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[学习目标]　1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质.能利用根式的性质对根式进行运算.(重点)2.理解分数指数幂的含义,掌握根式和分数指数幂的互化.(重点)3.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.(重难点)
导语
公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢 他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数来表示,希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这就是本节课我们要学习的根式.
一、n次方根
问题1　如果x2=a(a>0),那么x叫做a的什么 这样的x有几个 x3=a呢
提示　如果x2=a(a>0),那么x叫做a的平方根,这样的x有两个;如果x3=a,那么x叫做a的立方根,这样的x有一个.
问题2　类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么
提示　比如(±2)4=16,我们把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我们把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我们把-2叫做-32的5次方根;(±2)10=1 024,我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到:如果2n=a,那么我们把2叫做a的n次方根.
知识梳理
1.n次方根的定义
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
2.n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a=0 a<0
x= x=± x=0 x不存在
3.根式
式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
4.根式的性质
(1)负数没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0,记作=0.
(3)当n为奇数时,()n=a(n∈N*,且n>1).
(4)当n为偶数时,=|a|=(n∈N*,且n>1).
注意点:
(1)对于()n=a,若n为奇数,则a∈R;若n为偶数,则a≥0.
(2)()n与意义不同,比如=-3,=3,而没有意义,故()n≠.
(3)当a≥0时,()n=;当a<0且n为奇数时,()n=;当a<0且n为偶数时,对于要注意运算次序.
例1　(1)化简下列各式:
①+()5;
②+()6;
③.
解　①原式=(-2)+(-2)=-4.
②原式=|-2|+2=2+2=4.
③原式=|x+2|=
(2)已知-3解　原式=-
=|x-1|-|x+3|,
∵-3∴当-3原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
∴原式=
反思感悟　正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数,的值取决于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的范围.
跟踪训练1　化简下列各式:
(1);
(2)+;
(3)(a≤1);
(4)+.
解　(1)=-2.
(2)+=|π-4|+π-4
=4-π+π-4=0.
(3)∵a≤1,
∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
(4)+=a+|1-a|=
二、根式与分数指数幂的互化
问题3　被开方数的指数不能被根指数整除的根式,比如,,,,a>0,是否也可以表示为分数指数幂的形式 如何表示
提示　可以.=,==,=,==.
知识梳理
根式与分数指数幂的互化
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是:=(a>0,m,n∈N*,且n>1).
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是:==(a>0,m,n∈N*,且n>1).
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(4)整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
拓展:①=ar-s(a>0,r,s∈Q);
②=(a>0,b>0,r∈Q).
注意点:
(1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法.
(2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
例2　将下列根式化成分数指数幂的形式:
(1)(a>0);
(2);
(3)((b>0).
解　(1)原式===(=.
(2)原式======.
(3)原式=[(==.
反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指数幂写出.
跟踪训练2　(1)求值:=　　　　;
(2)用分数指数幂表示=　　　　.
答案　(1)-　(2)
解析　(1)原式===-.
(2)原式==.
三、实数指数幂的运算
知识梳理
1.无理数指数幂:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的实数.
2.实数指数幂的运算法则
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R).
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
(4)拓展:①=ar-s(a>0,r,s∈R),
②=(a>0,b>0,r∈R).
注意点:
特别强调底数a>0,b>0.
例3　(1)=　　　　.(式中字母均是正数)
答案　
解析　原式=
===
=a-1=.
(2)计算:--(π-3)0+.
解　原式=--1+2=2.
(3)计算:·.
解　原式=·==25=32.
反思感悟　关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
(2)若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算.
跟踪训练3　(1)计算:-(-2)0-+;
(2)化简:2÷(-6)(x,y>0);
(3)化简:(2(m>0).
解　(1)原式=-1-+=-1-+=.
(2)原式=[2×(-3)÷(-6)]
=x2y.
(3)原式=(2·)=26m3=64m3.
四、实数指数幂的综合运用
例4　已知x+x-1=7,求值:
(1)x2+x-2;
(2)+;
(3)x2-x-2.
