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习题课
第二章
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与圆有关的最值问题
1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题(重难点).
2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
学习目标
海上某基站信号覆盖范围达60公里.一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号.已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题.)
导 语
一、与距离有关的最值问题
二、与面积有关的最值问题
课时对点练
三、利用数学式的几何意义求解最值问题
随堂演练
内容索引
与距离有关的最值问题
一
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝ ，最大值＝ .
d－r
d＋r
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝ ，最大值
＝ .
d－r
d＋r
3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝___________，最大值＝ .
2r
4.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝_______.
(1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为______.
例 1
直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
√
由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，
(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值.
反
思
感
悟
(1)从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为
A.－1 B.1 C.2 D.0
跟踪训练 1
x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m,1)，半径为1，
√
即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短.
(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为______.
设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
二
与面积有关的最值问题
(1)已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为_____.
根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，
O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，
则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，
例 2
1
(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝_____.
2
圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1，
由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，
则|PB|min＝2，
所以当|PC|取最小值时，|PB|最小.
又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，
当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，
求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.
反
思
感
悟
直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为
跟踪训练 2
√
利用数学式的几何意义求解最值问题
三
已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上.
(1)求 的最大值和最小值；
例 3
方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)
所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或
最小.
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到点E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外
部，所以点P与点E距离的最大值|P1E|＝|CE|＋2，点P与
点E距离的最小值|P2E|＝|CE|－2.
(3)求x＋y的最大值与最小值.
设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，
反
思
感
悟
(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是
跟踪训练 3
√
√
1.知识清单：
(1)与距离、面积有关的最值问题.
(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题.
2.方法归纳：数形结合、转化思想.
3.常见误区：忽略隐含条件导致范围变大.
随堂演练
四
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1.圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是
A.[3,7] B.[1,9] C.[0,5] D.[0,3]
√
x2＋y2＝4，圆心(0,0)，半径r＝2，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，
最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7].
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2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为
√
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根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4,3)，半径r＝2，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，
当|PC|最小时，|PQ|最小，
又由点P在单位圆上，
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4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为______.
课时对点练
五
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基础巩固
1.已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为
将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
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2.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为
√
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3.点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是
√
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圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9，
圆心为C1(4,2)，半径为3；
圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，
圆心为C2(－2，－1)，半径为2，
∴两圆外离，
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4.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为
A.－9,1 B.－10,1 C.－9,2 D.－10,2
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y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，
如图所示，
解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值为1，
最小值为－9.
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5.过直线4x＋3y＋10＝0上一点P作圆C：x2＋y2－2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为
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如图所示，由切线性质可知，PA⊥AC，PB⊥BC，△PAC≌△PBC，
由圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，得圆心为C(1,0)，半径r＝1，
则当|PC|取最小值，即|PC|＝d时，S四边形PACB最小.
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6.(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
√
√
√
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过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图
所示，
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7.在平面直角坐标系Oxy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________.
∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，
(x－1)2＋y2＝2
∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
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8.已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0).若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为_______.
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根据题意，点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，
则AB的中点为(0,0)，|AB|＝2m，
若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，
则圆C与圆O有交点，
必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，
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又由m>0，
解得3≤m≤7，
即m的最小值为3.
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9.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
由直线MQ与圆C有交点，
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10.已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.
(1)求圆的方程；
∵圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∵圆心C到直线l的距离为3，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
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(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值.
PE，PF是圆的两条切线，
E，F分别为切点(图略)，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，
∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小.
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|PC|min即为C到l的距离，由(1)知|PC|min＝3，
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综合运用
11.若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值为
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13.已知圆O：x2＋y2＝4，直线l过点(1,1)且与圆O交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的方程为_____________.
x＋y－2＝0
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当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－1＝k(x－1)，k≠1，
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当且仅当4－d2＝d2，
即d2＝2时，S△OAB取得最大值2，
∴S△OAB的最大值为2，
则直线l的方程为x＋y－2＝0.
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14.已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为______.
又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是△ABC和△ACD的面积之和，
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拓广探究
15.点A是圆C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一点，圆C2是过点(5,4)且半径为1的动圆，点B是圆C2上的任一点，则AB长度的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.4
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由题可知点C2的轨迹方程是(x－5)2＋(y－4)2＝1，
即得点C2是圆C3：(x－5)2＋(y－4)2＝1上的动点，
又由题知点B是圆C2上的动点，
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(1)求圆C的标准方程；
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所以a＝－1，
即r＝2，
所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4.
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(2)已知N(2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2).
设直线l1：y＝kx(k>0)，与圆联立方程组可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，
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②求|PN|2＋|QN|2的最大值.
|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2
＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2
令t＝3＋k(t>3)，
则k＝t－3，
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16习题课　与圆有关的最值问题
[学习目标]　1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题(重难点).2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
导语
海上某基站信号覆盖范围达60公里．一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．)
一、与距离有关的最值问题
知识梳理
1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.
2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.
3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r.
4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝.
