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专题3.4 实数的运算
1、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
2、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
3、能用计算器按相关要求进行实数的运算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.实数的混合运算 2
考点2.程序设计与实数运算 3
考点3.新定义下的实数运算 4
考点4.实数运算的规律问题 5
考点5.实数运算的实际应用 6
考点6.用计算器进行实数的相关运算 8
模块3：能力培优 9
1）实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。同级运算按照从左到右顺序进行。
2）实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。
3）实数的四则运算：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律）。
4）能用计算器进行实数的运算，近似计算时按题目的要求用计算器得到结果近似值。
考点1.实数的混合运算
例1．（23-24七年级下·山东德州·期中）计算
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】此题考查了实数的混合运算，（1）利用平方根的性质、算术平方根、绝对值进行化简计算即可；
（2）利用平方根的性质、算术平方根、立方根进行化简计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：．
【答案】
【详解】本题考查了实数的运算，熟练掌握有理数的乘方、算术平方根、立方根的运算法则是解题的关键．根据有理数的乘方、算术平方根、立方根分别计算即可．
【分析】解：
．
变式2．（23-24七年级下·山西大同·期中）计算：(1) (2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算：（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
考点2.程序设计与实数运算
例1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x的值为64时，则输出y的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，有理数、无理数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
依据运算程序进行计算即可．
【详解】解：根据步骤，输入64，先有，是有理数，是有理数，返回到第一步，取2的立方根是，是无理数，最后输出故答案为：．
变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为81时，输出的y是（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的分类．解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．把64按给出的程序逐步计算即可．
【详解】解：由题中所给的程序可知：把81取算术平方根，结果为9，
因为9是有理数，所以再取算术平方根，结果为3，
因为3是有理数，所以再取算术平方根，结果为，是无理数，故．故选：A．
变式2．（2024·辽宁·二模）有一个数值转换器，原理如下：

当输入的时，输出的y等于 ．
【答案】
【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、立方根，有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，立方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案．
【详解】解：当输入的时，则取立方根为：，
4是有理数，取算术平方根为：，2取立方根为：，是无理数，即，故答案为：．
考点3.新定义下的实数运算
例1．（23-24七年级下·四川德阳·期末）对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了新定义，以及实数运算，直接利用已知运算公式进而分析得出答案．
【详解】解：．故选：C．
变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义新运算：我们规定．则（ ）
A．32 B．36 C．68 D．64
【答案】C
【分析】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算法则是解题的关键．
根据定义的新运算转化成实数的混合运算进行计算即可．
【详解】解：由题意得： ．故选：C．
变式2．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
根据的含义得到：由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值．
【详解】解：
又a和b为两个连续正整数，
的立方根为．故答案为：．
考点4.实数运算的规律问题
例1．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题．
【详解】解：∵…
∴用含的等式表示为，
∴第2021个等式为．故选：C．
变式1．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可．
【详解】解：，，，，
∴第个数为，∴第8个数为；故选C．
变式2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是 ．
【答案】
【分析】本题考查找规律，正确通过观察，分析、归纳发现其中的规律，根据二次根式的性质，把根号外面的数都平方转化到根号内，便不难发现规律，然后写出第n个即可．
【详解】第1个数据，第2个数据，第3个数据，
第4个数据，第5个数据，
第个数据，故答案为：．
考点5.实数运算的实际应用
例1．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3(2)2.20
【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可；
（2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9，
∴正方形A和正方形B的边长各是；
（2）解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键．
变式1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，）。(1)求摆针摆动的周期．(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
【答案】(1)(2)该座钟大约发出了420次滴答声
【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可；（2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，∴当时，；
（2）（次）．答：该座钟大约发出了420次滴答声．
【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键．
