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专题强化6　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
[学习目标]　1.知道波的图像和振动图像的区别与联系，会应用波的图像和振动图像解决综合问题(重点)。2.知道波的多解问题的形成原因，会分析波的多解性问题(重难点)。
一、波的图像与振动图像的区别与联系
振动图像 波的图像
不同点 图像
物理意义 一个质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移
研究对象 一个质点 沿波传播方向上的各质点
坐标 横坐标 时间 各质点的平衡位置
纵坐标 某一质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移
一个完整波形信息 周期T 波长λ
相同点 图像形状 正弦曲线
可获取的信息 质点的振幅A及位移、速度、加速度的大小和方向
例1　(多选)(2023·青岛市高二期中)图甲为一列简谐横波在t＝0时的波形图，图乙为介质中平衡位置在x＝2.5 m处的质点的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．该波的波速为0.5 m/s
B．该波的传播方向为x轴正方向
C．当t＝5 s时，平衡位置在x＝2 m处的质点恰好经平衡位置向y轴正方向运动
D．从t＝2 s到t＝4 s的时间内，平衡位置在x＝0.7 m处的质点通过的路程为8 cm
答案　ACD
解析　由题图甲可知波长为2 m，由题图乙可知周期为4 s，则波速为v＝＝ m/s＝0.5 m/s，故A正确；由题图乙可知，t＝0时刻，x＝2.5 m处的质点向y轴正方向运动，根据波形平移法可知，该波的传播方向为x轴负方向，故B错误；由于t＝5 s＝T，可知当t＝5 s时，平衡位置在x＝2 m处的质点恰好经平衡位置向y轴正方向运动，故C正确；从t＝2 s到t＝4 s的时间内，由于Δt＝2 s＝，可知平衡位置在x＝0.7 m处的质点通过的路程为s＝2A＝8 cm，故D正确。
分析波的图像与振动图像的综合问题，主要有以下两个方面：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：分清波的图像与哪一时刻对应，振动图像与哪一质点对应。
例2　(2023·北京市第四十四中学高二期中)一列沿x轴传播的简谐横波，t＝0时刻的波形图如图甲所示。图乙表示x＝1.0 m处的质点的振动图像，则
(1)求简谐横波传播速度的大小；
(2)在图丙中画出平衡位置为x＝2.0 m处质点的振动图像(从t＝0时刻开始计时，至少画出一个周期)；
(3)在图丁中画出简谐横波t＝0.3 s时的波形图(至少画出一个波长)。
答案　(1)5 m/s　(2)见解析图　(3)见解析图
解析　(1)由题图甲可知波长λ＝2 m，
由题图乙可知周期T＝0.4 s，则v＝＝5 m/s
(2)根据题图甲和题图乙判断可知简谐波向x轴正方向传播，则x＝2.0 m处质点在t=0时刻运动方向为y轴负方向，波长、振幅、周期与x＝1.0 m处的质点相同，则振动图像如图所示
(3)当t＝0.3 s时，波向前传播的距离
x＝vt＝5 m/s×0.3 s＝1.5 m，根据题图甲和题图乙判断可知简谐波向x轴正方向传播，则波的图像如图所示。
Δt后波形图的画法
1．特殊点法：找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点)，画出这些特殊点在Δt时刻的位置，然后用正、余弦曲线连起来画出波形图，如果Δt较长，可先表示为Δt＝nT＋Δt′。由于时间的周期性，可以去整留零，只需画出特殊点在Δt′时刻的波形图。特殊点法适用于特殊时间，Δt或Δt′必须为T的整数倍才好确定特殊点的位置来画波形。特殊点法画波形图较为简单易行。
2．平移法：算出波在Δt时间内传播的距离Δx＝vΔt，把波形沿波的传播方向平移Δx。如果Δx较大，可化为Δx＝nλ＋Δx′，由于波的空间周期性，可以去整留零，只需平移Δx′即可，平移波形后一定要注意把图像补画完整。
二、波的多解问题
1．波的传播方向的双向性形成多解
只要没有指明机械波沿哪个方向传播，就要讨论两个方向的可能性。
2．波的周期性形成多解
(1)时间周期性
t时刻与t＋nT(n＝1,2…)时刻的波形图完全重合，即同一波形图可能是不同时刻形成的，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
(2)空间周期性
平衡位置相距nλ(n＝1,2…)的两点振动步调相同，将某一波形沿波的传播方向平移nλ距离，平移后的波形与原波形完全重合，若题中没有给定传播距离与波长的确切关系，则会引起答案的不确定性。
例3　(2023·遂宁市期末)一列简谐横波沿直线方向由a向b传播，a、b两质点的平衡位置相距3 m，a、b两质点的振动图像如图所示。则该波的传播速度大小可能为(　　)
A．2.0 m/s B．1.5 m/s
C．1.0 m/s D．0.5 m/s
答案　C
解析　根据图像可知，t＝0时刻，a质点位于平衡位置向上振动，b质点位于波峰，又由于简谐横波沿直线方向由a向b传播，画出a、b间的波形图，如图，
则有Δxab＝3 m＝nλ＋λ(n＝0,1,2,3…)，根据振动图像可知T＝4 s，该波的传播速度v＝，解得v＝ m/s(n＝0,1,2,3…)，n＝0时，v＝1.0 m/s，n＝1时，v＝ m/s，n＝2时，v＝ m/s，…，对照选项只有C符合题意。
例4　一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，
(1)这列波的周期可能是多大？
(2)这列波可能的波速表达式是怎样的？
(3)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速为多大？
