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苏教版2024-2025学年六年级数学上册强化特训
第一单元专练篇·10：排水法求不规则物体体积“溢水问题”
1．一个长方体容器如图所示：里面水深5.6分米。把一个西瓜全部浸没在水中后，容器中溢出5升水。这个西瓜的体积是多少立方分米？
2．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
3．一个长方体鱼缸，长5dm，宽4dm，高4dm，原来水深3.5dm，如果放进一个长4dm，宽2dm，高2dm的长方体铁块，那么水会溢出多少升？
4．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
5．一个长方体鱼缸，长20厘米，宽10厘米，高16厘米，缸内已有水位高11.5厘米。如果在缸内投入一个棱长为10厘米的正方体铁块。水会溢出玻璃缸吗？为什么？
6．一个棱长为5厘米的正方体玻璃杯，已经装满水。现将水倒入长是6厘米，宽是5厘米，高4厘米的长方体玻璃杯内，共溢出多少毫升的水？
7．一个长方体玻璃缸，在里面测得长20厘米，宽10厘米，高16厘米，缸内有水，且水位高12厘米。如果在缸内投入一个棱长为10厘米的正方体铁块，水会溢出玻璃缸吗？
8．一个长方体玻璃缸，长6分米、宽5分米、高4分米，水深3.2分米。如果放入一个棱长3分米的正方体铁块，水会溢出吗？如果会，溢出多少升？
9．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽5分米，高4分米，水深2.5分米，如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，是否有水溢出，如果有水溢出，水溢出多少升？
10．一个长方体玻璃缸，从里面量长是6分米，宽是5分米，高是3.2分米。如果这个玻璃缸装满水，在里面竖立放入一块棱长是4分米的铁块，缸里的水会溢出多少升？
11．一个正方体的容器，棱长为18厘米，水深16厘米。将一个长12厘米、宽8厘米的长方体钢材完全浸没在水中，水溢出76.8立方厘米。这个长方体钢材的高是多少厘米？
12．在一个长20米，宽10米，高2米的水池中注满水，然后将两条长5米，宽2米和高4米的石柱立着放入池中，此时水池溢出水的体积是多少升？
13．一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，缸内水深12厘米。把一块石头完全浸没在水中后，水面升到16厘米，水没有溢出。这块石头的体积是多少立方分米？
14．一个长方体玻璃缸，从里面量长3分米，宽2分米，高4分米，向缸里倒入水，水的高度为3分米。再把一块石头放入水中，缸里的水溢出0.8升。这块石头的体积是多少？
15．一个棱长4分米的正方体无盖空水箱。华华不小心在这个水箱的侧面扎了一个洞，洞口下沿距水箱底部2.2分米（如下图），如果往这个空水箱中缓慢地注入32升水，那么水是否会由这个洞口溢出？（水箱厚度忽略不计）
16．有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注满了水。有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溢出多少立方厘米的水？
17．在环保书屋里，设置了几项操作活动，其中一项是测量玻璃球的体积。现有一个从里面量得棱长为8厘米的正方体容器，装了深4厘米的水，把玻璃球完全浸没在水中（水没有溢出），这时量得水深为7.5厘米，请问玻璃球的体积是多少立方厘米？
18．一个长方体的玻璃缸，从里面量长8分米，宽6分米，高4分米。玻璃缸里水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块（如下图），缸里的水溢出多少升？
19．王亮很喜欢红金鱼，也很喜欢饲养红金鱼，于是爸爸给他做一个长、宽、高分别是10分米，6分米，6分米无盖的玻璃鱼缸。
（1）做这个玻璃缸至少要多少平方米的玻璃？
（2）如果注入300升的水，水没有溢出，水深是多少分米？
（3）注入300升的水后，再放进10条红金鱼和高4分米体积是立方分米的假山石，水有溢出，溢出的体积是2升。平均每条红金鱼的体积是多少立方分米？
20．有一个长0.8米、宽50厘米、高7.5分米的无盖玻璃鱼缸。
（1）制作这个鱼缸需要多少平方厘米玻璃？
（2）要在鱼缸的上面和下面安装铝合金条，需要多长的铝合金条？
（3）养鱼时，鱼缸内装水的高度距离缸口应不少于10厘米。这个鱼缸最多可以装多少升水？
（4）如果按上面的方法装入水后，在鱼缸中放入一块棱长是40厘米的正方体树脂景观摆件，缸里的水会溢出多少升？
