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(共93张PPT)
4.2 整式的加法与减法
第四章 整式的加减
知识点
同类项
知1－讲
1
1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项，所有的常数项都是同类项.



知1－讲
2. 判断同类项的方法
(1)同类项必须同时满足“ 两个相同”：① 所含字母相同；②相同字母的指数也相同，两者缺一不可.
(2)是不是同类项有“两个无关”：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关，如3mn 与－nm 是同类项.


知1－讲
特别解读
1. 同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式.
2. 同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项.
知1－练
例 1
下列各组中的两个式子是同类项的是( )
A. 2x2y 与3xy2 B. 10ax 与6bx C. a4 与x4 D. π 与－3
解题秘方：紧扣同类项定义中的两个“相同”进行识别.
解：A 中所含字母相同，但相同字母的指数不同；B，C 中所含字母不同；D 中π 是常数，与－3 是同类项.
D
知1－练
1-1.[中考·湘潭] 下列整式与ab2 为同类项的是( )
A.a2b B.－2ab2
C.ab D.ab2c
B
知1－练
[期末·南京浦口区]若单项式3xmy5 与－4x2yn－2 是同类项，则m＋n=________．
例 2
解题秘方：根据同类项的定义：所含字母相同且相同字母的指数也相同，列式求解即可．
解：因为单项式3 xmy5 与－4 x2yn－2 是同类项，
所以m ＝ 2，n－2 ＝ 5，即n ＝ 7. 则m＋n ＝ 9．
9
知1－练
2-1.如果单项式－xyb＋1与xa －2y3 是同类项，那么(ab －
7)2 024 的值为( )
A．－1 B．1
C．2 024 D．－2 024
B
知2－讲
知识点
合并同类项
2
1. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项.
2. 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.

知2－讲
3. 合并同类项的一般步骤
知2－讲
4. 升降幂排列：把一个多项式各项按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母的降幂排列. 若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母的升幂排列.





知2－讲
特别解读
1. 合并同类项法则可简记为“一相加，两不变”.其中，“一相加”是指各同类项的系数相加“；两不变”是指字母连同它的指数不变.
2. 合并同类项的过程是分配律的逆用.
3.升(降)幂排列看的是某一个字母指数的大小，而不是项的次数.
4. 合并同类项的结果一般需要按照某一字母进行升(降)幂排列.
▲▲▲
▲▲▲
▲▲
▲
知2－练
[母题 教材P96例1 ]合并下列各式的同类项：
例 3
解题秘方：合并同类项：将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.
知2－练
(1)x2－3x－2＋4x－1；
解：x2 －3x－2＋4 x－1
= x2＋(－3x＋4 x)＋(－2－1)
=x2＋(－3＋4)x－3
=x2＋x－3；
找同类项，要连同该项的符号一同标记上
加法的交换律、结合律
合并同类项，没有同类项的项，不能漏掉
知2－练
(2)3a2b－2ab＋2＋2ab－a2b－5.
解：3a2b－2ab＋2＋2ab－a2b－5
=(3a2b－a2b)＋(－2ab＋2ab)＋(2－5)
=(3－1)a2b＋(－2＋2)ab－3
=2a2b－3.
知2－练
3-1.[期末·广州天河区] 下列各式中正确的是( )
A．2x＋2y=4xy
B．3x2 － x2=2
C．3xy － 2xy=xy
D．2x＋4x=6x2
C
知2－练
3-2.[中考·黄冈] 先化简，再求值：4xy－2xy－(－3xy)， 其中x=2，y=－1.
解：4xy－2xy－(－3xy)＝4xy－2xy＋3xy＝5xy.
当x＝2，y＝－1时，原式＝5×2×(－1)＝－10.
知2－练
(1)某中学七年级一班数学活动中分为三个组，第一组有a 人，第二组比第一组的一半多5 人，第三组人数等于前两组人数的和，则第三组有 ______人；
例 4
解题秘方：先根据数量关系列出整式，然后合并同类项得到最后结果.
解：因为第一组有a 人，所以第二组有(a＋5)人.
由a＋ a＋5 =a＋5，可知，第三组有a＋5 人.
(a＋5)
知2－练
(2)一辆公交车原有a 名乘客，到某站后，下去一半乘客，又上来原有乘客数的，此时公交车上乘客人数为___．
解题秘方：先根据数量关系列出整式，然后合并同类项得到最后结果.
解：此时公交车上乘客人数为a－a＋a=a.
a
知2－练
4-1.(1)[期中·咸阳秦都区] 三个连续的偶数，用n 表示
其中最大的一个，那么这三个偶数的和是_______．
(2)某人购置了一套一室一厅的住宅，其中卧室是长为x m，宽为y m的长方形，客厅的面积为卧室的，厨房的面积是卧室的，还有一卫生间，其面积为卧室的，他的住宅总面积为______.
3n－6
4xy m2
知3－讲
知识点
去括号
3
1. 去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 特别地，当括号前没有数字时，看作是“1”或“－1”与括号相乘.
知3－讲
2. 去括号的注意事项
(1)括号内的每一项都包含前面的符号，特别是括号外的数是负数时，注意符号；
(2)不要漏乘括号内的项，特别是常数项.
知3－讲
特别解读
1. 去括号的根据是乘法分配律.
2. 括号内多项式本来是和的形式，所以乘括号外的数所得的结果要相加.
知3－练
去括号：(1)2(0.5－2x)；(2)－4(1－x) .
例 5
解题秘方：直接运用去括号的方法进行化简.
解：(1)2(0 .5 －2x)=2×0 .5－2×2 x=1－4 x；
(2) －4(1－)x =－4×1＋4×x=－4＋2 x.
知3－练
5-1.下列去括号正确的是( )
A. a2－(2a －1)= a2－2a－1
B. a2＋(－2a－3)=a2－2a＋3
C. 3a－[5b－(2c－1)]=3a－5b＋2c－1
D. －(a＋b)＋(c－d)=－a－b－c＋d
C
知3－练
化简：(1)2(2b－3a)＋3(2a－3b)；
(2)－3(2a－3b)－5a＋b；
(3)(x＋)－2(3x－).
例 6
解题秘方：先利用去括号法则去括号，然后再合并同类项.
知3－练
解：(1)2(2b－3a)＋3(2a－3b)＝4b－6a＋6a－9b＝－5b；
(2)－3(2a－3b)－5a＋b=－6a＋9b－5a＋b=－11a＋10b；
(3)(x＋)－2(3x－)=x＋－6x＋=－5x＋.
知3－练
6-1.化简：
(1)－3(2s － 5)＋6s；
(2)3x－[5x－(x－4)]；
解：－3(2s－5)＋6s＝－6s＋15＋6s＝15；
知3－练
(3)6a2－4ab－4(2a2＋ab)；
(4)－3(2x2－xy)＋4(x2＋xy－6).