解　(1)x+x-1=7,两边平方得x2+2+x-2=49,
所以x2+x-2=47.
(2)设m=+,两边平方得m2=x+x-1+2=7+2=9,
因为m>0,所以m=3,即+=3.
(3)设n=-,两边平方得n2=x+x-1-2=7-2=5,
因为n∈R,所以n=±,
即-=±.
所以x-x-1=(+)(-)=±3,
x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±21.
延伸探究　本例的条件不变,求x3+x-3的值.
解　由x+x-1=7平方可得x2+x-2=47,
所以x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=7×46=322.
反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题,常常运用完全平方公式及其变形公式.
常见的变形公式:
x2+x-2=(x±x-1)2 2,x+x-1=(±)2 2,+=(±)2 2.
跟踪训练4　已知+=,则x2+x-2=　　　　.
答案　7
解析　将+=,
两边平方得x+x-1+2=5,
则x+x-1=3,两边再平方得x2+x-2+2=9,
所以x2+x-2=7.
1.知识清单:
(1)n次方根的概念、表示及性质.
(2)分数指数幂与根式的相互转化.
(3)实数指数幂的运算性质.
(4)实数指数幂的综合运用.
2.方法归纳:转化法、整体代换法.
3.常见误区:
(1)对于,当n为偶数时,忽略a≥0.
(2)混淆()n和.
(3)在运用分数指数幂的运算性质化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
1.若a<,则化简的结果是 (　　)
A.4a-1 B.1-4a
C.- D.-
答案　B
解析　∵a<,∴4a-1<0,
∴=|4a-1|=-(4a-1)
=1-4a.
2.(多选)下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 (　　)
A.-=-(x>0)
B.=-(x>0)
C.=(xy>0)
D.=
答案　AC
解析　-=-,故A正确;
=,故B错误;
=(xy>0),故C正确;
=|y,故D错误.
3.已知+=5(x>0),那么+等于 (　　)
A. B.-
C.± D.7
答案　A
解析　(+)2=++2=5+2=7.
又x>0,故+=.
4.若10x=3,10y=4,则102x-y=　　　　.
答案　
解析　∵10x=3,∴102x=9,∴102x-y==.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共45分;多选题每小题6分,共6分
1.若a是实数,则下列式子中可能没有意义的是 (　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　当a<0时,a的偶次方根无意义.
2.若+(a-4)0有意义,则a的取值范围是 (　　)
A.[2,+∞) B.[2,4)∪(4,+∞)
C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,4)∪(4,+∞)
答案　B
解析　由题意可知∴a≥2且a≠4.
3.下列运算中正确的是 (　　)
A.= B.(-a2)3=(-a3)2
C.(-2)0=1 D.(-)5=-
答案　D
解析　=,故A错误;(-a2)3=-a2×3
=-a6,(-a3)2=a6,故B错误;当a=4时,(-2)0无意义,故C错误;(-)5=-,故D正确.
4.化简(其中a>0,b>0)的结果是 (　　)
A. B.-
C. D.-
答案　C
解析　===.
5.若3a·9b=,则下列等式正确的是 (　　)
A.a+b=-1 B.a+b=1
C.a+2b=-1 D.a+2b=1
答案　C
解析　∵3a·9b=3a·32b=3a+2b==3-1,
∴a+2b=-1.
6.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　　)
A.-=(-x
B.=(y>0)
C.=(x>0)
D.[=(x>0)
答案　BCD
解析　A项错误,-=-(x≥0),而(-x=(x≤0);
B项正确,=(y>0);
C项正确,==(x>0);
D项正确,[==(x>0).
7.(5分)当x<0时,x++=　　　　.
答案　1
解析　原式=x+|x|+=x-x+1=1.
8.(5分)化简:=　　　　.
答案　1
解析　原式====1.
9.(12分)(1)化简:(2)(-6)(-3)(a>0,b>0);(6分)
(2)求值:+2-2×-0.010.5.(6分)
解　(1)(2)(-6)(-3)
=2×(-6)×(-3)
=36a.
