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专题34 等比数列及其前n项和（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 6
【考点1】等比数列基本量的运算 6
【考点2】等比数列的判定与证明 9
【考点3】等比数列的性质及应用 14
【分层检测】 18
【基础篇】 18
【能力篇】 24
【培优篇】 27
考试要求：
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
3．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
二、填空题
4．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
5．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
三、解答题
6．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
参考答案：
题号 1 2 3
答案 C C D
1．C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
2．C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
3．D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
4．
【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
5．
【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
6．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
【考点1】等比数列基本量的运算
一、单选题
1．（2024·河南·三模）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．（2024·四川巴中·一模）已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（ ）
A．5 B．1 C． D．或1
二、多选题
3．（2024·江西新余·模拟预测）若，成等差数列，成等比数列，则题中等比数列的公比可以是：（ ）.
A． B． C． D．
4．（2024·云南·模拟预测）设是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列．已知数列的前项和，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·广东茂名·一模）有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为 盏.
6．（2024·上海·三模）数列满足（为正整数），且与的等差中项是5，则首项
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B D BCD BC
1．B
【分析】根据的关系可得递推公式，利用递推公式可得.
【详解】当时，，所以，
整理得，所以.
故选：B．
2．D
【分析】根据三个数成等比数列，列式计算，即可得答案.
【详解】由题意知，，a，b，c三个数成等比数列，
则，故，
故选：D
3．BCD
【分析】设公比为，根据等差数列和等比数列可得，运算求解即可.
【详解】因为成等比数列，设其公比为，则，
又因为成等差数列，则，
可得，则，
整理可得，解得或或，
结合选项可知：A错误，BCD正确，
故选：BCD.
4．BC
【分析】根据分组求和，利用等差数列、等比数列求和公式用、、、表示出，再结合，由系数对应相等分别求出、、、，选出答案.
【详解】当时，，不合题意；
当时，，
，，，，，，
所以，
故选：BC．
5．30
【分析】根据给定条件，构造等比数列，再利用等比数列列n项和公式计算即得.
【详解】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列，公比，，前6项和，
于是，解得，
所以底层所开灯的数量为30盏.
故答案为：30
6．1
【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．
【详解】数列满足为正整数），则数列为等比数列，
不妨设其公比为，则，
因为与的等差中项是5，
所以，即，解得．
故答案为：1．
反思提升：
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
【考点2】等比数列的判定与证明
一、解答题
1．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．
2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知为数列的前项和，若.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)令，若，求满足条件的最大整数.
3．（2024·青海海南·一模）记等差数列的前项和为，是正项等比数列，且．
(1)求和的通项公式；
(2)证明是等比数列．
4．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，并证明．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，求数列的前100项和．
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系式，结合等比数列的定义与通项公式即可得解；
（2）利用等差数列的通项公式即可得解.
【详解】（1）因为，
当时，，所以，
当时，，
所以，整理得，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为;
（2）因为，
由题意得：，即，
所以.
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用与的关系式可得，即，即可得证.
（2）由（1）可得，则，设，根据等比数列的前项和公式可得，令，结合，即可求解.
【详解】（1）证明：由可得，
当时，，解得，
当时，，即，
则
，即，
即，即，
又，
所以数列是首项为6，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，则，
设，
则
令，得，
即，即，
又，，，
所以满足条件的最大整数为为5.
3．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）先设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，然后根据已知条件列出关于公差和公比的方程组，解出公差和公比的值，即可计算出数列和的通项公式；
（2）利用等比数列定义证明即可.
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，解得，
则；
设正项等比数列的公比为，则，，
由题意，可得，解得或（舍去），
故.
（2）令，则，
故是以为首项,公比为的等比数列.
4．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由等比数列的定义即可求证，
（2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证.
【详解】（1）由得，
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，，所以
所以，
当时，单调递增，故．
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知递推式结合等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）得，然后结合递推式和可求出，再利用错位相减法可求得结果.
【详解】（1）因为，
所以
，
则数列是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）由（2）可得，即，
，
所以，
前项和，
，
两式相减可得，
化简可得．
6．(1)证明见解析，．
(2)100.
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，再求出通项公式.
（2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和法计算即得.
【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得，
而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列，
通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以
．
反思提升：
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【考点3】等比数列的性质及应用
一、单选题
1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
2．（2023·江西上饶·模拟预测）设为正项等比数列的前n项积，若的公比，则（ ）
A． B．32 C． D．512
二、多选题
3．（23-24高三上·江西·期中）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（ ）
A．为单调递增数列 B．
C．为的最大项 D．无最大项
4．（2021·湖北黄冈·模拟预测）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A． B．
C．的前项和 D．的前项和为
三、填空题
5．（2021·河南许昌·一模）已知数列的前项和为对任意都有，且，则的取值集合为 ．
6．（23-24高三上·云南昆明·开学考试）设是等比数列，且，，则 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A D BC BC
1．A
【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解.