－3(2x2－xy)＋4(x2＋xy－6)＝－6x2＋3xy＋4x2＋4xy－24＝－2x2＋7xy－24.
[期末·天津河北区]已知2a2－3b＋5 ＝ 0，则9b－6a2＋3 的值为( )
A．18 B．15 C．－12 D．16
例 7
解题秘方：逆用去括号，变化出已知条件，整体代入求值.
知3－练
解：由2a2 －3b＋5 ＝ 0，得2a2 －3b ＝ －5 .9b－
6a2＋3＝－3(2a2 －3b)＋3＝－3×(－5)＋3 ＝ 18 .
A
知3－练
添括号法则(拓展)
类比去括号法则, 可以得到添括号法则，所添括号前面是“＋”, 括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“－”，括到括号里的各项都要改变符号. 简记为“加不变, 减全变”.例a＋b＋c= a＋ (b＋c)；a－b－c=a－(b＋c).
知3－练
7-1. [新考法 整体代入法]若x－3y=4， 则(x－3y)2＋2x－6y－10 的值为_______ ．
14
知3－练
为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100 本供学生阅读，其中甲种读本的价格为10 元/ 本，乙种读本的价格为8 元/ 本，若购买甲种读本m 本.
例 8
解题秘方：先求出购买乙种读本的数量，再求出甲、乙两种读本分别花费的钱数，便可解决问题.
知3－练
(1)购买甲、乙两种读本的总费用是多少？
解：由10m＋8(100－m)=10m＋800－8m=800＋2m，可知购买甲、乙两种读本的总费用为(800 ＋2m)元.
知3－练
(2)甲种读本比乙种读本多花多少钱？
解：由10m－8(100－m)=10m－800＋8m=18m－800，可知甲种读本比乙种读本多花的费用为(18m－800)元.
知3－练
8-1.[期中·鄂州梁子湖区] 某商店有一种商品，每件成本为a 元，原先按成本增加b 元定价出售，售出30 件后，由于库存积压减价，按售价的90% 出售，又销售70 件．
知3－练
(1)该商店销售100 件这种商品的总销售额为多少元？
(2)销售100 件这种商品共盈利了多少元？
解：30(a＋b)＋70(a＋b)×90%＝93a＋93b，
即销售100件这种商品的总销售额为(93a＋93b)元．
93a＋93b－100a＝－7a＋93b，
即销售100件这种商品共盈利了(－7a＋93b)元．
知4－讲
知识点
整式的加减
4
1. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
2. 整式的化简求值的步骤
一化：利用整式加减的运算法则将整式化简.
二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子.
三计算：依据有理数的运算法则进行计算.


知4－讲
特别提醒
整式加减的结果要最简：
1.不能有同类项；
2.含字母项的系数不能出现带分数，带分数要化成假分数；
3.一般不含括号.
知4－练
[母题 教材P101例8]先化简， 再求值：5(3x2y－2xy2)－2(3x2y－5xy2)，其中x=－1，y=3．
例 9
解：原式=15x2y－10xy2 － 6x2y ＋10xy2= 9x2y.
当x=－1，y=3 时，原式= 9×(－1)2×3=27．
知4－练
9-1.[期末·广州荔湾区]先化简，再求值：2(x3 －3xy)－(x － 2y)－(x－3xy＋2x3)，其中x－y=5，xy=．
知4－练
已知A=3x2y＋3xy2＋y4，B=－8xy2－2x2y－2y4 .
求：(1)A－B；(2)A＋B.
例 10
解题秘方：将已知的多项式代入要求的式子中，然后去括号、合并同类项.
知4－练
解：(1)A－B=(3x2y ＋3xy2＋y4)－(－8xy2 －2x2y－2y4)=3x2y ＋3xy2＋y4＋8xy2＋2 x2y ＋2y4= 5x2y ＋11xy2＋3y4.
(2)A＋B=(3x2y＋3xy2＋y4)＋(－8xy2－2x2y－2y4)=3x2y ＋3xy2＋y4－4 xy2 －x2y－y4=2x2y－xy2 .
提醒：要带上括号
知4－练
10-1.已知A=x－y＋2，B=x－y－1.
(1)求A－2B；
知4－练
(2)若3y－x=2，求A－2B 的值.
知4－练
有一道题：“先化简，再求值：17 x2－(8x2＋5x)－(3x2＋x－3)＋(－5x2＋6x－1)－3，其中x=－2024 .”小明做题时把“x=－2 024”错抄成了“x=2024”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因.
例 11
解题秘方：将多项式进行化简后，再根据化简结果说明原因.
知4－练
解：17x2－(8x2＋5x)－(3x2＋x－3)＋(－5x2＋6x－1)－3
=17x2 －8x2 －5 x－3x2 －x＋3－5 x2＋6x－1－3
=x2 －1.
因为当x=－2024 和x=2024 时，x2－1 的值相等，所以小明将x=－2024 错抄成x=2024，计算的结果却是正确的.
知4－练
11-1. 有这样一道题：“当x=－2 023，y=2 024时，求多项式7x3－6x3y＋3(x2y ＋ x3＋ 2x3y)－(3x2y＋10x3)的值”. 有一名同学看到x，y 的值就怕了，你能帮他解决这道题吗？
知4－练
解：原式＝7x3－6x3y＋3x2y＋3x3＋6x3y－3x2y－10x3＝
(7x3＋3x3－10x3)－(6x3y－6x3y)＋(3x2y－3x2y)＝0.
因为所得结果与x，y的值无关，
所以无论x，y取何值，多项式的值都是0.
知4－练
某小区有一块长为40 m、宽为30 m 的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图4.2－1 的“十”字形花圃，在花圃内种花，其余部分种草.
例 12
解题秘方：解本题的关键是用整式表示出花圃的面积.
知4－练
(1)求花圃的面积；
解：依题意，得40x＋30x－x2=70x－x2，即花圃的面积为(70x－x2)m2 .
知4－练
(2)若建造花圃及种花的费用为每平方米100 元，种草的费用为每平方米50 元，则美化这块空地共需多少元？
解：依题意，得100(70x－x2)＋50［30×40－(70x－
x2)］=7000x－100x2＋ 60000 －3500 x＋50x2= －
50 x2＋3500x＋60000，即美化这块空地共需(－50x2＋3500x＋60000)元.
知4－练
12-1. 如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案(阴影部分)，设剪去的两个小直角三角形的
两直角边长分别为x，y，剪去的小长
方形的长和宽也分别为x，y.
知4－练
(1)求“囧”字图案的面积S(用含a，x，y 的式子表示)；
知4－练
(2)当a=20，x=5，y=4 时，求S 的值.
解：当a＝20，x＝5，y＝4时，S＝202－2×5×4＝400－40＝360.