(4)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
答案　见解析
解析　(1)(2)由题图可知波长λ＝8 m，
当波向右传播时Δt＝nT1＋
T1＝ s(n＝0,1,2，…)
v右＝＝4(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)
当波向左传播时Δt＝nT2＋T2
T2＝ s(n＝0,1,2，…)
v左＝＝4(4n＋3) m/s(n＝0,1,2，…)。
(3)若波向左传播，且3T<Δt<4T
则Δt＝3T，得T＝ s，v1＝＝60 m/s
(4)Δt内波传播的距离为：
x＝vΔt＝68×0.5 m＝34 m＝4λ
故波向右传播。
解决波的多解问题的一般思路
1．首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论。
2．对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。
3．应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。
专题强化练
1～6题每题8分，共48分
1．(2023·枣庄市第八中学高二月考)一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图甲所示，从该时刻计时，则图乙描述的可能是(　　)
A．a处质点的振动图像
B．b处质点的振动图像
C．c处质点的振动图像
D．d处质点的振动图像
答案　 C
解析　因该简谐横波沿x轴正方向传播，该时刻质点处于平衡位置且向y轴负方向振动的是c质点，故题图乙可能为平衡位置在c处的质点的振动图像，故选C。
2．一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波的波长可能为(　　)
A．4 m、6 m和8 m B．6 m、8 m和12 m
C．4 m、6 m和12 m D．4 m、8 m和12 m
答案　C
解析　由于该波上两质点处于平衡位置且相距6 m，且两质点间波峰只有一个，故6 m与波长λ的关系有三种可能：6 m＝，6 m＝λ，6 m＝λ，故波长的可能值为12 m、6 m、4 m，C正确。
3．(2023·阜阳市高二期末)一列简谐横波某时刻波形如图甲所示，由该时刻开始计时，质点N的振动情况如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．该横波沿x轴负方向传播
B．该时刻质点L向y轴正方向运动
C．该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
D．质点N经半个周期将沿x轴移动到L点
答案　A
解析　结合波形图和质点N的振动图像可知，该时刻质点N在平衡位置向上振动，可知该横波沿x轴负方向传播，故A正确；由于该横波沿x轴负方向传播，根据“上下坡法”，可知该时刻质点L向y轴负方向运动，故B错误；该时刻质点K与M的速度均为零、加速度大小相同，方向相反，故C错误；质点只能在平衡位置附近振动，而不随波迁移，故D错误。
4．(2023·北京卷)位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐横波。t＝0时波源开始振动，其位移y随时间t变化的关系式为y＝Asin(t)，则t＝T时的波形图为(　　)
答案　D
解析　由于t＝0时波源从平衡位置开始振动，由振动方程可知，波源起振方向沿y轴正方向，且t＝T时波源处质点的位移和振动方向应与t＝0时相同，根据“上坡下，下坡上”可知t＝T时的波形图为选项D图，故选D。
5．(2023·威海市高二期末)位于坐标原点的波源的振动图像如图所示，形成的简谐波沿着x轴向两侧传播，已知波的传播速度为2 m/s，则t＝1 s时的波动图像为(　　)
答案　C
解析　根据波源的振动图像可知，波源的振动周期为T＝2 s，那么从波源开始振动到t＝1 s的时间里，波在x轴向两侧传播应分别产生了半个波形。已知波沿x轴向两侧传播的速度为v＝2 m/s，则波长为λ＝vT＝4 m，那么波形相对于y轴应是镜像对称的，且传播到x轴±2 m的位置。根据波源的振动图像可知，在t＝1 s时，波源经过平衡位置向下振动。综合判断，C正确，A、B、D错误。
6．(多选)(2023·邯郸市高二期中)一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图中的实线所示，t＝0.02 s时刻的波形如图中虚线所示。若该波沿 x 轴负方向传播，则该波的传播速度可能是(　　)
A．3 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．15 m/s
答案　AD
解析　波沿 x 轴负方向传播，则
Δx＝nλ＋λ＝0.08n＋0.06(m)
则该波的传播速度为
v＝＝ m/s＝4n＋3(m/s)
当n＝0时，v＝3 m/s；
当n＝3时，v＝15 m/s。故选A、D。
7～9题每题9分，10题15分，共42分
7．(2023·徐州市高二期中)如图甲为一列简谐横波在t＝0.2 s时刻的波形图，P、Q为介质中的两个质点，图乙为质点P的振动图像，则(　　)
A．简谐横波沿x轴负方向传播
B．简谐横波的波速为0.2 m/s
C．t＝0.3 s时，质点Q的加速度小于质点P的加速度
D．t＝0.5 s时，质点Q距平衡位置的距离大于质点P距平衡位置的距离
答案　C
解析　由振动图像可知，在t＝0.2 s时刻，质点P的振动方向向下，结合波形图可知，简谐横波沿x轴正方向传播，选项A错误；
简谐横波的波速为v＝＝ m/s＝5 m/s，选项B错误；
t＝0.3 s时，即在t＝0.2 s再经过，则质点P到达波谷，而质点Q在波峰与平衡位置之间，则此时质点Q的加速度小于质点P的加速度，选项C正确；