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苏教版2024-2025学年六年级数学上册强化特训
第一单元专练篇·10：排水法求不规则物体体积“溢水问题”
1．一个长方体容器如图所示：里面水深5.6分米。把一个西瓜全部浸没在水中后，容器中溢出5升水。这个西瓜的体积是多少立方分米？
【答案】15立方分米
【分析】根据题意可知，水面上升部分再加上溢出部分的水，就是这个西瓜的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出水上升部分的体积，再加上水溢出部分的体积，即可求出西瓜的体积。
【详解】5升＝5立方分米
5×5×（6－5.6）＋5
＝25×0.4＋5
＝10＋5
＝15（立方分米）
答：这个西瓜的体积是15立方分米。
2．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
【答案】6.4升
【分析】已知长方体的玻璃缸，长宽高分别是8分米、6分米、4分米，水深2.8分米，现在投入一块正方体铁块，铁块的棱长为4分米，缸里的水溢出来了；正方体的棱长与长方体的高相等，则等量关系为：原来长方体空余的上部分体积＋溢出水的体积＝正方体铁块的体积；正方体铁块的体积为4×4×4，长方体空余部分体积为8×6×（4－2.8）；要求得溢出水的体积，列式为：4×4×4－8×6×（4－2.8）。
【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8）
＝64－48×1.2
＝64－57.6
＝6.4（立方分米）
＝6.4升
答：缸里的水溢出6.4升。
【点睛】本题稍显复杂，可画示意图辅助理解，关键是明确，因为原来长方体玻璃缸有一部分空余的空间，所以溢出水的体积不完全等于正方体铁块的体积。
3．一个长方体鱼缸，长5dm，宽4dm，高4dm，原来水深3.5dm，如果放进一个长4dm，宽2dm，高2dm的长方体铁块，那么水会溢出多少升？
【答案】6升
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，运用浸入水法测量物体体积，物体体积＝底面积×物体入水后的高差，据此计算可得出答案。
【详解】水溢出的体积为：
4×2×2－5×4×（4－3.5）
＝4×2×2－5×4×0.5
＝16－10
＝6（dm2）
＝6L
答：水会溢出6升。
【点睛】本题主要考查的是物体体积的计算，解题的关键是理解水面升高的体积加上溢出水的体积就是物体的体积，进而计算得出答案。
4．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
【答案】6.4升
【分析】先根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，分别求出水的体积、长方体玻璃缸的容积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的铁块的体积；最后用水的体积＋正方体铁块的体积－长方体玻璃缸的容积，即可求出溢出的水的体积。
【详解】8×6×2.8＋4×4×4－8×6×4
＝134.4＋64－192
＝198.4－192
＝6.4（立方分米）
6.4立方分米＝6.4升
答：缸里的水溢出6.4升。
【点睛】解决此题关键是明确水和铁块的体积和比玻璃缸的容积大多少则水溢出多少。
5．一个长方体鱼缸，长20厘米，宽10厘米，高16厘米，缸内已有水位高11.5厘米。如果在缸内投入一个棱长为10厘米的正方体铁块。水会溢出玻璃缸吗？为什么？
【答案】会溢出，因为水和铁块的体积和大于鱼缸的体积
【分析】长方体体积＝长×宽×高，据此求出水的体积以及长方体鱼缸的体积。正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体铁块的体积。将铁块的体积和水的体积相加，如果体积和大于鱼缸的体积，那么水会溢出，反之则不会溢出。
【详解】水的体积：20×10×11.5＝2300（立方厘米）
铁块体积：10×10×10＝1000（立方厘米）
鱼缸体积：20×10×16＝3200（立方厘米）
2300＋1000＝3300（立方厘米）
3300＞3200
答：水会溢出，因为水和铁块的体积和大于鱼缸的体积。
【点睛】本题考查了长方体和正方体的体积，解题关键是熟记体积公式。
6．一个棱长为5厘米的正方体玻璃杯，已经装满水。现将水倒入长是6厘米，宽是5厘米，高4厘米的长方体玻璃杯内，共溢出多少毫升的水？
【答案】5毫升
【分析】先根据“正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长”求出水的体积；再根据“长方体的体积（容积）＝长×宽×高”求出长方体玻璃杯的容积；最后用水的体积减去长方体玻璃杯的容积即可求出溢出的水的体积。
