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第二十四章 圆—人教版数学九年级上册单元知识链接
【单元学习目标】
1.理解圆、弦、弧（半圆、优弧、劣弧）、圆心角、圆周角、圆内接四边形等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念，理解各概念之间的区别与联系
2.理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，圆具有旋转不变性
3.探索并证明垂径定理，理解垂径定理及其推论的推导过程，能运用垂径定理及其推论解决相关问题
4.掌握弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题
5.掌握圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质，并能进行相关证明和计算
6.掌握点与圆的三种位置关系及判定方法
7.了解反证法的意义，能通过实例体会反证法的含义
8.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念
9.了解三角形的外接圆与内切圆，三角形的外心与内心等概念
10.了解正多边形及相关概念，了解正多边形与圆的关系
11.了解扇形的概念，会计算圆的弧长和扇形的面积
12.了解圆锥的构成和圆锥母线的概念，会计算圆锥的侧面积和全面积
13.会利用平移、割补、旋转等方法求与扇形相关的不规则图形的面积
【单元思维导图】
【单元知识梳理】
圆的有关概念和性质
圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合，其中定点为圆心，定长为半径
确定圆的条件 过不在同一直线上的三点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个
圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴； （2）圆是中心对称图形，圆心是对称中心； （3）圆具有旋转不变性
有关概念 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦（线段）
直径 经过圆心的弦叫做直径（线段），直径是园中最长的弦
弧 圆上任意两点间的部分叫圆弧
等弧 同圆或等圆中，能够互相重合的弧
圆心角 顶点在圆心的角（如）
圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角（如）
圆心角、弧、弦之间的关系
名称 文字语言 符号语言 图示
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
重要结论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
【注意】
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等.如图，两个圆的圆心相同，与对应的圆心角相等，但，
（2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”.
【重点】
（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或同为劣弧）、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（2）涉及弦心距的问题，往往需要过圆心向弦引垂线.
垂径定理及其推论
名称 文字语言 符号语言 图示
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
拓展 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
【注意】
（1）定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段.
（2）推论中“平分弦”中的“弦”一定不能是直径，否则结论不一定成立.如图所示，当弦为直径时，直径平分弦，但结论不成立.
【重点】
（1）在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么它一定具备其他三个：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.简称“知二推三”.
（2）利用垂径定理及其推论进行计算时，常涉及弦长，弦心距（圆心到先的距离），半径及弓形高（弦所对的弧的中点到弦中点的距离），如图所示，它们之间的关系时
圆周角定理及其推论
名称 文字语言 符号语言 图示
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 是所对的一个圆周角，是所对的圆心角，那么
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 都是所对的圆周角，那么
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 若为直径，则；若或，则为直径.
【注意】定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧联系起来的，故不能把“一条弧所对的”去掉.
【重点】
（1）因为圆中一条弦所对的圆周角的大小有两种情况，所以不能根据弦相等得到圆周角相等.
（2）在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补，即圆周角在弦的同侧相等，异侧互补.如图所示，都是弦所对的圆周角.在弦的同侧，则；在弦的异侧，则.
圆内接多边形
1.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
【注意】每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
【拓展】圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.
点和圆的位置关系
点和圆的位置关系分三种（设的半径为，点到圆心的距离）:
点和圆的位置关系 特点 性质及判定 图示
点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点在圆外.
点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点在圆上.
点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点在圆内.
【注意】符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
【拓展】圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合；圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合.
【重点】
（1）判断点与圆的位置关系的实质是判断点到圆心的距离和半径的大小关系.
（2）已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系，反过来，由点与圆的位置关系也可以确定该点到圆心的距离与半径的关系.
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
定义 直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交. 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切. 直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
图示
公共点个数 2 1 0
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点名称 交点 切点
直线名称 割线 切线
总结 直线与 相交. 直线与 相切. 直线与 相离.
【注意】相切的定义中“只有一个”是“有且只有一个”的意思.
【重点】
（1）判断直线和圆的位置关系有两种方法：①将圆心到直线的距离与圆的半径相比较；②根据直线与圆的交点的个数判定.
（2）直线与圆相切是一种特殊的位置关系，此时直线与圆只有一个交点.一个圆有无数条切线，每一条切线与圆都只有一个切点.
