
当2x+1=2,即x=时,f(x)min=f=-4,
又f(0)=-3,f(1)=-,
所以f(x)max=-3,所以值域为[-4,-3].
(2)由题意得at=t2-8t+4,
因为t≥2,所以a=t-8+=t+-8=u(t),
由(1)知u(t)=t+-8在[2,3]上单调递增,
所以u(t)min=u(2)=-4,
u(t)max=u(3)=-,
所以实数a的取值范围为.(共74张PPT)
习题课
第三章
<<<
反比例函数、对勾函数
1.掌握反比例函数和对勾函数的图象和性质.(重难点)
2.会利用对勾函数解决一些综合问题.(难点)
学习目标
一、反比例函数的图象和性质
二、对勾函数的图象和性质
课时对点练
三、对勾函数的综合运用
随堂演练
内容索引
一
反比例函数的图象和性质
反比例函数的一般形式是什么
问题1
提示　y=,其中x为自变量且x≠0,k为常数.
反比例函数的图象会过坐标原点吗
问题2
提示　不会,因为x≠0.
画出反比例函数y=的图象.
(1)求函数的定义域和值域;
例 1
函数的定义域为{x|x≠0},函数的值域为{y|y≠0}.
(2)判断函数的单调性和奇偶性.
令y=f(x),当k>0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调递增区间,证明如下:
当x>0时, x1,x2∈(0,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=-=,
∵k>0,x1>0,x2>0,x1∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减;
同理当x<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减.
当k<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调递减区间(证明略).
f(x)为奇函数.
反
思
感
悟
研究反比例函数的几个方面
(1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到.
(2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性,但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法.
(3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性.
(4)函数图象关于(0,0)中心对称.
作出y=(-2≤x<1且x≠0)的图象,并指出其值域和单调区间.
跟踪训练 1
由题意知函数y=(-2≤x<1且x≠0)的图象为反比例函数图象的一部分,
当x=-2时,y==-1;当x=1时,y==2;
所以该函数图象如图.
由图象可知,函数y=(-2≤x<1且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪(2,+∞).
单调递减区间为[-2,0)和(0,1),没有单调递增区间.
二
对勾函数的图象和性质
观察函数y=x+解析式的特点,你想到了什么
问题3
提示　学习了幂函数,类比实数的加、减、乘、除运算,我们对幂函数也进行相关的运算,得到了新的函数y=x+.
大家讨论一下,如何作出该函数的图象
问题4
提示　借助计算机软件,我们绘制出它的图象.
观察函数图象,你能发现函数图象有什么特点吗
问题5
提示　发现该函数图象介于y=x和y轴之间,且图象无限接近y=x和y轴,函数图象像两个勾子一样,故称此类函数为“对勾函数”.
结合函数的解析式和函数图象,你能得出f(x)=x+的哪些性质
问题6
提示　(1)定义域:∵x≠0,
∴函数f(x)=x+的定义域为{x|x≠0};
(2)值域:函数f(x)=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞);
(3)奇偶性:∵f(-x)=-x-=-=-f(x),
∴函数f(x)=x+为奇函数;
(4)单调性:由函数f(x)=x+的图象可知,函数f(x)=x+在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,0),(0,1)上单调递减.
(5)最大值、最小值:由函数的值域可知,函数无最大、最小值,但是当x>0时,函数有最小值为2,当x<0时,函数有最大值为-2.
(6)对称性:由函数的奇偶性可知,函数图象关于(0,0)成中心对称.
探究函数f(x)=x+(a>0)的性质,并画出它的简图(单调性需证明,其余性质列出即可).
例 2
(1)定义域:{x|x≠0};
(2)值域:(-∞,-2]∪[2,+∞);
(3)奇偶性:奇函数;
(4)单调性:函数f(x)=x+(a>0)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)
和(0,]上单调递减,证明如下:
任取x1,x2∈(0,],且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·.
因为0所以>1,所以1-<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(0,]上单调递减.
任取x1,x2∈(,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=(x1-x2).
因为x1-x2<0,x1x2>a,
所以<1,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x1)所以f(x)在(,+∞)上单调递增.
同理,f(x)在(-∞,-)上单调递增,在(-,0)上单调递减.
其图象如图所示.
当a<0时,探究该函数的性质,并画出函数的简图(单调性需证明,其余性质列出即可).
延伸探究
(1)定义域:{x|x≠0};
(2)值域:R;
(3)奇偶性:奇函数;
(4)函数f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-=(x1-x2),
因为0所以x1-x2<0,
又a<0,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
同理可知,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.