(2)+2-2×-0.010.5
=1+×-
=1+×-
=1+-
=.
10.(10分)已知a2x=3,求的值.
解　原式==a2x-1+a-2x=3-1+=.
11.已知x,y∈R,下列等式恒成立的是 (　　)
A.(-)6=x-y
B.=x2+y2
C.-=x-y
D.=x+y
答案　B
解析　A项显然不成立;
B项,∵x2+y2≥0,
∴=|x2+y2|=x2+y2,故B项恒成立;
C项,-=|x|-|y|=x-y不一定成立,故C项不恒成立;
D项,=|x+y|=x+y不一定成立,故D项不恒成立.
12.若(1-2x有意义,则x的取值范围是 (　　)
A.R
B.∪
C.
D.
答案　D
解析　将分数指数幂化为根式,
可知需满足1-2x>0,
解得x<.
13.方程=的解是 (　　)
A.x=- B.x=-
C.x= D.x=
答案　B
解析　∵==3-2,∴x-1=-2,
∴x=-.∴方程=的解是x=-.
14.已知2a=5b=m,且+=2,则m等于 (　　)
A. B.10
C.20 D.100
答案　A
解析　由题意得m>0,
∵2a=m,5b=m,
∴2=,5=,
∵2×5=·=,
∴m2=10,∴m=.
15.(5分)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则=　　　　.
答案　
解析　∵a,b是方程x2-6x+4=0的两根,
∴a+b=6,且ab=4.
∴=
==.
∵a>b>0,∴>>0,
∴+>0,->0,
∴==.
16.(12分)若a=3,求+++的值.
解　+++
=++
=++
=+
=+===-1.(共68张PPT)
§4.1
第四章
<<<
指　数
1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质.能利用根式的性质对根式进行运算.(重点)
2.理解分数指数幂的含义,掌握根式和分数指数幂的互化.(重点)
3.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.(重难点)
学习目标
公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢 他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数来表示,希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这就是本节课我们要学习的根式.
导 语
一、n次方根
二、根式与分数指数幂的互化
课时对点练
三、实数指数幂的运算
随堂演练
内容索引
四、实数指数幂的综合运用
一
n次方根
如果x2=a(a>0),那么x叫做a的什么 这样的x有几个 x3=a呢
问题1
提示　如果x2=a(a>0),那么x叫做a的平方根,这样的x有两个;如果x3=a,那么x叫做a的立方根,这样的x有一个.
类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么
问题2
提示　比如(±2)4=16,我们把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我们把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我们把-2叫做-32的5次方根;(±2)10=1 024,我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到:如果2n=a,那么我们把2叫做a的n次方根.
1.n次方根的定义
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的 ,其中n>1,且n∈N*.
2.n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a=0 a<0
x=____ x=______ x=0 x不存在
n次方根
±
3.根式
式子叫做 ,这里n叫做 ,a叫做 .
4.根式的性质
(1) 没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0,记作= .
(3)当n为奇数时,()n= (n∈N*,且n>1).
(4)当n为偶数时,=|a|=(n∈N*,且n>1).
根式
根指数
被开方数
负数
0
a
a
(1)对于()n=a,若n为奇数,则a∈R;若n为偶数,则a≥0.
(2)()n与意义不同,比如=-3,=3,而没有意义,故()n≠.
(3)当a≥0时,()n=;当a<0且n为奇数时,()n=;当a<0且n为偶数时,对于要注意运算次序.
注 意 点
<<<
(1)化简下列各式:
①+()5;
例 1
原式=(-2)+(-2)=-4.
②+()6;
原式=|-2|+2=2+2=4.
③.
原式=|x+2|=
(2)已知-3原式=-=|x-1|-|x+3|,
∵-3∴当-3原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
∴原式=
反
思
感
悟
正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数,的值取决于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的范围.
化简下列各式:
(1);
跟踪训练 1
=-2.
(2)+;
+=|π-4|+π-4
=4-π+π-4=0.
(3)(a≤1);
∵a≤1,
∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
(4)+.
