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习题课　指数型函数、对数型函数的性质的综合
[学习目标]　1.会求指数型函数、对数型函数的单调性、值域等问题.(重难点)2.掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法.(重点)
一、指数型函数的单调性问题
例1　判断函数f(x)=的单调性.
解　令u=x2-2x,
易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
又∵y=在(-∞,+∞)上单调递减,
∴f(x)=在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
延伸探究
1.把本例的函数改为“f(x)=”,求其单调区间.
解　方法一　函数f(x)=的定义域是R.
令u=-x2+2x,则y=2u.
当x∈(-∞,1)时,函数u=-x2+2x单调递增,
当x∈(1,+∞)时,函数u=-x2+2x单调递减,
又函数y=2u在R上是增函数,
所以函数f(x)=在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
综上,函数f(x)=的单调递减区间是(1,+∞),单调递增区间是(-∞,1).
方法二　f(x)==,本题转化为例1的做法.
2.若本例不变,求f(x)的值域.
解　因为u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
所以y=,u∈[-1,+∞),
所以0<≤=2,
所以函数f(x)的值域为(0,2].
反思感悟　(1)求指数型函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考察f(u)和φ(x)的单调性,利用同增异减原则,求出y=f(φ(x))的单调性.
(2)关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0跟踪训练1　函数y=的单调递减区间是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)
答案　D
解析　设u=,则y=3u,
因为u=在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,
且y=3u在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数,
所以函数y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞).
二、对数型函数的单调性问题
例2　(1)求函数y=lo(x2-3x+2)的单调区间.
解　由x2-3x+2>0得x<1或x>2.
令t=x2-3x+2,
则t=x2-3x+2=-,当x∈(2,+∞)时,t=x2-3x+2单调递增,当x∈(-∞,1)时,t=x2-3x+2单调递减.
又y=lot为减函数,
∴当x∈(2,+∞)时,原函数单调递减;当x∈(-∞,1)时,原函数单调递增.
故函数y=lo(x2-3x+2)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(2,+∞).
(2)求函数y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的单调区间.
解　令t=log0.4x,则它在(0,+∞)上单调递减.
y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.
由t=log0.4x>1得0由t=log0.4x<1得x>0.4,
故所求函数的单调递增区间为(0.4,+∞),单调递减区间为(0,0.4).
反思感悟　函数单调性的判定方法与策略
(1)定义法:一般步骤:设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法:如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出,结合图象可求得函数的单调区间.
(3)y=f(g(x))型函数:先将函数y=f(g(x))分解为y=f(t)和t=g(x),再讨论这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.
跟踪训练2　求函数y=lo(1-x2)的单调区间.
解　由题意知1-x2>0,∴-1令t=1-x2,x∈(-1,1),
则当x∈(-1,0)时,函数t=1-x2单调递增,
y=lot单调递减.
∴当x∈(-1,0)时,y=lo(1-x2)单调递减.
同理,当x∈(0,1)时,y=lo(1-x2)单调递增.
故y=lo(1-x2)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-1,0).
三、函数的综合应用
例3　求函数f(x)=log2(4x)·lo,x∈的值域.
解　f(x)=log2(4x)·lo
=(log2x+2)·
=-[(log2x)2+log2x-2].
设log2x=t.
∵x∈,∴t∈[-1,2],
则有y=-(t2+t-2),t∈[-1,2],
易得二次函数图象的对称轴为t=-,
∴函数y=-(t2+t-2)在上单调递增,在上单调递减,
∴当t=-时,ymax=.
当t=2时,ymin=-2.
∴f(x)的值域为.
延伸探究　若把本例改为y=4x-2x+1-3.求函数的值域和单调区间.
解　函数y=4x-2x+1-3的定义域为R,设t=2x,则t>0.
因为y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4,
所以函数y=4x-2x+1-3的值域为[-4,+∞).
因为y=t2-2t-3在(-∞,1]上单调递减,此时由t≤1得x≤0.
又指数函数t=2x在(-∞,0]上单调递增,
所以函数y=4x-2x+1-3的单调递减区间为(-∞,0].
