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第三单元专练篇·05：优化问题（租船问题、最优方案问题）
1．有载质量4吨和载质量5吨的卡车各一辆，要运26吨水果，如果每次每辆车都装满，怎样安排才能恰好运完这些水果？
2．鲜花店有28枝康乃馨，现在要用甲、乙两种花瓶做插花造型。甲种花瓶需要搭配4枝康乃馨，乙种花瓶需要搭配6枝康乃馨。怎样插花可以恰好用完这28枝康乃馨？（请用列表的方法解答。）
3．三（1）班32名同学计划寒假去浮来青旅游度假区参加社会实践，怎样租车最省钱？（用你喜欢的方法解决）
4．有一辆载质量为1吨的小货车，下面哪几箱货物恰好可以一起装运？
5．28人准备租船过河，小船限坐4人，大船限坐6人，如果每条船都坐满且人刚好坐完，可以有几种租船方案（把满足要求的所有方案都要罗列出来）？
6．襄襄家的农场收获了30吨花生，一辆货车的载重量是8吨，另一辆货车的载重量是6吨，如果每次每辆车都装满，怎样安排能恰好运完农场的这些花生？
7．课外活动小组有24人，打算租船开展水上兴趣活动，如果每条船都坐满，可以怎样租船。
小船 限坐4人
大船 限坐6人
8．水城古镇是凉都有名的景点之一，是外来游客必游之地。旅游团的14名游客想骑脚踏车游水城古镇，有A、B两种脚踏车（如下图）。如果要刚好坐满，应该怎样租车？（至少写出两种不同的租车方案）
9．有30位客人在下面两种餐桌上用餐，如果不留空位，可以怎样安排桌子？
10．李老师和王老师带28名同学去某地参加研学活动，小汽车限乘4人，面包车限乘6人。如果每辆车都坐满，可以怎样租车？（选择一种方案即可）
11．怎样安排装运，刚好两辆车一次可以同时运走？（用列式计算来表示）
12．美美超市要进货，用载重量是2吨的卡车运送。如果派两辆这样的车，怎样装才能一次运完，而且不超载？
货物种类 葡萄 大米 蔬菜 油 饮料
质量 400千克 1吨 800千克 900千克 700千克
13．三（1）班有32人去划船。如果每条船都坐满，可以怎么坐船？请你写出其中的一种方案（在表格中表示即可）。
每条大船限坐6人
每条小船限坐4人
大船/条 小船/条
数量
14．货运站有大、小货车若干辆，现在有一批重20吨的玉米要用货车运往面粉加工厂，大货车限载5吨，小货车限载3吨，若把每次运玉米的车都装满，怎样安排才能正好一次运完？填一填。
方案 大货车 小货车 运玉米吨数
1
2
3
4
5
15．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一，其主要产地在信阳市浉河区、平桥区和罗山县。茶农们要把18吨茶叶运到茶叶批发市场，小车每辆载重量3吨，大车每辆载重量4吨。如果每辆车都装满，怎样安排能正好运完？请用列表的方法把不同的方案都列出来，并回答问题。
方案 大车（辆） 小车（辆） 运送吨数（吨）
①
答：如果每辆车都装满，能正好运完的方案有____________。
16．三（2）班18名同学乘车参观博物馆，面包车限载6人，小轿车限载4人。如果每辆车都坐满，可以怎样租车？
方案 面包车（辆数） 小轿车（辆数） 人数
答：我会选择（ ）方案。
17．南湾湖风景秀丽，被誉为“豫南明珠”、“中原第一湖”。国庆节期间，某旅行团组织28人去南湾湖划船，如果每条船都坐满，可以怎样租船？
方案序号 大船（6人/条） 小船（4人/条） 可坐总人数
①
②
③
④
⑤
⑥
答：如果每条船都坐满，可以选择的方案是（ ）。
18．超市购进34串香蕉，准备用大、小两种筐装。每个大筐装6串，每个小筐装4串。要用几个大筐，几个小筐才能正好全部装满，没有剩余？请在表格里填写合适的方案，不需另外列式解答。
方案 大筐（个） 小筐（个） 总串数（串）
①
②
③