其简图如图所示.
函数f(x)=x+(a≠0)的单调性
当a>0时,在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减;
当a<0时,在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增.
反
思
感
悟
函数f(x)=x+.
(1)x∈[1,3],f(x)的最小值是　　　;
跟踪训练 2
2
∵f(x)在[1,3]上单调递增,
∴f(x)的最小值为f(1)=2.
(2)x∈,f(x)的值域为　　　　;
∵f(x)在上单调递减,在[1,3]上单调递增,
∴最小值为f(1)=2,
∵f=<=f(3),∴最大值为f(3),
∴f(x)在.
(3)x∈∪(0,3],f(x)的值域为　　　　　　　　　.
∪[2,+∞)
∵x∈∪(0,3],且f(x)在上单调递减,
∴f(x)在,
又f(x)在(0,3]上先单调递减,然后单调递增,在f(1)处取得最小值,
∴f(x)在(0,3]上的值域是[2,+∞),
∴f(x)在∪(0,3]上的值域为∪[2,+∞).
三
对勾函数的综合运用
已知函数f(x)=.
(1)当a=4时,求函数f(x)在x∈(0,+∞)上的最小值;
例 3
当a=4时,f(x)==x+-2,
当x∈(0,+∞)时,f(x)=x+-2≥2-2=2,
当且仅当x=,即x=2时等号成立,
∴f(x)的最小值为2.
(2)当a>0时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值.
f(x)=x+-2,设0f(x1)-f(x2)=x1-x2+-
=(x1-x2)=,
∵0∴x1x2∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,)上单调递减,同理可证f(x)在(,+∞)上单调递增,
当0f(x)min=f(2)=;
当a>4时,>2,函数f(x)在[2,)上单调递减,
在(,+∞)上单调递增,f(x)min=f()=2-2.
设f(x)的最小值为g(a),
∴g(a)=
求对勾函数的最值问题,可以利用函数的单调性及其图象研究,也可以利用基本不等式.
反
思
感
悟
函数f(x)=的值域是　　　　.
跟踪训练 3
由f(x)====(x-1)++4,
令t=x-1∈,原函数记为y=t++4,
则函数y关于t在上单调递减,在[2,3]上单调递增,
当t=2时,函数y有最小值为8,
当t=时,y=,当t=3时,y=<,
故函数y的最大值为,即f(x)的值域为.
1.知识清单:
(1)反比例函数的图象和性质.
(2)对勾函数的图象和性质.
2.方法归纳:分类讨论、数形结合.
3.常见误区:研究函数的性质一定先确定函数的定义域.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数y=,当x>0时,y随x的增大而增大,那么m的取值范围是
A.m<3 B.m>3
C.m<-3 D.m>-3
√
在反比例函数y=中,若k>0,在x>0时,y随x的增大而减小,若k<0,在x>0时,
y随x的增大而增大,所以由题意得m-3<0,m<3.
2.(多选)已知函数y=,下列结论中正确的是
A.其图象经过点(3,1)
B.其图象分别位于第一、三象限
C.当x>0时,y随x的增大而减小
D.当x>1时,y>3
√
1
2
3
4
√
√
1
2
3
4
反比例函数y=,当x=3时,y=1,故A正确;
因为y=分子大于0,所以图象在第一、三象限,故B正确;
反比例函数在第一、三象限上都单调递减,故C正确;
因为在(0,+∞) 上,y=单调递减,所以当x>1时,03.函数y=x+(x≥2)的最小值为
A.2　　　B.2　　　C.3　　　D.
1
2
3
4
√
由对勾函数的性质可知y=x+在[2,+∞)上单调递增,
所以ymin=2+=3.
1
2
3
4
4.已知对勾函数y=x+(a>0)在(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增,在(-a,0)和(0,a)上单调递减.若对勾函数f(x)=x+(t>0)在整数集合Z内单调递增,则实数t的取值范围为　　　　.
(0,2)
1
2
3
4
根据题意得f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,要使f(x)在整数集合Z内单调递增,
则
解得0∴实数t的取值范围为(0,2).
课时对点练
五
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.已知集合A=,B=,C=,则下列结论正确的是
A.A=B　　　B.A=C　　　C.B=C　　　D.A=B=C
√
∵函数y=的定义域为A=={x|x≠0},值域为B=={y|y≠0},且集合A,B都是数集,C是点集,∴A=B.
2.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为
A.p=96V B.p=-
C.p= D.p=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数,所以可设p=,由图象可知,点(1.5,64)在函数图象上,所以64=,解得k=96,
故p=.
