资源简介

(共74张PPT)
习题课
第二章
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对称问题
1.学会解决点点、点线、线线对称问题(重点).
2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题(难点).
学习目标
1.点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的
对称点为P′(x2，y2)，则根据中点坐标公式，有 可得对称点
P′(x2，y2)的坐标为(2x0－x1,2y0－y1).
2.点关于直线对称
点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为P′(x2，y2)，连接PP′，交l于M点，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′的中点，又因
为M在直线l上，故可得 解出(x2，y2)即可.
3.直线关于点对称
方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程；
方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程.
4.直线关于直线对称
求直线l1：ax＋by＋c＝0关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(两直线不平行)的对称直线l3.
第一步：联立l1，l2的方程，算出交点P(x0，y0)；
第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，利用点关于直线l2对称算出对称点Q′(x2，y2)；
第三步：利用两点式写出l3的方程.
5.常见的一些特殊的对称
点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).
点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为
(－y，－x).
点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y).
点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y).
点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k).
一、几类常见的对称问题
二、光的反射问题
课时对点练
三、利用对称解决有关最值问题
随堂演练
内容索引
几类常见的对称问题
一
已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
例 1
设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
所以点P′的坐标为(－2,7).
设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
所以点P′的坐标为(－2,7).
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线的方程.
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.
在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，
则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4).
因为点E′，F′在所求直线上，
即3x－y－17＝0.
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.
点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y).
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.
设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，
则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
对称问题的解决方法
反
思
感
悟
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.
设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得.
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.
反
思
感
悟
已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1.
(1)求点P关于直线l的对称点R的坐标；
跟踪训练 1
设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，
(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程.
因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，
则直线MR即为所求的直线，由两点式得所求直线方程为11x＋2y－17＝0.
二
光的反射问题
一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所经过的路程.
例 2
如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
所以A的坐标为(4,3).
因为反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
由于反射光线为射线，
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光线从O点到达P点所经过的路程为8.
根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解.
反
思
感
悟
如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射
后又回到点P，则光线所经过的路程是
跟踪训练 2
√
由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，点P关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝
利用对称解决有关最值问题
三
在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；
例 3
∴a＋b－4＝0， ①
即2x＋y－9＝0.
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，
B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大.
(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小.
如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)，
∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小.
由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
利用对称性求距离的最值问题
反
思
感
悟
已知两点A(1,3)，B(4,5)，动点M在直线y＝x上运动，则|MA|＋|MB|的最小值为_____.
跟踪训练 3
根据题意画出图象，如图，
设点A关于直线y＝x的对称点为A′(x，y)，
1.知识清单：
(1)关于点点、点线、线线的对称问题.
(2)反射问题.
(3)利用对称解决有关最值问题.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆.
随堂演练
四
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4
1.点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是
A.(－1，－3) B.(17，－9)
C.(－1,3) D.(－17,9)
√
设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，
所以该点的坐标为(－1，－3).
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2.直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是
A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0
√
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4
3.若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则
A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1
C.a＝4，b＝3 D.a＝5，b＝2
√
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4.已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为
√
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4
由题意知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0，2)关于x轴的对称点为P1(0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
课时对点练
五
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基础巩固
1.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是
√
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2.点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于
A.－1 B.1
C.2 D.0
√
∵点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，
∴点P(a，b)在直线l上，
∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.
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3.点P(2,5)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点的坐标为
A.(6，－3) B.(3，－6)
C.(－6，－3) D.(－6,3)
√
设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，
故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3).
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4.已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为
A.bx＋ay－c＝0 B.bx－ay＋c＝0
C.bx＋ay＋c＝0 D.bx－ay－c＝0
√
在l的方程中以－x代替y，以－y代替x，即得l′的方程，则l′：a(－y)
＋b(－x)＋c＝0，
即bx＋ay－c＝0.
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5.直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是
A.2x＋3y＋7＝0 B.3x－2y＋2＝0
C.2x＋3y＋8＝0 D.3x－2y－12＝0
√
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∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，
∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0，
又点(1，－1)到两直线的距离相等，
化简得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8，
∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0，
即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.