19．乐乐一大家子16人去秋游。
（1）如果每辆车都坐满，可以怎样租车？填写租车方案。
租车方案 面包车（6人） 小轿车（4人） 总人数（人）
1
2
3
4
（2）如果租一辆面包车100元，租一辆小轿车80元，哪个租车方案最省钱？需要多少钱？
（3）第一站去知青小镇，需要25分钟。9：15出发，什么时候能到达知青小镇？
20．用载质量分别为8吨和6吨的两辆车运石子。如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完36吨石子？
派车方案 8吨的车 6吨的车 运石子吨数
① 5次 0次 40吨
②
③
④
⑤
⑥
答：派车方案_________和_________都可以恰好把石子运完。
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第三单元专练篇·05：优化问题（租船问题、最优方案问题）
1．有载质量4吨和载质量5吨的卡车各一辆，要运26吨水果，如果每次每辆车都装满，怎样安排才能恰好运完这些水果？
【答案】载质量5吨的卡车运2次，载质量4吨的卡车运4次。
【分析】两辆车的载质量分别为4吨和5吨，可以只安排一辆车，也可以两辆车同时安排，但要每次都装满。用列表的方法把不同的运送方案一一列举出来，再选择最优方案。
【详解】
派车方案 载质量5吨的车 载质量4吨的车 运送水果吨数
① 6次 0次 30吨
② 5次 1次 29吨
③ 4次 2次 28吨
④ 3次 3次 27吨
⑤ 2次 4次 26吨
⑥ 1次 6次 29吨
⑦ 0次 7次 28吨
答：载质量5吨的卡车运2次，载质量4吨的卡车运4次。
2．鲜花店有28枝康乃馨，现在要用甲、乙两种花瓶做插花造型。甲种花瓶需要搭配4枝康乃馨，乙种花瓶需要搭配6枝康乃馨。怎样插花可以恰好用完这28枝康乃馨？（请用列表的方法解答。）
【答案】甲种花瓶7个，或甲种花瓶4个、乙种花瓶2个，或甲种花瓶1个、乙种花瓶4个
【分析】甲种花瓶需要搭配4枝康乃馨，乙种花瓶需要搭配6枝康乃馨，可以只选一种花瓶，也可以两种都选，每种方案花瓶都配满，用列表的方法把不同的搭配方案一一列举出来，再选出刚好等于28枝康乃馨的方案。
【详解】
方案 甲（4枝） 乙（6枝） 总枝数
① 7个 0个 28枝
② 6个 1个 30枝
③ 5个 2个 32枝
④ 4个 2个 28枝
⑤ 3个 3个 30枝
⑥ 2个 4个 32枝
⑦ 1个 4个 28枝
⑧ 0个 5个 30枝
答：甲种花瓶7个，或甲种花瓶4个、乙种花瓶2个，或甲种花瓶1个、乙种花瓶4个可以恰好用完这28枝康乃馨。
3．三（1）班32名同学计划寒假去浮来青旅游度假区参加社会实践，怎样租车最省钱？（用你喜欢的方法解决）
【答案】2辆小轿车和4辆面包车
【分析】每辆小轿车载客4名，每辆7元。每辆面包车载客6名，每辆9元。可以只租一辆车，也可以两辆车同时租，但要每次都坐满。用列表的方法把不同的租车方案一一列举出来，再选择最优方案。
【详解】
租车方案 小轿车 面包车 乘坐人数 花费钱数
① 0辆 6辆 36人 54元
② 1辆 5辆 34人 52元
③ 2辆 4辆 32人 50元
④ 4辆 3辆 34人 55元
⑤ 5辆 2辆 32人 53元
⑥ 7辆 1辆 34人 58元
⑦ 8辆 0辆 32人 56元
答：租2辆小轿车和4辆面包车最省钱。
4．有一辆载质量为1吨的小货车，下面哪几箱货物恰好可以一起装运？
【答案】货物①、②、⑤、⑥恰好可以一起装运
【分析】1吨＝1000千克，先观察每箱货物的重量，经过试算后确定哪几箱货物的总重量是1000千克，就可以一起装运。
【详解】1吨＝1000千克
①＋②＋⑤＋⑥
＝500＋200＋120＋180
＝1000（千克）
＝1（吨）