整式的加法与减法
整式的加减
计算
法则
合并同类项
同类项
去括号
顺序
[新考法 逆向思维法]老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下： ＋2(a2－4ab＋4b2)＝3a2＋2b2．求所捂的多项式.
题型
整式的加减运算
1
例 13
解题秘方：根据“加式= 和－另一个加式”求解.
解：根据题意，得(3a2＋2b2)－2(a2－4ab＋4b2)=
3a2＋2b2－2a2＋8ab－8b2=a2＋8ab－6b2 .
故所捂的多项式为a2＋8ab－6b2 .
特别解读
解决问题的过程中，要把每一个多项式看成一个整体来寻找关系.书写时，通常把多项式放在括号里.
已知(a＋2)2＋｜b＋3｜=0，求3a2b－［2a2b－(3ab－a2b－4a2)］－2ab 的值.
题型
整式的化简求值
2
例 14
思路引导：
解：因为(a＋2)2＋｜b＋3｜=0，且(a＋2)2 ≥ 0，｜b＋3｜≥ 0，所以a＋2=0 且b＋3=0，
解得a=－2，b=－3.
原式=3a2b－2a2b＋3ab－a2b－4a2－2ab
=(3a2b－2a2b－a2b)＋(3ab－2ab)－4a2
=－4a2＋ab=－4×(－2)2＋(－2)×(－3)
=－4×4＋6=－10.
思路点拨
本题没有直接给出a与b的值，需根据已知条件先求出a与b的值.一个数的绝对值与平方都是非负数，已知两个非负数的和为0 ，则这两个非负数必须同时为0，这样可求出a 与b的值.
亮亮在计算多项式A 减多项式2b2－3b－5 时，因一时疏忽忘了将两个多项式用括号括起来，得到的结果是b2＋3b－1．
例 15
题型
整式加减的纠错问题
3
解题秘方：先利用错误的解法求出A，再正确列式计算并求值.
(1)求这个多项式A；
解：A=(b2＋3b－1)＋(2b2＋3b＋5)
=b2＋3b－1＋2b2＋3b＋5
=3b2＋6b＋4.
(2)求这两个多项式相减的正确结果，并求b ＝ －1 时正确结果的值．
解：(3b2＋6b＋4)－(2b2－3b－5)
=3b2＋6b＋4－2b2＋3b＋5
=b2＋9b＋9．
当b=－1 时，原式=(－1)2＋9×(－1)＋9=1－9＋9=1．
解题通法
对于这种纠错问题，可以先“将错就错”，通过错误的结果求得未知的多项式，然后再列出正确的算式进行计算.
已知有理数a，b 对应的点在数轴上的位置如图4 .2－2，
化简|2－3b|－2|2＋b|＋|a－2|－|3b－2a|.
题型
去绝对值符号问题
4
例 16
思路引导：
解：观察数轴可知，1所以2－3b>0，2＋b<0，a－2<0，3b－2a<0.
所以|2－3b|－2|2＋b|＋|a－2|－|3b－2a|
=2－3b－2(－2－b)＋(－a＋2)－(－3b＋2a)
=2－3b＋4＋2b－a＋2＋3b－2a=－3a＋2b＋8.
方法点拨
1. 去绝对值符号的关键是判断绝对值符号内式子的正负性.
2. 化简含有绝对值式子的关键步骤：
(1)去绝对值符号；
(2)去括号；
(3)合并同类项.
易错点
列式计算时易忘记带括号而出错
已知多项式x2－xy＋y2 与另一个多项式的和
是－y2＋xy，求另一个多项式.
例 17
错解：y2＋xy－x2－xy＋y2=－y2＋xy－x2.
正解：(－y2＋xy)－(x2－ xy＋ y2)=－ y2＋ xy－x2＋ xy－ y2=－x2＋xy－y2.
即另一个多项式是－x2＋xy－y2 .
诊误区：
当多项式参与列式计算时，作为一个整体应给多项式带上括号，再结合去括号、合并同类项进行计算.
考法
代数式的意义
1
[中考·宜宾] 下列计算正确的是(　　)
A．4a－2a=2 B．2ab＋3ba=5ab
C．a＋a2=a3 D．5x2y－3xy2=2xy
试题评析：本题考查同类项的辨析以及合并同类项的方法，题目难度较小.
B
例18
解：A．4a－2a ＝(4－2)a ＝ 2a，则A 不符合题意；
B．2ab＋3ba ＝(2＋3)ab ＝ 5ab，则B 符合题意；
C．a 与a2 不是同类项，无法合并，则C 不符合题意；
D．5x2y 与3xy2 不是同类项，无法合并，则D 不符合题意.
考法
用代数式表示数量关系
2
[中考·广安] 若x2－2x－3=0，则2x2－4x＋1=_____．
7
例19
试题评析：本题考查逆用去括号变形后，整体代入求整式的值，难度较小.
解：由x2－2x－3= 0，得x2 －2x=3. 故2x2 －4x＋1=2(x2－2x)＋1=2×3＋1=7.
考法
整式的加减计算
3
[中考·包头] 若一个多项式加上3xy＋2y2－8，结果得2xy＋3y2－5，则这个多项式为 __________.
例20
试题评析：本题考查整式的加减法，能根据题意列出算式是解答本题的关键.
解：由题意得，这个多项式为(2xy＋3y2－5)－(3xy＋2y2 －8)=2xy＋3y2－5－3xy－2y2＋8=y2 －xy＋3．
y2 －xy＋3
考法
利用整式的加减解决实际问题
4
[中考·温州] 某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17 立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米(a＋1.2)元. 该地区某用户上月用水量为20 立方米，则应缴水费为( )
A. 20a 元 B.(20a＋24)元
C.(17a＋3.6)元 D.(20a＋3.6)元
D
例21
试题评析：此题考查列式及整式的加减，掌握收费的分段以及总费用的求法是解决问题的关键．
解：根据题意，得17a＋(20－17)(a＋1.2)=
20a＋3.6(元).故应缴水费为(20a＋3.6)元.
1. [中考·上海]下列单项式中，a2b3 的同类项是( )
A. a3b2
B. 3a2b3
C. a2b
D. ab3
B
2. 下列去括号错误的是(　　)
A．a－(b＋c)=a－b－c
B．a＋(b－c)=a＋b－c
C．2(a－b)=2a－b
D．－2(a－2b)=－2a＋4b
C
3. [新考法整体代入法中考·潍坊]若m2＋2m=1，则4m2＋8m－3 的值是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
D
4. 某校组织若干师生进行社会实践活动．若学校租用45 座的客车x 辆，则余下12 人无座位；若租用60 座的客车则可少租用1 辆，且最后一辆还没坐满，则乘坐最后一辆60 座客车的人数是( )
A．72－15x B．132－15x
C．72＋15x D．132－60x
B
5. [中考·苏州] 若单项式2 xm－1y2 与单项式x2yn＋1 是同类项，则m＋n=______．
4
6. [中考·德阳] 若一个多项式加上y2＋3xy－4，结果是3xy＋2y2－5，则这个多项式为_______ .
y2－1
7. [母题 教材P103习题T7]某三角形的第一条边长是3m＋2n，第二条边长比第一条边长短m，第三条边长是m＋4n，则该三角形的周长是________ .
