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专题强化　动力学中的连接体问题
[学习目标]　1.知道什么是连接体,会用整体法和隔离法分析动力学中的连接体问题(重难点)。2.进一步熟练应用牛顿第二定律解题(重点)。
连接体:两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫连接体。如几个物体叠放在一起,或并排放在一起,或用绳子、细杆等连在一起,在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法。
一、加速度和速度都相同的连接体问题
例1　如图所示,光滑水平面上A、B两物体用不可伸长的水平轻绳相连,用水平力F拉A使A、B一起运动,A的质量为mA、B的质量为mB,求:
(1)A、B一起运动的加速度大小;
(2)A、B两物体间绳的拉力FT的大小。
答案　(1)　(2)F
解析　(1)把A、B作为一个整体,有
F=(mA+mB)a
解得a=
(2)单独分析B,FT=mBa
得FT=F。
连接体问题的解题方法
1.整体法:把整个连接体系统看作一个研究对象,分析整体所受的外力,运用牛顿第二定律列方程求解。其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力。
2.隔离法:把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象,进行受力分析,列方程求解。其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力,容易看清单个物体(或物体的一部分)的受力情况或单个过程的运动情形。
拓展1　在例1中,若两物体与水平面间的动摩擦因数均为μ,则A、B间绳的拉力为多大
答案　F
解析　若动摩擦因数均为μ,以A、B整体为研究对象,有F-μ(mA+mB)g=(mA+mB)a,然后隔离B为研究对象,有FT-μmBg=mBa,联立解得FT=F。
拓展2　如图所示,物体A、B用不可伸长的轻绳连接,在竖直向上的恒力F作用下一起向上做匀加速直线运动,已知mA=10 kg,mB=20 kg,F=600 N,不计空气阻力,求此时轻绳对物体B的拉力大小。(g取10 m/s2)
答案　400 N
解析　对A、B整体受力分析,再单独对B受力分析,分别如图甲、乙所示:
对A、B整体,根据牛顿第二定律有:
F-(mA+mB)g=(mA+mB)a
物体B受轻绳的拉力和重力,根据牛顿第二定律有:
FT-mBg=mBa,
联立解得FT=400 N。
拓展3　如图所示,若把两物体放在固定斜面上,两物体与斜面间的动摩擦因数均为μ,在方向平行于斜面向上的拉力F作用下沿斜面向上加速,A、B间绳的拉力为多大
答案　F
解析　以A、B整体为研究对象,
设斜面的倾角为θ,F-(mA+mB)gsin θ-μ(mA+mB)gcos θ=(mA+mB)a,
以B为研究对象,
FT-mBgsin θ-μmBgcos θ=mBa,
联立解得FT=F。
“串接式”连接体中弹力的“分配协议”
如图所示,对于一起做加速运动的物体系统,m1和m2间的弹力F12或中间绳的拉力FT的大小遵守以下力的“分配协议”:
(1)若外力F作用于m1上,则F12=FT=;
(2)若外力F作用于m2上,则F12=FT=。
注意:①此“协议”与有无摩擦无关(若有摩擦,两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同);
②此“协议”与两物体间有无连接物、何种连接物(轻绳、轻杆、轻弹簧)无关;
③物体系统处于水平面、斜面或竖直方向上一起加速运动时此“协议”都成立。
二、加速度和速度大小相等、方向不同的连接体问题
例2　(多选)如图所示,在光滑的水平桌面上有一个质量为3m的物体A,通过绳子与质量为m的物体B相连,假设绳子、定滑轮的质量以及绳子与定滑轮之间的摩擦力都忽略不计,绳子不可伸长。重力加速度为g,将两物体同时由静止释放,则下列说法正确的是 (　　)
A.物体A的加速度大小为g
B.物体B的加速度大小为g
C.绳子的拉力大小为mg
D.物体B处于失重状态
答案　AD
解析　静止释放后,物体A将向右做加速运动,物体B将加速下落,二者加速度大小相等,由牛顿第二定律,
对A:FT=3ma
对B:mg-FT=ma
解得a=g,FT=mg。物体B加速度方向竖直向下,处于失重状态,故选A、D。
拓展1　若将B换成一个竖直向下且大小为mg的力,则物体A的加速度为多大
答案　对A:FT=3ma
FT=mg
解得a=g。
拓展2　如图所示,在例2中,若平面MN变为倾角为37°的光滑斜面,求两物体的加速度大小及绳子的拉力大小。(已知sin 37°=0.6)
答案　0.2g　1.2mg
解析　对A:3mgsin 37°-FT=3ma
对B:FT-mg=ma
解得a=0.2g,FT=1.2mg。
拓展3　若A、B跨过光滑轻质定滑轮连接,如图所示,求两物体的加速度大小及绳子的拉力大小。
答案　0.5g　1.5mg
解析　对A:3mg-FT=3ma
对B:FT-mg=ma
解得a=0.5g,FT=1.5mg。
跨过光滑轻质定滑轮的物体速度、加速度大小相同,但方向不同,此时一般采用隔离法,即对每个物体分别进行受力分析,分别根据牛顿第二定律列方程,然后联立方程求解。
专题强化练　[分值:100分]
1~6题每题7分,共42分
1.如图所示,并排放在光滑水平面上的两物体A、B的质量分别为m1和m2,且m1=2m2。当用水平推力F向右推物体A时,两物体间的相互作用力的大小为FN,则 (　　)
A.FN=F B.FN=F
