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小学奥数 四年级
第13讲 魔力幻方
幻方,实质上就是按照一定格式,一定要求在方框内填数,使每一行、每一列和每一条对角线上各数之和都相等。
相传在大禹治水的时候,黄河支流洛水浮现出一只神龟,
它的背甲上有一个9 种花点的图案(如右图所示),
人们称之为“河图”。
后来,人们将花点一数,惊奇地发现,正好是1∽9九个自然数,各数的排列非常巧妙,三行、三列及两条对角线上的各数之和都是15。
一、知识要点
一、知识要点
填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏,由幻方演变出来的数阵问题,也是一类比较常见的填数问题。这里,和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法:一是待定数法,二是试验法。
待定数法就是先用字母(或符号)表示满足条件的数,通过分析、计算来确定这些字母(或符号)应具备的条件,为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口,确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来,再由填数的可能情况,确定应填的数。
二、精讲精练
【例1】 将1~9九个数填在下图中的方格里,每格填一个数,使每一横行、每一纵行和两条对角线上的三个数之和相等。
【分析与解答】
1~9九个数之和为45,正好是三个横行(或纵行)各数之和,因此每一横行(或纵行)三个数之和为45÷3=15。三个不同的数相加等于15,只可能是:9+5+1,9+4+2,8+6+1,8+5+2,8+4+3.7+6+2,7+5+3.6+5+4。因此,每一横行、每一纵行和每一条对角线恰好是其中一个算式中的三个数。中心数有4条线经过,要求它能在四个算式中出现,除5外没有别的数可选。
【我来解答】:8,2,4和6分别出现在三个算式中,
因此是4个角上的数,这样每一格应填哪一个数就可以确定了。
可排出八个三阶幻方:
【小结与提示】
下面我们学习一种简便易行的编排方法——罗伯法,这种方法适用于编排所有的奇数阶幻方。
罗伯法 简介
下面我们学习一种简便易行的编排方法——罗伯法。这种方法适用于编排所有的奇数阶幻方,可以用几句话概括:
1居上行正中央(如图1),依次斜填切莫忘(如图1);
上出框时往下填(如图2),右出框时左边放(如图3);
排重便在下格填(如图4),右上排重一个样(如图6)。
【练习1】 P98
用1,3,5,7,9,11,13,15,17这九个奇数构成一个三阶幻方。
实践与应用
【例2】把3,4,5,6,7,8,9,10,11九个数填入图中的方格内,使每一行、每一列和每条对角线上的数的和都相等。
【分析与解答】
单纯看这九个数,似乎又要回到基础三阶幻方的解题步骤,但是能否巧妙地运用基础三阶幻方来解答此题呢?解答此题,最简单的方法是给基础三阶幻方每格的数加上2,就得到满足题意的填法,这是因为3~11这九个连续自然数可以认为是1~9九个自然数分别加上2得到的。
我来解答:我们必须找出此题与基础三阶幻方的关系,
不能被表面的条件所迷惑。
小结与提示
在这道题中,要充分抓住题目中的隐藏条件,将复杂问题简单化,不失为一种巧妙的解题方法。
【练习2】 P99
把1~16这十六个数分别填入下图中的十六个方格内,使每行、每列和两条对角线上的四个数的和都相等。
实践与应用
【例3】 将 , , ,, , , , ,这九个数分别填在下图的圆圈内,使每一横行每一竖行、两条对角线上的三个数的和都相等。
【分析与解答】
此题给出的九个数均为分数,看似无从下手,我们来仔细分析一下是否可以找出解题的突破口。如果把这九个数同时扩大一定的倍数,是否可以凑成九个整数呢?通过转化,将题目还原为基础三阶幻方问题。
我来解答:将这九个数分别扩大到原来的12倍,得到6,4,3,2,8,9,1,5,7。然后通过大家熟悉的三阶幻方排列这些数,就可以得到结果。答案如上图。
小结与提示
解答这类问题,要想办法化难为易,从而找到解题的方法。
【练习3】 P101
将 , ,, ,, , , , ,这九个数分别填在下图的圆圈内,使每一横行每一竖行、两条对角线上的三个数的和都相等。
实践与应用
【例4】在下图中的A,B、C、D处填上适当的数,使下图成为一个三阶幻方。
【分析与解答】
三阶幻方九个数中存在4个未知数,看似无从下手,那么能否从题干中找到突破口呢?从第一行和第三列可以轻松推断出A的值,从而可以依次求出B,C,D的值。
我来解答:从第一行和第三列可知A+12+D=D+20+11,
那么A+12=20+11,4=19。对角线上三个数的和为19+15+11=45。
那么B=45-19-16=10,C=45-12-15=18,D=45-19-12=14。
小结与提示
解答三阶幻方问题,要充分抓往题干中隐藏的已知条件,作为解题的突破口。
【练习4】 P102
在下图中的A、B、C、D处填上活当的数,使下图成为一个三阶幻方。
实践与应用
【例5】将1,2,3,5,6,7这六个数填入下图中,使每行中三个数的和相等,同时使每列中两个数的和也相等。