t＝0.5 s时，即在t＝0.2 s再经过质点P到达波峰，质点Q在波谷和平衡位置之间，则质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离，选项D错误。
8．(多选)如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在x轴上的距离s＝30 m，波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时，b恰好经过平衡位置向下振动，经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是(　　)
A．该波的波速一定是6 m/s
B．该波的周期一定是12 s
C．该波的波长可能是40 m
D．该波的波长可能为24 m
答案　AC
解析　该波经过5 s，传播了30 m，则波速v＝＝6 m/s，选项A正确；由题意可知nλ＋λ＝30 m(n＝0,1,2,3，…)，可得波长λ＝ m，当n＝0时λ＝40 m，当λ＝24 m时，n不是正整数，选项C正确，D错误；周期T＝＝ m/s(n＝0,1,2,3，…)，则该波的周期不可能是12 s，选项B错误。
9．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m 处质点的振动图像分别如图甲、乙所示，则此列波的传播速率可能是(　　)
A．7 m/s B．2 m/s C．1.2 m/s D．1 m/s
答案　BC
解析　由两质点的振动图像可知，t＝0时刻，x1＝1 m处的质点处于平衡位置向下运动，x2＝7 m处的质点位于波峰处，该波的周期为T＝4 s。若该简谐横波沿x轴正方向传播，则两质点间的距离为(n＋)λ＝6 m(n＝0,1,2，…)，则λ＝ m(n＝0,1,2，…)，由波速的公式得v＝＝ m/s(n＝0,1,2，…)，n＝0时，v＝6 m/s；n＝1时，v＝1.2 m/s；n＝2时，v＝ m/s，C正确；若该简谐横波沿x轴负方向传播，则两质点间的距离为(n＋)λ＝6 m(n＝0,1,2，…)，则λ＝ m(n＝0,1,2，…)，由波速的公式得v＝＝ m/s(n＝0,1,2，…)，n＝0时，v＝2 m/s；n＝1时，v＝ m/s，B正确，A、D错误。
10．(15分)(2023·邯郸市高二期末)舞袖的波形可看成一列沿x轴传播的简谐横波，如图所示，实线是简谐横波在t1＝0时刻的波形图，虚线是在t2＝0.2 s时刻的波形图。
(1)(5分)求此列波传播速度的可能值；
(2)(5分)若波速为65 m/s，求x＝3 m处的质点N在t1时刻的振动方向；
(3)(5分)在t1到t2时间内，x＝5 m处的质点M通过的路程为1.8 m，求波的传播速度。
答案　(1)见解析　(2)沿y轴负方向振动　(3)45 m/s
解析　(1)从波的图像可以看出，波长λ＝4 m，若波沿x轴正方向传播，则波传播的距离
x1＝(n＋)λ(n＝0,1,2,3，…)
波传播的速度v1＝＝5(4n＋1) m/s(n＝0,1,2,3，…)
若波沿x轴负方向传播，则波传播的距离
x2＝(n＋)λ(n＝0,1,2,3，…)
波传播的速度v2＝＝5(4n＋3) m/s(n＝0,1,2,3)
(2)由(1)知：若波沿x轴负方向传播，无论n取值多少，都不能求出波速为65 m/s，若波沿x轴正方向传播，n＝3时，解得v1＝65 m/s
波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知，质点N沿y轴负方向振动。
(3)从波的图像可以看出振幅A＝20 cm＝0.2 m
M通过的路程为1.8 m，则经历的时间是2T，波传播的距离x3＝2λ＋λ＝9 m
波速大小v3＝＝45 m/s。
　(10分)
11．(2023·临沂市高二期末)一列简谐横波沿x轴传播，在t＝0.125 s时的波形如图甲所示，M、N、P、Q是介质中的四个质点，已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16 m，图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是(　　)
A．该波的波速为240 m/s
B．该波沿x轴正方向传播
C．质点P的平衡位置位于x＝3 m处
D．从t＝0.125 s开始，质点Q比质点N早 s回到平衡位置
答案　D
解析　设该波的波长为λ，根据三角函数知识可知，N、Q两质点平衡位置间的距离为xNQ＝－·λ＝16 m，解得λ＝24 m，由题图乙可知该波的周期为T＝0.2 s，所以该波的波速为v＝＝120 m/s，故A错误；由题图乙可知，t＝0.125 s时刻，质点P沿y轴负方向运动，所以该波沿x轴负方向传播，故B错误；由题图乙可知，在t＝0.125 s之后，质点P第一次位于波峰的时刻为t＝0.25 s，易知此波峰为t＝0.125 s时刻质点Q所在处的波峰传播来的，所以有＝0.25 s－0.125 s，解得xP＝1 m，故C错误；从t＝0.125 s开始，质点Q第一次回到平衡位置所经历的时间为t1＝＝0.05 s，题图甲中，质点Q左侧波形的第一个平衡位置处坐标为x1＝xQ－＝10 m，该振动状态第一次传播到质点N所经历的时间为t2＝＝ s，则Δt＝t2－t1＝ s，即质点Q比质点N早 s回到平衡位置，故D正确。(共52张PPT)
DISANZHANG
第三章
专题强化6　波的图像与振动图像的综
合问题　波的多解问题
1.知道波的图像和振动图像的区别与联系，会应用波的图像和振动图像解决综合问题(重点)。
2.知道波的多解问题的形成原因，会分析波的多解性问题(重难点)。
学习目标
一、波的图像与振动图像的区别与联系
二、波的多解问题
专题强化练
内容索引
波的图像与振动图像的区别与联系
一
振动图像 波的图像
不同点 图像
物理意义 一个质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移
研究对象 __________ 沿波传播方向上的________