答：货物①、②、⑤、⑥恰好可以一起装运。
5．28人准备租船过河，小船限坐4人，大船限坐6人，如果每条船都坐满且人刚好坐完，可以有几种租船方案（把满足要求的所有方案都要罗列出来）？
【答案】可以租1条小船和4条大船，或租4条小船和2条大船，或租7条小船，共3种租船方案
【分析】小船限坐4人，大船限坐6人，可以只租一种船，也可以两种船同时租，但要每次都坐满。用列表的方法把不同的租船方案一一列举出来，再选择乘坐人数等于28人的那些方案。
【详解】
租船方案 小船 大船 乘坐人数
① 0条 5条 30人
② 1条 4条 28人
③ 3条 3条 30人
④ 4条 2条 28人
⑤ 6条 1条 30人
⑥ 7条 0条 28人
答：可以租1条小船和4条大船，或租4条小船和2条大船，或租7条小船，共3种租船方案。
6．襄襄家的农场收获了30吨花生，一辆货车的载重量是8吨，另一辆货车的载重量是6吨，如果每次每辆车都装满，怎样安排能恰好运完农场的这些花生？
【答案】见详解。
【分析】5个6吨是30吨，因此可用花生的总重量除以6即可计算出安排载质量为6吨的货车运的次数；24吨＋6吨＝30吨，3个8吨是24吨，因此可用花生的总重量减去6吨后，再除以8即可计算出安排载质量为8吨的货车运的次数，而6吨刚好是另一辆卡车的载质量，据此解答即可。
【详解】列表如下：
派车方案 大车（8吨） 小车（6吨） 运货吨数
① 3辆 1辆 30吨
② 2辆 3辆 34吨
③ 1辆 4辆 32吨
④ 0辆 5辆 30吨
由表格可知，方案①和方案④能正好运完30吨花生。
答：如果每次每辆车都装满，用3辆8吨的货车和1辆6吨的货车，或者用5辆6吨的货车都能恰好运完农场的这些花生。
【点睛】根据已知条件和数量关系将所有可能的方案一一列举出来，然后再从各种方案中选择最优方案。
7．课外活动小组有24人，打算租船开展水上兴趣活动，如果每条船都坐满，可以怎样租船。
小船 限坐4人
大船 限坐6人
【答案】可以租4条大船或2条大船和3条小船或6条小船
【分析】通过列表的方法，租大船的条数×6＋租小船的条数×4＝这些船能坐的总人数，只要能坐的总人数刚好等于24人就符合要求，依此列式并计算即可解答。
【详解】方案①：6×4＝24（人）
方案②：6×3＋4×2
＝18＋8
＝26（人）
方案③：6×2＋4×3
＝12＋12
＝24（人）
方案④：6×1＋4×5
＝6＋20
＝26（人）
方案⑤：4×6＝24（人）
方案 大船（6人） 小船（4人） 可坐人数
① 4条 0条 24人
② 3条 2条 26人
③ 2条 3条 24人
④ 1条 5条 26人
⑤ 0条 6条 24人
答：可以租4条大船或2条大船和3条小船或6条小船。
8．水城古镇是凉都有名的景点之一，是外来游客必游之地。旅游团的14名游客想骑脚踏车游水城古镇，有A、B两种脚踏车（如下图）。如果要刚好坐满，应该怎样租车？（至少写出两种不同的租车方案）
【答案】租7辆A车，或租4辆A车和2辆B车，或租1辆A车和4辆B车
【分析】每辆A车可以坐2人，每辆B车可以坐3人，可以只租一种车，也可以两种车都租，但每辆车都要坐满。用列表的方法把不同的租车方案一一列举出来，再选择乘坐人数等于14名的那些方案。
【详解】
租车方案 A车 B车 乘坐人数
① 7辆 0辆 14人
② 6辆 1辆 15人
③ 5辆 2辆 16人
④ 4辆 2辆 14人
⑤ 3辆 3辆 15人
⑥ 2辆 4辆 16人
⑦ 1辆 4辆 14人
⑧ 0辆 5辆 15人
答：租7辆A车，或租4辆A车和2辆B车，或租1辆A车和4辆B车，均能刚好坐满。
9．有30位客人在下面两种餐桌上用餐，如果不留空位，可以怎样安排桌子？
【答案】5张6人桌、3张6人桌和3张4人桌、1张6人桌和6张4人桌
