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南宁三中 2025届高三九月适应性测试
数学答案
1. C【详解】因为 z i 1 i 1 i，所以 z 12 12 2，故选：C.
2. B 2【详解】若命题“ x R, x 2 2x 3 m ”是真命题，则m x 2x 3 min，又因为
y x2 2x 3 x 1 2 2 2，所以m 2，即实数m的取值范围是 2, .故选：B

3. D【详解】因为 b 2a b 0 2 ，即b 2a b，又因为 a 2, a 2b 4 2 2，所以 4 4a b 4b 4 6b 16，

从而 b 2 .
4. D【详解】对 A：若样本数据 x1, x2 , , x6 的方差为 2，则数据 2x1 1,2x2 1,2x3 1,2x4 1,2x5 1,2x6 1
11 12
的方差为 22 2 8，故 A正确；对 B：5 80% 4，则其第 80百分位数是 11.5，故 B正确；2
对 C，一般来说，对于单峰的频率分布直方图，右边“拖尾”时平均数大于中位数，左边“拖尾”时
平均数小于中位数，故 C正确；对 D，以模型 y ceb去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，
设 z lny，则 z lny lnc ln e kx lnc kx ，由题线性回归方程为 z 2x 0.4，则 ln c 0.4,k 2，故
c, k的值分别是 e0.4和 2，故 D错误. 故选：D.
x x 0 3
5. B【详解】设 P x, y ，A
x 2x 3
x 2 00 , y0 ，因为 P为 AB的中点，所以 y ，即 y 0 y0 2y
，又因为点 A

2
在曲线 x2 y2 1 2上，所以 x0 y
2
0 1，所以 2x
2
3 4y2 1．所以点 P的轨迹方程为
2
2x 3 2 4y2 1 即 x
3
y
2 1 .
2 4
6. C 2【详解】令 h(x) f (x) g(x) 2sin x a(x 3)2 3a， h(x)关于直线 x 3对称， h(3) 0， a .
6 3
7. B【详解】如下图所示：O,O1分别为上下底面的中心，作C1E AC 于点 E，
根据题意可知 A1B1 1,AB 2，侧棱与底面所成的角即为 C1CE，
π
可知 C1CE ；因此可得C1E CE，易知 AC 2 2, A4 1
C1 2 ，
1 2 2
由正四棱台性质可得CE AC A1C1 ；所以该正四棱台的高为C1E CE ，因此该四棱2 2 2
1
台的体积是V 12 22 2 7 2 12 22 .故选：B3 2 6
8. D f x ex【解析】∵ ax b，∴ f x ex a，当a 0时， f′ x 0恒成立，则 f x 单调递增，
1
{#{QQABDYIAogggAJBAABgCEwWaCEMQkAECAYgGxBAEMAABARFABAA=}#}
f x 1 x不恒成立，当 a 0时，令 f x e a 0，解得 x lna，当 x ( , ln a)时， f′ x 0，
函数 f x 单调递减，当 x ( , ln a)时， f′ x 0，函数 f x 单调递增，∴
f x min f ln a a a ln a b，∵ f x 1恒成立，∵ a a lna b 1∴b a lna a 1，∴
b a a lna 2a 1 lna 1 2，设 g a lna 1 2,a 0∴ g a 1 1 a 1 ，令 g a 0，
a a a a a a2 a2
解得 a 1，当 a 0,1 时，g a 0，函数 g a 单调递减，当 x (1, )时，g a 0，函数 g a 单
调递增，∴ g a min 0 1 2 1
b a
，∴ 1，故答案 [ 1, ) .
a
9. BC 2 4 1 4 【详解】由周期公式知最小正周期为T 4 , A 错； ，可
1 f ( ) sin( ) sin 13 2 3 6 2
2
x 4 知直线 是对称轴，B 4 8 1 7 7 正确； x
3
, 时， x [ , ]，正弦函数在区间 [ , ]上单3 3 2 6 2 6 2 6