C.FN=F D.FN=F
答案　C
解析　当用水平推力F向右推物体A时,对A、B整体,由牛顿第二定律可得F=(m1+m2)a;对物体B有FN=m2a=F;因m1=2m2,得FN=,故选项C正确。
2.如图所示,质量分别为0.1 kg和0.2 kg的A、B两物体用一根轻质弹簧连接,在一个竖直向上、大小为6 N的拉力F作用下以相同的加速度向上做匀加速直线运动,已知弹簧的劲度系数为1 N/cm,g取10 m/s2,不计空气阻力。则弹簧的形变量为 (　　)
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
答案　D
解析　以A、B及弹簧整体为研究对象,根据牛顿第二定律得F-(mA+mB)g=(mA+mB)a,解得a=10 m/s2,以B为研究对象,根据牛顿第二定律得kx-mBg=mBa,其中k=1 N/cm,联立解得x=4 cm,故选D。
3.如图所示,物体A重力为20 N,物体B重力为5 N,不计一切摩擦和绳、定滑轮的质量,当两物体由静止释放后,物体A的加速度大小与绳子上的张力大小分别为(g取10 m/s2) (　　)
A.6 m/s2,8 N B.10 m/s2,8 N
C.8 m/s2,6 N D.6 m/s2,9 N
答案　A
解析　当两物体由静止释放后,物体A将加速下降,物体B将加速上升,二者加速度大小相等,由牛顿第二定律,对A有mAg-FT=mAa,对B有FT-mBg=mBa,代入数据解得a=6 m/s2,FT=8 N,A正确。
4.(多选)如图所示,质量分别为mA、mB的A、B两物块用轻绳连接放在倾角为θ的固定斜面上(轻绳与斜面平行),用平行于斜面向上的恒力F拉A,使它们沿斜面匀加速上升,A、B与斜面间的动摩擦因数均为μ,为了增大轻绳上的张力,可行的办法是 (　　)
A.减小A物块的质量
B.增大B物块的质量
C.增大倾角θ
D.增大动摩擦因数μ
答案　AB
解析　对A、B整体运用牛顿第二定律,有F-(mA+mB)gsin θ-μ(mA+mB)gcos θ=(mA+mB)a,得a=-gsin θ-μgcos θ,隔离B研究,根据牛顿第二定律有FT-mBgsin θ-μmBgcos θ=mBa,则FT==,要增大FT,可减小A物块的质量或增大B物块的质量,而FT的大小与倾角θ、动摩擦因数μ均无关,故A、B正确。
5.四个质量相等的物体置于光滑水平面上,如图所示,现对左侧第1个物体施加大小为F、方向水平向右的恒力,则第2个物体对第3个物体的作用力大小等于 (　　)
A.F　B.F　C.F　D.F
答案　C
解析　设各物体的质量均为m,对四个物体整体运用牛顿第二定律得a=,对3、4组成的整体应用牛顿第二定律得FN=2ma,解得FN=F,故选C。
6.A、B两物块靠在一起放置在粗糙的水平地面上,如图所示,外力F作用在A上,推着A、B一起向右加速运动,已知外力F=10 N,mA=mB=1 kg,A与地面间的动摩擦因数μ1=0.1,B与地面间的动摩擦因数μ2=0.3,g取10 m/s2,则A、B运动的加速度大小和A、B之间的弹力大小分别为 (　　)
A.a=3 m/s2,FAB=6 N
B.a=2 m/s2,FAB=6 N
C.a=3 m/s2,FAB=5 N
D.a=2 m/s2,FAB=5 N
答案　A
解析　A受到的摩擦力FfA=μ1mAg,B受到的摩擦力FfB=μ2mBg;对A、B整体,由牛顿第二定律有F-FfA-FfB=(mA+mB)a,解得a=3 m/s2;对B,由牛顿第二定律有FAB-FfB=mBa,解得FAB=6 N,故选项A正确。
7~10题每题10分,共40分
7.如图所示,物体A和B恰好做匀速运动,已知mA>mB,不计滑轮及绳子的质量,A、B与桌面间的动摩擦因数相同,重力加速度为g。若将A与B互换位置,则 (　　)
A.物体A与B仍做匀速运动
B.物体A与B做加速运动,加速度大小a=g
C.物体A与B做加速运动,加速度大小a=
D.绳子中张力不变
答案　D
解析　开始时A、B匀速运动,绳子的张力等于mBg,且满足mBg=μmAg,解得μ=,物体A与B互换位置后,对A有mAg-FT=mAa,对B有FT-μmBg=mBa,联立解得FT=mBg,a=g,D正确。
8.(2024·石家庄市高一期末)如图,固定光滑直角斜面,倾角分别为53°和37°。质量均为m的滑块A和B,用不可伸长的轻绳绕过直角处的光滑轻质定滑轮连接。开始按住A使两滑块静止,绳子刚好伸直且与斜面平行。松手后,滑块A将沿斜面向下加速,重力加速度为g,sin 37°=0.6,下列说法正确的是 (　　)
A.A、B的加速度大小为0.1g
B.A、B的加速度大小为0.8g
C.绳上的张力大小为mg
D.绳子对定滑轮的作用力为2mg
答案　A
解析　对滑块A受力分析,设绳上张力为FT,根据牛顿第二定律可得mgsin 53°-FT=ma,对滑块B有,FT-mgsin 37°=ma,联立解得a=0.1g,FT=0.7mg,根据力的合成可知,绳子对定滑轮的作用力为F==0.7mg,故选A。
9.(多选)(2023·阳泉市高一期末)如图所示,粗糙的水平面上有一内壁为半球形且光滑的容器,容器的质量为2 kg,与地面间的动摩擦因数为0.25,在水平推力F作用下置于容器内质量为1 kg的物块(可视为质点)与容器一起向左做加速运动,加速运动过程中物块处于P点,OP连线与水平线的夹角θ=53°,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,则 (　　)
A.容器的加速度大小为 m/s2
B.容器对物块的支持力大小为12.5 N
C.推力F的大小为42 N
D.地面对容器的支持力等于30 N
答案　BD
