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南京市 2025 届高三年级学情调研
数学参考答案 2024.09
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1 2 3 4 5 6 7 8
D D A B A C C B
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，
不选或有错选的得 0 分．
9 10 11
AB BCD ACD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
3
12．240 13．3π 14．
3
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13 分)
解：（1）假设 H0：8 点前到单位与方案选择无关，
100×(28×30－12×30)2
则 χ2＝ ······································································ 2 分
40×60×42×58
800
＝ ≈3.94＞3.841， ············································································ 4 分
203
所以有 95%的把握认为 8 点前到单位与路线选择有关． ······································ 6 分
（2）选择 A 方案上班，8 点前到单位的概率为 0.7，
选择 B 方案上班，8 点前到单位的概率为 0.5． ················································ 8 分
当 X＝3 时，则分两种情况：
①若周一 8 点前到单位，
21
则 P ＝0.7×C2(1-0.5)21 4 ×0.52＝ ． ····························································· 10 分 80
②若周一 8 点前没有到单位，
6
则 P2＝(1-0.7)×C
3
4(1-0.5)×0.53＝ ． ·························································· 12 分 80
1
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27
综上，P(X＝3)＝P1＋P2＝ ． ····································································· 13 分 80
16．(本小题满分 15 分)
解：（1）因为 E，F 分别为线段 AB，BC 中点，
所以 EF∥AC． ························································································· 2 分
→ → → → DM DN 1
因为AM＝2MD，CN＝2ND，即 ＝ ＝ ，
DA DC 3
所以 MN∥AC，所以 EF∥MN． ···································································· 4 分
又 MN 平面 MNB，EF 平面 MNB，
所以 EF∥平面 MNB． ················································································· 6 分
（2）取 AC 中点 O，连接 DO，OE． z
因为△ACD 为正三角形，所以 DO⊥AC． D
N
因为平面 ACD⊥平面 ABC，平面 ACD∩平面 ABC＝ M
AC，DO 平面 ACD，
A
所以 DO⊥平面 ABC． ··························································O·· ················C·· ···y 8 分
F
因为 O，E 分别为 AC，AB 中点，则 OE∥BC． E
x B
又因为 AC⊥BC，所以 OE⊥AC．
以 O 为坐标原点，OE，OC，OD 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
······································································································· 10 分
3 3 3 1 1
则 D(0，0， )，B(3， ，0)，M(0，－ ， 3)，N(0， ， 3)，
2 2 2 2
→ → → 3 3 3
故BM＝(－3，－2， 3)，MN＝(0，1，0)，BD＝(－3，－ ， )．
2 2
设平面 MNB 的法向量为 n＝(x，y，z)，直线 BD 与平面 MNB 所成角为 θ，
→n·BM＝0， －3x－2y＋ 3z＝0，
则 即
→ y＝0． n·MN＝0，
取 n＝( 3，0，3)． ··················································································· 12 分
9 3 3 3
→ |－3 3＋0＋ |
→ |BD·n| 2 2 2
则 sinθ＝|cos|＝ ＝ ＝ ＝ ，
→ 9 27 3 2×2 3 8
|BD ||n| 9＋ ＋ × 3＋9
4 4
2
所以 BD 与平面 MNB 所成角的正弦值为 ． ·················································· 15 分
8
2
