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5.1.1　任意角
[学习目标]　1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念,理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
导语
同学们,钟表是帮助我们掌握时间的好帮手,生活中我们经常听到时钟慢了5分钟,或时钟快了30分钟,应该如何校准 再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中,我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说,这些问题中的角不仅有超出0°~360°范围的角,而且旋转的方向也不相同.为了准确地描述这些问题,我们需要扩大角的范围.
一、任意角的概念
问题1　在初中是如何定义角的 角的范围是多少
提示　角可以看作从同一顶点出发的两条射线所成的图形,角的范围是0°~360°.
知识梳理
1.角的概念及其表示
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.如图,
(1)始边:射线的起始位置OA;
终边:射线的终止位置OB;
顶点:射线的端点O.
(2)记法:图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
2.任意角:我们把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
3.角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.
4.角的加法
设α,β是任意两个角,我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.
5.相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角,角α的相反角记为-α,α-β=α+(-β).
例1　若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为 (　　)
A.120° B.-120°
C.-60° D.60°
答案　B
解析　由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,
即为-×360°=-120°.
反思感悟　正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角,顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯属习惯,就好像正数和负数的规定一样.
跟踪训练1　如图(1),∠AOC=　　　　;如图(2),∠AOC=　　　　.
答案　110°　-70°
二、象限角
问题2　现在,我们把角的概念推广到了任意角,如何更形象地表示一个角
提示　我们通常在直角坐标系内讨论角,为了方便,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
注意点:
(1)锐角是第一象限角,第一象限角未必是锐角;钝角是第二象限角,第二象限角未必是钝角;直角的终边在坐标轴上,它不属于任何象限.
(2)每一个象限都有正角和负角.
(3)无法比较两个象限角的大小.
例2　(多选)下列四个角中,属于第二象限角的是 (　　)
A.160° B.480° C.-960° D.1 530°
答案　ABC
解析　A中,160°很显然是第二象限角;
B中,480°=120°+360°,是第二象限角;
C中,-960°=-3×360°+120°,是第二象限角;
D中,1 530°=4×360°+90°,不是第二象限角.
反思感悟　正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系,需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
跟踪训练2　(多选)下列叙述不正确的是 (　　)
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
答案　ACD
解析　直角不属于任何一个象限,故A不正确;钝角是大于90°小于180°的角,是第二象限角,故B正确;120°是第二象限角,390°是第一象限角,120°<390°,故C不正确;零角和负角也小于180°,故D不正确.
三、终边相同的角
问题3　给定一个角,它的终边是否唯一 若两个角的终边相同,那么这两个角相等吗
提示　给定一个角,它的终边唯一;两个角终边相同,这两个角不一定相等,比如30°角的终边和390°角的终边相同,它们正好相差了360°.
知识梳理
终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
例3　(1)已知α=-1 845°,在与角α终边相同的角中,求满足下列条件的角.
①最小的正角;
②最大的负角;
③-360°~720°之间的角.
解　方法一　因为-1 845°=-45°+(-5)×360°,
即-1 845°角与-45°角的终边相同,
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β=-45°+k·360°,k∈Z},
①最小的正角为315°.
②最大的负角为-45°.
③-360°~720°之间的角分别是-45°,315°,675°.
方法二　设与角α 终边相同的角为β,
则{β|β=-1 845°+k·360°,k∈Z},
①令β>0,即-1 845°+k·360°>0,得k的最小值为6,
所以β=315°,
即最小的正角为315°.
②最大的负角为-45°.
③-360°~720°之间的角分别是-45°,315°,675°.
(2)写出终边落在直线y=-x上的角β的集合S.
解　直线y=-x过原点,它是第二、四象限的角平分线所在的直线,故在0°~360°范围内终边在直线y=-x上的角有135°,315°.
因此,终边在直线y=-x上的角的集合
S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.
延伸探究　完成下表.