6m＋8n
8. 若多项式2x3 －8x2＋x－1 与多项式3x3＋2mx2 －5x＋3 相加后不含二次项，则m 的值为______．
4
9. 先化简，再求值：5 x2y－3xy2 －7(x2y－)xy2 ，其中x=2，y=－1.
解：原式＝5x2y－3xy2－7x2y＋2xy2＝－2x2y－xy2.
当x＝2，y＝－1时，原式＝－2×22×(－1)－2×(－1)2＝8－2＝6.
10. 小刚由于粗心，把“A＋B”看成了“A－B”，算出的结果为－5x2＋9x＋12，其中B=4x2 －7x－ 6，请求出A＋B 的正确结果．
解：因为A－B＝－5x2＋9x＋12，B＝4x2－7x－6，所以A＝(－5x2＋9x＋12)＋(4x2－7x－6)＝－x2＋2x＋6.
所以A＋B＝(－x2＋2x＋6)＋(4x2－7x－6)＝3x2－5x.
11. 有理数a，b，c 对应的点在数轴上的位置如图，化简：|a－c|－|b|－|b－a|＋|b＋a|.
解：由题图可知，|c|>|a|>|b|，且a<0所以|a－c|＝c－a，|b|＝b，|b－a|＝b－a，
|b＋a|＝－a－b.
所以原式＝c－a－b－(b－a)＋(－a－b)＝
c－a－b－b＋a－a－b＝c－3b－a.
12.[期中·武汉江汉区] A，B 两市盛产柑橘，国庆期间，A 市有柑橘240 t，B 市有柑橘260 t，现将这些柑橘全部运到C，D 两个市场．C 市场需200 t，D 市场需300 t．从A 市运往C，D 两个市场的费用分别为20 元/t 和30 元/t，从B 市运往C，D 两个市场的费用分别为24 元/t 和32元/t．设从A 市运往C 市场的柑橘重量为x t．
(1)请用含x 的式子表示：
① 从A 市运往D 市场的柑橘重量为_________t；
② 从B 市运往D 市场的柑橘重量为_________ t.
(240－x)
(60＋x)
(2)求整个运输所需的总费用(用含x 的式子表示)．
解：根据题意，得20x＋30(240－x)＋24(200－x)＋32(60＋x)＝13920－2x，即整个运输所需的总费用为(13920－2x)元．(共40张PPT)
第四章 整式的加减
章末核心要点分类整合
1. 整式是单项式和多项式的统称.
2. 单项式中的数字因数是单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和是单项式的次数.
3. 多项式是几个单项式的和，每个单项式是多项式的项，次数最高项的次数是多项式的次数.
4. 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，合并同类项的法则是将系数相加，字母及字母的指数不变.
5. 去括号的根据是分配律.
6. 整式的加减主要有两步：
第一步是去括号，注意括号前的符号及变号法则；
第二步是合并同类项.
专 题
整式的相关概念
1
链接中考 >> 整式的相关概念中，主要考查单项式的系数与次数、多项式的项和次数几个重要的概念，多以选择题的形式出现.
[期末·上海崇明区] 下列说法正确的是(　　)
A．－的系数是－2
B．32ab3 的次数是6
C．是多项式
D．x2＋x－1 的常数项为1
例 1
解题秘方：根据单项式次数、系数的定义，以及多项式的有关概念解答即可．
解：A.－的系数是－，故A 错误.
B.3 2ab3 的次数是1＋3=4，故B 错误.
C. 根据多项式的定义知，是多项式，故C 正确.
D.x2＋x－1 的常数项为－1，而不是1，故\D 错误.
答案：C
方法点拨：
1. 单项式的系数是单项式中的数字因数，包括前面的符号，只有字母的单项式系数为1或－1；单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，与系数的指数无关.
2 . 几个单项式的和是多项式，组成多项式的每一个单项式都是它的项，每一项都包括前面的符号，不含字母的项是常数项.
专 题
同类项
2
链接中考 >> 同类项是本章的核心知识点，它是整式加减的关键所在，对同类项概念的考查是中考常考的知识点，多以填空、选择题的形式考查.
如果单项式－xyb＋1 与xa－2y3 是同类项，那么(a－b)2024= _____.
例 2
1
解题秘方：先用同类项的定义求出待定字母的值，再求式子的值.
解：因为单项式－xyb＋1 与xa－ 2y3 是同类项，
所以a－2=1，b＋1=3，
所以a=3，b=2 .
所以(a－b)2024=(3－2)2024=12024=1.
方法点拨：关于同类项的定义，理解时要把握两个“相同”：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数也相同. 运用时也要把握两点：(1)根据定义识别给出的单项式是不是同类项；(2)若是同类项，则它们所含字母相同，相同字母的指数也相同.
专 题
整式的加减
3
链接中考 >> 整式的加减就是对单项式和多项式进行的加减运算，运用的主要知识就是去括号和合并同类项.考查的形式主要以解答题为主.
[期中·滨州邹平市]已知整式A=6x＋4y－5，A－B ＝ 3x＋2y－2．
(1)求整式B.
例 3
解： 因为A－B = 3 x ＋ 2 y － 2 ，A= 6 x＋4y－5，
所以B=A－(3 x＋2y－2)=(6 x＋4y－5)－(3 x＋2y－2)
= 6 x＋4y－ 5 －3x－2y ＋2= 6 x－3x＋4y－2y－ 5 ＋2
=3x＋2y－3.
解题秘方：根据整式的加减运算求出B=A－(3 x＋2y－2)，再将A= 6 x＋4y－5 代入计算即可；
(2)请问A－2B 的值是否与x，y 的取值有关？试说明理由．
解： A－2B 的值与x，y 的取值无关. 理由如下：
因为A－2B= 6 x＋4y－ 5 －2(3 x＋2y－3)=
6 x＋4y－ 5 － 6 x－4y ＋6
=(6 x－ 6 x)＋(4y－4y)＋(－ 5 ＋6)=1，
所以A－2B 的值与x，y 的取值无关．
解题秘方：根据整式的加减运算求出A－2B的值判断即可.
方法点拨：整式加减运算题目中，每个整式都是一个整体，列式时要加括号，然后再去括号合并同类项计算，常与求值相结合.
专 题
利用整体思想求整式的值
4
专题解读 > > 当待求整式中字母的值未知或不能求出时，可以把含有字母的部分和已知条件看作一个整体，寻找它们之间的倍分关系，逆用去括号变形，然后整体代入，这种求整式值的思想称为整体思想.