调递减，C正确; f ( ) sin( ) 0，可知 x 不是零点，D错.
3 3 3
10. ACD【详解】选项 A：因 C上一点 P到 F 和到 y轴的距离分别为 12和 10，由抛物线定义可知，
PF 10 p 12 p 4，故A正确；选项B：准线方程为 x 2，故B错误；选项C：设 P x0 , y0 , y0 0，2
由 P到 y轴的距离分别为 10，所以 x0 10，则 y0 4 5，即 P 10,4 5 ，又F 2,0 ，所以圆心 6,2 5 ，
2
PF 10 2
2 4 5半径 2 2 6，所以圆 的标准方程为 (x 6) (y 2 5) 36，故 C正确；选
2 2
项 D：因为直线OP(O 4 5 2 5为坐标原点）平行的直线 l，所以 kl kOP ，所以直线 l的方程为10 5
2 5 6 2 5 2 5
y 2 5
5
x 2 5，又圆心 6,2 5 到直线 l的距离为 42 ，所以5 2 5
1
5
| AB | 2 62 42 4 5 ，故 D正确.
π π
11. BD 2sin(x ) 2cos(x )【详解】 f x e 4 e 4 ,对于 A选
, 2sin(x
π ) 2cos(x π ) 2sin(-x π ) 2cos(-x π )
项 f x f ( x) e 4 e 4 e 4 e 4不为常数,故 A错误.对于 B选项,
f x π e 2 sin x e 2sinx f x π π ,则函数关于 x 对称. 故 B正确.对于 C选
4 4 4
, 2sin(x
3π
) 2cos(x 5π )
项 f x π e 4 e 4 f (x) ,则函数周期为 π .故 C错.对于 D选项,令
2
{#{QQABDYIAogggAJBAABgCEwWaCEMQkAECAYgGxBAEMAABARFABAA=}#}
t 2sin(x π ) 2, 2 , g(t) et e t ,由于 g (t)为偶函数,则只需要考虑

0, 2 部分即可.4
g (t) et e t , t 0, g (t) 0,则 2 g(0) g(t) g( 2) e 2+e 2 .故 D正确.
a1 d a1 4d 8 a1 112. 63【详解】因为数列 an 为等差数列，则由题意得
2 a1 2d a1 3d 11
，解得 ，则
d 2
S 9a 8 99 1 d 9 1 36 2 63.2
24
13. 【详解】因为 tan , tan 是方程 x2 3x 3 0的两个实数根，所以 tan tan 3, tan tan 3
7
3
tan( ) tan tan 3 tan(2 2 )= 2 tan( ) 24因此 2 1 tan tan 4 .1 tan 2( ) 1 9 7
16
18
14. 3【详解】从 12个球中任取 3个球有C12 220种不同的方法，1到 12中能被 3整除的有 3,6,9,12，55
除 3余 1的有 1,4,7,10，除 3余 2的有 2,5,8,11，取出的 3个球的标号之和被 3除余 2的情况有：①标
1 2
号被 3除余数为 1的球 2个和标号被 3整除的球 1个有C4C4 24；②标号被 3除余数为 1的球 1个
1 2
和标号被 3除余数为 2的球 2个有C4C4 24；③标号被 3除余数为 2的球 1个和标号被 3整除的球
2 C1C2个有 4 4 24 P 2
24 24 24 18
，则 .
220 55
2 2 2 2
15. 1 cosB+2cosC 0 a c b 2 a b
2 c2
【解答】解：（ ）由 ＝ ，得 0，
2ac 2ac
2 2 2 2 2 2
将 c＝2b a 4b b a b 4b 3 5代入得， 2 0，化简得 5a2＝9b2，即 a b，
2a 2b 2ab 5
2 2 9 2
2 2 2 b 4b b
则 cos A b c a 4 52
；
2bc 4b 5
2 9 2
b2 a2 c2 b b 4b
2
5
（2）由（1）可知 cosC 5 2ab 6 3 5 , sinC
2 5

b2 5
5
1
则在△DCB中，由 AD DB，
2

CD CA 1
2

CB CD

CD 2
1
CA CB
3 3
2
2CD 2 1 CA CB 4 2 1 2 43 3 b a ab cosC 9 9 9
17 1
17 b2解得b 3 5,a 9。故△ABC的面积 S ab sinC 27．
45 2
3
{#{QQABDYIAogggAJBAABgCEwWaCEMQkAECAYgGxBAEMAABARFABAA=}#}
AM 1
16．(1)证明见解析 (2)存在， MD 4
【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形 ABCD为平行四边形， D 60 ，CD 1， AC 3，
AC CD 3 1在三角形 ACD中，由正弦定理可得 ， ，
sin ADC sin CAD sin 60 sin CAD
sin CAD 1 ，又 AC CD，故 CAD 30 ，所以∠ACD 90 ，即CD AC，2
因为 PD 5，PC 2，CD 1，所以PC 2 CD2 PD2，则有CD PC，
PC AC C， AC ,PC 平面 APC，所以CD 平面 APC .
（2）由（1）CD 平面 APC，且CD 平面 ADC，所以平面 ADC 平面 APC .
平面 ADC 平面 APC AC，在平行四边形 ABCD中，BA AC，即 PA AC ，故 PA 平面 ADC .