切线的判定定理和性质定理
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图所示，是的半径，若于点，则是的切线.
【注意】应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径.
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.如图，若切于点，则.
3.切线的判定方法
（1）定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
（2）数量关系法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【拓展】切线的性质定理的推论：
（1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
（2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
【重点】根据切线的定义，可以知道切线具备的性质还有：①切线和圆只有一个公共点；②切点到圆心的距离等于半径.
切线长及切线长定理
1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
【注意】切线是一条直线，无法度量，切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量.
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图所示，过点作的两条切线，则，
【注意】经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条；经过圆外一点作圆的切线，有两条.
【重点】
（1）上图是切线长定理的一个基本图形，还可以得到很多结论，如,等.
（2）利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等.
三角形的外接圆
1.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
【注意】一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.
2.三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.
三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部，如图（1）所示；直角三角形的外心是斜边的中点，如图（2）所示；钝角三角形的外心在三角形的外部，如图（3）所示.
3.三角形外接圆的作法
（1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
（2）以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.
【重点】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，任意三角形都有外接圆.
三角形的内切圆
1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.
2.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
【注意】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部.
3.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.
【拓展】三角形内切圆的作法：作三角形任意两个内角的平分线，以两条角平分线的交点为圆心，以交点到三角形任意一边的距离为半径作圆即可.
弧长公式
在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即.于是的圆心角所对的弧长为.
【注意】
（1）题目中若没有写明精确度，可用含的代数式表示弧长，如弧长为等.
（2）公式中的和180表示倍数关系，没有单位.
【辨析】不要混淆弧长相等和弧相等，弧相等指两条弧全等，弧长相等指弧的长度相等.弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才是等弧.
扇形及扇形的面积公式
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，劣弧与半径围成的图形记作扇形；优弧与半径围成的图形记作扇形.
2.扇形的面积公式
（1），其中扇形的圆心角为，半径为.
推导过程：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是.于是圆心角为的扇形面积是.
（2），其中扇形所对的弧长为，半径为.
推导过程：，其中为扇形的弧长，为半径.
【注意】扇形面积公式中的“”和弧长公式中的“”一样，表示“”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.
【拓展】
（1）弓形：
①弓形的定义：由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形.
②弓形的面积可以看成是扇形面积和三角形面积的和或差，实际应用时，可根据具体图形选用对应的公式：
如图（1），弓形的面积小于圆面积的一半，此时；
如图（2），弓形的面积大于圆面积的一半，此时；
如图（3），弓形的面积等于圆面积的一半，此时.
（2）扇形的周长公式：，其中为弧长，为半径.
圆锥的侧面积和全面积
1.与圆锥有关的概念
（1）圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体（如图所示）.圆锥可以看成是由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形.
（2）圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
（3）圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
2.圆锥的基本特征
（1）圆锥的轴通过底面的圆心并垂直于底面；
（2）圆锥的母线有无数条，它们的长都相等；
（3）圆锥的母线、圆锥的高、圆锥底面圆的半径恰好构成一个直角三角形（如上图所示），满足，利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量.
3.圆锥的侧面积和全面积
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，因此圆锥的侧面积，圆锥的全面积.
【注意】圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线长，要与底面半径区别开来.
正多边形及其有关概念
1.正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
【注意】正多边形必须同时满足两个条件：①各边相等；②各角相等，二者缺一不可.如菱形的各边相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以不能说它们一定是正多边形.
2.圆内接正多边形：把圆分成等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正边形，这个圆就是这个正边形的外接圆.
3.与正多边形有关的概念
名称 定义 图形
中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
半径 正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
4.正多边形的对称性
所有的正多边形都是轴对称图形，一个正边形共有条对称轴，每条对称轴都通过正边形的中心.为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
【拓展】圆的外切正边形：把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形.一定要注意正多边形的半径是指外接圆的半径，而不是内切圆的半径.
【重点】任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆；任意多边形不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
正多边形的有关计算
与正边形有关的计算公式（正边形的半径为，边长为，边心距为）：
名称 公式 图示
内角 正边形的每个内角为.
中心角 正边形的每个中心角为.
外角 正边形的每个外角为.
半径、边长、边心距的关系 .