+=a+|1-a|=
二
根式与分数指数幂的互化
被开方数的指数不能被根指数整除的根式,比如,,,
,a>0,是否也可以表示为分数指数幂的形式 如何表示
问题3
提示　可以.=,==,=,==.
根式与分数指数幂的互化
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是:=(a>0,m,n∈N*,且n>1).
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是:==(a>0,m,n∈N*,且n>1).
(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .
0
没有意义
(4)整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
拓展:①=ar-s(a>0,r,s∈Q);
②=(a>0,b>0,r∈Q).
(1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法.
(2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
注 意 点
<<<
将下列根式化成分数指数幂的形式:
(1)(a>0);
例 2
原式===(=.
(2);
原式======.
(3)((b>0).
原式=[(==.
反
思
感
悟
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 分数指数的分母,被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指数幂写出.
(1)求值:=　　　;
跟踪训练 2
-
原式===-.
(2)用分数指数幂表示=　　　.
原式==.
三
实数指数幂的运算
1.无理数指数幂:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的 .
2.实数指数幂的运算法则
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R).
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
(4)拓展:①=ar-s(a>0,r,s∈R),
②=(a>0,b>0,r∈R).
实数
特别强调底数a>0,b>0.
注 意 点
<<<
(1)=　　　.(式中字母均是正数)
例 3
原式=
===
=a-1=.
(2)计算:--(π-3)0+.
原式=--1+2=2.
(3)计算:·.
原式=·==25=32.
反
思
感
悟
关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
(2)若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算.
(1)计算:-(-2)0-+;
跟踪训练 3
原式=-1-+=-1-+=.
(2)化简:2÷(-6)(x,y>0);
原式=[2×(-3)÷(-6)]=x2y.
(3)化简:(2(m>0).
原式=(2·)=26m3=64m3.
四
实数指数幂的综合运用
已知x+x-1=7,求值:
(1)x2+x-2;
例 4
x+x-1=7,两边平方得x2+2+x-2=49,
所以x2+x-2=47.
(2)+;
设m=+,两边平方得m2=x+x-1+2=7+2=9,
因为m>0,所以m=3,即+=3.
(3)x2-x-2.
设n=-,两边平方得n2=x+x-1-2=7-2=5,
因为n∈R,所以n=±,
即-=±.
所以x-x-1=(+)(-)=±3,
x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±21.
本例的条件不变,求x3+x-3的值.
延伸探究
由x+x-1=7平方可得x2+x-2=47,
所以x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=7×46=322.
反
思
感
悟
利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题,常常运用完全平方公式及其变形公式.
常见的变形公式:
x2+x-2=(x±x-1)2 2,x+x-1=(±)2 2,+=(±)2 2.
已知+=,则x2+x-2=　　.
跟踪训练 4
7
将+=,
两边平方得x+x-1+2=5,
则x+x-1=3,两边再平方得x2+x-2+2=9,
所以x2+x-2=7.
1.知识清单:
(1)n次方根的概念、表示及性质.
(2)分数指数幂与根式的相互转化.
(3)实数指数幂的运算性质.
(4)实数指数幂的综合运用.
2.方法归纳:转化法、整体代换法.
3.常见误区:
(1)对于,当n为偶数时,忽略a≥0.
(2)混淆()n和.
(3)在运用分数指数幂的运算性质化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.若a<,则化简的结果是
A.4a-1 B.1-4a
C.- D.-
√
∵a<,∴4a-1<0,
∴=|4a-1|=-(4a-1)
=1-4a.
2.(多选)下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是
A.-=-(x>0)
B.=-(x>0)
C.=(xy>0)
D.=
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
-=-,故A正确;
=,故B错误;
=(xy>0),故C正确;
=|y,故D错误.
3.已知+=5(x>0),那么+等于
A. B.-
C.± D.7
1
2
3
4
√
(+)2=++2=5+2=7.
又x>0,故+=.
1
2
3
4
4.若10x=3,10y=4,则102x-y=　　　.
