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习题课　函数的零点与方程的解的应用
[学习目标]　1.进一步应用函数零点存在定理,已知零点(方程的解)的情况求参数范围.(重难点)2.掌握一元二次方程的根的分布情况.(难点)
一、根据零点情况求参数
例1　若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,且x0∈(1,2),则a的取值范围是 (　　)
A.(-2,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(-3,-2)
答案　D
解析　因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,所以
解得
所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x=x(x-1)(x+a+1),所以x0=-1-a,又x0∈(1,2),
所以1<-1-a<2,解得-3反思感悟　已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
跟踪训练1　若方程xlg(x+2)=1的实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k等于 (　　)
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0
答案　C
解析　由题意知x≠0,则原方程即为lg(x+2)=,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=的图象,如图所示,
由图象可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,
所以k=-2或k=1.
二、一元二次方程的根的分布问题
例2　已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
(1)若方程有两个实根,且一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围;
(2)若方程有两个实根α,β,且满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围;
(3)若方程至少有一个正根,求实数m的取值范围.
解　设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,
(1)f(x)的大致图象如图所示,
∴f(2)<0,即4+4(m-1)+2m+6<0,
得m<-1,
∴实数m的取值范围为(-∞,-1).
(2)f(x)的大致图象如图所示,
∴
解得-∴实数m的取值范围为.
(3)方法一　方程至少有一个正根,则有三种可能的情况,
①有两个正根,此时如图1,可得
即∴-3②有一个正根,一个负根,此时如图2,可得f(0)<0,得m<-3.
③有一个正根,另一根为0,此时如图3,
可得
∴m=-3.
综上所述,当方程至少有一个正根时,实数m的取值范围为(-∞,-1].
方法二　不妨设方程的两根分别为x1,x2,且x1>0,
由题知Δ≥0,解得m≤-1或m≥5,
由根与系数的关系,
当x2≥0时,得-3≤m<1,
∴-3≤m≤-1,
当x2<0时,x1x2<0,此时m<-3.
综上所述,m≤-1.
反思感悟　一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题(只考虑方程有两个不相等的实数根)
根的分布(m,n,p为常数) 图象 满足条件
x1mx1mmx1,x2有且只有一个在(m,n)之间且f(m)·f(n)≠0 f(m)·f(n)<0
跟踪训练2　已知方程x2-(2a+1)x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0,1),(1,3)内,则实数a的取值范围为　　　　.
答案　(0,1)
解析　设函数f(x)=x2-(2a+1)x+a(a+1),
由题意得
即
解得01.知识清单:
(1)根据零点情况求参数.
(2)一元二次方程根的分布.
2.方法归纳:判别式法、数形结合法.
3.常见误区:不能把函数、方程问题相互灵活转化.
1.若函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围为 (　　)
A.(0,2) B.(0,1) C.(1,2) D.(-∞,1)
答案　B
解析　函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,函数f(x)的图象的对称轴为x=1,
可得即
解得0则a的取值范围为(0,1).
2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是 (　　)
A.
B.
C.
D.(-∞,-1)∪
答案　B
解析　因为函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,且此函数是连续函数,
所以f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,
解得-13.(多选)已知函数f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1),则下列说法中正确的是 (　　)
A.当a>1时,f(x)有1个零点
B.当a>1时,f(x)有2个零点
C.当0D.当0答案　BD
解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax与y=x+a的图象,
当a>1时,如图(1),y=ax与y=x+a有2个交点,则f(x)有2个零点;
当04.若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(-12,0)
解析　∵f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,
∴即解得-12故a的取值范围为(-12,0).
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.当|x|≤1时,函数f(x)=ax+2a+1的值有正也有负,则实数a的取值范围是 (　　)
A. B.(-∞,-1]
C. D.
答案　C
解析　|x|≤1 -1≤x≤1.
当a=0时,f(x)=1,函数值恒为正,不符合题意;
当a≠0时,要想函数f(x)=ax+2a+1的值有正也有负,
只需f(1)f(-1)<0,
即(a+2a+1)(-a+2a+1)=(3a+1)(a+1)<0,
解得-1综上所述,-12.已知关于x的方程x2-kx+k+3=0的两个不相等的实数根都大于2,则实数k的取值范围是 (　　)
A.k>6 B.4C.66或k<-2
答案　C
解析　∵关于x的方程x2-kx+k+3=0的两个不相等的实数根都大于2,设两根为x1,x2,
∴
解得63.方程x+log3x=3的解为x0,若x0∈(n,n+1),n∈N,则n等于 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　设f(x)=x+log3x-3,
则f(1)=1+log31-3=-2<0,
f(2)=2+log32-3=log32-1<0,
f(3)=3+log33-3=1>0,
又易知f(x)为增函数,
所以方程x+log3x=3的解在(2,3)内,因此n=2.
