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10.1 电势能和电势【八大题型】
【人教版 2019】
【题型 1 电势能和电势基本概念的理解】 ............................................................................................................2
【题型 2 电场力做功与电势能的关系】 ................................................................................................................4
【题型 3 等量电荷周围的电势分布】 ....................................................................................................................8
【题型 4 匀强电场电势的计算】 ..........................................................................Error! Bookmark not defined.
【题型 5 点电荷周围电势的表达式和电势的叠加】 ..........................................Error! Bookmark not defined.
【题型 6 带电粒子在点电荷电场中的运动】 ......................................................Error! Bookmark not defined.
【题型 7 运动轨迹判断电势高低】 ......................................................................Error! Bookmark not defined.
【题型 8 电势相关的图像问题】 ......................................................................Error! Bookmark not defined.24
知识点 1：静电力做功的特点
在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无
关．
知识点 2：电势能
1．定义：电荷在电场中具有的势能，用 Ep表示．
2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的变化量．表达式：WAB＝EpA－EpB.
(1)静电力做正功，电势能减少；
(2)静电力做负功，电势能增加．
3．电势能的大小：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力所做的功．
4．电势能具有相对性
电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为 0.
知识点 3：电势
1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．

2 ．公式：φ＝ .

3．单位：在国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是 V，1 V＝1 J/C.
4．电势高低的判断：沿着电场线方向电势逐渐降低．
5．电势的相对性：只有在规定了零电势点之后，才能确定电场中某点的电势，一般选大地或离场源电荷无
限远处的电势为 0.
6．电势是标量，只有大小，没有方向．
【题型 1 电势能和电势基本概念的理解】
【例 1】（2023·绵阳期中）电场是实际存在的，其存在方式与物质的存在方式不同。电场对放入其中的电
荷有力的作用，并使电荷具有一定的能量，下列能够描述电场性质的物理量是（　　）
①电场力 ②电场强度 ③电势能 ④电势
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【答案】C
【详解】电场强度和电势均只由电场决定，与试探电荷无关；根据
F = qE E， p = qj
可知电场力和电势能与试探电荷的电荷量有关，所以能够描述电场性质的物理量是电场强度和电势。
故选 C。
【变式 1-1】（2023·杨浦期中）下面关于物理量的正负表述正确的是（　　）
A．功的正负表示大小
B．电势能的正负表示大小
C．电量的正负表示方向
D．电势的正负表示方向
【答案】B
【详解】A．功的正负表示动力做功或阻力做功，不表示大小，故 A 错误；
B．电势能的正负表示电势能比零势能大或小，其正负表示大小，故 B 正确；
C．电量的正负表示缺少电子或者多余电子，电荷量的正负不表示方向，故 C 错误；
D．电势的正负表示某点的电势比零电势高或者低，电势的正负不表示方向，故 D 错误。
故选 B。
【变式 1-2】关于点电荷产生的电场，下列说法正确的是（　　）
A．电势降低的方向就是电场强度的方向
B．沿着电场线的方向，电场强度越来越小
C．取走电场中某点的试探电荷后，该点的电势变为零
D．以点电荷为圆心、r 为半径的球面上，各点的场强都不相同
【答案】D
【详解】A．电场中电势降低最快的方向才是电场强度的方向， 故 A 错误；
B．正点电荷的电场与负点电荷的电场方向不同，沿着电场线的方向，电势都是越来越低，但只有电场线越
来越稀疏，场强才越来越小，故 B 错误；
C．电场中某点的电势与试探电荷无关，只与场源电荷有关， 故 C 错误；
D．点电荷产生的电场中，以点电荷为圆心， r 为半径的球面上，各点的场强大小都相等，但方向不同，故
场强不同， 故 D 正确。
故选 D。
【变式 1-3】下面是某同学对电场中的一些概念的理解，其中错误的是（　　）
A．电场中某点的电场强度与在该点放入的检验电荷的电量多少、带电正负均无关
B．若选取无穷远为零势点，则在带负电的场源电荷周围，所有点的电势全部为负
C．某点的电势，在数值上等于将正电荷从该点移到无穷远点（零势点），电场力所做的功
D．电场中某电的电势，与零势点的选取有关；但这两点的电势差，与零势点的选取无关
【答案】C
【详解】A．电场强度是由场源电荷电荷量和到场源电荷距离有关，与检验电荷的电量多少、带电正负均无
关，选项 A 正确，不符合题意；
B．带负电的场源电荷在周围空间产生的电场线均是由无穷远处出发终止于负电荷，选取无穷远为零电势，
顺着电场线电势逐渐降低，所以若选取无穷远为零势点，则在带负电的场源电荷周围，所有点的电势全部
为负，故 B 正确，不符合题意；
C．某点的电势，在数值上等于将单位正电荷从该点移到无穷远点(零势点)，电场力所做的功，故 C 错误，
符合题意；
D．电势是相对的，是相对零电势点的，而电势差由电场本身决定，具有绝对性，与零势点的选取无关，选
项 D 正确，不符合题意。
故选 C。
【题型 2 电场力做功与电势能的关系】
【例 2】如图所示，质量均为m 的滑块A、B,A不带电，B 带正电电荷量为 q,A套在固定竖直杆上，B 放在
绝缘水平面上并靠近竖直杆，A、B 间通过铰链及长度为 L的刚性绝缘轻杆连接且静止。现施加水平向右电
场强度为E 的匀强电场，B 开始沿水平面向右运动，已知A、B均视为质点，重力加速度为 g ，不计一切摩
擦。则在 A 下滑的过程中，下列说法不正确的是（　　）
qE
A．A 的机械能最小时，B 的加速度大小为
m
B．A 运动到最低点时，B 的速度为零
C．A、B 组成的系统机械能不守恒
D．A 运动到最低点时，滑块 A 2gL qEL速度大小为 +
m
【答案】D
【详解】A．杆先对 A 做负功后对 A 做正功，当杆的作用力为 0 时，A 的机械能最小，此时 B 仅受电场力，
qE
故 B 的加速度大小为 m ，故 A 正确；