终边落在x轴非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z}
终边落在x轴非正半轴上 {α|α=180°+k·360°,k∈Z}
终边落在y轴非负半轴上 {α|α=90°+k·360°,k∈Z}
终边落在y轴非正半轴上 {α|α=270°+k·360°,k∈Z}
终边落在x轴上 {α|α=k·180°,k∈Z}
终边落在y轴上 {α|α=90°+k·180°,k∈Z}
终边落在坐标轴上 {α|α=k·90°,k∈Z}
反思感悟　终边相同的角的表示
(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
(3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
跟踪训练3　若角2α与240°角的终边相同,则角α可以表示为 (　　)
A.120°+k·360°,k∈Z
B.120°+k·180°,k∈Z
C.240°+k·360°,k∈Z
D.240°+k·180°,k∈Z
答案　B
解析　因为角2α与240°角的终边相同,
所以2α=240°+k·360°,k∈Z,
所以α=120°+k·180°,k∈Z.
四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示
例4　已知角α的终边在图中阴影部分内,试指出角α的取值范围.
解　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°,k∈Z},终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°,k∈Z},因此,终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z}.
反思感悟　(1)表示区域角的三个步骤
①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间
{x|α③起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角的集合.
(2)实线包括边界,虚线不包括边界.
跟踪训练4　如图所示.
(1)分别写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合.
解　(1)终边落在射线OA上的角的集合为{α|α=210°+k·360°,k∈Z},终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=300°+k·360°,k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是
{α|210°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}.
1.知识清单:
(1)任意角的概念.
(2)终边相同的角的表示.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:锐角与小于90°角的区别,终边相同的角的表示中漏掉k∈Z.
1.“α是锐角”是“α是第一象限角”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　α是锐角能推出α是第一象限角,但是反之不成立,例如400°角是第一象限角,但不是锐角,
所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件.
2.2 024°角是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案　C
解析　因为2 024°=5×360°+224°,所以2 024°角的终边与224°角的终边相同,为第三象限角.
3.与-460°角终边相同的角可以表示成 (　　)
A.460°+k·360°,k∈Z
B.100°+k·360°,k∈Z
C.260°+k·360°,k∈Z
D.-260°+k·360°,k∈Z
答案　C
解析　因为-460°=260°+(-2)×360°,所以与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°,k∈Z.
4.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是　　　　　.
答案　{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}
解析　观察图形可知,角α的集合是
{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共18分
1.如果角α的终边上有一点P(0,-3),那么α (　　)
A.是第三象限角 B.是第四象限角
C.是第三或第四象限角 D.不是象限角
答案　D
解析　点P(0,-3)在y轴负半轴上,故α的终边为y轴的非正半轴,所以α不是象限角.
2.下面各组角中,终边相同的是 (　　)
A.390°,690° B.-330°,750°
C.480°,-420° D.3 000°,-840°
答案　B
解析　因为-330°=-360°+30°,
750°=2×360°+30°,
所以-330°与750°终边相同.
3.已知α为锐角,则2α为 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第二象限角 D.小于180°的正角
答案　D
解析　因为α为锐角,
所以0°<α<90°,则0°<2α<180°.
4.(多选)下列四个角为第二象限角的是 (　　)
A.-200° B.100°
C.220° D.420°
答案　AB
解析　-200°=-360°+160°,在0°~360°范围内,与-200°终边相同的角为160°,它是第二象限角;同理,100°为第二象限角,220°为第三象限角,420°为第一象限角.
5.时针走过2小时40分,则分针转过的角度是 (　　)
A.80° B.-80°
C.960° D.-960°
答案　D
解析　40÷60=,360°×=240°.
∵时针、分针都是顺时针旋转,
∴时针走过2小时40分,分针转过的角度为
-2×360°-240°=-960°.
6.若α是第四象限角,则180°-α是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案　C
解析　方法一　可以给α赋一特殊值-60°,
则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.
方法二　∵α是第四象限角,
∴-90°+k·360°<α∴180°+k·360°<180°-α<270°+k·360°,k∈Z,
∴180°-α是第三象限角.
7.(5分)如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是　　　　.
答案　{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
8.(5分)若角α与角β终边互为反向延长线,且α=-120°,则与角β的终边相同的角γ的集合为　　　　.
答案　{γ|γ=60°+k·360°,k∈Z}
解析　因为在0°~360°范围内与α=-120°的终边互为反向延长线的角是60°,
所以与角β的终边相同的角γ的集合为
{γ|γ=60°+k·360°,k∈Z}.