坐标 横坐标 时间 各质点的_________
纵坐标 某一质点在_________的振动位移 各质点在 的振动位移
一个完整波形信息 周期T 波长λ
一个质点
各质点
平衡位置
不同时刻
同一时刻
振动图像 波的图像
相同点 图像形状 正弦曲线
可获取的信息 质点的振幅A及位移、速度、加速度的大小和方向
　(多选)(2023·青岛市高二期中)图甲为一列简谐横波在t＝0时的波形图，图乙为介质中平衡位置在x＝2.5 m处的质点的振动图像，下列说法正确的是
A.该波的波速为0.5 m/s
B.该波的传播方向为x轴正方向
C.当t＝5 s时，平衡位置在x＝2 m
　处的质点恰好经平衡位置向y轴正方向运动
D.从t＝2 s到t＝4 s的时间内，平衡位置在x＝0.7 m处的质点通过的路程为
　8 cm
例1
√
√
√
由题图乙可知，t＝0时刻，x＝2.5 m处的质点向y轴正方向运动，根据波形平移法可知，该波的传播方向为x轴负方向，故B错误；
总结提升
分析波的图像与振动图像的综合问题，主要有以下两个方面：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：分清波的图像与哪一时刻对应，振动图像与哪一质点对应。
　(2023·北京市第四十四中学高二期中)一列沿x轴传播的简谐横波，t＝0时刻的波形图如图甲所示。图乙表示x＝1.0 m处的质点的振动图像，则
例2
(1)求简谐横波传播速度的大小；
答案　5 m/s　
由题图甲可知波长λ＝2 m，
由题图乙可知周期T＝0.4 s，则v＝ ＝5 m/s
(2)在图丙中画出平衡位置为x＝2.0 m处质点的振动图像(从t＝0时刻开始计时，至少画出一个周期)；
答案　见解析图　
根据题图甲和题图乙判断可知简谐波向x轴正方向传播，则x＝2.0 m处质点在t=0时刻运动方向为y轴负方向，波长、振幅、周期与x＝1.0 m处的质点相同，则振动图像如图所示
(3)在图丁中画出简谐横波t＝0.3 s时的波形图(至少画出一个波长)。
答案　见解析图　
当t＝0.3 s时，波向前传播的距离
x＝vt＝5 m/s×0.3 s＝1.5 m，根据题图甲和题图乙判断可知简谐波向x轴正方向传播，则波的图像如图所示。
总结提升
Δt后波形图的画法
1.特殊点法：找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点)，画出这些特殊点在Δt时刻的位置，然后用正、余弦曲线连起来画出波形图，如果Δt较长，可先表示为Δt＝nT＋Δt′。由于时间的周期性，可以去整留零，只需画出特殊点在Δt′时刻的波形图。特殊点法适用于特殊时间，Δt或Δt′必须为 的整数倍才好确定特殊点的位置来画波形。特殊点法画波形图较为简单易行。
总结提升
2.平移法：算出波在Δt时间内传播的距离Δx＝vΔt，把波形沿波的传播方向平移Δx。如果Δx较大，可化为Δx＝nλ＋Δx′，由于波的空间周期性，可以去整留零，只需平移Δx′即可，平移波形后一定要注意把图像补画完整。
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波的多解问题
二
1.波的传播方向的双向性形成多解
只要没有指明机械波沿哪个方向传播，就要讨论两个方向的可能性。
2.波的周期性形成多解
(1)时间周期性
t时刻与t＋nT(n＝1,2…)时刻的波形图完全重合，即同一波形图可能是不同时刻形成的，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
(2)空间周期性
平衡位置相距nλ(n＝1,2…)的两点振动步调相同，将某一波形沿波的传播方向平移nλ距离，平移后的波形与原波形完全重合，若题中没有给定传播距离与波长的确切关系，则会引起答案的不确定性。
　(2023·遂宁市期末)一列简谐横波沿直线方向由a向b传播，a、b两质点的平衡位置相距3 m，a、b两质点的振动图像如图所示。则该波的传播速度大小可能为
A.2.0 m/s
B.1.5 m/s
C.1.0 m/s
D.0.5 m/s
例3
√
根据图像可知，t＝0时刻，a质点位于平衡位置向上振动，b质点位于波峰，又由于简谐横波沿直线方向由a向b传播，画出a、b间的波
　一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，
(1)这列波的周期可能是多大？
例4
答案　见解析
(2)这列波可能的波速表达式是怎样的？
答案　见解析
由题图可知波长λ＝8 m，
(3)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速为多大？
答案　见解析
若波向左传播，且3T<Δt<4T
(4)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
答案　见解析
Δt内波传播的距离为：
故波向右传播。
总结提升
解决波的多解问题的一般思路
1.首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论。
2.对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。
3.应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。
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专题强化练
三
1.(2023·枣庄市第八中学高二月考)一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图甲所示，从该时刻计时，则图乙描述的可能是
A.a处质点的振动图像
B.b处质点的振动图像
C.c处质点的振动图像
D.d处质点的振动图像
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
