资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十七章《相似》考点梳理与训练（解析版）
一、考点梳理：
考点1.比例性质 考点2.比例线段
考点3.黄金分割 考点4.平行线分线段成比例
考点5.相似多边形 考点6.相似三角形的判定
考点7 .相似三角形的性质 考点8 .相似三角形的判定和性质综合
考点9 .相似三角形的应用综合 考点10 .图形的位似
考点11 .相似三角形压轴题
二、考点训练：
考点1.比例性质
1．已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解．
【详解】解：，
，即，
故选：D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解，熟知比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴设，，
∴，
故选：C．
3．若（），则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据已知条件得到，，代入代数式即可得到结论．
【详解】解：，
，，
．
故选：B．
4．若 ，且，则的值是（ ）
A．14 B．42 C．7 D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，求代数式的值，由比例系数表示是解题的关键．将用表示出来，得到，再将求出的结果与联立求出的值 ，最后把所求的代入所求的代数式即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
解得，
，
故选：D．
5．若，则直线的图象必经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三象限
C．第二、三、四象限 D．以上均不正确
【答案】B
【分析】本题主要考查的是一次函数图象经过的象限，比例的性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
【详解】解：①当时，由比例的性质可得，
此时函数经过第一、二、三象限；
②当时，，此时，
此时函数经过第二、三、四象限，
综上可得，函数的图象必经过第二、三象限；
故选：B．
考点2.比例线段
1．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ）
A． B．8 C．2 D．3
【答案】B
【分析】此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键．根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，代入计算即可．
【详解】解：线段a，b，c，d是成比例线段，
，
，，，
，
，
故选：．
2．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ）
A．1、2、3、4； B．1、2、4、8；
C．2、3、4、5； D．5、10、15、20．
【答案】B
【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【分析】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念是解题关键．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等，即可得出答案．
【详解】解：、，四条线段不成比例；
B、，四条线段不成比例；
C、，四条线段不成比例；
D、，四条线段成比例；
故选：D．
4．若线段，，，是成比例线段，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d．
【详解】解：∵，，，是成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，
故选：D．
5．在比例尺是1﹕10000的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为10cm，它的实际长度约为（ ）
A．1000m B．1000cm
C．100m D．100cm
【答案】A
【分析】根据比例尺的定义可求得实际长度．
【详解】解：根据题意可知，
所以，
解得，实际长度=100000cm=1000m，
故选：A．
【考点3】黄金分割
1．已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则线段的长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
直接利用黄金分割的定义计算出即可．
【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，
∴．
故选A．
如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，
这体现了数学中的（　　 ）
A．黄金分割 B．平移 C．旋转 D．轴对称
【答案】A
【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键；
把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行判断即可．
【详解】解：若，则点C为线段AB的黄金分割点．
故选：A．
大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比
（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），
若cm，则约为（ ）
A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm
【答案】B
【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，cm，
∴，
∴；
故选B．
大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，
如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（ 　　）
①；②；③；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，
且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，
点叫做线段的黄金分割点．
由黄金分割的定义分别进行判断．
【详解】解：∵为的黄金分割点，
∴， ，
①、②、③错误，④正确，不符合题意，
故选：A．
考点4 .平行线分线段成比例
如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，
直线n分别交直线a，b，c 于点D，E，F．若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，先求出，再由平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：D．
2．如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝12，则DF的长为（　 　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵，BD＝12，
∴，
解得：DF＝8，
故选：D．
3．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，
若BD＝4，AD＝8，CE＝5，则AE的长为（　 　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AD：DB＝AE：EC，
∵BD＝4，AD＝8，CE＝5，
∴8：4＝AE：5，
∴AE＝10．
故选：C．
4．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出AB，根据平行线得出 ，代入得出 ，求出即可．
【详解】解：AB＝AD＋BD＝2＋4＝6，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
解得：AC＝9，
故答案选：A．
5．如图，，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
考点5 .相似多边形的性质
1．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（ ）
A．120° B．87° C．75° D．60°
【答案】B
【分析】根据相似多边形的性质，可得 ，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．
【详解】解：如图，
∵两个四边形相似，
∴ ，
∵两个四边形相似，且四边形的内角和等于360°，
∴ ．
故选：B
已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，
则较大多边形的周长为（　 　）
A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm
【答案】A
【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的周长比是3：4，
设较大多边形的周长为为xcm，
由题意得，18：x＝3：4，
解得，x＝24，
故选：A．
如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD、BC的中点E、F的连线对折，
要使对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则原矩形ABCD的长AD和宽DC的比应为（　 　）
A．2：1 B．：1 C．：1 D．1：1