B．根据关联问题可知，A 到最低点时 B 的速度为 0，故 B 正确；
C．A、B 组成的系统因有电场力做功，故机械能不守恒，故 C 正确；
D．A 落地的瞬时，B 的速度为 0，根据系统能量守恒有
mgL + qEL 1= mv2
2
解得
v = 2gL 2qEL+
m
故 D 错误。
故选 D。
【变式 2-1】（2022·南京期末）如图所示，OA 为竖直绝缘墙面，A 点固定电荷量为+Q的小球，电荷量为
+q 的小球 B 通过轻绳与 O 点相连，小球 B 处于静止状态。已知OA = OB，将小球 A 视为场源电荷，小球 B
视为试探电荷，若小球 B 的电荷量逐渐减小，则在 B 靠近 A 的过程中（　　）
A．小球 B 受到的静电力大小逐渐减小
B．小球 B 所处位置的电场强度逐渐减小
C．小球 B 所受绳子 OB 的拉力逐渐减小
D．小球 B 所处位置的电势逐渐减小
【答案】A
【详解】AC．对小球 B 受力分析，三个力构成首尾相连的三角形，如图所示
根据相似三角形可得
mg F T
= =
OA AB OB
由于重力mg 不变，OA、OB 不变， AB 逐渐减小，则小球 B 受到的静电力大小逐渐减小，小球 B 所受绳子
OB 的拉力大小不变，故 A 正确，C 错误；
E k Q= 2
B．根据 r 可知， r 变小，则小球 B 所处位置的电场强度逐渐增大，故 B 错误；
E
E j =
p
D．在靠近过程中小球 B 受到的静电力做负功，小球 B 的电势能 p 增大，根据 q 且小球 B 的电荷量逐
渐减小，可知小球 B 所处位置的电势逐渐增大，故 D 错误。
故选 A。
【变式 2-2】（2023·马鞍山期末）如图所示，在电场强度为50N / C 的匀强电场中有 A、B 两点，A、B 两
点间距离为 10cm，AB 和电场线方向夹角为60°，现将电荷量为 4 10-8 C 的负电荷从 A 点移到 B 点，下列说
法正确的是（ ）
A．静电力对电荷做正功2.0 10-7 J ，电势能减少2.0 10-7 J
B．静电力对电荷做正功1.0 10-7 J ，电势能减少1.0 10-7 J
C．电荷克服静电力做功2.0 10-7 J ，电势能增加2.0 10-7 J
D．电荷克服静电力做功1.0 10-7 J ，电势能增加1.0 10-7 J
【答案】D
【详解】A、B 两点的电势差为
U AB = EdAB cos 60
o = 50 10 10-2 0.5V = 2.5V
将电荷量为 4 10
-8 C 的负电荷从 A 点移到 B 点，静电力做功为
WAB = U ABq = 2.5 (-4) 10
-8 J = -1.0 10-7 J
故电荷克服静电力做功1.0 10
-7 J -7，根据功能关系，电势能增加1.0 10 J 。
故选 D。
【变式 2-3】（多）有三个完全相同的带正电的绝缘小球 A、B、C（均可视为点电荷），质量为 m，带电量
为 +q ，A、B 之间与 B、C 之间各装有一根长为 L 的轻杆，轻杆两端与小球均通过轻质铰链连接。A、C 放
在光滑的绝缘水平地面上，A、B、C 恰构成正三角形且位于竖直面内并锁定，如图（a）所示。现解除锁定，
直至 B 刚好落地，如图（b）所示。已知重力加速度大小为 g，以无限远处为零电势点，距离电荷量为 Q 的
r k Q点电荷 处的电势为 ，其中 k 为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单
r
独存在时该点电势的代数和。下列说法正确的是（　　）
2
A．初始时刻，A、B 3kq、C 系统所具有的电势能为
L
2
B．B 落地时，A、B、C 4kq系统所具有的电势能为
3L
C．该过程中，A、B、C 系统的机械能守恒
D kq
2
．B 落地时的速度大小为 3gL +
mL
【答案】AD
【详解】A．电势能等于将电荷移到无穷远，电场力做的功，故 A、B、C 系统的电势能可认为分别将 C、B
小球搬到无穷远电场力做的功。初始时刻，先将 C 球移到无穷远，电场力做功等于
W 2kq q 2kq
2
11 = × =L L
再将 B 球移到无穷远，电场力做功等于
W kq kq
2
12 = ×q =L L
故系统的电势能等于做的总功，即
3kq2Ep1 = W11 +W12 = L
故 A 正确；
B．B 球刚好要落地时，将 C 球移到无穷远，电场力做功等于
2
W kq kq 3kq21 = ×q + ×q =L 2L 2L
再将 B 球移到无穷远，电场力做功等于
W kq
2
22 = ×q
kq
=
L L
故系统的电势能等于做的总功，即
2
Ep2 = W21 +W
5kq
22 = 2L
故 B 错误；
C．该过程，系统电势能减小，因此机械能增加，故 C 错误；
D．由能量守恒有
mg 3L + E 1p1 - E2 p2 = mv
2
2 B
解得
v 3gL kq
2
B = + mL
故 D 正确。
故选 AD。
【题型 3 等量电荷周围的电势分布】
【例 3】（2023·沈阳期末）如图，两个等量同种正点电荷位于圆的直径 AC 上，直径 BD 垂直于 AC，
CM=MO=ON=NA，下列说法正确的是（　　）
A．圆弧 ABCD 是等势面
B．同一个试探电荷在 B、D 两个位置所受的电场力相同
C．负电荷在 A 点的电势能比其在 O 点的电势能大
D．将带正电的试探电荷从 О 点沿直线移到 D 点的过程中，该电荷的电势能先增大后减小
【答案】C
【详解】A．等量同种点电荷电势分布如图所示
由图可知，A、C 点的电势相等，B、D 点的电势相等，圆弧 ABCD 不是等势面，故 A 错误；
B．同一个试探电荷在 B、D 两个位置所受的电场力大小相等，方向相反，故 B 错误；
C．根据电势的分布可知，A 点的电势低于 O 点的电势，所以负电荷在 A 点的电势能比其在 O 点的电势能
大，故 C 正确；
D．在两点电荷中垂线上 O 点电势最高，所以将带正电的试探电荷从 О 点沿直线移到 D 点的过程中，电势
能减小，故 D 错误。
故选 C。
【变式 3-1】如图，两对等量异号点电荷 +q 、-q 固定于正方形的 4 个顶点上。L、N 是该正方形两条对角线
与其内切圆的交点，O 为内切圆的圆心，M 为切点。则（　　）
A．L 和 N 两点处的电场方向不垂直
B．M 点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C．将一带正电的试探电荷从 M 点移动到 O 点，电场力做正功
D．将一带正电的试探电荷从 L 点移动到 N 点，电场力做功为零
【答案】B
【详解】A．两个正电荷在 N 点产生的场强方向由 N 指向 O，N 点处于两负电荷连线的中垂线上，则两负
电荷在 N 点产生的场强方向由 N 指向 O，则 N 点的合场强方向由 N 指向 O，同理可知，两个负电荷在 L 处
产生的场强方向由 O 指向 L，L 点处于两正电荷连线的中垂线上，两正电荷在 L 处产生的场强方向由 O 指
向 L，则 L 处的合场方向由 O 指向 L，由于正方形两对角线垂直平分，则 L 和 N 两点处的电场方向相互垂
直，故 A 错误；
B．正方形底边的一对等量异号电荷在 M 点产生的场强方向向左，而正方形上方的一对等量异号电荷在 M
点产生的场强方向向右，由于 M 点离上方一对等量异号电荷距离较远，则 M 点的场方向向左，平行于该点
处的切线，故 B 正确；
C．由图可知，M 和 O 点位于两等量异号电荷的等势线上，即 M 和 O 点电势相等，所以将一带正电的点电
荷从 M 点移动到 O 点，电场力不做功，故 C 错误；
D．由图可知，L 点的电势低于 N 点电势，则将一带正电的点电荷从 L 点移动到 N 点，电场力做功不为零，
故 D 错误。
故选 B。
【变式 3-2】（2023·威海期末）（多）如图所示，两个等量正点电荷形成的电场中，O 点为两电荷连线的
中点，O、A、B、C 为以其中一正电荷为圆心的圆上四点，取无限远处电势为零。下列说法正确的是（　　）
A．A、C 两点电场强度相同