周长 正边形的周长.
面积 正边形的面积.
【重点】
（1）正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形，所以在进行与正多边形有关的计算时，可以把正多边形的计算转化到直角三角形中，利用勾股定理等知识解决.
（2）由正多边形的内角与外角互补，正多边形的中心角等于外角，可得正多边形的中心角和内角互补.
【单元常考题型】
题型1 垂径定理的应用
①利用垂径定理求距离（易错）
1.的半径为，AB，CD是的两条弦，，，.则AB和CD之间的距离_____.
②垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
2.如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C，若，则点C的纵坐标为( )
A. B. C. D.
③利用垂径定理解决实际问题
3.石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为.桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）.连接OB.
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到).
题型2 弧、弦、圆心角之间关系的应用
4.如图，AB，DE是的直径，C是上的一点，且.
（1）求证：；
（2）若，求的度数.
题型3 圆周角定理及其推论的综合应用
5.如图，是上的四个点，B是的中点，M是半径上任意一点.若，则的度数不可能是( )
A. B. C. D.
题型4 圆内接四边形的性质的应用
6.如图,在中,,点C在AB上,连接AC,BC,过点E作的延长线于点D,当点C从点A运动到点B的过程中,的度数( )
A.先增大后减小 B.先减小后增大 C.保持不变 D.一直减小
题型5 直线和圆的位置关系的有关问题
①切线的性质与判定的综合应用
7.如图,中,,以AB为直径的圆O交BC于点D,点E在圆O上,AB,CE的延长线交于点F.
（1）求证:CE与圆O相切;
（2）若圆O的半径为3,,求CE的长.
②切线长定理的应用
8.如图，PA，PB是的两条切线，A，B为切点，连接AB，OB，求证：.
③三角形内切圆的应用
9.如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是( )
A. B. C. D.
题型6 圆的最值问题（培优）
10.如图，，在边OA，OB上分别有两个动点C，D.连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，当CD的长度保持不变且等于2cm时，OE的最大值是___________.
题型7 正多边形与圆的有关计算
11.如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为，的面积为，则_________.
题型8 正多边形的实际应用
12.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为.则顶点C的坐标为( )
A. B. C. D.
题型9 与正多边形有关的证明
13.如图，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：.
题型10 正多边形的规律探究问题（培优）
14.如图①②③④，M，N分别是的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，正n边形ABCDEF…的边AB，BC上的点，且，连接OM，ON.
（1）求图①中的度数；
（2）图②中的度数是__________，图③中的度数是_______；
（3）试探究的度数与正n边形边数n的关系，并作出规律性总结.
题型11 弧长公式的应用
15.如图，在扇形中，为弦，，，，则的长为________.
题型12 圆锥与其侧面展开图
16.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径m，圆锥的高m，圆柱的高m，则下列说法错误的是( )
A.圆柱的底面积为 B.圆柱的侧面积为
C.圆锥的母线AB长为2.25m D.圆锥的侧面积为
题型13 不规则图形面积的求法
17.如图，AB为半圆O的直径，C，D，E，F是弧AB上的五等分点，P为直径AB上的任意一点，若，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【单元对接中考】
1.【2023.重庆A】如图，AC是的切线，为切点，连接OA,OC.若，，，则OC的长度是( )
A.3 B. C. D.6
2.【2023.陕西A】陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图.是的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知，碗深，则的半径OA为( )
A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm
3.【2023.山西】如图，四边形ABCD内接于，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.【2023.山西】中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为.若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为( )
A. B. C. D.
5.【2023.山西】蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为，，则点M的坐标为( )
A. B. C. D.
6.【2023.河北】如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A. B.
C. D.a，b大小无法比较
7.【2023.广东】如图，AB是的直径，，则( )
A. B. C. D.
8.【2023.福建】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为( )
A. B. C.3 D.
9.【2023.吉林】如图，AB，AC是的弦，OB，OC是的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点重合），连接CP.若，则的度数可能是( )
A. B. C. D.
10.【2023.云南】如图，AB是的直径，C是上一点．若，则( )
A. B. C. D.
11.【2023.广西】赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A.20 m B.28 m C.35 m D.40 m
12.【2023.新疆】如图，在中，若，，则扇形OAB(阴影部分)的面积是( )
A. B. C. D.
13.【2023.北京】如图，OA是的半径，BC是的弦，于点D，AE是的切线，AE交OC的延长线于点E．若，，则线段AE的长为______．
14.【2023.重庆A】如图，是矩形ABCD的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留）
15.【2023.河南】如图，PA与相切于点A，PO交于点B，点C在PA上，且.若，，则CA的长为____________.