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝AD，
∵矩形AEFB与原矩形ABCD相似，
∴＝，
∴＝，
∴AD2＝CD2，
∴AD2＝2CD2，
∴AD：CD＝：1，
故选：C．
4．如图所示，已知矩形的边长为8cm，边长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】C
【分析】矩形与矩形相似，得到，代入数值求得，即可求得所截矩形的面积．
【详解】解：∵矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
故选：C．
5．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，
它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，
它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　 ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】A
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似，即可判断．
【详解】解：如图：甲：根据题意得：，，，
，，
，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：，，则，，
，，
，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．
考点6.相似三角形的判定
1.如图，点是△ABC 的边上一点，添加一个条件，不能使与△ABC 相似的是（ ）
A . B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查了相似三角形的判定，直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：A、当时，再由，可得出，故此选项不符合题意．
B、当时，无法得出，故此选项符合题意．
C、当时，再由，可得出，故此选项不符合题意．
D、当时，再由，可得出，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：∵，
∴，
A．添加，不能判定，故本选项符合题意；
B．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
C．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
D．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；
故选：A．
如图，具备下列条件①，②，③，④之一，
就可以判定与相似的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】由两个角相等的两个三角形相似，可对条件①②③进行判断；由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似对条件④进行判断；即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，条件①符合题意；
∵仅有，无法确定与相似，
∴条件②不符合题意；
∵，，
∴，条件③符合题意；
∵，，
∴，条件④符合题意．
综上所述，具备条件①③④之一，即可判定与相似．
故选：D．
如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，
能得出和相似的是（ ）
．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】解：①，时，，故①符合题意；
②，时，，故②符合题意；
③，时， ，故③符合题意；
④，时，不能推出，故④不符合题意，
故选：A．
如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：
①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC，
其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①不能，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∴无法证明△ABC是直角三角形；
②能，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B=∠DAC，
∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=∠B+∠BAD=90°；
∴△ABC是直角三角形；
③能，
∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠ADC=90°，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴∠B=∠DAC，
由②得△ABC是直角三角形；
④能，
∵AB2=BD BC，
∴，
又∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴△ABC一定是直角三角形．
综上，②③④都能判定△ABC是直角三角形，共有3个．
故选：A．
如图，在三角形纸片ABC中，，，，
沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
因为 ，对应边， ，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
因为 ，对应边，又∠A＝∠A，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
因为 ，对应边，即：，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
因为 ，对应边， ，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
考点7.相似三角形的性质
1．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　 　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【答案】B
【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，点D、E分别在上，且，
则和的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
3 .图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，
其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为（ ）cm．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
，
，
，，
，
解得：，
故选：C．
4．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解．
【详解】
设这张正方形纸条是第n张.
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
解得：n=6.
故答案选：C.
5．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点．
(1)当点恰好为中点时，______．
(2)若矩形的周长为，求出的长度．
【答案】(1)60
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比；
（1）由，得到，代入即可求解，
（2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长，
【详解】（1）解：∵为中点，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
∴四边形为矩形，
∴，，
∵矩形的周长为
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
考点8 .相似三角形的判定和性质综合
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AC＝3，AB＝4，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB
∴，
即，
∴AD＝．
2．如图，已知在 ABCD中，E为AB上一点，AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F．
(1)求△AEF与△CDF的周长之比；
(2)若S△AEF＝6cm2，求S△CDF．
【答案】(1)1∶3；
(2)
【分析】（1）先证明两个三角形相似，由周长比等于相似比即可得到答案；
（2）由面积比等于相似比的平方比即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，CD∥AB，
∴∠CAB＝∠DCA，∠DEA＝∠CDE，
∴△AEF∽△CDF，
∵AE∶EB＝1∶2，
∴AE∶AB＝AE∶CD＝1∶3，
∴△AEF与△CDF的周长之比为1∶3（周长比等于相似比）；
（2）∵△AEF∽△CDF，AE∶CD＝1∶3，
∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9，
∵S△AEF＝6 cm2，
∴S△CDF＝54 cm2．
如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E是BC上一动点（不与B、C重合），
且DF⊥AE，垂足为F.设AE=xcm，DF=ycm.
