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课堂导学（平面向量与空间向量的基本运算）
【知识点】
1.向量的加法、减法
空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b
减法 ＝－＝a－b
加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2.空间向量的数乘运算：
（1）定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
（2）运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
3.空间向量的数量积：
（1）定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
（2）常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
（3）数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
4.数量积的应用：
（1）求模长：.
（2）求夹角：cos〈a，b〉＝.
【典例】
例1.如右图，在矩形ABCD中，||＝2，||＝1.
则（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；（作图）
（5） 0 ；
（6） .
例2．在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点,,,.
（1）求,的值；
（2）求，；
（3）求与的夹角的余弦值.
解：（1）
（2）
例3.如图，四面体OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，
（1）若，求的值；
（2）若四面体OABC是棱长为1的正四面体，求；
（3）在（2）的条件下问与、、之间的三个夹角，最大是哪一个？并说明原因.
解：（1）
∴
（2）
且，
∴
（3）
∵，,
同理
小于
∴与、、之间的三个夹角中最大是与的夹角.课堂导学（平面向量与空间向量的基本运算）
【知识点】
1.向量的加法、减法
空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b
减法 ＝－＝a－b
加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2.空间向量的数乘运算：
（1）定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
（2）运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
3.空间向量的数量积：
（1）定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
（2）常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
（3）数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
4.数量积的应用：
（1）求模长：.
（2）求夹角：cos〈a，b〉＝.
【典例】
例1.如右图，在矩形ABCD中，||＝2，||＝1.
则（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
例2．在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点,,,.
（1）求,的值；
（2）求，；
（3）求与的夹角的余弦值.
例3.如图，四面体OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，
（1）若，求的值；
（2）若四面体OABC是棱长为1的正四面体，求；
（3）在（2）的条件下问与、、之间的三个夹角，最大是哪一个？并说明原因.

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