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第02讲 单调性问题
【课程标准】
1、结合实例，借助图形直观了解函数的单调性与导数的关系.
2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
【知识梳理】
知识点一：单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
知识点二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
【解题方法总结】
1、求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．
注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减．
题型一：函数与导函数图象之间的关系
1．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以，为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与轴、轴均相切，，两点间的曲线可近似看成函数的图象，有导函数，为了让雨水最快排出，需要满足螺旋线方程，其中，为常数，则（ ）

A．， B．， C．， D．，
4．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )
A． B．
C． D．
题型二：不含参数的函数的单调性
5．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
7 函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
8 函数（　　）
A．严格增函数
B．在上是严格增函数，在上是严格减函数
C．严格减函数
D．在上是严格减函数，在上是严格增函数
9v函数的单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
10 函数（a、b为正数）的严格减区间是（ ）．
A． B．与
C．与 D．
题型三：含参数的函数的单调性
11．已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14. 若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
15 . 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16. 若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17已知函数.若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18. 已知函数（）在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
题型四： 单调性的应用
角度1 比较大小或解不等式
19．已知，，，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
20．已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
21．设，则（ ）
A． B．
C． D．
角度2 根据函数的单调性求参数的范围
22．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
24．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
25．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1．函数单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数是定义在R上的函数，其中的导函数满足对于恒成立，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数是定义域为的奇函数，且，的导函数的图像如图所示.若正数满足，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
5．已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称在区间上为凸函数．则下列函数中，为区间上的凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于函数，为的导数，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递减 B．存在极小值
C．存在最大值 D．无最小值
三、填空题
9．写出一个同时具备下列性质①②的函数： ．
①；② ．
10．函数在上的单调递减，则实数的取值范围为 .
11．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ．
12．设定义在上的函数满足任意都有，且时，，则，，的大小关系是 .
四、解答题
13．求函数的单调区间.
14．已知函数，．试讨论函数的单调性.
15．已知函数 是的一个极值点.
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围.
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
4．（2024·全国·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
5．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．第02讲 单调性问题
【课程标准】
1、结合实例，借助图形直观了解函数的单调性与导数的关系.
2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
【知识梳理】
知识点一：单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
知识点二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
【解题方法总结】
1、求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．
注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减．
题型一：函数与导函数图象之间的关系
1．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导函数的符号判断函数的单调性，再根据导函数的大小确定函数变化的快慢，即可得到结论.
【详解】由导函数图象可知原函数应是先增后减再增的，故在B、C中选择，随着的增大，导函数越来越大，故原函数增长越来越快，应选C.
故选：C
2．已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.
【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，，时，，
时，，所以不等式的解集为.
故选：C.
3．赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以，为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与轴、轴均相切，，两点间的曲线可近似看成函数的图象，有导函数，为了让雨水最快排出，需要满足螺旋线方程，其中，为常数，则（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】利用函数图象的变化关系可得，再结合曲线与y轴相切的特征推理即可得解.
【详解】观察图象知，函数单调递减，即，于是，
而函数图象与轴相切，则从大于0的方向趋于0时，趋于负无穷大，
也即趋于0，又，因此，
所以，.
故选：D
4．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题干已知图像判断x>0时g(x)图像的形状，根据g(x)图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．
【详解】根据f(x)和g(x)的解析式可知f(x)和g(x)均为偶函数，图像关于y轴对称，
当x>0时，，
设y，则，∴此时f(x)对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，
∴x>0时，g(x)对应题干中的图像在第四象限的部分，
∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x轴上方，故排除选项BC；且该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A图像满足．
故选：A．
题型二：不含参数的函数的单调性
5．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间上的单调性即可.
【详解】对于A，当时，函数在上单调递减，故A错误；
对于B，函数在不单调，故B错误；
对于C，函数，则，
因为，
所以，
所以，
故函数在上单调递增，故C正确；
对于D，函数，在单调递减，在单调递增，故D错误.
故选：C.
6．函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得.
【详解】由求导得，，
则当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减，
故函数的单调递增区间为.
故选：D.
7 函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为.
，则.
令，解得.
