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《递归》作业
一、选择题
1. 以下关于递归的描述中，正确的是：
A. 递归函数必须有一个基本情况（或称为终止条件）
B. 递归函数必须无限进行下去
C. 递归函数不能调用自身
D. 递归函数的效率总是比迭代高
答案：A
解析：递归函数必须有一个基本情况，即不再调用自身的条件，否则会导致无限递归，最终栈溢出。选项B错误，因为递归必须有终止条件。选项C错误，因为递归函数的定义就是函数直接或间接地调用自身。选项D错误，递归和迭代各有优劣，具体效率取决于问题的性质和实现方式。
2. 在计算阶乘的递归函数中，n! = n (n-1)! 是一个：
A. 基本情况
B. 递归情况
C. 边界条件
D. 初始条件
答案：B
解析：递归情况是指函数通过自身调用来解决问题的一部分，而基本情况是不需要进一步调用自身的条件。在这个阶乘的例子中，n! = n (n-1)! 是通过递归调用来计算的，因此是递归情况。
3. 斐波那契数列的递归定义是 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0, F(1) = 1。这里的F(0)和F(1)是：
A. 递归调用
B. 基本情况
C. 边界条件
D. 初始条件
答案：B
解析：在斐波那契数列的递归定义中，F(0) = 0 和 F(1) = 1 是基本情况，因为它们不再需要进一步的递归调用。
4. 以下哪个不是递归算法的特点？
A. 自顶向下解决问题
B. 分而治之
C. 需要大量的内存空间
D. 适用于所有类型的问题
答案：D
解析：递归算法通常适用于可以分解为更小子问题的问题，但并不是所有类型的问题都适合用递归来解决。选项A、B、C都是递归算法的典型特点。
5. 在二分查找算法中，如果搜索范围为空，则应该：
A. 继续搜索
B. 返回中间元素
C. 返回-1（或任何表示未找到的值）
D. 抛出异常
答案：C
解析：在二分查找算法中，如果搜索范围为空，说明目标值不存在于数组中，此时应返回一个特殊值（如-1）表示未找到。
6. 汉诺塔问题的递归解法中，移动n个盘子从源柱子到目标柱子需要的最少步数是：
A. 2^n - 1
B. n^2
C. n!
D. n(n-1)/2
答案：A
解析：根据汉诺塔问题的递归定义，移动n个盘子需要的步数是移动n-1个盘子的步数加上移动最底下的盘子的步数再加上移动剩下的n-1个盘子的步数。这个递推关系可以通过数学归纳法证明其解为2^n - 1。
二、填空题
7. 在递归函数中，基本情况也被称为_______条件。
答案：终止
解析：基本情况也被称为终止条件，因为它标志着递归调用的结束。
8. 递归函数的两个主要组成部分是_______情况和基本情况。
答案：递归
解析：递归函数由递归情况和基本情况组成，递归情况用于分解问题，基本情况用于结束递归。
9. 在计算斐波那契数列的第n项时，如果n小于等于1，则直接返回n，这是递归函数的_______条件。
答案：基本情况（或终止条件）
解析：在斐波那契数列的递归定义中，当n小于等于1时，函数直接返回n，这是基本情况。
10. 递归函数在执行过程中会消耗一定的_______空间。
答案：栈
解析：递归函数在执行过程中会在调用栈上保存每一层调用的信息，因此会消耗一定的栈空间。
11. 在二分查找算法中，每次将搜索范围缩小为原来的一半，这是利用了递归的_______思想。
答案：分而治之
解析：二分查找算法通过每次将搜索范围缩小一半来查找目标值，这正是“分而治之”思想的体现。
122. 在快速排序算法中，通过一次_______操作将数组分为两部分，然后对每部分分别进行排序。
答案：分区（或划分）
解析：快速排序算法的核心在于分区操作，通过选择一个基准值将数组分为两部分，使得左边的元素都小于基准值，右边的元素都大于基准值。
13. 在汉诺塔问题中，将n-1个盘子从辅助柱子移动到目标柱子所需的步数是_______步。
答案：2^(n-1) - 1
解析：根据汉诺塔问题的递归定义，移动n-1个盘子所需的步数是2^(n-1) - 1。
14. 在求解迷宫问题的递归回溯算法中，当遇到死胡同时，算法会_______并尝试其他路径。
答案：回溯（或后退）
解析：在迷宫问题的递归回溯算法中，当遇到死胡同（即无法前进的情况）时，算法会回溯到上一步并尝试其他路径。
15. 在递归函数的设计中，确保递归有终止条件是非常重要的，否则会导致_______错误。
