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2024-2025学年福建省漳州市高三（上）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知为单位向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知点为双曲线：上任意一点，过点分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则四边形为原点的面积为( )
A. B. C. D.
6.在正四棱锥中，用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，，，则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若方程在区间上恰有个实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.已知定义在上的函数不恒等于，，且对任意的，，有，则( )
A. B. 是偶函数
C. 的图象关于点中心对称 D. 是的一个周期
11.在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线：绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的如图阴影区域，，为与其中两条曲线的交点，若，则( )
A. 开口向上的抛物线的方程为
B.
C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式的常数项是______．
13.已知数列的前项和，当取最小值时， ______．
14.年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下：
本题共小题，每小题分，共分；
每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得分，有选错或不选的得分；
部分选对的得部分分考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选项，第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分相同总分只记录一次的第百分位数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，的对边分别为，，，且满足_____．
请在；，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题．
求；
若的面积为为的中点，求的最小值．
16.本小题分
某学校食堂有，两家餐厅，张同学第天选择餐厅用餐的概率为从第天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为设他第天选择餐厅用餐的概率为．
求的值及关于的表达式；
证明数列是等比数列，并求出的通项公式．
17.本小题分
已知边长为的菱形如图，与相交于点，为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥如图．
证明：；
若三棱锥的体积为，二面角的余弦值为，求的长．
18.本小题分
已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点．
求的方程；
直线：与交于，两点，
求面积的最大值；
设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程．
19.本小题分
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数已知函数．
当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
若，求的极值差比系数的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：选择条件，，
则，
由正弦定理可得，即，
所以，由，所以；
选择条件，，
即，所以，
由，则，
所以，则；
由，解得，
又，
所以
，
所以，当且仅当时等式成立，
所以的最小值是；
另解：因为为中点，
所以，得，
在中，由余弦定理得
，
所以，当且仅当时等式成立，
所以的最小值是．
16.解：设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，
则，且与互斥．根据题意得
，
，
，
，
即．
，
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
从而．
17.解：证明：因为四边形是边长为的菱形，并且，
所以，均为等边三角形，
故A，，且，
因为平面，平面，且，
所以平面，
因为平面，所以．
设到平面的距离为，因为等边的边长为，
所以三棱锥的体积为，所以，
因为，所以平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
又，
故，
取，则，
得，
因为二面角的余弦值为，
所以，
解得或舍去，
此时．
18.解：设焦距为，
依题意得，解得
又，所以，
所以的方程为．
设，，
联立，得，
由，解得，
所以，
所以，
而点到直线：的距离为，
所以的面积，
当且仅当，即时，的面积取得最大值．
设，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
所以，
故点在定直线．
19.解：当时，是极值可差比函数，理由如下：
当时，，
所以，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，因此是极值可差比函数．
的定义域为，即，
假设存在，使得的极值差比系数为，则，是方程的两个不等正实根，
，解得，不妨设，则，
由于
，
所以，从而，
得
令，
所以在上单调递增，有，
因此式无解，即不存在使的极值差比系数为．
由知极值差比系数为，
即，不妨设，
令，极值差比系数可化为，
，
又，解得，
令，
设
所以在上单调递减，当时，，
从而，
所以在上单调递增，所以，
即．
故的极值差比系数的取值范围为．
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