【详解】5×5×5－6×5×4
＝125－120
＝5（立方厘米）
5立方厘米＝5毫升
答：共溢出5毫升的水。
【点睛】此题主要考查了长方体、正方体体积（容积）计算公式及体积与容积单位的换算。解决此题关键是明确溢出的水的体积就是正方体玻璃杯的容积和长方体玻璃杯容积的差。
7．一个长方体玻璃缸，在里面测得长20厘米，宽10厘米，高16厘米，缸内有水，且水位高12厘米。如果在缸内投入一个棱长为10厘米的正方体铁块，水会溢出玻璃缸吗？
【答案】水会溢出玻璃缸。
【分析】长方体的体积（容积）＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此先用20×10×16求出长方体玻璃缸的容积；再用20×10×12求出水的体积；再用10×10×10求出正方体铁块的体积；最后把水与铁块的体积和和玻璃缸的容积比较大小，若水与铁块的体积和大于玻璃缸的容积，则水会溢出。
【详解】玻璃缸的容积：20×10×16＝3200（立方厘米）
水与铁块的体积和：20×10×12＋10×10×10
＝2400＋1000
＝3400（立方厘米）
3400＞3200
答：水会溢出玻璃缸。
【点睛】此题考查了长方体体积（容积）公式、正方体体积公式。解决此题关键是明确水、铁块的体积和与玻璃缸容积的大小关系。
8．一个长方体玻璃缸，长6分米、宽5分米、高4分米，水深3.2分米。如果放入一个棱长3分米的正方体铁块，水会溢出吗？如果会，溢出多少升？
【答案】水会溢出；3升
【分析】先根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出玻璃缸内无水部分的容积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积；最后将玻璃缸内无水部分的容积与铁块的体积作比较，若玻璃缸内无水部分的容积小于铁块的体积，则水会溢出，再用铁块的体积减去玻璃缸内无水部分的容积，求出溢出的水的体积。
【详解】6×5×（4－3.2）
＝30×0.8
＝24（立方分米）
3×3×3
＝9×3
＝27（立方分米）
因为24＜27，所以水会溢出。
27－24＝3（立方分米）
3立方分米＝3升
答：水会溢出，溢出3升。
【点睛】此题考查了长方体的体积（容积）、正方体的体积的计算公式。
9．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽5分米，高4分米，水深2.5分米，如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，是否有水溢出，如果有水溢出，水溢出多少升？
【答案】有水溢出；水溢出4升
【分析】先根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出玻璃缸的容积、水的体积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积；再比较“水与铁块的体积和”和玻璃缸容积的大小，若“水与铁块的体积和”大于玻璃缸的容积，则有水溢出；最后用“水与铁块的体积和”减去玻璃缸的容积，求出溢出的水的体积。
【详解】玻璃缸的容积：8×5×4
＝40×4
＝160（立方分米）
水与铁块的体积和：8×5×2.5＋4×4×4
＝40×2.5＋16×4
＝100＋64
＝164（立方分米）
164＞160，所以有水溢出。
164－160＝4（立方分米）
4立方分米＝4升
答：有水溢出，水溢出4升。
【点睛】解决此类问题关键要明确放入的物体和水的体积和与容器的容积的大小关系。
10．一个长方体玻璃缸，从里面量长是6分米，宽是5分米，高是3.2分米。如果这个玻璃缸装满水，在里面竖立放入一块棱长是4分米的铁块，缸里的水会溢出多少升？
【答案】51.2升
【分析】根据题意可知，原来的玻璃缸满水，玻璃缸的高度小于铁块的高度，所以放入铁块后，溢出水的体积等于长、宽4分米，高为3.2分米的长方体体积，据此根据长方体体积公式代入数据解答即可。
【详解】3.2＜4
4×4×3.2＝51.2（立方分米）
51.2立方分米＝51.2升
答：缸里的水会溢出51.2升。
【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意溢出水的体积等于铁块在水里部分的体积。
11．一个正方体的容器，棱长为18厘米，水深16厘米。将一个长12厘米、宽8厘米的长方体钢材完全浸没在水中，水溢出76.8立方厘米。这个长方体钢材的高是多少厘米？
【答案】7.55厘米
【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体容器的体积，再求出容器内16厘米的水的体积，用正方体容器的体积减去容器内水的体积，再加上水溢出的容积，就是这个长方体钢材的体积，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。