【详解】因为，且，
所以，，故，
所以，即，解得或（舍去），
由等比数列性质可知，成等比数列，公比为
所以，解得，
故选：A
2．D
【分析】运用等比数列下标性质计算即可.
【详解】正项等比数列，，则，则，
.
故选：D.
3．BC
【分析】由，，可得，，结合分析可得，，，则为单调递减数列，故选项A错误.选项B正确.，根据单调递减和，可知为的最大项，则选项C正确，选项D错误.
【详解】由，因此.
又因为则.
当时，，则，，则，与题意矛盾.
因此.则为单调递减数列，故选项A错误.
而，故，选项B正确.
又因为为单调递减数列，则，
由可知，，，
所以当时，，则.
当时，，则.
因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误.
故答案为：BC.
4．BC
【分析】先分析出数列为数列的子数列，从而判断出，求出的前项和.
【详解】令，
所以，
当时，，所以数列为数列的子数列，
所以，所以的前项为.
故选：BC.
【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．
5．
【分析】由题设、的递推关系可得是首项为3，公比为的等比数列，进而写出的公式，结合已知不等关系，讨论为奇数、偶数分别求n值，即可知取值集合.
【详解】由题意知：，即，
当时，，即，
∴是首项为3，公比为的等比数列，则，
∴知：，
当为奇数时，，得，
当为偶数时，，得，
∴的取值集合为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据、的递推关系，等比数列的定义判断数列为等比数列，进而写出前n项和公式，由绝对值不等式讨论n奇偶性，并求出n值.
6．189
【分析】
由是等比数列，则， ，，成等比数列，再根据新等比数列的性质计算即可.
【详解】
由是等比数列，设其公比为，
则，，，构成等比数列，且公比为，
，
，
则.
故答案为：189.
反思提升：
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
2．（2024·贵州贵阳·二模）记等比数列的前项和为，则（ ）
A．121 B．63 C．40 D．31
3．（2025·安徽·模拟预测）在等比数列中，若，则（ ）．
A．2 B． C．4 D．8
4．（2023·广东佛山·一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
5．（23-24高三上·江苏·期末）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．若是正项数列，则是单调递增数列
B．，，一定是等比数列
C．若存在，使对都成立，则是等差数列
D．若存在，使对都成立，则是等差数列
6．（2023·湖北武汉·三模）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列为等差数列，则恒成立
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
7．（2023·浙江温州·二模）是等比数列的前项和，若存在，使得，则（ ）
A． B．是数列的公比
C． D．可能为常数列
三、填空题
8．（2024·山东青岛·三模）已知等差数列的公差，首项 ，是与的等比中项，记 为数列的前项和，则
9．（2024·湖北荆州·三模）若实数成等差数列，成等比数列，则= .
10．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在等比数列中，，则 .
四、解答题
11．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
12．（2022·河北唐山·一模）已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且.
(1)证明：；
(2)若，数列为等比数列，，.求数列的前2022项和.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A C B AC BD ABC
1．A
【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.
【详解】根据等比中项知道，求得，则.
又，则.
故选：A.
2．A
【分析】利用等比数列的下标和性质求得，进而利用等比数列的通项公式求得，再利用等比数列的求和公式即可得解.
【详解】根据题意，设等比数列的公比为，
若，则有，得，
又由，则，解得，
故，
则.
故选：A.
3．C
【分析】根据等比数列的下标和性质运算求解即可.
【详解】因为数列是等比数列，
则，即，
所以.
故选：C.
4．B
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】因为等比数列公比为，
所以，
当时，，，显然数列为不是递增数列；
当“数列为递增数列”时，有，
因为，所以如果，例如，显然有，，显然数列为不是递增数列，
因此有，，
所以由，
当时，显然对于恒成立，
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于恒不成立，
因此“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
5．AC
【分析】A选项，设出公比，得到方程，结合是正项数列，得到公比，得到是单调递增数列；B选项，举出反例；C选项，根据对都成立，得到，从而得到为常数列，为公差为0的等差数列；D选项，结合C选项，得到当为偶数时，，为奇数时，，D错误.