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17．(本小题满分 15 分)
解：(1)因为 an＝(－1)n＋2n，则 a1＝1，a2＝5，a3＝7，a4＝17．
又 bn＝a －λa ， n＋1 n
则 b1＝a2－λa1＝5－λ，b2＝a3－λa2＝7－5λ，b3＝a4－λa3＝17－7λ． ····················· 2 分
因为{b 2n}为等比数列，则 b2 ＝b1·b3，所以(7－5λ)2＝(5－λ)(17－7λ)，…………………4 分
整理得 λ2－λ－2＝0，解得 λ＝－1 或 2．
因为 λ＞0，故 λ＝2．
n＋1 n＋1
当 λ＝2 时，b n nn＝a －2a ＝(－1) ＋2 －2[(－1) ＋2 ] n＋1 n
n＋1
＝(－1)×(－1)n＋2 －2×(－1)n
n＋1
－2 ＝－3×(－1)n． ····································· 6 分
b n＋1
n＋1 －3×(－1)
则 ＝ n ＝－1，故{bn}为等比数列， bn －3×(－1)
所以 λ＝2 符合题意． ············································································· 7 分
(2) bn·n2＝－3×(－1)n·n2，
当 n 为偶数时，Tn＝－3×[－12＋22－32＋42－52＋62－…－(n－1)2＋n2]
3
＝－3×(1＋2＋…＋n)＝－ n(n＋1)． ······················································ 10 分
2
3
当 n 为奇数时，Tn＝T －b 2n＋1(n＋1) ＝－ (n＋1)(n＋2)＋3(n＋1)2
n＋1 2
3
＝ n(n＋1)．······················································································· 12 分
2
3
n(n＋1)，n为奇数，2
综上，Tn＝ 3
－ n(n＋1)，n为偶数．2
因为 Ti·Ti＋2＞0，又 Ti·Ti＋2＝15Ti＋1，
故 Ti＋1＞0，所以 i 为偶数． ··································································· 13 分
3 3 3
所以[－ i(i＋1)]·[－ (i＋2)(i＋3)]＝15× (i＋1)(i＋2)，
2 2 2
整理得 i2＋3i－10＝0，解得 i＝2 或 i＝－5(舍)，
所以 i＝2． ························································································ 15 分
18．(本小题满分 17 分)
解：（1）由题意可知 c＝ 6，点 T 在 C 上，根据双曲线的定义可知|TF1|－|TF2|＝2a，
即 2a＝ (3 6)2＋( 10)2－ ( 6)2＋( 10)2＝4，所以 a＝2， ··························· 2 分
3
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则 b2＝c2－a2＝2，
x2 y2
所以 C 的方程为 － ＝1． ····································································· 3 分
4 2
→
（2）①设 B(x0，y0)，DB＝(x0－1，y0)．
→ → →
因为DA＝3DB，所以DA＝(3x0－3，3y0)，
所以 A 点坐标为(3x0－2，3y0)， ··································································· 5 分
x2 2
0
y0
－ ＝1，
4 2
因为 A，B 在双曲线 C 上，所以 (3x －2)20 (3y 20)
－ ＝1，4 2
10
解得 x0＝3，y0＝± ， ········································································ 7 分 2
3 10
所以 A 点坐标为(7，± )，
2
1 1 3 10
所以 S ＝ |yA|×|F1F2|＝ × ×2 6＝3 15． ··································· 8 分
ΔF1F2A 2 2 2
②当直线 l 与 y 轴垂直时，此时 PQ＝4 不满足条件．
设直线 l 的方程为 x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(xP，0)，Q(xQ，0)．
x2 y2
－ ＝1，
直线 l 与 C 联立 4 2 消去 x，得(t2－2)y2＋2ty－3＝0，
x＝ty＋1，
2t 3
所以 y1＋y2＝－ 2 ，y1y2＝－ 2 ． ····················································· 10 分 t －2 t －2
Δ＝4t2＋12(t2－2)＞0， 3
由 ，得 t22 ＞ 且 t
2≠2．
t －2≠0． 2
以 AB 为直径的圆方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，
令 y＝0，可得 x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y1y2＝0，则 xP，xQ 为方程的两个根，
所以 xP＋xQ＝x1＋x2，xPxQ＝x1x2＋y1y2， ··················································· 13 分