变式2．（23-24七年级下·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．(1)求该长方形的长宽各为多少？
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米
(2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用
【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得；（2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得．
【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米，由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），则，
答：该长方形的长为35米，宽为20米．
（2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，
由题意得：，解得或（不符题意，舍去），
则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米，
，，，
能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，
改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米），
原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米，
，，原来的铁栅栏围墙不够用，
答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
考点6.用计算器进行实数的相关运算
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列有关使用大雁学生计算器的说法错误的是（ ）
A．求的按键顺序是
B．求的按键顺序是
C．求的值的按键顺序是
D．求的按键顺序是
【答案】D
【分析】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能．根据计算器的按键对应的功能即可求解．
【详解】
解：A、求的按键顺序是是正确的，不符合题意；
B、求的按键顺序是是正确的，不符合题意；
C、求的值的按键顺序是是正确的，不符合题意；
D、求的按键顺序是，原来的说法是错误的，符合题意．
故选：D．
变式1．（2024·山东临沂·一模）下列关于计算器的按键说法中，错误的是（ ）
A．按键显示结果：2
B．按键显示结果：64
C．用计算器求的值时，按键顺序是
D．用计算器求的值时，按键顺序是
【答案】D
【分析】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能．根据计算器的按键对应的功能即可求解．
【详解】解：A．按键显示结果：2，正确，不符合题意；
B．按键显示结果：64，正确，不符合题意；
C．用计算器求的值时，按键顺序是，正确，不符合题意；
D．用计算器求的值时，按键顺序是，故原选项错误，符合题意．故选：D．
变式2．（2024·山东潍坊·模拟预测）对于初中数学的学习，《新课程标准》要求在设计开放运算时需要使用计算器．如图是某型号学生用及计算器，依次按下得到的结果为： ．
【答案】0
【分析】本题考查的是计算器的使用，先根据题意列出算式，得出计算结果即可．
【详解】解：，故答案为：．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算：（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查实数的运算，由算术平方根的定义，得9的算术平方根为3，据此计算减法即可得答案．
【详解】解：．故选C．
2．（23-24七年级上·浙江·期中）计算：（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数的运算、化简绝对值，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．依据各数的符号化去绝对值，再加减运算即可．
【详解】解：．故选：D
3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）计算的结果是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了算术平方根和立方根，根据算术平方根和立方根的意义进行计算即可.
【详解】解：故选：A
4．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（ ）
A．计算，按键：
B．计算，按键：
C．计算，按键：
D．计算，按键：
【答案】B
【分析】根据计算器键功能键列式计算，即可解答．此题考查了利用计算器的能力，熟练掌握各键功能是解题的关键．
【详解】解A．求按键： ，故选项错误，不符合题意；
B．求按键： ，故选项正确，符合题意；
C．求按键： ，故选项错误，不符合题意；
D．求按键： ，故选项错误，不符合题意．故选：B．
5．（23-24八年级下·山东聊城·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键．
【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数；
然后求得4的算术平方根是2，它是有理数；
则2的立方根为，它是无理数，输出答案；
故选：C．
6．（2024·山东威海·一模）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则按键的结果为（ ）
A．3 B．7 C．15 D．19
【答案】C
【分析】利用科学计算器的使用规则把有理数混合运算，再计算．根据科学计算器的使用计算．
【详解】解：依题意得：，故选：C．
7．（23-24七年级下·山东德州·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；；
计算式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，根据所给算式总结规律计算即可，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
【详解】解：由，，；；
则原式，，故选：．
8．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】此题考查新定义实数运算，据题意可先求出，再根据题意求解即可.
【详解】解：根据题意可得，，
∴，故选：A
9．（23-24八年级下·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正，
因为是奇数，所以第个数是负数．
将改写成可发现，分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2，
所以第2023个数的分母是；
分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2，
所以第2023个数的分子上的被开方数是2024，
所以第2023个数是．故选：A．
10．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查无理数，根式等知识．由a，b均为正整数，且，，推出，，由此即可解决问题．
【详解】解：∵，，∴，，
∵a，b均为正整数，且最小正整数为：，，∴的最小值为7，故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级上·浙江·期中）计算： .