故选：D
8 函数（　　）
A．严格增函数
B．在上是严格增函数，在上是严格减函数
C．严格减函数
D．在上是严格减函数，在上是严格增函数
【答案】D
【解析】已知，，则，
令，即，解得，
当时，，所以在上是严格减函数，
当时，，所以在上是严格增函数，
故选：D.
9v函数的单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得或，
所以函数的定义域为.
求导可得，当时，，由函数定义域可知，，
所以函数的单调递增区间是.
故选：A.
10 函数（a、b为正数）的严格减区间是（ ）．
A． B．与
C．与 D．
【答案】C
【解析】由题得.
由，令解得或．
所以函数的严格减区间是与.
选项D，本题的两个单调区间之间不能用“”连接，所以该选项错误.
故选：C
题型三：含参数的函数的单调性
11．已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先讨论得出的单调区间，然后根据已知列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，定义域为，.
若，则恒成立，则在上单调递增，与已知不符，舍去；
当时，由可知，或（舍去）.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
由已知函数在上不是单调函数，
所以应有，所以.
故选：A.
12．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出导函数，排除，当时得到函数的单调性以及函数的取值范围，再列不等式组求解即可.
【详解】因为
所以
若时恒成立，
在上单调递增，函数不可能有两个不同的零点，不合题意；
所以，只有
时，，函数递减，此时
时，，函数递增，此时，
因为函数有两个不同的零点，
所以
解得
故选：D.
13．若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把给定恒成立的不等式变形，构造函数，利用导数探讨的最大值不超过0即可作答.
【详解】，，
令，则，而成立，
当时，，即在上递增，当时，
于是有当时，恒有，
当时，由得，有，有，即在上递减，
当时，，即成立，不符合题意，
综上：，
所以实数的取值范围为.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
14. 若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：
故选：B.
15 . 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
则，
所以在上递增，又，
所以.
所以的取值范围是.
故选：B
16. 若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
当或时，，当时，，
所以在和上递减，在上递增，
当时，为增函数，且函数在区间内单调递增，
所以，解得，
此时在上递增，则恒成立，
当时，为减函数，且函数在区间内单调递增，
所以，无解，
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
17已知函数.若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，不妨取，则可转化为，
即.
令，则对任意，，且，
都有，
所以在上单调递增，即在上恒成立，
即在上恒成立.
令，，则，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，
即实数a的取值范围是，
故选:A
18. 已知函数（）在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数在区间上存在单调增区间，函数在区间上存在子区间使得不等式成立．，设，则或，即或，得，故选B.
考点：导数的应用.
题型四： 单调性的应用
角度1 比较大小或解不等式
19．已知，，，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由在区间上为单调递增函数，可得到，设，利用导数求得函数在单调递增，可得，进而得到，即可求解.
【详解】由幂函数的性质可知在区间上单调递增，
由于，故，即，
设，可得，
令，解得，
当时，单调递增，可得，
即，即，
两边取为底的指数，可得，即，所以.
故选：A.
20．已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据式子特点，构建函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，则可得结果.
【详解】根据的形式转化可得，
从而构造函数，
则，
，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，，即，
又，
所以，即.
故选：C.
21．设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数研究单调性，即可比较，，由，可比较，，从而得到答案
【详解】构造函数，所以，即在上单调递增，
所以，即，即，所以，
又因为，所以，则，
故选：B
角度2 根据函数的单调性求参数的范围
22．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
23．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
24．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可．
【分析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：
故选：B.
25．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】求得在上单调递增的充要条件即可判断.
【详解】由题
若在上单调递增，则恒成立，即，
故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件
故选:.
1．函数单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求定义域，再求导，根据导函数大于0，解出单调递增区间.
【详解】的定义域为，
，
令得：，
令得：，
所以的单调增区间为.
故选：C
2．设函数是定义在R上的函数，其中的导函数满足对于恒成立，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，，从而出得解；
【详解】解：设，则，故在上单调递减，
，，即，，
，．
故选：C．
3．若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对求导，由题意知存在使，结合二次函数的性质有，即可求的取值范围.
【详解】由题设，，由存在递减区间，即存在使，
∴，可得或.
