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数轴与动点的常见问题
1.在下列数中：，，0，，8，，，，负数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.的相反数是（　　）
A． B． C． D．2
3.下列各图中，数轴画得正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.的结果是（ ）．
A． B． C． D．
5.规定一种新运算为：，则 ．
6.已知，则 .
7.（2023秋·七年级课时练习）快递员骑车从转运站出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km到达C村，最后回到转运站．
（1）以转运站为原点，以向东方向为正方向，用1cm表示1km画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置；
（2）求快递员一共骑行了多少千米？
1.数轴上的动点问题，正确理解点运动的方向，点的运动符合“左减右加”
2.速度与路程、时间的关系是解题的关键．
1.（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在数轴上，、两点同时从原点出发，分别以每秒个单位和个单位的速度向右运动，运动的时间为，若线段上（含线段端点）恰好有个整数点，则时间的最小值是 ．
2．（2023秋·广东深圳·七年级深圳市光明区公明中学校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么a＝ ．

②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．
③当a何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．

3.（2022秋·辽宁抚顺·七年级校考期中）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M，N表示的数分别为，3，则线段的长度可以这样计算或，那么当点M，N表示的数分别为m，n时，线段的长度可以表示为或．
请你参考小兰的发现，解决下面的问题．
在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c
给出如下定义：若，则称点B为点A，C的双倍绝对点．
(1)如图1， ，，点D，E，F在数轴上分别表示数，5，6，在这三个点中，点　 是点A，C的双倍绝对点；
(2)点B为点A，C的双倍绝对点
①，，求b的值；
②，，求c的值．
4.如图，，是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且．
(1)直接写出：___________，___________，线段中点对应的数为__________；
(2)点、分别从、出发同时向左匀速运动，的速度为1个单位长度每秒，的速度为3个单位长度每秒，设运动时间为秒，当时，求的值；
(3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，当为何值时有最小值，最小值是多少？
5．（2023秋·广东汕头·七年级汕头市龙湖实验中学校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　．
(2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求
的值；
(3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　．
(4)当x，y满足时，的最大值为 　 　．
6．（2023秋·江苏·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
(1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　；
(2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
7．（2023秋·陕西西安·七年级西安市第三中学校考期中）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．
（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；
（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；
（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t．
8．（2023秋·山东烟台·六年级校考期末）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左侧，，．
(1)直接写出a= ___________，b= ___________；
(2)现有一只蚂蚁P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．
①两只蚂蚁经过多长时间相遇？
②设两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数；
③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距个单位长度？
9．（2023秋·广东广州·七年级广州市第十六中学校考期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．
（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．
①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．
②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
10．（2023秋·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）阅读理解：已知Q、K、R为数轴上三点，若点K到点Q的距离是点K到点R的距离的2倍，我们就称点K是有序点对[Q，R]的好点．
根据下列题意解答问题：
（1）如图1，数轴上点Q表示的数为 1，点P表示的数为0，点K表示的数为1，点R
表示的数为2．因为点K到点Q的距离是2，点K到点R的距离是1，所以点K是
有序点对的好点，但点K不是有序点对的好点．同理可以判断：
点P__________有序点对的好点，点R______________有序点对的好点（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，数轴上点M表示的数为-1，点N表示的数为5，若点X是有序点对的好点，求点X所表示的数，并说明理由？
（3）如图3，数轴上点A表示的数为 20，点B表示的数为10．现有一只电子蚂蚁C从
点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动t秒．当点A、B、C中恰有一个点为其余两有序点对的好点，求t的所有可能的值．
1．（2023秋·广东汕头·七年级统考期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为．
(1)点A到点C的距离为 ；
(2)数轴上是否存在点P，使得点到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值．
2．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出、两点之间的距离___；
(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
3．（2023秋·陕西西安·七年级校考期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x　 　时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 　 　；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍？
4．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度；
②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________
5．（2023秋·全国·七年级期中）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．
问题提出：
(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为 2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
6．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是．点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．
（1）_______；时，点表示的数是_______；当_______时，、两点相遇；
（2）如图，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长；
（3）如图，若点为线段的中点．点为线段中点，则直接写出用含的代数式表示的线段的长．
7．（2023秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考期中）已知数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动的方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度…，
（1）求出3秒钟时，动点Q所在的位置；
（2）若5秒时，动点Q激活所在位置P点，P点立即以0.1个单位长度/秒的速度沿数轴运动，试求点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置；
（3）如图，在数轴上的A1、A2、A3、A4，这4个点所表示的数分别为a1、a2、a3、a4，若A1A2＝A2A3＝A3A4，且a1＝20，|a1﹣a4|＝12，|a1﹣x|＝a2+a4
①求x值；
②在（2）的条件下，若P点激活后仍以0.1个单位长度/秒向右运动，当Q点到达数x的点处，则P点所对应的数是　 　．
8．（2023秋·广东湛江·七年级统考期中）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.