3.函数f(x)=x+在区间[1,3]上的最大值是
A.3　　　B.5　　　C.4　　　D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
由对勾函数的图象的特点可知,x=2时函数有最小值,x=1时,函数有最大值为5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.函数f(x)=x+(a>0,x∈R,x≠0)的奇偶性为
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.无法判断
√
f(-x)=-x-=-f(x),故f(x)为奇函数.
5.函数g(x)=x+的单调递减区间为
A.(-3,0)∪(0,3) B.(-3,3)
C.(-3,0)和(0,3) D.(-∞,-3)和(3,+∞)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
6.(多选)下列函数中,满足对任意x1,x2∈(1,+∞),有<0的是
A.f(x)=x+ B.f(x)=
C.f(x)=1+ D.f(x)=-x-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对任意x1,x2∈(1,+∞),有<0,
则函数在区间(1,+∞)上单调递减.
对于A,f(x)=x+,由对勾函数的图象与性质可知不满足题意,故A不满足题意;
对于B,f(x)=,根据复合函数的单调性知,函数在区间(1,+∞)上单调递增,故B不满足题意;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于C,f(x)=1+,函数在区间(1,+∞)上单调递减,故C满足题意;
对于D,f(x)=-x- ,显然函数在区间(1,+∞)上单调递减,故D满足题意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.函数f(x)=x-的单调递增区间为　　　　　　　　.
(-∞,0)和(0,+∞)
画出函数图象如图,可知函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.在平面直角坐标系中,函数y=-x+a与函数y=的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是 　　　　　　.
a<-2或a>2
联立整理得x2-ax+1=0, ①
函数y=-x+a与反比例函数y=的图象有两个公共点,
则方程组有两个解,即方程①有两个不同的解,
Δ=a2-4>0,a<-2或a>2.
9.作出函数y=的图象,并写出函数的单调区间和值域.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
y==1+,图象如图所示.
函数在(-∞,2)和(2,+∞)上单调递减.
因为≠0,所以1+≠1.
故单调递减区间为(-∞,2)和(2,+∞),无单调递增区间.
值域为(-∞,1)∪(1,+∞).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与(4x+1)成正比;若在距离车站10 km处建仓库,则y1与y2分别为2万元和8.2万元.记两项费用之和为w.
(1)求w关于x的解析式;
∵每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,
∴可设y1=,∵每月库存货物费y2(单位:万元)与(4x+1)成正比,
∴可设y2=(4x+1)k2,
又∵在距离车站10 km处建仓库,则y1与y2分别为2万元和8.2万元,
∴k1=2×10=20,k2==0.2,
∴y1=,y2=(4x+1)×0.2=0.8x+0.2,
∴w=y1+y2=+0.8x+0.2(x>0).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小 求出最小值.
∵w=+0.8x+0.2≥2+0.2=8.2,当且仅当=0.8x,即x=5时等号成立,
∴这家公司应该把仓库建在距离车站5 km处,才能使两项费用之和最小,最小值为8.2万元.
11.函数f(x)=(x∈R)的值域是
A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1) D.[0,1]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
√
令t=1+x2,则t∈[1,+∞),又y=在t∈[1,+∞)上单调递减,
所以f(x)=(x∈R)的值域为(0,1].
12.函数y=x2+-2(-1A.x≥2　　　B.y≥2　　　C.{y|y≥3}　　　D.{y|y>3}
√
令t=x2∈(0,1),
所以y=x2+-2=t+-2,
因为对勾函数y=t+在(0,1)上单调递减,
所以y=x2+-2>5-2=3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度送往灾区,已知运送的路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要
A.5 h　　　B.10 h　　　C.15 h　　　D.20 h
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由已知得这批物资全部到达灾区的路程是第一辆车出发,到最后一辆车到灾区,总路程最小为400+25=400+,
设这批物资全部到达灾区的时间为t h,
则t==+≥2=10.
当且仅当=,即v=80时,等号成立.
∴这批物资全部到达灾区最少需要10 h.
14.函数y=的对称中心为　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(-1,1)
∵y===1-,
∴该函数是由y=-先向左平移1个单位长度.
再向上平移1个单位长度得到的,
∴对称中心为(-1,1).
15.已知函数f(x)=若存在0拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(96,100)
∵f(x)=
可得函数图象如图所示.