【详解】A选项，设公比为，故，解得或，
若是正项数列，则，，故，故是单调递增数列，A正确；
B选项，当且为偶数时，，，均为0，不合要求，B错误：
C选项，若，则单调递增，此时不存在，使对都成立，
若，此时，故存在，使得对都成立，
此时为常数列，为公差为0的等差数列，C正确；
D选项，由C选项可知，，故当为偶数时，，
当为奇数时，，显然不是等差数列，D错误.
故选：AC.
6．BD
【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项.
【详解】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,
显然当才相等，故A错误，
而，作差可得成立，故B正确；
若数列为等比数列，且，，设其公比为q，
则，作商可得或所以 或，故C错误；
由题意得各项均不为0，而实数范围内，，
即且，结合选项B的计算可得，故D正确.
故选：BD.
7．ABC
【分析】设等比数列的公比为，当时，，结合题意可判断D选项；当时，结合等比数列的前项和公式可得，结合题意可得，进而判断A、B、C选项.
【详解】设等比数列的公比为.
当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错；
当，
所以，
即，，所以ABC对．
故选：ABC.
8．105
【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可求出公差，再根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】等差数列中， ，是与的等比中项，设公差为，
所以，即，
解得或（不合题意，舍去）；
所以．
故答案为：．
9．
【分析】根据等差数列的公差计算求出，再根据等比中项求出即可.
【详解】实数成等差数列，则等差数列的公差为，
成等比数列，则，
由于等比数列奇数项同号，所以，所以，则.
故答案为：.
10．4
【分析】利用等比数列的性质求解.
【详解】在等比数列中，，
由等比数列的性质，，则，
又，所以.
故答案为：4
11．(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式；
（2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和．
【详解】（1）由题意，可得，
故，，
数列是公比为2的等比数列，且，
，
，．
（2）由题意及（1），可得，
则
．
12．(1)证明见解析；
(2)4044.
【分析】（1）由题设递推式可得，结合已知条件即可证结论.
（2）由（1）及等比数列定义写出通项公式，进而有，根据奇偶项的正负性，应用分组求和法及（1）的结论求即可.
【详解】（1）因为①，则②，
②-①得：，又，
所以.
（2）由得：，于是，
由得：的公比.
所以，.
由得：
由得：，
因此.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·湖南益阳·一模）已知等比数列中，，，则（ ）
A．26 B．32 C．512 D．1024
二、多选题
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，且其前项的和，则
B．若数列为等比数列，且，则
C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列
D．若数列为等差数列，，则最小
三、填空题
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为 ．
四、解答题
4．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知为正项数列的前项的乘积，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
参考答案：
题号 1 2
答案 D CD
1．D
【分析】设等比数列的公比为，联立，，解出，，代入，即可得到答案.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，，
由，则，得，
解得，
所以.
故选：D.
2．CD
【分析】求出的值判断A；利用等比数列的性质计算判断B；举例说明判断C；求出与公差的关系判断D.
【详解】对于A，由，得，数列为等比数列，
则，解得，经验证符合题意，A正确；
对于B，等比数列中，由，得，则，B正确；
对于C，等比数列的公比，为偶数时，，，，，…不成等比数列，C错误；
对于D，设等差数列的公差为，由，得，
整理得，当时，没有最小值，D错误.
故选： CD
3．
【分析】根据求出、、，由等比中项有，进而求得，得到等比数列的首项、公比、通项公式，再结合的单调性，即可求出最大时的值.
【详解】，，，
因为是等比数列，所以，有，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
数列是递减数列，，，
所以时，最大.
故答案为：.
4．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可求出，然后两边取对数得，从而得出数列是常数列，从而可求解；
（2）根据（1）中结论可求出，从而可得出，再结合放缩法及等比数列的前项和公式即可证明.
【详解】（1），，
所以，即，
两边取常用对数得，
得，所以，
所以数列为常数列，所以，
所以.
（2）证明：由（1）知，所以，
则

又因为，
所以
故.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·内蒙古赤峰·二模）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，若，下列说法中正确的个数是（ ）
是公比为的等比数列.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
2．（2023·河北衡水·模拟预测）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的，满足，则下列选项之中，可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·河南驻马店·二模）定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为 .
参考答案：
题号 1 2
答案 C ABC
1．C
【分析】由题意知：，，得，再依次结合选项求解即可.
【详解】由题意知：，
，
因为数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
对于①，，得，故①正确；
对于②，，故②正确；
对于③，，
当时，，所以，故③正确；
对于④，，
此时，所以是公比为的等比数列，故④错误，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，得到数列是以为首项，为公比的等比数列，进而求得，从而得解.
2．ABC
【分析】分类讨论，结合等比数列的通项和性质分析判断.