以点C为坐标原点，CD，CA，AP的方向分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C 0,0,0 ，
D 1,0,0 ，P 0, 3,1 ， A 0, 3,0 ，

设 AM AD 1, 3,0 , 3 ,0 ，其中 0≤ ≤1，

则CM CA AM 0, 3,0 , 3 ,0 , 3 3 ,0 ，CP 0, 3,1 ，

设平面MCP的法向量为m x, y, z ，

m

CP 3y z 0
则 ，取 y ，则 z 3 ， x 3 1 m CM x 3 3 y 0

所以，m 3 1 , , 3 ，易知平面CPA的一个法向量为n 1,0,0 ，
m n 3 1 2 39
则 cos m, n ，整理可得15 2 2 1 0，m n 3( 1) 2 2 3 2 13
1
因为 0≤ ≤1，解得 ，
5
2 39 | AM | 1
因此，线段 PC上存在点M ，使二面角M AB C的余弦值为 ，且
13 |MD | 4 .
3
17.1．(1) y 2x 5
e
；(2) ,02
.

【详解】（1）当 a 1时， f (x)
2
x ln x
x
∴ f ' (x) x
2 1

x2 x
∴ f (1) 3 f ' (1) 2
4
{#{QQABDYIAogggAJBAABgCEwWaCEMQkAECAYgGxBAEMAABARFABAA=}#}
∴曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 y 3 ( 2)(x 1), y 2x 5 ；
2
（2）∵函数 f (x) x 2a a ln x(a R) ，
x
a 0 f (x) 1 2a
2 a x a x 2a
当 时， ，由 f (x) 02 可得 x 2a或 x a（舍去），x x x2
∴当 x (0, 2a)时， f (x) 0, f (x) 单调递减，当 x ( 2a, )时， f (x) 0, f (x) 单调递增，
当 2a e即 e2≤a 0时，所以 f (x)在[e, )上单调递增，
2a2 2 e 2f (x) f (e) e a a 7则 e 0，即曲线 y f (x)在 x轴的上方，
e e 4 8
当 2a e即 a e2 时， f (x)在[e, 2a)上单调递减，在 ( 2a, )上单调递增，
则 f (x) f ( 2a) 3a a ln 2a ，由 x [e, )时，曲线 y f (x)在 x轴的上方，
3
3a e
3
∴ a ln 2a 0 a e，解得 ， 综上，实数 a的取值范围为 ,0 .2 2
9 5
18.（1） (2) (3) 3 3
16 32 p 12
【详解】记 X为系统中可以正常工作的喷淋装置的个数.
3
（1）由题意知 X~B（3， ），
4
3 9
所以该仓库灭火装置正常工作的个数的均值为E(X)=3
4 4
3 3 (1 3) 9方差 D（X）= ；
4 4 16
（2）记事件 A为“该仓库灭火系统需要维修”
3 1 2
则 P A P X 0 P X 1 C0 3 3 1 C1
3 1 3 1 9 53

.
4 4 4 64 64 32
5
所以系统需要维修的概率为 .
32
（2）记事件 B为“该仓库灭火系统能正常工作”，
P X 3 C3 3
3 2 1 2

由题意可知 C0 2 3 3 2 1 3 33 2 1 p C2
1 C1 p 1 p C1 2 2
4 3
1 C p
4 2 3 2 4 4 4
18
p2 27 9 p2 27
64 64 32 64
3 3 2P X 4 C3 C13 2p 1 p C2
3 1 3 C2p 2 27 27 3 2 p
2 p
4 4 4 64 32
3
P X 5 C3 3 3 C22 p2
27
p2
4 64
P B P X 3 P X 9 27 27 27 27 9 27 27则 4 P X 5 p2 p2 p p2 p2 p
32 64 64 32 64 32 32 64
5 27
由（2）可知灭火系统原来可以正常工作概率为1 P A 1 ，32 32
5
{#{QQABDYIAogggAJBAABgCEwWaCEMQkAECAYgGxBAEMAABARFABAA=}#}
9 p2 27 p 27 27若新增两个电子元件后整个系统的正常工作概率提高了，则有不等式 32 32 64 32 成立，
3 3 p 3 3解得 ,而0 p 1 .
2 2
3 3
综上当 p 1时，可以提高整个系统的正常工作概率.
2
2
19. (1) x
2 y 1 1;(2)证明见解析;(3)1
2
ab 3

a2 b2 3 a2 1
2 y
2
【详解】（1）由题意 2a 2
x 1
，解得 2 1 ，所以双曲线 E的标准方程为 1 ；
2 2 2 b
c a b 2 2