例1　(1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为________．
答案　－
解析　直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
令
解得定点坐标为M(3,1)，因为圆心C为(1,2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，kCM＝＝－，kl＝－，所以kCM×kl＝×＝－1，解得m＝－.
(2)在平面直角坐标系Oxy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，
而距离的最小值为－＝，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.
反思感悟　(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．
跟踪训练1　(1)从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．0
答案　B
解析　x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m,1)，半径为1，
切线长最短时，|CP|最小，|CP|＝，
即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短．
(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为________．
答案　2
解析　设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
|CA|＝＝.
∴半弦长＝＝＝.
∴最短弦长为2.
二、与面积有关的最值问题
例2　(1)已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为________．
答案　1
解析　根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，
O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，
则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，
则△OAM的面积最小值S＝×|OA|×d＝1.
(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.
答案　2
解析　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1，
由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，
又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值S＝1＝r|PB|min＝
|PB|min，
则|PB|min＝2，
因为|PB|＝＝，
所以当|PC|取最小值时，|PB|最小．
又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，
当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，
所以＝＝，解得k＝±2，因为k>0，所以k＝2.
反思感悟　求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．
跟踪训练2　直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　B
解析　设圆心到直线的距离为d(0则|AB|＝2，
所以S△ABO＝·2·d＝，
由基本不等式，可得S△ABO＝≤＝，
当且仅当d＝时，等号成立．
三、利用数学式的几何意义求解最值问题
例3　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值．
解　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．
设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到点E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
反思感悟　(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题．
跟踪训练3　(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．y－x的最大值为－2
B．x2＋y2的最大值为7＋4
C.的最大值为
D．x＋y的最大值为2＋
答案　AB
解析　对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A说法正确；
对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B说法正确；
对于C，设＝k，把y＝kx代入圆的方程得
(1＋k2)x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，的最大值为，故C说法错误；
对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－＋2≤m≤＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D说法错误．
1．知识清单：
(1)与距离、面积有关的最值问题．
(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题．
2．方法归纳：数形结合、转化思想．
3．常见误区：忽略隐含条件导致范围变大．
1．圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是(　　)
A．[3,7] B．[1,9] C．[0,5] D．[0,3]
答案　A
解析　x2＋y2＝4，圆心(0,0)，半径r＝2，
圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，
最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7]．
2．已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B．2 C．2 D．4
答案　B
解析　根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4,3)，半径r＝2，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|＝，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|－1＝－1＝4，则|PQ|的最小值为＝2.
3．点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是(　　)
A．[，＋∞)
B. (－∞，－]
C. (－∞，－]∪[，＋∞)
D. [－，]
答案　C
解析　将看作圆上动点(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率，设＝k，如图，可得k≥或k≤－.
4．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为________．
答案　4
解析　因为C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,0)，r2＝4，
所以|C1C2|＝＝2，
当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4.
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1．已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A. B．2 C．2 D．4
答案　C
解析　将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
则圆心为(2,0)，半径r＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为，
|AB|的最小值为2＝2.
2．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　)
A. B. C．1 D．3
答案　A
解析　由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.
3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(　　)
A．5 B．1 C．3－5 D．3＋5
答案　C
解析　圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9，
圆心为C1(4,2)，半径为3；
圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，
圆心为C2(－2，－1)，半径为2，
∴两圆的圆心距为|C1C2|＝＝＝＝3>5，
∴两圆外离，
∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去两圆半径的和，即3－5.
4．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为(　　)
A．－9,1 B．－10,1 C．－9,2 D．－10,2
答案　A
解析　y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示，
当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.
5．过直线4x＋3y＋10＝0上一点P作圆C：x2＋y2－2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为(　　)
A. B. C. D．2
答案　C
解析　如图所示，由切线性质可知，PA⊥AC，PB⊥BC，△PAC≌△PBC，
所以S四边形PACB＝2·|PA|·|AC|，
由圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，得圆心为C(1,0)，半径r＝1，
则点C到直线的距离d＝＝，
|PA|＝＝，
则S四边形PACB＝2·|PA|·|AC|＝，
则当|PC|取最小值，即|PC|＝d时，S四边形PACB最小．
故(S四边形PACB)min＝＝.
6．(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
答案　ACD
解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易得直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M外离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋<5＋＝10，故A正确；
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4<－4＝1，故B不正确；
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，
连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确．
7．(5分)在平面直角坐标系Oxy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．
答案　(x－1)2＋y2＝2
解析　∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，
∴圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，
∴半径最大为，
∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
8．(5分)已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为________．
答案　3
解析　根据题意，点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，
则AB的中点为(0,0)，|AB|＝2m，
则以AB的中点为圆心，半径r＝×|AB|的圆为x2＋y2＝m2，设该圆为圆O，
若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，
则圆C与圆O有交点，
必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，
即
又由m>0，
解得3≤m≤7，
即m的最小值为3.
9．(10分)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；(4分)
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．(6分)
解　(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2，
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)由题意可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
得≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
10．(12分)已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.