(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;
(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.
9．（2023秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
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数轴与动点的常见问题
1.在下列数中：，，0，，8，，，，负数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据负数的概念即可解答．
【详解】解：，，8，是正数，
0既不是正数，也不是负数，
，，是负数，
∴负数的个数有3个，
故选B．
【总结】本题考查了负数，解题的关键是理解负数的概念，即小于0的数．
2.的相反数是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【总结】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
3.下列各图中，数轴画得正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴的三要素逐一判断即可．
【详解】解：A、正确，故A选项符合题意；
B、单位长度不统一，则B选项错误，故B选项不符合题意；
C、没有正方向，则C选项错误，故C选项不符合题意；
D、正方向应该向右，则D选项错误，故D选项不符合题意，
故选A．
【总结】本题考查了数轴的三要素，熟练掌握其三要素是解题的关键．
4.的结果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把原式变形为，再根据乘法分配律进行求解即可．
【详解】解：
，
故选B．
【总结】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确把原式变形是解题的关键．
5.规定一种新运算为：，则( )．
【答案】
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【总结】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
6.已知，则 .
【答案】
【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后相加即可得解．
【详解】解：根据题意得，，，
解得，，
所以，．
故答案为：．
【总结】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7.（2023秋·七年级课时练习）快递员骑车从转运站出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km到达C村，最后回到转运站．
（1）以转运站为原点，以向东方向为正方向，用1cm表示1km画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置；
（2）求快递员一共骑行了多少千米？
【答案】（1）见祥解；（2）18千米．
【分析】（1）根据数轴的三要素画出数轴，根据题意，画出A、B、C三个村庄的位置；
（2）根据快递员一共骑行走四段OA，AB，AC，CO距离的和OA+AB+BC+CO即可．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）OA=0-(-2)=2，AB=-2-(-5)=-2+5=3，BC=4-(-5)=4+5=9，CO=4-0=4，
快递员一共骑行OA+AB+BC+CO=2+3+9+4=18千米．
【总结】考查数轴的画法及有理数在数轴上的表示，会求两点间距离，会用数轴解决实际问题，掌握数轴的三要素并来作图是解题的关键．
1.数轴上的动点问题，正确理解点运动的方向，点的运动符合“左减右加”
2.速度与路程、时间的关系是解题的关键．
1.（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在数轴上，、两点同时从原点出发，分别以每秒个单位和个单位的速度向右运动，运动的时间为，若线段上（含线段端点）恰好有个整数点，则时间的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意，分别表示出两点，秒后对应的数，进而求得的长度，结合题意即可求解．
【详解】解：依题意，秒后对应的数分别为，
∴，
∵线段上（含线段端点）恰好有个整数点，
∴，
解得：
故答案为：．
【总结】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意表示出的长是解题的关键．
2．（2023秋·广东深圳·七年级深圳市光明区公明中学校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么a＝ ．

②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．
③当a何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．

【答案】(1)①4；②5；③8
(2)
(3)①或；②7；③当时，的值最小，最小值是7
【分析】（1）根据两点之间的距离较大的数较小的数可得结论；
（2）因为不确定和的大小关系，所以数轴上表示数和数的两点之间的距离等于；
（3）①根据绝对值的意义可得：，解方程即可；②根据a的范围，化简绝对值，再合并即可；③分析得出表示一点到，1，2三点的距离的和，据此可解．
【详解】（1）解：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是；
②数轴上表示和的两点之间的距离是；
③数轴上表示和5的两点之间的距离是；
（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；
（3）①，
∴或，
解得：或；
②∵数轴上表示数a的点位于与2之间，
∴，
∴；
③表示一点到，1，2三点的距离的和，