（2）由题意直线 l的斜率不为 0，设直线 l : x my t，因为直线 l与 E的右支交于两点，所以 t 0，
x my t
联立 2 2 m
2 2 y2 2mty t 2 1 0
x 2y 1
得 ，
2mt
所以 yA yB 2 ，且Δ 4 m2 2t 2 2 0，即m2 2 2t 2，m 2
x my t 2 2 2 2mt
联立 2 得 m 2 y 2mty t 0，所以 y y ，
x 2y
2 0 C D m2 2
所以 yC y
2mt
D 2 yA yB，即线段 AB,CD的中点重合，所以 AC BD .m 2
（3）由题意得方程 x2 2y2 1的初始解为 3,2 ，则根据循环构造原理得
n n
xn 2yn 3 2 2 ,xn 2yn 3 2 2 ，
x 1从而 n 3 2 2
n n n n 3 2 2 , y
2
n 3 2 2 3 2 2 ，2 4

记OQn xn , yn ，则OQn 1 xn 1 ,yn 1 ，设OQ ，OQ n n 1 的夹角为 ，
2 2
则△OQ 1nQn 1的面积 S OQ Q OQ OQ sin
1
OQ OQ sin2
n n 1 2 n n 1 2 n n 1
1 2 2 2 2 1 2 2 2
OQn OQn 1 OQn OQn 1 cos
2 OQn OQ 2 2 n 1 OQn OQn 1
1
x2 y2 x2 y2n n n 1 n 1 xnx 2 1n 1 y2 n yn 1 x y2 n n 1 xn 1yn ，
n n
令 a 3 2 2 ,b 3 2 2 ， ab 1，
2
则 S a b OQ Q 3 2 2 a 3 2 2 b a b 3 2 2 a 3 2 2 b n n 1 16
2
8 2ab 1，于是△OQnQn 1的面积为定值1.
16
6
{#{QQABDYIAogggAJBAABgCEwWaCEMQkAECAYgGxBAEMAABARFABAA=}#}南宁三中 2025届高三九月适应性测试
数学试题
本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试用时 120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在
答题卡上.用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作
答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知复数 z i 1 i ，则 z （ ）
A． 2 B．3 C． 2 D． 3
2. 若命题“ x R, x 2 2x 3 m ”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． , 2 B． 2, C． , 2 D． 2,