由图可知,当y∈(4,5)时,存在0不妨令此时y=a,则对于x1,x2满足方程x+=a,即x2-ax+4=0,所以x1x2=4;
对于x3,x4满足方程-x2+10x-20=a,即-x2+10x-20-a=0,所以x3+x4=10,则有x4=10-x3,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴x1x2x3x4=4x3x4=4x3(10-x3)=-4(x3-5)2+100,
其中x3∈(4,5),则-4(x3-5)2+100∈(96,100),
即x1x2x3x4∈(96,100).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知函数y=x+有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增.
(1)已知f(x)=2x+-7,x∈[0,1],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域;
设t=2x+1,则f(x)=u(t)=t+-8,
因为x∈[0,1],则t=2x+1∈[1,3].
由已知性质可知u(t)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增.
所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
当2x+1=2,即x=时,f(x)min=f=-4,
又f(0)=-3,f(1)=-,
所以f(x)max=-3,所以值域为[-4,-3].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)利用上述函数性质,当方程t2-(8+a)t+4=0在[2,3]上有解时,求实数a的取值范围.
由题意得at=t2-8t+4,
因为t≥2,所以a=t-8+=t+-8=u(t),
由(1)知u(t)=t+-8在[2,3]上单调递增,
所以u(t)min=u(2)=-4,
u(t)max=u(3)=-,
所以实数a的取值范围为.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16习题课　反比例函数、对勾函数
[学习目标]　1.掌握反比例函数和对勾函数的图象和性质.(重难点)2.会利用对勾函数解决一些综合问题.(难点)
一、反比例函数的图象和性质
问题1　反比例函数的一般形式是什么
问题2　反比例函数的图象会过坐标原点吗
例1　画出反比例函数y=的图象.
(1)求函数的定义域和值域;
(2)判断函数的单调性和奇偶性.
反思感悟　研究反比例函数的几个方面
(1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到.
(2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性,但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法.
(3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性.
(4)函数图象关于(0,0)中心对称.
跟踪训练1　作出y=(-2≤x<1且x≠0)的图象,并指出其值域和单调区间.
二、对勾函数的图象和性质
问题3　观察函数y=x+解析式的特点,你想到了什么
问题4　大家讨论一下,如何作出该函数的图象
问题5　观察函数图象,你能发现函数图象有什么特点吗
问题6　结合函数的解析式和函数图象,你能得出f(x)=x+的哪些性质
例2　探究函数f(x)=x+(a>0)的性质,并画出它的简图(单调性需证明,其余性质列出即可).
延伸探究　当a<0时,探究该函数的性质,并画出函数的简图(单调性需证明,其余性质列出即可).
反思感悟　函数f(x)=x+(a≠0)的单调性
当a>0时,在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减;
当a<0时,在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增.
跟踪训练2　函数f(x)=x+.
(1)x∈[1,3],f(x)的最小值是　　　　;
(2)x∈,f(x)的值域为　　　　;
(3)x∈∪(0,3],f(x)的值域为　　　　.
三、对勾函数的综合运用
例3　已知函数f(x)=.
(1)当a=4时,求函数f(x)在x∈(0,+∞)上的最小值;
(2)当a>0时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值.
反思感悟　求对勾函数的最值问题,可以利用函数的单调性及其图象研究,也可以利用基本不等式.
跟踪训练3　函数f(x)=的值域是　　　　　.
1.知识清单:
(1)反比例函数的图象和性质.
(2)对勾函数的图象和性质.
2.方法归纳:分类讨论、数形结合.
3.常见误区:研究函数的性质一定先确定函数的定义域.
1.函数y=,当x>0时,y随x的增大而增大,那么m的取值范围是 (　　)
A.m<3 B.m>3
C.m<-3 D.m>-3
2.(多选)已知函数y=,下列结论中正确的是 (　　)
A.其图象经过点(3,1)
B.其图象分别位于第一、三象限
C.当x>0时,y随x的增大而减小
D.当x>1时,y>3
3.函数y=x+(x≥2)的最小值为 (　　)
A.2 B.2
C.3 D.
4.已知对勾函数y=x+(a>0)在(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增,在(-a,0)和(0,a)上单调递减.若对勾函数f(x)=x+(t>0)在整数集合Z内单调递增,则实数t的取值范围为　　　　.
答案精析
问题1　y=，其中x为自变量且x≠0，k为常数.
问题2　不会，因为x≠0.
例1　解　
(1)函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为{y|y≠0}.