答案：无限递归（或栈溢出）
解析：如果递归没有终止条件，函数会无限调用自身，最终导致栈溢出错误。
简答题：
1. 什么是递归？
答案：递归是一种编程技术，其中函数直接或间接地调用自身来解决问题。递归通常涉及将一个大问题分解为更小的同类问题，直到达到基本情况（base case），可以直接解决而不再需要进一步分解。
解析：递归通过自我引用实现问题的分解和求解，是解决分治类型问题的强大工具。
2. 递归和迭代有什么区别？
答案：递归是通过函数自我调用来重复执行操作，而迭代则是通过循环结构（如for、while循环）来重复执行一系列操作。递归通常需要更多的系统栈空间，因为每次函数调用都会增加一个新的栈帧，而迭代则不会。
解析：选择递归还是迭代取决于具体问题的性质和对资源使用的要求。迭代通常更易于理解和实现，而递归则在某些情况下能提供更简洁的解决方案。
3. 什么是尾递归？
答案：尾递归是指递归调用是函数体中的最后一个操作的递归。在尾递归中，由于没有其他待处理的操作，编译器或解释器可以优化递归调用，使其占用常量的栈空间。
解析：尾递归优化使得递归可以在不增加额外内存消耗的情况下进行深度递归，这对于避免栈溢出错误非常重要。
4. 什么是递归的基本情况？
答案：基本情况是递归函数中的一个条件，用于终止递归过程。当函数的输入满足基本情况时，函数不再调用自身，而是直接返回结果。
解析：基本情况是确保递归正确终止的关键，没有它，递归调用将会无限进行下去，导致栈溢出或其他运行时错误。
5. 什么是递归函数的堆栈帧？
答案：堆栈帧是程序运行时系统栈上的一块区域，用于存储函数调用的信息，包括局部变量、返回地址和参数。每次函数调用时，都会在栈上创建一个新的堆栈帧。
解析：堆栈帧对于理解函数调用的生命周期和资源管理至关重要，特别是在递归调用中，每个递归层级都有自己的堆栈帧。
论述题：
6. 讨论递归在计算机科学中的应用及其重要性。
答案：递归在计算机科学中有着广泛的应用，包括但不限于算法设计（如排序和搜索算法）、数据结构（如树和图的遍历）、编程语言（如函数式编程中的高阶函数）以及自动机理论（如正则表达式的处理）。递归的重要性在于它提供了一种简洁而强大的方法来表示和解决复杂的问题，尤其是在那些具有自然递归结构的问题中，如分治策略和回溯算法。
解析：递归的应用展示了其在简化问题表示和解决方案方面的潜力，特别是在处理嵌套结构和重复模式时。
7. 分析递归与迭代在不同场景下的优劣。
答案：递归和迭代各有优势和劣势，适用场景不同。递归通常更适合于描述和解决具有自然递归结构的问题，如树和图的遍历，以及某些算法问题，如汉诺塔问题和快速排序。然而，递归可能会导致大量的栈空间消耗，特别是在深度递归调用时，可能会引发栈溢出错误。相比之下，迭代通常更节省内存，因为它不需要额外的栈帧来保存状态，但编写迭代解决方案可能需要更多的代码和维护工作。在性能方面，迭代通常更快，因为它避免了函数调用的开销。
解析：选择递归还是迭代取决于具体问题的性质、可用资源以及对性能的要求。在某些情况下，结合使用递归和迭代可能会提供最佳的解决方案。
8. 探讨如何将递归算法转换为迭代算法。
答案：将递归算法转换为迭代算法通常涉及使用显式的数据结构（如栈或队列）来模拟递归调用栈的行为。这包括将所有递归调用的状态信息（如局部变量和参数）存储在数据结构中，并在每次迭代时手动更新这些状态。转换过程还包括识别和实现基本情况以及处理边界条件。这种方法的挑战在于确保迭代版本正确地模拟了递归版本的控制流和状态管理。
解析：虽然将递归转换为迭代可能会使代码变得更长且更复杂，但它可以减少内存消耗并提高性能，特别是在避免栈溢出方面。
9. 描述递归在人工智能中的应用。
答案：在人工智能领域，递归被广泛应用于各种算法和技术中，如搜索算法（如深度优先搜索和广度优先搜索）、推理机制（如演绎推理和归纳推理）、语言处理（如语法分析和句法树构建）以及机器学习模型（如决策树和随机森林）。递归在这些应用中的重要性在于它能够自然地表示和处理层次化和嵌套的结构，这是许多AI问题的核心特征。例如，在自然语言处理中，递归可以用来解析句子结构；在机器学习中，递归特征消除是一种特征选择方法，用于消除冗余和相关性低的特征。
解析：递归在AI中的应用体现了其在处理复杂、分层和非结构化数据方面的优势，这些特性使得递归成为构建智能系统不可或缺的工具之一。
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