【详解】当时，则有：
①当，则为非零常数列，故，符合题意，A正确；
②当，则为单调数列，故恒不成立，即且不合题意；
当时，可得，则有：
①当，若为偶数时，则；
若为奇数时，则；
故符合题意，B正确；
②当，若为偶数时，则，且，即；
若为奇数时，则，且，即；
故符合题意，C正确；
③当，若，可得，
∵，则，可得，则，这与等比数列相矛盾，
故和均不合题意，D错误.
故选：ABC.
3．
【分析】利用二次函数的性质求解析式，再利用数列的递推思想构造等比数列，即可求和，从而用数列的单调性来求出最小值.
【详解】由二次函数最低点为可知：，
又，所以，
则.由题意得，
又由，得，
因为，所以，
即，又，
所以，则，即，
故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
令.，则，
故当时，，当时，，
故.
故答案为：.
【点睛】方法点睛，根据二次递推，则需要通过构造两边对数，来得到等比数列递推关系.
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专题34 等比数列及其前n项和（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 3
【考点1】等比数列基本量的运算 3
【考点2】等比数列的判定与证明 4
【考点3】等比数列的性质及应用 5
【分层检测】 6
【基础篇】 6
【能力篇】 8
【培优篇】 9
考试要求：
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
3．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
二、填空题
4．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
5．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
三、解答题
6．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【考点1】等比数列基本量的运算
一、单选题
1．（2024·河南·三模）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．（2024·四川巴中·一模）已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（ ）
A．5 B．1 C． D．或1
二、多选题
3．（2024·江西新余·模拟预测）若，成等差数列，成等比数列，则题中等比数列的公比可以是：（ ）.
A． B． C． D．
4．（2024·云南·模拟预测）设是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列．已知数列的前项和，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·广东茂名·一模）有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为 盏.
6．（2024·上海·三模）数列满足（为正整数），且与的等差中项是5，则首项
反思提升：
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
【考点2】等比数列的判定与证明
一、解答题
1．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．
2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知为数列的前项和，若.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)令，若，求满足条件的最大整数.
3．（2024·青海海南·一模）记等差数列的前项和为，是正项等比数列，且．
(1)求和的通项公式；
(2)证明是等比数列．
4．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，并证明．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，求数列的前100项和．
反思提升：
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【考点3】等比数列的性质及应用
一、单选题
1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
2．（2023·江西上饶·模拟预测）设为正项等比数列的前n项积，若的公比，则（ ）
A． B．32 C． D．512
二、多选题
3．（23-24高三上·江西·期中）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（ ）
A．为单调递增数列 B．
C．为的最大项 D．无最大项
4．（2021·湖北黄冈·模拟预测）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A． B．
C．的前项和 D．的前项和为
三、填空题
5．（2021·河南许昌·一模）已知数列的前项和为对任意都有，且，则的取值集合为 ．
6．（23-24高三上·云南昆明·开学考试）设是等比数列，且，，则 .
反思提升：
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
2．（2024·贵州贵阳·二模）记等比数列的前项和为，则（ ）
A．121 B．63 C．40 D．31
3．（2025·安徽·模拟预测）在等比数列中，若，则（ ）．
A．2 B． C．4 D．8
4．（2023·广东佛山·一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
5．（23-24高三上·江苏·期末）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．若是正项数列，则是单调递增数列
B．，，一定是等比数列
C．若存在，使对都成立，则是等差数列
D．若存在，使对都成立，则是等差数列
6．（2023·湖北武汉·三模）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列为等差数列，则恒成立
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
7．（2023·浙江温州·二模）是等比数列的前项和，若存在，使得，则（ ）
A． B．是数列的公比
C． D．可能为常数列
三、填空题
8．（2024·山东青岛·三模）已知等差数列的公差，首项 ，是与的等比中项，记 为数列的前项和，则
9．（2024·湖北荆州·三模）若实数成等差数列，成等比数列，则= .
10．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在等比数列中，，则 .
四、解答题
11．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
12．（2022·河北唐山·一模）已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且.
(1)证明：；
(2)若，数列为等比数列，，.求数列的前2022项和.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·湖南益阳·一模）已知等比数列中，，，则（ ）
A．26 B．32 C．512 D．1024
二、多选题
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，且其前项的和，则
B．若数列为等比数列，且，则
C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列
D．若数列为等差数列，，则最小
三、填空题
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为 ．
四、解答题
4．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知为正项数列的前项的乘积，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·内蒙古赤峰·二模）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，若，下列说法中正确的个数是（ ）
是公比为的等比数列.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
2．（2023·河北衡水·模拟预测）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的，满足，则下列选项之中，可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·河南驻马店·二模）定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为 .
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