同理,因为y=t2-2t-3在[1,+∞)上单调递增,此时由t≥1得x≥0.
又指数函数t=2x在[0,+∞)上单调递增,
所以函数y=4x-2x+1-3的单调递增区间为[0,+∞).
反思感悟　对于形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y=logau,u=f(x)两个函数；
(2)求f(x)的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y=logau的单调性求解.
跟踪训练3　求下列函数的值域:
(1)f(x)=log2(3x+1);
(2)f(x)=log2·log2(1≤x≤4).
解　(1)f(x)的定义域为R.
∵3x>0,∴3x+1>1.
∵y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
∴log2(3x+1)>log21=0,
∴f(x)的值域为(0,+∞).
(2)∵f(x)=log2·log2
=(log2x-2)(log2x-1)
=-,
又∵1≤x≤4,∴0≤log2x≤2,
∴当log2x=,即x==2时,
f(x)取最小值-;
当log2x=0,即x=1时,f(x)取得最大值2,
∴函数f(x)的值域是.
1.知识清单:
(1)指数型函数的单调性.
(2)对数型函数的单调性.
(3)函数的综合应用.
2.方法归纳:换元法.
3.常见误区:求对数型函数的单调性易忽视定义域.
1.函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递减,那么f(x)在(1,+∞)上 (　　)
A.单调递增且无最大值
B.单调递减且无最小值
C.单调递增且有最大值
D.单调递减且有最小值
答案　A
解析　设u=|x-1|,
∵u在(0,1)上单调递减,且函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递减,
则a>1,
∵u在(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值.
2.函数y=lo(-x2-2x+3)的单调递增区间是 (　　)
A.[-1,1) B.(-∞,1)
C.[1,3) D.(1,+∞)
答案　A
解析　由题意,得要使函数y=lo(-x2-2x+3)有意义,则满足-x2-2x+3>0,
即x2+2x-3=(x+3)(x-1)<0,
解得-3即函数的定义域为(-3,1),
令g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
所以函数g(x)在区间(-3,-1)上单调递增,在区间[-1,1)上单调递减,
又函数y=lox在定义域上是减函数,
所以y=lo(-x2-2x+3)的单调递增区间为[-1,1).
3.已知函数f(x)=是增函数,那么实数a的取值范围是 (　　)
A.(1,+∞) B.(3,+∞)
C.(1,3) D.(1,3]
答案　D
解析　∵函数f(x)=是增函数,
∴a>1且a0≥3a-8,
解得14.设函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为　　　　.
答案　(-∞,1]
解析　设u=|x-1|,则y=.
∵y=是减函数,u=|x-1|在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减,
∴y=在(-∞,1]上单调递增.
因此y=的单调递增区间是(-∞,1].
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共18分
1.函数y=log2(4x-16)的定义域为 (　　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
答案　A
解析　由4x-16>0,得x>2,
∴函数的定义域为(2,+∞).
2.函数f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上 (　　)
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
答案　A
解析　当a>1时,y=logat和t=(a-1)x+1都是增函数,所以f(x)是增函数;
当0综上,函数f(x)在定义域上是增函数.
3.函数f(x)=的单调递增区间为 (　　)
A.(-∞,2) B.[1,2]
C.(2,3) D.(2,+∞)
答案　B
解析　由-x2+4x-3≥0得1≤x≤3,
即函数f(x)的定义域为[1,3],
令u=,
因为f(x)=2u在[1,3]上为增函数,
且u==的单调递增区间为[1,2],
所以f(x)=的单调递增区间为[1,2].
4.函数f(x)=-+1在[-1,2]上的最小值是 (　　)
A.1 B.
C. D.3
答案　C
解析　由题意,得函数f(x)=-+1=-+1,设t=,因为x∈[-1,2],
所以t=∈,
则函数y=t2-t+1=+,
当t=时,ymin=.