∴当时，该式的值最小，最小值为．
∴当时，的值最小，最小值是7．
【总结】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系，是解题的关键．
3.（2022秋·辽宁抚顺·七年级校考期中）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M，N表示的数分别为，3，则线段的长度可以这样计算或，那么当点M，N表示的数分别为m，n时，线段的长度可以表示为或．
请你参考小兰的发现，解决下面的问题．
在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c
给出如下定义：若，则称点B为点A，C的双倍绝对点．
(1)如图1， ，，点D，E，F在数轴上分别表示数，5，6，在这三个点中，点　 是点A，C的双倍绝对点；
(2)点B为点A，C的双倍绝对点
①，，求b的值；
②，，求c的值．
【答案】(1)E
(2)①或3；②或
【分析】（1）根据双倍绝对点的定义可列式计算即可求解；
（2）①根据双倍绝对点的定义可列式计算即可求解；
②由已知条件结合新定义可得，再分两种情况：①当时，②当时，列算式计算即可求解．
【详解】（1）
解得或，
∴点E是点的双倍绝对点，
故答案为：E；
（2）①因为，点B为点A，C的双倍绝对点
所以
因为，
所以，
解得或3；
②因为点B为点A，C的双倍绝对点
所以
又因为，所以
因为，
所以，或，
当时，，
解得；
所以，或
当时，，
解得；
当时，
解得：
综上，c的值为或
【总结】本题主要考查绝对值，数轴，有理数的减法，属于新定义题型，注意分类讨论解问题．
4.如图，，是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且．
(1)直接写出：___________，___________，线段中点对应的数为__________；
(2)点、分别从、出发同时向左匀速运动，的速度为1个单位长度每秒，的速度为3个单位长度每秒，设运动时间为秒，当时，求的值；
(3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，当为何值时有最小值，最小值是多少？
【答案】(1)，，
(2)t的值为1或者11
(3)当时，有最小值，最小值是10
【分析】（1）根据绝对值和平方的值非负可求出，，则问题随之得解；
（2）先求出，，根据题意有：，，即有，分当点P在点Q的左侧时和当点Q在点P的左侧时两种情况讨论，即可作答；
（3）根据题意可知点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，再根据为线段的中点，为线段的中点，可得点表示的数是，点表示的数是，即有，，则有，再分类讨论去绝对值即可作答．
【详解】（1）∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴线段中点对应的数，
故答案为：，，；
（2）∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且，，
∴，，
根据题意有：，，
∴，
分情况讨论：
当点P在点Q的左侧时，，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在点P的左侧时，，
∵，
∴，
解得：，
综上：t的值为1或者11；
（3）根据题意可知点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，
∵为线段的中点，为线段的中点，
∴点表示的数是，点表示的数是，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴为定值10；
当时，，
∴，
∴；
综上：的最小值为10．
即：当时，有最小值，最小值是10．
【总结】本题主要考查了数轴的相关知识，涉及绝对值的定义、根据数轴上的点求解距离以及数轴上中点的求解方法等知识，根据数轴上的点表示出点与点之间的距离是解答本题的关键．解答本题时，要注意分类讨论的思想．
5．（2023秋·广东汕头·七年级汕头市龙湖实验中学校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　．
(2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求
的值；
(3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　．
(4)当x，y满足时，的最大值为 　 　．
【答案】(1)4，3，2或
(2)8
(3)，8
(4)11
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可；
（2）表示数a到和3两点的距离之和，然后根据表示数a的点的位置求解即可；
（3）表示x到，，3三个点的距离之和，结合数轴可知，
当时，有最小值，由此可求解；
（4）先根据已知式子可得，求出x、y的范围，再求出的最大值即可．
【详解】（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为；
表示和2两点之间的距离为；
∵表示数a和的两点之间的距离是3，
∴，
∴或，
∴或，
故答案为：4；3；2或；
（2）表示数a到和3两点的距离之和，
∵表示数a的点位于与3之间，
；
（3）表示x到，，3三个点的距离之和，
∵当时，有最小值，且当时，有最小值，
∴当时，有最小值，
最小值为，
故答案为：，8；
（4），
∴，
∵，
，
，
∴当时有最大值，
最大值为，
故答案为：11．
【总结】本题主要考查了绝对值与数轴的综合运用，解题的关键是理解绝对值的几何意义．
6．（2023秋·江苏·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
(1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　；
(2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
【答案】(1)1，6
(2)﹣4或6