基础强化练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
因该简谐横波沿x轴正方向传播，该时刻质点处于平衡位置且向y轴负方向振动的是c质点，故题图乙可能为平衡位置在c处的质点的振动图像，故选C。
2.一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波的波长可能为
A.4 m、6 m和8 m B.6 m、8 m和12 m
C.4 m、6 m和12 m D.4 m、8 m和12 m
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3.(2023·阜阳市高二期末)一列简谐横波某时刻波形如图甲所示，由该时刻开始计时，质点N的振动情况如图乙所示，下列说法正确的是
A.该横波沿x轴负方向传播
B.该时刻质点L向y轴正方向运动
C.该时刻质点K与M的速度、加速
　度都相同
D.质点N经半个周期将沿x轴移动到L点
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结合波形图和质点N的振动图像可
知，该时刻质点N在平衡位置向上
振动，可知该横波沿x轴负方向传
播，故A正确；
由于该横波沿x轴负方向传播，根据“上下坡法”，可知该时刻质点L向y轴负方向运动，故B错误；
该时刻质点K与M的速度均为零、加速度大小相同，方向相反，故C错误；
质点只能在平衡位置附近振动，而不随波迁移，故D错误。
4.(2023·北京卷)位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐
横波。t＝0时波源开始振动，其位移y随时间t变化的关系式为y＝
则t＝T时的波形图为
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由于t＝0时波源从平衡位置开始振动，由振动方程可知，波源起振方向沿y轴正方向，且t＝T时波源处质点的位移和振动方向应与t＝0时相同，根据“上坡下，下坡上”可知t＝T时的波形图为选项D图，故选D。
5.(2023·威海市高二期末)位于坐标原点的波源的振动图像如图所示，形成的简谐波沿着x轴向两侧传播，已知波的传播速度为2 m/s，则t＝1 s时的波动图像为
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根据波源的振动图像可知，波源的振动周期为T＝
2 s，那么从波源开始振动到t＝1 s的时间里，波在
x轴向两侧传播应分别产生了半个波形。已知波沿
x轴向两侧传播的速度为v＝2 m/s，则波长为λ＝
vT＝4 m，那么波形相对于y轴应是镜像对称的，且传播到x轴±2 m的位置。根据波源的振动图像可知，在t＝1 s时，波源经过平衡位置向下振动。综合判断，C正确，A、B、D错误。
6.(多选)(2023·邯郸市高二期中)一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图中的实线所示，t＝0.02 s时刻的波形如图中虚线所示。若该波沿 x 轴负方向传播，则该波的传播速度可能是
A.3 m/s B.6 m/s
C.4 m/s D.15 m/s
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波沿x轴负方向传播，则
则该波的传播速度为
当n＝0时，v＝3 m/s；
当n＝3时，v＝15 m/s。故选A、D。
7.(2023·徐州市高二期中)如图甲为一列简谐横波在t＝0.2 s时刻的波形图，P、Q为介质中的两个质点，图乙为质点P的振动图像，则
A.简谐横波沿x轴负方向传播
B.简谐横波的波速为0.2 m/s
C.t＝0.3 s时，质点Q的加速度小
　于质点P的加速度
D.t＝0.5 s时，质点Q距平衡位置的距离大于质点P距平衡位置的距离
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能力综合练
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由振动图像可知，在t＝0.2 s时刻，质点P的振动方向向下，结合波形图可知，简谐横波沿x轴正方向传播，选项A错误；
t＝0.3 s时，即在t＝0.2 s再经过　 则质点P到达波谷，而质点Q在波峰与平衡位置之间，则此时质点Q的加速度小于质点P的加速度，选项C正确；
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8.(多选)如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在x轴上的距离s＝30 m，波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时，b恰好经过平衡位置向下振动，经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是
A.该波的波速一定是6 m/s
B.该波的周期一定是12 s
C.该波的波长可能是40 m
D.该波的波长可能为24 m
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9.(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m 处质点的振动图像分别如图甲、乙所示，则此列波的传播速率可能是
A.7 m/s 　　B.2 m/s 　　 C.1.2 m/s 　　D.1 m/s
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由两质点的振动图像可知，t＝0时刻，x1＝1 m处的质点处于平衡位置向下运动，x2＝7 m处的质点位于波峰处，该波的周期为T＝4 s。若该简谐横波沿x轴正方向
