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第 30讲 完全平方数
知识方法
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫作平方数.
完全平方数有如下的重要性质：
(1) 完全平方数的末位数只能是0、1、4、5、6、9.偶数的平方是4 的倍数，奇数的平方被8除余 1.
(2) 奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数.
(3) 完全平方数能被3 整除或被 3除余 1.
(4) 在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 1) ，则k 一定不是完全平方数.
(5) 当且仅当n 有奇数个因子时，n是完全平方数.
经典例题解析
【例30-1】 若 求证：a是一个完全平方数，并请你写出a 的平方根.
证明 设 1995=x,则 1996=x+1.
=(1995×1996+1)
=3982021 .
所以a 是一个完全平方数，a的平方根为±3982021.
【例30-2】 证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示成两个整数的平方差.
证明 设x、y为两个整数，且 即2(2n+1)=(x+y)(x-y).
因为(x+y)与(x-y)的奇偶性相同,所以均能被2 整除,则2(2n+1)能被4 整除.
而(2n+1)是奇数，不能被4 整除，所以2(2n+1)形式的数不能表示成两个整数的平方差.
【例30-3】 甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为 n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后，剩下不足 10元，轮到乙拿去.为了平均分配，甲应该补给乙多少元
解 n 头羊的总价为n 元，由题意知，n 元中含有奇数个10元，即完全平方数n 的十位数字是奇数.
设n=10x+y,其中x、y是整数,0≤y≤9.那么
因此n 的十位数字是奇数，必须且只需y 的十位数字是奇数，所以 或 36，从而得n 的个位数字必须是 6.
所以，乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元.
【例30-4】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗 若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由.
解 不能找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数.理由如下：
偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1.
若存在正整数n 、n 、n 、n 满足n nj+2002=m ,i,j=1、2、3、4,m是正整数.
因为 2002被4除余2,所以n nj被4除应余2或余3.
(1) 若正整数n 、n 、n 、n 中有两个以上是偶数,不妨设n 、n 是偶数,则 被4 除余2，与正整数的平方被4 除余0或余1不符，所以正整数n 、n 、n 、n 中至多有一个是偶数，至少有三个是奇数.
(2) 在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或余3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4 除余1，与n nj被4除余2或余3的结论矛盾.
综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与 2002 的和都是完全平方数.
【例30-5】 长方形四边的长度都是小于10cm 的整数，这四个长度数可以构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这个四位数是一个完全平方数，求这个长方形的面积.
解 设长方形的边长为 xcm、ycm，则四位数.N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y).
因为 N 是一个完全平方数，11 为质数，所以x+y能被11整除.
又因为1≤x≤9,1≤y≤9,所以2≤x+y≤18,得x+y=11.
所以 所以9x+1是一个完全平方数.
经试算知，当x=7时满足条件，故y=4，从而长方形的面积：
【例 30-6】 某正整数的平方，其末三位是非零的相同数字，求具有该性质的最小正整数.
解 设所求数为p,p>0,p 既具有末三位数，则p 至少有三位数，p至少有两位数.
设 p=10a±b(a、b 为正整数,1≤b≤5),则
验证知当b=1、3、4、5时，p 的十位和个位数字奇偶性相反；当b=2时，p 的末两位数字奇偶性相同.所以所求数必须形如10a±2，而 p=12时， 末两位数字为 4.
又注意
所以
容易验证上式中，当n=1并取“-”号时，有 便是符合要求的最小正整数.
【例30-7】 若x 和y 都是自然数,试证: 和 的值不能同时都是完全平方数.
证明 当x≥y时,. 故 夹在相邻的两个平方数之间，故 不可能是完全平方数.
当x若 则它不是完全平方数.
若 则y=2x+1,这时 是完全平方数，但是 不是完全平方数.
综上所述，对任意的自然数 x 和y, 和 的值不能同时都是完全平方数.
【例30-8】 如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式 的值都是平方数(即整数的平方).
证明:(1) 2a、2b、c都是整数.
