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6.2 直线、射线、线段
6.2.2 线段的比较与运算
一.学习目标
1.掌握用测量法与叠合法来比较线段的长短.
2.借助具体情境,了解“两点之间,线段最短”的基本事实.
3.理解线段等分点的意义,能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
二.自主预习
比较两名同学的身高,可以有几种比较方法 向大家说说你的想法.
三.探究新知
探究点一 线段长短的比较
问题1　做手工时,在没有刻度尺的条件下,如何从较长的木棒上截下一段,使截下的木棒等于另一根短木棒的长
思考:画在黑板上的线段是无法移动的,在只有圆规和无刻度的直尺的情况下,请大家想想办法,如何再画一条与它相等的线段
问题2：作一条线段等于已知线段.
问题3:你们平时是如何比较两个同学的身高的 你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗
问题4 比较线段AB,CD的长短.
(1)度量法:分别测量线段AB,CD的长度,再进行比较;
(2)叠合法:将点A与点C重合,再进行比较.
若点A与点C重合,点B落在C,D之间,那么 AB CD.
若点A与点C重合,点B与点D重合,那么 AB CD.
若点A与点C重合,点B落在CD的延长线上,那么AB CD.
探究点二 线段的基本事实
议一议 如图所示,从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路 如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线.
小结：(1)经过比较,我们可以得到一个关于线段的基本事实:两点之间的所有连线中,线段最短.简单说成:两点之间,线段最短;(2)连接两点的线段的长度,叫作两点间的距离.
练习1 如图所示,这是A,B两地之间的公路,在公路工程改造计划时,为使A,B两地行程最短,应如何设计线路 请在图中画出,并说明理由.
练习2 把原来弯曲的河道改直,A,B两地间的河道长度有什么变化
探究点三 线段的和、差、倍、分
画一画 在直线上画出线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是　　与　　的和,记作AC=　 .如果在AB上画线段BD=b,那么线段AD就是　　与　　的差,记作AD=　 .
做一做
1.如图所示,点B,C在线段AD上,则AB+BC=　　;AD-CD=　　;BC=　　-　　=　　-　　.
2.如图所示,已知线段a,b,画一条线段AB,使 AB=2a-b.
观察与思考 在一张纸上画一条线段,折叠纸片,使线段的端点重合,折痕与线段的交点位于线段的什么位置
小结:如图所示(1)所示,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,点M叫作线段AB的中点.类似地,还有线段的三等分点(如图所示(2)所示)、四等分点(如图所示(3)所示)等.
图(1)
线段的三等分点
　　 图(2)　　
线段的四等分点
　　 图(3)
例1.若AB=6cm,点C是线段AB的中点,点D是线段CB的中点,求线段AD的长.
例2.如图所示,B,C是线段AD上两点,且AB∶BC∶CD=3∶2∶5,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=24,求线段AB,BC,CD的长.
[方法归纳]求线段的长度时,当题目中涉及线段长度的比例或倍分关系时,通常可以设未知数,运用方程思想求解.
四.运用新知
1.如图所示,小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是( )
A.两点之间,线段最短
B.两点确定一条直线
C.过一点,有无数条直线
D.连接两点之间的线段叫作两点间的距离
2.点C在线段AB上,下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是( )
A.AC=BC B.AC+BC=AB C.AB=2AC D.BC=AB
3.如图所示,点C在线段AB上,AB=10cm,AC=4cm,点D是BC的中点,则BD等于( )
A.2cm B.3cm C.5cm D.6cm
4.如图所示,AB=4cm,BC=3cm,如果点O是线段AC的中点.求线段OB的长度.
五.达标测试
1.如图所示,C是线段AB的中点,D是CB上一点,下列说法中错误的是( )
A.CD=AC-BD B.CD=BC C.CD=AB-BD D.CD=AD-BC
2.比较线段a和b的长短,其结果一定是( )
A.a=b B.a>b C.ab或a=b或a3.下列四种说法:①因为AM=MB,所以M是AB中点;②在线段AM的延长线上取一点B,如果AB=2AM,那么M是AB的中点;③因为M是AB的中点,所以AM=MB=AB;④因为A,M,B在同一条直线上,且AM=BM,所以M是AB的中点.其中正确的是( )
A.①③④ B.④ C.②③④ D.③④
4.已知线段AB=10,直线AB上有一点C,且BC=4,M是线段AC的中点,则AM的长为 .
5.如图所示，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于2a＋b－c.
6.如图所示，已知AB＝20，C是AB的中点，D是CB上一点，E为DB的中点．
(1)若EB＝3，求CD的长；
(2)若AB＝4CD，求DE的长度．
参考答案
1.B;2.D;3.C;4.3或7.
5.解：(1)作射线AF；
(2)在射线AF上顺次截取AB＝BC＝a，CD＝b；
(3)在线段AD上截取DE＝c.
所以线段AE即为所求．
6.解：(1)因为C是AB的中点，
所以BC＝AB＝10.
因为E为DB的中点，
所以BD＝2EB＝6，
所以CD＝BC－BD＝4.
(2)因为AB＝4CD，
所以4CD＝20.
所以CD＝5.
因为C为AB的中点，
所以BC＝AB＝10.
因为E是BD的中点，
所以DE＝(BC－CD)＝×(10－5)＝.
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