3. 已知向量 a,b满足 a 2, a 2b 4，且 b 2a b 0，则 b （ ）
A 2．1 B． C． 3 D．
2 2
4．以下命题为假命题的是（ ）
A．若样本数据 x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6的方差为 2，则数据 2x1 1,2x2 1,2x3 1,2x4 1,2x5 1,2x6 1的方
差为 8
B．一组数据 8，9，10，11，12的第 80百分位数是 11.5
C．一般来说，若一组数据的频率分布直方图为单峰且不对称，且直方图在左边“拖尾”，则这组
数据的平均数小于中位数.
D．以模型 y cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 z ln y，最终求得线性回归
方程为 z 2x 0.4，则模型中 c，k的值对应分别是 0.4和 2.
5. 已知曲线 C：x2 y2 1，设曲线 C上任意一点 A与定点 B 3,0 连线的中点为 P，则动点 P的轨迹方
程为（ ）
3 2 1 3 2A. 2 2 1 x y B. x y
2 4 2 4
2 2
C. 3 2 1 3 2 1 x y D. x y
2 16 2 16
南宁三中九月适应性测试 数学试题 第 1页 共 4页
{#{QQABDYIAogggAJBAABgCEwWaCEMQkAECAYgGxBAEMAABARFABAA=}#}
6. f (x) 2sin 设函数 x 2ax，g(x) a(x 2)2 8a，曲线 y f (x)与 y g(x)恰有一个交点，则 a （ ）
6
A. 1 B. 0
2
C. D. 3
3 4
7. 用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.己知正四棱台的上 下底面边长分别为 1
π
和 2，侧棱与底面所成的角为 ，则该四棱台的体积是（ ）
4
7
A B 7 2 C 7 2． ． ． D 7 2．
6 6 3 2
8. 已知 a,b R, f x e x ax b，若 f x 1 b a恒成立，则 的取值范围是（ ）
a
A． 0, B． 1, C． -2, D．[ 1, )
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. 对于函数 f (x) sin(1 x ) ,下列说法正确的有（ ）
2 6
A. f (x)的最小正周期为 B. f (x) 4 关于直线 x 对称
3
C. f (x) 4 8 在区间 , 上单调递减 D. f (x)的一个零点为 x 3 3 3
10. 已知抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点为 F，C上一点 P到 F 和到 y轴的距离分别为 12和 10，且点 P
位于第一象限，以线段 PF为直径的圆记为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． p 4
B．C的准线方程为 y= 2
C．圆 的标准方程为 (x 6)2 (y 2 5)2 36
D．若过点(0,2 5)，且与直线OP(O为坐标原点）平行的直线l与圆 相交于A，B两点，则| AB | 4 5
11. f x esinx cosx ecosx sinx已知函数 ,则下列说法正确的是（ ）
A． f x 的图像是中心对称图形 B． f x 的图像是轴对称图形
C． f x 是周期函数，且最小正周期为 2π D． f x 存在最大值与最小值
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，若 a2 a5 8， 2a3 a4 11，则 S9 .
13．已知 tan , tan 是方程 x2 3x 3 0的两个实数根， tan(2 2 ) = .
14．某盒中有 12个大小相同的球，分别标号为1,2, ,12，从盒中任取 3个球，记 为取出的 3个球的
标号之和被 3除的余数，则随机变量 =2的概率是 .
南宁三中九月适应性测试 数学试题 第 2页 共 4页
{#{QQABDYIAogggAJBAABgCEwWaCEMQkAECAYgGxBAEMAABARFABAA=}#}
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）记△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 c＝2b，cosB+2cosC＝0．
（1）求 cosA；
1 （2）若 D是边 AB上一点， AD DB，且CD 17，求△ABC的面积．
2
16．（15分）在平行四边形 ABCD中， D 60 ，CD 1， AC 3 .将V ABC沿 AC翻折到△APC的
位置，使得 PD 5 .
（1）证明：CD 平面 APC；
AM
（2）在线段 AD上是否存在点M ，使得二面角M PC A 2 39的余弦值为 若存在，求出 MD 的值;13
若不存在，请说明理由.
17 15 f (x) x 2a
2
．（ 分）已知函数 a ln x, (a 0)
x
（1）当 a 1时，求曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
（2）当 x [e, )时，曲线 y f (x)在 x轴的上方，求实数 a的取值范围.
南宁三中九月适应性测试 数学试题 第 3页 共 4页
{#{QQABDYIAogggAJBAABgCEwWaCEMQkAECAYgGxBAEMAABARFABAA=}#}
18. （17分）为防范火灾，对某仓库的灭火系统的 3套喷淋装置进行检查，发现各套装置能正常工作的
3
概率为 4 ，且每套喷淋装置能否正常工作是相互独立的.若有超过一半的喷淋装置正常工作，则该
仓库的灭火系统能正常工作，否则就需要维修.
（1）求该仓库灭火装置正常工作的个数的均值与方差；
（2）系统需要维修的概率；
（3）为提高灭火系统正常工作的概率，在仓库内增加两套功能完全一样的其他品牌的喷淋装置，每
套新喷淋装置正常工作的概率为 p(0 p 1)，且新增喷淋装置后有超过一半的系统能正常工作，则灭火
系统可以正常工作．问： p满足什么条件时可以提高整个灭火系统的正常工作概率？
x2 y219. （17分）已知双曲线E : 2 2 1(a 0,b 0)
3
的实轴长为 2，顶点到渐近线的距离为 .
a b 3
（1）求双曲线 E的标准方程；
（2）若直线 l与 E的右支及渐近线的交点自上而下依次为C、A、B、D，证明： AC BD ；
*
（3）求二元二次方程 x2 3y2 1的正整数解Qn xn , yn xn , yn ,n N ，可先找到初始解 x ,y1 1 ，其
中x
2
为所有解 xn中的最小值，因为1 2 3 2 3 2 3 1 2 ，所以Q1 1 2,1 ；因为
1 (2 3)2 (2 3)2 7 4 3 7 4 3 72 3 42，所以Q2 7,4 ；重复上述过程，因为 (2 3)n与
(2 3)n的展开式中，不含 3的部分相等，含 3的部分互为相反数，故可设
n1 2 3 n2 3 x 3 y x 3 y x 2 3 y 2 Q x , yn n n n n n ，所以 n n n . 若方程 E的正整数解为
Qn xn , yn ，且初始解Q1 3,2 ，则△OQnQn 1的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.
南宁三中九月适应性测试 数学试题 第 4页 共 4页
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