(1)求圆的方程；(5分)
(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值．(7分)
解　(1)∵圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∵圆心C到直线l的距离为3，
由点到直线的距离公式，得d＝＝3，
解得a＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)PE，PF是圆的两条切线，
E，F分别为切点(图略)，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，
∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．|PC|min即为C到l的距离，
由(1)知|PC|min＝3，
∴|PE|＝32－4＝5，即|PE|min＝，
∴(S△PCE)min＝|EC|·|PE|min＝×2×＝，
∴四边形PECF的面积的最小值为2.
11．若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值为(　　)
A. B．3 C. D．2
答案　A
解析　由圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，得圆心(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，可得b＝a－3，点M(a，b)到圆心的距离为，则由点M(a，b)向圆所作的切线长为＝，当a＝2时，所求的切线长取得最小值为.
12．已知实数x，y满足方程y＝，则的最大值为(　　)
A．0 B．1 C. D．2
答案　C
解析　方程y＝化为(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形是一个半圆，令＝k，即y＝kx，
如图所示，当直线与半圆相切时，k＝(负值舍去)，所以的最大值为.
13．(5分)已知圆O：x2＋y2＝4，直线l过点(1,1)且与圆O交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的方程为________________．
答案　x＋y－2＝0
解析　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，则A，B的坐标为(1，)，(1，－)，
∴S△OAB＝×2×1＝，
当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－1＝k(x－1)，k≠1，
则圆心到直线l的距离为
d＝＝，
由平面几何知识得|AB|＝2，
∴S△OAB＝|AB|×d＝×2×d
＝×d≤＝2，
当且仅当4－d2＝d2，
即d2＝2时，S△OAB取得最大值2，
∵<2，
∴S△OAB的最大值为2，
此时，由＝，解得k＝－1.
则直线l的方程为x＋y－2＝0.
14．(5分)已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为________．
答案　
解析　把圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圆心M(1，－1)，半径r＝.直线l与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距d＝＝，由勾股定理得半弦长＝＝，
所以弦长|AC|＝2×＝.
又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是△ABC和△ACD的面积之和，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线(即为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为S＝|AC|×|BE|＋|AC|×|DE|＝|AC|×|BD|＝××2＝.
15．点A是圆C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一点，圆C2是过点(5,4)且半径为1的动圆，点B是圆C2上的任一点，则AB长度的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　由题可知点C2的轨迹方程是(x－5)2＋(y－4)2＝1，
即得点C2是圆C3：(x－5)2＋(y－4)2＝1上的动点，
又由题知点B是圆C2上的动点，
如图可得|AB|min＝－1－1－1＝2.
16．(12分)已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点M.
(1)求圆C的标准方程；(4分)
(2)已知N(2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
①求证：＋为定值；(3分)
②求|PN|2＋|QN|2的最大值．(5分)
(1)解　由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点M，设C(a,0)，
则kCM＝，
直线l：4x＋3y－6＝0的斜率为－，
所以·＝－1，
所以a＝－1，
所以C(－1,0)，|CM|＝
＝2，
即r＝2，
所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)①证明　设直线l1：y＝kx(k>0)，与圆联立方程组可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，
Δ＝4＋12(1＋k2)>0，x1＋x2＝－，x1x2＝－，
则＋＝＝为定值．
②解　|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2
＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2
＝(1＋k2)(x1＋x2)2－2(1＋k2)x1x2－(4＋2k)(x1＋x2)＋10
＝＋16，
令t＝3＋k(t>3)，
则k＝t－3，
所以＋16＝＋16
＝＋16≤＋16＝2＋22，
当且仅当t＝，即t＝时取等号，此时k＝－3，
所以|PN|2＋|QN|2的最大值为2＋22.习题课　与圆有关的最值问题
[学习目标]　1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题(重难点).2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
一、与距离有关的最值问题
知识梳理
1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝____________，最大值＝____________.
2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝____________，最大值＝____________.
3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝__________，最大值＝____________.
4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝__________.
例1　(1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为________．
(2)在平面直角坐标系Oxy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
反思感悟　(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．
跟踪训练1　(1)从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．0
(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为________．
二、与面积有关的最值问题
例2　(1)已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为________．
(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.
反思感悟　求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．
跟踪训练2　直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　)
A．1 B. C. D.
三、利用数学式的几何意义求解最值问题
例3　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值．
反思感悟　(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题．
跟踪训练3　(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．y－x的最大值为－2
B．x2＋y2的最大值为7＋4
C.的最大值为
D．x＋y的最大值为2＋
1．知识清单：
(1)与距离、面积有关的最值问题．
(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题．
2．方法归纳：数形结合、转化思想．
3．常见误区：忽略隐含条件导致范围变大．
1．圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是(　　)
A．[3,7] B．[1,9] C．[0,5] D．[0,3]
2．已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B．2 C．2 D．4
3．点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是(　　)
A．[，＋∞)
B. (－∞，－]
C. (－∞，－]∪[，＋∞)
D. [－，]
4．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为________．

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