（1）求证：△DFA∽△ABE；
（2）试求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
【答案】【小题1】（1）略；（4分） 【小题2】（2）
【详解】（1）要求△ABE∽△DFA，能看出有一对直角相等，只需要再找一对角相等，因为四边形ABCD是长方形，那么就出现平行线，有线的平行可得出一对内错角相等，故可证两三角形相似．
（2）由（1）的相似，可得到比例线段，就可得出x与y的关系式，通过观察图可以知道，AE最小大于AB，最大小于AC，再由勾股定理可求出AC的值，因此可得x的取值范围．
解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，∠ABE=90°．
∴∠DAF=∠AEB．
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°．
∴∠ABE=∠DFA．
∴△ABE∽△DFA．
（2）∵△ABE∽△DFA，
∴．
∴．
∴xy=12．
∴y=．
根据图可知，AE最小大于AB，最大小于AC，AC=
∴3＜x＜5．
4．如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G．交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△GAF；
（2）若AB＝4，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF＝4
【分析】（1）利用两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
（2）利用勾股定理求得线段DE的长度，再根据△EFD∽CDE得出比例式即可求得EF的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C＝∠BAD＝∠B＝90°．
∴∠FAG＝90°．
∴∠FAG＝∠C．
∵EF⊥ED，
∴∠BEG+∠CED＝90°．
∵∠BGE+∠BEG＝90°，
∴∠BGE＝∠CED．
∵∠BGE＝∠FGA，
∴∠FGA＝∠CED，
∴△ECD∽△GAF．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝AB＝4．
∵点E为BC中点，
∴BE＝EC＝2．
,
由（1）知：△ECD∽△GAF，
∴∠F＝∠CDE．
∵EF⊥ED，
∴∠FED＝90°．
∴∠FED＝∠C＝90°．
∴△EFD∽CDE．
∴．
∴．
∴EF＝4．
5．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）CE∥AD，理由见解析；（3）．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明；
（3）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AC2=AB AD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴△ADC∽△ACB；
（2）CE∥AD，
理由：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵E为AB的中点，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAE，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）∵AD=4，AB=6，CE=AB=AE=3，
∵CE∥AD，
∴∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，
∴△CEF∽△ADF，
∴==，
∴=．
考点9 .相似三角形的应用综合
1．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（　　）米．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解答】解：点O作镜面的法线FO，由入射角等于反射角可知∠COF＝∠DOF，
∵∠COA＝90°﹣∠COF，
∠DOB＝90°﹣∠DOF，
∴∠COA＝∠DOB，
又∵∠CAO＝∠OBD＝90°，
∴△ACO∽△BDO，
∴＝，
∵AC＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，
∴＝，
∴BD＝4米，
答：树高为4米，
故选：A．
2．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形性质得到：．
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故选：A．
3．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案．
【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：B．
如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，
设AB=xm，长方形的面积为ym2， 要使长方形的面积最大，其边长x应为( )
A．m B．6m C．15m D．m
【答案】D
【详解】本题考查二次函数最小（大）值的求法．思路是：长方形的面积=大三角形的面积-两个小三角形的面积．
解：根据题意得：y=30-
整理得y=-
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．
故选D．
5．如图，我校小辰同学在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆FC测量学校教学楼的高度．若标杆FC＝2.5米，小辰同学眼高离地面AB＝1.5米测得DC＝23米，BC＝1米，请你帮他求出学校体育馆ED的高度．
【答案】学校体育馆ED的高度是25.5米．
【解答】解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.5米，FC＝2.5米，DC＝23米，BC＝1米，
∴FG＝2.5﹣1.5＝1（米），BD＝24米，
∵FG∥EH，
∴，，
解得：EH＝24米，
∴ED＝24+1.5＝25.5（米），
答：学校体育馆ED的高度是25.5米．
考点10 .图形的位似
已知与是位似图形，点为位似中心，且，若的周长为2，
则的周长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，由位似图形的概念得出，，得到，由相似三角形的性质得出，即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵与是位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的周长，
∵的周长为2，
∴的周长为，
故选：C．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），
先将△ABC绕点（﹣1，0）顺时针旋转90度得到△A1B1C1，再以原点为位似中心作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，若△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1：2，则点A1的对应点A2的坐标是（　　 ）
A．（4，2） B．（6，4）
C．（6，4）或（﹣6，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
【答案】D
【解答】解：设点P的坐标为（﹣1，0），连接AP、A1P，过点A作AD⊥x轴于D，A1E⊥x轴于E，
由题意得：∠DAP+∠APD＝90°，∠EPA1+∠APD＝90°，
∴∠DAP＝∠EPA1，
在△DAP和△EPA1中，
，
∴△DAP≌△EPA1（AAS），
∴A1E＝DP＝1，PE＝AD＝3，
∴点A1的坐标为（2，1），
∵△A1B1C1与△A2B2C2是位似图形，位似比为1：2，
∴点A2的坐标是（4，2）或（﹣4，﹣2），
故选：D．
3.如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，
且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，
若正方形的边长为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了图形的位似变换，相似三角形的判定以及性质，由正方性的性质和位似图形的性质可得出，，进而得出， 由相似三角形的性质可得出，进而可求出，进一步即可得出答案．
【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，，
∴，，
∴，
，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
4.如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：8．
5．如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的；
(2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为．
(3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查平移，位图图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键．
（1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可；
（2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可．
（3）根据中点坐标公式求出M的坐标，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，为所求图形；
（2）解：根据相似比可得，，
如图，为所求；
（3）解：根据题意，若M为边上的中点，
．
故答案为：．
考点11 .相似三角形压轴题