【详解】（18×18×18－18×18×16＋76.8）÷（12×8）
＝（5832－5184＋76.8）÷96
＝724.8÷96
＝7.55（厘米）
答：这个长方体钢材的高是7.55厘米。
【点睛】本题考查正方体和长方体的体积，熟记公式是解题的关键。
12．在一个长20米，宽10米，高2米的水池中注满水，然后将两条长5米，宽2米和高4米的石柱立着放入池中，此时水池溢出水的体积是多少升？
【答案】40000升
【分析】两条石柱的高长于长于水池的高度，说明两条石柱在水池中的体积是长5米、宽2米、高2米的部分，则水池中溢出水的体积水的体积等于浸入水中石柱的体积，据此解答即可。
【详解】5×2×2×2＝40（立方米）
40立方米＝40000立方分米＝40000升
答：此时水池溢出水的体积是40000升。
【点睛】解答本题的关键是明白石柱浸入水池中的高度，然后运用长方体的体积公式解决问题。
13．一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，缸内水深12厘米。把一块石头完全浸没在水中后，水面升到16厘米，水没有溢出。这块石头的体积是多少立方分米？
【答案】4立方分米
【分析】水面上升的体积就是石头的体积，石头体积＝长方体玻璃缸的长×宽×水面上升的高度，根据1立方分米＝1000立方厘米，统一单位，据此列式解答。
【详解】40×25×（16－12）
＝1000×4
＝4000（立方厘米）
＝4（立方分米）
答：这块石头的体积是4立方分米。
【点睛】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为长方体进行计算。
14．一个长方体玻璃缸，从里面量长3分米，宽2分米，高4分米，向缸里倒入水，水的高度为3分米。再把一块石头放入水中，缸里的水溢出0.8升。这块石头的体积是多少？
【答案】6.8立方分米
【分析】水面高度是3分米，则水面距离玻璃缸的顶部有（4－3）分米，利用长方体的体积公式：V＝abh，求出长方体玻璃缸空白部分的体积，而石头体积＝长方体玻璃缸空白体积＋溢出水的体积。据此解答。
【详解】0.8升＝0.8立方分米
3×2×（4－3）＋0.8
＝6×1＋0.8
＝6＋0.8
＝6.8（立方分米）
答：这块石头的体积是6.8立方分米。
【点睛】关键是用转化思想，将求不规则物体的体积转化为求长方体等规则物体的体积。
15．一个棱长4分米的正方体无盖空水箱。华华不小心在这个水箱的侧面扎了一个洞，洞口下沿距水箱底部2.2分米（如下图），如果往这个空水箱中缓慢地注入32升水，那么水是否会由这个洞口溢出？（水箱厚度忽略不计）
【答案】水不会由这个洞口溢出。
【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据求出高是2.2分米的长方体水箱的体积，再化成升，再和32升进行比较，大于32升，水会溢出，小于32升，水就不会溢出，据此解答。
【详解】4×4×2.2
＝16×2.2
＝35.2（立方分米）
35.2立方分米＝35.2升
35.2＞32，水不会溢出。
答：水不会有这个洞口溢出。
【点睛】熟记长方体体积公式以及体积单位的换算是解答本题的关键。
16．有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注满了水。有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溢出多少立方厘米的水？
【答案】288立方厘米
【分析】由题可知，长方体铁棒插入水中，正方体容器边长是24厘米，铁棒浸没部分的高度是24厘米，铁棒这部分的体积也就是水溢出的体积；根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据解答即可。
【详解】由分析得：
12×24＝288（立方厘米）
答：会溢出288立方厘米的水。
【点睛】本题主要考查长方体体积公式的灵活运用，明确溢出部分的体积即铁棒浸没部分的体积是解题的关键。
17．在环保书屋里，设置了几项操作活动，其中一项是测量玻璃球的体积。现有一个从里面量得棱长为8厘米的正方体容器，装了深4厘米的水，把玻璃球完全浸没在水中（水没有溢出），这时量得水深为7.5厘米，请问玻璃球的体积是多少立方厘米？
【答案】224立方厘米
【分析】根据求不规则物体体积的公式：容器的底面积×水面上升的高度＝物体的体积，由于玻璃球完全浸没在水中，此时水面上升了：7.5－4＝3.5（厘米），之后代入公式即可求解。
【详解】8×8×（7.5－4）
＝64×3.5
＝224（立方厘米）
答：玻璃球的体积是224立方厘米。