9.(10分)已知α=-1 910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(4分)
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.(6分)
解　(1)α=-1 910°=-6×360°+250°,它是第三象限角.
(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),
取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.
当n=-1时,θ=250°-360°=-110°;
当n=-2时,θ=250°-720°=-470°.
故θ=-110°或θ=-470°.
10.(10分)在平面直角坐标系中,用阴影表示下列集合:
(1){α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z};(5分)
(2){α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}.(5分)
解　(1) 根据任意角的定义,画出集合{α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}对应的区域,如图1中阴影部分(含边界)所示.
　　 　　图1　　　　　　　　　图2
(2)根据任意角的定义,画出集合{α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}对应的区域,如图2中阴影部分(含边界)所示.
11.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边落在 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　AC
解析　当k=2m+1(m∈Z)时,
α=2m·180°+225°=m·360°+225°,
故α为第三象限角;
当k=2m(m∈Z)时,α=m·360°+45°,
故α为第一象限角.
故角α的终边落在第一或第三象限.
12.设A为第二象限角组成的集合,B为钝角组成的集合,C为小于180°的角组成的集合,则A,B,C的关系正确的是 (　　)
A.B=A∩C B.AC
C.B∪C=C D.A=B=C
答案　C
解析　由题意得BA∩C,故A错误;
A与C互不包含,故B错误;
由BC,所以B∪C=C,故C正确;
由以上分析可知D错误.
13.(多选)如果角α与角γ+45°的终边相同,角β与γ-45°的终边相同,那么α-β的值可能为 (　　)
A.90° B.360°
C.450° D.2 330°
答案　AC
解析　因为角α与角γ+45°的终边相同,故α=γ+45°+k·360°,其中k∈Z,
同理β=γ-45°+k1·360°,其中k1∈Z,
故α-β=90°+n·360°,其中n∈Z,
当n=0或n=1时,α-β=90°或α-β=450°,故A,C正确,
令360°=90°+n·360°,此方程无整数解;
令2 330°=90°+n·360°,即56=9n,此方程无整数解,故B,D错误.
14.(5分)若α为△ABC的一个内角,且4α与120°的终边相同,则α=　　　　.
答案　120°或30°
解析　∵4α=120°+k·360°,k∈Z,
∴α=30°+k·90°,k∈Z,
又∵0°<α<180°,
∴当k=1时,α=120°;
当k=0时,α=30°.
15.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为 (　　)
A.α+β=k·360°,k∈Z
B.α+β=180°+k·360°,k∈Z
C.α-β=180°+k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°,k∈Z
答案　B
解析　因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,
即α+β=180°+k·360°,k∈Z.
16.(12分)若α是第二象限角,试分别确定2α,,的终边所在位置.
解　∵α是第二象限角,
∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).
∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),
∴2α的终边位于第三或第四象限,或在y轴的非正半轴上.
方法一　∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z),
当k=2n(n∈Z)时,45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z);
当k=2n+1(n∈Z)时,225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z),
∴的终边位于第一或第三象限.
∵30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z),
当k=3n(n∈Z)时,30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z);
当k=3n+1(n∈Z)时,150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z);
当k=3n+2(n∈Z)时,270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z),
∴的终边位于第一、第二或第四象限.
方法二　将坐标系的每个象限二等分,得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图所示.
∵α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为的终边所在的象限,
∴的终边位于第一或第三象限.
将坐标系的每个象限三等分,得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图所示.
∵α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为的终边所在的象限,
∴的终边位于第一、第二或第四象限.(共66张PPT)
5.1.1
第五章
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任意角
1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念,理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合.
3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
学习目标
同学们,钟表是帮助我们掌握时间的好帮手,生活中我们经常听到时钟慢了5分钟,或时钟快了30分钟,应该如何校准 再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中,我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说,这些问题中的角不仅有超出0°~360°范围的角,而且旋转的方向也不相同.为了准确地描述这些问题,我们需要扩大角的范围.
导 语
一、任意角的概念
二、象限角
课时对点练
三、终边相同的角
随堂演练
内容索引
四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示
任意角的概念
一
提示　角可以看作从同一顶点出发的两条射线所成的图形,角的范围是0°~360°.