4.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则a的取值范围是 (　　)
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
答案　A
解析　因为方程-x2+ax+4=0有两根,一个大于2,另一个小于-1,
所以函数 f(x)=-x2+ax+4有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,由二次函数的图象可知,
即
解得05.若函数f(x)=(其中a>0,a≠1)存在零点,则实数a的取值范围是 (　　)
A.∪(1,3) B.(1,3]
C.(2,3) D.(2,3]
答案　C
解析　由函数的解析式可知a>2,
因为指数函数y=ax单调递增,在区间(2,a]上无零点,
所以函数y=loga(x-2)在区间(a,+∞)上存在零点,
由于y=loga(x-2)单调递增,
故当x=a时,有loga(a-2)<0=loga1,
从而a-2<1 a<3,
所以实数a的取值范围是(2,3).
6.(多选)已知二次函数f(x)=x2+bx+c在(0,2)上有两个零点.下列说法正确的有 (　　)
A.f(0)>0且f(2)>0
B.f(1)<0
C.f(0)·f(2)>1
D.f(0)和f(2)中至少有一个小于1
答案　AD
解析　不妨设二次函数f(x)=x2+bx+c在(0,2)上的两个零点为x1,x2,且x1所以故A正确;
当x1,x2∈(0,1)时,f(1)>0,故B错误;
若x1=1,x2=,
则f(x)=(x-1)=x2-x+,
此时f(0)=,f(2)=,
则f(0)·f(2)=<1,故C错误;
方法一　当f(1)=1+b+c<0时,4+2b+2c<2,即f(0)+f(2)<2,
所以f(0)和f(2)中至少有一个小于1;
当f(1)=1+b+c≥0时,-∈(0,1)或(1,2),
若-∈(0,1),则f(0)=c<=<1,
若-∈(1,2),则f(2)=4+2b+c<4+2b+==<1,故D正确.
方法二　若f(0)≥1,f(2)≥1,即c≥1,4+2b+c≥1,
由Δ=b2-4c>0,得b2>4c≥4,
则b<-2或b>2,结合0<-<2,
得-4则f(2)=4+2b+c<4+2b+=<1,
这与f(2)≥1矛盾,故f(0)和f(2)至少有一个小于1,故D正确.
7.(5分)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值范围是　　　　.
答案　(-1,1)
解析　令g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,
作出y=f(x)的图象,如图,
由图可知,当y=k与y=f(x)的图象有三个不同的交点时,-1所以k的取值范围是(-1,1).
8.(5分)已知函数f(x)=若正实数a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a·b·c的取值范围为　　　　.
答案　(e,e2)
解析　画出f(x)的图象如图所示,
∵正实数a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),
不妨设a则由图象可得0且-ln a=ln b,则可得a·b=1,
∴a·b·c=c∈(e,e2).
9.(10分)函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,求实数a的取值范围.
解　由f(x)=0得a-1=2|x|-x2,
因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,
所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点,
画出函数y=2|x|-x2的图象,如图所示,
观察图象可知,0所以实数a的取值范围是(1,2).
10.(12分)已知函数f(x)=ax2-5x+a.
(1)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;(4分)
(2)若函数f(x)的一个零点在(0,1)内,另一个零点在(2,3)内,求实数a的取值范围.(8分)
解　(1)由题意得
则-(2)由f(x)的两个零点一个在(0,1)内,另一个在(2,3)内,故a≠0,
当f(x)的图象开口向上时,
即解得当f(x)的图象开口向下时,
所以解得a∈ .
综上,a的取值范围为.
11.若m∈R,则“函数y=logmx在(0,+∞)上单调递减”是“函数y=2x+m-1有零点”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　∵函数y=logmx在(0,+∞)上单调递减,
∴0又∵函数y=2x+m-1有零点,∴函数y=1-2x的图象与直线y=m有交点.
∵2x>0,∴y=1-2x<1,∴函数y=1-2x的值域为(-∞,1),∴m∈(-∞,1).
∵(0,1) (-∞,1),
∴“函数y=logmx在(0,+∞)上单调递减”是“函数y=2x+m-1有零点”的充分不必要条件.
