资源简介

2.7 导数的应用——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册课时训练
一、选择题
1．进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500km，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h～110km/h.已知车队每小时运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度vkm/h的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为( )
A.80km/h B.90km/h C.100km/h D.110km/h
2．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，P在弦MN的同侧.设，当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时( )
A. B. C. D.0
3．小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款( )
A.3万元 B.4万元 C.5万元 D.6万元
4．将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱体积最大时，AB长为( )
A. B. C. D.1
5．用长为的钢筋做成一个长方体形框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为( )
A. B. C. D.
6．某社会实践小组需要对一个实心圆锥形工件进行加工，该工件底面半径为，高为，加工方法为挖掉一个与该圆锥形工件同底面共圆心的内接圆柱，若要求加工后工件的质量最轻，则圆柱的半径应设计为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
7．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有( )
A.年产量为9000件 B.年产量为10000件
C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元
8．国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，中上部分是底面半径和高都为米的圆锥，下部分是底面半径为r米 高为h米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面 底面每平方米的建造费用为a元，设每个容器的制造总费用为y元，则下面说法正确的是( )
A. B.h的最大值为
C.当时， D.当时，y有最小值，最小值为
三、填空题
9．做一个无盖的圆柱形水桶，其体积是，则当圆柱底面圆半径__________时，用料最省.
10．在边长为6cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长为________cm时,箱子容积最大.
四、解答题
11．如果有一张长80cm、宽50cm的环保板材，先在它的四个角上截去边长为x的四个小正方形，做一只无盖长方体容器（允许剪切与焊接，焊接处理厚度与损耗不计）.
(1)写出容积y关于x的函数，并写出该函数的定义域；
(2)当x为何值时，函数有最大值，并求出此最大值.
12．某家具制造公司，欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知，，且米，曲线段是以点B为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在、上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何精准设计才能使矩形桌面板的面积最大？并求出最大的面积.
参考答案
1．答案：C
解析：设运输成本为y元，依题意可得，
则，
所以当时，当Error! Digit expected.时，当d时，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值即最小值，所以时全程运输成本最低；故选：C.
2．答案：C
解析：等腰中，，设的面积为，
则，，
求导
，
令，即，解得：（舍去负根），
记，，
当，，函数单调递增；
当，，函数单调递减；
故当时，即，取得极大值，即最大值，
则
故选：C.
3．答案：B
解析：依题意，得，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值.故选B.
4．答案：B
解析：因为矩形ABCD的周长为4，设，则，
所以将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱的体积为：
，，
则，令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当，，时，取得最大值，
所以将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱体积最大时，AB长为.
故选：B.
5．答案：A
解析：
6．答案：A
解析：设挖去的圆柱的底面半径为r，高为h，取圆锥的轴截面，如下图所示：
设圆柱的截轴截面为矩形，底面圆圆心为O，连接交于点K，
因为，则，即，可得，其中，
圆柱的体积为，其中，
，令，可得，列表如下：
r
+ 0 -
增 极大值 减
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取最大值，此时，加工后的几何体的体积取最小值，
故选：A.
7．答案：AD
解析：设年利润为W.
当时，，
.令，得（舍负），且当时，
；当时，；
所以当时，年利润W取得最大值38.6；
当时，，.
令，得（舍负），所以当时，年利润W取得最大值38.
因为，所以当年产量为9000件时，
该公司在这一品牌服装的生产中
所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元.
故选：AD.
8．答案：BCD
解析：由题意可得，所以，由，得，解得，所以，故A项不正确.
易知h随r的增大而减小，所以当时，h取得最大值，且最大值，故B项正确.
圆锥的母线长，故圆锥的侧面积，
圆柱的侧面积，圆柱的底面积，
所以总费用
.
当时，，C项正确.
，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，y取得最小值，最小值为，D项正确.
故选：BCD
9．答案：3
解析：设圆柱的高为h，半径为r，则由圆柱的体积公式可得
所以
所以
令，，则，
令解得，令可得，
在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值即最小值，
即当时，圆柱的表面积（不包含上底面）最小，即用料最省；
故答案为：3.
10．答案：4
解析：设箱底边长为cm,箱子的容积为,
则,,
令,解得,,解得,
所以函数在上单调递增,上单调递减,
当时,容积y取得最大值,为16.
故答案为:4.
11．答案：(1)，定义域是
(2)时，取到最大值，且最大值为
解析：（1）依题意，，
由，解得，所以的定义域为.
（2），
所以在区间递增；
在区间,,递减，
所以当时，取到最大值，且最大值为.
12．答案：把桌面板设计成长为米，宽为米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为平方米
解析：解：以B为原点，所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
依题意可设抛物线方程为，且，所以，即，
故点P所在曲线段的方程为，
设是曲线段上的任意一点，
则在矩形中，，，
所以，桌面板的面积为，
，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以当时，有最大值，此时，，此时，.
答：把桌面板设计成长为米，宽为米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为平方米.

展开更多......

收起↑