【分析】4人桌的张数乘4可以算出4人桌坐的人数，6人桌的张数乘6可以算出6人桌坐的人数。列表算出各种安排方案，再选择合适的方案。
【详解】
方案 6人桌/张 4人桌/张 可坐人数/
一 5 0 5×6＝30
二 4 2 6×4＋4×2＝32
三 3 3 6×3＋4×3＝30
四 2 5 6×2＋4×5＝32
五 1 6 6＋4×6＝30
六 0 8 4×8＝32
答：如果不留空位，可以安排5张6人桌、3张6人桌和3张4人桌、1张6人桌和6张4人桌。
10．李老师和王老师带28名同学去某地参加研学活动，小汽车限乘4人，面包车限乘6人。如果每辆车都坐满，可以怎样租车？（选择一种方案即可）
【答案】可以租5辆面包车，或者租3辆小汽车和3辆面包车，或者租6辆小汽车和1辆面包车的一种即可。（答案不唯一）
【分析】小汽车限乘4人，面包车限乘6人。可以只安排一辆车，也可以两辆车同时安排，但要每次都坐满。用列表的方法把不同的租车方案一一列举出来，再选择可乘坐人数等于总人数的那些方案中的一种即可。
【详解】2＋28＝30（人）
租车方案 小汽车 面包车 可乘坐人数
① 0辆 5辆 30人
② 2辆 4辆 32人
③ 3辆 3辆 30人
④ 5辆 2辆 32人
⑤ 6辆 1辆 30人
⑥ 8辆 0辆 32人
答：可以租5辆面包车，或者租3辆小汽车和3辆面包车，或者租6辆小汽车和1辆面包车的一种即可。（答案不唯一）
11．怎样安排装运，刚好两辆车一次可以同时运走？（用列式计算来表示）
【答案】一辆车装700千克、700千克和600千克的货物，另一辆车装500千克、800千克和700千克的货物
【分析】每辆卡车的载质量都是2吨，1吨＝1000千克，则卡车的载质量是2000千克。这些货物的总重量是4000千克，要想刚好两辆车一次可以同时运走这些货物，只需要保证每辆车装货物总重量等于2000千克即可。3个700千克是2100千克，比2000千克多100千克，可以将700千克的货物换成600千克的货物，即700＋700＋600＝2000（千克）。剩下的货物重量和是500＋800＋700＝2000（千克）。据此解答。
【详解】2吨＝2000千克
700＋700＋600＝2000（千克）
500＋800＋700＝2000（千克）
答：一辆车装700千克、700千克和600千克的货物，另一辆车装500千克、800千克和700千克的货物。
12．美美超市要进货，用载重量是2吨的卡车运送。如果派两辆这样的车，怎样装才能一次运完，而且不超载？
货物种类 葡萄 大米 蔬菜 油 饮料
质量 400千克 1吨 800千克 900千克 700千克
【答案】见详解
【分析】根据1吨＝1000千克，将2吨单位化为千克是2000千克，将大米的质量1吨化为1000千克，求出1000与900的和是1900千克，1900刚好小于2000，1辆车运大米与油；求出葡萄、蔬菜、饮料的质量和，即400加800，再加700，所得和与2000比较即可。
【详解】1吨＝1000千克
2吨＝2000千克
1000＋900＝1900（千克）
1900＜2000
400＋800＋700
＝1200＋700
＝1900（千克）
答：一辆车运大米和油，另一辆车运葡萄、蔬菜和饮料。
13．三（1）班有32人去划船。如果每条船都坐满，可以怎么坐船？请你写出其中的一种方案（在表格中表示即可）。
每条大船限坐6人
每条小船限坐4人
大船/条 小船/条
数量
【答案】见详解
【分析】每条大船限坐6人，每条小船限坐4人。可以只租一种船，也可以两种船都租，但要每次都坐满。用列表的方法把不同的租船方案一一列举出来，再选择乘坐人数等于32人的那些方案。
【详解】
租船方案 大船 小船 乘坐人数
① 6条 0条 36人
② 5条 1条 34人
③ 4条 2条 32人
④ 3条 4条 34人