【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧．
【详解】（1）解：∵点D表示的数为﹣3，
∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，
故答案为：1，6；
（2）分两种情况：
当点E在点A的左侧，
d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x，
d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴2﹣x＝3（﹣2﹣x），
∴x＝﹣4，
当点E在点B的右侧，
d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3，
d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴3+x＝3（x﹣3），
∴x＝6，
综上所述：x的值为﹣4或6．
【总结】本题考查了数轴，理解题目已知给出的定义是解题的关键．
7．（2023秋·陕西西安·七年级西安市第三中学校考期中）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．
（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；
（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；
（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t．
【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为，；（2）；（3）t=1或18
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案；
（3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为，；
（2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时，
由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为，，
∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，
∴点P和点Q表示的数分别为，，
∴
∵，
∴，
∴；
如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，
同图1可知点P和点Q表示的数分别为，，
∴
∵，
∴，
∴，不符合题意；
如图3所示，当M、N都在A点左侧时，
同图1可得点P和点Q表示的数分别为，，
∴，，
∵，
∴，此时方程无解；
如图4所示，当M、N都在A点左侧时，
同理可得点P和点Q表示的数分别为，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴综上所述，当，t=1或18．
【总结】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键．
8．（2023秋·山东烟台·六年级校考期末）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左侧，，．
(1)直接写出a= ___________，b= ___________；
(2)现有一只蚂蚁P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．
①两只蚂蚁经过多长时间相遇？
②设两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数；
③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距个单位长度？
【答案】(1)
(2)①两只蚂蚁经过秒相遇；
②点C对应的数是，
③经过秒或秒，两只蚂蚁在数轴上相距个单位长度
【分析】（1）根据两个数乘积大于0说明两数同号即可求解；
（2）①根据相遇问题列一元一次方程即可求解；
②根据路程、速度、时间关系，列出算式计算即可求解；
③分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距个单位长度列一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：
故答案为：；
（2）①设蚂蚁运动时间为x秒，依题意得，
解得
故两只蚂蚁经过秒相遇；
②，
，
故：点C对应的数是，
③当P在Q左侧（相遇前）时：
解得
当P在Q右侧（相遇后）时：
解得
故经过秒或秒，两只蚂蚁在数轴上相距个单位长度
【总结】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性；解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，分情况讨论相遇前后的距离变化正确列出一元一次方程．
9．（2023秋·广东广州·七年级广州市第十六中学校考期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．
（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．
①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．
②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
【答案】（1）DP的长为5cm或10cm；（2）①5秒；②3秒、秒或10秒.
【分析】（1）直接由题目讨论DP为哪一个三等分点即可.
(2) ①由题意列出t+2t=15，解得即可.
②分别讨论P，Q重合之前与之后的三等分点即可.
【详解】（1）当DP为短的部分时，DP：PE=1：2，可得DP=5
当DP为长的部分时，DP：PE=2：1，可得DP=10
（2）①当点P与点Q重合时，t+2t=15，即t=5.
