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江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则的真子集个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.在复平面内，复数对应的点在第二象限，则复数对应的点所在象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：，，，，，，，，若这组数据的下四分位数为，则该名考生的面试平均得分为( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若单位向量满足，向量满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.设数列的前项和为，已知，，若，则正整数的值为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线，在双曲线上任意一点处作双曲线的切线，交在第一、四象限的渐近线分别于、两点．当时，该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在中，且均为整数，为中点，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，棱长为的正方体中，，分别是的中点，点为底面内包括边界的动点，则下列说法正确的是( )
A. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 存在点，使得平面
C. 若点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分
D. 若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为
10.芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是 参考数据：，
A.
B.
C.
D. 取得最大值时，的估计值为
11.麦克斯韦妖，是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量所有取值为，，，，且，，定义信息熵，则下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，若，则与正相关
C. 若，则
D. 若，随机变量的所有可能取值为，，，，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 ．
13.已知抛物线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线与直线为自然常数在第四象限的交点为点，点为坐标原点，则的面积为 ．
14.已知函数满足，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若函数在处有极值，求的值；
若函数在内单调递减，求的取值范围．
16.本小题分
月日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记分，答错一题记分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为．
甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望；
若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和；
(ⅱ)记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式．
17.本小题分
如图，已知四边形是矩形，平面，且，是线段上的点，满足．
若，求证：直线平面；
是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由；
若，求直线与直线所成最大角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线与曲线有个交点，，，按逆时针排列．
当时，判断四边形的形状
设为坐标原点，证明：为定值
求四边形面积的最大值．
附：若方程有个实根，，，，则，．
19.本小题分
称是的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：任意，；任意和，有任取，称包含的最小向往集合称为的生成向往集合，记为．
求满足的正整数的值；
对两个向往集合，定义集合
证明：仍然是向往集合，并求正整数，满足；
证明：如果，则．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或．
15.解：
函数，求导得，
依题意，，即，解得或
当时，恒成立，
在上单调递减，无极值；
当时，，当时，，
当时，，
函数在处取极大值，满足题意，
所以．
依题意，在上单调递减，
则在上恒成立，因此在上恒成立，
而当时，，则，
所以的取值范围是．

16.解：依题意可得的可能取值为、、、，
则，，
，，
所以的分布列为
所以．
若甲留学生随机抽取道题，总得分恰为分，即道题均答对了，
所以，
设数列的前项和为，则．
(ⅱ)依题意可得，，，
当时，
所以，
所以为常数数列，又，
所以，
则，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
经检验当、上式也成立，所以．

17.解：
取的中点，连接，
因为，所以是线段上的中点，
因此有，
因为是矩形，是线段上的中点，
所以，
因此有，
所以四边形是平行四边形，所以有，
而平面，平面，所以直线平面；
假设存在实数，使直线同时垂直于直线，直线，
因为四边形是矩形，所以，
即，而平面，
所以平面，
因为是矩形，所以，
因为平面，平面，
所以，而平面，
所以平面，因此，而，所以，显然不可能，所以假设不成立，
因此不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线；
当时，由可知：，
所以是直线与直线所成角，设，
由可知，所以，
在中，由余弦定理可知：
，
令，所以，
于是有，
当时，有最小值，最小值为，此时有最大值．
则直线与直线所成最大角的余弦值为．

18.解：双曲线，即，
当时，曲线，即，
联立消去得，
由，
且，
四边形为正方形；
，
将代入，由题意知，
，
故为定值；
记，，，，
当在内部时，
当且仅当时，取等号
当且仅当时，取等号
，
当且仅当四边形为正方形取等号；
当在外部时，
，
综上，四边形面积最大值为．
19.解：
设注意到，所以，又，所以，
注意到集合，并且是向往集合，
根据生成向往集合的最小性，有；因为，所以，
另一方面，容易证明，因为中全都是的倍数，所以，综上所述，即．
证明：
用和类似的方法可以得到，且．
所以，
所以，又因为生成向往集合的最小性，有，故得：．
下面证明是向往集合任取，写出表示成有限和的形式，
则也可以写成有限和的形式，容易证明，
其次，任意取，只需要把中的替换为即可，综上所述是向往集合．
因为，因为，所以存在，有，
任取，有和，所以，
进而根据向往集合的性质，有，
任意取，有，
因为，有，所以．

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