故选：B
4．已知函数是定义域为的奇函数，且，的导函数的图像如图所示.若正数满足，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图可知在上恒增，结合奇偶性可得，从而可得，进而可求出的取值范围.
【详解】由图可知在上恒成立，则在上恒增，得，
则，所以，解得，又，∴，则，
故选:A.
【点睛】本题考查了奇偶性的应用，考查了由导数求函数的单调性，考查了由函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.
5．已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得，得到函数的单调性和最值，把方程有三个不同的实数解，转化为方程有两个不同的实数根和，且或，分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数，
当时，，且，
画出函数的图象，如图所示，
令，要使得有三个不同的实数解，
则有两个不同的实数根和，
且或，
若且时，此时无解；
若且时，令，
只需要，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，构造函数，利用导数讨论函数的单调性进而得到，结合对数函数的性质即可求解.
【详解】由题意，，即.
设，则，
令，
所以函数在上单调递增，∴，得，
即，解得；
又，
∴，
故选：B．
二、多选题
7．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称在区间上为凸函数．则下列函数中，为区间上的凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据定义，分别对函数求二阶导数，并判断在区间的正负.
【详解】对于A选项，，，，显然在区间恒有，所以不为凸函数.
对于B选项， ，，，显然在区间恒有，所以为凸函数.
对于C选项，，，，显然在区间恒有，所以不为凸函数.
对于D选项， ，，，显然在区间恒有，所以为凸函数.
故选: BD..
8．对于函数，为的导数，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递减 B．存在极小值
C．存在最大值 D．无最小值
【答案】AD
【分析】根据函数的导数判断函数的单调性，利用函数单调性判断最值.
【详解】，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，故A正确，B错误；
所以，故函数时单调递减，
所以函数无最大值，无最小值，故C错误，D正确.
故选：AD
三、填空题
9．写出一个同时具备下列性质①②的函数： ．
①；② ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题目的要求分析函数的类型，再从中选一个.
【详解】因为 是加变乘，所以考虑指数函数类型，又 是减函数，
满足要求；
故答案为： （答案不唯一）.
10．函数在上的单调递减，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，由题意可知，在上恒成立，将问题转化为在上恒成立，求出在的最值即可求出结果.
【详解】因为，，
所以，
因为函数在上的单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为在上单调递减，所以
所以，即
故答案为：.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查参变分离求最值，考查余弦函数的取值范围，属于基础题.
11．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】试题分析：恒成立恒成立，因为
所以实数的取值范围是
考点：函数导数与单调性
12．设定义在上的函数满足任意都有，且时，，则，，的大小关系是 .
【答案】
【分析】根据已知条件，构造函数，利用导数判断其单调性，结合函数周期，即可容易比较大小.
【详解】函数满足可得，
∴是周期为6的函数.
，，.
令，，
则，
∵时，，
∴，在递增，
∴，
可得：，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数周期性和单调性比较大小，涉及利用导数研究函数单调性，属综合基础题.
四、解答题
13．求函数的单调区间.
【答案】的单调递减区间为，单调递增区间为
【分析】先求导数，由可得减区间，由可得增区间.
【详解】，
当时，，当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为.
14．已知函数，．试讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求出函数的定义域和导函数，分和两种情况讨论，根据导函数的符号即可求出函数的单调区间.
【详解】函数的定义域为.
，设.
当时，因为函数图象的对称轴为，．
所以当时，，，函数在上单调递减；
当时，令．得，，
当时，，，当时，，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上：当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
15．已知函数 是的一个极值点.
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）.
（2）0＜a＜1．
【分析】（1）求导函数，利用，可求b的值，进而利用可得函数的单调增区间，可得函数的单调减区间；
（2）时，恒成立等价于，由此可求a的取值范围．
【详解】（1）求导函数，可得，
∵是的一个极值点
∴ ，∴，∴，
由得x＞2或x＜1，∴函数的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；
由得1＜x＜2，∴函数的单调减区间为（1，2）.
（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∴当x＝2时，函数f（x）取得最小值，，
x∈[1，+∞）时，恒成立等价于，，
即，
∴0＜a＜1．
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
4．（2024·全国·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.
【详解】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），且时，，
令，下证即可.
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
5．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．
②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．

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