【分析与解答】
要使每行中三个数的和相等,同时每列中两个数的和也相等,需要先把四个角的数确定下来。因为7+1=6+2,所以可将这四个数填入四个角,因为横行的和也要相等,所以填数时7和6不能在同一行。
我来解答:根据以上分析,只需将剩下的3和5填入对应方格中即可。
小结与提示
填数阵图之前要注意分析,尽可能确定 一些有关的量,然后再进行尝试。
7 3 2
1 5 6
【练习5】 P103
将2,3,4,5,6,7、9,10,11,12,13,14读13个教填入下图中,使每行中四个数的和相等,同时使每到中三个数的和也相等。
实践与应用
课堂小结
幻方的填写不能只采取试的办法,而要根据照目的要求和所给数的特征进行合理的分析思考,并在计算的基础上,先填写关键位置的数、再填写其他位置的数。也可通过比较法对两条有公共部分的直线进行幻和的比较,从而求出幻方中的一些未知数。
这些方法不仅适用于幻方,也适用于一些与幻方类似的数阵图问题。
填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏,由幻方演变出来的数阵问题,也是一类比较常见的填数问题。这里,和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法:一是待定数法,二是试验法。待定数法就是先用字母(或符号)表示满足条件的数,通过分析、计算来确定这些字母(或符号)应具备的条件,为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口,确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来,再由填数的可能情况,确定应填的数。
一、知识要点
三、拔高提升
【例题1】 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里,如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。
【思路导航】
先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示,根据题意可知:A+B+C+D+E=35,A+E+B+C+E+D=21×2=42。
把两式相比较可知,E=42-35=7,即中间填7。然后再根据5+9=6+8便可把五个数填进方格,如图b。
【例2】将1——10这十个数填入下图小圆中,使每个大圆上六个数的和是30。
【思路导航】
设中间两个圆中的数为a、b,则两个大圆的总和是1+2+3+……+10+a+b=30×2,即55+a+b=60,a+b=5。在1——10这十个数中1+4=5,2+3=5。
当a和b是1和4时,每个大圆上另外四个数分别是(2,6,8,9)和(3,5,7,10);当a和b是2和3时,每个大圆上另外四个数分别为(1,5,9,10)和(4,6,7,8)。
【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中,使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
【思路导航】
设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时,a、b、c都被计算了两次,根据题意可知:1+2+3+4+5+6+(a+b+c)除以3没有余数。1+2+3+4+5+6=21,21÷3=7没有余数,那么a+b+c的和除以3也应该没有余数。在1——6六个数中,只有4+5+6的和最大,且除以3没有余数,因此a、b、c分别为4、5、6。(1+2+3+4+5+6+4+5+6)÷3=12,所以有下面的填法:如图
【例题4】 将1——7分别填入下图的7个○内,使每条线段上三个○内数的和相等。
【思路导航】
首先要确定中心圆内的数,设中心○内的数是a,那么,三条线段上的总和是1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a,由于三条线段上的和相等,所以(28+2a)除以3应该没有余数。由于28÷3=9……1,那么2a除以3应该余2,因此,a可以为1、4或7。当a=1时,(28+2×1)÷3-1=9,即每条线段上其他两数的和是9,因此,有这样的填法。
【例题5】如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数,它们的和是20,而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少?
【思路导航】
设每个小三角形三个顶点处○内数的和为X。因为中间的小三角形顶点处的数在求和时都用了三次,所以,四个小三角形顶点处数的总和是4X=20+2X,解方程得X=10。由此可知,每个小三角形顶点处的三个质数的和是10,这三个质数只能是2、3、5。因此这6个质数的积是2×2×3×3×5×5=900。如图(b)。
宝剑锋从磨砺出,
梅花香自苦寒来!
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