(2)a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式 的值都是平方数
证明 (1)令x=0,得c=l ,其中l 是整数.令x=±1,得 其中m、n都是整数.
所以 都是整数.
(2) 如果 2b 是奇数2k+1(k 是整数).令x=4,得 其中h是整数.
由于2a 是整数.所以16a被4整除,有16a+4b=16a+4k+2除以4余2.
而 在h、l 的奇偶性不同时.(h+l)(h-l)是奇数;在h、l的奇偶性相同时,(h+l)(h-l)能被4 整除.
因此， 从而2b是偶数，b是整数， 也是整数.
在(2)成立时， 不一定对x 的整数值都是平方数.例如，(a=2,b=2,c=4,x=1时, 不是平方数.
强化训练
一、选择题
1.能被252 整除的最小完全平方数是( ).
(A) 36 (B) 1764 (C) 7056 (D) 63504
2. 当n取遍所有的大于1的自然数时，下列四个式子中的哪一个所取的代数值总不出现完全平方数( ).
3.已知数x=100…0100…050,则( ).
(A) x是完全平方数 (B)(x-50)是完全平方数
(C)(x-25)是完全平方数 (D)(x+50)是完全平方数
4.如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么 k 的最小值为( ).
(A) 1 (B) 2 (C)3 (D) 4
5.从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的平方差的数从小到大排成一列，则这列数中,第1998个数是( ).
(A) 2662 (B) 2664 (C) 2655 (D) 2666
二、填空题
6.使得n -19n+91为完全平方数的正整数n有 个.
7.设平方数 y 是11 个相继整数的平方和，则y的最小值是 .
8.要使2 +2 +2 为完全平方数，那么，非负整数x 可以是 .(要求写出x 的三个值)
9.如果a、b为正常数，且24a+168b为完全平方数，那么a+b的最小值为 .
三、解答题
10.已知a、b、c 都是正整数，且满足 又a为质数.求证：
(1)b与c 这两个数的乘积为偶数.
(2) 2(a+b+1)是完全平方数.
11.求自然数n,使 Sn=9+17+25+…+(8n+1)=4n +5n为完全平方数.
12.求证：对于任意正整数k，2k—1和2k+1两数中至少有一个不能等于两整数的平方和.
13.问:共有多少个正整数n 使1+5n 是完全平方数,并且1+3n≤2007
14.若数a 能表示成两个自然数(允许相同)的平方和，则称a 为“好数”.试确定，在前200个正整数1,2,…,200中,有多少个“好数”
15.把一个自然数的各个数字相加，其和可能为一位数也可能为多位数.如不是一位数，再将其各位数字相加.如此继续做下去，直到得到一位数为止.若这个一位数为 2、3、5、6四个数中的一个.求证：原来给定的自然数绝不可能是平方数或立方数.
一、选择题
1.【答案】B.
【解析】因为 ，所以能被252 整除的最小完全平方数是
2.【答案】D.
【解析】因为
所以 不可能为某个正整数的平方.故选 D.
3.【答案】C.
【解析】设A=11……1,则10″=9A+1.
因为
=(9A+1)×(9A+1)×10 +(9A+1)×
这里很明显，
4.【答案】C.
【解析】设3n+1=a ,则a=3t±1,于是3n+1= 故 k 等于 3.
5.【答案】B.
【解析】一个数若能表示成两个整数的平方差，即 则这个数要么是奇数，要么是4的倍数.因为1998÷3=666,所以第1998个数为666×4=2664.
二、填空题
6.【答案】2.
【解析】由于 当n>10时,
因为介于两个完全平方数之间的整数不能是完全平方数，所以n>10时，没有完全平方数，于是1≤n≤10.
对于n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10进行验算,只有n=9,n=10 时, 为完全平方数.
所以，符合要求的自然数n只有两个.
7.【答案】11.
【解析】11 个相继整数的平方和为 , 则y 最小时, 所以y=11.
8.【答案】0,9,12.
【解析】用配方法：
x=12.
9.【答案】6.