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10.(2023·邯郸市高二期末)舞袖的波形可看成一列沿x轴传播的简谐横波，如图所示，实线是简谐横波在t1＝0时刻的波形图，虚线是在t2＝0.2 s时刻的波形图。
(1)求此列波传播速度的可能值；
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答案　见解析
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从波的图像可以看出，波长λ＝4 m，若
波沿x轴正方向传播，则波传播的距离
若波沿x轴负方向传播，则波传播的距离
(2)若波速为65 m/s，求x＝3 m处的质点N在t1
时刻的振动方向；
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答案　沿y轴负方向振动
由(1)知：若波沿x轴负方向传播，无论n取值多少，都不能求出波速为65 m/s，若波沿x轴正方向传播，n＝3时，解得v1＝65 m/s
波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知，质点N沿y轴负方向振动。
(3)在t1到t2时间内，x＝5 m处的质点M通过的
路程为1.8 m，求波的传播速度。
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答案　45 m/s
从波的图像可以看出振幅A＝20 cm＝0.2 m
11.(2023·临沂市高二期末)一列简谐横波沿x轴传播，在t＝0.125 s时的波形如图甲所示，M、N、P、Q是介质中的四个质点，已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16 m，图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是
A.该波的波速为240 m/s
B.该波沿x轴正方向传播
C.质点P的平衡位置位于x＝3 m处
D.从t＝0.125 s开始，质点Q比质点N早 回到平衡位置
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由题图乙可知，t＝0.125 s时刻，质点P沿y轴负方向运动，所以该波沿x轴负方向传播，故B错误；
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由题图乙可知，在t＝0.125 s之后，质点P第一次位于波峰的时刻为t＝0.25 s，易知此波峰为t＝0.125 s时刻质点Q所在处的波峰传播来的，
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返回专题强化6　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
[学习目标]　1.知道波的图像和振动图像的区别与联系，会应用波的图像和振动图像解决综合问题(重点)。2.知道波的多解问题的形成原因，会分析波的多解性问题(重难点)。
一、波的图像与振动图像的区别与联系
振动图像 波的图像
不同点 图像
物理意义 一个质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移
研究对象 _______ 沿波传播方向上的_______
坐标 横坐标 时间 各质点的_______
纵坐标 某一质点在_______的振动位移 各质点在_______的振动位移
一个完整波形信息 周期T 波长λ
相同点 图像形状 正弦曲线
可获取的信息 质点的振幅A及位移、速度、加速度的大小和方向
例1　(多选)(2023·青岛市高二期中)图甲为一列简谐横波在t＝0时的波形图，图乙为介质中平衡位置在x＝2.5 m处的质点的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．该波的波速为0.5 m/s
B．该波的传播方向为x轴正方向
C．当t＝5 s时，平衡位置在x＝2 m处的质点恰好经平衡位置向y轴正方向运动
D．从t＝2 s到t＝4 s的时间内，平衡位置在x＝0.7 m处的质点通过的路程为8 cm
分析波的图像与振动图像的综合问题，主要有以下两个方面：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：分清波的图像与哪一时刻对应，振动图像与哪一质点对应。
例2　(2023·北京市第四十四中学高二期中)一列沿x轴传播的简谐横波，t＝0时刻的波形图如图甲所示。图乙表示x＝1.0 m处的质点的振动图像，则
(1)求简谐横波传播速度的大小；
(2)在图丙中画出平衡位置为x＝2.0 m处质点的振动图像(从t＝0时刻开始计时，至少画出一个周期)；
(3)在图丁中画出简谐横波t＝0.3 s时的波形图(至少画出一个波长)。
Δt后波形图的画法
1．特殊点法：找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点)，画出这些特殊点在Δt时刻的位置，然后用正、余弦曲线连起来画出波形图，如果Δt较长，可先表示为Δt＝nT＋Δt′。由于时间的周期性，可以去整留零，只需画出特殊点在Δt′时刻的波形图。特殊点法适用于特殊时间，Δt或Δt′必须为T的整数倍才好确定特殊点的位置来画波形。特殊点法画波形图较为简单易行。
2．平移法：算出波在Δt时间内传播的距离Δx＝vΔt，把波形沿波的传播方向平移Δx。如果Δx较大，可化为Δx＝nλ＋Δx′，由于波的空间周期性，可以去整留零，只需平移Δx′即可，平移波形后一定要注意把图像补画完整。
二、波的多解问题
1．波的传播方向的双向性形成多解
只要没有指明机械波沿哪个方向传播，就要讨论两个方向的可能性。
2．波的周期性形成多解
(1)时间周期性