B．A、C 两点电势相等
C．O 点的电势为零
D．电子在 O 点的电势能小于在 B 点的电势能
【答案】BD
【详解】A．根据对称性，A、C 两点电场强度大小相等，方向不同，故 A 错误；
B．A、C 两点距两个等量正点电荷的距离相等，则 A、C 两点电势相等，故 B 正确；
C．根据正点电荷电势分布可知，左侧正点电荷在 O 点的电势大于零，右侧正点电荷在 O 点的电势大于零，
故 O 点的电势大于零，故 C 错误；
D．根据正点电荷电势分布可知，左侧正点电荷在 O 点的电势大于 B 点的电势，右侧正点电荷在 O 点的电
势等于 B 点的电势，则 O 点的电势大于在 B 点的电势，负电荷在高电势处电势能反而小，则电子在 O 点的
电势能小于在 B 点的电势能，故 D 正确。
故选 BD。
【变式 3-3】（2023·黔西期末）（多）如图所示，图甲中 a、b 为等量异种点电荷连线上关于中点O对称
的两点，图乙中 c、 d 为等量同种正点电荷连线中垂线上关于O对称的两点，图丙中 e、 f 在以正点电荷为
球心的球面上，图丁中 g 、h为相距较近带等量异种电荷平行板之间的两点，则关于各点的电场强度、电势
说法正确的是（　　）
A．图甲中 a、b 两点电场强度和电势均相同
B．图乙中 c、 d 两点电场强度和电势均相同
C．图丙中 e、 f 两点电场强度不同，电势相同
D．图丁中 g 、 h两点电场强度相同，电势不同
【答案】CD
【详解】A．根据等量异种点电荷电场分布特点，结合对称性可知，图甲中 a、b 两点电场强度大小相等，
方向相同，均向右；根据沿电场方向电势降低可知， a点电势高于b 点电势，故 A 错误；
B．根据等量同种点电荷电场分布特点，结合对称性可知，图乙中 c、d 两点电场强度大小相等，方向相反；
c、 d 两点电势相等，故 B 错误；
C．根据点电荷电场分布特点可知，图丙中 e、 f 两点电场强度大小相等，方向不同； e、 f 两点处于等势
面上，所以电势相等，故 C 正确；
D．平行板间的电场为匀强电场，则 g 、 h两点电场强度相同， g 点比 h点更靠近带正电极板，则 g 点电势
高于 h点电势，故 D 正确。
故选 CD。
【题型 4 匀强电场电势的计算】
【例 4】（2022·武汉期中）如图所示，在匀强电场中有一平行四边形 ABCD，已知 A、B、C 三点的电势
分别为jA =12V，jB = 8V，jC = 2V ，则 D 点的电势为（　　）
A．1V B．3V C．6V D．8V
【答案】C
【详解】根据匀强电场的电势分布特点可知
jA -jB = jD -jC
解得
jD = 6V
故选 C。
【变式 4-1】（2021·广州期末）电场中的 a、b、c 三点在同一电场线上，如图所示，其中 c 为 ab 的中点，
已知 a、b 两点的电势分别为ja 和jb ，且jb > ja > 0，则下列叙述正确的是（　　）
j +j
A．该电场在 c 点处的电势一定为 a b
2
B．正电荷从 b 点运动到 a 点，电势能一定减少
C．正电荷从 b 点运动到 c 点，电场力一定做正功
D．正电荷只受电场力作用从 a 点运动到 c 点，动能增加
【答案】BC
【详解】A．a、b、c 三点在同一电场线上，若该电场是匀强电场，则在 c 点处的电势为
j j= a +jbc 2
若该电场不是匀强电场，则在 c 点处的电势
j j a +jbc 2
A 错误；
B．正电荷从 b 点运动到 a 点，因为
jb > ja > 0
所以
qja < qjb
即
Epa < Epb
正电荷从 b 点运动到 a 点，电势能一定会减少，B 正确；
C．根据正电荷在电势高处电势能大，可知正电荷从 b 点运动到 c 点的过程中电势能一定减小，而由能量守
恒得知，若正电荷只受电场力作用，电场力做正功，C 正确；
D．根据正电荷在电势高处电势能大，可知正电荷从 a 点运动到 c 点的过程中电势能一定增大，而由能量守
恒得知，若正电荷只受电场力作用，其动能一定减小，D 错误。
故选 BC。
【变式 4-2】（2022·天津一模）如图所示，A 、B 、C 、D为匀强电场中的四点，它们的连线构成正方形，
其中 AD 边与电场线平行，O点为 AC 与BD连线的交点。一个电荷量为Q的正点电荷固定在O点，下列说
法正确的是（ ）
A．C 、D两点的电场强度相同
B．A 、 B 两点的电势相等
C．将电子沿直线从 B 点移动到C 点，电场力做正功
D．将电子沿直线从C 点移动到D点，电势能先减小后增大
【答案】BD
【详解】如图所示，在O点的正点电荷在A 、 B 、C 、D四点产生电场方向如图所示
A．由图可知C 、D两点的电场强度方向不相同，故C 、D两点的电场强度不相同，A 错误；
B．匀强电场在A 、 B 两点的电势相等，点电荷在A 、 B 两点的电势相等，故A 、 B 两点的电势相等，B 正
确；
C．点电荷在 B 、C 两点的电势相等，故将电子沿直线从 B 点移动到C 点，点电荷对电子做功为零，匀强电
场对电子做负功，故电场力做负功，C 错误；
D．CD边与匀强电场方向垂直，将电子沿直线从C 点移动到D点，匀强电场对电子不做功，点电荷对电子
先做正功后做负功，故电势能先减小后增大，D 正确；
故选 BD。
【变式 4-3】如图所示，在一水平向右、电场强度为E =12N/C的匀强电场中有一电量为Q = +1.0 10-11C 点
电荷 M，以 M 为圆心、半径为R = 0.1m的圆周上有 A、B 两点，B 在 M 正上方，A 在 M 正右方，一电荷量
为 q = 0.5 10-15C的正点电荷从 A 运动到 B，静电力常量 k = 9.0 109 N ×m2 /C2， sin 53° = 0.8、 cos53° = 0.6，
求：
（1）B 点的场强大小EB 及其方向与水平方向夹角q ；
（2）若取 A 点为零电势点，则点电荷在 B 点的电势能为多大？B 点的电势又为多大？
【答案】（1）15N/C，37°；（2）6 10-16 J，1.2V
【详解】（1）点电荷在 B 点的场强大小为
E k Q 9.0 109 1.0 10
-11
1 = 2 = R 0.12
= 9N/C
则 B 点的场强大小为
E 2 2 2 2B = E1 + E = 9 +12 N/C =15N/C
B 点的场强与水平方向夹角满足
tanq E 3= 1 =
E 4
解得
q = 37°
（2）若取 A 点为零电势点，正点电荷从 A 运动到 B，电场力做功为
WAB = -qER = -0.5 10
-15 12 0.1J = -6 10-16 J
又
WAB = -DEp = -(EpB - EpA ) = -EpB
解得点电荷在 B 点的电势能为
EpB = 6 10
-16 J
根据
EpB = qjB
可得 B 点的电势为
E -16
j 6 10B =
pB =
q 0.5 10-15
=1.2V
【题型 5 点电荷周围电势的表达式和电势的叠加】
【例 5】（2023·吉林期末）（多）如图所示， A、B、C、D 是正方形的四个顶点，在 A、B、C 三点放有
电荷量都为+q 的点电荷，正方形的两条对角线 AC、BD 相交于 O 点，则关于 D 点和 O 点的电场强度和电
势的判断，以下说法正确的是（　　）
A．D 点电场强度大于 O 点的电场强度
B．D 点电场强度小于 O 点的电场强度
C．D 点电势高于 O 点的电势
D．D 点电势低于 O 点的电势
【答案】BD
【详解】AB．令正方形的边长为 a，根据电场强度的叠加原理有
E k q 2kqq 2 2 +1 kq O = 2 = 2ED = 2k 2 cos 45o + k q = 2a aa 2 22a 2a 2 ÷
， è
则有
ED < EO
故 A 错误，B 正确；
CD．在正点电荷产生的电场中，所有点的电势都大于零，且离正点电荷越近，电势越高，再根据点电荷电
场中某点的电势等于各点电荷在该点电势的代数和，可知
jD < jO
故 C 错误，D 正确。
故选 BD。