5.设函数f(x)=loga|x+1|在区间(-1,0)上有f(x)>0,则下列关于函数f(x)的说法正确的是 (　　)
A.在区间(-∞,0)上单调递增
B.在区间(-∞,-1)上单调递增
C.在区间(-∞,0)上单调递减
D.在区间(-∞,-1)上单调递减
答案　B
解析　当-1f(x)=loga|x+1|>0,
∴00,x≠-1,
则u=|x+1|在(-∞,-1)上单调递减,
在(-1,+∞)上单调递增,
又函数y=logau为减函数,
∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减.
6.(多选)关于函数f(x)=lg(x≠0),有下列结论,其中正确的是 (　　)
A.其图象关于y轴对称
B.f(x)的最小值是lg 2
C.当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数
D.f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞)
答案　ABD
解析　因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
f(-x)=lg=f(x),
所以f(x)是偶函数,故A正确;
令t==|x|+≥2,y=lg t是增函数,
y=lg t≥lg 2,所以f(x)的最小值为lg 2,故B正确;
当x>0时,t==x+,根据对勾函数可得
t=x+的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),
y=lg t是增函数,
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故C错误;
根据偶函数的对称性,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞),故D正确.
7.(5分)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围是　　　　.
答案　[1,+∞)
解析　因为函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,
则t=|x-a|在区间(-∞,1]上单调递减,
又函数t=|x-a|在区间(-∞,a]上单调递减,
所以(-∞,1] (-∞,a],故a≥1.
则a的取值范围是[1,+∞).
8.(5分)若y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(1,3]
解析　因为y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)上单调递增,知u=ax+3在区间(-1,+∞)上单调递增,且u>0,故y=logau关于u在(0,+∞)上单调递增,
所以解得1故实数a的取值范围是(1,3].
9.(10分)求函数y=lo(-x2+2x+1)的值域和单调区间.
解　由-x2+2x+1>0,知函数的定义域为(1-,1+).
设t=-x2+2x+1=-(x-1)2+2.
∵y=lot为减函数,且0∴y≥-1,故y=lo(-x2+2x+1)的值域为[-1,+∞).
∵t=-x2+2x+1在(1-,1)上单调递增,
在(1,1+)上单调递减,
又y=lot为减函数.
∴函数y=lo(-x2+2x+1)的单调递增区间为(1,1+),单调递减区间为(1-,1).
10.(10分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;(4分)
(2)求函数f(x)的值域.(6分)
解　(1)∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,即=0,
解得a=2,经检验a=2符合题意.
(2)由(1)知,f(x)===1-在R上单调递增,
∵2x+1>1,∴0<<2,
∴-2<-<0,∴-1<1-<1,
∴函数f(x)的值域为(-1,1).
11.若函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)上单调递增,则实数m的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由-x2+4x+5>0,得-1令u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,故u在(2,5)上单调递减.
且f(u)=lou为减函数,
∴f(x)=lo(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).
由题意得解得≤m<2.
12.(多选)若3a-3b>2b-2a,则下列不等式正确的是 (　　)
A.ln(a-b+1)>0 B.ln(b-a+1)>0
C.ea-b-1>0 D.eb-a-1>0
答案　AC
解析　因为函数f(x)=3x+2x为增函数,3a-3b>2b-2a,即3a+2a>3b+2b,
所以a>b,a-b>0,则a-b+1>1,
所以ln(a-b+1)>0,故A正确;
由b-a<0,得b-a+1<1,所以ln(b-a+1)<0,故B错误;
ea-b>e0=1,所以ea-b-1>0,故C正确;
eb-a13.函数f(x)=(log2x)2-log2x3+4,x∈(1,4]的值域为 (　　)
A.[2,4) B.
C. D.
答案　C
解析　令t=log2x,x∈(1,4],
则t∈(0,2],
∴原函数化为y=t2-3t+4,t∈(0,2],
∴当t=时,
y有最小值为-3×+4=;
当t=0时,y有最大值为4,但取不到.
∴f(x)的值域为.
14.(5分)函数f(x)=lo(-x2+ax+2)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
答案　[1,2]
解析　令t=-x2+ax+2,而y=lot是减函数,
所以f(x)=lo(-x2+ax+2)在(1,2)上单调递增等价于t=-x2+ax+2在(1,2)上单调递减且t(x)=-x2+ax+2>0恒成立,
即
解得1≤a≤2.