16.【2023.陕西A】如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E.则线段BE的长为____________.
17.【2023.吉林】如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢.图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为_________m.（结果保留）
18.【2023.山东烟台】如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则的度数为_____________.
19.【2023.山东菏泽】如图，正八边形ABCDEFG的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）.
20.【2023.北京】如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分，.
（1）求证DB平分，并求的大小.
（2）过点C作交AB的延长线于点F.若，，求此圆半径的长.
21.【2023.天津】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上.
（1）线段AB的长为________；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________.
22.【2023.安徽】已知四边形ABCD内接于，对角线BD是的直径．
（1）如图1，连接OA，CA，若，求证；CA平分；
（2）如图2，E为内一点，满足，.若，，求弦BC的长.
23.【2023.陕西A】如图，内接于，，过点B作BC的垂线，交于点D，并与CA的延长线交于点E，作，垂足为M，交于点F.
（1）求证：.
（2）若的半径，，求线段BF的长.
24.【2023.江西】如图，在中，，，以AB为直径的与AC相交于点D，E为上一点，且.
(1)求的长；
(2)若，求证：CB为的切线.
25.【2023.福建】如图，已知内接于，CO的延长线交AB于点D，交于点E，交的切线AF于点F，且.
（1）求证：；
（2）求证：AO平分.
26.【2023.山东临沂】如图，是的外接圆，BD是的直径，，，E为BD的延长线与AE的交点.
（1）求证：AE是的切线.
（2）若，，求的长.
答案以及解析
【单元常考题型】
1.答案：或
解析：作于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，
，
，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
当圆心O在AB与CD之间时，；
当圆心O不在AB与CD之间时，；
即AB和CD之间的距离为或.
故答案为或.
2.答案：B
解析：因为点，点，.
过点P做轴于点D，轴于点E，
，，
，
，，，
在中，
.
故答案为B.
3.（1）答案：
解析：，
；
（2）答案：
解析：设主桥拱半径为R，由题意可知，，
，
，
°，
，
，
解得，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m.
4.答案：（1）证明：，
.
，
，
；
（2）解：，，
.
由（1）知，，
，
.
5.答案：D
解析：如图，连接.
是的中点，.又是上任意一点，.∴不符合条件的只有.
6.答案：C
解析:如图,在优弧AB上任取一点E,连接AE,BE,
四边形AEBC是的内接四边形,
,
,
,
,
,
因此的大小不变,
故选C.
7.解析:（1）证明:如图,连接OE,AE,则,
,
,
,
,
,
经过的半径OE的外端,且,
与相切.
（2）,,,
,
,
,且,,
,
,
的长为6.
8.解析：连接OP，OA.，PB是的两条切线，A，B为切点，，.又，，，.又，.又，（四边形内角和为360°），，.
9.答案：A
解析：作于点D，作于点E，AD和BE交于点O，如图所示，设，则，，，，圆中的黑色部分的面积与的面积之比是：，故选A.
10.答案：
解析：如图所示，在CD的左边，以CD为斜边，作等腰直角三角形CDF，则O，F，E三点共线时OE的值最大，和都是等腰直角三角形，，.，，，由勾股定理得，，OE的最大值是.故答案为.
11.答案：2
解析：如图，连接OA，OC，OE，易证，，.易知是等边三角形，由等边三角形的性质可知，设，则，，.
12.答案：A
解析：如图，连接BD交CF于点M，则点，在中，，
，，
点C的横坐标为，纵坐标为，
点C的坐标为，故选A.
13.答案：解：正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则的度数是.
的度数是，
，
，
.
14.答案：（1）如图，连接OB，OC.
正三角形ABC内接于，
，
.
，
，
，
.
（2）90°，72°.
（3）.由（1）（2）可总结出规律，的度数等于正多边形的中心角的度数.