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6.光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为
点A(－3,5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)，则光线从A到B的路程即|A′B|的长，
√
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7.如图，光线从P(a,0)(a>0)出发，经过直线l：x－2y＝0反射到Q(b,0)，该光线又在Q点被x轴反射，若反射光线恰与直线l平行，且b≥22，则实数a的最小值是______.
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设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，
因为在Q点被x轴反射后的反射光线恰与直线l平行，
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即实数a的最小值是10.
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8.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点A(－2,3)无
旋转射入，经过x轴(桌边)上的点P反弹后，经过点
B(5,7)，则点P的坐标为________.
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设P(x,0)，A点关于x轴对称的点为A′(－2，－3)，
由题意知A′，B，P三点共线，
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9.已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小.
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由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1).
同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3,5).
由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0.
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10.已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.
(1)试判断由此得到的△ABC的个数；
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如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3).
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当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形.
综上，符合题意的△ABC只有1个.
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(2)求直线BC的方程.
则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0，
即直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
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综合运用
11.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为
A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0
C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0
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设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
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12.若x，y满足x＋y＋1＝0，则x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为
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原多项式可化为(x－1)2＋(y－1)2，
其几何意义为点P(x，y)和点Q(1,1)间距离的平方，且点P(x，y)在直线x＋y＋1＝0上.
设d为点Q到直线x＋y＋1＝0的距离，
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∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，
设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4).要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
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14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马饮水后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马”的最短总路程为
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如图所示，
设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)，
在直线x＋y＝3上取点P，
由对称性可得|PB|＝|PC|，
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当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，
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拓广探究
x－4y－1＝0
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又线段PQ的中点是(1,0)，
所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，
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由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0.
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16.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
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设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
故A′(－2,8).
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
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故所求的点P的坐标为(－2,3).
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(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.
A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，
故所求的点P的坐标为(12,10).习题课　对称问题
[学习目标]　1.学会解决点点、点线、线线对称问题(重点).2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题(难点)．
1．点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为P′(x2，y2)，则根据中点坐标公式，有可得对称点P′(x2，y2)的坐标为(2x0－x1,2y0－y1)．
2．点关于直线对称
点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为P′(x2，y2)，连接PP′，交l于M点，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′的中点，又因为M在直线l上，故可得解出(x2，y2)即可．
3．直线关于点对称
方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程；
方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程．
4．直线关于直线对称
求直线l1：ax＋by＋c＝0关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(两直线不平行)的对称直线l3.
第一步：联立l1，l2的方程，算出交点P(x0，y0)；
第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，利用点关于直线l2对称算出对称点Q′(x2，y2)；
第三步：利用两点式写出l3的方程．
5．常见的一些特殊的对称
点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
一、几类常见的对称问题
例1　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
所以点P′的坐标为(－2,7)．
(2)解方程组得
则点在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则 解得
点M′也在所求直线上．
由两点式得直线方程为＝，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线的方程．
(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，
则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)．因为点E′，F′在所求直线上，
所以由两点式得所求直线方程为＝，
即3x－y－17＝0.
反思感悟　对称问题的解决方法
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．
点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)．
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．
设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，
则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．
设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得．
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．
跟踪训练1　已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1.
(1)求点P关于直线l的对称点R的坐标；
(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程．
解　(1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，
则有
解得 所以R的坐标为 .
(2)因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，
又点P关于直线l的对称点为R，
则直线MR即为所求的直线，由两点式得所求直线方程为11x＋2y－17＝0.
二、光的反射问题
例2　一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所经过的路程．
解　如图，
设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
解得
所以A的坐标为(4,3)．
因为反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
联立
解得即交点Q，
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3.
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光线从O点到达P点所经过的路程为8.
反思感悟　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
跟踪训练2　如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　)
A．2 B．6 C．3 D．2
答案　A
解析　由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，点P关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2.
三、利用对称解决有关最值问题
例3　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小．
解　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1，
∴a＋b－4＝0，①
∵BB′的中点在直线l上，
∴－－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得
∴点B′的坐标为(5，－1)．
于是AB′所在直线的方程为＝，
即2x＋y－9＝0.