15.(多选)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=-,则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是 (　　)
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1,0,1}
答案　BC
解析　∵g(1)=[f(1)]===0,
g(-1)=[f(-1)]=
==-1,
∴g(-1)≠g(1),则g(x)不是偶函数,故A错误;
∵f(x)=-的定义域为R,
f(-x)+f(x)=+-1
=-1=0,
∴f(x)为奇函数,故B正确;
∵f(x)=-=-=-,
又y=2x在R上单调递增,
∴f(x)=-在R上是增函数,故C正确;
∵2x>0,∴1+2x>1,则0<<1,
可得-<-<.
即-∴g(x)=[f(x)]∈{-1,0},故D错误.
16.(12分)已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;(5分)
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立 若存在,求出t;若不存在,请说明理由.(7分)
解　(1)因为f(x)=ex-,且y=ex是增函数,y=-是增函数,所以f(x)是增函数.
由于f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,所以f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立,
等价于 f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立,即x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立,
所以t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立,即存在实数t使得≤恒成立,
所以存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.(共61张PPT)
习题课
第四章
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指数型函数、对数型函数的性质的综合
1.会求指数型函数、对数型函数的单调性、值域等问题.(重难点)
2.掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法.(重点)
学习目标
一、指数型函数的单调性问题
二、对数型函数的单调性问题
课时对点练
三、函数的综合应用
随堂演练
内容索引
一
指数型函数的单调性问题
判断函数f(x)=的单调性.
例 1
令u=x2-2x,
易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
又∵y=在(-∞,+∞)上单调递减,
∴f(x)=在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
1.把本例的函数改为“f(x)=”,求其单调区间.
延伸探究
方法一　函数f(x)=的定义域是R.
令u=-x2+2x,则y=2u.
当x∈(-∞,1)时,函数u=-x2+2x单调递增,
当x∈(1,+∞)时,函数u=-x2+2x单调递减,
又函数y=2u在R上是增函数,
所以函数f(x)=在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
综上,函数f(x)=的单调递减区间是(1,+∞),单调递增区间是(-∞,1).
方法二　f(x)==,本题转化为例1的做法.
2.若本例不变,求f(x)的值域.
因为u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
所以y=,u∈[-1,+∞),
所以0<≤=2,
所以函数f(x)的值域为(0,2].
(1)求指数型函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考察f(u)和φ(x)的单调性,利用同增异减原则,求出y=f(φ(x))的单调性.
(2)关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0反
思
感
悟
函数y=的单调递减区间是
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)
跟踪训练 1
设u=,则y=3u,
因为u=在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,
且y=3u在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数,
所以函数y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞).
√
二
对数型函数的单调性问题
(1)求函数y=lo(x2-3x+2)的单调区间.
例 2
由x2-3x+2>0得x<1或x>2.
令t=x2-3x+2,
则t=x2-3x+2=-,当x∈(2,+∞)时,t=x2-3x+2单调递增,当x∈(-∞,1)时,t=x2-3x+2单调递减.
又y=lot为减函数,
∴当x∈(2,+∞)时,原函数单调递减;当x∈(-∞,1)时,原函数单调递增.
故函数y=lo(x2-3x+2)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(2,+∞).
(2)求函数y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的单调区间.
令t=log0.4x,则它在(0,+∞)上单调递减.
y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.
由t=log0.4x>1得0由t=log0.4x<1得x>0.4,
故所求函数的单调递增区间为(0.4,+∞),单调递减区间为(0,0.4).
反
思
感
悟
函数单调性的判定方法与策略
(1)定义法:一般步骤:设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法:如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出,结合图象可求得函数的单调区间.
(3)y=f(g(x))型函数:先将函数y=f(g(x))分解为y=f(t)和t=g(x),再讨论这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.
求函数y=lo(1-x2)的单调区间.
跟踪训练 2
由题意知1-x2>0,∴-1令t=1-x2,x∈(-1,1),
则当x∈(-1,0)时,函数t=1-x2单调递增,y=lot单调递减.