⑤ 2条 5条 32人
⑥ 1条 7条 34人
⑦ 0条 8条 32人
填表格如下：
大船/条 小船/条
数量 4 2
2 5
0 8
答：可以租4条大船和2条小船，或租2条大船和5条小船，或租8条小船。
14．货运站有大、小货车若干辆，现在有一批重20吨的玉米要用货车运往面粉加工厂，大货车限载5吨，小货车限载3吨，若把每次运玉米的车都装满，怎样安排才能正好一次运完？填一填。
方案 大货车 小货车 运玉米吨数
1
2
3
4
5
【答案】填表见详解；方案1和方案4都正好一次运完
【分析】根据运送玉米的吨数，以及每辆车拉的吨数，用列表法计算。根据题意，大货车依次是0、1、2、3、4辆，再算出小货车要几辆才能运完20吨，填表即可；观察表格，即可得出哪几种方案正好一次运完。
【详解】根据分析填表如下：
方案 大货车 小货车 运玉米的吨数
1 4辆 0辆 20吨
2 3辆 2辆 21吨
3 2辆 4辆 22吨
4 1辆 5辆 20吨
5 0辆 7辆 21吨
通过观察表格可知，方案1和方案4都正好一次运完。
15．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一，其主要产地在信阳市浉河区、平桥区和罗山县。茶农们要把18吨茶叶运到茶叶批发市场，小车每辆载重量3吨，大车每辆载重量4吨。如果每辆车都装满，怎样安排能正好运完？请用列表的方法把不同的方案都列出来，并回答问题。
方案 大车（辆） 小车（辆） 运送吨数（吨）
①
答：如果每辆车都装满，能正好运完的方案有____________。
【答案】
列表见详解；大车3辆、小车2辆或小车6辆
【分析】先计算出需要几辆大车可以把18吨茶叶运走，然后大车每次减少1辆，然后增加小车的数量，计算出这些车辆可以运的总吨数，然后找出能正好运完的方案即可解答。
【详解】18÷4＝4（辆）……2（吨）
需要5辆大车，依此列表如下：
方案 大车（辆） 小车（辆） 运送吨数（吨）
① 5 0 20
② 4 1 19
③ 3 2 18
④ 2 4 20
⑤ 1 5 19
⑥ 0 6 18
答：如果每辆车都装满，能正好运完的方案有大车3辆、小车2辆或小车6辆。
16．三（2）班18名同学乘车参观博物馆，面包车限载6人，小轿车限载4人。如果每辆车都坐满，可以怎样租车？
方案 面包车（辆数） 小轿车（辆数） 人数
答：我会选择（ ）方案。
【答案】表格见详解；
一或三（方案顺序不唯一）
【分析】第一种：可以租3辆面包车，0辆小轿车，用辆数乘一辆车的人数计算出总乘坐数；第二种：可以租2辆面包车和2辆小轿车，分别用辆数乘一辆车的人数计算出总乘坐数，再相加；第三种：可以租1辆面包车和3辆小轿车，分别用辆数乘一辆车的人数计算出总乘坐数，再相加；第四种：租5辆面包车，用辆数乘一辆车的人数计算出总乘坐数；最后观察哪种方案符合题目要求，据此解答。
【详解】方案一：3×6＝18（人）
方案二：
2×6＋2×4
＝12＋8
＝20（人）
方案三：
1×6＋3×4
＝6＋12
＝18（人）
方案四：4×5＝20（人）
如表：
方案 面包车（辆数） 小轿车（辆数） 人数
一 3 0 18
二 2 2 20
三 1 3 18
四 0 5 20
答：我会选择一或三方案。（方案顺序不唯一）
17．南湾湖风景秀丽，被誉为“豫南明珠”、“中原第一湖”。国庆节期间，某旅行团组织28人去南湾湖划船，如果每条船都坐满，可以怎样租船？
方案序号 大船（6人/条） 小船（4人/条） 可坐总人数
①
②
③
④
⑤
⑥
答：如果每条船都坐满，可以选择的方案是（ ）。
【答案】方案②、方案④、方案⑥
【分析】小船限坐人数是4人，大船限坐人数是6人。可以只安排一种船，也可以两种船都安排。用列表的方法将不同的坐船方案一一列举出来，注意每次都坐满，再选择乘坐人数等于28人的那些方案。