②当点P是线段AQ的三等分点时,AQ=15-2t
或或或
解得t=3或t=或t=10.
【总结】本题考查的知识点是线段的计算，解题的关键是熟练的掌握线段的计算.
10．（2023秋·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）阅读理解：已知Q、K、R为数轴上三点，若点K到点Q的距离是点K到点R的距离的2倍，我们就称点K是有序点对[Q，R]的好点．
根据下列题意解答问题：
（1）如图1，数轴上点Q表示的数为 1，点P表示的数为0，点K表示的数为1，点R
表示的数为2．因为点K到点Q的距离是2，点K到点R的距离是1，所以点K是
有序点对的好点，但点K不是有序点对的好点．同理可以判断：
点P__________有序点对的好点，点R______________有序点对的好点（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，数轴上点M表示的数为-1，点N表示的数为5，若点X是有序点对的好点，求点X所表示的数，并说明理由？
（3）如图3，数轴上点A表示的数为 20，点B表示的数为10．现有一只电子蚂蚁C从
点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动t秒．当点A、B、C中恰有一个点为其余两有序点对的好点，求t的所有可能的值．
【答案】（1）不是；是；（2）3；（3）5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒；
【分析】可以根据好点的定义判断好点，这种新定义问题通常的解法是照猫画虎.
【详解】（1）PQ =PR，RP=2RK
所以答案为：不是；是
（2） 当点X在点M、N之间，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN,
所以XM=4，XN=2，即点X距离点M为4个单位，距离点N为2个单位，
即点X所表示的数为3，
当点X在点N的右边，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN，所以XM=12，XN=6，
即点X距离点M为12个单位，距离点N为6个单位，
即点X所表示的数为11；
（3）AB=10-（-20）=30，
当点C在点A、B之间，
若点C为有序点对的好点，则CA=2CB，CB=10，t=5(秒)
②若点C为有序点对的好点，即CB=2CA，CB=20, t=10(秒)
③若点B为有序点对的好点或点A为有序点对的好点，
即BA=2BC或AB=2AC，CB=15, t=7.5(秒)
当点A在点C、B之间，
④点A为有序点对的好点，即AB=2AC，CB=45，t=22.5(秒)
②点C为有序点对的好点或点B为有序点对的好点，
即CB=2CA或BC=2BA，CB=60，t=30(秒)；
③点A为有序点对的好点，即AC=2AB，CB=90, t=45
∴当经过5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒时，A、B、C中
恰有一个点为其余两有序点对的好点.
1．（2023秋·广东汕头·七年级统考期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为．
(1)点A到点C的距离为 ；
(2)数轴上是否存在点P，使得点到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值．
【答案】(1)25
(2)存在，或10
(3)最大值为40，最小值为25
【分析】（1）利用两点间距离公式即可求解；
（2）当点在点的左侧（含点）时：得方程；当点在点和点的之间（含点）时：；当点在点的右侧时：，解方程即可；
（3）设点表示的数为，则点到、、的距离和等于，得，分析出的最值即可．
【详解】（1）解：，
∴点A到点C的距离为25；
（2）设点表示的数为，
当点在点的左侧（含点）时：
，
解得：，
当点在点和点的之间（含点）时：
，
解得：无解；
当点在点的右侧时：
，
解得：，
数轴上存在点，使得点到点、点的距离之和为25个单位长度，当或10，使得点到点、点的距离之和为25单位长度；
（3）设点表示的数为，
则点到、、的距离和等于，
点在点、之间，
，
当点与点重合时，最大，此时，
的最大值为，
当点与点重合时，最小，此时，
的最小值为25，
的最大值为40，最小值为25．
【总结】此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值．
2．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出、两点之间的距离___；
(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
【答案】(1)22
(2)或
(3)当时的运动时间的值为2或秒
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出、两点之间的距离；
（2）设点表示的数为．分两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上．根据列出关于的方程，求解即可；
（3）根据点的运动方向分两种情况：①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据列出关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：、两点之间的距离是：；
（2）解：设点表示的数为．分两种情况：
①当点在线段上时，
，
，
解得；
②当点在线段的延长线上时，
，
，
解得．
综上所述，点表示的数为或；
（3）解：分两种情况：
①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，
，
解得，符合题意；
②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，
，
当时，，
解得；
当时，，
解得，不符合题意，舍去；
综上所述，当时的运动时间的值为2或秒．
【总结】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键．
3．（2023秋·陕西西安·七年级校考期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x　 　时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 　 　；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍？
【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．
【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；
（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；
（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．
【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，
∴a＝﹣3，b＝9，