在初中是如何定义角的 角的范围是多少
问题1
1.角的概念及其表示
角可以看成一条　　　绕着它的端点　　　所成的　　　.如图,
(1)始边:射线的　　　位置OA;
终边:射线的　　　位置OB;
顶点:射线的端点O.
(2)记法:图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
射线
旋转
图形
起始
终止
2.任意角:我们把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按　　　　方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按　　　　方向旋转形成的角
零角 一条射线　　　做任何旋转形成的角
逆时针
顺时针
没有
3.角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称　　　.
4.角的加法
设α,β是任意两个角,我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是　　　.
5.相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为　　　　,角α的相反角记为　　,α-β=α+　　　.
α=β
α+β
相反角
-α
(-β)
　　　若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为
A.120° B.-120°
C.-60° D.60°
例 1
√
由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,
即为-×360°=-120°.
正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角,顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯属习惯,就好像正数和负数的规定一样.
反
思
感
悟
　　　　　如图(1),∠AOC=　　　;如图(2),∠AOC=　　　.
跟踪训练 1
110°
-70°
二
象限角
提示　我们通常在直角坐标系内讨论角,为了方便,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
现在,我们把角的概念推广到了任意角,如何更形象地表示一个角
问题2
(1)锐角是第一象限角,第一象限角未必是锐角;钝角是第二象限角,第二象限角未必是钝角;直角的终边在坐标轴上,它不属于任何象限.
(2)每一个象限都有正角和负角.
(3)无法比较两个象限角的大小.
注 意 点
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(多选)下列四个角中,属于第二象限角的是
A.160° B.480° C.-960° D.1 530°
例 2
√
√
√
A中,160°很显然是第二象限角;
B中,480°=120°+360°,是第二象限角;
C中,-960°=-3×360°+120°,是第二象限角;
D中,1 530°=4×360°+90°,不是第二象限角.
反
思
感
悟
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系,需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
(多选)下列叙述不正确的是
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
跟踪训练 2
√
√
√
直角不属于任何一个象限,故A不正确;
钝角是大于90°小于180°的角,是第二象限角,故B正确;
120°是第二象限角,390°是第一象限角,120°<390°,故C不正确;
零角和负角也小于180°,故D不正确.
终边相同的角
三
给定一个角,它的终边是否唯一 若两个角的终边相同,那么这两个角相等吗
提示　给定一个角,它的终边唯一;两个角终边相同,这两个角不一定相等,比如30°角的终边和390°角的终边相同,它们正好相差了360°.
问题3
终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
　 (1)已知α=-1 845°,在与角α终边相同的角中,求满足下列条件的角.
①最小的正角;
②最大的负角;
③-360°~720°之间的角.
例 3
方法一　因为-1 845°=-45°+(-5)×360°,
即-1 845°角与-45°角的终边相同,
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β=-45°+k·360°,k∈Z},
①最小的正角为315°.
②最大的负角为-45°.
③-360°~720°之间的角分别是-45°,315°,675°.
方法二　设与角α 终边相同的角为β,
则{β|β=-1 845°+k·360°,k∈Z},
①令β>0,即-1 845°+k·360°>0,得k的最小值为6,
所以β=315°,
即最小的正角为315°.
②最大的负角为-45°.
③-360°~720°之间的角分别是-45°,315°,675°.
(2)写出终边落在直线y=-x上的角β的集合S.
直线y=-x过原点,它是第二、四象限的角平分线所在的直线,故在0°~
360°范围内终边在直线y=-x上的角有135°,315°.
因此,终边在直线y=-x上的角的集合
S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+
2k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=135°+n·180°，n∈Z}.
完成下表.
延伸探究
终边落在x轴非负半轴上 __________________
终边落在x轴非正半轴上 ________________________
终边落在y轴非负半轴上 _______________________
终边落在y轴非正半轴上 ________________________
终边落在x轴上 __________________
终边落在y轴上 _______________________
终边落在坐标轴上 _________________
{α|α=k·360°,k∈Z}
{α|α=180°+k·360°,k∈Z}
{α|α=90°+k·360°,k∈Z}
{α|α=270°+k·360°,k∈Z}
{α|α=k·180°,k∈Z}
{α|α=90°+k·180°,k∈Z}
{α|α=k·90°,k∈Z}
反
思
感
悟
终边相同的角的表示
(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
(3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
若角2α与240°角的终边相同,则角α可以表示为
A.120°+k·360°,k∈Z
B.120°+k·180°,k∈Z
C.240°+k·360°,k∈Z
D.240°+k·180°,k∈Z
跟踪训练 3
√
因为角2α与240°角的终边相同,
所以2α=240°+k·360°,k∈Z,
所以α=120°+k·180°,k∈Z.