∵10x=3,∴102x=9,∴102x-y==.
课时对点练
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.若a是实数,则下列式子中可能没有意义的是
A.　　　B.　　　C.　　　D.
√
当a<0时,a的偶次方根无意义.
2.若+(a-4)0有意义,则a的取值范围是
A.[2,+∞) B.[2,4)∪(4,+∞)
C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,4)∪(4,+∞)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
由题意可知∴a≥2且a≠4.
3.下列运算中正确的是
A.= B.(-a2)3=(-a3)2
C.(-2)0=1 D.(-)5=-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
=,故A错误;
(-a2)3=-a2×3=-a6,(-a3)2=a6,故B错误;
当a=4时,(-2)0无意义,故C错误;
(-)5=-,故D正确.
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4.化简(其中a>0,b>0)的结果是
A. B.-
C. D.-
√
===.
5.若3a·9b=,则下列等式正确的是
A.a+b=-1 B.a+b=1
C.a+2b=-1 D.a+2b=1
∵3a·9b=3a·32b=3a+2b==3-1,
∴a+2b=-1.
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6.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是
A.-=(-x
B.=(y>0)
C.=(x>0)
D.[=(x>0)
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A项错误,-=-(x≥0),而(-x=(x≤0);
B项正确,=(y>0);
C项正确,==(x>0);
D项正确,[==(x>0).
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7.当x<0时,x++=　　　.
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原式=x+|x|+=x-x+1=1.
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8.化简:=　　　.
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原式====1.
9.(1)化简:(2)(-6)(-3)(a>0,b>0);
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(2)(-6)(-3)
=2×(-6)×(-3)
=36a.
(2)求值:+2-2×-0.010.5.
+2-2×-0.010.5
=1+×-
=1+×-
=1+-
=.
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10.已知a2x=3,求的值.
原式==a2x-1+a-2x=3-1+=.
11.已知x,y∈R,下列等式恒成立的是
A.(-)6=x-y
B.=x2+y2
C.-=x-y
D.=x+y
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综合运用
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A项显然不成立;
B项,∵x2+y2≥0,
∴=|x2+y2|=x2+y2,故B项恒成立;
C项,-=|x|-|y|=x-y不一定成立,故C项不恒成立;
D项,=|x+y|=x+y不一定成立,故D项不恒成立.
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12.若(1-2x有意义,则x的取值范围是
A.R B.
C. D.
√
将分数指数幂化为根式,
可知需满足1-2x>0,
解得x<.
13.方程=的解是
A.x=-　　　B.x=-　　　C.x=　　　D.x=
∵==3-2,∴x-1=-2,∴x=-.
∴方程=的解是x=-.
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√
14.已知2a=5b=m,且+=2,则m等于
A.　　　B.10　　　C.20　　　D.100
由题意得m>0,
∵2a=m,5b=m,
∴2=,5=,
∵2×5=·=,
∴m2=10,∴m=.
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15.已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则=　　　　.
拓广探究
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∵a,b是方程x2-6x+4=0的两根,
∴a+b=6,且ab=4.
∴===.
∵a>b>0,∴>>0,
∴+>0,->0,
∴==.
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16.若a=3,求+++的值.
+++=++
=++=+
=+===-1.[学习目标]　1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质.能利用根式的性质对根式进行运算.(重点)2.理解分数指数幂的含义,掌握根式和分数指数幂的互化.(重点)3.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.(重难点)
一、n次方根
问题1　如果x2=a(a>0),那么x叫做a的什么 这样的x有几个 x3=a呢
问题2　类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么
知识梳理
1.n次方根的定义
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的 ,其中n>1,且n∈N*.
2.n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a=0 a<0
x=______ x=______ x=0 x不存在
3.根式
式子叫做 ,这里n叫做 ,a叫做 .
4.根式的性质
(1) 没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0,记作= .
(3)当n为奇数时,()n= (n∈N*,且n>1).
(4)当n为偶数时,=|a|=(n∈N*,且n>1).
例1　(1)化简下列各式:
①+()5;
②+()6;
③.