∴当x∈(-1,0)时,y=lo(1-x2)单调递减.
同理,当x∈(0,1)时,y=lo(1-x2)单调递增.
故y=lo(1-x2)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-1,0).
三
函数的综合应用
求函数f(x)=log2(4x)·lo,x∈的值域.
例 3
f(x)=log2(4x)·lo
=(log2x+2)·
=-[(log2x)2+log2x-2].
设log2x=t.
∵x∈,∴t∈[-1,2],
则有y=-(t2+t-2),t∈[-1,2],
易得二次函数图象的对称轴为t=-,
∴函数y=-(t2+t-2)在上单调递增,在上单调递减,
∴当t=-时,ymax=.
当t=2时,ymin=-2.
∴f(x)的值域为.
若把本例改为y=4x-2x+1-3.求函数的值域和单调区间.
延伸探究
函数y=4x-2x+1-3的定义域为R,设t=2x,则t>0.
因为y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4,
所以函数y=4x-2x+1-3的值域为[-4,+∞).
因为y=t2-2t-3在(-∞,1]上单调递减,此时由t≤1得x≤0.
又指数函数t=2x在(-∞,0]上单调递增,
所以函数y=4x-2x+1-3的单调递减区间为(-∞,0].
同理,因为y=t2-2t-3在[1,+∞)上单调递增,此时由t≥1得x≥0.
又指数函数t=2x在[0,+∞)上单调递增,
所以函数y=4x-2x+1-3的单调递增区间为[0,+∞).
反
思
感
悟
对于形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y=logau,u=f(x)两个函数；
(2)求f(x)的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y=logau的单调性求解.
求下列函数的值域:
(1)f(x)=log2(3x+1);
跟踪训练 3
f(x)的定义域为R.
∵3x>0,∴3x+1>1.
∵y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
∴log2(3x+1)>log21=0,
∴f(x)的值域为(0,+∞).
(2)f(x)=log2·log2(1≤x≤4).
∵f(x)=log2·log2=(log2x-2)(log2x-1)=-,
又∵1≤x≤4,∴0≤log2x≤2,
∴当log2x=,即x==2时,f(x)取最小值-;
当log2x=0,即x=1时,f(x)取得最大值2,
∴函数f(x)的值域是.
1.知识清单:
(1)指数型函数的单调性.
(2)对数型函数的单调性.
(3)函数的综合应用.
2.方法归纳:换元法.
3.常见误区:求对数型函数的单调性易忽视定义域.
随堂演练
四
1.函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递减,那么f(x)在(1,+∞)上
A.单调递增且无最大值 B.单调递减且无最小值
C.单调递增且有最大值 D.单调递减且有最小值
设u=|x-1|,
∵u在(0,1)上单调递减,且函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递减,
则a>1,
∵u在(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值.
√
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3
4
2.函数y=lo(-x2-2x+3)的单调递增区间是
A.[-1,1) B.(-∞,1)
C.[1,3) D.(1,+∞)
1
2
3
4
√
由题意,得要使函数y=lo(-x2-2x+3)有意义,则满足-x2-2x+3>0,
即x2+2x-3=(x+3)(x-1)<0,解得-3即函数的定义域为(-3,1),
令g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
所以函数g(x)在区间(-3,-1)上单调递增,在区间[-1,1)上单调递减,
又函数y=lox在定义域上是减函数,
所以y=lo(-x2-2x+3)的单调递增区间为[-1,1).
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4
3.已知函数f(x)=是增函数,那么实数a的取值范围是
A.(1,+∞)　　　B.(3,+∞)　　　C.(1,3)　　　D.(1,3]
1
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√
∵函数f(x)=是增函数,
∴a>1且a0≥3a-8,
解得14.设函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为　　　　.
设u=|x-1|,则y=.
∵y=是减函数,u=|x-1|在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减,
∴y=在(-∞,1]上单调递增.
因此y=的单调递增区间是(-∞,1].
(-∞,1]
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课时对点练
五
基础巩固
1.函数y=log2(4x-16)的定义域为
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
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由4x-16>0,得x>2,
∴函数的定义域为(2,+∞).