【解析】因为 24a+168b是完全平方数,而 24a+
又因为b≥1,所以a+7b>6,由上式可得a+7b=6k ,k为整数且|k|≥2.
(1) 当|k|=2时,a+b=24-6b,1≤b<4.当b=3时,a+b=24-18=6,为最小.
(2) 当|k|>2时, 易知 为整数且. 所以a+b≥6.
综上所述，a+b的最小值为6.
三、解答题
10.【答案】证明:(1) 由已知得 (c-b).
若a=2,则(c+b)(c-b)=4,而c+b与c-b有相同的奇偶性,于是c+b=2,c-b=2,b=0,与已知条件矛盾.
若a 是奇质数,因c+b>c-b,于是 c-b=1.于是b与c 这两个数中必有一个是偶数，从而乘积为偶数.
(2)由c+b=a ,c-b=1,得
所以：2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a --1+ 是完全平方数.
11.【答案】n=1.
【解析】因为 所以
又因 故(2n+1) ≤Sj<(2n+2) ,
则n-1=0,即n=1.
12.【答案】证明:如果k 为奇数,设k=2m+1,那么2k+1=4m+3;如果k 为偶数,设k=2m,那么2k--1=4m-1=4(m-1)+3.即2k-1和2k+1两奇数中至少有一个被 4 除余 3.我们来证明形如4m+3的整数不可能等于两整数的平方和.
假设 b为整数).如果a、b都为奇数，则 如果a、b都为偶数，那么 4m；如果a、b为一奇一偶，那么 故知任何两整数平方和被 4 除余数都不为3.换言之，被4除余3的整数不可能等于两整数平方之和.故 2k-1、2k+1中至少有一个数不能等于两整数平方和.
13.【答案】22.
【解析】由条件1+3n≤2007,得到n≤668.设1+ 既然 n 是正整数， 必须是正整数.无妨设m+1=5k,或者m-1=5k.① 当m+1=5k 时, (无须解二次不等式).因为 k 是正整数，故
将k=212代入 得到 668.所以,此时有11个正整数 n 使 1+5n 是完全平方数,并且1+3n≤2007.
② 当m-1=5k时,
由 k 是正整数，得
将k=12 代入 所以，此时有 11个正整数n 使 1+5 n 是完全平方数，并且1+3n≤2007.
综上所述.共有 22个满足要求.
14.【答案】79.
【答案】不超过200的平方数是1 ,2 ,…,14 .显然,1 ,2 ,…,14 中的每个数 k 均可表为k +0 的形式，这种数共有 14 个.
而 1 ,2 ,…,10 中的每对数(可相同)的和不大于 200，这种数有 个，其中. 形式的数 45 个， 形式的数10个,
其次， 形式的数 8 个； 形式的数 7 个； (x=1,2,…,5)形式的数 5个; 2)形式的数2个；共得 22个.
再考虑重复情况，利用如下事实：
若 则 xy= bc) .
不超过40且能表示为两个不同正整数的平方和的数有 5、10、13、17、20、25、26、29、34、37、40,该组中的每个数与 5 的积以及13 都不大于 200，且都可用两种方式表示为平方和，所以，各被计算了两次,累计有 12次重复(10、13、17、20 与 10的积已包含在以上乘积组中).
故满足条件的数共有14+55+22-12=79(个).
15.【答案】证明：自然数被9除时得到不同的余数，把自然数分成九种类型:9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4(k 为自然数).由于
可见，任一平方数被 9除时，余数为0、1、4、7之一；任一立方数被9除时，余数为0、1、8之一.
因为任一自然数被9除时的余数与此自然数各位数字之和被9除时的余数是相同的，所以任一平方数的各位数字之和被9除时余数为0、1、4、7之一，任一立方数的各位数字之和被 9除时余数为0、1、8之一.总之，无论是平方数还是立方数，其各位数字之和被9除时余数不可能是2、3、5、6之一.
按题述得到的最后那个一位数，是原来那个自然数的各位数字之和被9除时的余数.故若这个一位数是2、3、5、6之一，则原来那个自然数不可能是平方数或立方数.

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