1.【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由见解析．
【分析】（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论．
（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．
∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
2．【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 　 　；
【拓展延伸】
（2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2
【分析】（1）利用证明 ，得；
（2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立；
（3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立．
【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：相等；
（2）成立，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴∠；
（3）当点D在线段上时，如图2，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，的长为2或6．
3．【问题发现】
（1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．
猜想线段，之间的数量关系为 ； ；
【类比探究】
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，
B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？
请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，， 为的中位线，
将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
【答案】（1），（2），（3）或
【分析】（1）先证明，得到，，进一步求得，即可得到答案；
（2）类似于（1）的思路，先证明，得到，，在利用等腰直角三角形的性质即得答案；
（3）分当在内部和外部两种情况，均可证明，分别利用勾股定理列方程并求解，即可得到答案．
【详解】（1）和均为正三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
B、D、E三点共线，
，
，
，
综上所述，线段、之间的数量关系是，；
故答案为：，．
（2），；
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
在和中，
，，，
， ，
又，
，
，，
，
，
，，
；
（3）的长为或．理由如下：
分两种情况：
①如图1，当在内部时，
，，，
，
，
未旋转前， 为的中位线，
，，，，
图1中，，，
，
，
，
，
，，
，
，
设 ，则，，
在中，，
解得或（舍去），
；
②如图2，当在外部时，
同①，得，
则，，
设 ，则，，
在中，，
解得或（舍去），
，
综上所述，的长为或．
4．某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
(1)发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，，连接．求证：．
(2)类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
(3)拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)存在最小值，最小值为4
(3)
【分析】（1）根据“边角边”可证明，即可求解；
（2）根据对应边成比例，两边的夹角相等可证，从而证明，根据点到直线的垂线段最短，构造直角三角形，根据含有特殊角的直角三角形的性质即可求解；
（3）如图所示，连接，过作于，为正方形的中心，可知是等腰直角三角形，可证，设，则，根据勾股定理的长度，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：存在最小值，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
如图所示，连接，过点作延长线于点，根据点到直线的垂线段最短可知，当点与重合时，即时，最小，最小值为，
∵，
∴ ，，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，，
∴存在最小值，最小值为．
（3）解：如图所示，连接，过作于，
∵为正方形的中心，
∴，即是等腰直角三角形，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，解得：或（舍），
∴，在中，，
∴的面积为．
5．原题再现：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
和都是等边三角形，将绕着点旋转到图位置，求证：小百合很快就通过≌，论证了．

(1)请你帮助小百合写出证明过程；
迁移应用：小百合想，把等边和等边都换成等腰直角三角形，将绕着点旋转到图位置，其中，那么和有什么数量关系呢？
(2)请你帮助小百合写出结论，并给出证明；
(3)如图，如果把等腰直角三角形换成正方形，将正方形绕点旋转，若，，在旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)或
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）分两种情况画出图形，证明，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：和分别是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
（2），
证明：，都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
∽，
，
；
（3）如图，连接，

由知∽，
，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，三点共线．
，
，
；
如图，连接，

由知∽，
，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，三点共线．
，
，
；
综上，当，，三点共线时，的长度为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二十七章《相似》考点梳理与训练
一、考点梳理：
考点1.比例性质 考点2.比例线段
考点3.黄金分割 考点4.平行线分线段成比例
考点5.相似多边形 考点6.相似三角形的判定
考点7 .相似三角形的性质 考点8 .相似三角形的判定和性质综合
考点9 .相似三角形的应用综合 考点10 .图形的位似
考点11 .相似三角形压轴题
二、考点训练：
考点1.比例性质
1．已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若（），则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．若 ，且，则的值是（ ）
A．14 B．42 C．7 D．
5．若，则直线的图象必经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三象限
C．第二、三、四象限 D．以上均不正确
考点2.比例线段
1．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ）
A． B．8 C．2 D．3
2．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ）
A．1、2、3、4； B．1、2、4、8；
C．2、3、4、5； D．5、10、15、20．
3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
4．若线段，，，是成比例线段，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在比例尺是1﹕10000的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为10cm，它的实际长度约为（ ）
A．1000m B．1000cm
C．100m D．100cm
【考点3】黄金分割
1．已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则线段的长是（ ）
A． B．
C． D．
如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，
这体现了数学中的（　　 ）
A．黄金分割 B．平移 C．旋转 D．轴对称
大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比
（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），
若cm，则约为（ ）
A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm
大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，
如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（ 　　）
①；②；③；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
考点4 .平行线分线段成比例
如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，
直线n分别交直线a，b，c 于点D，E，F．若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝12，则DF的长为（　 　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，