【点睛】本题主要考查不规则物体体积的求法，熟练掌握它的公式并灵活运用。
18．一个长方体的玻璃缸，从里面量长8分米，宽6分米，高4分米。玻璃缸里水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块（如下图），缸里的水溢出多少升？
【答案】6.4升
【分析】用玻璃缸里水的体积加上正方体铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出的水的体积，据此解答。
【详解】8×6×2.8＋4×4×4－8×6×4
＝134.4＋64－192
＝6.4（立方分米）
6.4立方分米＝6.4升
答：缸里的水溢出6.4升。
【点睛】解答本题的关键是要熟记长方体和正方体体积的计算公式。
19．王亮很喜欢红金鱼，也很喜欢饲养红金鱼，于是爸爸给他做一个长、宽、高分别是10分米，6分米，6分米无盖的玻璃鱼缸。
（1）做这个玻璃缸至少要多少平方米的玻璃？
（2）如果注入300升的水，水没有溢出，水深是多少分米？
（3）注入300升的水后，再放进10条红金鱼和高4分米体积是立方分米的假山石，水有溢出，溢出的体积是2升。平均每条红金鱼的体积是多少立方分米？
【答案】（1）2.52平方米
（2）5分米
（3）0.4立方分米
【分析】（1）玻璃面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答；
（2）水深相当于长方体的高，根据长方体的高＝体积÷底面积，列式解答即可；
（3）假山石的体积＋10条红金鱼的体积＝鱼缸空余部分的容积＋溢出的水的体积，鱼缸空余部分的容积＋溢出的水的体积－假山石的体积＝10条红金鱼的体积，10条红金鱼的体积÷10＝平均每条红金鱼的体积，据此列式解答。
【详解】（1）10×6＋10×6×2＋6×6×2
＝60＋120＋72
＝252（平方分米）
＝2.52（平方米）
答：做这个玻璃缸至少要2.52平方米的玻璃。
（2）300÷（10×6）
＝300÷60
＝5（分米）
答：水深是5分米。
（3）10×6×（6－5）＋2－58
＝60×1＋2－58
＝60＋2－58
＝4（立方分米）
4÷10＝0.4（立方分米）
答：平均每条红金鱼的体积是0.4立方分米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体表面积和体积公式。
20．有一个长0.8米、宽50厘米、高7.5分米的无盖玻璃鱼缸。
（1）制作这个鱼缸需要多少平方厘米玻璃？
（2）要在鱼缸的上面和下面安装铝合金条，需要多长的铝合金条？
（3）养鱼时，鱼缸内装水的高度距离缸口应不少于10厘米。这个鱼缸最多可以装多少升水？
（4）如果按上面的方法装入水后，在鱼缸中放入一块棱长是40厘米的正方体树脂景观摆件，缸里的水会溢出多少升？
【答案】（1）23500平方厘米；（2）520厘米；（3）260升；（4）24升
【分析】（1）由于鱼缸无盖，所以只求它的5个面的总面积，根据正方形的面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2即可求解；
（2）由图可知，鱼缸的上面和下面都是长方形，根据长方形的周长公式，代入数据即可求解；
（3）先求出鱼缸的最高的高度，再利用长方体的体积公式计算出鱼缸的体积，也就知道了可以装的水的容积，列式解答即可；
（4）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体摆件的体积；放入摆件后，水会上升，原来缸内水距缸口10厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出高为10厘米这部分的体积，再用正方体摆件的体积减去鱼缸高为10厘米这部分的体积，得出结论。
【详解】①0.8米＝80厘米
7.5分米＝75厘米
80×50＋80×75×2＋75×50×2
＝4000＋6000×2＋3750×2
＝4000＋12000＋7500
＝16000＋7500
＝23500（平方厘米）
答：制作这个鱼缸需要23500平方厘米玻璃。
②（80＋50）×2×2
＝130×2×2
＝260×2
＝520（厘米）
答：需要520厘米的铝合金条。
③80×50×（75－10）
＝4000×65
＝260000（平方厘米）
＝260（升）
答：这个鱼缸最多可以260升水。
④40×40×40
＝1600×40
＝64000（立方厘米）
＝64（升）
80×50×10
＝4000×10
＝40000（立方厘米）
＝40（升）
64－40＝24（升）
答：缸里的水会溢出24升。
【点睛】本题考查长方体的体积、容积、表面积和长方形的周长计算公式。
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