(2)已知-3反思感悟　正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数,的值取决于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的范围.
跟踪训练1　化简下列各式:
(1);
(2)+;
(3)(a≤1);
(4)+.
二、根式与分数指数幂的互化
问题3　被开方数的指数不能被根指数整除的根式,比如,,,,a>0,是否也可以表示为分数指数幂的形式 如何表示
知识梳理
根式与分数指数幂的互化
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是:=(a>0,m,n∈N*,且n>1).
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是:==(a>0,m,n∈N*,且n>1).
(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .
(4)整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
拓展:①=ar-s(a>0,r,s∈Q);
②=(a>0,b>0,r∈Q).
例2　将下列根式化成分数指数幂的形式:
(1)(a>0);
(2);
(3)((b>0).
反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指数幂写出.
跟踪训练2　(1)求值:= ;
(2)用分数指数幂表示= .
三、实数指数幂的运算
知识梳理
1.无理数指数幂:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的 .
2.实数指数幂的运算法则
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R).
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
(4)拓展:①=ar-s(a>0,r,s∈R),
②=(a>0,b>0,r∈R).
例3　(1)= .(式中字母均是正数)
(2)计算:--(π-3)0+.
(3)计算:·.
反思感悟　关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
(2)若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算.
跟踪训练3　(1)计算:-(-2)0-+;
(2)化简:2÷(-6)(x,y>0);
(3)化简:(2(m>0).
四、实数指数幂的综合运用
例4　已知x+x-1=7,求值:
(1)x2+x-2;
(2)+;
(3)x2-x-2.
延伸探究　本例的条件不变,求x3+x-3的值.
跟踪训练4　已知+=,则x2+x-2= .
1.知识清单:
(1)n次方根的概念、表示及性质.
(2)分数指数幂与根式的相互转化.
(3)实数指数幂的运算性质.
(4)实数指数幂的综合运用.
2.方法归纳:转化法、整体代换法.
3.常见误区:
(1)对于,当n为偶数时,忽略a≥0.
(2)混淆()n和.
(3)在运用分数指数幂的运算性质化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
1.若a<,则化简的结果是 (　　)
A.4a-1 B.1-4a
C.- D.-
2.(多选)下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 (　　)
A.-=-(x>0)
B.=-(x>0)
C.=(xy>0)
D.=
3.已知+=5(x>0),那么+等于 (　　)
A. B.-
C.± D.7
4.若10x=3,10y=4,则102x-y= .
答案精析
问题1　如果x2=a(a>0)，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3=a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个.
问题2　比如(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4=81，我们把±3叫做81的4次方根；(-2)5=-32，我们把-2叫做-32的5次方根；(±2)10=1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程，我们可以得到：如果2n=a，那么我们把2叫做a的n次方根.
知识梳理
1.n次方根
2.　±
3.根式　根指数　被开方数
4.(1)负数　(2)0　(3)a　(4)a
例1　(1)解　①原式=(-2)+(-2)=-4.
②原式=|-2|+2=2+2=4.
③原式=|x+2|=
(2)解　原式=-
=|x-1|-|x+3|，
∵-3∴当-3原式=-(x-1)-(x+3)
=-2x-2；
当1≤x<3时，原式=(x-1)-(x+3)=-4.
∴原式=
跟踪训练1　解　(1)=-2.
(2)+
=|π-4|+π-4
=4-π+π-4=0.
(3)∵a≤1，
∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
(4)+=a+|1-a|
=
问题3　可以.=，
==，=，
==.
知识梳理
(3)0　没有意义
例2　解　(1)原式===(=.
(2)原式==
====.
(3)原式=［(
==.
跟踪训练2　(1)-　(2)
解析　(1)原式=
==-.
(2)原式==.
知识梳理
1.实数
例3　(1)
解析　原式=
==
==a-1=.
(2)解　原式=--1+2=2.
(3)解　原式=·==25=32.
跟踪训练3　解　(1)原式=-1-+=-1-+=.