区域角以及终边在已知直线上的角的表示
四
已知角α的终边在图中阴影部分内,试指出角α的取值范围.
例 4
终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°,k∈Z},终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°,k∈Z},
因此,终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z}.
反
思
感
悟
(1)表示区域角的三个步骤
①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间
{x|α③起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角的集合.
(2)实线包括边界,虚线不包括边界.
如图所示.
(1)分别写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;
跟踪训练 4
终边落在射线OA上的角的集合为{α|α=210°+k·360°,k∈Z},终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=300°+k·360°,k∈Z}.
(2)写出终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合.
终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是
{α|210°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}.
1.知识清单:
(1)任意角的概念.
(2)终边相同的角的表示.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:锐角与小于90°角的区别,终边相同的角的表示中漏掉k∈Z.
随堂演练
五
1.“α是锐角”是“α是第一象限角”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
α是锐角能推出α是第一象限角,但是反之不成立,例如400°角是第一象限角,但不是锐角,
所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件.
√
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2.2 024°角是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
因为2 024°=5×360°+224°,所以2 024°角的终边与224°角的终边相同,为第三象限角.
√
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3.与-460°角终边相同的角可以表示成
A.460°+k·360°,k∈Z
B.100°+k·360°,k∈Z
C.260°+k·360°,k∈Z
D.-260°+k·360°,k∈Z
因为-460°=260°+(-2)×360°,所以与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°,k∈Z.
√
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4.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是　　　　　 .
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{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}
观察图形可知,角α的集合是
{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}.
课时对点练
六
1.如果角α的终边上有一点P(0,-3),那么α
A.是第三象限角 B.是第四象限角
C.是第三或第四象限角 D.不是象限角
点P(0,-3)在y轴负半轴上,故α的终边为y轴的非正半轴,所以α不是象限角.
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基础巩固
2.下面各组角中,终边相同的是
A.390°,690° B.-330°,750°
C.480°,-420° D.3 000°,-840°
因为-330°=-360°+30°,
750°=2×360°+30°,
所以-330°与750°终边相同.
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3.已知α为锐角,则2α为
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第二象限角 D.小于180°的正角
因为α为锐角,
所以0°<α<90°,则0°<2α<180°.
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4.(多选)下列四个角为第二象限角的是
A.-200° B.100°
C.220° D.420°
-200°=-360°+160°,在0°~360°范围内,与-200°终边相同的角为160°,它是第二象限角;
同理,100°为第二象限角,220°为第三象限角,420°为第一象限角.
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5.时针走过2小时40分,则分针转过的角度是
A.80° B.-80°
C.960° D.-960°
40÷60=,360°×=240°.
∵时针、分针都是顺时针旋转,
∴时针走过2小时40分,分针转过的角度为
-2×360°-240°=-960°.
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6.若α是第四象限角,则180°-α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
方法一　可以给α赋一特殊值-60°,
则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.
方法二　∵α是第四象限角,
∴-90°+k·360°<α∴180°+k·360°<180°-α<270°+k·360°,k∈Z,
∴180°-α是第三象限角.
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7.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是　　　　 .
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{α|-45°+k·360°≤α≤
120°+k·360°,k∈Z}
8.若角α与角β终边互为反向延长线,且α=-120°,则与角β的终边相同的角γ的集合为　　　　 .
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{γ|γ=60°+k·360°,k∈Z}
因为在0°~360°范围内与α=-120°的终边互为反向延长线的角是60°,
所以与角β的终边相同的角γ的集合为
{γ|γ=60°+k·360°,k∈Z}.
9.已知α=-1 910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
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α=-1 910°=-6×360°+250°,它是第三象限角.
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
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令θ=250°+n·360°(n∈Z),
取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.
当n=-1时,θ=250°-360°=-110°;
当n=-2时,θ=250°-720°=-470°.