2.函数f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
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当a>1时,y=logat和t=(a-1)x+1都是增函数,所以f(x)是增函数;
当0综上,函数f(x)在定义域上是增函数.
3.函数f(x)=的单调递增区间为
A.(-∞,2)　　　B.[1,2]　　　C.(2,3)　　　D.(2,+∞)
由-x2+4x-3≥0得1≤x≤3,
即函数f(x)的定义域为[1,3],
令u=,
因为f(x)=2u在[1,3]上为增函数,
且u==的单调递增区间为[1,2],
所以f(x)=的单调递增区间为[1,2].
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4.函数f(x)=-+1在[-1,2]上的最小值是
A.1　　　B.　　　C.　　　D.3
√
由题意,得函数f(x)=-+1=-+1,设t=,因为x∈[-1,2],
所以t=,
则函数y=t2-t+1=+,
当t=时,ymin=.
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5.设函数f(x)=loga|x+1|在区间(-1,0)上有f(x)>0,则下列关于函数f(x)的说法正确的是
A.在区间(-∞,0)上单调递增
B.在区间(-∞,-1)上单调递增
C.在区间(-∞,0)上单调递减
D.在区间(-∞,-1)上单调递减
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当-1f(x)=loga|x+1|>0,
∴00,x≠-1,
则u=|x+1|在(-∞,-1)上单调递减,
在(-1,+∞)上单调递增,
又函数y=logau为减函数,
∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减.
6.(多选)关于函数f(x)=lg (x≠0),有下列结论,其中正确的是
A.其图象关于y轴对称
B.f(x)的最小值是lg 2
C.当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数
D.f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞)
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因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=lg =f(x),
所以f(x)是偶函数,故A正确;
令t==|x|+≥2,y=lg t是增函数,
y=lg t≥lg 2,所以f(x)的最小值为lg 2,故B正确;
当x>0时,t==x+,根据对勾函数可得t=x+的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),
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y=lg t是增函数,
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故C错误;
根据偶函数的对称性,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞),故D正确.
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7.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围是　　　　.
[1,+∞)
因为函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,
则t=|x-a|在区间(-∞,1]上单调递减,
又函数t=|x-a|在区间(-∞,a]上单调递减,
所以(-∞,1] (-∞,a],故a≥1.
则a的取值范围是[1,+∞).
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8.若y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
(1,3]
因为y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)上单调递增,知u=ax+3在区间(-1,+∞)上单调递增,且u>0,故y=logau关于u在(0,+∞)上单调递增,
所以解得1故实数a的取值范围是(1,3].
9.求函数y=lo(-x2+2x+1)的值域和单调区间.
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由-x2+2x+1>0,知函数的定义域为(1-,1+).
设t=-x2+2x+1=-(x-1)2+2.
∵y=lot为减函数,且0∴y≥-1,故y=lo(-x2+2x+1)的值域为[-1,+∞).
∵t=-x2+2x+1在(1-,1)上单调递增,
在(1,1+)上单调递减,又y=lot为减函数.
∴函数y=lo(-x2+2x+1)的单调递增区间为(1,1+),单调递减区间为(1-,1).
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10.已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
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∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,即=0,
解得a=2,经检验a=2符合题意.
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(2)求函数f(x)的值域.
由(1)知,f(x)===1-在R上单调递增,
∵2x+1>1,∴0<<2,
∴-2<-<0,∴-1<1-<1,
∴函数f(x)的值域为(-1,1).
11.若函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)上单调递增,则实数m的取值范围为
A. B.
C. D.
综合运用
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由-x2+4x+5>0,得-1令u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,故u在(2,5)上单调递减.
且f(u)=lou为减函数,
∴f(x)=lo(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).
由题意得≤m<2.