解析　设物块与容器组成的系统加速度大小为a,以物块为研究对象,竖直方向根据受力平衡可得FNsin θ=mg
解得容器对物块的支持力大小为
FN==12.5 N
水平方向根据牛顿第二定律可得FNcos θ=ma
解得a=7.5 m/s2,故A错误,B正确;
以容器、物块为整体进行受力分析,竖直方向根据受力平衡可得FN地=(M+m)g=30 N
水平方向根据牛顿第二定律可得F-μFN地=(M+m)a
解得F=30 N,故C错误,D正确。
10.(多选)(2024·荆州市高一期末)如图所示,倾角为θ的斜面体放在粗糙的水平地面上,现有一带固定支架的滑块正沿斜面加速下滑。支架上用细线悬挂的小球达到稳定(与滑块相对静止)后,悬线的方向与竖直方向的夹角也为θ,斜面体始终保持静止,则下列说法正确的是 (　　)
A.斜面光滑
B.斜面粗糙
C.达到稳定状态后,斜面体对滑块的摩擦力沿斜面向上
D.达到稳定状态后,地面对斜面体的摩擦力水平向左
答案　AD
解析　设滑块和小球整体的质量为M,假设斜面光滑,对整体根据牛顿第二定律可得a==gsin θ,方向沿斜面向下,而小球的加速度为a==gsin θ,则假设成立,即斜面是光滑的,故A正确,B、C错误;带固定支架的滑块下滑时,对斜面有斜向右下方的压力,斜面体有相对地面向右的运动趋势,地面对斜面体的摩擦力水平向左,故D正确。
11.(18分)(2024·海口市高一期末)如图所示,倾角θ=37°的光滑斜面体固定在水平地面上,斜面长L=2 m,质量M=1 kg的B物体放在斜面底端,通过轻细绳跨过光滑的轻质定滑轮与A物体相连接,连接B的细绳与斜面平行。A的质量m=3 kg,绳拉直时用手托住A物体使其在距地面h高处由静止释放,着地后立即停止运动。A、B物体均可视为质点,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)(8分)求A物体下落的加速度大小及绳子拉力FT的大小;
(2)(10分)若A物体从h1=1 m处静止释放,要使B物体向上运动且不从斜面顶端滑出,求A物体质量m的取值范围。
答案　(1)6 m/s2　12 N　(2)0.6 kg解析　(1)根据牛顿第二定律
对A有mg-FT=ma
对B有FT-Mgsin θ=Ma
代入数据解得a=6 m/s2
绳子拉力大小FT=12 N
(2)设A物体着地时B的速度为v,A着地后B做匀减速运动的加速度大小为a1
对B有Mgsin θ=Ma1
代入数据解得a1=6 m/s2
设A着地后B向上滑行距离为x
v2=2a1x
x≤L-h1
设A物体从h1=1 m处静止释放到着地前A、B整体的加速度为a'
a'=
着地前v2=2a'h1
代入数据解得m≤3 kg
另一方面要能拉动B必须有mg>Mgsin θ
解得m>0.6 kg
所以A物体的质量范围是
0.6 kgDISIZHANG
第四章
专题强化　动力学中的连接体问题
1.知道什么是连接体,会用整体法和隔离法分析动力学中的连接体问题(重难点)。
2.进一步熟练应用牛顿第二定律解题(重点)。
学习目标
连接体:两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫连接体。如几个物体叠放在一起,或并排放在一起,或用绳子、细杆等连在一起,在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法。
一、加速度和速度都相同的连接体问题
二、加速度和速度大小相等、方向不同的连接体问题
专题强化练
内容索引
加速度和速度都相同的连接体问题
一
如图所示,光滑水平面上A、B两物体用不可伸长的水平轻绳相连,用水平力F拉A使A、B一起运动,A的质量为mA、B的质量为mB,求:
例1
(1)A、B一起运动的加速度大小;
答案　
把A、B作为一个整体,有F=(mA+mB)a
解得a=
(2)A、B两物体间绳的拉力FT的大小。
答案　F
单独分析B,FT=mBa
得FT=F。
总结提升
连接体问题的解题方法
1.整体法:把整个连接体系统看作一个研究对象,分析整体所受的外力,运用牛顿第二定律列方程求解。其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力。
2.隔离法:把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象,进行受力分析,列方程求解。其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力,容易看清单个物体(或物体的一部分)的受力情况或单个过程的运动情形。
拓展1　在例1中,若两物体与水平面间的动摩擦因数均为μ,则A、B间绳的拉力为多大
答案　F
若动摩擦因数均为μ,以A、B整体为研究对象,有F-μ(mA+mB)g=
(mA+mB)a,然后隔离B为研究对象,有FT-μmBg=mBa,联立解得FT=F。
拓展2　如图所示,物体A、B用不可伸长的轻绳连接,在竖直向上的恒力F作用下一起向上做匀加速直线运动,已知mA=10 kg,mB=20 kg,F=600 N,不计空气阻力,求此时轻绳对物体B的拉力大小。(g取10 m/s2)
答案　400 N
对A、B整体受力分析,再单独对B受力分析,分别如图甲、乙所示:
对A、B整体,根据牛顿第二定律有:
F-(mA+mB)g=(mA+mB)a
物体B受轻绳的拉力和重力,根据牛顿第二定律有:
FT-mBg=mBa,
联立解得FT=400 N。
拓展3　如图所示,若把两物体放在固定斜面上,两物体与斜面间的动摩擦因数均为μ,在方向平行于斜面向上的拉力F作用下沿斜面向上加速,A、B间绳的拉力为多大
答案　F
以A、B整体为研究对象,
