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1.1菱形的性质与判定
第 1 课时 菱形的性质
典型例题
1.如图，在菱形 ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O。
(1)若∠ADC=50°,则∠ADB= °;
(2)若BD=8,AC=6,则AD= ,AB= ,∠AOD = °,菱形ABCD 的面积= 。
变式训练
2.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD相交于点O。
(1)若∠ADC=70°,则∠ADB= °;
(2)若 BD=16,AC=12,则AD = , AB = ,∠BOC = °, 菱 形ABCD的周长= 。
3.如图,在菱形 ABCD 中,对角线AC=4,∠BAD=120°,则菱形ABCD的周长为 ( )
A.20 B.18
C.16 D.15
4.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6,菱形的面积等于12,则菱形ABCD的周长等于 ( )
A.4
5.如图,在菱形ABCD中,对角线 AC,BD相交于点O，过点 D作对角线 BD 的垂线交BA的延长线于点E,求证:DE=AC。
6.如图,在菱形 ABCD 中,过点 B 作BE⊥AD,垂足为点E,过点 B 作BF⊥CD,垂足为点 F。求证:AE=CF。
夯实基础
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.两组对边分别相等
B.两条对角线相等
C.四个内角都是直角
D.每一条对角线平分一组对角
2.已知一个菱形的周长为 8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为 ( )
A.4 B. C.2 D.1
3.如图,点 P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点,PE⊥AB,垂足为点E,PE=4 cm,则点 P到 BC 的距离是 cm。
4.如图,在菱形 ABCD 中,连接 AC,BD,若∠1=25°,则∠2的度数为 。
5.如图,在菱形ABCD 中,∠B=40°,点 E 在CD 上,AE=AC,则∠BAE= 。
6.如图,在菱形ABCD 中,对角线 AC 与BD 相交于点O,且AC=16,BD=12,求菱形的高DH 的长度是多少
拓展提升
7.如图,若菱形 ABCD的面积为 2 cm ,∠A=120°将菱形ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形对角线的交点O 处，折痕为EF,则EF= cm。
8.如图,在菱形ABCD 中,E,F 是对角线AC上两点,连接DE,DF,∠ADF=∠CDE。求证:AE=CF。
9.如图,在边长为1的菱形ABCD 中,∠DAB=60°,点 M 是AD 上不同于A,D 的一个动点,点 N是CD 上一动点,且AM+CN=1。
(1)证明:无论 M,N 怎样移动,△BMN 总是等边三角形；
(2)求△BMN 面积的最小值。
第 2 课时 菱形的判定
典型例题
1.如图,在△ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,点D,E,F 分别是 BC,AB,AC 的中点,连接EF。求证:四边形AEDF是菱形。
变式训练
如图,在△ABC 中,点 D 是 AC 的中点,过点D 作DE⊥AC交BC 于点E,过点A 作AF∥BC交ED 的延长线于点F,连接AE,CF。求证：四边形AECF 是菱形。
3. 如图,在△ABC 中,AB =AC,点 D,E,F 分别是 BC,AB，AC的中点。求证：四边形AEDF是菱形。
4.如图，已知AD平分. AC。试判断四边形 AFDE 的形状，并加以证明。
C
夯实基础
1.依据所标数据(度数为所在角的度数，数字为所在边的长度)，下列平行四边形不一定是菱形的是 ( )
2.如图,四边形 ABCD为平行四边形，请你添加一个合适的条件 ，使其成为菱形。(只需添加一个即可)
3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E,F 分别是AB,BC上的点,且 AE=CF,∠AED=∠CFD。
(1)求证:△AED≌△CFD;
(2)求证:四边形ABCD 是菱形。
4.如图,△ABC≌△ABD,点 E 在AB 上,CE∥BD,连接DE。
(1)求证:∠CEB=∠CBE;
(2)求证:四边形 BCED是菱形。
拓展提升
5. 如图, 在 ABCD 中,AE,CF 分别是∠BAD和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是 。(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)
6.如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，连接EF。求证:四边形ABEF 是菱形。
7.动手操作：在数学实践课上，老师引导同学们对如图的△ABC纸片进行以下操作，并探究其中的问题：
将△ABC纸片沿过边AC 中点 D 的直线ED折叠，点C 的对应点C'恰好落在边AB 的中点处,折痕DE 交BC 于点E。
(1)探究一：判断四边形 CDC'E的形状，并说明理由；
(2)探究二:若 BC=10,四边形 CDC'E 的对角线之和为14，求四边形CDC'E 的面积。
第 3 课时 菱形的性质与判定综合
典型例题
1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ADC的角平分线DE交AB 于点E,连接CE,AC,AC交DE 于点O,且AD∥CE。
(1)求证:四边形 AECD 是菱形；
(2)若 AD=10,△ACD 的周长为36,求 DE的长。
变式训练
2.如图,在 ABCD中,点 E,F 分别在AB,CD的延长线上,且 BE=DF,连接EF 与AC 交于点M,连接AF,CE。
(1)求证:△AEM≌△CFM;
(2)若AC⊥EF,AF= ,求四边形AEC的周长。
3.如图,在△ABC中,DE 分别是 AB,AC 的中点, BE =2DE,延长 DE 到点 F,使得EF=BE,连 CF。
(1)求证:四边形 BCFE 是菱形;
(2)若CE=6,∠BEF=120°,求菱形 BCFE的面积。
4.如图,在四边形ABCD中, E为对角线AC 的中点,F 为边BC 的.中点,连接DE,EF。
(1)求证:四边形CDEF 为菱形;
(2)连接 DF交 EC 于G,若 DF=6,CD=5,求四边形 CDEF 的面积。
夯实基础
1.下列说法正确的是 ( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.对角线互相平分的四边形是菱形
C.菱形的对角线相等且互相平分
D.菱形的对角线互相垂直且平分
2.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中,AB=3,AC=2，则四边形ABCD的面积为 ( )
B.3 C.2 D.
3.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE∥AC交AB 于点E,DF∥AB交AC于点F,若AF=8,则四边形 AEDF 的周长是 ( )
A.24 B.28 C.32 D.36
4.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,并且DE=DF。
(1)求证:四边形ABCD 是菱形;
(2)若∠A=60°,AB=4,求四边形ABCD 的面积。
拓展提升
5.有两个全等矩形纸条，按如图所示的方式交叉叠放在一起,若∠HDF=30°,AB=2,则重合部分构成的四边形 BGDH 的周长为 。
6.如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线 BD 的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点M,N。
(1)求证:四边形 BNDM是菱形;
(2)若 BD=30,MN=16,求菱形 BNDM 的周长。
7.如图,四边形 ABCD是平行四边形,对角线 AC,BD 相交于点O,AC=2AB,BE∥AC,OE∥AB。
(1)求证:四边形ABEO是菱形;
(2)若AC= ,BD=8求四边形 ABEO的面积。

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