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12.(多选)若3a-3b>2b-2a,则下列不等式正确的是
A.ln(a-b+1)>0 B.ln(b-a+1)>0
C.ea-b-1>0 D.eb-a-1>0
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因为函数f(x)=3x+2x为增函数,3a-3b>2b-2a,即3a+2a>3b+2b,
所以a>b,a-b>0,则a-b+1>1,
所以ln(a-b+1)>0,故A正确;
由b-a<0,得b-a+1<1,所以ln(b-a+1)<0,故B错误;
ea-b>e0=1,所以ea-b-1>0,故C正确;
eb-a13.函数f(x)=(log2x)2-log2x3+4,x∈(1,4]的值域为
A.[2,4) B.
C. D.
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令t=log2x,x∈(1,4],
则t∈(0,2],
∴原函数化为y=t2-3t+4,t∈(0,2],
∴当t=时,y有最小值为-3×+4=;
当t=0时,y有最大值为4,但取不到.
∴f(x)的值域为.
14.函数f(x)=lo(-x2+ax+2)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　.
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[1,2]
令t=-x2+ax+2,而y=lot是减函数,
所以f(x)=lo(-x2+ax+2)在(1,2)上单调递增等价于t=-x2+ax+2在(1,2)上单调递减且t(x)=-x2+ax+2>0恒成立,
即解得1≤a≤2.
15.(多选)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=-,则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是
A.g(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数 D.g(x)的值域是{-1,0,1}
拓广探究
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√
∵g(1)=[f(1)]===0,
g(-1)=[f(-1)]===-1,
∴g(-1)≠g(1),则g(x)不是偶函数,故A错误;
∵f(x)=-的定义域为R,
f(-x)+f(x)=+-1=-1=0,
∴f(x)为奇函数,故B正确;
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∵f(x)=-=-=-,
又y=2x在R上单调递增,
∴f(x)=-在R上是增函数,故C正确;
∵2x>0,∴1+2x>1,则0<<1,可得-<-<.
即-∴g(x)=[f(x)]∈{-1,0},故D错误.
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16.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;
因为f(x)=ex-,且y=ex是增函数,y=-是增函数,所以f(x)是增函数.
由于f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.
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(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立 若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
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由(1)知f(x)是增函数和奇函数,所以f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立,
等价于 f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立,即x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立,
所以t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立,
即存在实数t使得≤恒成立,
所以存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.
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16习题课　指数型函数、对数型函数的性质的综合
[学习目标]　1.会求指数型函数、对数型函数的单调性、值域等问题.(重难点)2.掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法.(重点)
一、指数型函数的单调性问题
例1　判断函数f(x)=的单调性.
延伸探究
1.把本例的函数改为“f(x)=”,求其单调区间.
2.若本例不变,求f(x)的值域.
反思感悟　(1)求指数型函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考察f(u)和φ(x)的单调性,利用同增异减原则,求出y=f(φ(x))的单调性.
(2)关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0跟踪训练1　函数y=的单调递减区间是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)
二、对数型函数的单调性问题
例2　(1)求函数y=lo(x2-3x+2)的单调区间.
(2)求函数y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的单调区间.
反思感悟　函数单调性的判定方法与策略
(1)定义法:一般步骤:设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法:如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出,结合图象可求得函数的单调区间.
(3)y=f(g(x))型函数:先将函数y=f(g(x))分解为y=f(t)和t=g(x),再讨论这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.
跟踪训练2　求函数y=lo(1-x2)的单调区间.
三、函数的综合应用
例3　求函数f(x)=log2(4x)·lo,x∈的值域.
延伸探究　若把本例改为y=4x-2x+1-3.求函数的值域和单调区间.
反思感悟　对于形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y=logau,u=f(x)两个函数；
(2)求f(x)的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y=logau的单调性求解.
跟踪训练3　求下列函数的值域:
(1)f(x)=log2(3x+1);
(2)f(x)=log2·log2(1≤x≤4).
1.知识清单:
(1)指数型函数的单调性.
(2)对数型函数的单调性.
(3)函数的综合应用.
2.方法归纳:换元法.
3.常见误区:求对数型函数的单调性易忽视定义域.