【答案】/
【分析】本题主要考查实数的运算，涉及化简绝对值、算术平方根，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．先依据各数的符号化去绝对值、计算算术平方根，再加减运算即可．
【详解】解：．故答案为：
12．（2023·广东·模拟预测）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值的性质、算术平方根和立方根的定义分别计算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，故答案为：．
13．（23-24七年级下·山东滨州·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、先分别化简绝对值、算术平方根、立方根，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：故答案为：
14．（2024七年级·浙江·专题练习）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】解：，，2的算术平方根是，故答案为：．
15．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ．
【答案】/0.4
【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，故答案为：．
16．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案．
【详解】解：千米/时，∴故答案为：>．
17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ．
【答案】
【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数，
的被开方数是的被开方数3的30倍，，
所以位于第六行第五个数，记为．
故最大的有理数位于第6行第2个数，记为．故答案为：．
18．（2023·江苏南京·二模）我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是 （填序号）．
①；②如，则实数的取值范围是；
③若且，则；④方程的实数解有4个．
【答案】①
【分析】此题是代数综合题，主要考查与实数有关的新定义问题，由，推出的范围，可判断①；由知，解这个不等式组，可判断②；分两种情况：当时，，当时，，分别求出的值，可判断③；由题意推出，再由不等式的性质推出，则的值为或或0或1或2，进一步求出的值，可判断④．
【详解】解：①，，，，因此①是正确的；
②，，解得，因此②是错误的；
③，当时，，，
，，当时，，，
，，综上，的值为或，因此③是错误的；
④，，，，
，，，，则的值为或或0或1或2，
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，，
综上，方程的实数解有，，0.4，1.6，2.8，共5个，
因此④是错误的．故答案为：①．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)4(2)6
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握有理数乘方的意义、有理数的加法法则、减法法则、立方根的定义、算术平方根的定义和绝对值是解题关键．（1）根据绝对值、算术平方根的定义和乘方运算计算即可．
（2）根据立方根的定义、算术平方根的定义和乘方运算计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下：
(1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值．
(2)若输出的值为，求输入的值．
【答案】(1)当时，；当时，；当时，(2)3或9
【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可；
（2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可．
【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故；
当时，其算术平方根为2，是有理数，故；
当时，其算术平方根为4，是有理数，故；
（2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是，∴，
当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是，∴，
综上所述，的值为3或9．
【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键．
21．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式：
；
；
；
请你根据上面三个等式反映的规律，猜想：
(1)______；(2)______（n为正整数）；(3)利用上面的规律计算：．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答．
【详解】（1）解：根据规律可得：,故答案为：；
（2）解：根据规律可得：，故答案为：；
（3）解：．
22．（23-24八年级上·山东德州·开学考试）如果，那么x是a的平方根或二次方根，记作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，记作，如果，那么x是a的四次方根，记作，依此还有五次方根…(1)求256的四次方根；(2)计算；
(3)一个正数a的两个六次方根分别为和，求这个正数a．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义．
（1）根据是四次方根的定义即可求出答案；（2）根据是四次方根及五次方根的定义即可求出答案；
（3）根据是六次方根的定义即可求出答案．
【详解】（1）解：，的四次方根为；
（2），；
（3）∵a的六次方根是和，∴，解得，
∴，∴．
23．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为．(1)求该长方形的长宽各为多少
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗 并说明理由．
【答案】(1)长方形的长30米，宽20米(2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析
【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案；
（2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解．
【详解】（1）解：长方形长宽之比为，
设该长方形花坛长为米，宽为米，依题意得：，，
∴或（不合题意，舍去），
答：该长方形的长30米，宽20米；
（2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下：
两个小正方形的边长比为，
设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：，
，，或（不合题意，舍去），
，所以不能改造出这样两块不相符的实验田．
【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系．
24．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：
；
根据以上信息，完成下列问题：(1)填空： ___，___；(2)计算：
(3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式
【答案】(1)，1(2)(3)
【分析】（1）根据题目中给出的进行计算即可；（2）根据题意得到规律的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，据此求解即可；（3）仿照分母有理化的方法对分子分母同时乘以进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，∴；；故答案为：；1；
（2）解：∵，，，，…，
∴的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，
∵，
∴；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键．
25．（23-24七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【答案】(1)，，，；(2)见解析
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
【详解】（1）由面积公式，可得
∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．故答案为：，，，；
（2）小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．