设斜面的倾角为θ,F-(mA+mB)gsin θ-μ(mA+mB)gcos θ=(mA+mB)a,
以B为研究对象,
FT-mBgsin θ-μmBgcos θ=mBa,
联立解得FT=F。
总结提升
“串接式”连接体中弹力的“分配协议”
如图所示,对于一起做加速运动的物体系统,m1和m2间的弹力F12或中间绳的拉力FT的大小遵守以下力的“分配协议”:
总结提升
(1)若外力F作用于m1上,则F12=FT=;
(2)若外力F作用于m2上,则F12=FT=。
注意:①此“协议”与有无摩擦无关(若有摩擦,两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同);
②此“协议”与两物体间有无连接物、何种连接物(轻绳、轻杆、轻弹簧)无关;
③物体系统处于水平面、斜面或竖直方向上一起加速运动时此“协议”都成立。
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加速度和速度大小相等、方向不同的连接体问题
二
　(多选)如图所示,在光滑的水平桌面上有一个质量为3m的物体A,通过绳子与质量为m的物体B相连,假设绳子、定滑轮的质量以及绳子与定滑轮之间的摩擦力都忽略不计,绳子不可伸长。重力加速度为g,将两物体同时由静止释放,则下列说法正确的是
A.物体A的加速度大小为g
B.物体B的加速度大小为g
C.绳子的拉力大小为mg
D.物体B处于失重状态
例2
√
√
静止释放后,物体A将向右做加速运动,物体B将加速下落,二者加速度大小相等,由牛顿第二定律,
对A:FT=3ma
对B:mg-FT=ma
解得a=g,FT=mg。物体B加速度方向竖直向下,处于失重状态,故选A、D。
拓展1　若将B换成一个竖直向下且大小为mg的力,则物体A的加速度为多大
答案　对A:FT=3ma
FT=mg
解得a=g。
拓展2　如图所示,在例2中,若平面MN变为倾角为37°的光滑斜面,求两物体的加速度大小及绳子的拉力大小。(已知sin 37°=0.6)
答案　0.2g　1.2mg
对A:3mgsin 37°-FT=3ma
对B:FT-mg=ma
解得a=0.2g,FT=1.2mg。
拓展3　若A、B跨过光滑轻质定滑轮连接,如图所示,求两物体的加速度大小及绳子的拉力大小。
答案　0.5g　1.5mg
对A:3mg-FT=3ma
对B:FT-mg=ma
解得a=0.5g,FT=1.5mg。
总结提升
跨过光滑轻质定滑轮的物体速度、加速度大小相同,但方向不同,此时一般采用隔离法,即对每个物体分别进行受力分析,分别根据牛顿第二定律列方程,然后联立方程求解。
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专题强化练
三
1.如图所示,并排放在光滑水平面上的两物体A、B的质量分别为m1和m2,且m1=2m2。当用水平推力F向右推物体A时,两物体间的相互作用力的大小为FN,则
A.FN=F B.FN=F
C.FN=F D.FN=F
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基础强化练
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当用水平推力F向右推物体A时,对A、B整体,由牛顿第二定律可得F=(m1+m2)a;对物体B有FN=m2a=
F;因m1=2m2,得FN=,故选项C正确。
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2.如图所示,质量分别为0.1 kg和0.2 kg的A、B两物体用一根轻质弹簧连接,在一个竖直向上、大小为6 N的拉力F作用下以相同的加速度向上做匀加速直线运动,已知弹簧的劲度系数为1 N/cm,g取10 m/s2,不计空气阻力。则弹簧的形变量为
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
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以A、B及弹簧整体为研究对象,根据牛顿第二定律得F-(mA+mB)g=(mA+mB)a,解得a=10 m/s2,以B为研究对象,根据牛顿第二定律得kx-mBg=mBa,其中k=1 N/cm,联立解得x=4 cm,故选D。
11
3.如图所示,物体A重力为20 N,物体B重力为5 N,不计一切摩擦和绳、定滑轮的质量,当两物体由静止释放后,物体A的加速度大小与绳子上的张力大小分别为(g取10 m/s2)
A.6 m/s2,8 N B.10 m/s2,8 N
C.8 m/s2,6 N D.6 m/s2,9 N
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当两物体由静止释放后,物体A将加速下降,物体B将加速上升,二者加速度大小相等,由牛顿第二定律,对A有mAg-FT=mAa,对B有FT-mBg=mBa,代入数据解得a=6 m/s2,
FT=8 N,A正确。
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4.(多选)如图所示,质量分别为mA、mB的A、B两物块用轻绳连接放在倾角为θ的固定斜面上(轻绳与斜面平行),用平行于斜面向上的恒力F拉A,使它们沿斜面匀加速上升,A、B与斜面间的动摩擦因数均为μ,为了增大轻绳上的张力,可行的办法是
A.减小A物块的质量
B.增大B物块的质量
C.增大倾角θ
D.增大动摩擦因数μ
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对A、B整体运用牛顿第二定律,有F-(mA+mB)gsin θ-