12.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d,若f(x)=2 023-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是 (　　)
A.a>c>b>d B.a>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
答案　D
解析　由题意设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=2 023-g(x),且g(x)=0的两个根是a,b.由题意知f(x)=0的两个根是c,d,也就是g(x)=2 023的两个根,画出y=g(x)(开口向上)以及y=2 023的大致图象(图略),则y=2 023与y=g(x)的图象交点的横坐标就是c,d,y=g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a,b,则c,d在a,b外,又a>b,c>d,则c>a>b>d.
13.对实数a,b,定义运算“*”:a*b=设函数f(x)=(x2+1)*(x+2),若函数y=f(x)-c有两个零点,则实数c的取值范围是 (　　)
A.(2,4)∪(5,+∞) B.(1,2]∪(4,5]
C.(-∞,1)∪(4,5] D.[1,2]
答案　B
解析　由题意知,
当(x2+1)-(x+2)≤1,即-1≤x≤2时,f(x)=x2+1;
当(x2+1)-(x+2)>1,即x>2或x<-1时,f(x)=x+2.
∴f(x)=
∵函数y=f(x)-c有两个零点,
∴函数y=f(x)的图象与函数y=c的图象有两个交点.
画出函数y=f(x)的图象,如图所示.
由图可知,当c∈(1,2]∪(4,5]时,函数y=f(x)-c有两个零点.
14.(5分)已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(0,1)
解析　因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函数不是单调函数,
又y=x+1与y=2x的图象交于点(0,1)和(1,2),画出图象如图所示,
由图可知,当0即实数a的取值范围是(0,1).
15.(5分)函数f(x)=则函数y=f(f(x))-3的零点个数为　　　　.
答案　3
解析　设t=f(x),
令f(f(x))-3=0,
在同一平面直角坐标系内作
y=3,y=f(t)的图象(如图).
y=3与y=f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t1,t2,且t1则t1<-1,t2>-1.
当t1<-1时,t1=f(x)有一个解;
当t2>-1时,t2=f(x)有两个解.
综上所述,函数y=f(f(x))-3有三个不同的零点.
16.(12分)若在定义域内存在实数x0使f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数有“漂移点”x0.
(1)判断函数f(x)=是否有漂移点,并说明理由;(3分)
(2)求证:函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点;(4分)
(3)若函数f(x)=lg在(0,+∞)上有漂移点,求实数a的取值集合.(5分)
(1)解　假设函数f(x)=有漂移点 x0,
则=+2,
即+x0+1=0,由此方程无实根,与题设矛盾,所以函数f(x)=没有漂移点.
(2)证明　令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+3x+1-(x2+3x)-4
=2×3x+2x-3,
所以h(0)=-1,h(1)=5.所以h(0)h(1)<0,
又h(x)在(0,1)上连续,
所以h(x)=0在(0,1)上至少有一个实根x0,
即函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点.
(3)解　若f(x)=lg在(0,+∞)上有漂移点x0,
所以lg=lg+lg a成立,即=·a,a>0,
整理得a==,
由x0>0,得0<<1,则0则实数a的取值集合是{a|0习题课
第四章
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函数的零点与方程的解的应用
1.进一步应用函数零点存在定理,已知零点(方程的解)的情况求参数范围.
(重难点)
2.掌握一元二次方程的根的分布情况.(难点)
学习目标
一、根据零点情况求参数
二、一元二次方程的根的分布问题
课时对点练
随堂演练
内容索引
一
根据零点情况求参数
若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,且x0∈(1,2),则a的取值范围是
A.(-2,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(-3,-2)
例 1
√
因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,
所以
解得
所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x=x(x-1)(x+a+1),所以x0=-1-a,又x0∈(1,2),
所以1<-1-a<2,解得-3已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
反
思
感
悟
若方程xlg(x+2)=1的实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k等于
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0
跟踪训练 1
√
由题意知x≠0,则原方程即为lg(x+2)=,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=的图象,如图所示,
由图象可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,
一个在区间(1,2)上,
所以k=-2或k=1.
二
一元二次方程的根的分布问题
已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
(1)若方程有两个实根,且一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围;
例 2
设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,
f(x)的大致图象如图所示,
∴f(2)<0,即4+4(m-1)+2m+6<0,
得m<-1,
∴实数m的取值范围为(-∞,-1).
(2)若方程有两个实根α,β,且满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围;
f(x)的大致图象如图所示,
∴
解得-∴实数m的取值范围为.
(3)若方程至少有一个正根,求实数m的取值范围.