【变式 5-1】如图所示，O 点为均匀带电圆环的圆心，圆环的带电量为-Q，直线 OA 垂直于圆环平面，圆
kQ
环的半径 r = 3a ，O，A 两点间的距离 L = 4a ，若取无穷远处电势为 0，点电荷电场中电势j = ，Q 表示
r
点电荷的电荷量，r 表示与点电荷间的距离，k 为静电力常量，下列判断正确的是（ ）
A．O 点的电场强度为 0，电势为 0
4kQ
B．A 点的电场强度大小为
125a2
4kQ
C．A 点的电势大小为-
125a
D．电子在 O 点的电势能小于在 A 点的电势能
【答案】B
【详解】A．将圆环分成 n 个微元，每个微元均能够看为点电荷，电荷量为
q Q=
n
根据对称性及场强叠加原理，则圆心 O 点的电场强度为 0；圆心 O 点的电势为
j k nq QO = = -kr 3a
故 A 错误；
B．将圆环分成 n 个微元，每个微元均能够看为点电荷，设微元到 A 点距离为 R ，连线与 x 轴夹角为q ，根
据对称性及场强叠加原理，得 A 点的电场强度大小为
E kq kQ L kQ kQ 4a 4kQ= n cosq =
R2 R2
= 2 2 cosq = 2 =R 3a + 4a 25a 5a 125a2
故 B 正确；
C．由题意，可得 A 点的电势大小为
j n kq kQ kQA = = - = -R R 5a
故 C 错误；
D．由前面分析可知
jA > jO
根据同一负电荷在电势越低的地方电势能越大，则电子在 O 点的电势能大于在 A 点的电势能，故 D 错误。
故选 B 。
【变式 5-2】（2023·济宁期末）如图所示，真空中正三角形三个顶点分别固定三个电荷量大小相同的点电
荷，其中 A 带正电，B、C 带负电，P、O、Q 为 BC 边的四等分点。下列说法正确的是（　　）
A．P、Q 两点电场强度相同
B．P、Q 两点电势相同
C．一正电荷沿直线从 P 点移动到 O 点的过程中静电力做正功
D．一正电荷在 P 点的电势能大于在 O 点的电势能
【答案】B
【详解】A．根据场强叠加以及对称性可知，PQ 两点的场强大小相同，但是方向不同，故 A 错误；
B．因 BC 处的负电荷在 PQ 两点的合电势相等，A 点的正电荷在 PQ 两点的电势也相等，则 PQ 两点电势相
等，故 B 正确；
CD．正电荷从 P 到 O，因 BC 两电荷的合力对正电荷的库仑力从 O 指向 P，则该力对正电荷做负功，A 点
的正电荷也对该正电荷做负功，可知三个电荷对正电荷的合力对其做负功，则正电荷的电势能增加，即正
电荷在 P 点的电势能比在 O 点小。故 CD 错误。
故选 B。
【变式 5-3】在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，若将无限远处的电势规定为零时，则距离该点电荷 r 处
Q
的电势为 k ，其中 k 为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在的该
r
点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示（图中数字的
单位是 V），已知一电荷量为 q =1.6 10-4 C 的正电荷以一定的初速度从 A 点运动到 B 点，求：
(1)判断点电荷Q1与Q2的电性；（无需说明理由）
(2)该正电荷从 A 运动到 B 时电势能的变化量；
(3)Q1与Q2的比值；
Q1
-5 = -2
【答案】(1)Q1 Q带正电， 2带负电 (2) DEp = -3.2 10 J (3) Q2
【详解】（1）根据两点电荷周围的电势分布可知：Q1 Q带正电， 2带负电。
（2）该正电荷从 A 运动到 B 时，由动能定理可得
W = qU AB
又
W = -DEp
其中
U AB = jA -jB = 0.2V
联立解得
DE -5p = -3.2 10 J
（3）由图中电势为 0 的等势线可知
k Q1 k Q+ 2 = 0
r1 r2
由图中距离关系可知
r1 6=
r2 3
联立解得
Q1 = -2
Q2
【题型 6 带电粒子在点电荷电场中的运动】
【例 6】（2024·成都三模）如图所示，竖直平面内足够长的光滑绝缘倾斜杆底端固定有一点电荷 Q，M、N
为杆上的两点。套在杆上的绝缘带电小球从某点静止释放后，沿杆向上运动，先后通过了 M、N 两点。由此
可以判断（　　）
A．点电荷 Q 在 M 点处产生的场强方向一定沿杆向上
B．小球在 M 点的加速度一定大于在 N 点的加速度
C．小球在 M 点的电势能一定大于在 N 点的电势能
D．小球在 M 点的动能一定大于在 N 点的动能
【答案】C
【详解】A．绝缘带电小球先后通过了 M、N 两点，故可知其与点电荷电性相同，由于电性未知，故电场力
方向即电场强度方向未知，故 A 错误；
B．根据
F kQq=
r 2
可知距离越远库仑力越小，根据牛顿第二定律可知，若在 M 点
F1 - mg sinq = maM
在 N 点，若此时库仑力小于重力分力，则
mg sinq - F2 = maN
可知小球在 M 点的加速度与在 N 点的加速度大小未知，故 B 错误；
C．电场力做正功电势能减小，故小球在 M 点的电势能一定大于在 N 点的电势能，故 C 正确；
D．由 C 项可知若从 M 点到 N 点加速度符号变化，则从释放位置，到重力分力与电场力大小相同位置，合
外力做正功，动能增加；此后合外力做负功，动能减小，故先加速后减速，动能大小无法比较，故 D 错误。
故选 C。
【变式 6-1】（2023·杭州期中）如图所示，虚线 a、b、c 是某静电场中的三个等势面，它们的电势分别为
ja 、jb 和jc ，一带正电粒子射入电场中，其运动轨迹如实线 KLMN 所示。由图可知（ ）
A．粒子从 K 到 L 的过程中，电场力做负功 B．粒子从 L 到 M 的过程中，电场力做负功
C．粒子从 K 到 L 的过程中，电势能减小 D．粒子从 L 到 M 的过程中，动能减少
【答案】A
【详解】AC．根据图中等势面形状可知此电场是点电荷形成，由带正电粒子的轨迹可知，粒子受到的电场
力为斥力，则场源点电荷带正电，粒子从 K 到 L 的过程中，电场力对粒子做负功，粒子的电势能增加，故
A 正确，C 错误；
BD．粒子从 L 到 M 的过程中，电场力先做负功后做正功，所以粒子的动能先减小后增加，故 BD 错误。
故选 A。
【变式 6-2】如图所示，在竖直平面内存在电荷量分别为+Q1和-Q2的两个点电荷，两点电荷连线水平，在
Q1，Q2之间放置内壁光滑的绝缘细管，细管的上、下端口恰好在 Q1，Q2连线的中垂线上。电荷量为+q 的
小球（可视为点电荷）以初速度 v0从上端管口无碰撞进入细管，小球在细管中运动的过程中机械能始终守
恒，且细管上、下端口高度差为 h，重力加速度为 g，则（　　）
A．细管各处的电势为 0
B．小球在细管中运动时，电势能先增大后减小
C．小球离开细管的速度大小为 v20 + 2gh
D．Q1【答案】C
【详解】AB．带电小球在运动过程中始终机械能守恒，则小球在运动过程中电势能保持不变，故图中细管
所在的弧线是同一等势线，细管各处的电势相等，但不一定为 0，故 AB 错误；
C．小球在细管中的机械能始终守恒，则有
1 mv20 + mgh
1
= mv2
2 2
解得
v = v20 + 2gh
故 C 正确；
D．小球机械能始终守恒，说明电场力不做功，即电场力与速度方向始终垂直，则小球在初始位置的电场强
度方向为右上方，说明+Q1 在该位置的电场强度大于-Q2 在该位置的电场强度，则有
Q1 > Q2
故 D 错误。
故选 C。
【变式 6-3】（2023·聊城期末）（多）如图所示为两个固定在同一水平面上的点电荷，距离为 d，电荷量
分别为+Q和-Q。在它们的水平中垂线上固定一根长为 L、内壁光滑的绝缘细管，有一电荷量为 +q 的小球
以初速度 v0 从管口射入，则小球（　　）
A．速度先增大后减小再增大
B．小球对管壁的作用力先变大后变小
C．小球的电势能先增大后减小
8kQq
D．管壁对小球的弹力最大值为