故答案为：﹣3，9．
（2）∵a＝﹣3，b＝9，
∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，
当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；
当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，
∵﹣12≤2x﹣6＜12，
∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；
当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，
综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，
故答案为：≥9，12．
（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，
∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，
当点Q与点C重合时，则2t＝8，
解得t＝4，
当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，
根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，
解得t＝；
当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，
∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，
∴点Q表示的数是2t﹣7，
根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），
解得t＝，
综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．
【总结】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
4．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度；
②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________
【答案】(1)见解析；
(2)①4 ，2 ，4；②或或或
【分析】（1）根据题意画出数轴即可；
（2）①先求出当时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①当时，P点表示的数为6-4=2，
∴，，，
故答案为：4、2、4；
②当P从C向A运动，时，
，，，
∵，
∴，
解得；
当P从C向A运动，时，
，，，
∵，
∴，
解得；
当P从A向C运动时，当时，
，，，
∵，
∴，
解得；
当P从A向C运动时，当时，
，，，
∵，
∴，
解得；
综上所述，t的值为或或或．
【总结】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解．
5．（2023秋·全国·七年级期中）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．
问题提出：
(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为 2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1)；
(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1
【分析】（1）由A表示的数为 2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；
（2）①t秒后，点P表示的数为 2＋3t，点Q表示的数为 13 2t；
②根据题意得： 2＋3t＝13 2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为 2＋3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的数是13 3（t 5），Q表示的数是 2＋2（t ），即得：13 3（t 5）＝ 2＋2（t ），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13 3×（9 5）＝1．
【详解】（1）∵A表示的数为 2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13 （ 2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；
故答案为：15；．
（2）①t秒后，点P表示的数为 2＋3t，点Q表示的数为13 2t；
故答案为： 2＋3t；13 2t．
②根据题意得： 2＋3t＝13 2t，
解得t＝3，
相遇点所表示的数为 2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
（3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A，
返回途中，P表示的数是13 3（t 5），Q表示的数是 2＋2（t ），
根据题意得：13 3（t 5）＝ 2＋2（t ），
解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13 3×（9 5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【总结】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数．
6．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是．点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．
（1）_______；时，点表示的数是_______；当_______时，、两点相遇；
（2）如图，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长；
（3）如图，若点为线段的中点．点为线段中点，则直接写出用含的代数式表示的线段的长．
【答案】（1）15；；3；（2）不变化，=7.5；（3）．
【分析】（1）根据两点间距离的定义，线段的和差定义计算即可；
（2）根据线段的中点定义，可得MN=MP+NP= （AP+BP）= AB；
（3）由题意根据线段的中点定义，线段和差定义计算即可.
【详解】解：（1）AB=9-（-6）=15，
t=1时，BQ=3，OQ=6，
设t秒后相遇，由题意（2+3）t=15，t=3，
故答案为：15，6，3.
（2）答：MN长度不变，理由如下：
∵M为AP中点，N为BP中点
∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP+NP=（AP+BP）=AB=7.5．
（3）根据题意分别得到点M表示的数为t-6；点T表示的数为9-1.5t；
根据两点间距离的定义可得MT= 9-1.5t-（t-6）=15-2.5t.
故答案为：.