1.函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递减,那么f(x)在(1,+∞)上 (　　)
A.单调递增且无最大值
B.单调递减且无最小值
C.单调递增且有最大值
D.单调递减且有最小值
2.函数y=lo(-x2-2x+3)的单调递增区间是 (　　)
A.[-1,1) B.(-∞,1)
C.[1,3) D.(1,+∞)
3.已知函数f(x)=是增函数,那么实数a的取值范围是 (　　)
A.(1,+∞) B.(3,+∞)
C.(1,3) D.(1,3]
4.设函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为　　　　.
答案精析
例1　解　令u=x2-2x，
易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
又∵y=在(-∞，+∞)上单调递减，
∴f(x)=在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.
延伸探究
1.解　方法一　函数f(x)=的定义域是R.
令u=-x2+2x，则y=2u.
当x∈(-∞，1)时，
函数u=-x2+2x单调递增，
当x∈(1，+∞)时，
函数u=-x2+2x单调递减，
又函数y=2u在R上是增函数，
所以函数f(x)=在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
综上，函数f(x)=的单调递减区间是(1，+∞)，单调递增区间是(-∞，1).
方法二　f(x)==，本题转化为例1的做法.
2.解　因为u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，
所以y=，u∈［-1，+∞)，
所以0<≤=2，
所以函数f(x)的值域为(0，2］.
跟踪训练1　D
例2　(1)解　由x2-3x+2>0得x<1或x>2.
令t=x2-3x+2，
则t=x2-3x+2=-，当x∈(2，+∞)时，t=x2-3x+2单调递增，当x∈(-∞，1)时，t=x2-3x+2单调递减.
又y=lot为减函数，
∴当x∈(2，+∞)时，原函数单调递减；当x∈(-∞，1)时，原函数单调递增.
故函数y=lo(x2-3x+2)的单调递增区间为(-∞，1)，单调递减区间为(2，+∞).
(2)解　令t=log0.4x，则它在(0，+∞)上单调递减.
y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1，+∞)上单调递增，在(-∞，1)上单调递减.
由t=log0.4x>1得0由t=log0.4x<1得x>0.4，
故所求函数的单调递增区间为(0.4，+∞)，单调递减区间为(0，0.4).
跟踪训练2　解　由题意知1-x2>0，∴-1令t=1-x2，x∈(-1，1)，
则当x∈(-1，0)时，函数t=1-x2单调递增，
y=lot单调递减.
∴当x∈(-1，0)时，y=lo(1-x2)单调递减.
同理，当x∈(0，1)时，
y=lo(1-x2)单调递增.
故y=lo(1-x2)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(-1，0).
例3　解　f(x)=log2(4x)·lo
=(log2x+2)·
=-［(log2x)2+log2x-2］.
设log2x=t.
∵x∈，∴t∈［-1，2］，
则有y=-(t2+t-2)，t∈［-1，2］，
易得二次函数图象的对称轴为t=-，
∴函数y=-(t2+t-2)在上单调递增，在上单调递减，
∴当t=-时，ymax=.
当t=2时，ymin=-2.
∴f(x)的值域为.
延伸探究　解　函数y=4x-2x+1-3的定义域为R，设t=2x，则t>0.
因为y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4，
所以函数y=4x-2x+1-3的值域为［-4，+∞).
因为y=t2-2t-3在(-∞，1］上单调递减，此时由t≤1得x≤0.
又指数函数t=2x在(-∞，0］上单调递增，
所以函数y=4x-2x+1-3的单调递减区间为(-∞，0］.
同理，因为y=t2-2t-3在［1，+∞)上单调递增，此时由t≥1得x≥0.
又指数函数t=2x在［0，+∞)上单调递增，
所以函数y=4x-2x+1-3的单调递增区间为［0，+∞).
跟踪训练3　解　(1)f(x)的定义域为R.
∵3x>0，∴3x+1>1.
∵y=log2x在(0，+∞)上单调递增，
∴log2(3x+1)>log21=0，
∴f(x)的值域为(0，+∞).
(2)∵f(x)=log2·log2
=(log2x-2)(log2x-1)
=-，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x=，即x==2时，
f(x)取最小值-；
当log2x=0，即x=1时，f(x)取得最大值2，
∴函数f(x)的值域是.
随堂演练
1.A　2.A　3.D　4.(-∞，1］

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