方法一　方程至少有一个正根,则有三种可能的情况,
①有两个正根,此时如图1,可得
即∴-3②有一个正根,一个负根,此时如图2,可得f(0)<0,得m<-3.
③有一个正根,另一根为0,此时如图3,
可得
∴m=-3.
综上所述,当方程至少有一个正根时,实数m的取值范围为(-∞,-1].
方法二　不妨设方程的两根分别为x1,x2,且x1>0,
由题知Δ≥0,解得m≤-1或m≥5,
由根与系数的关系,
当x2≥0时,得-3≤m<1,
∴-3≤m≤-1,
当x2<0时,x1x2<0,此时m<-3.
综上所述,m≤-1.
反
思
感
悟
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题(只考虑方程有两个不相等的实数根)
根的分布(m,n,p为常数) 图象 满足条件
x1反
思
感
悟
根的分布(m,n,p为常数) 图象 满足条件
mx1反
思
感
悟
mmx1,x2有且只有一个在(m,n)之间且f(m)·f(n)≠0 f(m)·f(n)<0
已知方程x2-(2a+1)x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0,1),(1,3)内,则实数a的取值范围为　　　　.
跟踪训练 2
(0,1)
设函数f(x)=x2-(2a+1)x+a(a+1),
由题意得
即
解得01.知识清单:
(1)根据零点情况求参数.
(2)一元二次方程根的分布.
2.方法归纳:判别式法、数形结合法.
3.常见误区:不能把函数、方程问题相互灵活转化.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.若函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围为
A.(0,2)　　　B.(0,1)　　　C.(1,2)　　　D.(-∞,1)
√
函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,函数f(x)的图象的对称轴为x=1,
可得
解得0则a的取值范围为(0,1).
2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是
A. B.
C. D.(-∞,-1)∪
1
2
3
4
√
因为函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,且此函数是连续函数,
所以f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,
解得-13.(多选)已知函数f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1),则下列说法中正确的是
A.当a>1时,f(x)有1个零点
B.当a>1时,f(x)有2个零点
C.当0D.当01
2
3
4
√
√
1
2
3
4
在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax与y=x+a的图象,
当a>1时,如图(1),y=ax与y=x+a有2个交点,则f(x)有2个零点;
当04.若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是　　　　.
∵f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,
∴解得-12故a的取值范围为(-12,0).
(-12,0)
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课时对点练
四
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基础巩固
1.当|x|≤1时,函数f(x)=ax+2a+1的值有正也有负,则实数a的取值范围是
A. B.(-∞,-1]
C. D.
√
1
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|x|≤1 -1≤x≤1.
当a=0时,f(x)=1,函数值恒为正,不符合题意;
当a≠0时,要想函数f(x)=ax+2a+1的值有正也有负,
只需f(1)f(-1)<0,
即(a+2a+1)(-a+2a+1)=(3a+1)(a+1)<0,
解得-1综上所述,-12.已知关于x的方程x2-kx+k+3=0的两个不相等的实数根都大于2,则实数k的取值范围是
A.k>6 B.4C.66或k<-2
1
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∵关于x的方程x2-kx+k+3=0的两个不相等的实数根都大于2,
设两根为x1,x2,
∴
解得63.方程x+log3x=3的解为x0,若x0∈(n,n+1),n∈N,则n等于
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
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√
设f(x)=x+log3x-3,
则f(1)=1+log31-3=-2<0,
f(2)=2+log32-3=log32-1<0,
f(3)=3+log33-3=1>0,
又易知f(x)为增函数,
所以方程x+log3x=3的解在(2,3)内,因此n=2.
4.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则a的取值范围是
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
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因为方程-x2+ax+4=0有两根,一个大于2,另一个小于-1,
所以函数 f(x)=-x2+ax+4有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,
由二次函数的图象可知,
解得01
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5.若函数f(x)=(其中a>0,a≠1)存在零点,则实数a的取值范围是
A.∪(1,3) B.(1,3]
C.(2,3) D.(2,3]
√
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由函数的解析式可知a>2,
因为指数函数y=ax单调递增,在区间(2,a]上无零点,
所以函数y=loga(x-2)在区间(a,+∞)上存在零点,
由于y=loga(x-2)单调递增,
故当x=a时,有loga(a-2)<0=loga1,
从而a-2<1 a<3,
所以实数a的取值范围是(2,3).