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大．
∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝，
即直线l与AB′的交点坐标为.
故点P的坐标为.
(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)，
∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小．
∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝，
即直线AC′与l的交点坐标为.
故点Q的坐标为.
反思感悟　利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
跟踪训练3　已知两点A(1,3)，B(4,5)，动点M在直线y＝x上运动，则|MA|＋|MB|的最小值为________．
答案　
解析　根据题意画出图象，如图，
设点A关于直线y＝x的对称点为A′(x，y)，
所以
解得即A′(3,1)，
连接A′B，则|A′B|即为|MA|＋|MB|的最小值，|A′B|＝＝.
1．知识清单：
(1)关于点点、点线、线线的对称问题．
(2)反射问题．
(3)利用对称解决有关最值问题．
2．方法归纳：转化化归、数形结合．
3．常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆．
1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是(　　)
A．(－1，－3) B．(17，－9)
C．(－1,3) D．(－17,9)
答案　A
解析　设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，
则由
解得
所以该点的坐标为(－1，－3)．
2．直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
答案　D
解析　在直线 x－2y＋1＝0上任取两点，不妨取点(1,1)，，
这两点关于直线x＝1对称的点分别为 (1,1)，，
两对称点所在直线的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋2y－3＝0.
3．若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则(　　)
A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1
C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝2
答案　D
解析　由
解得
4．已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为(　　)
A．2 B．6 C．3 D.
答案　D
解析　由题意知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0，2)关于x轴的对称点为P1(0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
∴
解得∴P2(1,3)，
∴光线所经过的路程为|PQ|＋|QM|＋|MP|＝|P1P2|＝＝.
[分值：100分]
单选题每小题5分，共50分
1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．4 B. C. D.
答案　D
解析　根据中点坐标公式得
解得
所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
2．点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．0
答案　A
解析　∵点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，
∴点P(a，b)在直线l上，
∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.
3．点P(2,5)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(　　)
A．(6，－3) B．(3，－6)
C．(－6，－3) D．(－6,3)
答案　C
解析　设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，
则解得
故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3)．
4．已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为(　　)
A．bx＋ay－c＝0 B．bx－ay＋c＝0
C．bx＋ay＋c＝0 D．bx－ay－c＝0
答案　A
解析　在l的方程中以－x代替y，以－y代替x，即得l′的方程，则l′：a(－y)＋b(－x)＋c＝0，
即bx＋ay－c＝0.
5．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)
A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0
C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0
答案　C
解析　∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，
∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0，
又点(1，－1)到两直线的距离相等，
∴＝，
化简得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8，
∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0，
即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.
6．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为(　　)
A．5 B．2 C．5 D．10
答案　C
解析　点A(－3,5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)，则光线从A到B的路程即|A′B|的长，
|A′B|＝＝5.
即光线从A到B的路程为5.
7．(5分)如图，光线从P(a,0)(a>0)出发，经过直线l：x－2y＝0反射到Q(b,0)，该光线又在Q点被x轴反射，若反射光线恰与直线l平行，且b≥22，则实数a的最小值是________．
答案　10
解析　设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，
则解得
即P′，
因为在Q点被x轴反射后的反射光线恰与直线l平行，
所以kP′Q＝－，即＝－，
化简得a＝b，
因为b≥22，所以a＝b≥×22＝10，
即实数a的最小值是10.
8．(5分)台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中．如图，现有一目标球从点A(－2,3)无旋转射入，经过x轴(桌边)上的点P反弹后，经过点B(5,7)，则点P的坐标为________．
答案　
解析　设P(x,0)，A点关于x轴对称的点为A′(－2，－3)，
则kA′P＝＝，kA′B＝＝，
由题意知A′，B，P三点共线，
∴kA′P＝kA′B，即＝，解得x＝，
故P点的坐标为.
9．(10分)已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．
解　由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1)．同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3,5)．由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0.
解方程组得交点P.令x＝0，得M1M2与y轴的交点Q.所以当P和Q的坐标分别为，时，△MPQ的周长最小．
10．(12分)已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.