[中考·十堰]当x=1 时，ax＋b＋1 的值为－2，则(a＋b－1)(1－a－b)的值为( )
A. －16 B. －8 C. 8 D. 16
例 4
解题秘方：通过观察可以发现，把x=1代入ax＋b＋1=－2，可以得到a＋b 的值，然后运用整体思想即可求解.
解：当x=1 时，ax＋b＋1=a＋b＋1=－2，则a＋b=－3.
所以(a＋b－1 )(1 －a－b)=(a＋b－1 )［1 －(a＋b)］=(－3－1)×［1－(－3)］= －4×4 =－16 .
A
方法点拨：本题无法直接求出a，b 的值，可将a＋b 看作一个整体，求出a＋b 的值，然后把要求值的式子转化为含有已知整体的形式，再代入求值.
专 题
数形结合思想
5
专题解读 >> 用数形结合思想解题时，注意把数和形结合起来,根据具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化.
有理数x，y 在数轴上对应的点的位置如图4－1 所示，试化简|y－x|－3|y＋1|－|x|.
例 5
解题秘方：依据x，y 在数轴上对应的点的位置确定x，y 的大小，在此基础上化简给出的式子．
解：根据数轴可知，x>0，y <－1，所以|y－x|=x－y，|y ＋1|=－1－y，|x|=x.所以|y－x|－3|y ＋1|－|x|=x－y ＋3＋3y－x=2y ＋3．
方法点拨：本题运用了数形结合思想 .解答此类题应先确定绝对值符号中式子的正负，再去绝对值符号.
类 型
整式的运算
1
[新考法 新定义运算法对于有理数a，b，定义a ⊙ b ＝ 2a－b，则(x＋y)⊙(x－y)化简后得________.
1
x＋3y
已知A=x2－2x＋1，B=2x2－6x＋3. 求：
(1)A＋2B；
(2)2A－B.
2
解：A＋2B＝x2－2x＋1＋2(2x2－6x＋3)＝x2－2x＋1＋4x2－12x＋6＝5x2－14x＋7；
2A－B＝2(x2－2x＋1)－(2x2－6x＋3)＝2x2－4x＋2－2x2＋6x－3＝2x－1.
某同学做一道数学题：“已知两个多项式A，B，B=4x2－5x－6， 试求A－B.” 这名同学把“A－B”看成了“A＋B”，结果求出的答案是7x2－10x－12，那么A－B 的正确答案是多少？
3
解：由题意知，A＋B＝7x2－10x－12，B＝4x2－5x－6，所以A＝(7x2－10x－12)－(4x2－5x－6)＝3x2－5x－6.
故A－B＝(3x2－5x－6)－(4x2－5x－6)＝－x2.
[中考·苏州] 若a=b＋2，则(b－a)2= _______.
5
4
先化简，再求值：(－4x2＋2x－8)－(x－1)，其中x=.
4
类 型
化简求值
2
6
已知单项式axb3 与－2aby 是同类项， 求2x－y＋(2y2－x2)－(x2＋2y2)的值.
解：因为单项式axb3与－2aby是同类项，
所以x＝1，y＝3.
所以原式＝2x－y＋2y2－x2－x2－2y2＝2x－y－2x2＝
2×1－3－2×12＝－3.
已知a2－a－4=0，求4a2－2(a2－a＋3)－(a2－a－4)－4a 的值．
7
解：原式＝4a2－2a2＋2a－6－a2＋a＋4－4a＝a2－a－2.
因为a2－a－4＝0，所以a2－a＝4.
所以a2－a－2＝4－2＝2.
已知多项式2x2＋my－12 与多项式nx2－3y＋6的差中不含有x，y，求m＋n＋mn 的值.
8
解：(2x2＋my－12)－(nx2－3y＋6)＝(2－n)x2＋(m＋3)y－18.
因为两个多项式的差中不含有x，y，所以2－n＝0，m＋3＝0.
所以n＝2，m＝－3.故m＋n＋mn＝－3＋2＋(－3)×2＝－7.
[模拟·邯郸武安市] 一道求值题被不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简(□m2＋3m－4)－(3m＋4m2－2)，其中m=－1．系数“□”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“□”中的数值看成2，求上述代数式的值；
9
解：原式＝2m2＋3m－4－3m－4m2＋2＝－2m2－2.
当m＝－1时，原式＝－2×(－1)2－2＝－2－2＝－4.
(2)若m 任取一个数，这个代数式的值都是－2，请通过计算帮助嘉嘉确定“□”中的数值．
解：设□中的数值为x，则原式＝xm2＋3m－4－3m－4m2＋2＝(x－4)m2－2.因为无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是－2，所以x－4＝0.所以x＝4.故“□”中的数是4.
已知| m＋n－2 |＋(mn＋3)2=0，求2(m＋n)－2［mn＋(m＋n)］－3［2(m＋n)－3mn］的值.
10
解：由已知条件知m＋n＝2，mn＝－3，
原式＝2(m＋n)－2mn－2(m＋n)－6(m＋n)＋9mn＝－6(m＋n)＋7mn＝－12－21＝－33.
已知有理数a，b，c 在数轴上对应的点的位置如图，化简：|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b＋c|.
11
类 型
整式与绝对值化简
3
解：由数轴可知a＜b＜0，c＞0，|c|＜|b|.
所以|a|＝－a，|a＋b|＝－a－b，|c－a|＝c－a，|b＋c|＝－b－c.
所以原式＝－a＋a＋b＋c－a－b－c＝－a.
数轴上点A 对应的数为a，点B 对应的数为b，且多项式x3y－2xy＋5 的二次项系数为a，常数项为b．
(1)直接写出：a=_______，b=_______；
－2
12
5
(2)数轴上点A，B 之间有一动点P，若点P 对应的数为x，试化简|2x＋4|＋2|x－5|－|6－x|.
解：依题意，得－2＜x＜5，
则|2x＋4|＋2|x－5|－|6－x|＝2x＋4＋2(5－x)－(6－x)＝2x＋4＋10－2x－6＋x＝x＋8.
[新考法 特征数表示法]小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中用方框在月历中移动时方框中数的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…排成下表，并用一个十字框框住其中的五个数，请你仔细观察十字框中的数的
规律，并回答下列问题：
13
类 型
规律探索
4
(1)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
(2)设中间的数为x，用式子表示十字框中的五个数的和；
解：十字框中的五个数的和为6＋14＋16＋18＋26＝80＝16×5，即是16的5倍．
十字框中的五个数的和为(x－10)＋(x＋10)＋(x－2)＋(x＋2)＋x＝5x.