6.(多选)已知二次函数f(x)=x2+bx+c在(0,2)上有两个零点.下列说法正确的有
A.f(0)>0且f(2)>0
B.f(1)<0
C.f(0)·f(2)>1
D.f(0)和f(2)中至少有一个小于1
√
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√
不妨设二次函数f(x)=x2+bx+c在(0,2)上的两个零点为x1,x2,且x1所以故A正确;
当x1,x2∈(0,1)时,f(1)>0,故B错误;
若x1=1,x2=,则f(x)=(x-1)=x2-x+,
此时f(0)=,f(2)=,则f(0)·f(2)=<1,故C错误;
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方法一　当f(1)=1+b+c<0时,4+2b+2c<2,即f(0)+f(2)<2,
所以f(0)和f(2)中至少有一个小于1;
当f(1)=1+b+c≥0时,-∈(0,1)或(1,2),
若-∈(0,1),则f(0)=c<=<1,
若-∈(1,2),则f(2)=4+2b+c<4+2b+==<1,故D正确.
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方法二　若f(0)≥1,f(2)≥1,即c≥1,4+2b+c≥1,
由Δ=b2-4c>0,得b2>4c≥4,
则b<-2或b>2,结合0<-<2,
得-4则f(2)=4+2b+c<4+2b+=<1,
这与f(2)≥1矛盾,故f(0)和f(2)至少有一个小于1,故D正确.
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7.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值范围是　　　　.
(-1,1)
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令g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,
作出y=f(x)的图象,如图,
由图可知,当y=k与y=f(x)的图象有三个不同的交点时,-1所以k的取值范围是(-1,1).
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8.已知函数f(x)=若正实数a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a·b·c的取值范围为　　　　.
(e,e2)
画出f(x)的图象如图所示,
∵正实数a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),
不妨设a则由图象可得0且-ln a=ln b,则可得a·b=1,
∴a·b·c=c∈(e,e2).
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9.函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,求实数a的取值范围.
由f(x)=0得a-1=2|x|-x2,
因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,
所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点,
画出函数y=2|x|-x2的图象,如图所示,
观察图象可知,0所以实数a的取值范围是(1,2).
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10.已知函数f(x)=ax2-5x+a.
(1)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;
由题意得
则-1
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(2)若函数f(x)的一个零点在(0,1)内,另一个零点在(2,3)内,求实数a的取值范围.
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由f(x)的两个零点一个在(0,1)内,另一个在(2,3)内,故a≠0,
当f(x)的图象开口向上时,
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当f(x)的图象开口向下时,
解得a∈ .
综上,a的取值范围为.
11.若m∈R,则“函数y=logmx在(0,+∞)上单调递减”是“函数y=2x+m-1有零点”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
综合运用
√
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∵函数y=logmx在(0,+∞)上单调递减,
∴0又∵函数y=2x+m-1有零点,∴函数y=1-2x的图象与直线y=m有交点.
∵2x>0,∴y=1-2x<1,∴函数y=1-2x的值域为(-∞,1),∴m∈(-∞,1).
∵(0,1) (-∞,1),
∴“函数y=logmx在(0,+∞)上单调递减”是“函数y=2x+m-1有零点”的充分不必要条件.
12.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d,若f(x)=2 023-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是
A.a>c>b>d B.a>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
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由题意设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=2 023-g(x),且g(x)=0的两个根是a,b.
由题意知f(x)=0的两个根是c,d,也就是g(x)=2 023的两个根,画出y=g(x)(开口向上)以及y=2 023的大致图象(图略),则y=2 023与y=g(x)的图象交点的横坐标就是c,d,y=g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a,b,则c,d在a,b外,又a>b,c>d,则c>a>b>d.
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13.对实数a,b,定义运算“*”:a*b=设函数f(x)=(x2+1)*(x+2),若函数y=f(x)-c有两个零点,则实数c的取值范围是
A.(2,4)∪(5,+∞) B.(1,2]∪(4,5]
C.(-∞,1)∪(4,5] D.[1,2]
√
由题意知,
当(x2+1)-(x+2)≤1,即-1≤x≤2时,f(x)=x2+1;
当(x2+1)-(x+2)>1,即x>2或x<-1时,f(x)=x+2.
∴f(x)=
∵函数y=f(x)-c有两个零点,
∴函数y=f(x)的图象与函数y=c的图象有两个交点.
画出函数y=f(x)的图象,如图所示.
由图可知,当c∈(1,2]∪(4,5]时,函数y=f(x)-c有两个零点.
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14.已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是　　　　.