故θ=-110°或θ=-470°.
10.在平面直角坐标系中,用阴影表示下列集合:
(1){α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z};
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根据任意角的定义,画出集合{α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}对应的区域,如图1中阴影部分(含边界)所示.
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图1
(2){α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}.
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根据任意角的定义,画出集合{α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}对应的区域,如图2中阴影部分(含边界)所示.
图2
11.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边落在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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综合运用
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当k=2m+1(m∈Z)时,
α=2m·180°+225°=m·360°+225°,
故α为第三象限角;
当k=2m(m∈Z)时,α=m·360°+45°,
故α为第一象限角.
故角α的终边落在第一或第三象限.
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12.设A为第二象限角组成的集合,B为钝角组成的集合,C为小于180°的角组成的集合,则A,B,C的关系正确的是
A.B=A∩C B.A C
C.B∪C=C D.A=B=C
由题意得B A∩C,故A错误;
A与C互不包含,故B错误;
由B C,所以B∪C=C,故C正确;
由以上分析可知D错误.
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13.(多选)如果角α与角γ+45°的终边相同,角β与γ-45°的终边相同,那么α-β的值可能为
A.90° B.360°
C.450° D.2 330°
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因为角α与角γ+45°的终边相同,故α=γ+45°+k·360°,其中k∈Z,
同理β=γ-45°+k1·360°,其中k1∈Z,
故α-β=90°+n·360°,其中n∈Z,
当n=0或n=1时,α-β=90°或α-β=450°,故A,C正确,
令360°=90°+n·360°,此方程无整数解;
令2 330°=90°+n·360°,即56=9n,此方程无整数解,故B,D错误.
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14.若α为△ABC的一个内角,且4α与120°的终边相同,则α=　　　　 .
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120°或30°
∵4α=120°+k·360°,k∈Z,
∴α=30°+k·90°,k∈Z,
又∵0°<α<180°,
∴当k=1时,α=120°;
当k=0时,α=30°.
拓广探究
15.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为
A.α+β=k·360°,k∈Z
B.α+β=180°+k·360°,k∈Z
C.α-β=180°+k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°,k∈Z
因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,
即α+β=180°+k·360°,k∈Z.
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16.若α是第二象限角,试分别确定2α,,的终边所在位置.
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∵α是第二象限角,
∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).
∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),
∴2α的终边位于第三或第四象限,或在y轴的非正半轴上.
方法一　∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z),
当k=2n(n∈Z)时,45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z);
当k=2n+1(n∈Z)时,225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z),
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∴的终边位于第一或第三象限.
∵30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z),
当k=3n(n∈Z)时,30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z);
当k=3n+1(n∈Z)时,150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z);
当k=3n+2(n∈Z)时,270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z),
∴的终边位于第一、第二或第四象限.
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方法二　将坐标系的每个象限二等分,得到8个区域.自
x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,
如图所示.
∵α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即
为的终边所在的象限,
∴的终边位于第一或第三象限.
将坐标系的每个象限三等分,得到12个区域.自x轴正向
按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图所示.
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∵α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为的终边所在的象限,
∴的终边位于第一、第二或第四象限.
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165.1.1　任意角
[学习目标]　1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念,理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
一、任意角的概念
问题1　在初中是如何定义角的 角的范围是多少
知识梳理
1.角的概念及其表示
角可以看成一条_________绕着它的端点_________所成的_________.如图,
(1)始边:射线的_________位置OA;
终边:射线的_________位置OB;
顶点:射线的端点O.
(2)记法:图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
2.任意角:我们把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角
零角 一条射线_________做任何旋转形成的角
3.角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称_________.
4.角的加法
设α,β是任意两个角,我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是_________.
5.相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为_________,角α的相反角记为_________,α-β=α+_________.
例1　若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为 (　　)
A.120° B.-120°
C.-60° D.60°
反思感悟　正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角,顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯属习惯,就好像正数和负数的规定一样.
跟踪训练1　如图(1),∠AOC=　　　　;如图(2),∠AOC=　　　　.