d 2
【答案】BD
【详解】A．电场力与弹力始终平衡，水平方向合力为 0，竖直方向只受重力，所以小球做自由落体运动，
速度一直增大，故 A 错误；
B．电场强度先增大后减小，电场力先增大后减小，小球对管壁的作用力与电场力等大反向，所以先变大后
变小，故 B 正确；
C E．电场力始终与速度垂直不做功，所以 p 不变，故 C 错误；
D．中点处为场强最大处，故需计算此处电场强度
E 2k Q 8kQ=
1 2
=
d 2
d

2 ֏
8kQq
2
则最大电场力为 d ，弹力等大反向，故 D 正确。
故选 BD。
【题型 7 运动轨迹判断电势高低】
【例 7】（2023·德州期末）2023 年 3 月，中国科学家通过冷冻电镜技术解析了晶态冰中蛋白质三维结构。
电子显微镜是冷冻电镜中的关键部分，其中一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等势面，相邻等势
面间电势差相等，a、b 是轨迹上的两点。现有一电子以某一初速度从 b 向 a 运动的过程中，下列说法正确
的是（　　）
A．电子透镜的电场是正点电荷产生的
B．电子在 a 点的电势能大于在 b 点的电势能
C．电子在 a 点的动能大于在 b 点的动能
D．若该电子以某一初速度从 a 向 b 运动，则电子在 a 点的电势能小于在 b 点的电势能
【答案】B
【详解】A．正点电荷的等势面是以点电荷为球心的球面，没有平面，所以电子透镜的电场不是正点电荷产
生的，A 错误；
BC．电场线与等势面垂直，负电荷所受电场力与电场强度方向相反，电子在 b 点所受电场力垂直于等势面
向左，电子在 a 点所受电场力向左上方，电子从 b 到 a 过程中，电场力做负功，电势能增大，动能减小，所
以，电子在 a 点的电势能大于在 b 点的电势能，电子在 a 点的动能小于在 b 点的动能，B 正确，C 错误；
D．若该电子以某一初速度从 a 向 b 运动，电场力做正功，电势能减小，则电子在 a 点的电势能大于在 b 点
的电势能，D 错误。
故选 B。
【变式 7-1】（多）如图所示，虚线 a、b、c 代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势之差相等，
实线为一带负电的质点仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q 是这条轨迹上的三点，R 同
时在等势面 b 上，据此可知下列说法错误的是（　　）
A．三个等势面中，c 的电势最低
B．带电质点在 P 点的电势能比在 Q 点的小
C．带电质点在 P 点的动能与电势能之和比在 Q 点的小
D．带电质点在 R 点的加速度方向垂直于等势面 b
【答案】ABC
【详解】AB．带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，电场线与等势面垂直，且由于带电粒子带负电，
因此电场线指向左上方，根据沿电场线电势降低，可知 a 等势线的电势最低，c 等势线的电势最高，负电荷
在电势高的地方，电势能小，所以带电质点在 P 点的电势能比在 Q 点的大，故 AB 错误；
C．只有电场力做功，所以带电粒子在 P 点的动能与电势能之和与在 Q 点的动能与电势能之和相等，故 C
错误；
D．带电质点在 R 点的受力方向沿着电场线的切线方向，电场线与等势面垂直，故质点在 R 点的加速度方
向与等势面垂直，故 D 正确。
本题选错误的，故选 ABC。
【变式 7-2】（2024·宜宾二模）（多）如图所示，实线为两个点电荷Q1和Q2产生的电场中的电场线（方
向未标出），c、d 是关于两个点电荷连线对称的两点，一带正电的离子（不计重力）沿 aob 运动，下列说
法正确的是（　　）
A．Q1的电荷量大于Q2的电荷量
B．Q1带正电，Q2带负电
C．c、d 两点的电势相同，场强也相同
D．正离子在 a 点的电势能大于在 O 点的电势能
【答案】AD
【详解】A．Q1 Q周围的电场线比 2 Q周围的电场线密，说明Q1的电荷量大于 2的电荷量，A 正确；
B．带正电的离子在电场中做曲线运动，电场力指向轨迹内侧。且正电荷所受电场力与所处位置场强方向
Q Q
（即电场线切线方向）相同。由图可知，电场线由 2指向Q1，所以Q1带负电， 2带正电，B 错误；
C．由电场线分布可知， c、 d 两点的电势相同，场强大小相等，方向不同，C 错误；
D．正离子从 a点运动到O点，电场力做正功，电势能降低，即正离子在 a点的电势能大于在O点的电势能，
D 正确。
故选 AD。
【变式 7-3】（2024·南充一模）（多）两个固定的点电荷 P、Q 所形成电场的等势线如图中的虚线所示，
一带电粒子以某一初速度从图中的 d 点进入电场，仅在静电力的作用下运动，运动轨迹如图中的实线所示。
下列说法正确的是（　　）
A．点电荷 P、Q 带有等量同种电荷，粒子带负电
B．粒子从 d 点到 a 点的运动过程中，静电力先做正功后做负功
C．粒子从 d 点到 a 点运动的过程中，电势能先增大后减小
D．粒子经过 a 点和 d 点时的速度相同
【答案】AC
【详解】A．靠近点电荷 P、Q 处的等势面电势高，说明点电荷 P、Q 均带正电，则点电荷 P、Q 带同种电
荷；根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，段合外力方向大致向下，段电场强度方向垂直等势面向上，
可知粒子带负电，故 A 正确；
BC．粒子从 d 点到 a 点运动的过程中，电势先减小后增大，粒子带负电，电场力先做负功后做正功，动能
先减小后增大，电势能先增大后减小，故 B 错误，C 正确；
D U = 0．a 点和 d 点的电势相等，即 da ，则粒子从 d 点到 a 点电场力所做总功为零，故粒子在 a 点和 d 点的
速度大小相等，但速度的方向不同，则两点的速度不相同，故 D 错误。
故选 AC。
【题型 8 电势相关的图像问题】
【例 8】（2023·枣庄期末）在静电场中，从原点 O 由静止释放一带负电的微粒，它沿着 x 轴正方向运动，
依次经过 x 轴上的 x1、x2、x3、x4四点。已知微粒仅受电场力作用，该微粒的电势能Ep 随位置坐标 x 的变化
关系如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．x2和 x4两点处的电场强度相同
B．由 x1运动到 x4的过程中，微粒的加速度先增大后减小
C．由 x1运动到 x4的过程中，微粒的动能先增大后减小
D．从 x1到 x2 过程中电场力对微粒做的功小于从 x1到 x4过程中电场力对微粒做的功
【答案】C
【详解】A．根据
qE ×Dx = -DEp
解得
DEp = -qE
Dx
E
可知 p -x 图像中图线的斜率表示-qE 。由图可知，x2 和 x4 两点处的斜率不同，则它们的电场强度不相同。
故 A 错误；
B．根据
a qE=
m
x
可知，由 x1 运动到 4的过程中，图线上各点的切线斜率先减小再增大，所以微粒的加速度先减小后增大。
故 B 错误；
C．依题意，微粒仅受电场力作用，电场力做功导致动能和电势能的相互转化，二者总量保持不变，由图可
知由 x x1运动到 4的过程中，微粒的电势能先减小后增大，所以其动能先增大后减小。故 C 正确；
D x．由图可知，微粒在 x2和 4处的电势能相等，根据
W电 = -DEp
可知从 x1到 x2过程中电场力对微粒做的功等于从 x x1到 4过程中电场力对微粒做的功。故 D 错误。
故选 C。
【变式 8-1】（多）如图所示，A、B 两个等量正的点电荷固定放置，O 为 A、B 连线中点，在 A、B 连线的
垂直平分线上 P 点，由静止释放一个负的点电荷，该点电荷仅在电场力作用下运动，取 P 点电势为零，在
该点电荷从 P 点运动到 O 点过程中，速度随时间、电势能随运动位移的关系可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】AB．v-t 图像中图线的斜率表示加速度，根据静电场的叠加可知，PO间的电场强度可能一直减小，