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(0,1)
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因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函数不是单调函数,
又y=x+1与y=2x的图象交于点(0,1)和(1,2),画出图象如图所示,
由图可知,当0即实数a的取值范围是(0,1).
15.函数f(x)= 则函数y=f(f(x))-3的零点个数为　　　.
拓广探究
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设t=f(x),
令f(f(x))-3=0,
在同一平面直角坐标系内作y=3,y=f(t)的图象(如图).
y=3与y=f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t1,t2,且t1-1.
当t1<-1时,t1=f(x)有一个解;
当t2>-1时,t2=f(x)有两个解.
综上所述,函数y=f(f(x))-3有三个不同的零点.
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16.若在定义域内存在实数x0使f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数有“漂移点”x0.
(1)判断函数f(x)=是否有漂移点,并说明理由;
假设函数f(x)=有漂移点 x0,
则=+2,
即+x0+1=0,由此方程无实根,与题设矛盾,所以函数f(x)=没有漂移点.
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(2)求证:函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点;
令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+3x+1-(x2+3x)-4=2×3x+2x-3,
所以h(0)=-1,h(1)=5.所以h(0)h(1)<0,
又h(x)在(0,1)上连续,
所以h(x)=0在(0,1)上至少有一个实根x0,
即函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点.
若f(x)=lg 在(0,+∞)上有漂移点x0,
所以lg =lg +lg a成立,即=·a,a>0,
整理得a==,
由x0>0,得0<<1,则0则实数a的取值集合是{a|0(3)若函数f(x)=lg 在(0,+∞)上有漂移点,求实数a的取值集合.
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16习题课　函数的零点与方程的解的应用
[学习目标]　1.进一步应用函数零点存在定理,已知零点(方程的解)的情况求参数范围.(重难点)2.掌握一元二次方程的根的分布情况.(难点)
一、根据零点情况求参数
例1　若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,且x0∈(1,2),则a的取值范围是 (　　)
A.(-2,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(-3,-2)
反思感悟　已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
跟踪训练1　若方程xlg(x+2)=1的实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k等于 (　　)
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0
二、一元二次方程的根的分布问题
例2　已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
(1)若方程有两个实根,且一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围;
(2)若方程有两个实根α,β,且满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围;
(3)若方程至少有一个正根,求实数m的取值范围.
反思感悟　一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题(只考虑方程有两个不相等的实数根)
根的分布(m,n,p为常数) 图象 满足条件
x1mx1mmx1,x2有且只有一个在(m,n)之间且f(m)·f(n)≠0 f(m)·f(n)<0
跟踪训练2　已知方程x2-(2a+1)x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0,1),(1,3)内,则实数a的取值范围为　　　　.
1.知识清单:
(1)根据零点情况求参数.
(2)一元二次方程根的分布.
2.方法归纳:判别式法、数形结合法.
3.常见误区:不能把函数、方程问题相互灵活转化.
1.若函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围为 (　　)
A.(0,2) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-∞,1)
2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是 (　　)
A.
B.
C.
D.(-∞,-1)∪
3.(多选)已知函数f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1),则下列说法中正确的是 (　　)
A.当a>1时,f(x)有1个零点
B.当a>1时,f(x)有2个零点
C.当0D.当04.若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是　　　　.
答案精析
例1　D　［因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0，1，x0，
所以
解得
所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x
=x(x-1)(x+a+1)，
所以x0=-1-a，又x0∈(1，2)，
所以1<-1-a<2，
解得-3跟踪训练1　C
例2　解　设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6，
(1)f(x)的大致图象如图所示，
∴f(2)<0，即4+4(m-1)+2m+6<0，
得m<-1，
∴实数m的取值范围为(-∞，-1).
(2)f(x)的大致图象如图所示，
∴
解得-∴实数m的取值范围为.
(3)方法一　方程至少有一个正根，
则有三种可能的情况，
①有两个正根，此时如图1，
可得
即
∴-3②有一个正根，一个负根，此时如图2，可得f(0)<0，得m<-3.
③有一个正根，另一根为0，此时如图3，
可得
∴m=-3.
综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为(-∞，-1］.
方法二　不妨设方程的两根分别为x1，x2，且x1>0，
由题知Δ≥0，解得m≤-1或m≥5，
由根与系数的关系，
当x2≥0时，
得-3≤m<1，
∴-3≤m≤-1，
当x2<0时，x1x2<0，此时m<-3.
综上所述，m≤-1.
跟踪训练2　(0，1)
随堂演练
1.B　2.B　3.BD　4.(-12，0)

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