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2024-2025学年陕西省延安市培文学校高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则( )
A. B. C. D.
4.图中的花盆可视作两个圆台的组合体，其上半部分的圆台上、下底面直径分别为和，下半部分的圆台上、下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，若上半部分的圆台的高为，则该花盆的总高度为( )
A.
B.
C.
D.
5.“”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知过点的直线交抛物线于，两点，且，为坐标原点，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列中，，，记，其中表示不大于的最大整数，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥中，，其余各棱长均为，是三棱锥外接球的球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.年我国居民消费价格月度涨跌幅度的数据如图所示，对于这组数据，下列说法正确的是( )
A. 极差为 B. 平均数约为 C. 中位数为 D. 众数只有和
10.已知函数的图象关于直线对称，最小正周期
，若将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则( )
A. B.
C. 在上的值域为 D. 在上单调递增
11.已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则( )
A. B.
C. 是奇函数 D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足，则 ______．
13.设，则被除的余数为______．
14.已知是双曲线上任意一点，，若恒成立，则的离心率的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，为边上一点，且，，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求．
16.本小题分
已知椭圆的左焦点为，过点且不与轴重合的动直线与交于，两点，且当轴时，．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ若，，直线，分别与直线交于点，，证明：为定值．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，为等边三角形，平面平面，四边形为菱形，，为的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程为．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ讨论的单调性；
Ⅲ若关于的方程有两个正根，，证明：．
19.本小题分
在一个不透明的口袋中装有个黑球和个白球，每次从口袋中随机取出个球，再往口袋中放入个白球，取出的球不放回，像这样取出个球再放入个白球称为次操作，重复操作至口袋中个球均为白球后结束假设所有球的大小、材质均相同，记事件“次操作后结束”为，事件发生的概率为．
Ⅰ求第次操作取出黑球且次操作后结束的概率；
Ⅱ求数列的通项公式；
Ⅲ设，证明：．
参考答案
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15.解：Ⅰ因为，，，
在中，由余弦定理可得：，
即，
解得；
Ⅱ由图知：，由Ⅰ可得，
由图知，为锐角，为锐角，，
可得，，
，
可得，
可得．
16.解：Ⅰ因为椭圆的左焦点为，
所以，
联立，
解得，
因为，
所以，
联立，
解得，，
则的方程为；
Ⅱ证明：易知直线不垂直于轴，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
易知直线的方程为，
令，
解得，
同理得，
所以
．
故为定值，定值为．
17.Ⅰ证明：设，取的中点，连接，，，则，，
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，所以平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
又，所以平面；
Ⅱ解：由题意知，为等边三角形，以的中点为原点，
，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则，
取，设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：函数，求导得，
由的图象在点处的切线方程为，得，
所以，．
由知，．
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
证明：由，得，
令，，依题意，，则，
设，由知在上单调递增，则，，
由，得，于是，
要证当时，，即证，
令，，求导得，
令，求导得，
函数，即在上单调递增，，
函数在上单调递增，则当时，，即成立，
所以．
19.解：Ⅰ用表示第次操作取出黑球，表示第次操作取出白球，
则第次操作取出黑球且次操作后结束的概率为．
Ⅱ由题意可知：，，
当且时，若次操作后结束，则前次操作中，有一次取出黑球，其余次取出白球，
则
．
显然，满足上式，所以．
Ⅲ由Ⅱ可知：，
所以
设，，
所以，
两式相减可得：，
即，
所以，
，
所以，
而，，
所以．
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