(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于2 030 吗？如果能，写出这五个数；如果不能，说明理由．
解：这五个数的和能等于2 030.假设能框出满足条件的五个数，则由(2)易知中间的数为2 030÷5＝406，所以这五个数分别为396，404，406，408，416.
随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择. 下表是某市某品牌网约车的收费标准.
起步费：10 元里程费：超过3 千米后超过部分2 元／千米
远途费： 超过10 千米后超过部分加收0.4 元／千米
时长费：超过10 分钟后超时部分0.6 元／分钟
例：乘车里程为20 千米，行车时间30 分钟，费用为10＋2×(20－3)＋0.4×(20－10)＋0.6×(30－10)=60(元).
请回答以下问题：
14
类 型
整式加减的实际应用
5
(1)小伍同学家到学校的路程是10 千米，如果选该品牌网约车大概需要18 分钟，车费为______元.
(2)周末小伍有事外出乘坐该品牌网约车，行车里程为a(a>10) 千米， 行车时间为b(b>10) 分钟， 小伍需要付的车费是多少元？
28.8
因为a>10，b>10，
所以小伍需要付的车费为10＋2(a－3)＋0.4(a－10)＋0.6(b－10)＝10＋2a－6＋0.4a－4＋0.6b－6＝(2.4a＋0.6b－6)(元)．
(3)放假期间小伍与小邱同学相约到其所在市某景点游玩(汽车市区内限速40 千米／时)，各自从家里出发，他们都选择该品牌网约车，行车里程分别为18 千米与21 千米， 小伍比小邱的乘车时间多14 分钟，请你说明谁付的车费多.
所以小伍的车费－小邱的车费＝2.4×18＋0.6b1－6－(2.4×21 ＋0.6b2－6)＝2.4×18＋0.6b1－6－2.4×21－0.6b2＋6＝2.4×(18－21)＋0.6(b1－b2)＝2.4×(－3)＋0.6×14＝－7.2＋8.4＝1.2(元)．
因为1.2>0，所以小伍付的车费多．(共19张PPT)
第四章 整式的加减
重点题型 整式加减的应用
题 型
实际问题
1
1. 某市专营海尔家电的经销商采购了A，B两种型号的空调各40 台，60 台，计划在暑期来临时分配给甲，乙两家商场销售．调配员根据市场需求制作了如下的调配表格(单位：台)
A B 合计
甲商场 x 70
乙商场 30
合计 40 60 100
(1)设调配给甲商场x 台A 型号空调，请你根据题意补全上面的调配表格；
70－x
A B 合计
甲商场 x 70
乙商场 30
合计 40 60 100
40－x
x－10
解：由题意，补全表格如表：
(2)若两家商场销售这两种型号的空调每台的利润如下表(单位：元)，求两家商场全部卖出这100 台空调共能获得多少元利润？(用含x的式子表示)
A B
甲商场 500 400
乙商场 450 300
解：500x＋400(70－x)＋450(40－x)＋300(x－10)
= 500 x＋28000－400 x ＋ 18000－450x＋300x－3000
= 500 x－400x－450 x ＋300 x＋28000 ＋18000－3000
=－50x＋43000 .
答：共能获得(－50x＋43000)元利润.
题 型
面积问题
2
2 . 现将边长为x 的正方形和长与宽分别为x，2 的长方形按如图1 所示的方式平放在一起.
(1)求图中阴影部分的面积(用含x 的式子表示)；
解：图中阴影部分的面积=
×2×(x＋x)＋x2=x＋ x2．
(2)求图中空白部分的面积(用含x 的式子表示).
解：图中空白部分的面积=
x2＋2×x－(x＋x2) =x2－x.
题 型
数字问题
3
3. 在数学课上，老师给出几个关于三位数的运算式子：782－287=99×(7－2)，876－678 = 99×(8－6)，986－689 = 99×(9－6)，745－547= 99×(7－5)，536－635 = 99×(5－6)，….
(1)张同学经过观察，提出一个猜想：把一个三位正整数的百位上的数与个位上的数交换位置，十位上的数不变，原数与所得数的差等于___________________________
____________．(请将他的猜想补充完整)
99 乘原数的百位上的数与个位
上的数的差
(2)请通过整式的运算说明猜想的正确性.
解：设一个三位正整数的百位上的数为a，十位上的数为b，个位上的数为c，则该三位正整数为10 0a＋10b＋c，新三位正整数为10 0 c ＋10b＋a.
因为10 0a＋10b＋c－(100 c ＋10b＋a)
=100a＋10b＋c－100 c－10b－a
= 99a－99 c= 99(a－c)，所以猜想正确.
(3)已知一个五位正整数的万位上的数为m，个位上的数为n，把万位上的数与个位上的数交换位置，其余数位上的数不变，试说明原数与所得数的差一定能被9999整除.
解：原数与所得数的差=10000m＋n－(10000n＋m)=
10 000m＋n－10000n－m= 9999m－9999n= 9999(m－n),
所以原数与所得数的差一定能被9999整除．
题 型
规律问题
4
4. 在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动，对依次排列的两个整式m，n 按如下规律进行操作：
第1 次操作后得到整式串：m，n，n－m；
第2 次操作后得到整式串：m，n，n－m，－m；
第3 次操作后得到整式串：m，n，n－m，－m，－n；……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2 025 次操作后得到的整式串各项之和是(　　)
A．m＋n B．m C．n－m D．2n
C
解：第4 次操作后得到整式串：m，n，n－m，－m，－
n，－n＋m；
第5 次操作后得到整式串：m，n，n－m，－m，－n，－n＋m，m；
第6 次操作后得到整式串：m，n，n－m，－m，－n，－n＋m，m，n；
第7 次操作后得到整式串：m，n，n－m，－m，－n，－n＋m，m，n，n－m；
……
归纳可得，所得整式串每6 个为一个循环．每6 个整式之和为m＋n＋(n－m)＋(－m)＋(－n)＋(－n＋m)= 0 .
易知第2 0 2 5 次操作后得到2027 个整式，2027÷6 =
337……5，所以第2025 次操作后得到的整式串之和为
m＋n＋(n－m)＋(－m)＋(－n)=n－m．
题 型
新定义问题
5
5. 定义：若a＋b ＝ 2，则称a 与b 是关于1 的平衡数．
(1)3与______是关于1 的平衡数，5－x 与______是关于1 的平衡数．(用含x 的代数式表示)
－1
x－3
解：设3 关于1 的平衡数为m，则3＋m=2，解得m=－1，
所以3 与－1 是关于1 的平衡数.设5－x 关于1 的平衡数为n， 则5－x＋n=2，解得n=2－(5－x)=x－3，所以5－x 与x－3 是关于1 的平衡数.