μ(mA+mB)gcos θ=(mA+mB)a,得a=-gsin θ-μgcos θ,
隔离B研究,根据牛顿第二定律有FT-mBgsin θ-μmBgcos θ=mBa,则FT==,要增大FT,可减小A物块的质量或增大B物块的质量,而FT的大小与倾角θ、动摩擦因数μ均无关,故A、B正确。
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5.四个质量相等的物体置于光滑水平面上,如图所示,现对左侧第1个物体施加大小为F、方向水平向右的恒力,则第2个物体对第3个物体的作用力大小等于
A.F　 B.F　 C.F　 D.F
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设各物体的质量均为m,对四个物体整体运用牛顿第二定律得a=,对3、4组成的整体应用牛顿第二定律得FN=2ma,解得FN=F,故选C。
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6.A、B两物块靠在一起放置在粗糙的水平地面上,如图所示,外力F作用在A上,推着A、B一起向右加速运动,已知外力F=10 N,mA=mB=1 kg,A与地面间的动摩擦因数μ1=0.1,B与地面间的动摩擦因数μ2=0.3,g取10 m/s2,则A、B运动的加速度大小和A、B之间的弹力大小分别为
A.a=3 m/s2,FAB=6 N
B.a=2 m/s2,FAB=6 N
C.a=3 m/s2,FAB=5 N
D.a=2 m/s2,FAB=5 N
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A受到的摩擦力FfA=μ1mAg,B受到的摩擦力FfB=μ2mBg;对A、B整体,由牛顿第二定律有F-FfA-FfB=(mA+mB)a,解得a=3 m/s2;对B,由牛顿第二定律有FAB-FfB=mBa,解得FAB=6 N,故选项A正确。
11
7.如图所示,物体A和B恰好做匀速运动,已知mA>mB,不计滑轮及绳子的质量,A、B与桌面间的动摩擦因数相同,重力加速度为g。若将A与B互换位置,则
A.物体A与B仍做匀速运动
B.物体A与B做加速运动,加速度大小a=g
C.物体A与B做加速运动,加速度大小a=
D.绳子中张力不变
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能力综合练
√
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开始时A、B匀速运动,绳子的张力等于mBg,且满足mBg
=μmAg,解得μ=,物体A与B互换位置后,对A有mAg-FT
=mAa,对B有FT-μmBg=mBa,联立解得FT=mBg,a=g,D正确。
11
8.(2024·石家庄市高一期末)如图,固定光滑直角斜面,倾角分别为53°和37°。质量均为m的滑块A和B,用不可伸长的轻绳绕过直角处的光滑轻质定滑轮连接。开始按住A使两滑块静止,绳子刚好伸直且与斜面平行。松手后,滑块A将沿斜面向下加速,重力加速度为g,sin 37°=0.6,下列说法正确的是
A.A、B的加速度大小为0.1g
B.A、B的加速度大小为0.8g
C.绳上的张力大小为mg
D.绳子对定滑轮的作用力为2mg
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对滑块A受力分析,设绳上张力为FT,根据牛顿第二定律
可得mgsin 53°-FT=ma,对滑块B有,FT-mgsin 37°=ma,
联立解得a=0.1g,FT=0.7mg,根据力的合成可知,绳子对定滑轮的作用力为F==0.7mg,故选A。
11
9.(多选)(2023·阳泉市高一期末)如图所示,粗糙的水平面上有一内壁为半球形且光滑的容器,容器的质量为2 kg,与地面间的动摩擦因数为0.25,在水平推力F作用下置于容器内质量为1 kg的物块(可视为质点)与容器一起向左做加速运动,加速运动过程中物块处于P点,OP连线与水平线的夹角θ=53°,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,则
A.容器的加速度大小为 m/s2
B.容器对物块的支持力大小为12.5 N
C.推力F的大小为42 N
D.地面对容器的支持力等于30 N
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设物块与容器组成的系统加速度大小为a,以物块为研究对象,竖直方向根据受力平衡可得FNsin θ=mg
解得容器对物块的支持力大小为FN==12.5 N
水平方向根据牛顿第二定律可得FNcos θ=ma
解得a=7.5 m/s2,故A错误,B正确;
以容器、物块为整体进行受力分析,竖直方向根据受力平衡可得FN地=(M+m)g=30 N
水平方向根据牛顿第二定律可得F-μFN地=(M+m)a
解得F=30 N,故C错误,D正确。
11
10.(多选)(2024·荆州市高一期末)如图所示,倾角为θ的斜面体放在粗糙的水平地面上,现有一带固定支架的滑块正沿斜面加速下滑。支架上用细线悬挂的小球达到稳定(与滑块相对静止)后,悬线的方向与竖直方向的夹角也为θ,斜面体始终保持静止,则下列说法正确的是
A.斜面光滑
B.斜面粗糙
C.达到稳定状态后,斜面体对滑块的摩擦力沿斜面向上
D.达到稳定状态后,地面对斜面体的摩擦力水平向左
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设滑块和小球整体的质量为M,假设斜面光滑,对整体根
