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第六章 几何图形初步
6.3 角
6.3.3 余角和补角
学习目标：
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
重点：了解余角、补角的概念及性质，了解方位角的概念和表达方式.
难点：运用余角、补角和方位角的相关知识解题.
一、复习导入
如图，∠1+∠2= .
当∠AOB = 90° 时， ∠3 +∠4 = . 当∠AOB = 180° 时，∠5 +∠6 = .
要点探究
知识点1：余角
知识要点
余角：如果两个角的和等于 90° (直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余.
∠3 与∠4 互余；
∠3 是∠4 的余角；
∠4 是∠3 的余角.
讨论1：此时∠3 与∠4 还互余吗？
讨论2：钝角有余角吗？
几何语言：
因为∠3 与∠4 互余，所以 ∠3 +∠4 = 90°
或 ∠3 = 90° -∠4，或 ∠4 = 90° -∠3.
因为∠3 +∠4 = 90°，所以∠3 与∠4 互余.
知识点2：补角
探究1：你能猜猜∠1 与∠2 的数量关系吗？
知识要点
补角：如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角，
简称这两个角互补．
几何语言：
因为∠1 与∠2 互补，所以 ∠1 +∠2 = 180°.
或 ∠1 = 180° -∠2，或 ∠2 = 180° -∠1.
因为∠1 + ∠2 = 180°，所以∠1 与∠2 互补.
判断：下列论述是否正确？
①∠1 +∠2 +∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3互余；
②∠1 = 20°，∠2 = 100°，∠3 = 180°，则∠1、∠2、∠3 互补；
③∠1 +∠2 = 90°，则∠1 是余角；∠3 +∠4 = 180°，则∠3 是∠4 的补角；
④如图，∠A 不是∠B 的余角；
⑤如图，∠C 是∠A 的补角.
比一比：看看谁计算得又快又好！
∠α 是锐角，则它的余角可以表示为 ，
补角可以表示为 .
∠α 5° 62°23′ x°(0余角 60°
补角 110°
知识点3：余角与补角的性质
探究2：∠1 与∠2，∠3都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
知识要点
补角的性质：同角 (等角) 的补角相等．
探究3：类比探究 2，∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
知识要点
余角的性质：同角 (等角) 的余角相等．
典例精讲
例1 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
练一练
1. 已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1 = 65°，则∠3 = .
2. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是 .
二、课堂小结
1. 如果∠AOB +∠BOC = 90°，∠BOC +∠COD = 90°，那么∠AOB与∠COD的关系是 ( )
A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不能确定
2. 如图，下列说法中错误的是 ( )
A. OA的方向是北偏东30°
B. OB的方向是北偏西20°
C. OC的方向是西南方向
D. OD的方向是南偏东50°
参考答案
复习导入
∠AOB 90° 180°
课堂探究
一、要点探究
知识点2：
判断：
①× ②× ③× ④ × ⑤√
【比一比】
90° -∠α 180° -∠α
知识点3：
探究2：
因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角，
所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1.
所以∠2 =∠3.
探究3：
因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角，
所以∠2 = 90° - ∠1，∠3 = 90° - ∠1.
所以∠2 = ∠3 .
例4
解：因为点 A，O，B 在同一条直线上，所以∠AOC 和∠BOC 互为补角．
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC
= (∠AOC +∠BOC ) = 90°
所以∠COD 和∠COE 互为余角，
同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角．
【练一练】
155° 126°
当堂检测
1. C 2.A

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