15.答案：
解析：连接OC，如图所示，
，，
是等边三角形，
，
，
的长，
故答案为：.
16.答案：C
解析：底面圆半径m，圆柱的底面积为，所以A选项不符合题意；
圆柱的高m，圆柱的侧面积，所以B选项不符合题意；
底面圆半径m，即cm，圆锥的高m，圆锥的母线长（cm），所以C选项符合题意；
圆锥的侧面积，所以D选项符合题意.
故选C.
17.答案：C
解析：如图，连接，，.C，D，E，F是弧AB上的五等分点，，.，，，.，.，点O，P都在直径AB上，，和同底等高，，阴影部分的面积.
【单元对接中考】
1.答案：C
解析：如图，连接OB，则.，，，.故选C.
2.答案：A
解析：是的中点，垂直平分AB，.设的半径为x cm，则.在中，，即，解得.故的半径为13 cm.
3.答案：B
解析：是的直径，.，.
4.答案：B
解析：由题意可知，，，，的长度为.
5.答案：A
解析：如图，由题意知.易得，，，，.易知点M到y轴的距离为，点M的坐标为.
6.答案：A
解析：的周长，四边形的周长.如图，连接，，则.点是的八等分点，，，，.
7.答案：B
解析：是的直径，，.
8.答案：C
解析：如图，过点A作于点C，则，正十二边形的面积为，的面积近似为3，，.故选C.
9.答案：D
解析：，.当点P与点O重合时，；当点P与点O不重合时，.综上，，故选D.
10.答案：B
解析：由圆周角定理，得.故选B.
11.答案：B
解析：如图，由题意知，，.于点C，AB是弦，OD是半径，.在中，，根据勾股定理，得，即，.
12.答案：B
解析：，，，.
13.答案：
解析：OA是的半径，BC是的弦，于点D，.又，.AE是的切线，.又，.
14.答案：
解析：如图，连接BD，，是的直径.，，，的半径为，.
15.答案：
解析：与相切于点A，.又，，，.如图，连接OC，，，，，
，.
方法一：，，，，即，，.
方法二：设，则.在中，由勾股定理，得，即，解得，.
16.答案：
解析：如图,过点F作于G,由题意可知,四边形CEGF是矩形,、是等腰直角三角形,,
在 中,,.,同理,,故答案为:.
17.答案：
解析：根据弧长公式，得的长为.
18.答案：
解析：如图，连接OB，OD，易知，.
19.答案：
解析：由题意知，，.
20.解析：(1)证明：，，
，.平分.
平分，.
又，，，
，，
BD垂直平分线段AC，，，
，.
(2)由(1)可知.又，是等边三角形，
，，.
，，.
又，，.
易知BD是直径，设圆心为O，则点O是BD的中点，如图，连接OC.
，，是等边三角形，
，即此圆半径的长为4.
21.答案：(1)
(2)如图，取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点M，连接MB；连接DB，与网格线相交于点G，连接GF并延长与网格线相交于点H，连接AH并延长与圆相交于点I，连接CI并延长与MB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求.
解析：(1).
(2)易证，，四边形AMBE是平行四边形，
，.
易证，，四边形AGBH是平行四边形，
，.又，，
.又，，.
，，是等边三角形.
22.解析：（1）证明：BD是的直径，.
，，，
CA平分.
（2）BD是的直径，.
又，，，，
四边形AECD为平行四边形，.
在中，.
23.解析：（1）证明：如图，连接DC，则.
，，
，.
（2），为的直径，，
，
.
，，
，，
，.
如图，连接CF，则，，
，.
24.解析：(1)如图，连接OE.
，
，
，
的长.
(2)证明：如图，由(1)知，
.
，
.
又，
，即.
又OB是的半径，
为的切线.
25.解析：（1）证明：是的切线，，即.
是的直径，，.
，，，
即，.
（2）证明：与都是对的圆周角，.
，，.
由（1）知，，，平分.
26.解析：（1）证明：连接AO并延长交BC于点F，连接OC，如图.
是的外接圆，
.
又，
.
又，
，
又是的半径，
是的切线.
（2），
，
，
.
又，
为等边三角形，
，
，
，
的长为.

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