据牛顿第二定律可得a==gsin θ,方向沿斜面向下,
而小球的加速度为a==gsin θ,则假设成立,即斜面是光滑的,故A正确,B、C错误;
带固定支架的滑块下滑时,对斜面有斜向右下方的压力,斜面体有相对地面向右的运动趋势,地面对斜面体的摩擦力水平向左,故D正确。
11
11.(2024·海口市高一期末)如图所示,倾角θ=37°的光滑斜面体固定在水平地面上,斜面长L=2 m,质量M=1 kg的B物体放在斜面底端,通过轻细绳跨过光滑的轻质定滑轮与A物体相连接,连接B的细绳与斜面平行。A的质量m=3 kg,绳拉直时用手托住A物体使其在距地面h高处由静止释放,着地后立即停止运动。A、B物体均可视为质点,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°
=0.8。
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尖子生选练
(1)求A物体下落的加速度大小及绳子拉力FT的大小;
答案　6 m/s2　12 N
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根据牛顿第二定律
对A有mg-FT=ma
对B有FT-Mgsin θ=Ma
代入数据解得a=6 m/s2
绳子拉力大小FT=12 N
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(2)若A物体从h1=1 m处静止释放,要使B物体向上运动且不从斜面顶端滑出,求A物体质量m的取值范围。
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答案　0.6 kg10
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设A物体着地时B的速度为v,A着地后B做匀减速运动的加速度大小为a1
对B有Mgsin θ=Ma1
代入数据解得a1=6 m/s2
设A着地后B向上滑行距离为x
v2=2a1x
x≤L-h1
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设A物体从h1=1 m处静止释放到着地前A、B整体的加速度为a'
a'=
着地前v2=2a'h1
代入数据解得m≤3 kg
另一方面要能拉动B必须有mg>Mgsin θ
解得m>0.6 kg
所以A物体的质量范围是
0.6 kg返回
10
11专题强化　动力学中的连接体问题
［学习目标］　1.知道什么是连接体，会用整体法和隔离法分析动力学中的连接体问题(重难点)。2.进一步熟练应用牛顿第二定律解题(重点)。
连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫连接体。如几个物体叠放在一起，或并排放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法。
一、加速度和速度都相同的连接体问题
例1　如图所示，光滑水平面上A、B两物体用不可伸长的水平轻绳相连，用水平力F拉A使A、B一起运动，A的质量为mA、B的质量为mB，求：
(1)A、B一起运动的加速度大小；
(2)A、B两物体间绳的拉力FT的大小。
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连接体问题的解题方法
1.整体法：把整个连接体系统看作一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解。其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力。
2.隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解。其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或物体的一部分)的受力情况或单个过程的运动情形。
拓展1　在例1中，若两物体与水平面间的动摩擦因数均为μ，则A、B间绳的拉力为多大？
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拓展2　如图所示，物体A、B用不可伸长的轻绳连接，在竖直向上的恒力F作用下一起向上做匀加速直线运动，已知mA=10 kg，mB=20 kg，F=600 N，不计空气阻力，求此时轻绳对物体B的拉力大小。(g取10 m/s2)
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拓展3　如图所示，若把两物体放在固定斜面上，两物体与斜面间的动摩擦因数均为μ，在方向平行于斜面向上的拉力F作用下沿斜面向上加速，A、B间绳的拉力为多大？
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“串接式”连接体中弹力的“分配协议”
如图所示，对于一起做加速运动的物体系统，m1和m2间的弹力F12或中间绳的拉力FT的大小遵守以下力的“分配协议”：
(1)若外力F作用于m1上，则F12=FT=；
(2)若外力F作用于m2上，则F12=FT=。
注意：①此“协议”与有无摩擦无关(若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同)；
②此“协议”与两物体间有无连接物、何种连接物(轻绳、轻杆、轻弹簧)无关；
③物体系统处于水平面、斜面或竖直方向上一起加速运动时此“协议”都成立。