二、象限角
问题2　现在,我们把角的概念推广到了任意角,如何更形象地表示一个角
例2　(多选)下列四个角中,属于第二象限角的是 (　　)
A.160° B.480° C.-960° D.1 530°
反思感悟　正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系,需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
跟踪训练2　(多选)下列叙述不正确的是 (　　)
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
三、终边相同的角
问题3　给定一个角,它的终边是否唯一 若两个角的终边相同,那么这两个角相等吗
知识梳理
终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
例3　(1)已知α=-1 845°,在与角α终边相同的角中,求满足下列条件的角.
①最小的正角;
②最大的负角;
③-360°~720°之间的角.
(2)写出终边落在直线y=-x上的角β的集合S.
延伸探究　完成下表.
终边落在x轴非负半轴上
终边落在x轴非正半轴上
终边落在y轴非负半轴上
终边落在y轴非正半轴上
终边落在x轴上
终边落在y轴上
终边落在坐标轴上
反思感悟　终边相同的角的表示
(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
(3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
跟踪训练3　若角2α与240°角的终边相同,则角α可以表示为 (　　)
A.120°+k·360°,k∈Z
B.120°+k·180°,k∈Z
C.240°+k·360°,k∈Z
D.240°+k·180°,k∈Z
四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示
例4　已知角α的终边在图中阴影部分内,试指出角α的取值范围.
反思感悟　(1)表示区域角的三个步骤
①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间
{x|α③起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角的集合.
(2)实线包括边界,虚线不包括边界.
跟踪训练4　如图所示.
(1)分别写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合.
1.知识清单:
(1)任意角的概念.
(2)终边相同的角的表示.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:锐角与小于90°角的区别,终边相同的角的表示中漏掉k∈Z.
1.“α是锐角”是“α是第一象限角”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.2 024°角是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.与-460°角终边相同的角可以表示成 (　　)
A.460°+k·360°,k∈Z
B.100°+k·360°,k∈Z
C.260°+k·360°,k∈Z
D.-260°+k·360°,k∈Z
4.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是　　　　　.
答案精析
问题1　角可以看作从同一顶点出发的两条射线所成的图形，角的范围是0°~360°.
知识梳理
1.射线　旋转　图形　(1)起始　终止
2.逆时针　顺时针　没有
3.α=β
4.α+β
5.相反角　-α　(-β)
例1　B
跟踪训练1　110°　-70°
问题2　我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
例2　ABC
跟踪训练2　ACD
问题3　给定一个角，它的终边唯一；两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°.
例3　(1)解　方法一　因为-1 845°=-45°+(-5)×360°，
即-1 845°角与-45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β=-45°+k·360°，k∈Z}，
①最小的正角为315°.
②最大的负角为-45°.
③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°.
方法二　设与角α 终边相同的角为β，
则{β|β=-1 845°+k·360°，k∈Z}，
①令β>0，即-1 845°+k·360°>0，得k的最小值为6，
所以β=315°，
即最小的正角为315°.
②最大的负角为-45°.
③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°.
(2)解　直线y=-x过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0°~360°范围内终边在直线y=-x上的角有135°，315°.
因此，终边在直线y=-x上的角的集合
S={β|β=135°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°，k∈Z}={β|β=135°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=135°+(2k+1)·180°，k∈Z}={β|β=135°+n·180°，n∈Z}.
延伸探究　{α|α=k·360°，k∈Z}　{α|α=180°+k·360°，k∈Z}
{α|α=90°+k·360°，k∈Z}
{α|α=270°+k·360°，k∈Z}
{α|α=k·180°，k∈Z}
{α|α=90°+k·180°，k∈Z}
{α|α=k·90°，k∈Z}
跟踪训练3　B
例4　解　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°，k∈Z}，终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}.
跟踪训练4　解　(1)终边落在射线OA上的角的集合为{α|α=210°+k·360°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=300°+k·360°，k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是
{α|210°+k·360°≤α≤300°+k·360°，k∈Z}.
随堂演练
1.A　2.C　3.C
4.{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z}作业45　任意角
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共18分
1.如果角α的终边上有一点P(0,-3),那么α (　　)
A.是第三象限角 B.是第四象限角
C.是第三或第四象限角 D.不是象限角
2.下面各组角中,终边相同的是 (　　)
A.390°,690° B.-330°,750°
C.480°,-420° D.3 000°,-840°
3.已知α为锐角,则2α为 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第二象限角 D.小于180°的正角
4.(多选)下列四个角为第二象限角的是 (　　)
A.-200° B.100°
C.220° D.420°
5.时针走过2小时40分,则分针转过的角度是 (　　)
A.80° B.-80°
C.960° D.-960°
6.若α是第四象限角,则180°-α是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
7.(5分)如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是　　　　.