也可能先增大后减小，根据
a F qE= =
m m
可知如果电场强度一直减小，则电场力一直减小，加速度一直减小，如果电场强度先增大后减小，则电场
力先增大后减小，加速度先增大后减小。故 A 错误；B 正确；
CD．根据电场力做功与电势能变化的关系
W电 = qEx = -DEp
Ep - x可知 图像中图线的斜率表示电场力，由前面分析可知，电场力可能一直减小，也可能先增大后减小。
故 C 正确；D 错误。
故选 BC。
【变式 8-2】（多）在 x 轴上 O、P 两点分别放置电荷量为 q1、 q2的点电荷，一个带负电的试探电荷在两电
荷连线上的电势能Ep 随 x 变化关系如图所示，其中 A、B 两点电势能为零，BD 段中 C 点电势能最大，则下
列说法中正确的是（ ）
A． q1是负电荷， q2是正电荷
B．B、C 间场强方向沿 x 轴正方向
C．C 点的电场强度大于 A 点的电场强度
D．将一个正点电荷从 B 点移到 D 点，电场力先做负功后做正功
【答案】AB
【详解】A．由题图可知，从 O 到 P 电势能一直减小，试探电荷带负电，则电势一直增加，两个点电荷必
q q
定是异种电荷，且 1是负电荷， 2是正电荷，故 A 正确；
B．由题图可知，从 B 到 C 电势能增加，试探电荷带负电，则电势降低，根据沿电场线方向电势降低可知，
B、C 间电场强度方向沿 x 轴正方向，故 B 正确；
C．切线斜率表示电场力，可知 C 点场强为零，A 点的场强不等于零，则 A 点的场强大于 C 点的场强，故 C
错误；
D．由题图可知，从 B 点到 D 点，试探电荷带负电，电势能先增大后减小，则电势先降低后升高，将一个
正点电荷从 B 点移到 D 点，电势能先减小后增大，则电场力先做正功后做负功，故 D 错误。
故选 AB。
【变式 8-3】（2024·厦门三模）（多）一带正电的金属板和一带负电的放电极形成电场，电场线分布如图
所示。一电子从 M 沿直线运动到 N，以放电极为原点，以 MN 方向为正方向建立 x 轴。该过程中，电场强
度大小 E、电子的加速度大小 a、电势j 、电势能Ep 随 x 变化的图像可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】A．由题知该电场为非匀强电场，电子从 M 沿直线运动到 N，电场线疏密程度非均匀变化，可知
题中电场强度E 随位移 x 非线性变化，电场强度E 随位移 x 在逐渐减小，A 错误；
B．电场强度E 随位移 x 在逐渐减小，粒子所受电场力在逐渐减小，故粒子的加速度在逐渐减小，B 正确；
C．电子逆着电场线运动，电势j 随位移 x 在逐渐增大，C 错误；
D E．电子逆着电场线运动，电场力做正功，电势能 p 随位移 x 在逐渐减小，由于电场力减小，图像斜率减小，
D 正确；
故选 BD。10.1 电势能和电势【八大题型】
【人教版 2019】
【题型 1 电势能和电势基本概念的理解】 ............................................................................................................2
【题型 2 电场力做功与电势能的关系】 ..............................................................Error! Bookmark not defined.
【题型 3 等量电荷周围的电势分布】 ..................................................................Error! Bookmark not defined.
【题型 4 匀强电场电势的计算】 ..........................................................................Error! Bookmark not defined.
【题型 5 点电荷周围电势的表达式和电势的叠加】 ..........................................Error! Bookmark not defined.
【题型 6 带电粒子在点电荷电场中的运动】 ......................................................Error! Bookmark not defined.
【题型 7 运动轨迹判断电势高低】 ......................................................................Error! Bookmark not defined.
【题型 8 电势相关的图像问题】 ..........................................................................Error! Bookmark not defined.
知识点 1：静电力做功的特点
在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无
关．
知识点 2：电势能
1．定义：电荷在电场中具有的势能，用 Ep表示．
2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的变化量．表达式：WAB＝EpA－EpB.
(1)静电力做正功，电势能减少；
(2)静电力做负功，电势能增加．
3．电势能的大小：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力所做的功．
4．电势能具有相对性
电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为 0.
知识点 3：电势
1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．

2 ．公式：φ＝ .

3．单位：在国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是 V，1 V＝1 J/C.
4．电势高低的判断：沿着电场线方向电势逐渐降低．
5．电势的相对性：只有在规定了零电势点之后，才能确定电场中某点的电势，一般选大地或离场源电荷无
限远处的电势为 0.
6．电势是标量，只有大小，没有方向．
【题型 1 电势能和电势基本概念的理解】
【例 1】（2023·绵阳期中）电场是实际存在的，其存在方式与物质的存在方式不同。电场对放入其中的电
荷有力的作用，并使电荷具有一定的能量，下列能够描述电场性质的物理量是（　　）
①电场力 ②电场强度 ③电势能 ④电势
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【变式 1-1】（2023·杨浦期中）下面关于物理量的正负表述正确的是（　　）
A．功的正负表示大小
B．电势能的正负表示大小
C．电量的正负表示方向
D．电势的正负表示方向
【变式 1-2】关于点电荷产生的电场，下列说法正确的是（　　）
A．电势降低的方向就是电场强度的方向
B．沿着电场线的方向，电场强度越来越小
C．取走电场中某点的试探电荷后，该点的电势变为零
D．以点电荷为圆心、r 为半径的球面上，各点的场强都不相同
【变式 1-3】下面是某同学对电场中的一些概念的理解，其中错误的是（　　）
A．电场中某点的电场强度与在该点放入的检验电荷的电量多少、带电正负均无关
B．若选取无穷远为零势点，则在带负电的场源电荷周围，所有点的电势全部为负
C．某点的电势，在数值上等于将正电荷从该点移到无穷远点（零势点），电场力所做的功
D．电场中某电的电势，与零势点的选取有关；但这两点的电势差，与零势点的选取无关
【题型 2 电场力做功与电势能的关系】