二、加速度和速度大小相等、方向不同的连接体问题
例2　(多选)如图所示，在光滑的水平桌面上有一个质量为3m的物体A，通过绳子与质量为m的物体B相连，假设绳子、定滑轮的质量以及绳子与定滑轮之间的摩擦力都忽略不计，绳子不可伸长。重力加速度为g，将两物体同时由静止释放，则下列说法正确的是 (　　)
A.物体A的加速度大小为g
B.物体B的加速度大小为g
C.绳子的拉力大小为mg
D.物体B处于失重状态
拓展1　若将B换成一个竖直向下且大小为mg的力，则物体A的加速度为多大？
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拓展2　如图所示，在例2中，若平面MN变为倾角为37°的光滑斜面，求两物体的加速度大小及绳子的拉力大小。(已知sin 37°=0.6)
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拓展3　若A、B跨过光滑轻质定滑轮连接，如图所示，求两物体的加速度大小及绳子的拉力大小。
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跨过光滑轻质定滑轮的物体速度、加速度大小相同，但方向不同，此时一般采用隔离法，即对每个物体分别进行受力分析，分别根据牛顿第二定律列方程，然后联立方程求解。
答案精析
一、
例1　（1）　（2）F
解析　（1）把A、B作为一个整体，有
F=（mA+mB）a
解得a=
（2）单独分析B，FT=mBa
得FT=F。
拓展1　F
解析　若动摩擦因数均为μ，以A、B整体为研究对象，有F-μ（mA+mB）g=（mA+mB）a，然后隔离B为研究对象，有FT-μmBg=mBa，联立解得FT=F。
拓展2　400 N
解析　对A、B整体受力分析，再单独对B受力分析，分别如图甲、乙所示：
对A、B整体，根据牛顿第二定律有：
F-（mA+mB）g=（mA+mB）a
物体B受轻绳的拉力和重力，根据牛顿第二定律有：
FT-mBg=mBa，
联立解得FT=400 N。
拓展3　F
解析　以A、B整体为研究对象，
设斜面的倾角为θ，F-（mA+mB）gsin θ-μ（mA+mB）gcos θ=（mA+mB）a，
以B为研究对象，
FT-mBgsin θ-μmBgcos θ=mBa，
联立解得FT=F。
二、（1）对A、B整体：F=（m+M）a，
解得a=。
（2）对物块A：Ff=ma
Ff=F，随着F增大，Ff增大。
（3）A所受摩擦力达到最大静摩擦力。
例2　AD　［静止释放后，物体A将向右做加速运动，物体B将加速下落，二者加速度大小相等，由牛顿第二定律，
对A：FT=3ma
对B：mg-FT=ma
解得a=g，FT=mg。物体B加速度方向竖直向下，处于失重状态，故选A、D。］
拓展1　对A：FT=3ma
FT=mg
解得a=g。
拓展2　0.2g　1.2mg
解析　对A：3mgsin 37°-FT=3ma
对B：FT-mg=ma
解得a=0.2g，FT=1.2mg。
拓展3　0.5g　1.5mg
解析　对A：3mg-FT=3ma
对B：FT-mg=ma
解得a=0.5g，FT=1.5mg。作业38 动力学中的连接体问题
1~6题每题7分,共42分
1.如图所示,并排放在光滑水平面上的两物体A、B的质量分别为m1和m2,且m1=2m2。当用水平推力F向右推物体A时,两物体间的相互作用力的大小为FN,则 (　　)
A.FN=F B.FN=F
C.FN=F D.FN=F
2.如图所示,质量分别为0.1 kg和0.2 kg的A、B两物体用一根轻质弹簧连接,在一个竖直向上、大小为6 N的拉力F作用下以相同的加速度向上做匀加速直线运动,已知弹簧的劲度系数为1 N/cm,g取10 m/s2,不计空气阻力。则弹簧的形变量为 (　　)
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
3.如图所示,物体A重力为20 N,物体B重力为5 N,不计一切摩擦和绳、定滑轮的质量,当两物体由静止释放后,物体A的加速度大小与绳子上的张力大小分别为(g取10 m/s2) (　　)
A.6 m/s2,8 N B.10 m/s2,8 N
C.8 m/s2,6 N D.6 m/s2,9 N
4.(多选)如图所示,质量分别为mA、mB的A、B两物块用轻绳连接放在倾角为θ的固定斜面上(轻绳与斜面平行),用平行于斜面向上的恒力F拉A,使它们沿斜面匀加速上升,A、B与斜面间的动摩擦因数均为μ,为了增大轻绳上的张力,可行的办法是 (　　)
A.减小A物块的质量
B.增大B物块的质量
C.增大倾角θ
D.增大动摩擦因数μ
5.四个质量相等的物体置于光滑水平面上,如图所示,现对左侧第1个物体施加大小为F、方向水平向右的恒力,则第2个物体对第3个物体的作用力大小等于 (　　)
A.F　B.F　C.F　D.F
6.A、B两物块靠在一起放置在粗糙的水平地面上,如图所示,外力F作用在A上,推着A、B一起向右加速运动,已知外力F=10 N,mA=mB=1 kg,A与地面间的动摩擦因数μ1=0.1,B与地面间的动摩擦因数μ2=0.3,g取10 m/s2,则A、B运动的加速度大小和A、B之间的弹力大小分别为 (　　)
A.a=3 m/s2,FAB=6 N
B.a=2 m/s2,FAB=6 N
C.a=3 m/s2,FAB=5 N
D.a=2 m/s2,FAB=5 N
7~10题每题10分,共40分
7.如图所示,物体A和B恰好做匀速运动,已知mA>mB,不计滑轮及绳子的质量,A、B与桌面间的动摩擦因数相同,重力加速度为g。若将A与B互换位置,则 (　　)
A.物体A与B仍做匀速运动