(1)试判断由此得到的△ABC的个数；(7分)
(2)求直线BC的方程．(5分)
解　(1)如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3)．
根据光学知识，知点C在直线A′B上，点C又在直线B′A上，且直线A′B的方程为
y＝(x－m)．
由得x＝.
又直线AB′的方程为y－2＝(x－1)，
由得x＝.
所以＝，即3m2＋8m－3＝0，
解得m＝或－3.
当m＝时，符合题意；
当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形．综上，符合题意的△ABC只有1个．
(2)由(1)得m＝，
则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0，
即直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
11．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　)
A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
答案　B
解析　设A(a，b)，则
解得所以A(－1,1)．
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
又kl2＝－＝－＝，
所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.
12．若x，y满足x＋y＋1＝0，则x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为(　　)
A．2 B. C．3 D．4
答案　B
解析　原多项式可化为(x－1)2＋(y－1)2，其几何意义为点P(x，y)和点Q(1,1)间距离的平方，且点P(x，y)在直线x＋y＋1＝0上．设d为点Q到直线x＋y＋1＝0的距离，由|PQ|≥d，得≥，即x2＋y2－2x－2y＋2≥.故所求的最小值为.
13．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)间的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　)
A．2 B．5 C．4 D．8
答案　B
解析　∵f(x)＝＋
＝＋，
∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，
设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，当且仅当A′，M，B三点共线时等号成立，
即f(x)＝＋的最小值为5.
14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马饮水后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A. B. C．2 D．10
答案　C
解析　如图所示，
设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)，
由题意可得
解得即C(7,4)，
在直线x＋y＝3上取点P，
由对称性可得|PB|＝|PC|，
所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝2，
当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马”的最短总路程为2.
15．(5分)若函数y＝的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ的方程是________．
答案　x－4y－1＝0
解析　根据题意，设P，Q，
又线段PQ的中点是(1,0)，
所以
整理得
所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，
解得x＝1±，
所以P，Q
或P，Q.
由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0.
16．(13分)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；(6分)
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．(7分)
解　(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则解得
故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则得
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则得
故所求的点P的坐标为(12,10)．习题课　对称问题
[学习目标]　1.学会解决点点、点线、线线对称问题(重点).2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题(难点)．
1．点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为P′(x2，y2)，则根据中点坐标公式，有可得对称点P′(x2，y2)的坐标为(2x0－x1,2y0－y1)．
2．点关于直线对称
点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为P′(x2，y2)，连接PP′，交l于M点，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′的中点，又因为M在直线l上，故可得解出(x2，y2)即可．
3．直线关于点对称
方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程；
方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程．
4．直线关于直线对称
求直线l1：ax＋by＋c＝0关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(两直线不平行)的对称直线l3.
第一步：联立l1，l2的方程，算出交点P(x0，y0)；
第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，利用点关于直线l2对称算出对称点Q′(x2，y2)；
第三步：利用两点式写出l3的方程．
5．常见的一些特殊的对称
点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
一、几类常见的对称问题
例1　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
反思感悟　对称问题的解决方法
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．
点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)．
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．
设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，
则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．
设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得．
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．
跟踪训练1　已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1.
(1)求点P关于直线l的对称点R的坐标；
(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程．
二、光的反射问题
例2　一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所经过的路程．
反思感悟　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
跟踪训练2　如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　)
A．2 B．6 C．3 D．2
三、利用对称解决有关最值问题
例3　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小．
反思感悟　利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
跟踪训练3　已知两点A(1,3)，B(4,5)，动点M在直线y＝x上运动，则|MA|＋|MB|的最小值为________．
1．知识清单：
(1)关于点点、点线、线线的对称问题．
(2)反射问题．
(3)利用对称解决有关最值问题．
2．方法归纳：转化化归、数形结合．
3．常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆．
1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是(　　)
A．(－1，－3) B．(17，－9)
C．(－1,3) D．(－17,9)
2．直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
3．若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则(　　)
A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1
C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝2
4．已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为(　　)
A．2 B．6 C．3 D.

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