所以 PQ＝|xP－xQ|＝ (xP＋x 2Q) －4xPxQ＝ (x1＋x2)2－4(x1x2＋y1y2)
＝ (x1－x2)2－4y 21y2＝ t (y1－y 22) －4y1y2
4t4 12(t2＋1)
＝ t2(y1＋y2)2－4(t2＋1)y1y2＝
(t2 2
＋
－2) t2－2
16t4－12t2－24
＝ 2 2 ＝2． ··························································· 15 分 (t －2)
5 15
解得 t2＝－2(舍)或 t2＝ ，即 t＝± ，
3 3
所以直线 l 的方程为：3x± 15y－3＝0． ·················································· 17 分
4
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19．(本小题满分 17 分)
－ －
解：（1）当a＝1时，f(x)＝ex 1＋x2－3x＋1，则f'(x)＝ex 1＋2x－3，
所以曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率k＝f'(1)＝0．
又因为f(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程为y＝0． ··················································· 3分
－ － －
（2） f(1)＝e1 a－2a＋1，f'(x)＝ex a＋2ax－3a，则f'(1)＝e1 a－a，
－
当a＞1时，f''(x)＝ex a＋2a＞0，则f'(x)在(1，＋∞)上单调递增．
－ －
因为f'(1)＝e1 a－a＜e1 1－1＝0，f'(a)＝1＋2a2－3a＝(2a－1)(a－1)＞0，
所以存在唯一的x0∈(1，a)，使得f'(x0)＝0． ······················································· 5分
当x∈(1，x0)时，f'(x)＜0，所以f(x)在[1，x0)上单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(x0，＋∞)上单调递增．
－
又因为 f(1)＝e1 a－2a＋1＜e0－2＋1＝0，所以f(x0)＜f(1)＜0．
－
又因为 f(3)＝e3 a＋1＞0，
所以当a＞1时，f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．··································· 8分
－
（3）①当a＞1时，f(1)＝e1 a－2a＋1＜e0－2＋1＝0，与当x≥0时，f(x)≥0矛盾，
所以a＞1不满足题意． ··········································································· 9分
－
②当a≤1时，f(0)＝e a＋1＞0，
－ － －
f'(x)＝ex a＋2ax－3a，f''(x)＝ex a＋2a，f''(0)＝e a＋2a．
－
记函数q(x)＝e x＋2x，x≤1，
－
则q'(x)＝－e x＋2，
当x∈(－ln2，1)时，q'(x)＞0，所以q(x)在(－ln2，1)单调递增；
当x∈(－∞，－ln2)时，q'(x)＜0，所以q(x)在(－∞，－ln2)单调递减，
所以q(x)≥q(－ln2)＝2－2ln2＞0，所以f''(0)＞0．
又因为f''(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f''(x)≥f''(0)＞0，所以f'(x)在[0，＋∞)上单调递增． ································ 11分
－
(i)若f'(0)＝e a－3a≥0，
则f'(x)≥f'(0)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
则f(x)≥f(0)＞0，符合题意； ··································································· 13分
－
(ii)若f'(0)＝e a－3a＜0，可得a＞0，则0＜a≤1．
－
因为f'(1)＝e1 a－a≥0，且f'(x)在[0，＋∞)上单调递增，
5
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所以存在唯一的x1∈(0，1]，使得f'(x1)＝0．
当x∈(0，x1)时，f'(x)＜0，所以f(x)在(0，x1)上单调递减，
当x∈(x1，＋∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(x1，＋∞)上单调递增，
x －a
其中 1x1∈(0，1]，且e ＋2ax1－3a＝0． ························································ 15分
x1－a
所以f(x)≥f(x1)＝e ＋ax 21 －3ax1＋1
＝3a－2ax 21＋ax1 －3ax1＋1＝ax 21 －5ax1＋3a＋1＝a(x 21 －5x1＋3)＋1，
因为x1∈(0，1]，所以x 21 －5x1＋3∈[－1，3)．
又因为a∈(0，1]，所以a(x 21 －5x1＋3)≥－1，
所以f(x)≥0，满足题意．
结合①②可知，当a≤1时，满足题意．
综上，a的取值范围为(－∞，1]． ····························································· 17分
6
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