B.物体A与B做加速运动,加速度大小a=g
C.物体A与B做加速运动,加速度大小a=
D.绳子中张力不变
8.(2024·石家庄市高一期末)如图,固定光滑直角斜面,倾角分别为53°和37°。质量均为m的滑块A和B,用不可伸长的轻绳绕过直角处的光滑轻质定滑轮连接。开始按住A使两滑块静止,绳子刚好伸直且与斜面平行。松手后,滑块A将沿斜面向下加速,重力加速度为g,sin 37°=0.6,下列说法正确的是 (　　)
A.A、B的加速度大小为0.1g
B.A、B的加速度大小为0.8g
C.绳上的张力大小为mg
D.绳子对定滑轮的作用力为2mg
9.(多选)(2023·阳泉市高一期末)如图所示,粗糙的水平面上有一内壁为半球形且光滑的容器,容器的质量为2 kg,与地面间的动摩擦因数为0.25,在水平推力F作用下置于容器内质量为1 kg的物块(可视为质点)与容器一起向左做加速运动,加速运动过程中物块处于P点,OP连线与水平线的夹角θ=53°,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,则 (　　)
A.容器的加速度大小为 m/s2
B.容器对物块的支持力大小为12.5 N
C.推力F的大小为42 N
D.地面对容器的支持力等于30 N
10.(多选)(2024·荆州市高一期末)如图所示,倾角为θ的斜面体放在粗糙的水平地面上,现有一带固定支架的滑块正沿斜面加速下滑。支架上用细线悬挂的小球达到稳定(与滑块相对静止)后,悬线的方向与竖直方向的夹角也为θ,斜面体始终保持静止,则下列说法正确的是 (　　)
A.斜面光滑
B.斜面粗糙
C.达到稳定状态后,斜面体对滑块的摩擦力沿斜面向上
D.达到稳定状态后,地面对斜面体的摩擦力水平向左
11.(18分)(2024·海口市高一期末)如图所示,倾角θ=37°的光滑斜面体固定在水平地面上,斜面长L=2 m,质量M=1 kg的B物体放在斜面底端,通过轻细绳跨过光滑的轻质定滑轮与A物体相连接,连接B的细绳与斜面平行。A的质量m=3 kg,绳拉直时用手托住A物体使其在距地面h高处由静止释放,着地后立即停止运动。A、B物体均可视为质点,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)(8分)求A物体下落的加速度大小及绳子拉力FT的大小;
(2)(10分)若A物体从h1=1 m处静止释放,要使B物体向上运动且不从斜面顶端滑出,求A物体质量m的取值范围。
答案精析
1.C　2.D　3.A
4.AB　［对A、B整体运用牛顿第二定律，有F-（mA+mB）gsin θ-μ（mA+mB）gcos θ=（mA+mB）a，得a=-gsin θ-μgcos θ，隔离B研究，根据牛顿第二定律有FT-mBgsin θ-μmBgcos θ=mBa，则FT==，要增大FT，可减小A物块的质量或增大B物块的质量，而FT的大小与倾角θ、动摩擦因数μ均无关，故A、B正确。］
5.C　［设各物体的质量均为m，对四个物体整体运用牛顿第二定律得a=，对3、4组成的整体应用牛顿第二定律得FN=2ma，解得FN=F，故选C。］
6.A　［A受到的摩擦力FfA=μ1mAg，B受到的摩擦力FfB=μ2mBg；对A、B整体，由牛顿第二定律有F-FfA-FfB=（mA+mB）a，解得a=3 m/s2；对B，由牛顿第二定律有FAB-FfB=mBa，解得FAB=6 N，故选项A正确。］
7.D　［开始时A、B匀速运动，绳子的张力等于mBg，且满足mBg=μmAg，解得μ=，物体A与B互换位置后，对A有mAg-FT=mAa，对B有FT-μmBg=mBa，联立解得FT=mBg，a=g，D正确。］
8.A　［对滑块A受力分析，设绳上张力为FT，根据牛顿第二定律可得mgsin 53°-FT=ma，对滑块B有，FT-mgsin 37°=ma，联立解得a=0.1g，FT=0.7mg，根据力的合成可知，绳子对定滑轮的作用力为F==0.7mg，故选A。］
9.BD　［设物块与容器组成的系统加速度大小为a，以物块为研究对象，竖直方向根据受力平衡可得FNsin θ=mg
解得容器对物块的支持力大小为
FN==12.5 N
水平方向根据牛顿第二定律可得FNcos θ=ma
解得a=7.5 m/s2，故A错误，B正确；
以容器、物块为整体进行受力分析，竖直方向根据受力平衡可得FN地=（M+m）g=30 N
水平方向根据牛顿第二定律可得F-μFN地=（M+m）a
解得F=30 N，故C错误，D正确。］
10.AD　［设滑块和小球整体的质量为M，假设斜面光滑，对整体根据牛顿第二定律可得a==gsin θ，方向沿斜面向下，而小球的加速度为a==gsin θ，则假设成立，即斜面是光滑的，故A正确，B、C错误；带固定支架的滑块下滑时，对斜面有斜向右下方的压力，斜面体有相对地面向右的运动趋势，地面对斜面体的摩擦力水平向左，故D正确。］
11.（1）6 m/s2　12 N　（2）0.6 kg解析　（1）根据牛顿第二定律
对A有mg-FT=ma
对B有FT-Mgsin θ=Ma
代入数据解得a=6 m/s2
绳子拉力大小FT=12 N
（2）设A物体着地时B的速度为v，A着地后B做匀减速运动的加速度大小为a1
对B有Mgsin θ=Ma1
代入数据解得a1=6 m/s2
设A着地后B向上滑行距离为x
v2=2a1x
x≤L-h1
设A物体从h1=1 m处静止释放到着地前A、B整体的加速度为a'
a'=
着地前v2=2a'h1
代入数据解得m≤3 kg
另一方面要能拉动B必须有mg>Mgsin θ
解得m>0.6 kg
所以A物体的质量范围是
0.6 kg

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