【详解】
方案序号 大船（6人/条） 小船（4人/条） 可坐总人数
① 5 0 30
② 4 1 28
③ 3 3 30
④ 2 4 28
⑤ 1 6 30
⑥ 0 7 28
答：如果每条船都坐满，可以选择的方案是方案②、方案④、方案⑥。
18．超市购进34串香蕉，准备用大、小两种筐装。每个大筐装6串，每个小筐装4串。要用几个大筐，几个小筐才能正好全部装满，没有剩余？请在表格里填写合适的方案，不需另外列式解答。
方案 大筐（个） 小筐（个） 总串数（串）
①
②
③
【答案】见详解
【分析】要计算用几个大筐，几个小筐才能正好全部装满，需要用大筐的数量×6＋小筐的数量×4看是否等于34；先尽量用大筐，剩下的用小筐，然后减少大筐，增加小筐，注意每筐都需要装满。这样列举出所有方案即可。
【详解】
方案 大筐（个） 小筐（个） 总串数（串）
① 5 1 34
② 3 4 34
③ 1 7 34
19．乐乐一大家子16人去秋游。
（1）如果每辆车都坐满，可以怎样租车？填写租车方案。
租车方案 面包车（6人） 小轿车（4人） 总人数（人）
1
2
3
4
（2）如果租一辆面包车100元，租一辆小轿车80元，哪个租车方案最省钱？需要多少钱？
（3）第一站去知青小镇，需要25分钟。9：15出发，什么时候能到达知青小镇？
【答案】（1）租2辆面包车和1辆小轿车或租4辆小轿车；表见详解；
（2）租2辆面包车和1辆小轿车；280元；
（3）9：40
【分析】（1）根据题干信息，总人数为16人，按照面包车每辆限乘客6人，小轿车每辆限乘客4人的方式乘坐，可以先从全部坐面包车开始思考，总人数除以面包车的限乘人数＝租面包车的辆数，如果有余数则要多租一辆；然后少租一辆面包车改租小轿车，依次类推；可载客人数＝面包车的辆数×面包车每辆车的限乘人数＋小轿车的辆数×小轿车每辆车的限乘人数，据此解答。
（2）根据总价＝单价×数量，分别求出第一小问选择的租车方案花费的钱数，再比较大小解答。
（3）到达知青小镇的时刻＝出发时刻＋经过时间，据此列式计算。
【详解】（1）
租车方案 面包车（6人） 小轿车（4人） 总人数（人）
1 3 0 18
2 2 1 16
3 1 3 18
4 0 4 16
答：如果每辆车都坐满，租2辆面包车和1辆小轿车或租4辆小轿车。
（2）2×100＋1×80
＝200＋80
＝280（元）
4×80＝320（元）
280＜320
答：租2辆面包车和1辆小轿车方案最省钱，需要280元。
（3）9：15＋25分钟＝9：40
答：9：40能到达知青小镇。
20．用载质量分别为8吨和6吨的两辆车运石子。如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完36吨石子？
派车方案 8吨的车 6吨的车 运石子吨数
① 5次 0次 40吨
②
③
④
⑤
⑥
答：派车方案_________和_________都可以恰好把石子运完。
【答案】②：4次；1次；38吨
③：3次；2次；36吨
④：2次；4次；40吨
⑤：1次；5次；38吨
⑥：0次；6次；36吨
③；⑥
【分析】小车运的次数不能超过：36÷6＝6（次），大车运的次数不能超过：36÷8＝4（次）……4（吨），4＋1＝5（次），然后根据运送的货物的吨数，以及每辆车拉的货物的吨数，合理的列表解答即可。
【详解】
派车方案 8吨的车 6吨的车 运石子吨数
① 5次 0次 40吨
② 4次 1次 38吨
③ 3次 2次 36吨
④ 2次 4次 40吨
⑤ 1次 5次 38吨
⑥ 0次 6次 36吨
答：派车方案③和⑥都可以恰好把石子运完。
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