(2)原式=［2×(-3)÷(-6)］=x2y.
(3)原式=(2·=26m3=64m3.
例4　解　(1)x+x-1=7，
两边平方得x2+2+x-2=49，
所以x2+x-2=47.
(2)设m=+，两边平方得
m2=x+x-1+2=7+2=9，
因为m>0，所以m=3，
即+=3.
(3)设n=-，两边平方得
n2=x+x-1-2=7-2=5，
因为n∈R，所以n=±，
即-=±.
所以x-x-1=(+)(-)=±3，
x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)
=±21.
延伸探究　解　由x+x-1=7平方可得x2+x-2=47，
所以x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=7×46=322.
跟踪训练4　7
解析　将+=，
两边平方得x+x-1+2=5，
则x+x-1=3，两边再平方得
x2+x-2+2=9，
所以x2+x-2=7.
随堂演练
1.B　2.AC　3.A　4.作业29　指　数
(分值:100分)
单选题每小题5分,共45分;多选题每小题6分,共6分
1.若a是实数,则下列式子中可能没有意义的是 (　　)
A. B.
C. D.
2.若+(a-4)0有意义,则a的取值范围是 (　　)
A.[2,+∞) B.[2,4)∪(4,+∞)
C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,4)∪(4,+∞)
3.下列运算中正确的是 (　　)
A.= B.(-a2)3=(-a3)2
C.(-2)0=1 D.(-)5=-
4.化简(其中a>0,b>0)的结果是 (　　)
A. B.-
C. D.-
5.若3a·9b=,则下列等式正确的是 (　　)
A.a+b=-1 B.a+b=1
C.a+2b=-1 D.a+2b=1
6.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　　)
A.-=(-x
B.=(y>0)
C.=(x>0)
D.[=(x>0)
7.(5分)当x<0时,x++=　　　　.
8.(5分)化简:=　　　　.
9.(12分)(1)化简:(2)(-6)(-3)(a>0,b>0);(6分)
(2)求值:+2-2×-0.010.5.(6分)
10.(10分)已知a2x=3,求的值.
11.已知x,y∈R,下列等式恒成立的是 (　　)
A.(-)6=x-y
B.=x2+y2
C.-=x-y
D.=x+y
12.若(1-2x有意义,则x的取值范围是 (　　)
A.R B.∪
C. D.
13.方程=的解是 (　　)
A.x=- B.x=-
C.x= D.x=
14.已知2a=5b=m,且+=2,则m等于 (　　)
A. B.10
C.20 D.100
15.(5分)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则=　　　　.
16.(12分)若a=3,求+++的值.
答案精析
1.D　2.B　3.D　4.C　5.C
6.BCD　［A项错误，-=-(x≥0)，而(-x=(x≤0)；
B项正确，=(y>0)；
C项正确，==(x>0)；
D项正确，［==(x>0).］
7.1　8.1
9.解　(1)(2)(-6)·(-3)
=2×(-6)×(-3)
=36a.
(2)+2-2×-0.010.5
=1+×-
=1+×-
=1+-
=.
10.解　原式=
=a2x-1+a-2x=3-1+=.
11.B　［A项显然不成立；
B项，∵x2+y2≥0，
∴=|x2+y2|=x2+y2，故B项恒成立；
C项，-=|x|-|y|=x-y不一定成立，故C项不恒成立；
D项，=|x+y|=x+y不一定成立，故D项不恒成立.］
12.D　［将分数指数幂化为根式，
可知需满足1-2x>0，
解得x<.］
13.B　［∵==3-2，
∴x-1=-2，
∴x=-.∴方程=的解是x=-.］
14.A　［由题意得m>0，
∵2a=m，5b=m，
∴2=，5=，
∵2×5=·=，
∴m2=10，∴m=.］
15.
解析　∵a，b是方程x2-6x+4=0的两根，
∴a+b=6，且ab=4.
∴=
==.
∵a>b>0，∴>>0，
∴+>0，->0，
∴==.
16.解　+++
=++
=++
=+
=+===-1.

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