8.(5分)若角α与角β终边互为反向延长线,且α=-120°,则与角β的终边相同的角γ的集合为　　　　.
9.(10分)已知α=-1 910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(4分)
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.(6分)
10.(10分)在平面直角坐标系中,用阴影表示下列集合:
(1){α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z};(5分)
(2){α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}.(5分)
11.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边落在 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12.设A为第二象限角组成的集合,B为钝角组成的集合,C为小于180°的角组成的集合,则A,B,C的关系正确的是 (　　)
A.B=A∩C B.AC
C.B∪C=C D.A=B=C
13.(多选)如果角α与角γ+45°的终边相同,角β与γ-45°的终边相同,那么α-β的值可能为 (　　)
A.90° B.360°
C.450° D.2 330°
14.(5分)若α为△ABC的一个内角,且4α与120°的终边相同,则α=　　　　.
15.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为 (　　)
A.α+β=k·360°,k∈Z
B.α+β=180°+k·360°,k∈Z
C.α-β=180°+k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°,k∈Z
16.(12分)若α是第二象限角,试分别确定2α,,的终边所在位置.
答案精析
1.D　2.B　3.D　4.AB　5.D
6.C　[方法一　可以给α赋一特殊值-60°，
则180°-α=240°，故180°-α是第三象限角.
方法二　∵α是第四象限角，
∴-90°+k·360°<α∴180°+k·360°<180°-α<270°+k·360°，k∈Z，
∴180°-α是第三象限角.]
7.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k∈Z}
8.{γ|γ=60°+k·360°，k∈Z}
9.解　(1)α=-1 910°=-6×360°+250°，它是第三象限角.
(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z)，
取n=-1，-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.
当n=-1时，
θ=250°-360°=-110°；
当n=-2时，
θ=250°-720°=-470°.
故θ=-110°或θ=-470°.
10.解　(1) 根据任意角的定义，画出集合{α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°，k∈Z}对应的区域，如图1中阴影部分(含边界)所示.
图1　　　　　　图2
(2)根据任意角的定义，画出集合{α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°，k∈Z}对应的区域，如图2中阴影部分(含边界)所示.
11.AC　[当k=2m+1(m∈Z)时，
α=2m·180°+225°=m·360°+225°，
故α为第三象限角；
当k=2m(m∈Z)时，
α=m·360°+45°，
故α为第一象限角.
故角α的终边落在第一或第三象限.]
12.C　[由题意得B?A∩C，
故A错误；
A与C互不包含，故B错误；
由B?C，所以B∪C=C，故C正确；
由以上分析可知D错误.]
13.AC　[因为角α与角γ+45°的终边相同，故α=γ+45°+k·360°，其中k∈Z，
同理β=γ-45°+k1·360°，其中k1∈Z，
故α-β=90°+n·360°，其中n∈Z，
当n=0或n=1时，α-β=90°或α-β=450°，故A，C正确，
令360°=90°+n·360°，此方程无整数解；
令2 330°=90°+n·360°，即56=9n，此方程无整数解，故B，D错误.]
14.120°或30°
解析　∵4α=120°+k·360°，k∈Z，
∴α=30°+k·90°，k∈Z，
又∵0°<α<180°，
∴当k=1时，α=120°；
当k=0时，α=30°.
15.B　[因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β=180°-α+k·360°，k∈Z，
即α+β=180°+k·360°，k∈Z.]
16.解　∵α是第二象限角，
∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).
∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)，
∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上.
方法一　∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z)，
当k=2n(n∈Z)时，45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)；
当k=2n+1(n∈Z)时，225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一或第三象限.
∵30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z)，
当k=3n(n∈Z)时，30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z)；
当k=3n+1(n∈Z)时，150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z)；
当k=3n+2(n∈Z)时，270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一、第二或第四象限.
方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一或第三象限.
将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一、第二或第四象限.

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