【总结】本题考查实数与数轴，线段中点定义，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．
7．（2023秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考期中）已知数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动的方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度…，
（1）求出3秒钟时，动点Q所在的位置；
（2）若5秒时，动点Q激活所在位置P点，P点立即以0.1个单位长度/秒的速度沿数轴运动，试求点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置；
（3）如图，在数轴上的A1、A2、A3、A4，这4个点所表示的数分别为a1、a2、a3、a4，若A1A2＝A2A3＝A3A4，且a1＝20，|a1﹣a4|＝12，|a1﹣x|＝a2+a4
①求x值；
②在（2）的条件下，若P点激活后仍以0.1个单位长度/秒向右运动，当Q点到达数x的点处，则P点所对应的数是　 　．
【答案】（1）3秒动点Q所在的位置为2；（2）﹣或﹣；（3）① x＝﹣36或76，②128.9或571.3
【分析】（1）先找到0.5秒时的位置，根据每秒2个单位和移动方向，即可得到3秒时的位置.
（2）先找到5秒时Q点所在的位置，然后分为①P点向左运动，②P点向右运动进行讨论得出答案；
（3）①由数轴可得，a4与a1相距3格，则每格长度为4，然后即可得a1、a2、a3、a4表示的数，最后解绝对值方程即可；②计算出Q点到达数x处走过的路程，除以速度得到运动时间，再求P点的运动路程即可得到P点对应的数.
【详解】解：（1）∵数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动的方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度…，
∴0.5秒动点Q所在的位置为1，
1.5秒动点Q所在的位置为﹣1，
3秒动点Q所在的位置为2；
（2）∵3秒动点Q所在的位置为2，
∴5秒时，动点Q所在位置为﹣2，
①若P点向左运动，动点Q先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度，
Q在数轴3位置向左运动时，PQ＝5+×0.1＝，
设点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时用的时间为t，则（2﹣0.1）t＝，
解得：t＝，
∴点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置为：
﹣（2+×0.1+×0.1）＝﹣；
②若P点向右运动，动点Q先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度，
Q在数轴3位置向左运动时，PQ＝5﹣×0.1＝，
设点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时用的时间为t，则（2+0.1）t＝，
解得：t＝，
∴点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置为：
﹣（2﹣×0.1﹣×0.1）＝﹣；
（3）①∵|a1﹣a4|＝12，
∴a4﹣a1＝12，
∴a4＝12+a1＝12+20＝32，
∵A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴a2＝24，a3＝28，
∵|a1﹣x|＝a2+a4，
∴|a1﹣x|＝24+32＝56，
∴x＝﹣36或76
②若5秒时，动点Q激活所在位置P点，当Q点到达数﹣36的点处时所走的路程为：5+6+7+…+71+72＝﹣＝2628﹣10＝2618（单位长度），
∴用的时间为：＝1309（s），
此时P点所对应的数是：1309×0.1﹣2＝128.9；
当Q点到达数76的点处时所走的路程为：5+6+7+…+150+151＝﹣＝11476﹣10＝11466（单位长度），
∴用的时间为：＝5733（s），
此时P点所对应的数是：5733×0.1﹣2＝571.3；
故答案为128.9或571.3
【总结】本题考查数轴上的动点问题，关键是正确理解Q点的运动方式，找到Q点运动路程是解决本题的关键.
8．（2023秋·广东湛江·七年级统考期中）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.
(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;
(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.
【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2.
【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可；
（2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度；
（3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案.
【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t，
∵cm，cm，cm，
∴OC=OA+AB+BC=90cm，
∴2t+3t=90，
t=18，
∴经过18秒两点相遇；
（2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70，
∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55，
由，可分两种情况：
①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10，
点P运动的时间为s，
∴点Q的运动速度=cm/s；
②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50，
点P的运动时间是s，
∴点Q的运动速度=cm/s，
综上，点的运动速度是11cm/s或者cm/s；
（3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40，
∵点E是OP的中点，
∴OE=a，
∵点F是AB的中点，AB=30，
∴BF=15，
∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，
∴=.
【总结】此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法.
9．（2023秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【答案】(1)G；－4或－16
(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，
故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．
故答案为：－4或－16；
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，
当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，
当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，
当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；
第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，
当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，
第八种情况，
N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，
当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
【总结】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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