若BD＝4，AD＝8，CE＝5，则AE的长为（　 　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
考点5 .相似多边形的性质
1．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（ ）
A．120° B．87° C．75° D．60°
已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，
则较大多边形的周长为（　 　）
A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm
如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD、BC的中点E、F的连线对折，
要使对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则原矩形ABCD的长AD和宽DC的比应为（　 　）
A．2：1 B．：1 C．：1 D．1：1
4．如图所示，已知矩形的边长为8cm，边长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
5．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，
它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，
它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　 ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
考点6.相似三角形的判定
1.如图，点是△ABC 的边上一点，添加一个条件，不能使与△ABC 相似的是（ ）
A . B． C． D．
2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
如图，具备下列条件①，②，③，④之一，
就可以判定与相似的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，
能得出和相似的是（ ）
．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：
①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC，
其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
如图，在三角形纸片ABC中，，，，
沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
考点7.相似三角形的性质
1．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　 　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，点D、E分别在上，且，
则和的面积比为（ ）
A． B． C． D．
3 .图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，
其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为（ ）cm．

A．1 B．2 C．3 D．4
4．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
5．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点．
(1)当点恰好为中点时，______．
(2)若矩形的周长为，求出的长度．
考点8 .相似三角形的判定和性质综合
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AC＝3，AB＝4，求AD的长．
2．如图，已知在 ABCD中，E为AB上一点，AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F．
(1)求△AEF与△CDF的周长之比；
(2)若S△AEF＝6cm2，求S△CDF．
如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E是BC上一动点（不与B、C重合），
且DF⊥AE，垂足为F.设AE=xcm，DF=ycm.
（1）求证：△DFA∽△ABE；
（2）试求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
4．如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G．交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△GAF；
（2）若AB＝4，求EF的长．
5．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
考点9 .相似三角形的应用综合
1．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（　　）米．
A．4 B．5 C．6 D．7
2．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，
设AB=xm，长方形的面积为ym2， 要使长方形的面积最大，其边长x应为( )
A．m B．6m C．15m D．m
5．如图，我校小辰同学在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆FC测量学校教学楼的高度．若标杆FC＝2.5米，小辰同学眼高离地面AB＝1.5米测得DC＝23米，BC＝1米，请你帮他求出学校体育馆ED的高度．
考点10 .图形的位似
已知与是位似图形，点为位似中心，且，若的周长为2，
则的周长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），
先将△ABC绕点（﹣1，0）顺时针旋转90度得到△A1B1C1，再以原点为位似中心作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，若△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1：2，则点A1的对应点A2的坐标是（　　 ）
A．（4，2） B．（6，4）
C．（6，4）或（﹣6，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
3.如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，
且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，
若正方形的边长为，则点的坐标为 ．
4.如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ．
5．如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的；
(2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为．
(3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______．
考点11 .相似三角形压轴题
1.【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），
其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．
试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
2．【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 　 　；
【拓展延伸】
（2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
3．【问题发现】
（1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．
猜想线段，之间的数量关系为 ； ；
【类比探究】
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，
B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？
请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，， 为的中位线，
将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
4．某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
发现问题：
如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，
以为腰作等腰，使，，连接．求证：．
类比探究：
如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，
以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
拓展应用：
如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，，求的面积．
5．原题再现：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
和都是等边三角形，将绕着点旋转到图位置，
求证：小百合很快就通过≌，论证了．

(1)请你帮助小百合写出证明过程；
迁移应用：小百合想，把等边和等边都换成等腰直角三角形，
将绕着点旋转到图位置，其中，
那么和有什么数量关系呢？
(2)请你帮助小百合写出结论，并给出证明；
(3)如图，如果把等腰直角三角形换成正方形，将正方形绕点旋转，
若，，在旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