t时刻与t＋nT(n＝1,2…)时刻的波形图完全重合，即同一波形图可能是不同时刻形成的，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
(2)空间周期性
平衡位置相距nλ(n＝1,2…)的两点振动步调相同，将某一波形沿波的传播方向平移nλ距离，平移后的波形与原波形完全重合，若题中没有给定传播距离与波长的确切关系，则会引起答案的不确定性。
例3　(2023·遂宁市期末)一列简谐横波沿直线方向由a向b传播，a、b两质点的平衡位置相距3 m，a、b两质点的振动图像如图所示。则该波的传播速度大小可能为(　　)
A．2.0 m/s B．1.5 m/s
C．1.0 m/s D．0.5 m/s
例4　一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，
(1)这列波的周期可能是多大？
(2)这列波可能的波速表达式是怎样的？
(3)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速为多大？
(4)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
解决波的多解问题的一般思路
1．首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论。
2．对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。
3．应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。专题强化练6　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
(分值：100分)
1～6题每题8分，共48分
1．(2023·枣庄市第八中学高二月考)一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图甲所示，从该时刻计时，则图乙描述的可能是(　　)
A．a处质点的振动图像
B．b处质点的振动图像
C．c处质点的振动图像
D．d处质点的振动图像
2．一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波的波长可能为(　　)
A．4 m、6 m和8 m B．6 m、8 m和12 m
C．4 m、6 m和12 m D．4 m、8 m和12 m
3．(2023·阜阳市高二期末)一列简谐横波某时刻波形如图甲所示，由该时刻开始计时，质点N的振动情况如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．该横波沿x轴负方向传播
B．该时刻质点L向y轴正方向运动
C．该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
D．质点N经半个周期将沿x轴移动到L点
4．(2023·北京卷)位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐横波。t＝0时波源开始振动，其位移y随时间t变化的关系式为y＝Asin(t)，则t＝T时的波形图为(　　)
5．(2023·威海市高二期末)位于坐标原点的波源的振动图像如图所示，形成的简谐波沿着x轴向两侧传播，已知波的传播速度为2 m/s，则t＝1 s时的波动图像为(　　)
6．(多选)(2023·邯郸市高二期中)一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图中的实线所示，t＝0.02 s时刻的波形如图中虚线所示。若该波沿 x 轴负方向传播，则该波的传播速度可能是(　　)
A．3 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．15 m/s
7～9题每题9分，10题15分，共42分
7．(2023·徐州市高二期中)如图甲为一列简谐横波在t＝0.2 s时刻的波形图，P、Q为介质中的两个质点，图乙为质点P的振动图像，则(　　)
A．简谐横波沿x轴负方向传播
B．简谐横波的波速为0.2 m/s
C．t＝0.3 s时，质点Q的加速度小于质点P的加速度
D．t＝0.5 s时，质点Q距平衡位置的距离大于质点P距平衡位置的距离
8．(多选)如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在x轴上的距离s＝30 m，波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时，b恰好经过平衡位置向下振动，经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是(　　)
A．该波的波速一定是6 m/s
B．该波的周期一定是12 s
C．该波的波长可能是40 m
D．该波的波长可能为24 m
9．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m 处质点的振动图像分别如图甲、乙所示，则此列波的传播速率可能是(　　)
A．7 m/s B．2 m/s C．1.2 m/s D．1 m/s
10．(15分)(2023·邯郸市高二期末)舞袖的波形可看成一列沿x轴传播的简谐横波，如图所示，实线是简谐横波在t1＝0时刻的波形图，虚线是在t2＝0.2 s时刻的波形图。
(1)(5分)求此列波传播速度的可能值；
(2)(5分)若波速为65 m/s，求x＝3 m处的质点N在t1时刻的振动方向；
(3)(5分)在t1到t2时间内，x＝5 m处的质点M通过的路程为1.8 m，求波的传播速度。
　(10分)
11．(2023·临沂市高二期末)一列简谐横波沿x轴传播，在t＝0.125 s时的波形如图甲所示，M、N、P、Q是介质中的四个质点，已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16 m，图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是(　　)