【例 2】如图所示，质量均为m 的滑块A、B,A不带电，B 带正电电荷量为 q,A套在固定竖直杆上，B 放在
绝缘水平面上并靠近竖直杆，A、B 间通过铰链及长度为 L的刚性绝缘轻杆连接且静止。现施加水平向右电
场强度为E 的匀强电场，B 开始沿水平面向右运动，已知A、B均视为质点，重力加速度为 g ，不计一切摩
擦。则在 A 下滑的过程中，下列说法不正确的是（　　）
qE
A．A 的机械能最小时，B 的加速度大小为
m
B．A 运动到最低点时，B 的速度为零
C．A、B 组成的系统机械能不守恒
D．A qEL运动到最低点时，滑块 A 速度大小为 2gL +
m
【变式 2-1】（2022·南京期末）如图所示，OA 为竖直绝缘墙面，A 点固定电荷量为+Q的小球，电荷量为
+q 的小球 B 通过轻绳与 O 点相连，小球 B 处于静止状态。已知OA = OB，将小球 A 视为场源电荷，小球 B
视为试探电荷，若小球 B 的电荷量逐渐减小，则在 B 靠近 A 的过程中（　　）
A．小球 B 受到的静电力大小逐渐减小
B．小球 B 所处位置的电场强度逐渐减小
C．小球 B 所受绳子 OB 的拉力逐渐减小
D．小球 B 所处位置的电势逐渐减小
【变式 2-2】（2023·马鞍山期末）如图所示，在电场强度为50N / C 的匀强电场中有 A、B 两点，A、B 两
点间距离为 10cm，AB 和电场线方向夹角为60°，现将电荷量为 4 10-8 C 的负电荷从 A 点移到 B 点，下列说
法正确的是（ ）
A．静电力对电荷做正功2.0 10-7 J ，电势能减少2.0 10-7 J
B．静电力对电荷做正功1.0 10-7 J ，电势能减少1.0 10-7 J
C．电荷克服静电力做功2.0 10-7 J ，电势能增加2.0 10-7 J
D．电荷克服静电力做功1.0 10-7 J ，电势能增加1.0 10-7 J
【变式 2-3】（多）有三个完全相同的带正电的绝缘小球 A、B、C（均可视为点电荷），质量为 m，带电量
为 +q ，A、B 之间与 B、C 之间各装有一根长为 L 的轻杆，轻杆两端与小球均通过轻质铰链连接。A、C 放
在光滑的绝缘水平地面上，A、B、C 恰构成正三角形且位于竖直面内并锁定，如图（a）所示。现解除锁定，
直至 B 刚好落地，如图（b）所示。已知重力加速度大小为 g，以无限远处为零电势点，距离电荷量为 Q 的
点电荷 r 处的电势为 k Q ，其中 k 为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单
r
独存在时该点电势的代数和。下列说法正确的是（　　）
2
A．初始时刻，A、B C 3kq、 系统所具有的电势能为
L
2
B．B 落地时，A、B C 4kq、 系统所具有的电势能为
3L
C．该过程中，A、B、C 系统的机械能守恒
D B 3gL kq
2
． 落地时的速度大小为 +
mL
【题型 3 等量电荷周围的电势分布】
【例 3】（2023·沈阳期末）如图，两个等量同种正点电荷位于圆的直径 AC 上，直径 BD 垂直于 AC，
CM=MO=ON=NA，下列说法正确的是（　　）
A．圆弧 ABCD 是等势面
B．同一个试探电荷在 B、D 两个位置所受的电场力相同
C．负电荷在 A 点的电势能比其在 O 点的电势能大
D．将带正电的试探电荷从 О 点沿直线移到 D 点的过程中，该电荷的电势能先增大后减小
【变式 3-1】如图，两对等量异号点电荷 +q 、-q 固定于正方形的 4 个顶点上。L、N 是该正方形两条对角线
与其内切圆的交点，O 为内切圆的圆心，M 为切点。则（　　）
A．L 和 N 两点处的电场方向不垂直
B．M 点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C．将一带正电的试探电荷从 M 点移动到 O 点，电场力做正功
D．将一带正电的试探电荷从 L 点移动到 N 点，电场力做功为零
【变式 3-2】（2023·威海期末）（多）如图所示，两个等量正点电荷形成的电场中，O 点为两电荷连线的
中点，O、A、B、C 为以其中一正电荷为圆心的圆上四点，取无限远处电势为零。下列说法正确的是（　　）
A．A、C 两点电场强度相同
B．A、C 两点电势相等
C．O 点的电势为零
D．电子在 O 点的电势能小于在 B 点的电势能
【变式 3-3】（2023·黔西期末）（多）如图所示，图甲中 a、b 为等量异种点电荷连线上关于中点O对称
的两点，图乙中 c、 d 为等量同种正点电荷连线中垂线上关于O对称的两点，图丙中 e、 f 在以正点电荷为
球心的球面上，图丁中 g 、h为相距较近带等量异种电荷平行板之间的两点，则关于各点的电场强度、电势
说法正确的是（　　）
A．图甲中 a、b 两点电场强度和电势均相同
B．图乙中 c、 d 两点电场强度和电势均相同
C．图丙中 e、 f 两点电场强度不同，电势相同
D．图丁中 g 、 h两点电场强度相同，电势不同
【题型 4 匀强电场电势的计算】
【例 4】（2022·武汉期中）如图所示，在匀强电场中有一平行四边形 ABCD，已知 A、B、C 三点的电势
分别为jA =12V，jB = 8V，jC = 2V ，则 D 点的电势为（　　）
A．1V B．3V C．6V D．8V
【变式 4-1】（2021·广州期末）电场中的 a、b、c 三点在同一电场线上，如图所示，其中 c 为 ab 的中点，
已知 a、b 两点的电势分别为ja 和jb ，且jb > ja > 0，则下列叙述正确的是（　　）
j +j
A．该电场在 c 点处的电势一定为 a b
2
B．正电荷从 b 点运动到 a 点，电势能一定减少
C．正电荷从 b 点运动到 c 点，电场力一定做正功
D．正电荷只受电场力作用从 a 点运动到 c 点，动能增加
【变式 4-2】（2022·天津一模）如图所示，A 、B 、C 、D为匀强电场中的四点，它们的连线构成正方形，
其中 AD 边与电场线平行，O点为 AC 与BD连线的交点。一个电荷量为Q的正点电荷固定在O点，下列说
法正确的是（ ）
A．C 、D两点的电场强度相同
B．A 、 B 两点的电势相等
C．将电子沿直线从 B 点移动到C 点，电场力做正功
D．将电子沿直线从C 点移动到D点，电势能先减小后增大
【变式 4-3】如图所示，在一水平向右、电场强度为E =12N/C的匀强电场中有一电量为Q = +1.0 10-11C 点
电荷 M，以 M 为圆心、半径为R = 0.1m的圆周上有 A、B 两点，B 在 M 正上方，A 在 M 正右方，一电荷量
为 q = 0.5 10-15C的正点电荷从 A 运动到 B，静电力常量 k = 9.0 109 N ×m2 /C2， sin 53° = 0.8、 cos53° = 0.6，
求：
（1）B 点的场强大小EB 及其方向与水平方向夹角q ；
（2）若取 A 点为零电势点，则点电荷在 B 点的电势能为多大？B 点的电势又为多大？
【题型 5 点电荷周围电势的表达式和电势的叠加】
【例 5】（2023·吉林期末）（多）如图所示， A、B、C、D 是正方形的四个顶点，在 A、B、C 三点放有
电荷量都为+q 的点电荷，正方形的两条对角线 AC、BD 相交于 O 点，则关于 D 点和 O 点的电场强度和电
势的判断，以下说法正确的是（　　）
A．D 点电场强度大于 O 点的电场强度
B．D 点电场强度小于 O 点的电场强度
C．D 点电势高于 O 点的电势
D．D 点电势低于 O 点的电势
【变式 5-1】如图所示，O 点为均匀带电圆环的圆心，圆环的带电量为-Q，直线 OA 垂直于圆环平面，圆
j kQ环的半径 r = 3a ，O，A 两点间的距离 L = 4a ，若取无穷远处电势为 0，点电荷电场中电势 = ，Q 表示
r
点电荷的电荷量，r 表示与点电荷间的距离，k 为静电力常量，下列判断正确的是（ ）
A．O 点的电场强度为 0，电势为 0
4kQ
B．A 点的电场强度大小为
125a2
4kQ
C．A 点的电势大小为-
125a