(2)令y=f(x)，当k>0时，f(x)的单调递减区间为(-∞，0)和(0，+∞)，没有单调递增区间，证明如下：
当x>0时， x1，x2∈(0，+∞)且x1f(x1)-f(x2)=-
=，
∵k>0，x1>0，x2>0，x1∴f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，+∞)上单调递减；
同理当x<0时，f(x)在(-∞，0)上单调递减.
当k<0时，f(x)的单调递增区间为(-∞，0)和(0，+∞)，没有单调递减区间(证明略).
f(x)为奇函数.
跟踪训练1　解　由题意知函数y=(-2≤x<1且x≠0)的图象为反比例函数图象的一部分，
当x=-2时，y==-1；
当x=1时，y==2；
所以该函数图象如图.
由图象可知，函数y=(-2≤x<1且x≠0)的值域为(-∞，-1］∪(2，+∞).
单调递减区间为［-2，0)和(0，1)，没有单调递增区间.
问题3　学习了幂函数，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行相关的运算，得到了新的函数
y=x+.
问题4　借助计算机软件，我们绘制出它的图象.
问题5　发现该函数图象介于y=x和y轴之间，且图象无限接近y=x和y轴，函数图象像两个勾子一样，故称此类函数为“对勾函数”.
问题6　(1)定义域：∵x≠0，
∴函数f(x)=x+的定义域为{x|x≠0}；
(2)值域：函数f(x)=x+的值域为(-∞，-2］∪［2，+∞)；
(3)奇偶性：∵f(-x)=-x-
=-=-f(x)，
∴函数f(x)=x+为奇函数；
(4)单调性：由函数f(x)=x+的图象可知，函数f(x)=x+在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递增，在(-1，0)，(0，1)上单调递减.
(5)最大值、最小值：由函数的值域可知，函数无最大、最小值，但是当x>0时，函数有最小值为2，当x<0时，函数有最大值为-2.
(6)对称性：由函数的奇偶性可知，函数图象关于(0，0)成中心对称.
例2　解　(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：(-∞，-2］∪［2，+∞)；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)单调性：函数f(x)=x+(a>0)在(-∞，-)和(，+∞)上单调递增，在［-，0)和(0，］上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈(0，］，且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·.
因为0所以x1-x2<0，0所以>1，所以1-<0，
所以f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(0，］上单调递减.
任取x1，x2∈(，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)·.
因为x1-x2<0，x1x2>a，
所以<1，所以1->0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
所以f(x1)所以f(x)在(，+∞)上单调递增.
同理，f(x)在(-∞，-)上单调递增，在(-，0)上单调递减.
其图象如图所示.
延伸探究　解　(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：R；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)函数f(x)在区间(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)
=x1+-
=(x1-x2)，
因为0又a<0，所以1->0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增；
同理可知，函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递增.
其简图如图所示.
跟踪训练2　(1)2　(2)　(3)∪［2，+∞)
解析　(1)∵f(x)在［1，3］上单调递增，
∴f(x)的最小值为f(1)=2.
(2)∵f(x)在上单调递减，在［1，3］上单调递增，
∴最小值为f(1)=2，
∵f=<=f(3)，
∴最大值为f(3)，
∴f(x)在上的值域为.
(3)∵x∈∪(0，3］，
且f(x)在上单调递减，
∴f(x)在上的值域是，
又f(x)在(0，3］上先单调递减，然后单调递增，在f(1)处取得最小值，
∴f(x)在(0，3］上的值域是［2，+∞)，
∴f(x)在∪(0，3］上的值域为∪［2，+∞).
例3　解　(1)当a=4时，f(x)==x+-2，
当x∈(0，+∞)时，f(x)=x+-2≥2-2=2，
当且仅当x=，即x=2时等号成立，
∴f(x)的最小值为2.
(2)f(x)=x+-2，
设0f(x1)-f(x2)=x1-x2+-
=(x1-x2)
=，
∵0∴f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，)上单调递减，同理可证f(x)在(，+∞)上单调递增，
当0f(x)min=f(2)=；
当a>4时，>2，函数f(x)在［2，)上单调递减，
在(，+∞)上单调递增，
f(x)min=f()=2-2.
设f(x)的最小值为g(a)，
∴g(a)=
跟踪训练3　
解析　由f(x)=
=
=
=(x-1)++4，
令t=x-1∈，
原函数记为y=t++4，
则函数y关于t在上单调递减，在［2，3］上单调递增，
当t=2时，函数y有最小值为8，
当t=时，y=，
当t=3时，y=<，
故函数y的最大值为，
即f(x)的值域为.
随堂演练
1.A　2.ABC　3.C　4.(0，2)

展开更多......

收起↑