(2)若a=2x2－3(x2＋x)＋4，b=2x－[3x－(4x＋x2)－2]，判断a 与b 是否是关于1 的平衡数，并说明理由．
解：a 与b 不是关于1 的平衡数. 理由如下：因为a=
2x2－3(x2＋x)＋4，b=2x－[3x－(4 x＋x2)－2 ]，所以a＋b=2x2－3(x2＋x)＋4＋2 x－[3x－(4x＋x2)－2 ] = 2x2－3x2－3x ＋4＋2x－3x＋4 x＋x2＋2=6 ≠2 .所以a 与b 不是关于1 的平衡数．(共65张PPT)
4.1 整式
第四章 整式的加减
知识点
代数式
知1－讲
1
1. 单项式 由数或字母的积组成的式子叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.

知1－讲
2. 单项式的系数与次数
(1)系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.
特别提醒：①单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关；
②当单项式的系数为1 或－1 时，通常省略不写；
③“π”是数而不是字母，含有“π”的单项式中，系数包括“π”.



知1－讲
(2)次数：单项式中所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.


知1－讲
特别提醒：① 单项式的次数仅与字母的指数有关，与系数的指数无关；
②若单项式的某个字母没写指数，实际上这个字母的指数为1，计算时不要遗漏；
③对于一个非零的数，规定它的次数为0 .
知1－讲
特别解读
1. 数或字母的积包含：数与数的积、数与字母的积、字母与字母的积.
2. 当字母出现在分母或作除数时，不是积的形式，所以不是单项式；但是数字出现在分母中时，看作分数因数，不影响单项式的判定.
知1－练
例 1
找出下列各式中的单项式，并写出单项式的系数和次数.
(1)－m；(2) －；(3)；(4)(a＋b)h；(5)23xy3；(6)πr2 .
解题秘方：利用单项式的定义及单项式中系数和次数的定义解决问题.
解：单项式：(1)(2)(5)(6).
这些单项式的系数分别是－1，－，8，π.这些单项式的次数分别是1，2，4，2 .
知1－练
1-1.下列说法正确的是( )
A.2πx2 的次数是3
B. 的系数是3
C. x 的系数是0
D. 8 是单项式
D
知1－练
1-2. 新视角 结论开放题请写出一个系数是－2 024，并且含字母x，y 的三次单项式：_____________________ .
－2 024x2y(或－2 024xy2)　
知1－练
已知2kx2yn 是关于x，y 的一个单项式，且系数是7，次数是5, 那么k=______，n=______ .
例 2
解题秘方：根据单项式的次数和系数的确定方法求值.
解：由单项式的次数是5，可知x，y 的指数和为5，即2＋n= 5，所以n=3.
由单项式的系数是7，可知2 k =7，所以k =.
3
知1－练
2-1.已知(a－1)·x2ya＋1是关于x，y 的五次单项式，则这个单项式的系数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
A
知2－讲
知识点
多项式
2
1. 多项式：几个单项式的和叫作多项式.
一个式子是多项式需具备两个条件：
(1)式子中含有运算符号“＋”或“－”；
(2)分母中不含有字母.


知2－讲
2. 多项式的项：在多项式中， 每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式.
3. 多项式的次数：多项式里， 次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数.
4. 确定了多项式的次数和项数后，这个多项式常被称为“几次几项式”.







知2－讲
特别提醒
1. 多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念.
2. 在识别多项式的项时，应包含前面的符号，尤其注意项的符号为负号的情况.
3. 单项式的次数是所有字母指数的和，而多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，二者不能混淆.
知2－练
多项式a3b3－4ab4－b－的最高次项是什么？一次项系数是什么？常数项是什么？它是几次几项式？
例 3
解题秘方：利用多项式的项及次数的定义进行辨析.
解：这个多项式的最高次项是a3b3，一次项系数是－1，常数项是－，它是六次四项式.
知2－练
3-1.[期中·重庆九龙坡区] 关于多项式x2y2－2x2y－xy＋4，下列说法错误的是( )
A． 该多项式是四次四项式
B．二次项的系数为－1
C． 该多项式不含一次项
D．三次项为2x2y
D
已知式子3xn－(m－1)x＋1 是关于x 的三次二项式，求m，n 的值．
例 4
解题秘方：直接利用多项式的次数与项数的确定方法分析得出答案．
解：因为3xn－(m－1)x＋1 是关于x 的三次二项式，
所以n=3，m－1= 0.所以m=1，n=3．
4-1. 若多项式(a－2)·x4－xb－x2＋3 是关于x 的三次多项式，则a＋b=_______．
5
知3－讲
知识点
整式
3
1. 定义：单项式与多项式统称整式.
2. 整式、单项式、多项式之间的关系
知3－讲
特别解读
1. 单项式是整式.
2.多项式是整式.
3. 如果一个式子既不是单项式又不是多项式，如：分母中含有字母的式子，那么它一定不是整式.
知3－练
[母题 教材P93练习T1]下列代数式中那些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中：
，，－y，π(x2－y2)，a2，7x－1，9a2＋－2 .
例 5
解题秘方：紧扣单项式、多项式及整式的概念进行解题.
知3－练
单项式 多项式 整式
， a2
－y，π(x2－y2)， 7x－1
， a2， －y， π(x2－y2)， 7x－1
知3－练
5-1. 在代数式：－8，－，2a2＋3a－1，，，0 中，下列结论正确的是( )
A. 有3 个单项式，3 个多项式
B. 有5 个单项式，1 个多项式
C. 有4 个单项式，2 个多项式
D. 有5 个整式
D
整式
整式
单项式
次数
多项式
系数
项数
把下列代数式分别填入下表适当的位置：3a，，，9＋，5，－xy，a2－2ab＋1，.
题型
利用整式的概念进行分类
1
例 6
代数式 整式 单项式
多项式
非整式 3a， 5，－xy，
， a2－2ab＋1
， 9＋
思路引导：
思路点拨
1. 寻找整式时，先排除分母中有字母的式子.
2. 整式中若含有“＋，－”运算符号，则是多项式，否则是单项式.
用整式填空，并指出它们的次数，是多项式的指出各项，是单项式的指出系数.
题型
利用整式的概念进行辨析
2
解题秘方：根据数量关系式或几何公式建立整式，再判断是单项式还是多项式.
例 7
(1)真实情境题 体育赛事2024 年4 月21 日，安阳马拉松赛燃情开跑，为防止选手个人信息泄露，马拉松参赛选手随身穿戴的计时芯片会把选手参赛号码利用公式加密后上传，某选手参赛号码为1626，如果加密公式为选手参赛号码乘以n 再加6，则利用公式加密后上传的数据为_________.
1626n＋6
次数为1，项分别是1626n，6
(2)圆柱体的底面半径为a，高为h，体积为__________ .
πa2h
次数为3，系数为π.