D．电子在 O 点的电势能小于在 A 点的电势能
【变式 5-2】（2023·济宁期末）如图所示，真空中正三角形三个顶点分别固定三个电荷量大小相同的点电
荷，其中 A 带正电，B、C 带负电，P、O、Q 为 BC 边的四等分点。下列说法正确的是（　　）
A．P、Q 两点电场强度相同
B．P、Q 两点电势相同
C．一正电荷沿直线从 P 点移动到 O 点的过程中静电力做正功
D．一正电荷在 P 点的电势能大于在 O 点的电势能
【变式 5-3】在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，若将无限远处的电势规定为零时，则距离该点电荷 r 处
Q
的电势为 k ，其中 k 为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在的该
r
点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示（图中数字的
单位是 V），已知一电荷量为 q =1.6 10-4 C 的正电荷以一定的初速度从 A 点运动到 B 点，求：
(1)判断点电荷Q1与Q2的电性；（无需说明理由）
(2)该正电荷从 A 运动到 B 时电势能的变化量；
(3)Q1与Q2的比值；
【题型 6 带电粒子在点电荷电场中的运动】
【例 6】（2024·成都三模）如图所示，竖直平面内足够长的光滑绝缘倾斜杆底端固定有一点电荷 Q，M、N
为杆上的两点。套在杆上的绝缘带电小球从某点静止释放后，沿杆向上运动，先后通过了 M、N 两点。由此
可以判断（　　）
A．点电荷 Q 在 M 点处产生的场强方向一定沿杆向上
B．小球在 M 点的加速度一定大于在 N 点的加速度
C．小球在 M 点的电势能一定大于在 N 点的电势能
D．小球在 M 点的动能一定大于在 N 点的动能
【变式 6-1】（2023·杭州期中）如图所示，虚线 a、b、c 是某静电场中的三个等势面，它们的电势分别为
ja 、jb 和jc ，一带正电粒子射入电场中，其运动轨迹如实线 KLMN 所示。由图可知（ ）
A．粒子从 K 到 L 的过程中，电场力做负功 B．粒子从 L 到 M 的过程中，电场力做负功
C．粒子从 K 到 L 的过程中，电势能减小 D．粒子从 L 到 M 的过程中，动能减少
【变式 6-2】如图所示，在竖直平面内存在电荷量分别为+Q1和-Q2的两个点电荷，两点电荷连线水平，在
Q1，Q2之间放置内壁光滑的绝缘细管，细管的上、下端口恰好在 Q1，Q2连线的中垂线上。电荷量为+q 的
小球（可视为点电荷）以初速度 v0从上端管口无碰撞进入细管，小球在细管中运动的过程中机械能始终守
恒，且细管上、下端口高度差为 h，重力加速度为 g，则（　　）
A．细管各处的电势为 0
B．小球在细管中运动时，电势能先增大后减小
C．小球离开细管的速度大小为 v20 + 2gh
D．Q1【变式 6-3】（2023·聊城期末）（多）如图所示为两个固定在同一水平面上的点电荷，距离为 d，电荷量
分别为+Q和-Q。在它们的水平中垂线上固定一根长为 L、内壁光滑的绝缘细管，有一电荷量为 +q 的小球
以初速度 v0 从管口射入，则小球（　　）
A．速度先增大后减小再增大
B．小球对管壁的作用力先变大后变小
C．小球的电势能先增大后减小
8kQq
D．管壁对小球的弹力最大值为
d 2
【题型 7 运动轨迹判断电势高低】
【例 7】（2023·德州期末）2023 年 3 月，中国科学家通过冷冻电镜技术解析了晶态冰中蛋白质三维结构。
电子显微镜是冷冻电镜中的关键部分，其中一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等势面，相邻等势
面间电势差相等，a、b 是轨迹上的两点。现有一电子以某一初速度从 b 向 a 运动的过程中，下列说法正确
的是（　　）
A．电子透镜的电场是正点电荷产生的
B．电子在 a 点的电势能大于在 b 点的电势能
C．电子在 a 点的动能大于在 b 点的动能
D．若该电子以某一初速度从 a 向 b 运动，则电子在 a 点的电势能小于在 b 点的电势能
【变式 7-1】（多）如图所示，虚线 a、b、c 代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势之差相等，
实线为一带负电的质点仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q 是这条轨迹上的三点，R 同
时在等势面 b 上，据此可知下列说法错误的是（　　）
A．三个等势面中，c 的电势最低
B．带电质点在 P 点的电势能比在 Q 点的小
C．带电质点在 P 点的动能与电势能之和比在 Q 点的小
D．带电质点在 R 点的加速度方向垂直于等势面 b
【变式 7-2】（2024·宜宾二模）（多）如图所示，实线为两个点电荷Q1和Q2产生的电场中的电场线（方
向未标出），c、d 是关于两个点电荷连线对称的两点，一带正电的离子（不计重力）沿 aob 运动，下列说
法正确的是（　　）
A．Q1的电荷量大于Q2的电荷量
B．Q1带正电，Q2带负电
C．c、d 两点的电势相同，场强也相同
D．正离子在 a 点的电势能大于在 O 点的电势能
【变式 7-3】（2024·南充一模）（多）两个固定的点电荷 P、Q 所形成电场的等势线如图中的虚线所示，
一带电粒子以某一初速度从图中的 d 点进入电场，仅在静电力的作用下运动，运动轨迹如图中的实线所示。
下列说法正确的是（　　）
A．点电荷 P、Q 带有等量同种电荷，粒子带负电
B．粒子从 d 点到 a 点的运动过程中，静电力先做正功后做负功
C．粒子从 d 点到 a 点运动的过程中，电势能先增大后减小
D．粒子经过 a 点和 d 点时的速度相同
【题型 8 电势相关的图像问题】
【例 8】（2023·枣庄期末）在静电场中，从原点 O 由静止释放一带负电的微粒，它沿着 x 轴正方向运动，
依次经过 x 轴上的 x1、x2、x3、x4四点。已知微粒仅受电场力作用，该微粒的电势能Ep 随位置坐标 x 的变化
关系如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．x2和 x4两点处的电场强度相同
B．由 x1运动到 x4的过程中，微粒的加速度先增大后减小
C．由 x1运动到 x4的过程中，微粒的动能先增大后减小
D．从 x1到 x2 过程中电场力对微粒做的功小于从 x1到 x4过程中电场力对微粒做的功
【变式 8-1】（多）如图所示，A、B 两个等量正的点电荷固定放置，O 为 A、B 连线中点，在 A、B 连线的
垂直平分线上 P 点，由静止释放一个负的点电荷，该点电荷仅在电场力作用下运动，取 P 点电势为零，在
该点电荷从 P 点运动到 O 点过程中，速度随时间、电势能随运动位移的关系可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
【变式 8-2】（多）在 x 轴上 O、P 两点分别放置电荷量为 q1、 q2的点电荷，一个带负电的试探电荷在两电
荷连线上的电势能Ep 随 x 变化关系如图所示，其中 A、B 两点电势能为零，BD 段中 C 点电势能最大，则下
列说法中正确的是（ ）
A． q1是负电荷， q2是正电荷
B．B、C 间场强方向沿 x 轴正方向
C．C 点的电场强度大于 A 点的电场强度
D．将一个正点电荷从 B 点移到 D 点，电场力先做负功后做正功
【变式 8-3】（2024·厦门三模）（多）一带正电的金属板和一带负电的放电极形成电场，电场线分布如图
所示。一电子从 M 沿直线运动到 N，以放电极为原点，以 MN 方向为正方向建立 x 轴。该过程中，电场强
度大小 E、电子的加速度大小 a、电势j 、电势能Ep 随 x 变化的图像可能正确的是（　　）
A． B． C． D．

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