A．该波的波速为240 m/s
B．该波沿x轴正方向传播
C．质点P的平衡位置位于x＝3 m处
D．从t＝0.125 s开始，质点Q比质点N早 s回到平衡位置
1．C　[因该简谐横波沿x轴正方向传播，该时刻质点处于平衡位置且向y轴负方向振动的是c质点，故题图乙可能为平衡位置在c处的质点的振动图像，故选C。]
2．C　[由于该波上两质点处于平衡位置且相距6 m，且两质点间波峰只有一个，故6 m与波长λ的关系有三种可能：6 m＝，6 m＝λ，6 m＝λ，故波长的可能值为12 m、6 m、4 m，C正确。]
3．A　[结合波形图和质点N的振动图像可知，该时刻质点N在平衡位置向上振动，可知该横波沿x轴负方向传播，故A正确；由于该横波沿x轴负方向传播，根据“上下坡法”，可知该时刻质点L向y轴负方向运动，故B错误；该时刻质点K与M的速度均为零、加速度大小相同，方向相反，故C错误；质点只能在平衡位置附近振动，而不随波迁移，故D错误。]
4．D　[由于t＝0时波源从平衡位置开始振动，由振动方程可知，波源起振方向沿y轴正方向，且t＝T时波源处质点的位移和振动方向应与t＝0时相同，根据“上坡下，下坡上”可知t＝T时的波形图为选项D图，故选D。]
5．C　[根据波源的振动图像可知，波源的振动周期为T＝2 s，那么从波源开始振动到t＝1 s的时间里，波在x轴向两侧传播应分别产生了半个波形。已知波沿x轴向两侧传播的速度为v＝2 m/s，则波长为λ＝vT＝4 m，那么波形相对于y轴应是镜像对称的，且传播到x轴±2 m的位置。根据波源的振动图像可知，在t＝1 s时，波源经过平衡位置向下振动。综合判断，C正确，A、B、D错误。]
6．AD　[波沿 x 轴负方向传播，则
Δx＝nλ＋λ＝0.08n＋0.06(m)
则该波的传播速度为
v＝＝ m/s
＝4n＋3(m/s)
当n＝0时，v＝3 m/s；
当n＝3时，v＝15 m/s。故选A、D。]
7．C　[由振动图像可知，在t＝0.2 s时刻，质点P的振动方向向下，结合波形图可知，简谐横波沿x轴正方向传播，选项A错误；
简谐横波的波速为v＝＝ m/s＝5 m/s，选项B错误；
t＝0.3 s时，即在t＝0.2 s再经过，则质点P到达波谷，而质点Q在波峰与平衡位置之间，则此时质点Q的加速度小于质点P的加速度，选项C正确；
t＝0.5 s时，即在t＝0.2 s再经过质点P到达波峰，质点Q在波谷和平衡位置之间，则质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离，选项D错误。]
8．AC　[该波经过5 s，传播了30 m，则波速v＝＝6 m/s，选项A正确；由题意可知nλ＋λ＝30 m(n＝0,1,2,3，…)，可得波长λ＝ m，当n＝0时λ＝40 m，当λ＝24 m时，n不是正整数，选项C正确，D错误；周期T＝＝ m/s(n＝0,1,2,3，…)，则该波的周期不可能是12 s，选项B错误。]
9．BC　[由两质点的振动图像可知，t＝0时刻，x1＝1 m处的质点处于平衡位置向下运动，x2＝7 m处的质点位于波峰处，该波的周期为T＝4 s。若该简谐横波沿x轴正方向传播，则两质点间的距离为(n＋)λ＝6 m(n＝0,1,2，…)，则λ＝ m(n＝0,1,2，…)，由波速的公式得v＝＝ m/s(n＝0,1,2，…)，n＝0时，v＝6 m/s；n＝1时，v＝1.2 m/s；n＝2时，v＝ m/s，C正确；若该简谐横波沿x轴负方向传播，则两质点间的距离为(n＋)λ＝6 m(n＝0,1,2，…)，则λ＝ m(n＝0,1,2，…)，由波速的公式得v＝＝ m/s(n＝0,1,2，…)，n＝0时，v＝2 m/s；n＝1时，v＝ m/s，B正确，A、D错误。]
10．(1)见解析　(2)沿y轴负方向振动
(3)45 m/s
解析　(1)从波的图像可以看出，波长λ＝4 m，若波沿x轴正方向传播，则波传播的距离
x1＝(n＋)λ(n＝0,1,2,3，…)
波传播的速度v1＝＝5(4n＋1) m/s(n＝0,1,2,3，…)
若波沿x轴负方向传播，则波传播的距离x2＝(n＋)λ(n＝0,1,2,3，…)
波传播的速度v2＝＝5(4n＋3) m/s(n＝0,1,2,3)
(2)由(1)知：若波沿x轴负方向传播，无论n取值多少，都不能求出波速为65 m/s，若波沿x轴正方向传播，n＝3时，解得v1＝65 m/s
波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知，质点N沿y轴负方向振动。
(3)从波的图像可以看出振幅
A＝20 cm＝0.2 m
M通过的路程为1.8 m，
则经历的时间是2T，
波传播的距离x3＝2λ＋λ＝9 m
波速大小v3＝＝45 m/s。
11．D　[设该波的波长为λ，根据三角函数知识可知，N、Q两质点平衡位置间的距离为xNQ＝－·λ＝16 m，解得λ＝24 m，由题图乙可知该波的周期为T＝0.2 s，所以该波的波速为v＝＝120 m/s，故A错误；由题图乙可知，t＝0.125 s时刻，质点P沿y轴负方向运动，所以该波沿x轴负方向传播，故B错误；由题图乙可知，在t＝0.125 s之后，质点P第一次位于波峰的时刻为t＝0.25 s，易知此波峰为t＝0.125 s时刻质点Q所在处的波峰传播来的，所以有＝0.25 s－0.125 s，解得xP＝1 m，故C错误；从t＝0.125 s开始，质点Q第一次回到平衡位置所经历的时间为t1＝＝0.05 s，题图甲中，质点Q左侧波形的第一个平衡位置处坐标为x1＝xQ－＝10 m，该振动状态第一次传播到质点N所经历的时间为t2＝＝ s，则Δt＝t2－t1＝ s，即质点Q比质点N早 s回到平衡位置，故D正确。]

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