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专题3.4.实数的运算
1、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
2、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
3、能用计算器按相关要求进行实数的运算。
专题3.4 实数的运算
1、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
2、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
3、能用计算器按相关要求进行实数的运算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.实数的混合运算 2
考点2.程序设计与实数运算 3
考点3.新定义下的实数运算 4
考点4.实数运算的规律问题 5
考点5.实数运算的实际应用 6
考点6.用计算器进行实数的相关运算 8
模块3：能力培优 9
1）实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。同级运算按照从左到右顺序进行。
2）实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。
3）实数的四则运算：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律）。
4）能用计算器进行实数的运算，近似计算时按题目的要求用计算器得到结果近似值。
考点1.实数的混合运算
例1．（23-24七年级下·山东德州·期中）计算
(1)；(2)．
变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：．
变式2．（23-24七年级下·山西大同·期中）计算：(1) (2)．
考点2.程序设计与实数运算
例1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x的值为64时，则输出y的值是 ．
变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为81时，输出的y是（ ）
A． B．9 C． D．
变式2．（2024·辽宁·二模）有一个数值转换器，原理如下：

当输入的时，输出的y等于 ．
考点3.新定义下的实数运算
例1．（23-24七年级下·四川德阳·期末）对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（ ）
A． B．3 C． D．2
变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义新运算：我们规定．则（ ）
A．32 B．36 C．68 D．64
变式2．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为 ．
考点4.实数运算的规律问题
例1．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是 ．
考点5.实数运算的实际应用
例1．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
变式1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，）。(1)求摆针摆动的周期．(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
变式2．（23-24七年级下·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．(1)求该长方形的长宽各为多少？
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
考点6.用计算器进行实数的相关运算
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列有关使用大雁学生计算器的说法错误的是（ ）
A．求的按键顺序是
B．求的按键顺序是
C．求的值的按键顺序是
D．求的按键顺序是
变式1．（2024·山东临沂·一模）下列关于计算器的按键说法中，错误的是（ ）
A．按键显示结果：2
B．按键显示结果：64
C．用计算器求的值时，按键顺序是
D．用计算器求的值时，按键顺序是
变式2．（2024·山东潍坊·模拟预测）对于初中数学的学习，《新课程标准》要求在设计开放运算时需要使用计算器．如图是某型号学生用及计算器，依次按下得到的结果为： ．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算：（ ）
A． B．5 C． D．1
2．（23-24七年级上·浙江·期中）计算：（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）计算的结果是（ ）
A．1 B．0 C． D．
4．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（ ）
A．计算，按键：
B．计算，按键：
C．计算，按键：
D．计算，按键：
5．（23-24八年级下·山东聊城·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东威海·一模）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则按键的结果为（ ）
A．3 B．7 C．15 D．19
7．（23-24七年级下·山东德州·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；；
计算式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．（23-24八年级下·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级上·浙江·期中）计算： .
12．（2023·广东·模拟预测）计算： ．
13．（23-24七年级下·山东滨州·期末）计算： ．
14．（2024七年级·浙江·专题练习）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是 ．
15．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ．
16．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”）
17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ．
18．（2023·江苏南京·二模）我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是 （填序号）．
①；②如，则实数的取值范围是；
③若且，则；④方程的实数解有4个．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算：
(1)；(2)．
20．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下：
(1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值．
(2)若输出的值为，求输入的值．
21．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式：
；
；
；
请你根据上面三个等式反映的规律，猜想：
(1)______；(2)______（n为正整数）；(3)利用上面的规律计算：．
22．（23-24八年级上·山东德州·开学考试）如果，那么x是a的平方根或二次方根，记作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，记作，如果，那么x是a的四次方根，记作，依此还有五次方根…(1)求256的四次方根；(2)计算；
(3)一个正数a的两个六次方根分别为和，求这个正数a．
23．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为．(1)求该长方形的长宽各为多少
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗 并说明理由．
24．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：
；
根据以上信息，完成下列问题：(1)填空： ___，___；(2)计算：
(3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式
25．（23-24七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
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