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福建省福州市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则( )
A. B. C. D.
4.以为渐近线的双曲线可以是( )
A. B. C. D.
5.如图，梯形的腰的中点为，且，记，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆与轴相切，则( )
A. B. 或 C. 或 D.
7.已知圆锥的底面半径为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上下两部分，若截得小圆锥的体积为，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8.大气压强单位：与海拔单位：之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数已知海拔为两地的大气压强分别为若测得某地的大气压强为，则该地的海拔约为 参考数据：
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.如图是函数的部分图象，则( )
A. 是的一个周期 B.
C. D. 在上恰有个零点
11.已知函数均为定义在上的非常值函数，且为的导函数对且，则( )
A. B. 为偶函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正三棱柱的底面边长为，高为，则其体积为 ．
13.已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 ．
14.已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列满足，．
证明数列为等比数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知内角的对边分别为，且．
求角；
若为中点，求的长．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，．

求证：平面；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求的方程；
直线交于两点．
点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；
若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程．
19.本小题分
阅读以下材料：
设为函数的导函数若在区间单调递增；则称为区上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数．
平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中．
已知函数．
当时，讨论的凹凸性；
当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合；
已知函数，点在轴左侧且为的“切点”，写出点的集合不需要写出求解过程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
证明：因为，所以，
又因为，所以，
数列是首项为，公比为的等比数列．
解：由知，所以，
所以．

16.
因为，
由正弦定理，得
因为，则，所以，
由于，则；
因为为中点，故，
所以
．
所以的长为．

17.
解法一：在中，
因为，
由正弦定理，得，所以，
所以，
因为，所以，所以．
因为平面平面，所以，
又，平面
所以平面；
方法二：证明：设，在中，
因为，
由余弦定理，得，
所以，即，解得．
所以，所以．
因为平面平面，
所以，
又，平面
所以平面；
解法三：设，在中，
因为，
由余弦定理，得
所以，即，解得．
所以，所以．
因为平面平面，
所以平面平面；
又平面平面平面，
所以平面；
解法一：由知平面，
又平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，
所以两两垂直．
以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，
设平面的法向量为，
则即取，则，
显然平面的一个法向量，
所以
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
解法二：由知平面，过作，则平面，
又平面，所以，
因为平面，
又平面，所以，
所以两两垂直．
以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，
设平面的法向量为，
则即取，则，
显然平面的一个法向量，
所以
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
解法三：延长交于点，连接，
则平面平面，
在中，

，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以，
因为平面平面，
所以，又，
所以平面，
又平面，所以，
所以为平面与平面的夹角，
因为平面平面，
所以，
因为，得，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

18.
由题意，得，解得
所以的方程为；
依题意可设点，且，
证明：因为点关于原点的对称点为，所以，
因为点在上，所以，所以，即，
因为直线的斜率为，直线的斜率为
所以，即为定值；
设弦的中点的坐标为，
点的坐标为的重心的坐标为，
由，得，
所以，且，
因为的重心在轴上，所以，
所以，
所以，
因为在上的投影向量相等，所以，且，
所以直线的方程为，
所以，
所以点，
又点在上，所以，
即
又因为，所以，所以直线的方程为．

19.
因为，
所以，
令，
所以．
当时，，令，解得；
令，解得；
故为区间上的凹函数，为区间上的凸函数；
当时，令，解得，
令，解得或，
故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；
当时，，故为区间上的凸函数；．
当时，令，
解得，
令，解得或，
故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；
综上所述，当时，为区间上的凹函数，为区间
和上的凸函数；
当时，为区间上的凸函数；
当时，为区间上的凹函数，为区间和
上的凸函数；
当时，为区间上的凹函数，为区间上的凸函数；
当时，，
故在点处的切线方程为．
设为的“切点”，
则关于的方程有三个不同的解，
即关于的方程有三个不同的解，
令，
所以直线与曲线恰有三个不同的交点．
．
当时，随变化情况如下：
减 极小值 增 极大值 减
故；
当时，单调递减，不符合题意；
当时，随变化情况如下：
减 极小值 增 极大值 减
故；
综上所述，点的集合为
或
点 集合为或或

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