(3)[新考向 数学文化]鸡兔同笼是我国古代的一道著名的数学问题，记载于《孙子算经》中，若笼中有m 只鸡与n 只兔，则共有________条腿．
(2m＋4n)
次数为1，项分别是2m，4n．
(4)“x 的3 倍与y 的立方的差”用代数式表示为_______．
3x－y3
次数为3，项分别是3x，－y3．
特别提醒
1. 单项式的次数只与字母的指数有关，与数字的指数无关，这是判断多项式次数的基础.
2. 项以及系数的判断都要包含前面的符号.
已知多项式－8x2ym＋2－xy3＋x 是关于x，y 的七次多项式，关于x，y 的单项式6x2nym＋2 与该多项式的次数相同，求(n－m)3的值.
题型
利用整式的概念求值
3
例 8
思路引导：
解题通法
先由整式的次数条件判断出相关字母的值，然后再将字母的值代入相关整式计算即可.
解：因为多项式－8x2ym＋2－xy3＋x 是关于x，y 的七次多项式，
所以2＋m＋2=7，易得m=3.
因为关于x，y 的单项式6x2nym＋2 与该多项式的次数相同，
所以2n＋m＋2=2n＋3＋2=7，易得n=1.
所以(n－m)3= (1－3)3=(－2)3=－8.
[期中·无锡惠山区]如果(m＋3)x2y－(|m|－3)xy－是关于x，y 的三次二项式，则m ＝_______．
思路引导：
例 9
解：因为(m＋3)x2y－(|m|－3)xy－是关于x，y 的三次二项式，所以－(|m|－3)=0，m＋3 ≠ 0，所以m=3.
3
方法点拨
使多项式不含某一项的方法是让该项的系数为0，多用于实际项数比表现项数少的情况.
[新视角 创新探究题]如图4 .1-1，若一个表格的行数代表整式的次数，列数代表整式的项数
(规定单项式的项数为1)，那么每个整
式均会对应表格中的某个小方格．若
关于x 的整式A 是三次二项式，则A 对
应表格中标★的小方格.
题型
利用整式的概念解决探究性问题
4
例10
已知B 是关于y 的整式，下列说法正确的有_______(写出所有正确的序号).
①若B 对应的小方格行数是4，则A＋B 对应的小方格行数一定是4；
②若A＋B 对应的小方格列数是5，则B 对应的小方格列数一定是3；
③若B 对应的小方格列数是3，且A＋B 对应的小方格列数是5，则B 对应的小方格行数不可能是3．
①③
解题秘方：A＋B 的次数由A 和B 中次数最高的项决定，项数最高为A 和B 的项数和.
解：① A 在第3 行，表示A 中最高次数是3 次，B 在第4 行，表示B 中最高次数是4 次，
所以A＋B 中最高次数为4 次.
所以A＋B 必在第4 行，故①正确；
② A 在第2 列，表示整式A 有2 项，
A＋B 对应的小方格列数是5，表示整式A＋B 有5 项，
故整式B 最少有3 项，而不确定就只有3 项，故② 错误；
特别解读
若整式A 和整式B中没有可以合并的项，则B 一定只有3 项，若含有可以合并的项，则B 的项数多于3.
③因为A＋B 对应的小方格列数是5，所以整式A＋B 有5 项.
因为A 在第2 列，B 对应的小方格列数是3，所以整式A，B 的次数不可能相同.
所以B 对应的小方格行数不可能是3．故③正确.
方法点拨
1. 找规律的常见题型：数阵找规律和图形找规律.
2. 找规律的常用方法：看增幅法.
3. 找规律的常用技巧：标序列号和提公因数.
易错点
确定单项式的系数与次数易出错
指出单项式 －的系数与次数.
例11
错解：系数是－，次数是9.
正解：系数为－=－，次数为6.
诊误区：
在确定单项式的系数时，易忽略数字因数的指数，在确定单项式的次数时，易将数字的指数当成字母的指数.
考法
整式的有关概念
1
[中考·江西] 单项式－5ab 的系数为______．
试题评析：本题考查单项式的系数的识别，难度较小．
－5
例12
考法
用代数式表示数量关系
2
[中考·西藏] 按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…，则按此规律排列的第n 个单项式为_________.(用含有n 的代数式表示)
(3n＋2)an
例13
试题评析：本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．
解：第n 个单项式的系数可表示为3n＋2，字母a 的指数可表示为n，所以第n 个单项式为(3n＋2)an．
1.[中考·海南]下列整式中，是二次单项式的是( )
A. x2＋1 B. xy
C. x2y D.－3x
B
2. 单项式的系数是( )
A. B. π C. 2 D.
D
3. [新考法 概念辨析法]对于多项式－3x＋2xy2－1，下列说法正确的是( )
A．一次项系数是3
B．最高次项是2xy2
C．常数项是1
D．是四次三项式
B
4. [期末·潍坊寿光市]某商店按原价出售“龙辰辰”玩偶，每天可售出15 0 个．每降价1 元可多售出6 个，若降价x 元，则每天可售出“龙辰辰”玩偶的个数是( )
A．6x B．150＋x
C．150＋6x D．150＋x
C
5. 新考法 归纳法有一组按规律排列的多项式：a－b，a2＋b3，a3 －b5，a4＋b7， …，则第2024 个多项式是( )
A．a2024＋b4047 B．a2024－b4047
C．a2024＋b4049 D．a2024－b4049
A
6. [新视角 结论开放题]一个关于字母m 的二次三项式，它的常数项是－1，请写出一个满足条件的多项式：_______________________.
m2－2m－1(答案不唯一)　
7. 如图，现有一个长为2 0 cm 的直尺，直尺上有5 个圆孔，每个孔的直径为a cm，则图中x=______(用含有a 的代数式表示)，这是一个______项式. (填“单”或“多”)
多
8. 把下列式子填在相应的横线上：x－4，5x，3ab，5－，y，x＋，，x3＋2 x－2， ，8a3x，－1.
单项式： __________________________________；
多项式： __________________________________ ；
整式： __________________________________ .
5x，3ab，y，8a3x，－1
9. 已知－x|m|y 是关于x，y 的单项式，且系数为－，次数为5，求3a＋m 的值.
10.[期中· 济南莱芜区] 多项式5xm＋ (k－1)x2 –(n＋4)x－3 是关于x 的三次三项式，并且二次项系数为1，求m－k＋n 的值.
解：因为多项式5xm＋(k－1)x2－(n＋4)x－3是关于x的三次三项式，并且二次项系数为1，所以m＝3，k－1＝1，－(n＋4)＝0，所以k＝2，n＝－4.所以m－k＋n＝3－2－4＝－3.
11. 如图， 小圆的半径为r cm， 大圆的半径为R cm.
(1)当r=5 cm，R= 9 cm 时，求图①中阴影部分的面积；
解：阴影部分的面积＝R2－r2＝92－52＝56(cm2)．
(2)求图② 中阴影部分的面积，并判断其次数与项数.

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